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重難點突破09 函數零點問題的綜合應用
目錄
1、函數零點問題的常見題型：判斷函數是否存在零點或者求零點的個數；根據含參函數零點情況，求參數的值或取值范圍.
求解步驟：
第一步：將問題轉化為函數的零點問題，進而轉化為函數的圖像與軸(或直線)在某區間上的交點問題；
第二步：利用導數研究該函數在此區間上的單調性、極值、端點值等性質，進而畫出其圖像；
第三步：結合圖像判斷零點或根據零點分析參數.
2、函數零點的求解與判斷方法：
(1)直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．
(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數在區間[a，b]上是連續不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數有多少個零點．
(3)利用圖象交點的個數：將函數變形為兩個函數的差，畫兩個函數的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．
3、求函數的零點個數時，常用的方法有：一、直接根據零點存在定理判斷；二、將整理變形成的形式，通過兩函數圖象的交點確定函數的零點個數；三、結合導數，求函數的單調性，從而判斷函數零點個數.
4、利用導數研究零點問題：
（1）確定零點的個數問題：可利用數形結合的辦法判斷交點個數，如果函數較為復雜，可用導數知識確定極值點和單調區間從而確定其大致圖像；
（2）方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉化為求函數的值域問題處理.可以通過構造函數的方法，把問題轉化為研究構造的函數的零點問題；
（3）利用導數研究函數零點或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數形結合思想研究；③構造輔助函數研究.
題型一：零點問題之一個零點
例1．（2023·江蘇南京·南京市第十三中學校考模擬預測）已知函數,.
（1）求函數的單調遞減區間；
（2）設，.
①求證：函數存在零點；
②設，若函數的一個零點為.問：是否存在，使得當時，函數有且僅有一個零點，且總有恒成立？如果存在，試確定的個數；如果不存在，請說明理由.
【解析】（1）由題可知，定義域為.
則，令，解得（舍）或，
故可得在單調遞減.
（2），
①由題可知.令，則其.
⒈當時，，故在上單調遞減.
又因為，
故在區間上一定有一個零點；
⒉當時，，令，
解得，
令，故可得，故在區間上單調遞增；
令，故可得或，故在，單調遞減.
又，故可得，
又因為，
故在區間上一定有一個零點.
⒊當時，，令，
解得，顯然存在零點.
⒋當時，令，解得，
故可得在區間單調遞增；在單調遞減.
又因為，，
故在區間上一定存在一個零點.
綜上所述，對任意的，一定存在零點.
②由①可知，當時，
在上單調遞減.
且只在區間上存在一個零點，顯然不滿足題意.
當時，
在單調遞減，在單調遞增，
在單調遞減.且
且在區間上一定有一個零點，不妨設零點為，則，
故要存在，使得當時，函數有且僅有一個零點，
且總有恒成立，
只需，
即，（ⅰ）
整理得，.
則上述方程在區間上根的個數，即為滿足題意的的個數.
不妨令,則，
故方程（ⅰ）等價于.
不妨令，
故可得在區間上恒成立.
故在區間上單調遞增.
又因為，
故可得函數在區間上只有一個零點.
則方程（ⅰ）存在唯一的一個根.
即當時，有且僅有一個，使得當時，
函數有且僅有一個零點，且總有恒成立.
例2．（2023·廣東·高三校聯考階段練習）已知函數，，在上有且僅有一個零點.
(1)求的取值范圍；
(2)證明：若，則在上有且僅有一個零點，且.
【解析】（1），設，
，
①當時，若，則，
在上無零點，不符合題意；
②當時，若，則，
∴在上單調遞增，
∴，∴在上無零點，不符合題意；
③當時，若，則，∴在上單調遞增，
∵，，
∴存在唯一，使得.
當時，；當時，，
故在上單調遞減，在上單調遞增，
∵，，
故在上有且僅有一個零點，符合題意；
綜上，的取值范圍為.
（2）記，
，
由（1）知：若，當時，，，
當時，，，
故在上單調遞減，在上單調遞增，
又，，
故存在唯一，使得，且.
注意到，可知在上有且僅有一個零點，
且，即.
例3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數.
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)證明：當時，有且只有一個零點；
(3)若在區間各恰有一個零點，求的取值范圍.
【解析】（1）由題意，，，故，又，故曲線在點處的切線方程為，即
（2）由題意，因為，故當時，，當時，，當時，，故當時，有且只有一個零點
（3）由（2）可得，，故
設，則
①若，則，在上為減函數，故，故在上為減函數，不滿足題意；
②若，
i）當時，，單調遞減，且，，故存在使得，故在上單調遞增，在上單調遞減.又，，且，設，易得，故在單調遞增，故，故，故.故在上有一個零點，綜上有在區間上有一個零點
ii）當時，，設，則，故為減函數，因為，，故存在使得成立，故在單調遞增，在單調遞減.又，，故存在使得成立，故在上，單調遞減，在上，單調遞增.又，故，且，，故，故存在使得，綜上有在區間上有一個零點.
綜上所述，當時，在區間各恰有一個零點
變式1．（2023·廣東茂名·高三統考階段練習）已知，函數，.
(1)證明：函數，都恰有一個零點；
(2)設函數的零點為，的零點為，證明.
【解析】（1）函數的定義域為，，
時，，時，，
在上單調遞減，在上單調遞減增，
時，，，，
函數恰有一個零點.
函數的定義域為，，
時，，時，，
在上單調遞減，在上單調遞增，
時，，，
令（表示中最大的數），，
函數恰有一個零點；
（2）由（1）得函數的零點為，且，的零點為，且，
則有，，
，，，
在上單調遞增，由（1）可得，，，
，，
，，.原式得證.
題型二：零點問題之二個零點
例4．（2023·海南海口·統考模擬預測）已知函數.
(1)求的最小值；
(2)設.
（ⅰ）證明：存在兩個零點，；
（ⅱ）證明：的兩個零點，滿足.
【解析】（1），
所以當時，，當時，，
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，
所以的最小值為．
（2）（ⅰ）證明：，，，
因為，所以，所以當時，，時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
則函數有最小值．
由，，
下面證明，在上，對，只要足夠小，必存在，
使得：
實際上，當時，，令，得，
所以對，取，必有，即，
所以在區間上，存在唯一的，，
又，所以在區間上，存在唯一的，，
綜上，存在兩個零點．
（ⅱ）要證，需證，由，所以，
因為在上單調遞減，因此需證：，
，，
所以，，
設，，
則，
所以在上單調遞減，，即
，
結論得證，所以．
例5．（2023·甘肅天水·高三天水市第一中學校考階段練習）已知函數．
（1）討論函數的單調性；
（2）當時，，證明：函數有且僅有兩個零點，兩個零點互為倒數．
【解析】（1）的定義域為且，
若，則當時，，故在上單調遞增；
若，則當，當，
故在上單調遞增，在上單調遞減.
（2），所以，，
因為在上遞增，在遞減，所以在上遞增，
又，
故存在唯一使得，所以在上遞減，在上遞增，
又，所以在內存在唯一根，
由得，又，
故是在上的唯一零點．
綜上，函數有且僅有兩個零點，且兩個零點互為倒數.
例6．（2023·四川遂寧·高三射洪中學校考期中）已知函數．
（1）若函數在處取得極值，求曲線在點處的切線方程；
（2）討論函數的單調性；
（3）當時，，證明：函數有且僅有兩個零點，且兩個零點互為倒數．
【解析】（1）求導：，由已知有，即，
所以，則，所以切點為，切線斜率，
故切線方程為：.
（2）的定義域為且，
若，則當時，，故在上單調遞增；
若，則當，當，
故在上單調遞增，在上單調遞減.
（3），所以，，
因為在上遞增，在遞減，所以在上遞增，
又，
故存在唯一使得，所以在上遞減，在上遞增，
又，所以在內存在唯一根，
由得，又，
故是在上的唯一零點．
綜上，函數有且僅有兩個零點，且兩個零點互為倒數.
變式2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數.
（1）若.證明函數有且僅有兩個零點；
（2）若函數存在兩個零點，證明：.
【解析】（1）由題可知，定義域
當時，函數，則，（為的導函數）
單調遞增
，
使.
時，單調遞減；時，單調遞增
所以
由雙勾函數性質可知，在遞減，，，且，
在上有且只有一個零點
又，且
所以在上有且只有一個零點
綜上，函數有且僅有兩個零點
（2）由是函數的兩個零點，知
要證
需證
令
需證
令
與（1）同理得
所以
故
變式3．（2023·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習）已知函數在其定義域內有兩個不同的零點．
（1）求的取值范圍；
（2）記兩個零點為，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范圍．
【解析】（1）依題意，函數在定義域上有兩個不同的零點，即方程在）上有兩個不同的解，也即在上有兩個不同的解．
令，則．
當時，，所以在上單調逆增，
當時，，所以在上單調遞減，
所以．
又，時，
當時，，且，
若函數與函數的圖象在上有兩個不同的交點，
則．
（2）因為為方程的兩根，
所以，．
不等式，變形可得，
代入可得．
因為，，所以原不等式等價于．
又由，，作差得，所以．
所以原不等式等價于恒成立．
令，則，不等式等價于在上恒成立．
令，則．
①當時，，所以在上單調遞，因此，滿足條件；
②當時，在上單調遞增，在上單調遞減，又，所以在上不能恒小于零．
綜上，．
變式4．（2023·江蘇·高三專題練習）已知函數，，．
(1)若，求證：
（ⅰ）在的單調減區間上也單調遞減；
（ⅱ）在上恰有兩個零點；
(2)若，記的兩個零點為，求證：．
【解析】(1)證明：(1) (ⅰ) 因為，
由
令得的遞減區間為
當時，，
所以在的遞減區間上也遞減．
(ⅱ)
因為，由得，
令，則.
因為，且，所以必有兩個異號的零點，記正零點為，
則當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增，若在上恰有兩個零點，則
由，得，
所以，又對稱軸，
所以
所以.
又，所以在上有且僅有一個零點．
又
令，解得.
所以取，當時，
所以在上有且僅有一個零點．
故時，在上恰有兩個零點．
(2)由（ⅱ）知，對在上恰有兩個零點，
不妨設，因為，
所以
因為，
所以
所以
題型三：零點問題之三個零點
例7．（2023·山東·山東省實驗中學校聯考模擬預測）已知函數有三個零點.
(1)求的取值范圍；
(2)設函數的三個零點由小到大依次是.證明：.
【解析】（1）因為定義域為，又，
（ⅰ）當單調遞減；
（ⅱ）當，記，則，
當；當，
所以在單調遞增，在上單調遞減，，
又，所以，
①當，則單調遞減，至多一個零點，與題設矛盾；
②當，由（ⅱ）知，有兩個零點，
記兩零點為，且，
則在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，
因為，令，則，
所以，
所以，且趨近0，趨近于正無窮大，趨近正無窮大，趨近負無窮大，
所以函數有三零點，
綜上所述，；
（2）等價于，即，
令，則，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
由（1）可得，則，
所以，所以，
則滿足，，
要證，等價于證，
易知，令，則，
令得，令得，
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，
下面證明，由，即證，
即證，
即證，
即證，
令，，
令，則，所以，
所以，則，所以，
所以，所以，
所以，所以原命題得證.
例8．（2023·廣東深圳·校考二模）已知函數.
(1)當時，求的單調區間；
(2)①當時，試證明函數恰有三個零點；
②記①中的三個零點分別為，，，且，試證明.
【解析】（1）當時，定義域為，
所以，
所以在定義域上單調遞減，其單調遞減區間為，無單調遞增區間．
（2）①由定義域為，
所以，
令，因為，，
設方程的兩根分別為，，且，則，，
所以有兩個零點，，且，
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減；
所以在處取得極小值，在處取得極大值，
又，故，則，
又因為，，且，
故有，由零點存在性定理可知，
在恰有一個零點，在也恰有一個零點，
易知是的零點，所以恰有三個零點；
②由①知，，則，
因為，所以，
所以要證，
即證，
即證，
即證，
即證，
即證．
令，則，
當時，，所以在上單調遞減，
所以，故式成立，
所以．
例9．（2023·廣西柳州·統考三模）已知．
（1）若函數有三個不同的零點，求實數a的取值范圍；
（2）在（1）的前提下，設三個零點分別為且，當時，求實數a的取值范圍．
【解析】（1）當時，．令．
當時，的零點與函數的零點相同．
當時，，所以只有一個零點，不合題意．
因此．
又因為函數有三個不同的零點，所以有兩個均不等于1的不同零點．
令，解得（舍去負值）．
所以當時，，是減函數；當時，，是增函數．
因為，
所以當，即時，有兩個不同零點．
又因為時，，
所以函數有三個不同的零點，實數a的取值范圍是
（2）因為，，
所以．所以．
所以．
所以是的兩個根．
又因為，
所以有一個小于0的根，不妨設為．
根據有三個根，可知，
所以，即．
因為，所以．
所以，即．
顯然，所以a的取值范圍是．
變式5．（2023·貴州遵義·遵義市南白中學校考模擬預測）已知函數（，）.
（1）若，且在內有且只有一個零點，求的值；
（2）若，且有三個不同零點，問是否存在實數使得這三個零點成等差數列？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.
【解析】（1）若，則，.
若，則函數在上單調遞增,則，
故在無零點；
若，令，得，.
在上，，單調遞減，
在上，，單調遞增.
又在內有且只有一個零點，則，
得，得,得.
（2）因為，則，若有三個不同零點，且成等差數列，
可設
,
故，則，故，，.此時，，，故存在三個不同的零點，故符合題意的的值為.
變式6．（2023·浙江·校聯考二模）設，已知函數有個不同零點.
(1)當時，求函數的最小值：
(2)求實數的取值范圍；
(3)設函數的三個零點分別為、、，且，證明：存在唯一的實數，使得、、成等差數列.
【解析】（1）當時，，則，
當時，，此時函數單調遞減，
當時，，此時函數單調遞增，
所以，.
（2）因為，
則，
①當時，恒成立，
當時，，此時函數單調遞減，
當時，，此時函數單調遞增，
此時函數至多兩個零點，不合乎題意；
②當時，由可得或，列表如下：
增 極大值 減 極小值 增
由題意可知，有個不同的零點，則，
又因為，
令，記，
則，其中，則，
當時，，此時函數單調遞增；
當時，，此時函數單調遞減.
所以，，即，當且僅當時，等號成立，，
故不等式組的解集為.
因為，，
故當時，函數有個不同的零點，
綜上所述，實數的取值范圍是.
（3）因為，，結合（2）中的結論可知，
①當時，若存在符合題意的實數，則由于，
因此，，，
因此，、、成等差數列可得出，考慮，
即，這等價于，
令，
所以，，
令，則，
當時，，則函數單調遞增，
所以，，故函數單調遞增，
因為，，
所以，在上存在唯一零點，記為，
當時，，即函數在上單調遞減，
當時，，即函數在上單調遞增，
由于，，，
因此，在上無零點，在上存在唯一的零點，
所以，存在唯一的實數，使得、、成等差數列;
②當時，，不合乎題意.
綜上所述，存在唯一的實數使得、、成等差數列.
變式7．（2023·山東臨沂·高三統考期中）已知函數和有相同的最大值.
(1)求，并說明函數在（1，e）上有且僅有一個零點；
(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等比數列.
【解析】（1），令可得，
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減，
∴時，取得最大值.即.
，
當時，
時，，單調遞增；
時，，單調遞減，
∴.
當時，，不合題意；
當時，可知，不合題意.
故，即.
∴.
∵，
當時，，，
∴，∴在上單調遞增，
又，，
∴在上有且僅有一個零點.
（2）由（1）知，，的圖象大致如下圖：
直線與曲線，三個交點的橫坐標從左至右依次為，，，
且，
∴且
由即，，，∴
即.①
由即，
∴.②
由①，②，，又，即，
∴.
題型四：零點問題之max，min問題
例10．（2023·湖北黃岡·黃岡中學校考三模）已知函數．
(1)當時，求函數在上的極值；
(2)用表示中的最大值，記函數，討論函數在上的零點個數．
【解析】（1）當時，，
由，得或，則和隨的變化如下表所示：
0
+ 0 - 0 + 0 -
極大 極小 極大
∴在上有2個極大值：在上有1個極小值．
（2）由，知．
（ⅰ）當時，，
∴，故在上無零點．
（ⅱ）當時，．
故當時，即時，是的零點；
當時，即時，不是的零點．
（ⅲ）當時，．故在的零點就是在的零點，
．
①當時，，故時，在是減函數，
結合，可知，在有一個零點，
故在上有1個零點．
②當時，，故時，在是增函數，
結合可知，在無零點，故在上無零點．
③當時，，使得時，在是增函數；
時，在是減函數；
由知，．
當，即時，在上無零點，故在上無零點．
當，即時，在上有1個零點，故在上有1個零點．
綜上所述，時，有2個零點；時，有1個零點；時，無零點
例11．（2023·四川南充·統考三模）已知函數，．
(1)當時，求函數在上的極值；
(2)用表示，中的最大值，記函數，討論函數在上的零點個數．
【解析】（1）當時，，，
由，得或，則和隨的變化如下表所示：
0
0 0 0
極大 極小 極大
在上有2個極大值：，
在上有1個極小值：.
（2）由，知.
（i）當時，，
，故在上無零點．
（ii）當時，，．
故當時，即時，，是的零點；
當時，即時，，不是的零點.
（iii）當時，．
故在的零點就是在的零點，
，．
①當時，，故時，，在是減函數，
結合，可知，在有一個零點，
故在上有1個零點.
②當時，，故時，，在是增函數，
結合可知，在無零點，
故在上無零點．
③當時，，使得時，，在是增函數；
時，，在是減函數；
由知，．
當，即時，在上無零點，
故在上無零點．
當，即時，在上有1個零點，
故在上有1個零點.
綜上所述，時，有2個零點；
時，有1個零點；
時，無零點.
例12．（2023·四川南充·統考三模）已知函數，其中為自然對數的底數.
(1)當時，求函數的極值；
(2)用表示，中的最大值，記函數，當時，討論函數在上的零點個數.
【解析】（1）當時，，，
由得：或；由得：
列表：
0 1
+ 0 0 +
極大值 極小值
∴；；
（2）由知：
（i）當時，
，故在上無零點.
（ii）當時，，知：當時，，，
是的零點；
當時，，，不是的零點；
（iii）當時，，故在的零點就是在的零點.
由得：，
設，則，
在上單調遞增，
又∵，，
∴當時，即在上無零點；
當時，即在上有1個零點；
當時，即在上無零點；
綜上所述：時，有2個零點；
或時，有1個零點；
時，無零點.
變式8．（2023·廣東·高三專題練習）已知函數，，.
(1)若函數存在極值點，且，其中，求證：；
(2)用表示m，n中的最小值，記函數，，若函數有且僅有三個不同的零點，求實數a的取值范圍.
【解析】（1）由題意，，，
當時，恒成立，沒有極值.
當時，令，即，解之得，，
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減；
當時，， 單調遞增.
∴時，有極大值為，
時，有極小值為，
當時，要證，即證，
代入計算有，，，
則有符合題意，即得證；
當時，要證，即證，
代入計算有，，，
則有符合題意，即得證.
綜上，當為極大值點和極小值點時，均成立.
（2）①當時，，∴，
故函數在時無零點；
②當時，，，若，則，
，故是函數的一個零點；
若，則，∴，故時函數無零點.
③當時，，因此只需要考慮，
由題意，，，
㈠當時，恒成立，
∴在上單調遞增，，∴在恒成立，
即在內無零點，也即在內無零點；
㈡當時，，恒成立，
∴在上單調遞減，
即在內有1個零點，也即在內有1個零點；
㈢時，函數在上單調遞減，
∴，
若，即時，
在內無零點，也即在內無零點；
若，即時，在內有唯一的一個零點，
也即在內有唯一的零點；
若，即時，由，，
∴時，在內有兩個零點.
綜上所述，當時，函數有3個零點.
變式9．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，．
(1)若直線與曲線相切，求a的值；
(2)用表示m，n中的最小值，討論函數的零點個數．
【解析】（1）設切點為，∵，∴
∴（*）
消去a整理，得，∴
∴
（2）①當時，，，∴在上無零點
②當時，，．
若，，此時，是的一個零點，
若，，此時，不是的零點
③當時，，此時的零點即為的零點．
令，得，令，則，
當時，；當時，，∴在上單調遞減，在上單調遞增，且當時，
（i）若，即時，在上無零點，即在上無零點
（ii）若，即時，在上有一個零點，即在上有一個零點
（iii）若，即時，在上有兩個零點，即在上有兩個零點
（iv）若，即時，在上有一個零點，即在上有一個零點
綜上所述，當或時，在上有唯一零點；
當或時，在上有兩個零點；
當時，在上有三個零點
變式10．（2023·山西朔州·高三懷仁市第一中學校校考期末）已知函數.
(1)若過點可作的兩條切線，求的值.
(2)用表示中的最小值，設函數，討論零點的個數.
【解析】(1)設切點為
則切線方程為
在直線上，則，
令，則，令，解得，所以或
要想讓切線有兩條，只需滿足或
(2)當時， ，單調遞減，在取得最大值，，所以只需考慮在的零點個數.
（i）若或，則
當時，在無零點.
當時，在單調遞減，而在有一個零點；
（ii）若，則在單調遞減，在單調遞增，故當時，取得最小值，最小值為
①若，即在無零點.
②若，即，則在有唯一零點；
③若，即，由于
所以當時，在有兩個零點；當時，在有一個零點
綜上，當有0個零點；
當或時，有一個零點；
當時，有兩個零點.
題型五：零點問題之同構法
例13．已知函數，若函數在區間內存在零點，求實數的取值范圍
【解析】解：方法一：由可得，
設，，，則，令，在單調遞減，在單調遞增，
故（1）．
①當時，令，當時，單調遞減，當時，單調遞增，
（1），此時在區間內無零點；
②當時，（1），此時在區間內有零點；
③當時，令，解得或1或，且，
此時在單減，，單增，單減，，單增，
當或時，，此時在區間內有兩個零點；
綜合①②③知在區間內有零點．
方法二：由題意可得
，即，
因為當時等號成立，
所以，即，
，令，，
易知在單減，在上單增，所以（1），
又趨近于0和正無窮時，趨近于正無窮，
所以．
例14．已知．
（1）若函數在上有1個零點，求實數的取值范圍．
（2）若關于的方程有兩個不同的實數解，求的取值范圍．
【解析】解：（1），，，
所以，
當時，，所以在，單調遞增，
又因為，所以在，上無零點；
當時，，使得，
所以在，單調遞減，在單調遞增，
又因為，，
所以若，即時，在，上無零點，
若，即時，在，上有一個零點，
當時，，在，上單調遞減，在，上無零點，
綜上當時，在，上有一個零點；
（2）由，
即，即，
則有，
令，，則，
，所以函數在上遞增，
所以，則有，即，，
因為關于的方程有兩個不同的實數解，
則方程，有兩個不同的實數解，
令，則，
當時，，當時，，
所以函數在上遞減，在上遞增，
所以（1），
當時，，當時，，
所以．
例15．已知函數．
（1）若，求函數的極值；
（2）若函數有且僅有兩個零點，求的取值范圍．
【解析】（1）當時，，，，
顯然在單調遞增，且，
當時，，單調遞減；當時，，單調遞增．
在處取得極小值，無極大值．
（2）函數有兩個零點，即有兩個解，即有兩個解，
設，則，單調遞增，
有兩個解，即有兩個解．
令，則，
當時，，單調遞增；當時，，單調遞減．
，，當時，
．
題型六：零點問題之零點差問題
例16．已知關于的函數，與，在區間上恒有．
（1）若，，，求的表達式；
（2）若，，，，求的取值范圍；
（3）若，，，，，，求證：．
【解析】解：（1）由得，
又，，所以，
所以，函數的圖象為過原點，斜率為2的直線，所以，
經檢驗：，符合任意，
（2），
設，設，
在上，，單調遞增，
在上，，單調遞減，
所以（1），
所以當時，，
令
所以，得，
當時，即時，在上單調遞增，
所以，，
所以，
當時，即時，
△，即，
解得，
綜上，，．
（3）①當時，由，得
，
整理得，
令△，
則△，
記，
則，恒成立，
所以在，上是減函數，則（1），即，
所以不等式有解，設解為，
因此．
②當時，
，
設，
則，
令，得，
當時，，是減函數，
當，時，，是增函數，
，（1），
則當時，，
則，因此，
因為，，，所以，
③當時，因為，為偶函數，因此也成立，
綜上所述，．
例17．已知函數．
（1）如，求的單調區間；
（2）若在，單調增加，在，單調減少，證明：．
【解析】解：（Ⅰ）當時，，
故
當或時，；
當或時，．
從而在，單調增加，在，單調減少；
（Ⅱ）．
由條件得：（2），即，故，
從而．
因為，
所以．
將右邊展開，與左邊比較系數得，，．
故．，
又，即．由此可得．
于是．
例18．已知函數，．
（1）當時，求函數的單調區間；
（2）當，時，函數有兩個極值點，，證明：．
【解析】（1）解：當時，，
，，
令，可得，令，可得，
所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為．
（2）證明：函數的定義域為，，
令，
因為函數有兩個極值點，，
所以，是函數的兩個零點，
，
，令，可得，令，可得，
所以在上單調遞減，在，上單調遞增，
所以，，
由，可得，
因為，所以，
所以要證，即證，只需證（2），
因為，
所以（2），
所以，得證．
題型七：零點問題之三角函數
例19．（2023·山東·山東省實驗中學校考一模）已知函數．
(1)若對時，，求正實數a的最大值；
(2)證明：；
(3)若函數的最小值為m，試判斷方程實數根的個數，并說明理由．
【解析】（1）由題知，令，所以，
又因為時，，a為正實數，故在區間恒成立，
所以函數在區間上單調遞增，且．
①當時，在區間上恒成立，函數在上單調遞減，
此時，符合題意．
②當時，，，
由零點存在定理，時，有，
即函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，
所以當時，有，此時不符合，
綜上所述，正實數a的最大值為1．
（2）由（1）知，當，時，，
令時，有，
即，所以，，，，
累加得，
即，
所以
（3）因為，所以，令，則在區間上恒成立，
所以函數在區間上單調遞增，又，，
由零點存在定理，時，有，即，
因此，而函數在上遞減，在上遞增，
所以，
又因為，令，則，所以在區間上恒成立，
即在區間上單調遞減，所以，即．
設，則，令，
則在區間上恒成立
所以函數在區間上單調遞增，又，，
由零點存在定理，時，，即，
因此，又，
設，則在區間上恒成立，
所以函數在上遞增，
于是且，
而函數在上遞減，在上遞增，
∴，
即函數有唯一零點，故方程有唯一的實數解．
例20．（2023·全國·高三專題練習）設函數.
(1)證明：當時，；
(2)記，若有且僅有2個零點，求的值.
【解析】（1）當時，有，單調遞增，
又，則可知，使得，
所以在單調遞減，在單調遞增，
又，則可知；
（2）依題意，函數的定義域是，
當時，，即，而，
時，，時，，有兩個零點，符合題意；
①當時，若，有，且，有，
又，由（1）可知又，則
所以在有1個零點：
若，有，若，
有，
可知在有1個零點，符合題意：
若，有在單調遞增，，
（i）若，則當，有，
（ii）若，又，則可知，使得；
由（i）、（ii），則可知有在單調遞減，所以，
又有，所以在至少有1個零點，
則可知在至少有2個零點，不符合題意；
若，有在單調遞增，
又，則可知，使得，
所以在單調遞增，則有，
又有，所以在至少有1個零點，
則可知在至少有2個零點，不符合題意；
②當時，由，
記，
由①可知，有且僅有滿足題意，即時，滿足題意.
綜上可知，實數a的值為，0，1.
例21．（2023·廣東深圳·紅嶺中學校考模擬預測）已知，且0為的一個極值點．
(1)求實數的值；
(2)證明：①函數在區間上存在唯一零點；
②，其中且．
【解析】（1）由，
則，
因為0為的一個極值點，
所以，所以．
當時，，
當時，因為函數在上單調遞減，
所以，即在上單調遞減；
當時，，則，
因為函數在上單調遞減，且，，
由零點存在定理，存在，使得，
且當時，，即單調遞增，
又因為，
所以，，在上單調遞增；.
綜上所述，在上單調遞減，在上單調遞增，
所以0為的一個極值點，故.
（2）①當時，，所以單調遞減，
所以對，有，此時函數無零點；
當時，設，
則，
因為函數在上單調遞減，且，，
由零點存在定理，存在，使得，
且當時，，即單調遞增，
當時，，即單調遞減．
又因為，
所以，，在上單調遞增；
因為，，
所以存在，
當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減．
所以，當時，單調遞增，；
當時，單調遞減，，
此時在上無零點；
當時，，
所以在單減，
又，，
由零點存在定理，函數在上存在唯一零點；
當時，，此時函數無零點；
綜上所述，在區間上存在唯一零點．
②因為，由（1）中在上的單調性分析，
知，所以在單增，
所以對，有，
即，所以．
令，則，
所以，
設，，
則，
所以函數在上單調遞減，
則，
即，，
所以 ，
所以，
所以.
變式11．（2023·山東濟南·濟南市歷城第二中學校考二模）已知，（n為正整數，）．
(1)當時，設函數，，證明：有且僅有1個零點；
(2)當時，證明：．
【解析】（1）當時，
記，則
所以在區間上單調遞增
而，
所以存在，使得，即
當時，，單調遞減
當時，，單調遞增
又，，
所以在上沒有零點，在上有一個零點，
綜上所述，函數在內只有一個零點.
（2）當時，，
要證，
即證，
令，則，
所以在單調遞減，，即，
要證只需證，
令，則，
∴在單調遞減，在單調遞增，
∴，即，
∴，即，
所以成立，
∴原命題得證.
題型八：零點問題之取點技巧
例22．已知函數為自然對數的底數，且．
（1）討論的單調性；
（2）若有兩個零點，求的取值范圍．
【解析】解：（1），
①時，，則
時，，在遞減，
時，，在遞增，
②當時，由得，，
若，則，故在遞增，
若，則
當或時，，時，，
故在，遞增，在遞減；
綜上：時，在遞減，在遞增，
時，在，遞增，在遞減；
時，在遞增；
（2）①時，在遞增，不可能有2個零點，
②當時，在，遞增，遞減，
故當時，取極大值，極大值為，
此時，不可能有2個零點，
③當時，，由得，
此時，僅有1個零點，
④當時，在遞減，在遞增，
故，
有2個零點，，
解得：，，
而（1），
取，則（b），
故在，各有1個零點，
綜上，的取值范圍是，．
例23．已知函數．
（1）討論的單調性；
（2）若有兩個零點，求的取值范圍．
【解析】解：（1）由，
可得，
①當時，由，可得；由，可得，
即有在遞減；在遞增；
②當時，由得或；
若，則，當時，，當時，；
，恒成立，即有在上遞增；
若時，則；由，可得或；
由，可得．
即有在，，遞增；
在，遞減；
若，則，由，可得或；
由，可得．
即有在，，遞增；在，遞減．
（2）①由（1）可得當時，在遞減；在遞增，
且，，取滿足且．則，
有兩個零點；
②當時，，所以只有一個零點；
③當時，
若時，由（1）知在，遞減，
在，，遞增，
又當時，，所以不存在兩個零點；
當時，由（1）知，在單調增，又當時，，故不存在兩個零點；
綜上可得，有兩個零點時，的取值范圍為．
例24．已知函數．
（1）討論的單調性；
（2）若有兩個零點，求的取值范圍．
【解析】解：（1）．
當時，令，得；
令，得．
故在上單調遞減，在上單調遞增．
當時，令，得，．
①當，即時，，在上單調遞增．
②當，即時，在上單調遞減，在，，上單調遞增．
③當，即時，在上單調遞減，在，，上單調遞增．
（2）當時，由（1）可知只有一個極小值點，
且，．
（方法一）取，且，則，，
因為，所以，
則（b），此時有兩個零點．
（方法二）當時，，，
從而，因此有兩個零點．
當時，，此時有一個零點，不符合題意．
當時，若，則恒有．
當時，在上單調遞增，
此時在上不可能有兩個零點；
當時，若，同理可知在上不可能有兩個零點；
若，在上先減后增，
此時在上也不可能有兩個零點．
綜上，的取值范圍是．
變式12．已知函數．
（1）討論的單調性；
（2）若有兩個零點，求的取值范圍．
【解析】解：（1），
①當時，，由，得，
由，得，
的單增區間為，單減區間為．
②當時，令，或，
當，即時，，在單增，
當，即時，由得，，，，
由得，，，
單增區間為，，，單減區間為，．
當，即時，由得，，，，
由得，，，
的單增區間為，，，
的單減區間為，．
（2）．
當時，，，可得，不符題意，故；
當時，由（1）可得只需，即時，滿足題意；
當時，在上單增，不滿足題意；
當時，的極大值，不可能有兩個零點．
當時，的極小值，，，
只有才能滿足題意，即有解，
令，，
則，（a）在單增，
而，（a），方程無解．
綜上所述，．重難點突破09 函數零點問題的綜合應用
目錄
1、函數零點問題的常見題型：判斷函數是否存在零點或者求零點的個數；根據含參函數零點情況，求參數的值或取值范圍.
求解步驟：
第一步：將問題轉化為函數的零點問題，進而轉化為函數的圖像與軸(或直線)在某區間上的交點問題；
第二步：利用導數研究該函數在此區間上的單調性、極值、端點值等性質，進而畫出其圖像；
第三步：結合圖像判斷零點或根據零點分析參數.
2、函數零點的求解與判斷方法：
(1)直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．
(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數在區間[a，b]上是連續不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數有多少個零點．
(3)利用圖象交點的個數：將函數變形為兩個函數的差，畫兩個函數的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．
3、求函數的零點個數時，常用的方法有：一、直接根據零點存在定理判斷；二、將整理變形成的形式，通過兩函數圖象的交點確定函數的零點個數；三、結合導數，求函數的單調性，從而判斷函數零點個數.
4、利用導數研究零點問題：
（1）確定零點的個數問題：可利用數形結合的辦法判斷交點個數，如果函數較為復雜，可用導數知識確定極值點和單調區間從而確定其大致圖像；
（2）方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉化為求函數的值域問題處理.可以通過構造函數的方法，把問題轉化為研究構造的函數的零點問題；
（3）利用導數研究函數零點或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數形結合思想研究；③構造輔助函數研究.
題型一：零點問題之一個零點
例1．（2023·江蘇南京·南京市第十三中學校考模擬預測）已知函數,.
（1）求函數的單調遞減區間；
（2）設，.
①求證：函數存在零點；
②設，若函數的一個零點為.問：是否存在，使得當時，函數有且僅有一個零點，且總有恒成立？如果存在，試確定的個數；如果不存在，請說明理由.
例2．（2023·廣東·高三校聯考階段練習）已知函數，，在上有且僅有一個零點.
(1)求的取值范圍；
(2)證明：若，則在上有且僅有一個零點，且.
例3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數.
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)證明：當時，有且只有一個零點；
(3)若在區間各恰有一個零點，求的取值范圍.
變式1．（2023·廣東茂名·高三統考階段練習）已知，函數，.
(1)證明：函數，都恰有一個零點；
(2)設函數的零點為，的零點為，證明.
題型二：零點問題之二個零點
例4．（2023·海南海口·統考模擬預測）已知函數.
(1)求的最小值；
(2)設.
（ⅰ）證明：存在兩個零點，；
（ⅱ）證明：的兩個零點，滿足.
例5．（2023·甘肅天水·高三天水市第一中學校考階段練習）已知函數．
（1）討論函數的單調性；
（2）當時，，證明：函數有且僅有兩個零點，兩個零點互為倒數．
例6．（2023·四川遂寧·高三射洪中學校考期中）已知函數．
（1）若函數在處取得極值，求曲線在點處的切線方程；
（2）討論函數的單調性；
（3）當時，，證明：函數有且僅有兩個零點，且兩個零點互為倒數．
變式2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數.
（1）若.證明函數有且僅有兩個零點；
（2）若函數存在兩個零點，證明：.
變式3．（2023·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習）已知函數在其定義域內有兩個不同的零點．
（1）求的取值范圍；
（2）記兩個零點為，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范圍．
變式4．（2023·江蘇·高三專題練習）已知函數，，．
(1)若，求證：
（ⅰ）在的單調減區間上也單調遞減；
（ⅱ）在上恰有兩個零點；
(2)若，記的兩個零點為，求證：．
題型三：零點問題之三個零點
例7．（2023·山東·山東省實驗中學校聯考模擬預測）已知函數有三個零點.
(1)求的取值范圍；
(2)設函數的三個零點由小到大依次是.證明：.
例8．（2023·廣東深圳·校考二模）已知函數.
(1)當時，求的單調區間；
(2)①當時，試證明函數恰有三個零點；
②記①中的三個零點分別為，，，且，試證明.
例9．（2023·廣西柳州·統考三模）已知．
（1）若函數有三個不同的零點，求實數a的取值范圍；
（2）在（1）的前提下，設三個零點分別為且，當時，求實數a的取值范圍．
變式5．（2023·貴州遵義·遵義市南白中學校考模擬預測）已知函數（，）.
（1）若，且在內有且只有一個零點，求的值；
（2）若，且有三個不同零點，問是否存在實數使得這三個零點成等差數列？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.
變式6．（2023·浙江·校聯考二模）設，已知函數有個不同零點.
(1)當時，求函數的最小值：
(2)求實數的取值范圍；
(3)設函數的三個零點分別為、、，且，證明：存在唯一的實數，使得、、成等差數列.
變式7．（2023·山東臨沂·高三統考期中）已知函數和有相同的最大值.
(1)求，并說明函數在（1，e）上有且僅有一個零點；
(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等比數列.
題型四：零點問題之max，min問題
例10．（2023·湖北黃岡·黃岡中學校考三模）已知函數．
(1)當時，求函數在上的極值；
(2)用表示中的最大值，記函數，討論函數在上的零點個數．
例11．（2023·四川南充·統考三模）已知函數，．
(1)當時，求函數在上的極值；
(2)用表示，中的最大值，記函數，討論函數在上的零點個數．
例12．（2023·四川南充·統考三模）已知函數，其中為自然對數的底數.
(1)當時，求函數的極值；
(2)用表示，中的最大值，記函數，當時，討論函數在上的零點個數.
變式8．（2023·廣東·高三專題練習）已知函數，，.
(1)若函數存在極值點，且，其中，求證：；
(2)用表示m，n中的最小值，記函數，，若函數有且僅有三個不同的零點，求實數a的取值范圍.
變式9．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，．
(1)若直線與曲線相切，求a的值；
(2)用表示m，n中的最小值，討論函數的零點個數．
變式10．（2023·山西朔州·高三懷仁市第一中學校校考期末）已知函數.
(1)若過點可作的兩條切線，求的值.
(2)用表示中的最小值，設函數，討論零點的個數.
題型五：零點問題之同構法
例13．已知函數，若函數在區間內存在零點，求實數的取值范圍
例14．已知．
（1）若函數在上有1個零點，求實數的取值范圍．
（2）若關于的方程有兩個不同的實數解，求的取值范圍．
例15．已知函數．
（1）若，求函數的極值；
（2）若函數有且僅有兩個零點，求的取值范圍．
題型六：零點問題之零點差問題
例16．已知關于的函數，與，在區間上恒有．
（1）若，，，求的表達式；
（2）若，，，，求的取值范圍；
（3）若，，，，，，求證：．
例17．已知函數．
（1）如，求的單調區間；
（2）若在，單調增加，在，單調減少，證明：．
例18．已知函數，．
（1）當時，求函數的單調區間；
（2）當，時，函數有兩個極值點，，證明：．
題型七：零點問題之三角函數
例19．（2023·山東·山東省實驗中學校考一模）已知函數．
(1)若對時，，求正實數a的最大值；
(2)證明：；
(3)若函數的最小值為m，試判斷方程實數根的個數，并說明理由．
例20．（2023·全國·高三專題練習）設函數.
(1)證明：當時，；
(2)記，若有且僅有2個零點，求的值.
例21．（2023·廣東深圳·紅嶺中學校考模擬預測）已知，且0為的一個極值點．
(1)求實數的值；
(2)證明：①函數在區間上存在唯一零點；
②，其中且．
變式11．（2023·山東濟南·濟南市歷城第二中學校考二模）已知，（n為正整數，）．
(1)當時，設函數，，證明：有且僅有1個零點；
(2)當時，證明：．
題型八：零點問題之取點技巧
例22．已知函數為自然對數的底數，且．
（1）討論的單調性；
（2）若有兩個零點，求的取值范圍．
例23．已知函數．
（1）討論的單調性；
（2）若有兩個零點，求的取值范圍．
例24．已知函數．
（1）討論的單調性；
（2）若有兩個零點，求的取值范圍．
變式12．已知函數．
（1）討論的單調性；
（2）若有兩個零點，求的取值范圍．

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