資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
第四章 圖形的性質(zhì)
第十四節(jié) 全等三角形
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 全等圖形的概念和性質(zhì) ☆☆ 全等三角形的相關(guān)知識(shí)在各地中考都是屬于必考內(nèi)容，考查難度可以簡(jiǎn)單也可以難，但總體以中等偏下難度為主，廣東中考單獨(dú)考查相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)的題型很少，基本是在解答題里面作為其中一個(gè)環(huán)節(jié)或者解答工具進(jìn)行考查，作為解答幾何題型必須掌握的基本知識(shí)，復(fù)習(xí)過(guò)程中必須強(qiáng)打基礎(chǔ)，鞏固基本技能過(guò)好關(guān)，才能更好地完成后面幾何類試題的深入研究。
考點(diǎn)2 全等三角形的判定 ☆☆
考點(diǎn)3 全等三角形的判定和性質(zhì)綜合運(yùn)用 ☆☆☆
考點(diǎn)4 角平分線的性質(zhì) ☆☆
考點(diǎn)1 全等三角形的概念和性質(zhì)
1.全等三角形的概念：能夠_____的兩個(gè)圖形叫做全等形。
能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做_____三角形。兩個(gè)三角形全等時(shí)，互相重合的頂點(diǎn)叫做_____頂點(diǎn)，互相重合的邊叫做_____邊，互相重合的角叫做_____角。夾邊就是三角形中相鄰兩角的公共邊，夾角就是三角形中有公共端點(diǎn)的兩邊所成的角。
2.全等三角形的表示和性質(zhì)
全等用符號(hào)“≌”表示，讀作“_____”。如△ABC≌△DEF，讀作“三角形ABC全等于三角形DEF”。
考點(diǎn)2 三角形全等的判定
（1）邊角邊定理：有兩邊和它們的_____對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”）
（2）角邊角定理：有兩角和它們的_____對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）
（3）邊邊邊定理：有三邊對(duì)應(yīng)_____的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”）。
（4）角角邊定理：有兩角和其中一個(gè)角所對(duì)的_____對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”）
（5）對(duì)于特殊的直角三角形：判定它們?nèi)葧r(shí)，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有_____和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）
考點(diǎn)3 全等三角形的判定和性質(zhì)綜合運(yùn)用
1.在說(shuō)明線段相等或角相等時(shí),常常需要綜合運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)和判定.
2.全等變換只改變圖形的_____，而不改變其形狀和_____。
全等變換包括以下三種：
（1）平移變換：把圖形沿某條直線平行移動(dòng)的變換叫做平移變換。
（2）對(duì)稱變換：將圖形沿某直線翻折180°，這種變換叫做對(duì)稱變換。
（3）旋轉(zhuǎn)變換：將圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度到另一個(gè)位置，這種變換叫做旋轉(zhuǎn)變換。
考點(diǎn)4 角平分線的性質(zhì)
1.角的平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離_____.
2.角的平分線的判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的_____上.
3.三角形的角平分線：三角形角平分線交于一點(diǎn)，且到三邊的距離相等.
4.與角平分線有關(guān)的輔助線：在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形；在角的平分線上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段.
考點(diǎn)1：全等三角形的概念和性質(zhì)
◇例題
1．（2023 高州市校級(jí)二模）如圖，△ABC≌△DEF，AC∥DF，則∠C的對(duì)應(yīng)角為（　　）
A．∠F B．∠AGE C．∠AEF D．∠D
2．（2023 香洲區(qū)校級(jí)一模）如圖，若△ABC≌△ADE，則下列結(jié)論中一定成立的是（　　）
A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED
◆變式訓(xùn)練
1．（2021 廣東模擬）如圖，△ABC≌△ADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝25°，則∠EAC的度數(shù)為（　　）
A．45° B．40° C．35° D．25°
2．（2023 廣東模擬）如圖，△ABC≌△BAD，A的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)是B，C的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)是D，若AB＝8，AC＝3，BC＝7，則AD的長(zhǎng)為（　　）
A．3 B．7
C．8 D．以上都不對(duì)
3．（2022 珠海二模）如圖，△ABE≌△DCE，點(diǎn)E在線段AD上，點(diǎn)F在CD延長(zhǎng)線上，∠F＝∠A，求證：AD∥BF．
考點(diǎn)2：三角形全等的判定
◇例題
1．（2023 懷集縣二模）如圖，在△ABC和△ABD中，已知AC＝AD，則添加以下條件，仍不能判定△ABC≌△ABD的是（　　）
A．BC＝BD B．∠ABC＝∠ABD C．∠C＝∠D＝90° D．∠CAB＝∠DAB
2．（2020 恩平市模擬）如圖，AB＝DB，∠1＝∠2，請(qǐng)問(wèn)添加下面哪個(gè)條件不能判斷△ABC≌△DBE的是（　　）
A．BC＝BE B．AC＝DE C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠DEB
3．（2023 潮南區(qū)三模）如圖，CA＝CD，∠ACD＝∠BCE，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件 　 ，使△ABC≌△DEC．
4．（2023 金平區(qū)三模）如圖，點(diǎn)E在△ABC邊AC上，AE＝BC，BC∥AD，∠CED＝∠BAD．求證：△ABC≌△DEA．
5．（2014 高要市二模）已知：如圖，B、C、E三點(diǎn)在同一條直線上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD＝∠B．求證：△ABC≌△CDE．
◆變式訓(xùn)練
1．（2020 佛山校級(jí)模擬）如圖，在△ABC和△DCB中，∠ABC＝∠DCB，再添加一個(gè)條件，不能證明△ABC和△DCB全等的是（　　）
A．∠ACB＝∠DBC B．∠A＝∠D C．AB＝CD D．AC＝DB
2．（2022 河源模擬）如圖，點(diǎn)B、F、C、E在同一條直線上，AC∥DF，AC＝DF，添加以下條件，仍不能使△ABC≌△DEF的是（　　）
A．∠A＝∠D B．AB＝DE C．AB∥DE D．BF＝EC
3．（2023 高州市一模）如圖，點(diǎn)B、E、C、F在一條直線上，AB∥DE，BE＝CF，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件　 　，使△ABC≌△DEF．
4．（2023 增城區(qū)一模）如圖，點(diǎn)E、F在線段BC上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF．
求證：△ABE≌△DCF．
5．（2023 天河區(qū)校級(jí)三模）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，連接AC．求證△ABC≌△CDA．
考點(diǎn)3：全等三角形的判定和性質(zhì)綜合運(yùn)用
◇例題
1．（2023 光明區(qū)校級(jí)三模）一塊三角形玻璃不慎被小明摔成了四片碎片（如圖所示），小明經(jīng)過(guò)仔細(xì)的考慮認(rèn)為只要帶其中的兩塊碎片去玻璃店，就可以讓師傅配一塊與原玻璃一樣的玻璃．你認(rèn)為下列四個(gè)答案中考慮最全面的是（　　）
A．帶其中的任意兩塊去都可以
B．帶1、4或2、3去就可以了
C．帶1、4或3、4去就可以了
D．帶1、2或2、4去就可以了
2．（2023 曲江區(qū)校級(jí)一模）如圖，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝25°，∠D＝80°，則∠BCA的度數(shù)為（　　）
A．25° B．50° C．65° D．75°
3．（2023 番禺區(qū)校級(jí)一模）已知：BE⊥CD，BE＝DE，EC＝EA，求證：∠B＝∠D．
4．（2023 順德區(qū)校級(jí)一模）如圖，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，E，D為垂足，CF＝CB．
（1）求證；BE＝FD．
（2）若AE＝10，CD＝8，求四邊形ABCF的面積．
◆變式訓(xùn)練
4．（2023 寶安區(qū)校級(jí)三模）如圖，點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，AC⊥l于點(diǎn)C，BD⊥l于點(diǎn)D，連接DM．若AC＝2，BD＝5，CD＝6，則DM的長(zhǎng)為（　　）
A． B． C．3 D．
5．（2023 番禺區(qū)校級(jí)二模）如圖，已知AB平分∠CAD，AC＝AD．求證：∠C＝∠D．
6．（2023 惠城區(qū)校級(jí)一模）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，DE＝EC，連接AE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于F，連接BE．
（1）求證：AD＝CF；
（2）若AB＝BC+AD，求證：BE⊥AF．
考點(diǎn)4：角平分線的性質(zhì)
◇例題
1．（2023 金平區(qū)一模）如圖△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AC，AB＝3，DE＝2，則△ABD的面積為（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．（2023 河源一模）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，AC＝5，DE＝2，△ACD面積為 　 　．
3．（2023 蓬江區(qū)校級(jí)三模）如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，求證：AD平分∠BAC．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 金平區(qū)三模）如圖，△ABC中，∠BAC＝60°，BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB，AO＝2，下面結(jié)論中不一定正確的是（　　）
A．∠BOC＝120°
B．∠BAO＝30°
C．OB＝3
D．點(diǎn)O到直線BC的距離是1
2．（2023 惠州二模）如圖，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）若AE＝10，DE＝4，求AB的長(zhǎng)．
1．（2023 廣州）如圖，已知AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，AE＝12，DF＝5，則點(diǎn)E到直線AD的距離為 　　．
2．（2022 深圳）已知△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝5，AE＝2，連接CE，以CE為底作直角三角形CDE，且CD＝DE．F是AE邊上的一點(diǎn)，連接BD和BF，且∠FBD＝45°，則AF長(zhǎng)為 　　．
3．（2022 廣州）如圖，點(diǎn)D，E在△ABC的邊BC上，∠B＝∠C，BD＝CE，求證：△ABD≌△ACE．
4．（2021 廣州）如圖，點(diǎn)E、F在線段BC上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF，證明：AE＝DF．
5．（2019 廣州）如圖，D是AB上一點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E，DE＝FE，F(xiàn)C∥AB，求證：△ADE≌△CFE．
6．（2023 廣州）如圖，B是AD的中點(diǎn)，BC∥DE，BC＝DE．求證：∠C＝∠E．
7．（2022 廣東）如圖，已知∠AOC＝∠BOC，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E．求證：△OPD≌△OPE．
8．（2020 廣東）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，BD＝CE，∠ABE＝∠ACD，BE與CD相交于點(diǎn)F．求證：△ABC是等腰三角形．
1．（2023 香洲區(qū)校級(jí)一模）如圖，用直尺和圓規(guī)作已知角的平分線的示意圖，則說(shuō)明∠CAD＝∠DAB的依據(jù)是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
2．（2022 龍崗區(qū)模擬）如圖，△ABC≌△A′B′C，且點(diǎn)B′在AB邊上，點(diǎn)A′恰好在BC的延長(zhǎng)線上，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　　）
A．∠BCB′＝∠ACA′ B．∠ACB＝2∠B
C．∠B′CA＝∠B′AC D．B′C平分∠BB′A′
3．（2023 南海區(qū)校級(jí)三模）如圖，在△ABC 和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，添加一個(gè)條件后，仍然不能證明△ABC≌△DEF，這個(gè)條件可能是（　　）
A．∠A＝∠D B．AC∥DF C．BE＝CF D．AC＝DF
4．（2023 順德區(qū)校級(jí)一模）如圖，AC＝BC＝BE＝DE＝10cm，點(diǎn)A、B、D在同一條直線上，AB＝12cm，BD＝16cm，則點(diǎn)C和點(diǎn)E之間的距離是（　　）
A．6cm B．7cm C．8cm D．
5．（2020 惠州一模）如圖，△ABC≌△EBD，∠E＝50°，∠D＝62°，則∠ABC的度數(shù)是（　　）
A．68° B．62° C．60° D．50°
6．（2023 寶安區(qū)校級(jí)三模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝　 ．
7．（2022 蓬江區(qū)模擬）如圖，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，AD、CE交于點(diǎn)H，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：　 　，使△AEH≌△CEB．
8．（2023 荔灣區(qū)一模）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，連接AC．求證：△ABC≌△CDA．
9．（2023 順德區(qū)校級(jí)一模）已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點(diǎn)D、E．求證：PD＝PE．
10．（2023 荔灣區(qū)校級(jí)二模）已知：如圖，△ABC和△CDE都是等邊三角形，且點(diǎn)A、C、E在一條直線上，AD與BE相交于點(diǎn)P，AD與BC相交于點(diǎn)M，BE與CD相交于點(diǎn)N．
求證：（1）∠APB＝60°；
（2）CM＝CN．
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第四章 圖形的性質(zhì)
第十四節(jié) 全等三角形
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 全等圖形的概念和性質(zhì) ☆☆ 全等三角形的相關(guān)知識(shí)在各地中考都是屬于必考內(nèi)容，考查難度可以簡(jiǎn)單也可以難，但總體以中等偏下難度為主，廣東中考單獨(dú)考查相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)的題型很少，基本是在解答題里面作為其中一個(gè)環(huán)節(jié)或者解答工具進(jìn)行考查，作為解答幾何題型必須掌握的基本知識(shí)，復(fù)習(xí)過(guò)程中必須強(qiáng)打基礎(chǔ)，鞏固基本技能過(guò)好關(guān)，才能更好地完成后面幾何類試題的深入研究。
考點(diǎn)2 全等三角形的判定 ☆☆
考點(diǎn)3 全等三角形的判定和性質(zhì)綜合運(yùn)用 ☆☆☆
考點(diǎn)4 角平分線的性質(zhì) ☆☆
考點(diǎn)1 全等三角形的概念和性質(zhì)
1.全等三角形的概念：能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形。
能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。兩個(gè)三角形全等時(shí)，互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。夾邊就是三角形中相鄰兩角的公共邊，夾角就是三角形中有公共端點(diǎn)的兩邊所成的角。
2.全等三角形的表示和性質(zhì)
全等用符號(hào)“≌”表示，讀作“全等于”。如△ABC≌△DEF，讀作“三角形ABC全等于三角形DEF”。
考點(diǎn)2 三角形全等的判定
（1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”）
（2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）
（3）邊邊邊定理：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”）。
（4）角角邊定理：有兩角和其中一個(gè)角所對(duì)的邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”）
（5）對(duì)于特殊的直角三角形：判定它們?nèi)葧r(shí)，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）
考點(diǎn)3 全等三角形的判定和性質(zhì)綜合運(yùn)用
1.在說(shuō)明線段相等或角相等時(shí),常常需要綜合運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)和判定.
2.全等變換只改變圖形的位置，而不改變其形狀和大小。
全等變換包括以下三種：
（1）平移變換：把圖形沿某條直線平行移動(dòng)的變換叫做平移變換。
（2）對(duì)稱變換：將圖形沿某直線翻折180°，這種變換叫做對(duì)稱變換。
（3）旋轉(zhuǎn)變換：將圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度到另一個(gè)位置，這種變換叫做旋轉(zhuǎn)變換。
考點(diǎn)4 角平分線的性質(zhì)
1.角的平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.
2.角的平分線的判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.
3.三角形的角平分線：三角形角平分線交于一點(diǎn)，且到三邊的距離相等.
4.與角平分線有關(guān)的輔助線：在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形；在角的平分線上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段.
考點(diǎn)1：全等三角形的概念和性質(zhì)
◇例題
1．（2023 高州市校級(jí)二模）如圖，△ABC≌△DEF，AC∥DF，則∠C的對(duì)應(yīng)角為（　　）
A．∠F B．∠AGE C．∠AEF D．∠D
【分析】根據(jù)△ABC≌△DEF可得：∠B的對(duì)應(yīng)角為∠DEF，∠BAC的對(duì)應(yīng)角為∠D，∠C的對(duì)應(yīng)角為∠F．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠C＝∠F，
∴∠C的對(duì)應(yīng)角是∠F，
故選：A．
2．（2023 香洲區(qū)校級(jí)一模）如圖，若△ABC≌△ADE，則下列結(jié)論中一定成立的是（　　）
A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確，
故選：B．
◆變式訓(xùn)練
1．（2021 廣東模擬）如圖，△ABC≌△ADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝25°，則∠EAC的度數(shù)為（　　）
A．45° B．40° C．35° D．25°
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出∠D和∠E，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠D＝∠B＝80°，∠E＝∠C＝30°，
∴∠DAE＝180°﹣∠D﹣∠E＝70°，
∴∠EAC＝∠EAD﹣∠DAC＝45°，
故選：A．
2．（2023 廣東模擬）如圖，△ABC≌△BAD，A的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)是B，C的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)是D，若AB＝8，AC＝3，BC＝7，則AD的長(zhǎng)為（　　）
A．3 B．7
C．8 D．以上都不對(duì)
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．
【解答】解：∵△ABC≌△BAD，A的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)是B，C的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)是D，知AD和BC是對(duì)應(yīng)邊，BC＝7，
∴AD＝BC＝7．
故選：B．
3．（2022 珠海二模）如圖，△ABE≌△DCE，點(diǎn)E在線段AD上，點(diǎn)F在CD延長(zhǎng)線上，∠F＝∠A，求證：AD∥BF．
【分析】根據(jù)△ABE≌△DCE得到∠A＝∠ADC，然后利用∠F＝∠A得到∠F＝∠EDC，利用同位角相等，兩直線平行證得結(jié)論．
【解答】證明：∵△ABE≌△DCE，
∴∠A＝∠ADC，
∵∠F＝∠A，
∴∠F＝∠EDC，
∴AD∥BF．
考點(diǎn)2：三角形全等的判定
◇例題
1．（2023 懷集縣二模）如圖，在△ABC和△ABD中，已知AC＝AD，則添加以下條件，仍不能判定△ABC≌△ABD的是（　　）
A．BC＝BD B．∠ABC＝∠ABD C．∠C＝∠D＝90° D．∠CAB＝∠DAB
【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理分別判定即可．
【解答】解：A、根據(jù)SSS可判定△ABC≌△ABD，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、根據(jù)SSA不能判定△ABC≌△ABD，故本選項(xiàng)符合題意；
C、根據(jù)HL可判定△ABC≌△ABD，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、根據(jù)SAS可判定△ABC≌△ABD，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
2．（2020 恩平市模擬）如圖，AB＝DB，∠1＝∠2，請(qǐng)問(wèn)添加下面哪個(gè)條件不能判斷△ABC≌△DBE的是（　　）
A．BC＝BE B．AC＝DE C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠DEB
【分析】本題要判定△ABC≌△DBE，已知AB＝DB，∠1＝∠2，具備了一組邊一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，對(duì)選項(xiàng)一一分析，選出正確答案．
【解答】解：A、添加BC＝BE，可根據(jù)SAS判定△ABC≌△DBE，故正確；
B、添加AC＝DE，SSA不能判定△ABC≌△DBE，故錯(cuò)誤；
C、添加∠A＝∠D，可根據(jù)ASA判定△ABC≌△DBE，故正確；
D、添加∠ACB＝∠DEB，可根據(jù)AAS判定△ABC≌△DBE，故正確．
故選：B．
3．（2023 潮南區(qū)三模）如圖，CA＝CD，∠ACD＝∠BCE，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件 　 ，使△ABC≌△DEC．
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)可得∠DCE＝∠ACB，然后再利用全等三角形的判定方法SAS，ASA或AAS即可解答．
【解答】解：∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠ACE＝∠BCE+∠ACE，
∴∠DCE＝∠ACB，
∵CA＝CD，CB＝CE，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
故答案為：CB＝CE（答案不唯一）．
4．（2023 金平區(qū)三模）如圖，點(diǎn)E在△ABC邊AC上，AE＝BC，BC∥AD，∠CED＝∠BAD．求證：△ABC≌△DEA．
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)推出∠DAC＝∠C，進(jìn)而推出∠D＝∠BAC，利用AAS即可證明△ABC≌△DEA．
【解答】證明：∵BC∥AD，
∴∠DAC＝∠C，
∵∠CED＝∠BAD，∠CED＝∠D+∠DAC，∠BAD＝∠DAC+∠BAC，
∴∠D＝∠BAC，
在△ABC和△DEA，
，
∴△ABC≌△DEA（AAS）．
5．（2014 高要市二模）已知：如圖，B、C、E三點(diǎn)在同一條直線上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD＝∠B．求證：△ABC≌△CDE．
【分析】首先根據(jù)AC∥DE，利用平行線的性質(zhì)可得：∠ACB＝∠E，∠ACD＝∠D，再根據(jù)∠ACD＝∠B證出∠D＝∠B，再由∠ACB＝∠E，AC＝CE可根據(jù)三角形全等的判定定理AAS證出△ABC≌△CDE．
【解答】證明：∵AC∥DE，
∴∠ACB＝∠E，∠ACD＝∠D，
∵∠ACD＝∠B，
∴∠D＝∠B，
在△ABC和△EDC中，
∴△ABC≌△CDE（AAS）．
◆變式訓(xùn)練
1．（2020 佛山校級(jí)模擬）如圖，在△ABC和△DCB中，∠ABC＝∠DCB，再添加一個(gè)條件，不能證明△ABC和△DCB全等的是（　　）
A．∠ACB＝∠DBC B．∠A＝∠D C．AB＝CD D．AC＝DB
【分析】根據(jù)全等三角形的判定逐個(gè)判斷即可．
【解答】解：A．∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∠ACB＝∠DBC，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DCB，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DCB，故本選項(xiàng)不符合題意；
C．AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DCB，故本選項(xiàng)不符合題意；
D．∠ABC＝∠DCB，AC＝DB，BC＝CB，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DCB，故本選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
2．（2022 河源模擬）如圖，點(diǎn)B、F、C、E在同一條直線上，AC∥DF，AC＝DF，添加以下條件，仍不能使△ABC≌△DEF的是（　　）
A．∠A＝∠D B．AB＝DE C．AB∥DE D．BF＝EC
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ACB＝∠DFE，∠B＝∠E，根據(jù)BF＝CE求出BC＝EF，再根據(jù)全等三角形的判定定理逐個(gè)判斷即可．
【解答】解：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
A．∠A＝∠D，AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEF，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．AB＝DE，AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本選項(xiàng)符合題意；
C．∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E，
∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，AC＝DF，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEF，故本選項(xiàng)不符合題意；
D．∵BF＝CE，
∴BF+CF＝CE+CF，
即BC＝EF，
BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，AC＝DF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEF，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
3．（2023 高州市一模）如圖，點(diǎn)B、E、C、F在一條直線上，AB∥DE，BE＝CF，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件　 　，使△ABC≌△DEF．
【分析】根據(jù)AB∥DE可得∠B＝∠DEC，由BE＝CF，根據(jù)等式的性質(zhì)可得CB＝EF，再加上條件AB＝DE可利用SAS定理證明△ABC≌△DEF．
【解答】解：添加條件：AB＝DE，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEC，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即CB＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
故答案為：AB＝DE．
4．（2023 增城區(qū)一模）如圖，點(diǎn)E、F在線段BC上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF．
求證：△ABE≌△DCF．
【分析】先利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠B＝∠C，再利用“AAS”即可求證．
【解答】證明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（AAS）．
5．（2023 天河區(qū)校級(jí)三模）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，連接AC．求證△ABC≌△CDA．
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BAC＝∠DCA，利用ASA即可證明．
【解答】證明：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠DAC＝∠ACB，
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（ASA）．
考點(diǎn)3：全等三角形的判定和性質(zhì)綜合運(yùn)用
◇例題
1．（2023 光明區(qū)校級(jí)三模）一塊三角形玻璃不慎被小明摔成了四片碎片（如圖所示），小明經(jīng)過(guò)仔細(xì)的考慮認(rèn)為只要帶其中的兩塊碎片去玻璃店，就可以讓師傅配一塊與原玻璃一樣的玻璃．你認(rèn)為下列四個(gè)答案中考慮最全面的是（　　）
A．帶其中的任意兩塊去都可以
B．帶1、4或2、3去就可以了
C．帶1、4或3、4去就可以了
D．帶1、2或2、4去就可以了
【分析】直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案．
【解答】解：帶3、4可以用“角邊角”確定三角形，
帶1、4可以用“角邊角”確定三角形，
故選：C．
2．（2023 曲江區(qū)校級(jí)一模）如圖，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝25°，∠D＝80°，則∠BCA的度數(shù)為（　　）
A．25° B．50° C．65° D．75°
【分析】運(yùn)用SAS公理，證明△ABC≌△ADC，得到∠D＝∠B＝80°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°即可解決問(wèn)題．
【解答】解：在△ABC與△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SAS），
∴∠D＝∠B＝80°，
∴∠BCA＝180°﹣25°﹣80°＝75°．
故選：D．
3．（2023 番禺區(qū)校級(jí)一模）已知：BE⊥CD，BE＝DE，EC＝EA，求證：∠B＝∠D．
【分析】根據(jù)邊角邊直接證明△BEC≌△DEA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證．
【解答】證明：∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝∠DEA＝90°，
在△BEC與△DEA中，
，
∴△BEC≌△DEA（SAS），
∴∠B＝∠D．
4．（2023 順德區(qū)校級(jí)一模）如圖，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，E，D為垂足，CF＝CB．
（1）求證；BE＝FD．
（2）若AE＝10，CD＝8，求四邊形ABCF的面積．
【分析】（1）利用角平分線的性質(zhì)得到CD＝CE，然后證明Rt△CBE≌Rt△CFD，從而得到BE＝FD；
（2）由“HL”可證Rt△ACD≌Rt△ACE，得到S△ACD＝S△ACE，則四邊形ABCF的面積＝S四邊形AECD＝2S△ACD，然后利用三角形面積公式計(jì)算．
【解答】（1）證明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，
∴CD＝CE，
在Rt△CBE和Rt△CFD中，
，
∴Rt△CBE≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝FD；
（2）解：∵AC＝AC，CD＝CE，
∴Rt△ACD≌Rt△ACE（HL），
∴S△ACD＝S△ACE，AE＝AD＝10，
∵Rt△CBE≌Rt△CFD，
∴S△CBE＝S△CFD，
∴四邊形ABCF的面積＝S四邊形AECD＝2S△ACD＝2××10×8＝40．
◆變式訓(xùn)練
4．（2023 寶安區(qū)校級(jí)三模）如圖，點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，AC⊥l于點(diǎn)C，BD⊥l于點(diǎn)D，連接DM．若AC＝2，BD＝5，CD＝6，則DM的長(zhǎng)為（　　）
A． B． C．3 D．
【分析】延長(zhǎng)DM，AC交于點(diǎn)E，證明△BDM≌△AEM，得到BD＝AE＝5，DM＝EM，再利用勾股定理求出DE，即可求出DM．
【解答】解：延長(zhǎng)DM，AC交于點(diǎn)E，
∵AC⊥l，BD⊥l，
∴BD∥AE，
∴∠B＝∠A，
∵點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，
∴BM＝AM，
在△BDM和△AEM中，
，
∴△BDM≌△AEM（ASA），
∴BD＝AE＝5，DM＝EM，
∵AC＝2，
∴CE＝AE﹣AC＝5﹣2＝3，
在Rt△DCE中，
∵CD＝6，CE＝3，
∴由勾股定理，得DE＝＝＝，
∴DM＝DE＝，
故選：A．
5．（2023 番禺區(qū)校級(jí)二模）如圖，已知AB平分∠CAD，AC＝AD．求證：∠C＝∠D．
【分析】根據(jù)角平分線的定義得到∠CAB＝∠DAB，推出△ACB≌△ADB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】證明：∵AB平分∠CAD，
∴∠CAB＝∠DAB，
在△ACB與△ADB中，
，
∴△ACB≌△ADB（SAS），
∴∠C＝∠D．
6．（2023 惠城區(qū)校級(jí)一模）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，DE＝EC，連接AE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于F，連接BE．
（1）求證：AD＝CF；
（2）若AB＝BC+AD，求證：BE⊥AF．
【分析】（1）可通過(guò)說(shuō)明△ADE≌△FCE，證明CF＝AD；
（2）證明AB＝BF，AE＝EF，由等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）證明：∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠F，∠ADE＝∠FCE．
∵點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，
∴DE＝CE．
在△ADE和△FCE中
，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴CF＝AD．
（2）∵CF＝AD，AB＝BC+AD，
∴AB＝BF，
∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF，
∴BE⊥AF．
考點(diǎn)4：角平分線的性質(zhì)
◇例題
1．（2023 金平區(qū)一模）如圖△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AC，AB＝3，DE＝2，則△ABD的面積為（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出DE＝DF＝2，再根據(jù)三角形的面積公式求解即可．
【解答】解：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，如圖所示：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DE＝2，
∴DF＝DE＝2，
∵AB＝3，
∴△ABD的面積＝AB DF＝＝3，
故選：B．
2．（2023 河源一模）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，AC＝5，DE＝2，△ACD面積為 　 　．
【分析】過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，先利用角平分線的性質(zhì)可得DE＝DF＝2，然后利用三角形的面積公式，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝2，
∴DE＝DF＝2，
∵AC＝5，
∴△ACD面積＝AC DF
＝×5×2
＝5，
故答案為：5．
3．（2023 蓬江區(qū)校級(jí)三模）如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF
求證：AD平分∠BAC．
【分析】由DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，即可判定Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），則可得DE＝DF，然后由角平分線的判定定理，即可證得AD平分∠BAC．
【解答】證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，
在Rt△ADE與Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴∠DAE＝∠DAF，
∴AD平分∠BAC．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 金平區(qū)三模）如圖，△ABC中，∠BAC＝60°，BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB，AO＝2，下面結(jié)論中不一定正確的是（　　）
A．∠BOC＝120°
B．∠BAO＝30°
C．OB＝3
D．點(diǎn)O到直線BC的距離是1
【分析】由角平分線的定義求出∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝60°，由三角形內(nèi)角和定理求出∠BOC的度數(shù)，由三角形內(nèi)心的性質(zhì)求出∠BAO的度數(shù)是30°，
OB的長(zhǎng)在變化不一定等于3，由直角三角形的性質(zhì)得到ON＝1，由角平分線的性質(zhì)得到OM＝ON＝1，得到O到BC的距離是1．
【解答】解：作OM⊥BC于M，ON⊥AB于N，
∵BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×（180°﹣∠BAC）＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°，
故A正確；
∵BO、CO分別平分∠ABC，
∴O是△ABC的內(nèi)心，
∴AO平分∠BAC，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAO＝∠BAC＝30°，
故B正確；
OB的長(zhǎng)在變化不一定等于3，
故C不一定正確；
∵∠ANO＝90°，∠NAO＝30°，
∴ON＝AO＝×2＝1，
∴OM＝ON＝1，
∴O到BC的距離是1，
故D正確．
故選：C．
2．（2023 惠州二模）如圖，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）若AE＝10，DE＝4，求AB的長(zhǎng)．
【分析】（1）過(guò)C點(diǎn)作CF⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．由AAS證明△CDE≌△CBF，可得CE＝CF，結(jié)論得證；
（2）證明Rt△ACE≌Rt△ACF，可得AE＝AF，可求出AB．
【解答】（1）證明：過(guò)C點(diǎn)作CF⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
∵CE⊥AD，
∴∠DEC＝∠CFB＝90°，
∵∠D+∠ABC＝180°，∠CBF+∠ABC＝180°，
∴∠D＝∠CBF，
在△CDE與△CBF中，
，
∴△CDE≌△CBF（AAS），
∴CE＝CF，
∴AC平分∠DAB；
（2）解：由（1）可得BF＝DE＝4，
在Rt△ACE和Rt△ACF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），
∴AE＝AF＝10，
∴AB＝AF﹣BF＝6．
1．（2023 廣州）如圖，已知AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，AE＝12，DF＝5，則點(diǎn)E到直線AD的距離為 　　．
【分析】過(guò)E作EH⊥AD于H，由角平分線的性質(zhì)得到DE＝DF＝5，由勾股定理求出AD＝＝13，由三角形面積公式得到13EH＝12×5，因此EH＝，即可得到點(diǎn)E到直線AD的距離．
【解答】解：過(guò)E作EH⊥AD于H，
∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF＝5，
∵AE＝12，
∴AD＝＝13，
∵△ADE的面積＝AD EH＝AE DE，
∴13EH＝12×5，
∴EH＝，
點(diǎn)E到直線AD的距離為．
故答案為：．
2．（2022 深圳）已知△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝5，AE＝2，連接CE，以CE為底作直角三角形CDE，且CD＝DE．F是AE邊上的一點(diǎn)，連接BD和BF，且∠FBD＝45°，則AF長(zhǎng)為 　　．
【分析】將線段BD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段HD，連接BH，利用SAS證明△EDH≌△CDB，得EH＝CB＝5，∠BGH＝∠BDH＝90°，從而得出HE∥DC∥AB，則△ABF∽△EHF，即可解決問(wèn)題．
【解答】解：將線段BD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段HD，連接BH，延長(zhǎng)HE交BC于G，
∴△BDH是等腰直角三角形，
∴∠HBD＝45°，
∵∠FBD＝45°，
∴點(diǎn)B、F、H共線，
又∵△EDC是等腰直角三角形，
∴HD＝BD，∠EDH＝∠CDB，ED＝CD，
∴△EDH≌△CDB（SAS），
∴EH＝CB＝5，∠DHE＝∠CBD，
∴∠BGH＝∠BDH＝90°，
∴HE∥AB，
∴△ABF∽△EHF，
∴，
∵AE＝2，
∴，
∴AF＝，
故答案為：．
3．（2022 廣州）如圖，點(diǎn)D，E在△ABC的邊BC上，∠B＝∠C，BD＝CE，求證：△ABD≌△ACE．
【分析】根據(jù)等角對(duì)等邊可得AB＝AC，然后利用SAS證明△ABD≌△ACE，即可解答．
【解答】證明：∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
4．（2021 廣州）如圖，點(diǎn)E、F在線段BC上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF，證明：AE＝DF．
【分析】欲證AE＝DF，可證△ABE≌DCF．由AB∥CD，得∠B＝∠C．又因?yàn)椤螦＝∠D，BE＝CF，所以△ABE≌△DCF．
【解答】證明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C．
在△ABE和△DCF中，
∴△ABE≌△DCF（AAS）．
∴AE＝DF．
5．（2019 廣州）如圖，D是AB上一點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E，DE＝FE，F(xiàn)C∥AB，求證：△ADE≌△CFE．
【分析】利用AAS證明：△ADE≌CFE．
【解答】證明：∵FC∥AB，
∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，
在△ADE與△CFE中：
∵，
∴△ADE≌△CFE（AAS）．
6．（2023 廣州）如圖，B是AD的中點(diǎn)，BC∥DE，BC＝DE．求證：∠C＝∠E．
【分析】先證出AB＝BD，再由平行線證出同位角相等∠ABC＝∠D，然后由SAS證明△ABC≌△BDE，得出對(duì)應(yīng)角相等即可．
【解答】證明：∵B是AD的中點(diǎn)，
∴AB＝BD，
∵BC∥DE，
∴∠ABC＝∠D，
在△ABC和△BDE中，
，
∴△ABC≌△BDE（SAS），
∴∠C＝∠E．
7．（2022 廣東）如圖，已知∠AOC＝∠BOC，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E．求證：△OPD≌△OPE．
【分析】根據(jù)垂直的定義得到∠ODP＝∠OEP＝90°，即可利用AAS證明△OPD≌△OPE．
【解答】證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠ODP＝∠OEP＝90°，
∵∠AOC＝∠BOC，
∴∠DOP＝∠EOP，
在△OPD和△OPE中，
，
∴△OPD≌△OPE（AAS）．
8．（2020 廣東）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，BD＝CE，∠ABE＝∠ACD，BE與CD相交于點(diǎn)F．求證：△ABC是等腰三角形．
【分析】先證△BDF≌△CEF（AAS），得出BF＝CF，則∠FBC＝∠FCB，得出∠ABC＝∠ACB，則AB＝AC．
【解答】證明：∵∠ABE＝∠ACD，
∴∠DBF＝∠ECF，
在△BDF和△CEF中，，
∴△BDF≌△CEF（AAS），
∴BF＝CF，DF＝EF，
∴∠FBC＝∠FCB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
即△ABC是等腰三角形．
1．（2023 香洲區(qū)校級(jí)一模）如圖，用直尺和圓規(guī)作已知角的平分線的示意圖，則說(shuō)明∠CAD＝∠DAB的依據(jù)是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【分析】利用三角形全等的判定證明．
【解答】解：從角平分線的作法得出，
△AFD與△AED的三邊全部相等，
則△AFD≌△AED．
故選：D．
2．（2022 龍崗區(qū)模擬）如圖，△ABC≌△A′B′C，且點(diǎn)B′在AB邊上，點(diǎn)A′恰好在BC的延長(zhǎng)線上，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　　）
A．∠BCB′＝∠ACA′ B．∠ACB＝2∠B
C．∠B′CA＝∠B′AC D．B′C平分∠BB′A′
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BC＝B′C，∠ACB＝∠A′CB′，∠B＝∠A′B′C，再逐個(gè)判斷即可．
【解答】解：∵△ABC≌△A′B′C，
∴BC＝B′C，∠ACB＝∠A′CB′，∠B＝∠A′B′C，
A．∵∠ACB＝∠A′CB′，
∴∠ACB﹣∠ACB′＝∠A′CB′﹣∠ACB′，
∴∠BCB′＝∠ACA′，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．∵BC＝B′C，
∴∠B＝∠CB′B，
∴∠A′CB′＝∠B+∠BB′C＝2∠B，
∵∠ACB＝∠A′CB′，
∴∠ACB＝2∠B，故本選項(xiàng)不符合題意；
C．不能推出∠B′CA＝∠B′AC，故本選項(xiàng)符合題意；
D．∵∠B＝∠BB′C，∠B＝∠A′B′C，
∴∠A′B′C＝∠BB′C，
即B′C平分∠BB′A′，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
3．（2023 南海區(qū)校級(jí)三模）如圖，在△ABC 和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，添加一個(gè)條件后，仍然不能證明△ABC≌△DEF，這個(gè)條件可能是（　　）
A．∠A＝∠D B．AC∥DF C．BE＝CF D．AC＝DF
【分析】根據(jù)全等三角形的判定，利用ASA、AAS、SAS即可得出答案．
【解答】解：∵∠B＝∠DEF，AB＝DE，
∴當(dāng)∠A＝∠D時(shí)，由ASA可得△ABC≌△DEF，故A不符合題意；
當(dāng)AC∥DF時(shí)，則∠C＝∠F，由AAS可得△ABC≌△DEF，故B不符合題意；
當(dāng)BE＝CF時(shí)，則BC＝EF，由SAS可得△ABC≌△DEF，故C不符合題意；
當(dāng)AC＝DF時(shí)，不能得出△ABC≌△DEF，故D符合題意；
故選：D．
4．（2023 順德區(qū)校級(jí)一模）如圖，AC＝BC＝BE＝DE＝10cm，點(diǎn)A、B、D在同一條直線上，AB＝12cm，BD＝16cm，則點(diǎn)C和點(diǎn)E之間的距離是（　　）
A．6cm B．7cm C．8cm D．
【分析】連接CE，過(guò)C作CM⊥AB于M，過(guò)E作EN⊥BD于N，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AM＝BM＝6cm，BN＝DN＝8cm，根據(jù)勾股定理得到的長(zhǎng)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠MBC＝∠BEN，推出∠CBE＝90°，根據(jù)勾股定理得出答案．
【解答】解：連接CE，過(guò)C作CM⊥AB于M，過(guò)E作EN⊥BD于N，
∴∠AMC＝∠BMC＝∠BNE＝∠DNE＝90°，
∵AC＝BC，BE＝DE，
∴AM＝BM＝AB＝×12＝6（cm），BN＝DN＝BD＝×16＝8（cm），
∴CM＝＝8（cm），
在Rt△BCM與Rt△EBN中，
，
∴Rt△BCM≌Rt△EBN（HL），
∴∠MBC＝∠BEN，
∵∠BEN+∠EBN＝90°，
∴∠MBC+∠EBN＝90°，
∴∠CBE＝90°，
∴CE＝＝10（cm），
故點(diǎn)C和點(diǎn)E之間的距離是10cm，
故選：D．
5．（2020 惠州一模）如圖，△ABC≌△EBD，∠E＝50°，∠D＝62°，則∠ABC的度數(shù)是（　　）
A．68° B．62° C．60° D．50°
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠EBD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答．
【解答】解：∵∠E＝50°，∠D＝62°，
∴∠EBD＝180°﹣50°﹣62°＝68°，
∵△ABC≌△EBD，
∴∠ABC＝∠EBD＝68°，
故選：A．
6．（2023 寶安區(qū)校級(jí)三模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝　 ．
【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出AB，再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得CD＝DE，然后根據(jù)△ABC的面積列式計(jì)算即可得解．
【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵AD平分∠CAB，
∴CD＝DE，
∴S△ABC＝AC CD+AB DE＝AC BC，
即×6 CD+×10 CD＝×6×8，
解得CD＝3．
故答案為：3．
7．（2022 蓬江區(qū)模擬）如圖，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，AD、CE交于點(diǎn)H，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：　 　，使△AEH≌△CEB．
【分析】開(kāi)放型題型，根據(jù)垂直關(guān)系，可以判斷△AEH與△CEB有兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，就只需要找它們的一對(duì)對(duì)應(yīng)邊相等就可以了．
【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，
∴∠BEC＝∠AEC＝90°，
在Rt△AEH中，∠EAH＝90°﹣∠AHE，
又∵∠EAH＝∠BAD，
∴∠BAD＝90°﹣∠AHE，
在Rt△AEH和Rt△CDH中，∠CHD＝∠AHE，
∴∠EAH＝∠DCH，
∴∠EAH＝90°﹣∠CHD＝∠BCE，
所以根據(jù)AAS添加AH＝CB或EH＝EB；
根據(jù)ASA添加AE＝CE．
可證△AEH≌△CEB．
故填空答案：AH＝CB或EH＝EB或AE＝CE．
8．（2023 荔灣區(qū)一模）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，連接AC．求證：△ABC≌△CDA．
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DAC＝∠BCA，利用AAS即可證明△ABC≌△CDA．
【解答】證明：∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（AAS）．
9．（2023 順德區(qū)校級(jí)一模）已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點(diǎn)D、E．求證：PD＝PE．
【分析】由“AAS”可證△PEO≌△PDO，可得PD＝PE．
【解答】證明：∵OC是∠AOB的平分線，
∴∠1＝∠2，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PEO＝∠PDO＝90°，
在△PEO和△PDO中，
，
∴△PEO≌△PDO（AAS），
∴PD＝PE．
10．（2023 荔灣區(qū)校級(jí)二模）已知：如圖，△ABC和△CDE都是等邊三角形，且點(diǎn)A、C、E在一條直線上，AD與BE相交于點(diǎn)P，AD與BC相交于點(diǎn)M，BE與CD相交于點(diǎn)N．
求證：（1）∠APB＝60°；
（2）CM＝CN．
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和題意，可以得到△ACD≌△BCE的條件，從而證明△ACD≌△BCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和可以求得∠APB的度數(shù)；
（3）證得△ACM≌△BCN，就可以證得結(jié)論．
【解答】證明：（1）∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD＝∠CBE．
又∵∠AMC＝∠BMP，
∴∠APB＝∠ACB＝60°；
（2）在△ACM和△BCN中
∴△ACM≌△BCN（ASA），
∴CM＝CN．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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