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課題： 6.2.3 組合
【課程標(biāo)準(zhǔn)】
通過實例，理解組合的概念。
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.通過解決實際的計數(shù)問題，得到組合的定義；
2.能利用定義判斷組合問題，知道組合問題與排列問題的區(qū)別與聯(lián)系；
3.通過實例體會數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)，學(xué)會分析問題、解決問題的方式。
【重點難點】
重點：組合的定義；
難點：將實際問題中的具體對象抽象為元素，得到組合的定義。
【教學(xué)方法】
情境式教學(xué)法、問題式教學(xué)法
【導(dǎo)學(xué)流程】
一、導(dǎo)(復(fù)習(xí)導(dǎo)入，3min）：
排列的定義是什么？
從甲乙丙三名同學(xué)中選兩名去參加一項活動，有多少種不同的選法？這一問題與6.2.1節(jié)問題一有什么聯(lián)系與區(qū)別？
二、學(xué)（6min）：閱讀P21－P22，初步感知理解組合的概念。
三、思（發(fā)放導(dǎo)綱，7min）：請結(jié)合導(dǎo)綱完成基礎(chǔ)感知部分。
1、對比教材21頁組合的概念與16頁排列的概念，你能說一說組合與排列的聯(lián)系與區(qū)別么？
(1)共同點:兩者都是從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素.
(2)不同點:排列與元素的順序有關(guān),組合與元素的順序無關(guān).
2、你能嘗試將下列問題抽象為用元素表示的語句么？
要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，共有多少種不同的選法
從3個不同的元素a，b，c中任意取出2個做為一組，共有多少種不同的組
.從5名同學(xué)中選出兩個科代表，有多少種不同的選法
從5個不同的元素a，b，c……中任意取出2個做為一組，共有多少種不同的組
上述的幾個問題的共同特點是什么？你能將它們推廣到一般情形么？
一般地，從個不同元素中取出個元素作為一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合(combination)．
3、思考：校門口停放著9輛共享自行車．下面的問題是排列問題，還是組合問題 為什么？
（1）從中選3輛，有多少種不同的方法
（2）從中選3輛給3位同學(xué)，有多少種不同的方法
4、閱讀例5，利用排列和組合之間的關(guān)系，以“元素相同” 為標(biāo)準(zhǔn)分類，你能建立起例5（1）中排列和（2）中組合之間的對應(yīng)關(guān)系嗎？進(jìn)一步地，能否從這種對應(yīng)關(guān)系出發(fā)，由排列數(shù)求出組合的個數(shù)？
將組合中的元素進(jìn)行全排列，就得到了相同元素的排列情況，所以，組合數(shù)與所取元素的全排列的積，會等于排列數(shù)。 所以，組合數(shù)等于排列數(shù)除以取出元素的全排列。
議（7min）：接下來，請大家核對基礎(chǔ)感知答案，合作小組開啟群學(xué)群議，由學(xué)科組長領(lǐng)導(dǎo)小組談?wù)摻鉀Q自學(xué)困惑及問題探究一與探究二。
探究一．甲、乙、丙、丁支足球隊舉行單循環(huán)賽．
（1）列出所有各場比賽的雙方；
（2）列出所有冠、亞軍的可能情況．
思考：兩個問題分別屬于什么問題？為什么？
探究二：現(xiàn)有1，3，7，13這4個數(shù)．
（1）從這4個數(shù)中任取2個相加，可以得到多少個不相等的和
（2）從這4個數(shù)中任取2個相減，可以得到多少個不相等的差
思考：兩個問題分別屬于什么問題？為什么？
五、展（7min）：下面進(jìn)入展示環(huán)節(jié)，請各小組積極展示！
預(yù)設(shè)學(xué)生回答展示：
探究一：解析：(1)甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁．
相當(dāng)于從四個元素中取兩個元素的組合。
（2）解析：
冠軍 甲 乙 甲 丙 甲 丁 乙 丙 乙 丁 丙 丁
亞軍 乙 甲 丙 甲 丁 甲 丙 乙 丁 乙 丁 丙
相當(dāng)于從四個元素中取出兩個元素的排列。
探究二：
【解析】（1）從這4個數(shù)中任取2個相加有：，，，，，，共有6個不相等的和；和之間無順序要求，所以相當(dāng)于從四個元素中取出兩個元素的組合。
（2）從這4個數(shù)中任取2個相減有：，，，，，，，，，，，，可以得到有10個不相等的差．從算式的角度看有12個。做差的話，有順序要求，所以相當(dāng)于從4個元素中取出兩個元素的排列。
六、評（10min）:老師講解為主，學(xué)生筆記為輔
組合的相關(guān)概念
1.組合:一般地，從個不同元素中取出個元素作為一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合(combination)．
2.相同組合:兩個組合只要元素相同,不論元素的順序如何,都是相同的.
在上述探究問題中，“甲乙”與“乙甲”的元素完全相同，但元素的排列順序不同，因此它們是相同的組合，但不是相同的排列．
由此，以“元素相同”為標(biāo)準(zhǔn)分類，就可以建立起排列和組合之間的對應(yīng)關(guān)系，如圖6.2-7所示．
如例5，一條有向線段的兩個端點要分起點和終點，以平面內(nèi)4個點中的2個為端點的有向線段的條數(shù)，就是從4個不同元素中取出2個元素的排列數(shù)，即有向線段條數(shù)為．
這12條有向線段分別為．
由于不考慮兩個端點的順序，因此將（1）中端點相同、方向不同的2條有向線段作為一條線段，就是以平面內(nèi)4個點中的2個點為端點的線段的條數(shù)，共有如下6條：．
從這也可以初步感知，將組合中的元素進(jìn)行全排列，就可以得到不同的排列。而他們的關(guān)系，也就明確了。
探究三：校門口停放著9輛編號不同的共享自行車，從中選3輛自行車，有多少種不同的方法？將選出的三輛自行車給3位同學(xué)，又有多少種不同的方法？結(jié)合前面兩個探究，你能多排列數(shù)求出組合的個數(shù)么？
由上可知，組合的個數(shù)與排列的個數(shù)之間有數(shù)量關(guān)系，我們將組合進(jìn)行全排列，就可以得到排列數(shù)，所以，反過來，用排列數(shù)，除以該組合的全排列，就可以得到組合數(shù)。故：
問：排列數(shù)有符號，你覺得組合數(shù)會不會也有符號呢？我們下節(jié)課揭曉哦
七、測（5min）:請于導(dǎo)綱中完成整理檢測。公示答案。
在這節(jié)課里，你學(xué)到了什么？
(1)如何判斷一個計數(shù)問題是排列問題還是組合問題？
(2)如何求一個組合問題的所有組合個數(shù)？組合個數(shù)與排列個數(shù)的關(guān)系是什么？
請完成課后練習(xí)
1、已知平面內(nèi)A，B，C，D這4個點中任何3個點都不在一條直線上，寫出以其中任意3個點為頂點的所有三角形．并嘗試探究，若有N個不在同一條直線上的點，能構(gòu)成多少個三角形？

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