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排列組合應用題求解的先后原則
莆田第十中學數學組 鄭琴莊
排列組合應用題是中學數學的難點。在教學過程中雖然給予強調，歸納小結解題關鍵，但仍發現學生在解題時仍無從下手或經常發生“重復”或“遺漏”的錯誤。產生這些錯誤的原因在于沒有把握好排列組合應用題的解題關鍵。結合教學實踐，在此小結幾個排列組合應用題的先后原則，希望同學們在解題過程能夠遵循這些原則，做到觸類旁通，來避免上述錯誤。
先分類后求和，先分步后求積
掌握這一原則的關鍵在于分類計數原理與分步計數原理的內涵以及二者的聯系與區別，二者的聯系是求完成某件事的方法種數，區別在于分類與分步，分類用分類計數原理，分步用分步計數原理。用分類計數原理的關鍵在于恰當分類，分類做到“不重不漏”,應用分步計數原理關鍵在于分步，要正確設計分步程序。
例：在10名女生和12 名男生中，選2名性別相同的學生參加一個活動，有多少種不同的選法？
分析：要選2名性別相同的學生這件事有兩種情況：一是2名均為女生，二是2名均為男生，因此需要分類進行。
解：依題意分兩類：
第一類：選2名女生有種選法；第二類：選2名男生有種選法；所以由分類計數原理知：一共有
+ = 111種不同的選法。
說明：對題目中涉及到“至少”，“至多”等情況，也常采用分類進行。
二、先特殊后一般
這一原則常用解決有條件限制的排列問題。做法是把排列問題抽象成“元素”占位問題，先滿足特殊元素或位置，然后再排其他一般元素或位置。
例：7位同學排成一列，其中甲不站排頭和排尾，共有多少種排法？
分析：因為甲不站排頭和排尾，所以甲為特殊元素，排頭，排尾為特殊位置。
解法一（特殊元素法）：甲可排在第二，三，四，五，六個位置中的任一個有 種排法，其余元素做全排列有種，由分步計數原理共有
· = 3600種排法。
解法二（特殊位置法）：從除甲外的其余6個元素中任取2元素排在頭和尾有 種，其余元素做全排列有種，因此，共有排法 ·＝ 3600種。
補充說明：當題中特殊要求的因素較多時首先考慮最特殊，再考慮其他要求,要有層次。
又例如：
5男5女共10個同學排成一列，其中男生甲，乙之間必須排而且只排2名女生，女生又不能排在隊伍的兩端，有幾種排法？
答案： ·· ·＝57600種
（提示：先滿足甲，乙中間排女生，然后考慮兩端）
三、先一般后特殊
這一原則常用來解決不相鄰問題或順序固定問題，先考慮一般元素的全排列，后考慮特殊元素可插入的最多位置，即“插空法”。
例1． 7位同學排成一列，其中4位男生，3位女生，問女生互不相鄰有多少種排法？
分析：先讓4位男生排好，有種排法，再在4人之間及兩端的5個“空隙”中選三個位置讓3位女生插入，則有 種方法，這樣共有·種不同的排法。
解：先對4位男生全排列有種，再將3位女生在4人之間及兩端的5個空位中的三個，有種，所以女生互不相鄰的不同排法數：
·=　1440.
例2．書架上某層有6本書，新買了3本書插進去，要保持原來6本書順序不變，問有多少種不同插法？
分析：本例屬順序固定問題，可用“插空法”，即將書架上的預排的9本書看作9個位置，將新買的3本書放入這9個位置中的3個，其余6本書按原來順序依次插入。
解：將9本書看作9個位置，從這9個位置中選出3個位置讓新買的3本書放有種，然后將原來的6本書按原來順序依次放入其余6個位置，僅有1種放法，所以共有不同插法數： ＝504種。
注：1、該題可先考慮9本書的全排列有 種，再考慮到其中原來的6本書保持原有順序，原來的每一種排法都重復了 次，故共有÷ ＝　504種不同插法；
2、對順序固定排列問題，其一般結論：若n個元素參加排列，其中m個元素的順序是確定的，則排列種數為 ÷．
四、先整排后個別內排
這一原則用來解決相鄰問題，即先把相鄰元素“捆綁”看成一個元素，進行整體全排列，再考慮相鄰元素的內部排列，即“捆綁法”
例：七位同學排成一列，其中甲、乙、丙必須相鄰的排法有多少種？
分析：先把甲、乙、丙三人“捆綁”起來看作一個元素，與其余4人共5個元素做全排列，然后對甲、乙、丙三人進行排列。
解：先將甲、乙、丙看作一個元素與其作4個元素進行全排列，有種，“內部”相鄰的三人有種排法，所以共有不同排種數為：
· =　720種．
五、先組合后排列
這一原則常用于排列組合的綜合應用題，一般是先任取元素（組合），后排列順序（排列）。要求做到：排、組分清
例：現有12個同學，其中3個女同學，從中選出5個分別擔任不同的工作，問至少一個女同學當選有多少種不同的選法？
分析：依題意5人中至少一個女同學包括三種情形：僅一個女同學，僅二個女同學，或三個女同學，因此，可先分類選出，再進行全排列。
解：選出5人中至少一個女同學的選法有（·＋·＋·）種，再考慮讓5人分別擔任不同的5項工作，則有選法種數為：
（·＋·＋·）·＝?。罚梗梗玻?
說明：對于從幾類元素中取出符合題意的幾個元素，再安排到一定位置上，可采用先選取后排列的方法。
六、先任意排后剔除
以上5種原則中所舉例子都是用直接法求得結果，還有一種間接法，即求出不考慮條件限制的排列數或組合數，然后減掉不符合條件的排列。
例：用0、1、2、3、4、5能夠組成多少個無重復數字且不能被5整除的五位數？
分析：此題我們可考慮先求被5整除的無重復數字的五位數，然后用總的無重復數字的五位數去減即可。
解：由0、1、2、3、4、5組成無重復數字的五位數有· ＝６００個，其中能被5整除的有（＋ ·＋ ）個，因此，所求的五位數共有
·－（＋ ·＋ ）＝３８４(個)
綜上所述，如果我們注意從不同角度，不同途徑去思考，分析問題，結合運用以上的先后原則，一定能幫助我們提高解題能力。

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