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第七章　隨機變量及其分布章末復習課
一、條件概率與全概率公式
1．求條件概率有兩種方法：一種是基于樣本空間Ω，先計算P(A)和P(AB)，再利用P(B|A)＝求解；另一種是縮小樣本空間，即以A為樣本空間計算AB的概率．
2．掌握條件概率與全概率運算，重點提升邏輯推理和數學運算的核心素養．
例1　采購員要購買10個一包的電器元件．他的采購方法是：從一包中隨機抽查3個，如果這3個元件都是好的，他才買下這一包．假定含有4個次品的包數占30%，而其余包中各含1個次品．求：
(1)采購員拒絕購買的概率；
(2)在采購員拒絕購買的條件下，抽中的一包中含有4個次品的概率．
反思感悟　計算條件概率要注意以下三點
(1)明白是在誰的條件下，計算誰的概率．
(2)明確P(A)，P(B|A)以及P(AB)三者間的關系，實現三者間的互化．
(3)理解全概率公式P(A)＝(Bi)P(A|Bi)中化整為零的計算思想．
跟蹤訓練1　為了提升全民身體素質，學校十分重視學生體育鍛煉，某校籃球運動員進行投籃練習．如果他前一球投進，則后一球投進的概率為；如果他前一球投不進，則后一球投進的概率為.若他第1球投進的概率為，則他第2球投進的概率為(　　)
A. B. C. D.
二、離散型隨機變量的分布列、均值和方差
1．均值和方差都是隨機變量的重要的數字特征，方差是建立在均值的基礎之上，它表明了隨機變量所取的值相對于它的均值的集中與離散程度，二者的聯系密切，在現實生產生活中的應用比較廣泛．
2．掌握離散型隨機變量的分布列、均值和方差，重點提升邏輯推理與運算的核心素養．
角度1　二項分布的均值、方差
例2　某廠有4臺大型機器，在一個月中，一臺機器至多出現1次故障，且每臺機器是否出現故障是相互獨立的，出現故障時需1名工人進行維修，每臺機器出現故障需要維修的概率為.
(1)問該廠至少有多少名維修工人才能保證每臺機器在任何時刻同時出現故障時能及時進行維修的概率不小于90%
(2)已知1名工人每月只有維修1臺機器的能力，每月需支付給每位工人1萬元的工資，每臺機器不出現故障或出現故障能及時維修，能使該廠產生5萬元的利潤，否則將不產生利潤．若該廠現有2名工人，求該廠每月獲利的均值．
角度2　超幾何分布的均值、方差
例3　某學院為了調查本校學生2023年4月“健康上網”(健康上網是指每天上網不超過兩個小時)的天數情況，隨機抽取了40名本校學生，統計他們在該月30天內健康上網的天數，并將所得的數據分成以下六組：[0,5]，(5,10]，(10,15]，…，(25,30]，由此畫出樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．
(1)根據頻率分布直方圖，求這40名學生中健康上網天數超過20的人數；
(2)現從這40名學生中任取2名，設Y為取出的2名學生中健康上網天數超過20的人數，求Y的分布列及均值E(Y)．
反思感悟　(1)關于二項分布的應用
把握二項分布的關鍵是理解隨機試驗中n次、獨立、重復這些字眼，即試驗是多次進行，試驗之間是相互獨立的，每次試驗的概率是相同的，判定隨機變量符合二項分布后結合相應的公式進行計算．
(2)關于超幾何分布的應用
不放回取次品是超幾何分布的典型試驗，可以將取球、選隊員等試驗歸入超幾何分布問題，再利用其概率、均值公式進行計算．
跟蹤訓練2　(1)設X服從兩點分布，分布列為
X 0 1
P p q
其中p∈(0,1)，則(　　)
A．E(X)＝p，D(X)＝p3
B．E(X)＝p，D(X)＝p2
C．E(X)＝q，D(X)＝q2
D．E(X)＝1－p，D(X)＝p－p2
(2)(多選)在一個袋中裝有質地、大小一樣的6個黑球，4個白球，現從中任取4個小球，設取出的4個小球中白球的個數為X，則下列結論正確的是(　　)
A．P(X＝2)＝
B．隨機變量X服從二項分布
C．隨機變量X服從超幾何分布
D．E(X)＝
三、正態分布的綜合應用
解答正態分布的實際應用題，關鍵是如何轉化，同時注意以下兩點：
(1)注意“3σ”原則，記住正態總體在三個區間內取值的概率．
(2)注意數形結合．由于正態分布密度曲線具有完美的對稱性，體現了數形結合的重要思想，因此運用對稱性和結合圖象解決某一區間內的概率問題成為熱點問題．
例4　為保障全民閱讀權利，培養全民閱讀習慣，提高全民閱讀能力，推動文明城市和文化強市建設，某高校為了解全校學生的閱讀情況，隨機調查了200名學生的每周閱讀時間x(單位：小時)并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求這200名學生每周閱讀時間的樣本平均數和樣本方差s2(同一組的數據用該組區間中點值代表)；
(2)由頻率分布直方圖可以看出，目前該校學生每周的閱讀時間x大致服從正態分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數，σ2近似為樣本方差s2.
①一般正態分布N(μ，σ2)的概率都可以轉化為標準正態分布N(0,1)的概率進行計算：若X～N(μ，σ2)，令Y＝，則Y～N(0,1)，且P(X≤a)＝P.利用頻率分布直方圖得到的正態分布，求P；
②從該高校的學生中隨機抽取20名，記Z表示這20名學生中每周閱讀時間超過10小時的人數，求Z的均值．
參考數據：≈，若Y～N(0,1)，則P(Y≤0.75)＝0.773 4.
反思感悟　利用正態曲線解決實際問題時常利用其對稱性解題，并注意借助[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]三個區間內的概率值求解，要注意正態曲線與頻率分布直方圖的結合．
跟蹤訓練3　為了調查某蘋果園中蘋果的生長情況，在蘋果園中隨機采摘了100個蘋果．經整理分析后發現，蘋果的重量x(單位：kg)近似服從正態分布N，如圖所示，已知P＝0.1，P＝0.3.
(1)若從蘋果園中隨機采摘1個蘋果，求該蘋果的重量在內的概率；
(2)從這100個蘋果中隨機挑出8個，這8個蘋果的重量情況如下：
重量范圍(單位：kg)
個數 2 4 2
為進一步了解蘋果的甜度，從這8個蘋果中隨機選出3個，記隨機選出的3個蘋果中重量在內的個數為X，求隨機變量X的分布列和均值．
章末復習課
例1　解　設B1＝“取到的一包含4個次品”，
B2＝“取到的一包含1個次品”，
A＝“采購員拒絕購買”，P(B1)＝，P(B2)＝.
P(A|B1)＝1－＝，
P(A|B2)＝1－＝.
(1)由全概率公式得到P(A)
＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)
＝×＋×＝.
(2)P(B1|A)＝
＝＝.
跟蹤訓練1　B　[記事件A為“第1球投進”，事件B為“第2球投進”，
P(B|A)＝，P(B|)＝，
P(A)＝，
由全概率公式可得
P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)
＝2＋2＝.]
例2　解　(1)設“機器出現故障需要維修”為事件A，
則P(A)＝.
設出現故障的機器臺數為X，
則X～B，
P(X＝0)＝C×4＝，
P(X＝1)＝C××3＝，
P(X＝2)＝C×2×2
＝＝，
P(X＝3)＝C×3×＝，
P(X＝4)＝C×4＝.
故X的分布列為
X 0 1 2 3 4
P
設該廠有n名工人，則“每臺機器在任何時刻同時出現故障時能及時進行維修”為X≤n，即為X＝0，X＝1，X＝2，…，X＝n這n＋1個互斥事件的和事件，則
n 0 1 2 3 4
P(X≤n) 1
因為<90%<，所以至少要3名工人，才能保證每臺機器在任何時刻同時出現故障時能及時進行維修的概率不小于90%.
(2)設該廠獲利為Y萬元，則Y的所有可能取值為18,13,8，
P(Y＝18)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝，
P(Y＝13)＝P(X＝3)＝，
P(Y＝8)＝P(X＝4)＝.
故Y的分布列為
Y 18 13 8
P
所以E(Y)＝18×＋13×＋8×＝(萬元)，故該廠每月獲利的均值為萬元．
例3　解　(1)由圖可知，健康上網天數未超過20的頻率為(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75，所以健康上網天數超過20的學生人數是40×(1－0.75)＝40×0.25＝10.
(2)隨機變量Y的所有可能取值為0,1,2，
且Y服從超幾何分布．
所以P(Y＝0)＝＝，
P(Y＝1)＝＝，
P(Y＝2)＝＝.
所以Y的分布列為
Y 0 1 2
P
所以Y的均值E(Y)＝1×＋2×＝.
跟蹤訓練2　(1)D　[X服從兩點分布，則E(X)＝q＝1－p，
D(X)＝p(1－p)＝p－p2.]
(2)ACD　[由題意知隨機變量X服從超幾何分布，故B錯誤，C正確；隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3,4，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝，故A，D正確．]
例4　解　(1)根據頻率分布直方圖知，＝6×0.03＋7×0.1＋8×0.2＋9×0.35＋10×0.19＋11×0.09＋12×0.04＝9，
s2＝(6－9)2×0.03＋(7－9)2×0.1＋(8－9)2×0.2＋(9－9)2×0.35＋(10－9)2×0.19＋(11－9)2×0.09＋(12－9)2×0.04＝1.78，
所以樣本平均數和樣本方差s2分別為9,1.78.
(2)①由題意知μ＝9，σ2＝1.78，
則有X～N(9,1.78)，
σ＝＝≈，
P(X≤10)＝P
＝P(Y≤0.75)
＝0.773 4.
②由①知P(X>10)＝1－P(X≤10)＝0.226 6，
可得Z～B(20,0.226 6)，
所以Z的均值E(Z)＝20×0.226 6
＝4.532.
跟蹤訓練3　解　(1)已知蘋果的重量x(單位：kg)近似服從正態分布N，
由正態分布的對稱性可知，
P
＝P
＝P－P
＝0.3－0.1＝0.2，
所以從蘋果園中隨機采摘1個蘋果，該蘋果的重量在(0.5,0.7]內的概率為0.2.
(2)由題意可知，隨機變量X的所有可能取值為1,2,3，
P＝＝，
P＝＝，
P＝＝，
所以隨機變量X的分布列為
X 1 2 3
P
所以E＝1×＋2×＋3×＝.

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