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重難點突破13 多元函數最值問題
目錄
解決多元函數的最值問題不僅涉及到函數、導數、均值不等式等知識，還涉及到消元法、三角代換法、齊次式等解題技能．
題型一：消元法
例1．（2023·全國·高三專題練習）已知正實數x，y滿足，則的最大值為______.
【答案】/
【解析】由得，所以，則，
因為，，，所以，
令，則，所以在上單調遞增，
所以由，即，得，所以，
所以，
令，則，
令，得；令，得，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，即的最大值為．
故答案為：．
例2．（2023·廣東梅州·高三五華縣水寨中學校考階段練習）已知實數滿足：，則的最大值為___________.
【答案】
【解析】由已知得，，
令，則，
在上單調遞增，
又因為，
所以
，
，
令
所以，
則當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；
所以.
故答案為：.
例3．（2023·天津和平·高三天津一中校考階段練習）對任給實數,不等式恒成立,則實數的最大值為__________.
【答案】
【解析】因為對任給實數,不等式恒成立，
所以，
令，則，
，
當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減，
所以當時，取得最小值，，
所以實數的最大值為
故答案為：
題型二：判別式法
例4．（2023·重慶渝中·高一重慶巴蜀中學校考期中）若，，則當______時，取得最大值，該最大值為______.
【答案】 / /
【解析】令，則，
則，
即，
由，解得：，
故，
故，解得：，，
所以當且僅當，時，等號成立，
故答案為：，
例5．（2023·全國·高三競賽）在中，，則的最大值為_______________．
【答案】
【解析】令，則，即．
因為，
所以，
整理得，
，
化簡得，
于是，得，
所以的最大值為．
故答案為：.
例6．（2023·高一課時練習）設非零實數a，b滿足，若函數存在最大值M和最小值m，則_________.
【答案】2
【解析】化簡得到，根據和得到，解得答案.，則，則，
即，，故，
，即，即，
.
故答案為：2.
變式1．（2023·江蘇·高三專題練習）若正實數滿足，則的最大值為________．
【答案】
【解析】令，則，即，因此
，解得：，當時，
，因此的最大值為
故答案為：
變式2．（2023·全國·高三專題練習）設，，若，且的最大值是，則___________.
【答案】4
【解析】令=d，由消去a得：，即，
而，，則，，，
依題意，解得.
故答案為：4
題型三：基本不等式法
例7．設x、y、z是不全是0的實數.則三元函數的最大值是_____.
【答案】
【解析】引入正參數λ、μ.
因為，，所以，
，.
兩式相加得.
令，得，
故.
因此，的最大值為.
例8．（2023·天津和平·高三耀華中學校考階段練習）若實數滿足，則的最大值為________.
【答案】
【解析】由，得，
設，其中.
則，從而，
記，則，
不妨設，則,
當且僅當，即時取等號，即最大值為.
故答案為：.
例9．（2023·全國·高三專題練習）已知正數，則的最大值為_________．
【答案】
【解析】（當且僅當，時取等號），
的最大值為.
故答案為：.
題型四：輔助角公式法
例10．（2023·江蘇蘇州·高三統考開學考試）設角、均為銳角，則的范圍是______________．
【答案】
【解析】因為角、均為銳角，所以的范圍均為，
所以，
所以
因為，
所以，
，
當且僅當時取等，
令，，，
所以.
則的范圍是：.
故答案為：
例11．的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】
因為，
所以，
令，則，
則，
所以，（當且僅當即時取等）；
且，（當且僅當即時取等）．
故的取值范圍為．
題型五：柯西不等式法
例12．（2023·廣西欽州·高二統考期末）已知實數，，（i＝1，2…，n），且滿足，，則最大值為（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】根據柯西不等式，，故，又當時等號成立，故最大值為1
故選：A
例13．（2023·陜西渭南·高二校考階段練習）已知，，是正實數，且，則的最小值為______.
【答案】10
【解析】由柯西不等式可得，
所以，即，
當且僅當即也即時取得等號，
故答案為：
例14．（2023·江蘇淮安·高二校聯考期中）已知，，則的最小值為______.
【答案】9
【解析】∵
∴,當且僅當時等號成立，即，
∵
，當且僅當時等號成立，可取
故答案為：9
變式3．（2023·全國·高三競賽）已知、、，且，，則的最小值為.
A． B．
C．36 D．45
【答案】C
【解析】由，
.
知.
當時，取得最小值36.
故答案為C
變式4．（2023·全國·高三競賽）設為實數，且.則的最大值等于.
A． B．0 C． D．
【答案】D
【解析】由題意得，所以(利用柯西不等式）.
從而， .
故.
當且僅當，，，時，等號成立.
題型六：權方和不等式法
例15．（2023·甘肅·高三校聯考）已知x>0，y>0，且，則x+2y的最小值為____________ .
【答案】
【解析】設，
可解得，
從而
，
當且僅當時取等號.
故答案為：．
例16．已知實數滿足且，則的最小值是
【答案】
【解析】．
當時，取等號．
例17．已知，則的最小值是 ．
【答案】8
【解析】，
當時，即，兩個等號同時成立．
變式5．已知，則的最小值是 ．
【答案】
【解析】．
即當時，即，有的最小值為．
題型七：拉格朗日乘數法
例18．，，，求的最小值．
【解析】令
，，，
聯立解得，，，故最小為12．
例19．設為實數，若，則的最大值是 ．
【答案】
【解析】令，
由，解得，
所以的最大值是．
題型八：三角換元法
例20．（2023·山西晉中·高三祁縣中學校考階段練習）已知函數，若，則的最大值是________
【答案】
【解析】設g(x)=f(x)-3,所以g(x)=,
所以
所以g(-x)=-g(x),所以函數g(x)是奇函數，
由題得，
所以函數g（x）是減函數，
因為，
所以，
所以g=0,
所以g=g(1-,所以
不妨設，
所以=
=，所以的最大值為.
故答案為
例21．（2023·浙江溫州·高一校聯考競賽），則的最小值為______.
【答案】
【解析】根據條件等式可設，代入所求式子，利用二倍角公式和輔助角公式化簡，根據三角函數的性質可求出最值.，則，即，
設，則，
，其中是輔助角，且，
當時，原式取得最小值為.
故答案為：.
題型九：構造齊次式
例22．（2023·江蘇·高一專題練習）已知，，則的最大值是______.
【答案】
【解析】由題意，
，
設，則，當且僅當，即取等號，
又由在上單調遞增，
所以的最小值為，即，
所以，
所以的最大值是.
故答案為：.
例23．（2023·河南·高三信陽高中校聯考階段練習）已知實數，若，則的最小值為（ ）
A．12 B． C． D．8
【答案】A
【解析】由，，，
所以
，
當且僅當時，取等號，
所以的最小值為：12，
故選：A.
例24．（2023·天津南開·高三統考期中）已知正實數a，b，c滿足，則的最大值為____________．
【答案】/0.25
【解析】由，得，
∵正實數a，b，c
∴則
則，
當且僅當，且a，b>0，即a=3b時，等號成立
則
所以，的最大值為.
故答案為：.
題型十：數形結合法
例25．（2023·全國·高三專題練習）函數（a，）在區間[0，c]（）上的最大值為M，則當M取最小值2時，_____
【答案】2
【解析】解法一：因為函數是二次函數，
所以（a，）在區間[0，c]（）上的最大值是在[0，c]的端點取到或者在處取得．
若在取得，則；若在取得，則；
若在取得，則；
進一步，若，則頂點處的函數值不為2，應為0，符合題意；
若，則頂點處的函數值的絕對值大于2，不合題意；
由此推斷，即有，，
于是有．
解法二：設，，則．
首先作出在時的圖象，顯然經過（0，0）和的直線為，該曲線在[0，c]上單調遞增；
其次在圖象上找出一條和平行的切線，
不妨設切點為，于是求導得到數量關系．
結合點斜式知該切線方程為．
因此，即得．此時，
即，那么，．從而有．
例26．（2023·江蘇揚州·高三階段練習）已知函數，若且，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】當時，，
求導，令，得
當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；
作分段函數圖象如下所示：
設點的橫坐標為，過點作軸的垂線交函數于另一點，設點的橫坐標為，并過點作直線的平行線，設點到直線的距離為，，
由圖形可知，當直線與曲線相切時，取最大值，
令，得，切點坐標為，
此時，，
，
故選：D
例27．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，若且，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設點的橫坐標為，過點作軸的垂線交函數于另一點，設點的橫坐標為，并過點作直線的平行線，設點到直線的距離為，計算出直線的傾斜角為，可得出，于是當直線與曲線相切時，取最大值，從而取到最大值.當時，，
求導，令，得
當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；
如下圖所示：
設點的橫坐標為，過點作軸的垂線交函數于另一點，設點的橫坐標為，并過點作直線的平行線，設點到直線的距離為，，
由圖形可知，當直線與曲線相切時，取最大值，
令，得，切點坐標為，
此時，，，
故選：B.
變式6．（2023·江蘇·高三專題練習）已知函數若存在實數，滿足，且，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】的圖象如下
存在實數，滿足，且，即
∴，則
令，，則
∴在上單調遞增，故
故選：B
題型十一：向量法
例28．（2023·江蘇南通·高一海安高級中學校考階段練習）17世紀法國數學家費馬在給朋友的一封信中曾提出一個關于三角形的有趣問題：在三角形所在平面內，求一點，使它到三角形每個頂點的距離之和最小，現已證明：在中，若三個內角均小于，則當點P滿足時，點P到三角形三個頂點的距離之和最小，點P被人們稱為費馬點．根據以上知識，已知為平面內任意一個向量，和是平面內兩個互相垂直的向量，且，則的最小值是_____________．
【答案】
【解析】以 為x軸， 為y軸，建立直角坐標系如下圖，設 ，
則 ， ，
即為平面內一點 到 三點的距離之和，
由費馬點知：當點 與三頂點 構成的三角形ABC為費馬點時 最小，
將三角形ABC放在坐標系中如下圖：
現在先證明 的三個內角均小于 ：
， ，
，
為銳角三角形，滿足產生費馬點的條件，又因為 是等腰三角形，
點P必定在底邊BC的對稱軸上，即y軸上， ，
，即 ，
現在驗證：
，
， ，同理可證得 ，
即此時點 是費馬點，到三個頂點A，B，C的距離之和為 ，即的最小值為 ；
故答案為：.
例29．（2023·浙江嘉興·高一統考期末）已知平面向量，，滿足，，，，則的最小值為________.
【答案】
【解析】令，，，中點為，中點為，為的中點，
由，，，得，
則，即，所以，所以，即，，所以，因為，所以，即，所以，
所以點的軌跡為以為直徑的圓，
，
當且僅當、、共線且在線段之間時取等號．
的最小值為．
故答案為：．
例30．（2023·湖北武漢·高一湖北省武昌實驗中學校聯考期末）已知向量，滿足，，則的最大值為__________．
【答案】/
【解析】取平行四邊形，連接

設，則，
因為向量，滿足，所以，即，
設，，如圖以為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，

則
所以，則，故，
所以
因為，又，可設
即，所以，其中，所以，所以，
故的最大值為，即的最大值為.
故選：.
題型十二：琴生不等式法
例31．（2023·福建龍巖·高三校考階段練習）若函數的導函數存在導數，記的導數為．如果對，都有，則有如下性質：．其中，，，， .若，則在銳角中，根據上述性質推斷：的最大值為________.
【答案】/.
【解析】，則，.
在銳角中，，，，
則
∴ ，
∴ 的最大值為.
故答案為： .
例32．（2023·全國·高三競賽）半徑為的圓的內接三角形的面積的最大值是______．
【答案】
【解析】設的內接三角形為．
顯然當是銳角或直角三角形時，面積可以取最大值（因為若是鈍角三角形，可將鈍角（不妨設為）所對邊以圓心為對稱中心作中心對稱成為）．
因此，．
下面設，，，．
則．
由討論知可設、、，而在上是上凸函數．
則由琴生不等式知．
所以，．
當且僅當是正三角形時，上式等號成立．
故答案為
例33．（2023·北京·高三強基計劃）已知正實數a，b滿足，求的最小值．
【解析】設，則，
從而，故在下凸，
因此，即,
當且僅當時等號成立．所以的最小值為華．重難點突破13 多元函數最值問題
目錄
解決多元函數的最值問題不僅涉及到函數、導數、均值不等式等知識，還涉及到消元法、三角代換法、齊次式等解題技能．
題型一：消元法
例1．（2023·全國·高三專題練習）已知正實數x，y滿足，則的最大值為______.
例2．（2023·廣東梅州·高三五華縣水寨中學校考階段練習）已知實數滿足：，則的最大值為___________.
例3．（2023·天津和平·高三天津一中校考階段練習）對任給實數,不等式恒成立,則實數的最大值為__________.
題型二：判別式法
例4．（2023·重慶渝中·高一重慶巴蜀中學校考期中）若，，則當______時，取得最大值，該最大值為______.
例5．（2023·全國·高三競賽）在中，，則的最大值為_______________．
例6．（2023·高一課時練習）設非零實數a，b滿足，若函數存在最大值M和最小值m，則_________.
變式1．（2023·江蘇·高三專題練習）若正實數滿足，則的最大值為________．
變式2．（2023·全國·高三專題練習）設，，若，且的最大值是，則___________.
題型三：基本不等式法
例7．設x、y、z是不全是0的實數.則三元函數的最大值是_____.
例8．（2023·天津和平·高三耀華中學校考階段練習）若實數滿足，則的最大值為________.
例9．（2023·全國·高三專題練習）已知正數，則的最大值為_________．
題型四：輔助角公式法
例10．（2023·江蘇蘇州·高三統考開學考試）設角、均為銳角，則的范圍是______________．
例11．的取值范圍是 ．
題型五：柯西不等式法
例12．（2023·廣西欽州·高二統考期末）已知實數，，（i＝1，2…，n），且滿足，，則最大值為（ ）
A．1 B．2 C． D．
例13．（2023·陜西渭南·高二校考階段練習）已知，，是正實數，且，則的最小值為______.
例14．（2023·江蘇淮安·高二校聯考期中）已知，，則的最小值為______.
變式3．（2023·全國·高三競賽）已知、、，且，，則的最小值為.
A． B．
C．36 D．45
變式4．（2023·全國·高三競賽）設為實數，且.則的最大值等于.
A． B．0 C． D．
題型六：權方和不等式法
例15．（2023·甘肅·高三校聯考）已知x>0，y>0，且，則x+2y的最小值為____________ .
例16．已知實數滿足且，則的最小值是
例17．已知，則的最小值是 ．
變式5．已知，則的最小值是 ．
題型七：拉格朗日乘數法
例18．，，，求的最小值．
例19．設為實數，若，則的最大值是 ．
題型八：三角換元法
例20．（2023·山西晉中·高三祁縣中學校考階段練習）已知函數，若，則的最大值是________
例21．（2023·浙江溫州·高一校聯考競賽），則的最小值為______.
題型九：構造齊次式
例22．（2023·江蘇·高一專題練習）已知，，則的最大值是______.
例23．（2023·河南·高三信陽高中校聯考階段練習）已知實數，若，則的最小值為（ ）
A．12 B． C． D．8
例24．（2023·天津南開·高三統考期中）已知正實數a，b，c滿足，則的最大值為____________．
題型十：數形結合法
例25．（2023·全國·高三專題練習）函數（a，）在區間[0，c]（）上的最大值為M，則當M取最小值2時，_____
例26．（2023·江蘇揚州·高三階段練習）已知函數，若且，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
例27．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，若且，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
變式6．（2023·江蘇·高三專題練習）已知函數若存在實數，滿足，且，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
題型十一：向量法
例28．（2023·江蘇南通·高一海安高級中學校考階段練習）17世紀法國數學家費馬在給朋友的一封信中曾提出一個關于三角形的有趣問題：在三角形所在平面內，求一點，使它到三角形每個頂點的距離之和最小，現已證明：在中，若三個內角均小于，則當點P滿足時，點P到三角形三個頂點的距離之和最小，點P被人們稱為費馬點．根據以上知識，已知為平面內任意一個向量，和是平面內兩個互相垂直的向量，且，則的最小值是_____________．
例29．（2023·浙江嘉興·高一統考期末）已知平面向量，，滿足，，，，則的最小值為________.
例30．（2023·湖北武漢·高一湖北省武昌實驗中學校聯考期末）已知向量，滿足，，則的最大值為__________．
題型十二：琴生不等式法
例31．（2023·福建龍巖·高三校考階段練習）若函數的導函數存在導數，記的導數為．如果對，都有，則有如下性質：．其中，，，， .若，則在銳角中，根據上述性質推斷：的最大值為________.
例32．（2023·全國·高三競賽）半徑為的圓的內接三角形的面積的最大值是______．
例33．（2023·北京·高三強基計劃）已知正實數a，b滿足，求的最小值．

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