資源簡介

7.3.5 已知三角函數(shù)值求角
課程標準 學習目標
（1）理解反正弦、反余弦、反正切的概念，明確其表示角的范圍； （2）掌握已知的三角函數(shù)值求角，培養(yǎng)學生數(shù)學運算的數(shù)學核心素養(yǎng)。 （1）掌握利用三角函數(shù)線求角的方法，會由已知的三角函數(shù)值求角，并會用符號、、表示角； （2）熟記一些比較常見的三角函數(shù)值及其在區(qū)間上對應的角。
知識點01 已知三角函數(shù)值求角相關概念
1、已知正弦值求角
對于正弦函數(shù)，在區(qū)間內，滿足的只有一個，這個記作，即.
2、已知余弦值求角
對于余弦函數(shù)，在區(qū)間內，滿足的只有一個，這個記作，即.
3、已知正切值求角
對于正切函數(shù)，在區(qū)間內，滿足的只有一個，這個記作，即.
【即學即練1】（2023·高一課時練習）用反三角函數(shù)的形式把下列各式中的x表示出來．
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】（1）∵，∴，
∴，∴.
（2）∵，∴.
（3）∵，∴，
∴，∴，∴.
（4）∵，
∴，
∴，∴.
知識點02 已知三角函數(shù)值求角或角的范圍的方法
1、利用三角函數(shù)線求角
在單位圓中，是正弦線，是余弦線，是正切線，作出三角函數(shù)線，即可求得角的大小。
2、利用三角函數(shù)圖象求角或角的范圍
用三角函數(shù)圖象解(或)的方法
（1）作出直線，(或)的圖像；
（2）確定(或)的的值；
（3）選取一個合適的周期寫出(或)的解集，要盡量使解集為一個連續(xù)區(qū)間。
【即學即練2】（2023·全國·高一課時練習）求出的解集（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】畫出正弦函數(shù)的圖象，如圖：
，，等價
因為的周期為，，
故不等式的解集為，故選：C.
【題型一：已知正弦值求角】
例1．（2023·江西南昌·高一校考階段練習）“”是“”的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】因為，所以，
所以“”是“”的充要條件，故選：A.
變式1-1．（2023·上海閔行·高一校考期中）設，則“”是“”的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分也非必要條件
【答案】B
【解析】若成立，可得或，，
說明是其中的一個角，不一定剛好，充分性不成立，
反之如果成立，則成立，必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分條件．故選：B．
變式1-2．（2023·上海長寧·高一延安中學校考期中）已知，，則 .
【答案】或
【解析】，，則，所以或.
變式1-3．（2023·高一單元測試）若，，則 ．
【答案】
【解析】由，得，所以，
由，
所以，所以
【方法技巧與總結】
1、給值求角的問題，由于范圍不同，所得的角可能不同，一定要注意范圍條件的約束作用。
2、對于已知正弦值求角的規(guī)律
【題型二：已知余弦值求角】
例2．（2024·上海·高一假期作業(yè)）已知，則角x等于
【答案】
【解析】由題意，，所以.
變式2-1．（2023·上海浦東新·高一校考期中）集合 ．
【答案】
【解析】當時，，則，
由，可得，所以，，
因為，則或，
因此，.
變式2-2．（2023·上海松江·高一上海市松江二中校考期中）方程，的解為 ．
【答案】
【解析】依題意，，而，即，
因此，解得，所以所求方程的解為.
變式2-3．（2022·上海浦東新·高二校考階段練習）已知，則以下四個式子表示，其中不正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，
由反函數(shù)的定義可知，其中，
由于，所以，故B正確，
由與關于對稱，所以，故A正確，C錯誤，
由于，所以，，
所以，故D正確.故選：C.
【方法技巧與總結】
利用余弦值求角、解不等式：將看作整體，先求出或的角，再通過周期推廣到整個定義域內，最后解出的值或范圍。
【題型三：已知正切值求角】
例3．（2023·北京·高一北京市第一六一中學校考期中）若，，則 .
【答案】
【解析】則，又，故.
變式3-1．（2023·北京海淀·高一人大附中校考期中）若（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，，，，
又反正切函數(shù)的值域為，所以.故選：B
變式3-2．（2023·高一課時練習）已知，且，則可表示成（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，
所以，所以，故選：C.
變式3-3．（2023·高一課時練習）已知，，則等于 ．
【答案】
【解析】由題知，，所以，所以
【方法技巧與總結】
1、已知角的正切值求角，可先求出內的角，再由的周期性表示所給范圍內的角；
2、，的解集為.
【題型四：三角方程的求解】
例4．（2024·廣東佛山·高一統(tǒng)考期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．必要條件 D．既不充分也不必要條什
【答案】B
【解析】由，可得或，即充分性不成立；
反之，若，可得，則，即必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.
變式4-1．（2023·浙江·高一期末）已知，且，則（ ）
A． B．或 C．或 D．或
【答案】D
【解析】，又，則或．故選：D.
變式4-2．（2023·高一課時練習）的解集為 ．
【答案】
【解析】因為，
所以，則或，
當時，；
當時，，則.
綜上：或.
變式4-3．（2021下·四川成都·高一四川省蒲江縣蒲江中學校考階段練習）如果，則角與的終邊除了可能重合外，還有可能（ ）
A．關于軸對稱 B．關于軸對稱 C．關于直線對稱 D．關于原點對稱
【答案】A
【解析】如圖：角的終邊與單位圓相交于點，過點作軸于點，
由三角函數(shù)線的定義可知：，
由圖知：設角的終邊與單位圓相交于點，當角的終邊與角的終邊關于軸對稱時，
過點作軸的垂線，則垂足為點，所以，
所以當角與的終邊關于軸對稱時，，故選：A.
【方法技巧與總結】
明確所求角的范圍和個數(shù)，結合誘導公式先用或或表示一個或兩個特殊角，然后再根據(jù)函數(shù)的周期性表示出所有的角。
一、單選題
1．（2023·陜西咸陽·高三統(tǒng)考期中）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】當時，，，
反之，當時，，不一定是，
所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.
2．（2023·高一課時練習）若，則角x等于（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【解析】∵，
∴，∴，
∵，∴，∴或.故選：D.
3．（2023·四川宜賓·高二統(tǒng)考期末）已知命題，命題，則是的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】當時，可得，所以充分性成立；
反之：若，可得，所以必要性不成立，
所以是的充分不必要條件.故選：A.
4．（2023·北京·高一校考階段練習）在△中，若，則=（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
【答案】A
【解析】△中，若，，
則，所以，所以，故選：A.
5．（2019·高一課時練習）若，，則適合條件的角有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．無數(shù)個
【答案】C
【解析】因為，，則或，
又在只有1個角使得，在也只有1個角使得，
即符合條件的角有2個，故選C.
6．（2023·高一課時練習）下列敘述錯誤的是（ ）
A． B．若，則
C．若，則 D．
【答案】C
【解析】令，則，
∵，而為增函數(shù)，∴，即，故A正確；
根據(jù)定義：任意給定的一個，
當且時，記作，可知B正確；
當時，而，故C錯誤；
令，，則，
∵，∴，，即，故D正確.故選：C.
二、填空題
7．（2023·北京·高一北理工附中校考期中）設，且，則為 .
【答案】
【解析】因為，且在上單調遞減，
所以由，得．
8．（2023·上海·高一金山中學校考階段練習）寫出方程在內的解集 .
【答案】
【解析】，
，或，，或
.
9．（2024·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）的一個充分不必要條件是 .
【答案】（答案不唯一）
【解析】因為時，
由可得,
故的一個充分不必要條件是.
10．（2023·黑龍江齊齊哈爾·高一校考階段練習）已知，則 .
【答案】或
【解析】因為，所以或.
11．（2023·上海·高一上海市第三女子中學校考期中）已知，則 （用反正弦表示）
【答案】
【解析】由，可得.
12．（2023·高一課時練習）已知，若，用反正弦符號表示為 ．
【答案】
【解析】∵，∴，
∴，∴.
13．（2022·遼寧沈陽·高一沈陽二中階段練習）若，，則 ．
【答案】
【解析】由反三角函數(shù)的性質知，故
而，故
14．（2023·遼寧鐵嶺·高一昌圖縣第一高級中學校考階段練習） .
【答案】
【解析】7.3.5 已知三角函數(shù)值求角
課程標準 學習目標
（1）理解反正弦、反余弦、反正切的概念，明確其表示角的范圍； （2）掌握已知的三角函數(shù)值求角，培養(yǎng)學生數(shù)學運算的數(shù)學核心素養(yǎng)。 （1）掌握利用三角函數(shù)線求角的方法，會由已知的三角函數(shù)值求角，并會用符號、、表示角； （2）熟記一些比較常見的三角函數(shù)值及其在區(qū)間上對應的角。
知識點01 已知三角函數(shù)值求角相關概念
1、已知正弦值求角
對于正弦函數(shù)，在區(qū)間內，滿足的只有一個，這個記作，即.
2、已知余弦值求角
對于余弦函數(shù)，在區(qū)間內，滿足的只有一個，這個記作，即.
3、已知正切值求角
對于正切函數(shù)，在區(qū)間內，滿足的只有一個，這個記作，即.
【即學即練1】（2023·高一課時練習）用反三角函數(shù)的形式把下列各式中的x表示出來．
（1） （2）
（3） （4）
知識點02 已知三角函數(shù)值求角或角的范圍的方法
1、利用三角函數(shù)線求角
在單位圓中，是正弦線，是余弦線，是正切線，作出三角函數(shù)線，即可求得角的大小。
2、利用三角函數(shù)圖象求角或角的范圍
用三角函數(shù)圖象解(或)的方法
（1）作出直線，(或)的圖像；
（2）確定(或)的的值；
（3）選取一個合適的周期寫出(或)的解集，要盡量使解集為一個連續(xù)區(qū)間。
【即學即練2】（2023·全國·高一課時練習）求出的解集（ ）
A． B．
C． D．
【題型一：已知正弦值求角】
例1．（2023·江西南昌·高一校考階段練習）“”是“”的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
變式1-1．（2023·上海閔行·高一校考期中）設，則“”是“”的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分也非必要條件
變式1-2．（2023·上海長寧·高一延安中學校考期中）已知，，則 .
變式1-3．（2023·高一單元測試）若，，則 ．
【方法技巧與總結】
1、給值求角的問題，由于范圍不同，所得的角可能不同，一定要注意范圍條件的約束作用。
2、對于已知正弦值求角的規(guī)律
【題型二：已知余弦值求角】
例2．（2024·上海·高一假期作業(yè)）已知，則角x等于
變式2-1．（2023·上海浦東新·高一校考期中）集合 ．
變式2-2．（2023·上海松江·高一上海市松江二中校考期中）方程，的解為 ．
變式2-3．（2022·上海浦東新·高二校考階段練習）已知，則以下四個式子表示，其中不正確的是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧與總結】
利用余弦值求角、解不等式：將看作整體，先求出或的角，再通過周期推廣到整個定義域內，最后解出的值或范圍。
【題型三：已知正切值求角】
例3．（2023·北京·高一北京市第一六一中學校考期中）若，，則 .
變式3-1．（2023·北京海淀·高一人大附中校考期中）若（ ）
A． B． C． D．
變式3-2．（2023·高一課時練習）已知，且，則可表示成（ ）
A． B． C． D．
變式3-3．（2023·高一課時練習）已知，，則等于 ．
【方法技巧與總結】
1、已知角的正切值求角，可先求出內的角，再由的周期性表示所給范圍內的角；
2、，的解集為.
【題型四：三角方程的求解】
例4．（2024·廣東佛山·高一統(tǒng)考期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．必要條件 D．既不充分也不必要條什
變式4-1．（2023·浙江·高一期末）已知，且，則（ ）
A． B．或 C．或 D．或
變式4-2．（2023·高一課時練習）的解集為 ．
變式4-3．（2021下·四川成都·高一四川省蒲江縣蒲江中學校考階段練習）如果，則角與的終邊除了可能重合外，還有可能（ ）
A．關于軸對稱 B．關于軸對稱 C．關于直線對稱 D．關于原點對稱
【方法技巧與總結】
明確所求角的范圍和個數(shù)，結合誘導公式先用或或表示一個或兩個特殊角，然后再根據(jù)函數(shù)的周期性表示出所有的角。
一、單選題
1．（2023·陜西咸陽·高三統(tǒng)考期中）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2023·高一課時練習）若，則角x等于（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
3．（2023·四川宜賓·高二統(tǒng)考期末）已知命題，命題，則是的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4．（2023·北京·高一校考階段練習）在△中，若，則=（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
5．（2019·高一課時練習）若，，則適合條件的角有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．無數(shù)個
6．（2023·高一課時練習）下列敘述錯誤的是（ ）
A． B．若，則
C．若，則 D．
二、填空題
7．（2023·北京·高一北理工附中校考期中）設，且，則為 .
8．（2023·上海·高一金山中學校考階段練習）寫出方程在內的解集 .
9．（2024·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）的一個充分不必要條件是 .
10．（2023·黑龍江齊齊哈爾·高一校考階段練習）已知，則 .
11．（2023·上海·高一上海市第三女子中學校考期中）已知，則 （用反正弦表示）
12．（2023·高一課時練習）已知，若，用反正弦符號表示為 ．
13．（2022·遼寧沈陽·高一沈陽二中階段練習）若，，則 ．
14．（2023·遼寧鐵嶺·高一昌圖縣第一高級中學校考階段練習） .

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