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重難點突破04 三次函數的圖象和性質
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1、基本性質
設三次函數為：(、、、且)，其基本性質有：
性質1：①定義域為．②值域為，函數在整個定義域上沒有最大值、最小值．③單調性和圖像：
圖像
性質2：三次方程的實根個數
由于三次函數在高考中出現頻率最高，且四次函數、分式函數等都可轉化為三次函數來解決，故以三次函數為例來研究根的情況，設三次函數
其導函數為二次函數:，
判別式為：△=，設的兩根為、，結合函數草圖易得：
(1) 若，則恰有一個實根；
(2) 若,且，則恰有一個實根；
(3) 若,且，則有兩個不相等的實根；
(4) 若,且，則有三個不相等的實根.
說明:(1)(2)含有一個實根的充要條件是曲線與軸只相交一次，即在R上為單調函數（或兩極值同號），所以（或，且）;
(5)有兩個相異實根的充要條件是曲線與軸有兩個公共點且其中之一為切點，所以，且;
(6)有三個不相等的實根的充要條件是曲線與軸有三個公共點，即有一個極大值，一個極小值，且兩極值異號.所以且.
性質3：對稱性
（1）三次函數是中心對稱曲線，且對稱中心是；；
（2）奇函數的導數是偶函數，偶函數的導數是奇函數，周期函數的導數還是周期函數．
2、常用技巧
（1）其導函數為 對稱軸為，所以對稱中心的橫坐標也就是導函數的對稱軸，可見，圖象的對稱中心在導函數的對稱軸上，且又是兩個極值點的中點，同時也是二階導為零的點；
（2）是可導函數，若的圖象關于點對稱，則圖象關于直線
對稱.
（3）若圖象關于直線對稱，則圖象關于點對稱.
（4）已知三次函數的對稱中心橫坐標為，若存在兩個極值點，，則有.
題型一：三次函數的零點問題
例1．（2023·全國·高三專題練習）函數存在3個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，則，
若要存在3個零點，則要存在極大值和極小值，則，
令，解得或，
且當時，，
當，，
故的極大值為，極小值為，
若要存在3個零點，則，即，解得，
故選：B.
例2．（2023·江蘇揚州·高三校考階段練習）設為實數，函數．
（1）求的極值；
（2）是否存在實數，使得方程恰好有兩個實數根 若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由．
【解析】（1），令，得或．
∵當時，；當時，；當時，．
所以在上遞減，在上遞增，在上遞減，
的極小值為，極大值為．
（2）由（1）知，在上遞減，在上遞增，在上遞減，
而，即函數的極大值大于極小值．
∴當極大值等于0時，極小值小于0，此時曲線與軸恰好有兩個交點，即方程恰好有兩個實數根，如圖1所示．，即．

當極小值等于0時，極大值大于0，此時曲線與軸恰有兩個交點，即方程恰好有兩個實數根，如圖2所示．，即．
綜上所述，當或時，方程恰好有兩個實數根．
例3．（2023·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學校考階段練習）已知函數，且在和處取得極值.
(1)求函數的解析式；
(2)設函數，若有且僅有一個零點，求實數的取值范圍.
【解析】（1），
因為在和處取得極值，
所以和是方程＝0的兩個根，
則，解得，經檢驗符合已知條件，
所以；
（2）由題意知，
當或時，，當時，，
所以函數在上遞減，在上遞增，
所以，
又取足夠大的正數時，，取足夠小的負數時，，
因此，為使曲線與軸有一個交點，結合的單調性，
得：或，
∴或，
即當或時，使得曲線與軸有一個交點.
變式1．（2023·天津河西·高三天津實驗中學校考階段練習）已知，.
（1）當，求的極值；
（2）當，，設，求不等式的解集；
（3）當時，若函數恰有兩個零點，求的值.
【解析】（1），∴，，.
0
+ 0 - 0 +
-4
∴在時，取極大值.
在時，取極小值-4.
（2），即，
設，，單調增函數，且，
∴不等式的解集為.
（3），，
. ，單調遞增，單調遞減，單調遞增，
而，所以至多一個零點，（舍去）.
. ，單調增，所以至多一個零點，（舍去）.
. ，單調遞增，單調遞減，單調遞增，
而，，∴在上有一個零點，
所以在上有一個零點，根據在單調遞增，單調遞減.
∴.
變式2．（2023·河北保定·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數.
（1）求函數的圖象在點處的切線方程；
（2）若在上有解，求的取值范圍；
（3）設是函數的導函數，是函數的導函數，若函數的零點為，則點恰好就是該函數的對稱中心.試求的值.
【解析】（1）因為
所以所求切線的斜率
又因為切點為
所以所求的切線方程為
（2）因為，所以
因為在上有解，
所以不小于在區(qū)間上的最小值.
因為時，，
所以的取值范圍是.
（3）因為，所以.
令可得，
所以函數的對稱中心為，
即如果，則，
所以.
變式3．（2023·山西太原·高三太原市外國語學校校考階段練習）已知三次函數過點，且函數在點處的切線恰好是直線.
(1)求函數的解析式；
(2)設函數，若函數在區(qū)間上有兩個零點，求實數的取值范圍.
【解析】（1），
由題意可知：；
（2）令，
設，
當時，單調遞增，當時，單調遞減，
所以，
因為函數在區(qū)間上有兩個零點，
所以直線與函數的圖象有兩個交點，
故有，即實數的取值范圍為.
變式4．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，．
(1)若函數在上單調遞增，求的最小值；
(2)若函數的圖象與軸有且只有一個交點，求的取值范圍．
【解析】（1），，
因函數在上單調遞增，
所以在恒成立，即，
的最小值為．
（2），
，．
①若，則，在上恒成立，
在上單調遞增．，，
當時，函數的圖象與軸有且只有一個交點．
②若，則，
有兩個不相等的實數根，不妨設為，，．
，．
當變化時，，的取值情況如下表：
0 0
增 極大值 減 極小值 增
， ，
，
同理，
．
因為有且只有一個零點，故，解得．
故當時，函數的圖象與軸有且只有一個交點．
綜上所述，的取值范圍是．
題型二：三次函數的最值、極值問題
例4．（2023·云南·高三統(tǒng)考期末）已知函數，.
（1）若函數在上存在單調遞增區(qū)間，求實數的取值范圍；
（2）設.若，在上的最小值為，求的零點.
【解析】（1）∵在上存在單調遞增區(qū)間，∴在上有解，
又是對稱軸為的二次函數，所以在上的最大值大于0，
而的最大值為，∴，
解得：.
（2），
∴，
由得：，，
則在，上單調遞減，在上單調遞增，
又∵當時，，，
∴在上的最大值點為，最小值為或，
而，
當，即時，，得，
此時，的零點為；
當，即時，，得（舍）.
綜上的零點為.
例5．（2023·高三課時練習）已知函數，.
（1）若函數在上存在單調遞增區(qū)間，求實數的取值范圍；
（2）設.若，在上的最小值為，求在上取得最大值時，對應的值.
【解析】（1）∵在上存在單調遞增區(qū)間，
∴在上有解，
即在上成立，
而的最大值為，
∴，
解得：.
（2），
∴，
由得：，，
則在，上單調遞減，在上單調遞增，
又∵當時，，，
∴在上的最大值點為，最小值為或，
而，
當，即時，，得，
此時，最大值點；
當，即時，，得（舍）.
綜上在上的最大值點為.
例6．（2023·江蘇常州·高三常州市北郊高級中學校考期中）已知函數f(x)=，其中a>0.
(1)當a=1時，求f(x)的單調增區(qū)間；
(2)若曲線y=f(x)在點處的切線與y軸的交點為（0，b），求b+的最小值.
【解析】(1)當a=1時，，
令，得或，
故的增區(qū)間為，.
(2)，則，而，
故曲線在的切線方程為：
，
它與軸的交點為，故，
故，其中，
設，則，
當時，；時，，
故在上為減函數，在上為增函數，
故即的最小值為.
變式5．（2023·廣東珠海·高三校聯考期中）已知函數（a，），其圖象在點處的切線方程為．
(1)求a，b的值；
(2)求函數的單調區(qū)間和極值；
(3)求函數在區(qū)間上的最大值．
【解析】（1），，，
又圖象在點處的切線方程為，
所以，解得；
（2）由（1）得，，
或時，，時，，
所以的增區(qū)間是和，減區(qū)間是，
極大值是，極小值是；
（3）由（2）知在和上遞增，在上單調遞減，
又，，
所以在上的最大值是，最小值是．
變式6．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，，且．
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)求函數在區(qū)間上的最大值．
【解析】（1）由得，
，解得
，
曲線在點處的切線方程為，
即；
（2）由（1），令得或，令得，
函數在上單調遞減，在上單調遞增，
又，
函數在區(qū)間上的最大值為
變式7．（2023·全國·高三專題練習）已知函數在上是增函數，在上是減函數，且的一個根為
（1）求的值；
（2）求證：還有不同于的實根、，且、、成等差數列；
（3）若函數的極大值小于，求的取值范圍
【解析】（1），
由題意，可知是極大值點，故.
（2）令，得或,
由的單調性知，
是方程的一個根，
則，
，
方程的根的判別式，
，
又，（）
即不是方程的根
有不同于的根、，
， 、、成等差數列.
（3）根據函數的單調性可知是極大值點,
，于是,
令，
求導，
時，，
在上單調遞減，
，
即.
變式8．（2023·浙江寧波·高三效實中學校考期中）已知函數(其中).
（1）求函數的單調區(qū)間；
（2）若有兩個不同的極值點，，求的取值范圍.
【解析】（1）,
①當即時，，在上單調遞增；
②當時，，，
在，上單調遞增，在上單調遞減.
(2)，為()的兩根，
，
設()
，
當時，
在上單調遞減
，即.
題型三：三次函數的單調性問題
例7．（2023·陜西商洛·高三校考階段練習）已知三次函數在R上是增函數，則m的取值范圍是(　　)
A．m<2或m>4 B．－4【答案】D
【解析】，由題意得恒成立，，，故選D.
例8．（2023·全國·高三專題練習）三次函數在上是減函數，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】對函數求導，得
因為函數在上是減函數，則在上恒成立，
即恒成立，
當，即時，恒成立；
當，即時，，則，即，
因為，所以，即；
又因為當時，不是三次函數，不滿足題意，
所以.
故選：A．
例9．（2023·江西宜春·高三校考階段練習）已知函數，，m是實數.
（1）若在區(qū)間(2,+∞)為增函數，求m的取值范圍；
（2）在（1）的條件下,函數有三個零點，求m的取值范圍.
【解析】(1)，因為在區(qū)間為增函數,
所以在區(qū)間恒成立,
所以,即恒成立,由,得.
所以的取值范圍是.
(2)，
所以,令,解得或,
時, ,在上是增函數,不合題意,
時,令,解得或,令,解得,
所以在遞增,在遞減,
所以極大值為,極小值為,
要使有3個零點,需，解得.
所以的取值范圍是.
變式9．（2023·陜西榆林·高三綏德中學校考階段練習）已知三次函數在處取得極值，且在點處的切線與直線平行.
（1）求的解析式；
（2）若函數在區(qū)間(1，2)上單調遞增，求的取值范圍.
【解析】（1），由題意，解得，
所以；
（2）由（1），，
在是遞增，則在上恒成立，
，時，，所以．
變式10．（2023·全國·高三專題練習）已知函數在上單調遞增，則的取值范圍為______．
【答案】
【解析】①當對任意的恒成立時，則，
則，對任意的恒成立，
則，此時；
②當對任意的恒成立時，則，
則，對任意的恒成立，
則，此時不存在；
③當時，，則，
當時，恒成立，則；
當時，恒成立，則，可得，解得，
此時.
綜上所述，實數的的取值范圍為.
故答案為：.
題型四：三次函數的切線問題
例10．（2023·全國·高三專題練習）已知函數．
(1)求曲線在點，處的切線方程；
(2)設常數，如果過點可作曲線的三條切線，求的取值范圍．
【解析】（1）函數，．
切線方程為，即．
（2）由已知關于的方程，即有三個不等實根．
令，則．
可知在遞減，在遞增，在遞減，
的極小值為：，極大值為．
所以.
例11．（2023·江西·高三校聯考階段練習）已知函數.
（1）求曲線在點處的切線方程；
（2）設，若過點可作曲線的三條切線，證明:.
【解析】（1）則在點處的切線方程為
整理得
（2）
構造函數，
即過點可做曲線的三條切線等價于函數有三個不同的零點.
，故函數在上單調遞減，上單調遞增，上單調遞減，
所以，即可得
例12．（2023·江蘇·高三專題練習）已知函數，滿足，已知點是曲線上任意一點，曲線在處的切線為.
(1)求切線的傾斜角的取值范圍；
(2)若過點可作曲線的三條切線，求實數的取值范圍.
【解析】（1）因為，則，
解得，所以，
則，故，，
，，，切線的傾斜角的的取值范圍是，，.
（2）設曲線與過點，的切線相切于點，
則切線的斜率為，所以切線方程為
因為點，在切線上，
所以 ，即，
由題意，該方程有三解
設，則，令，解得或，
當或時，，當時，，
所以在和上單調遞減，在上單調遞增，
故的極小值為，極大值為，
所以實數的取值范圍是.
變式11．（2023·安徽·高三校聯考期末）已知函數在 處取得極值．
（1）求m的值；
（2）若過可作曲線的三條切線，求t的取值范圍．
【解析】（1）因為，所以，
因為在處取得極值，所以．
經驗證符合題意；
（2）設切點坐標為，
由，得，
所以方程為，
將代入切線方程，得．
令，則，
則，解得．
當或時，，
所以在，上單調遞增；
當時，，
所以在上單調遞減．
所以的極大值為，的極小值為．
因為有三條切線，所以方程有三個不同的解，
與的圖象有三個不同的交點，
所以．
變式12．（2023·陜西西安·高三校考階段練習）已知函數在點處的切線方程為．
（1）求實數，的值；
（2）若過點可作曲線的三條切線，求實數的取值范圍．
【解析】（1），
由在點處的切線方程為，
得，，故，故，
（2）由（1）得，
過點向曲線做切線，設切點為，
則切線方程為．
因為切線過，故，
整理得到：，
∵過點可做曲線的三條切線，
故方程有3個不同的解.
記，．
∴當時，有極大值，當時，有極小值．
故當，即時，函數有3個不同零點．
∴實數的取值范圍是．
變式13．（2023·全國·高三專題練習）設函數在處取得極值．
(1)設點，求證：過點的切線有且只有一條，并求出該切線方程；
(2)若過點可作曲線的三條切線，求的取值范圍；
(3)設曲線在點、處的切線都過點，證明：．
【解析】（1）證明：由，得：，
由題意可得，所以，．
此時，，
當時，，此時函數單調遞增，
當時，，此時函數單調遞減，
所以，函數在處取得極大值．
設切點為，則切線方程為，
即，
即為，
將點的坐標代入方程可得，
即，所以，即點為切點，且切點是唯一的，故切線有且只有一條．
所以切線方程為.
（2）因為切線方程為，
把點的坐標代入切線方程可得，
因為有三條切線，故方程得有三個不同的實根．
設，
，令，可得和．
當時，，為增函數，
當時，，為減函數，
當時，，為增函數，
所以，函數在處取得極大值，且，
函數在處取得極小值，且，
因為方程有三個根，則，解得，
因為，，
由零點存在定理可知，函數有三個零點，
綜上所述，．
（3）證明：假設，則，則，
因為，所以．
由（2）可得，兩式相減可得．
因為，故．
把代入上式可得，，
所以，，所以．
又由，這與矛盾．
所以假設不成立，即證得．
題型五：三次函數的對稱問題
例13．（2023·全國·高三專題練習）給出定義：設是函數的導函數，是函數的導函數.若方程有實數解，則稱為函數的“拐點”.經研究發(fā)現所有的三次函數都有“拐點”，且該“拐點”也是函數的圖象的對稱中心.若函數，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，可得，
令，可得，又，
所以的圖像的對稱中心為，
即，
所以
，
故選：B.
例14．（2023·全國·高三專題練習）已知函數的圖象上存在一定點滿足：若過點的直線與曲線交于不同于的兩點，就恒有的定值為，則的值為______.
【答案】2
【解析】因為為定點，為定值，所以兩點關于點對稱，
由可得，
設，
令，解得，
所以根據三次函數的對稱中心的二階導數為0可得是三次函數的對稱中心，
所以，即.
故答案為：2
例15．（2023·新疆·統(tǒng)考二模）對于三次函數，給出定義：設是的導數，是的導數，若方程有實數解，則稱點為曲線的“拐點”，可以發(fā)現，任何一個三次函數都有“拐點”.設函數，則_____________.
【答案】－3033
【解析】因為，
所以，
設，則，
令，可得，
又，
所以，即，
所以，
所以.
故答案為：.
變式14．（多選題）（2023·江蘇南京·高三南京市江寧高級中學校聯考期末）對于三次函數，給出定義：是函數的導數，是函數的導數，若方程有實數解，則稱為函數的“拐點”.某同學經探究發(fā)現：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.若函數，則下列說法正確的是（ ）
A．的極大值為
B．有且僅有2個零點
C．點是的對稱中心
D．
【答案】ACD
【解析】由函數，可得，
令，解得或；令，解得，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，在單調遞增，
當時，取得極大值，極大值為，所以A正確；
又由極小值，且當時，，
當時，，所以函數有3個零點，所以B錯誤；
由，可得，令，可得，
又由，所以點是函數的對稱中心，
所以C正確；
因為是函數的對稱中心，所以，
令，
可得，
所以，
所以，即，
所以D正確.
故選：ACD.
變式15．（多選題）（2023·廣東佛山·高三南海中學校考期中）定義：設是的導函數，是函數的導數.若方程有實數解，則稱點為函數的“拐點”.經過探究發(fā)現：任何一個三次函數都有“拐點”且“拐點”就是三次函數圖像的對稱中心，已知函數的對稱中心為，則下列說法中正確的有（ ）
A．，
B．函數有三個零點
C．過可以作兩條直線與圖像相切
D．若函數在區(qū)間上有最大值，則
【答案】ACD
【解析】對于A中，由，可得，則，
因為點是對稱中心，結合題設中“拐點”的定義可知，
且，解得，所以A正確；
對于B中，由，可知，則，
令，可得或，
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增；
又，則函數圖象如圖所示，
由圖象可知，函數只有一個零點，所以B錯誤；
對于C中，因為，所以點恰好在的圖象上，
畫出函數的切線，如圖所示，
由圖象可知過點可作函數的兩條切線，所以C正確；

對于D中，若在區(qū)間上有最大值，由上圖可知，最大值只能是，
所以且，解得，所以D正確.
故選：ACD.
變式16．（多選題）（2023·安徽阜陽·高三安徽省太和中學校考競賽）定義：設是的導函數，是函數的導數，若方程有實數解，則稱點為函數的“拐點”.經過探究發(fā)現：任何一個三次函數都有“拐點”且“拐點”就是三次函數圖像的對稱中心.已知函數的對稱中心為，則下列說法中正確的有（ ）
A．，
B．的值是199.
C．函數有三個零點
D．過可以作三條直線與圖像相切
【答案】AB
【解析】因為，所以，
從而，由題意，即，解得，故A正確；
因為函數的對稱中心為，
所以有，
設，
所以有，
得，，所以
即的值是199.故B正確；
因為，所以，
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增，
所以在與處取得極大值與極小值，
又，，即的極大值與極小值大于0，
所以函數不會有3個零點，故C錯誤；
設切點為，則切線方程為，
又切線過，則，
化簡得，即，解得或，
即滿足題意的切點只有兩個，所以滿足題意只有兩條切線，故D錯誤.
故選：AB.
題型六：三次函數的綜合問題
例16．（2023·全國·高三專題練習）已知函數在上是增函數，在上是減函數，且方程有3個實數根，它們分別是，，2，則的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．1 D．8
【答案】A
【解析】由得，因為在上是增函數，在上是減函數，所以，所以，此時的另外一個根，所以，因為方程有3個實數根，它們分別是，，2，所以，所以
且，
所以則
所以，因為，所以，所以的最小值是5.
故選：A．
例17．（2023·陜西西安·高三西安中學校考期中）已知函數，，給出下列四個結論，分別是：①；②在上單調；③有唯一零點；④存在，使得．其中有且只有一個是錯誤的，則錯誤的一定不可能是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【解析】，
假設①錯誤，則，因此二次函數是開口向下的拋物線，
因此④一定正確，當時，即時，②成立，當時，
，當時，，所以③有唯一零點正確；
假設②錯誤，則在上不單調，所以有，即，兩根為：
，顯然④正確，要想①正確，二次函數
是開口向上的拋物線，所以函數從左到右先增后減再增，
要想③正確，只需或，比如當時可以使①③正確；
假設③錯誤，則在上單調，且，因此，所以④也錯誤；
假設④錯誤，則，因此②在上單調遞增，顯然此時有，
當時，，當時，，
所以③有唯一零點正確，
故選：C
例18．（2023·全國·高三專題練習）已知，，且，現給出如下結論：
①；②；③；
④；⑤．
其中正確結論的序號是__．
【答案】③④⑤
【解析】求導函數可得，
當時，；當，或時，，
所以的單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為，
所以的極大值為，
的極小值為，函數沒有最值，
要使有三個解、、，那么結合函數草圖可知：，
所以，且，所以，
，，，故①②錯誤；③④⑤正確.
故答案為：③④⑤．
變式17．（2023·黑龍江大慶·高三大慶實驗中學校考期末）已知，現給出如下結論：
①； ②； ③； ④.
其中正確結論的序號為（ ）
A．②③ B．①④ C．②④ D．①③
【答案】A
【解析】分析：先求出f′（x），再進行因式分解，求出f′（x）＜0和f′（x）＞0對應x的范圍，即求出函數的單調區(qū)間和極值，再由條件判斷出a、b、c的具體范圍和f（1）＞0且f（2）＜0，進行求解得到abc的符號，進行判斷出f（0）的符號．
由題意得，f′（x）=3x2﹣9x+6=3（x﹣1）（x﹣2），
∴當x＜1或x＞2時，f′（x）＞0，當1＜x＜2時，f′（x）＜0，
∴函數f（x）的增區(qū)間是（﹣∞，1），（2，+∞），減區(qū)間是（1，2），
∴函數的極大值是f（1）=，函數的極小值是f（2）=2﹣abc，
∵a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，
∴a＜1＜b＜2＜c，f（1）＞0且f（2）＜0，解得2＜，
∴f（0）=﹣abc＜0，
則f（0）f（1）＜0、f（0）f（2）＞0，
故答案為：A．
變式18．（2023·湖北·高三校聯考階段練習）函數的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數為奇函數，有同學發(fā)現可以將其推廣為：函數的圖象關于點成中心對稱圖形的充要條件是函數為奇函數.已知函數.
(1)若函數的對稱中心為，求函數的解析式.
(2)由代數基本定理可以得到：任何一元次復系數多項式在復數集中可以分解為n個一次因式的乘積.進而，一元n次多項式方程有n個復數根（重根按重數計）.如設實系數一元二次方程，在復數集內的根為，，則方程可變形為，展開得：則有，即，
類比上述推理方法可得實系數一元三次方程根與系數的關系，
①若，方程在復數集內的根為、、，當時，求的最大值；
②若，函數的零點分別為、、，求的值.
【解析】（1）為奇函數，則恒成立.
即，
整理得：恒成立，故，解得，
故.
（2）①若，則，由題有的三個實根為，，.
設，
展開得，
故，
則，
又，故，
綜上：當時，的最大值為0；
②時，，由有，
同時除以得，令，，，
由題知是方程的三個根，
則，展開得，
則.
變式19．（2023·全國·高三專題練習）已知函數在上為增函數，在上為減函數，且方程的三個根分別為．
（1）求實數的取值范圍；
（2）求的取值范圍．
【解析】（1）求導函數得，
由題設兩根為，則，所以.
（2）由（1）和條件得 ,，則，
所以
所以是方程的兩根，
所以，解得，又，
所以
所以.
所以的范圍是.
變式20．（2023·貴州貴陽·高三貴陽一中校考階段練習）給出定義：設是函數的導函數，是函數的導函數，若方程有實數解，則稱為函數的.“固點”.經研究發(fā)現所有的三次函數都有“固點”，且該“固點”也是函數的圖象的對稱中心.根據以上信息和相關知識回答下列問題：已知函數.
(1)當時，試求的對稱中心.
(2)討論的單調性；
(3)當時，有三個不相等的實數根，當取得最大值時，求的值.
【解析】（1），，，
令，，，
故的對稱中心為.
（2），
令，則，，
當時，，恒成立，所以函數在上單調遞增；
當時，，在，上，，函數在，上單調遞增，在上，，所以函數在上單調遞減；
當時，，在，上，，函數在，上單調遞增，在上，，函數在上單調遞減.
綜上所述：
當時，在上單調遞增；
當時，在，上單調遞增，在上單調遞減；
當時，在，上單調遞增，在上單調遞減.
（3），，
令，，，所以對稱中心為，
當和時，，函數單調遞增；
當時，，函數單調遞減；
；
，
要使得有三個解，故，，
且，，是方程的根，
由于對稱性，為了簡化研究，只研究的情況，
，
根據常數項知：，根據對稱性知：，
，且，
故，即，
.
當時，取得最大值，此時.
題型七：三次函數恒成立問題
例19．（2023·全國·高三專題練習）已知三次函數的導函數且，．
（1）求的極值；
（2）求證：對任意，都有．
【解析】（I）由題意，令且 所以由的單調性可知的極小值為極大值為
（II）且從而問題轉化為在
上恒成立.
試題解析：
（I）依題意得，
知在和上是減函數，在上是增函數
∴，
（II）法1：易得時，，
依題意知，只要
由知，只要
令，則
注意到，當時，；當時，，
即在上是減函數，在是增函數，
即，綜上知對任意，都有
法2：易得時，，
由知, ,令
則
注意到，當時，；當時，，
即在上是減函數，在是增函數，，所以,
即.
綜上知對任意，都有.
法3: 易得時，，
由知, ,令,則
令,則,知在遞增,注意到,所以, 在上是減函數，在是增函數,有,即
綜上知對任意，都有.
例20．（2023·全國·高三專題練習）設為實數，函數，.
(1)求的極值；
(2)對于，，都有，試求實數的取值范圍.
【解析】(1)函數的定義域為，，
令，可得或，列表如下：
增 極大值 減 極小值 增
故函數的極大值為，極小值為.
(2)對于，，都有，則.
由（1）可知，函數在上單調遞減，在上單調遞增，
故當時，，
因為，且，則且不恒為零，
故函數在上單調遞增，故，
由題意可得，故.
例21．（2023·四川瀘州·高三瀘州老窖天府中學校考階段練習）已知三次函數．
（1）若函數在點處的切線方程是，求函數的解析式；
（2）在（1）的條件下，若對于區(qū)間上任意兩個自變量的值，，都有，求出實數的取值范圍．
【解析】（1）由題意，函數，可得，
因為函數在點處的切線方程是，
可得，解得，，所以．
（2）由（1）知，令，即，解得，
當時，；當時，；當
時，；
所以在和上分別單調遞增，在上單調遞減，
而，，，，
所以在區(qū)間上，，
所以對于區(qū)間上任意兩個自變量，，
都有，所以，
即實數的取值范圍是．
變式21．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，為函數的導函數
(1)若為函數的極值點，求實數的值；
(2)的單調增區(qū)間內有且只有兩個整數時，求實數的取值范圍；
(3)對任意時，任意實數，都有恒成立，求實數的最大值.
【解析】（1）因為，
所以，
因為為函數的極值點，
所以，解得或；
當時，，則，
所以，當時，函數單調遞增，當或時，函數單調遞減，故函數在處取得極小值，符合題意；
當時，，則，
所以，當時，函數單調遞增，當或時，函數單調遞減，故函數在處取得極小值，符合題意；
綜上，或．
（2） ，
因為，的單調增區(qū)間內有且只有兩個整數，
所以，有且只有兩個整數滿足不等式，即有且只有兩個整數滿足不等式，
顯然，
當時，解得，即不等式的解集為，
所以，解得；
當時，解得，即不等式的解集為，
所以，解得；
綜上可得
（3）因為，
令，則，
令，則或，
因為，所以，，
所以當，和，時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，
所以函數的極小值為，
又，
令，在上成立，
所以，當時，函數單調遞增，故，
所以，
即當，時，，
又
其對應函數圖像的對稱軸為，
所以時，，
所以，故有，
所以，，，
因為，，
所以，
所以，即實數的最大值為.
變式22．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，．
(1)對任意，使得是函數在區(qū)間上的最大值，試求最大的實數．
(2)若，對于區(qū)間的任意兩個不相等的實數、，且，都有成立，求的取值范圍．
【解析】（1）是函數在區(qū)間上的最大值，區(qū)間恒成立，
即在區(qū)間上恒成立，
又，所以只需在區(qū)間上恒成立，
，函數的對稱軸為
只需對一切恒成立，
記，關于a的單調遞減的一次函數，
只需，解得，
最大的實數為2．
（2）當，，求導
函數在區(qū)間上是減函數，
，成立，
成立，
即，，
構造函數和在區(qū)間上是減函數．
所以，即在區(qū)間上恒成立，
利用二次函數的性質知的最大值為
，即；
同理，即在區(qū)間上恒成立，
利用二次函數的性質知的最大值為
，即；
，不存在．
變式23．（2023·遼寧沈陽·高三東北育才學校校考期中）已知函數，是上的奇函數，當時，取得極值．
(1)求函數的單調區(qū)間和極大值；
(2)若對任意，都有成立，求實數的取值范圍；
(3)若對任意，，都有成立，求實數的取值范圍．
【解析】（1）是上的奇函數，
，即，得恒成立，
可得，即，
又當時，取得極值，，
解得，故函數，導函數，
令解得，當或時，，
當時，，
單調增區(qū)間為和，單調減區(qū)間為，
故當時，取到極大值
（2），對任意，都有成立，只需在時恒成立，
構造函數，，則有，
令可得或，當時，，單調遞減
當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，
當時，取到極大值，又，故的最大值為8，
故實數的取值范圍為：；
（3）若對任意，，都有成立，
即在區(qū)間上的最大值都小于或等于的最小值，
由（1）可知：當時，單調遞減，當時，單調遞增，
故當時，函數取到極小值，也是該區(qū)間的最小值，
而為開口向上的拋物線，對稱軸為，故當時取最大值，
由，解得
故實數的取值范圍為：
變式24．（2023·江蘇南通·高三江蘇省如東高級中學校考期中）已知函數，其中，.
（1）當時，討論函數的單調性；
（2）當，且時，
（i）若有兩個極值點，，求證：；
（ii）若對任意的，都有成立，求正實數的最大值.
【解析】（1），
.
令，得，.
①當，即時，，
在上遞增；
②當，即時，
在，上遞增，在遞減；
③當，即時，在，上遞增，在上遞減.
（2）（i）證明：，.
由已知，是方程，即的兩實根，
故，又，所以.
由韋達定理得：，，
因為，
所以，.
.
設，
則
所以遞增，
故，即.
（ii）當時，不等式恒成立；
當時，不等式化為.
設，
因為，
所以在上單調遞減.
因為，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
故.
又，所以，
此時.
變式25．（2023·全國·高三專題練習）已知函數在處取得極值，．
（1）求的值與的單調區(qū)間；
（2）設，已知函數，若對于任意、，，都有，求實數的取值范圍．
【解析】（1）由題意得的定義域為，，
函數在處取得極值，
（2），解得，
則由得或，
、、的關系如下表：
2
0 0
遞增 極大值 遞減 極小值 遞增
函數的單調遞增區(qū)間為、，單調遞減區(qū)間為；
（2）由（1）得函數，
當時，對任意、，，都有，
即當，，時，，
在，上單調遞減，，，，
在，上單調遞減，
則，，
則，
即，解得或，結合，得，
故實數的取值范圍為．重難點突破04 三次函數的圖象和性質
目錄
1、基本性質
設三次函數為：(、、、且)，其基本性質有：
性質1：①定義域為．②值域為，函數在整個定義域上沒有最大值、最小值．③單調性和圖像：
圖像
性質2：三次方程的實根個數
由于三次函數在高考中出現頻率最高，且四次函數、分式函數等都可轉化為三次函數來解決，故以三次函數為例來研究根的情況，設三次函數
其導函數為二次函數:，
判別式為：△=，設的兩根為、，結合函數草圖易得：
(1) 若，則恰有一個實根；
(2) 若,且，則恰有一個實根；
(3) 若,且，則有兩個不相等的實根；
(4) 若,且，則有三個不相等的實根.
說明:(1)(2)含有一個實根的充要條件是曲線與軸只相交一次，即在R上為單調函數（或兩極值同號），所以（或，且）;
(5)有兩個相異實根的充要條件是曲線與軸有兩個公共點且其中之一為切點，所以，且;
(6)有三個不相等的實根的充要條件是曲線與軸有三個公共點，即有一個極大值，一個極小值，且兩極值異號.所以且.
性質3：對稱性
（1）三次函數是中心對稱曲線，且對稱中心是；；
（2）奇函數的導數是偶函數，偶函數的導數是奇函數，周期函數的導數還是周期函數．
2、常用技巧
（1）其導函數為 對稱軸為，所以對稱中心的橫坐標也就是導函數的對稱軸，可見，圖象的對稱中心在導函數的對稱軸上，且又是兩個極值點的中點，同時也是二階導為零的點；
（2）是可導函數，若的圖象關于點對稱，則圖象關于直線
對稱.
（3）若圖象關于直線對稱，則圖象關于點對稱.
（4）已知三次函數的對稱中心橫坐標為，若存在兩個極值點，，則有.
題型一：三次函數的零點問題
例1．（2023·全國·高三專題練習）函數存在3個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·江蘇揚州·高三校考階段練習）設為實數，函數．
（1）求的極值；
（2）是否存在實數，使得方程恰好有兩個實數根 若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由．
例3．（2023·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學校考階段練習）已知函數，且在和處取得極值.
(1)求函數的解析式；
(2)設函數，若有且僅有一個零點，求實數的取值范圍.
變式1．（2023·天津河西·高三天津實驗中學校考階段練習）已知，.
（1）當，求的極值；
（2）當，，設，求不等式的解集；
（3）當時，若函數恰有兩個零點，求的值.
變式2．（2023·河北保定·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數.
（1）求函數的圖象在點處的切線方程；
（2）若在上有解，求的取值范圍；
（3）設是函數的導函數，是函數的導函數，若函數的零點為，則點恰好就是該函數的對稱中心.試求的值.
變式3．（2023·山西太原·高三太原市外國語學校校考階段練習）已知三次函數過點，且函數在點處的切線恰好是直線.
(1)求函數的解析式；
(2)設函數，若函數在區(qū)間上有兩個零點，求實數的取值范圍.
變式4．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，．
(1)若函數在上單調遞增，求的最小值；
(2)若函數的圖象與軸有且只有一個交點，求的取值范圍．
題型二：三次函數的最值、極值問題
例4．（2023·云南·高三統(tǒng)考期末）已知函數，.
（1）若函數在上存在單調遞增區(qū)間，求實數的取值范圍；
（2）設.若，在上的最小值為，求的零點.
例5．（2023·高三課時練習）已知函數，.
（1）若函數在上存在單調遞增區(qū)間，求實數的取值范圍；
（2）設.若，在上的最小值為，求在上取得最大值時，對應的值.
例6．（2023·江蘇常州·高三常州市北郊高級中學校考期中）已知函數f(x)=，其中a>0.
(1)當a=1時，求f(x)的單調增區(qū)間；
(2)若曲線y=f(x)在點處的切線與y軸的交點為（0，b），求b+的最小值.
變式5．（2023·廣東珠海·高三校聯考期中）已知函數（a，），其圖象在點處的切線方程為．
(1)求a，b的值；
(2)求函數的單調區(qū)間和極值；
(3)求函數在區(qū)間上的最大值．
變式6．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，，且．
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)求函數在區(qū)間上的最大值．
變式7．（2023·全國·高三專題練習）已知函數在上是增函數，在上是減函數，且的一個根為
（1）求的值；
（2）求證：還有不同于的實根、，且、、成等差數列；
（3）若函數的極大值小于，求的取值范圍
變式8．（2023·浙江寧波·高三效實中學校考期中）已知函數(其中).
（1）求函數的單調區(qū)間；
（2）若有兩個不同的極值點，，求的取值范圍.
題型三：三次函數的單調性問題
例7．（2023·陜西商洛·高三校考階段練習）已知三次函數在R上是增函數，則m的取值范圍是(　　)
A．m<2或m>4 B．－4例8．（2023·全國·高三專題練習）三次函數在上是減函數，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例9．（2023·江西宜春·高三校考階段練習）已知函數，，m是實數.
（1）若在區(qū)間(2,+∞)為增函數，求m的取值范圍；
（2）在（1）的條件下,函數有三個零點，求m的取值范圍.
變式9．（2023·陜西榆林·高三綏德中學校考階段練習）已知三次函數在處取得極值，且在點處的切線與直線平行.
（1）求的解析式；
（2）若函數在區(qū)間(1，2)上單調遞增，求的取值范圍.
變式10．（2023·全國·高三專題練習）已知函數在上單調遞增，則的取值范圍為______．
題型四：三次函數的切線問題
例10．（2023·全國·高三專題練習）已知函數．
(1)求曲線在點，處的切線方程；
(2)設常數，如果過點可作曲線的三條切線，求的取值范圍．
例11．（2023·江西·高三校聯考階段練習）已知函數.
（1）求曲線在點處的切線方程；
（2）設，若過點可作曲線的三條切線，證明:.
例12．（2023·江蘇·高三專題練習）已知函數，滿足，已知點是曲線上任意一點，曲線在處的切線為.
(1)求切線的傾斜角的取值范圍；
(2)若過點可作曲線的三條切線，求實數的取值范圍.
變式11．（2023·安徽·高三校聯考期末）已知函數在 處取得極值．
（1）求m的值；
（2）若過可作曲線的三條切線，求t的取值范圍．
變式12．（2023·陜西西安·高三校考階段練習）已知函數在點處的切線方程為．
（1）求實數，的值；
（2）若過點可作曲線的三條切線，求實數的取值范圍．
變式13．（2023·全國·高三專題練習）設函數在處取得極值．
(1)設點，求證：過點的切線有且只有一條，并求出該切線方程；
(2)若過點可作曲線的三條切線，求的取值范圍；
(3)設曲線在點、處的切線都過點，證明：．
題型五：三次函數的對稱問題
例13．（2023·全國·高三專題練習）給出定義：設是函數的導函數，是函數的導函數.若方程有實數解，則稱為函數的“拐點”.經研究發(fā)現所有的三次函數都有“拐點”，且該“拐點”也是函數的圖象的對稱中心.若函數，則（ ）
A． B． C． D．
例14．（2023·全國·高三專題練習）已知函數的圖象上存在一定點滿足：若過點的直線與曲線交于不同于的兩點，就恒有的定值為，則的值為______.
例15．（2023·新疆·統(tǒng)考二模）對于三次函數，給出定義：設是的導數，是的導數，若方程有實數解，則稱點為曲線的“拐點”，可以發(fā)現，任何一個三次函數都有“拐點”.設函數，則_____________.
變式14．（多選題）（2023·江蘇南京·高三南京市江寧高級中學校聯考期末）對于三次函數，給出定義：是函數的導數，是函數的導數，若方程有實數解，則稱為函數的“拐點”.某同學經探究發(fā)現：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.若函數，則下列說法正確的是（ ）
A．的極大值為
B．有且僅有2個零點
C．點是的對稱中心
D．
變式15．（多選題）（2023·廣東佛山·高三南海中學校考期中）定義：設是的導函數，是函數的導數.若方程有實數解，則稱點為函數的“拐點”.經過探究發(fā)現：任何一個三次函數都有“拐點”且“拐點”就是三次函數圖像的對稱中心，已知函數的對稱中心為，則下列說法中正確的有（ ）
A．，
B．函數有三個零點
C．過可以作兩條直線與圖像相切
D．若函數在區(qū)間上有最大值，則
變式16．（多選題）（2023·安徽阜陽·高三安徽省太和中學校考競賽）定義：設是的導函數，是函數的導數，若方程有實數解，則稱點為函數的“拐點”.經過探究發(fā)現：任何一個三次函數都有“拐點”且“拐點”就是三次函數圖像的對稱中心.已知函數的對稱中心為，則下列說法中正確的有（ ）
A．，
B．的值是199.
C．函數有三個零點
D．過可以作三條直線與圖像相切
題型六：三次函數的綜合問題
例16．（2023·全國·高三專題練習）已知函數在上是增函數，在上是減函數，且方程有3個實數根，它們分別是，，2，則的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．1 D．8
例17．（2023·陜西西安·高三西安中學校考期中）已知函數，，給出下列四個結論，分別是：①；②在上單調；③有唯一零點；④存在，使得．其中有且只有一個是錯誤的，則錯誤的一定不可能是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
例18．（2023·全國·高三專題練習）已知，，且，現給出如下結論：
①；②；③；
④；⑤．
其中正確結論的序號是__．
變式17．（2023·黑龍江大慶·高三大慶實驗中學校考期末）已知，現給出如下結論：
①； ②； ③； ④.
其中正確結論的序號為（ ）
A．②③ B．①④ C．②④ D．①③
變式18．（2023·湖北·高三校聯考階段練習）函數的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數為奇函數，有同學發(fā)現可以將其推廣為：函數的圖象關于點成中心對稱圖形的充要條件是函數為奇函數.已知函數.
(1)若函數的對稱中心為，求函數的解析式.
(2)由代數基本定理可以得到：任何一元次復系數多項式在復數集中可以分解為n個一次因式的乘積.進而，一元n次多項式方程有n個復數根（重根按重數計）.如設實系數一元二次方程，在復數集內的根為，，則方程可變形為，展開得：則有，即，
類比上述推理方法可得實系數一元三次方程根與系數的關系，
①若，方程在復數集內的根為、、，當時，求的最大值；
②若，函數的零點分別為、、，求的值.
變式19．（2023·全國·高三專題練習）已知函數在上為增函數，在上為減函數，且方程的三個根分別為．
（1）求實數的取值范圍；
（2）求的取值范圍．
變式20．（2023·貴州貴陽·高三貴陽一中校考階段練習）給出定義：設是函數的導函數，是函數的導函數，若方程有實數解，則稱為函數的.“固點”.經研究發(fā)現所有的三次函數都有“固點”，且該“固點”也是函數的圖象的對稱中心.根據以上信息和相關知識回答下列問題：已知函數.
(1)當時，試求的對稱中心.
(2)討論的單調性；
(3)當時，有三個不相等的實數根，當取得最大值時，求的值.
題型七：三次函數恒成立問題
例19．（2023·全國·高三專題練習）已知三次函數的導函數且，．
（1）求的極值；
（2）求證：對任意，都有．
例20．（2023·全國·高三專題練習）設為實數，函數，.
(1)求的極值；
(2)對于，，都有，試求實數的取值范圍.
例21．（2023·四川瀘州·高三瀘州老窖天府中學校考階段練習）已知三次函數．
（1）若函數在點處的切線方程是，求函數的解析式；
（2）在（1）的條件下，若對于區(qū)間上任意兩個自變量的值，，都有，求出實數的取值范圍．
變式21．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，為函數的導函數
(1)若為函數的極值點，求實數的值；
(2)的單調增區(qū)間內有且只有兩個整數時，求實數的取值范圍；
(3)對任意時，任意實數，都有恒成立，求實數的最大值.
變式22．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，．
(1)對任意，使得是函數在區(qū)間上的最大值，試求最大的實數．
(2)若，對于區(qū)間的任意兩個不相等的實數、，且，都有成立，求的取值范圍．
變式23．（2023·遼寧沈陽·高三東北育才學校校考期中）已知函數，是上的奇函數，當時，取得極值．
(1)求函數的單調區(qū)間和極大值；
(2)若對任意，都有成立，求實數的取值范圍；
(3)若對任意，，都有成立，求實數的取值范圍．
變式24．（2023·江蘇南通·高三江蘇省如東高級中學校考期中）已知函數，其中，.
（1）當時，討論函數的單調性；
（2）當，且時，
（i）若有兩個極值點，，求證：；
（ii）若對任意的，都有成立，求正實數的最大值.
變式25．（2023·全國·高三專題練習）已知函數在處取得極值，．
（1）求的值與的單調區(qū)間；
（2）設，已知函數，若對于任意、，，都有，求實數的取值范圍．

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