資源簡(jiǎn)介

6.2.4　向量的數(shù)量積
第1課時(shí)　向量數(shù)量積的概念及性質(zhì)
學(xué)習(xí)任務(wù) 1．了解向量的數(shù)量積的物理背景，即物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s所做的功．(數(shù)學(xué)抽象) 2．掌握向量的數(shù)量積的定義及投影向量．(數(shù)學(xué)抽象) 3．會(huì)計(jì)算平面向量的數(shù)量積．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
大力士拉車，沿著繩子方向上的力為F，車的位移是s，力和位移的夾角為θ．
問(wèn)題：該大力士所做的功是多少？
知識(shí)點(diǎn)1　向量的數(shù)量積
1．兩向量的夾角
已知兩個(gè)非零向量a，b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角．
當(dāng)θ＝0時(shí)，向量a，b同向；
當(dāng)θ＝π時(shí)，向量a，b反向；
當(dāng)θ＝時(shí)，向量a與b垂直，記作a⊥b．
1．如何作出向量a與b的夾角？
[提示]　
2．平面向量數(shù)量積的定義
已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，把數(shù)量|a||b|cos θ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ．
規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0．
2．把“a·b”寫成“ab”或“a×b”可以嗎，為什么？
[提示]　不可以，數(shù)量積是兩個(gè)向量之間的乘法，在書寫時(shí)，一定要嚴(yán)格，必須寫成“a·b”的形式．
3．投影向量
設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，＝a，＝b，過(guò)的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到，稱這種變換為向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．
3．如圖，設(shè)與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，那么與e，a，θ之間有怎樣的關(guān)系？
[提示]　＝|a|cos θe．
知識(shí)點(diǎn)2　向量數(shù)量積的性質(zhì)
設(shè)a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則
(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ．
(2)a⊥b a·b＝0．
(3)當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b＝|a||b|；
當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b＝－|a||b|．
特別地，a·a＝|a|2或|a|＝．
(4)|a·b|≤|a||b|．
4．若a·b＝0，則a⊥b一定成立嗎？
[提示]　不一定，也可能a＝0或b＝0．
5．a(chǎn)·b的符號(hào)與兩向量的夾角有何關(guān)系？
[提示]　a·b<0，由a·b＝|a||b|cos θ可知，兩向量的夾角是鈍角或180°．而a·b>0時(shí)，由a·b＝|a||b|cos θ可知，兩向量的夾角是銳角或0°．
1．若|a|＝3，|b|＝4，a，b的夾角為135°，則a·b＝(　　)
A．－3　 B．－6　 C．6　D．2
B　[a·b＝|a||b|cos 135°＝3×4×＝－6．]
2．若向量a，b的夾角為60°，則向量a與－b的夾角為_(kāi)_______．
[答案]　120°
3．已知|a|＝5，|b|＝2，a與b的夾角為60°，則向量b在a方向上的投影向量為_(kāi)_______．
a　[向量b在a方向上的投影向量為
(|b|cos θ)＝2×cos 60°×a＝a．]
類型1　定義法求向量的夾角
【例1】　已知|a|＝|b|＝2，且a與b的夾角為60°，則a＋b與a的夾角是多少？a－b與a的夾角又是多少？
[解]　如圖所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°．
以為鄰邊作 OACB，
則＝a＋b，＝a－b．
因?yàn)閨a|＝|b|＝2，
所以 OACB是菱形，
又∠AOB＝60°，
所以與的夾角為30°，與的夾角為60°．
即a＋b與a的夾角是30°，a－b與a的夾角是60°．
　求兩個(gè)向量夾角的關(guān)鍵是利用平移的方法使兩個(gè)向量起點(diǎn)重合，作兩個(gè)向量的夾角，按照“一作二證三算”的步驟求出．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．如圖，已知△ABC是等邊三角形．
(1)求向量與的夾角；
(2)若E為BC的中點(diǎn)，求向量與的夾角．
[解]　(1)因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，所以∠ABC＝60°．
如右上圖，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)D，使BD＝AB，則＝，所以∠DBC為向量與的夾角．
因?yàn)椤螦BC＝60°，
所以∠DBC＝120°，
所以向量與的夾角為120°．
(2)因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以AE⊥BC，
所以向量與的夾角為90°．
類型2　平面向量的數(shù)量積運(yùn)算
【例2】　如圖，在 ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，求：
(1)·；(2)·．
[解]　(1)因?yàn)椤危曳较蛳嗤?br/>所以與的夾角是0°，
所以·＝||||·cos 0°＝3×3×1＝9．
(2)因?yàn)榕c的夾角為60°，
所以與的夾角為120°，
所以·＝||||·cos 120°
＝4×3×＝－6．
　定義法求平面向量的數(shù)量積
(1)求模：即分別求|a|和|b|．
(2)求夾角：尤其注意向量a與b的方向．
(3)求數(shù)量積：即a·b＝|a||b|cos θ．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．已知|a|＝6，|b|＝5，分別求下列情況下a與b的數(shù)量積：
(1)a∥b；
(2)a⊥b；
(3)a與b的夾角為60°．
[解]　(1)當(dāng)a∥b時(shí)，若a與b同向，則θ＝0°，
a·b＝|a||b|cos 0°＝6×5＝30；
若a與b反向，則θ＝180°，
a·b＝|a||b|cos 180°＝－6×5＝－30．
(2)當(dāng)a⊥b時(shí)，a與b的夾角為90°，
a·b＝|a||b|cos 90°＝0．
(3)當(dāng)a與b的夾角為60°時(shí)，a·b＝|a||b|cos 60°＝6×5×＝15．
類型3　投影向量
【例3】　已知|a|＝3，|b|＝1，向量a與向量b的夾角為120°，求：
(1)向量a在向量b上的投影向量；
(2)向量b在向量a上的投影向量．
[解]　(1)∵|b|＝1，∴b為單位向量．
∴向量a在向量b上的投影向量為
|a|cos 120°·b＝3×b＝－b．
(2)∵|a|＝3，∴＝a，
∴向量b在向量a上的投影向量為|b|cos 120°＝1··a＝－a．
　投影向量的求法
方法一：用幾何法作出恰當(dāng)?shù)拇咕€，直接得到投影向量．
方法二：利用公式．向量a在向量b上的投影向量為|a|·cos θ·．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．已知|a|＝12，|b|＝8，a·b＝24，求向量a在向量b上的投影向量．
[解]　設(shè)a，b的夾角為θ，
∵a·b＝|a||b|cos θ，
∴cos θ＝＝＝，
∴向量a在向量b上的投影向量為
|a|cos θ·＝12××b＝b．
1．在 ABCD中，∠DAB＝30°，則與的夾角為(　　)
A．30°　　　 B．60°　　
C．120°　　 D．150°
D　[如圖，與的夾角為∠ABC＝150°．故選D．
]
2．已知|a|＝3，|b|＝6，當(dāng)a∥b時(shí)，a·b＝(　　)
A．18 B．－18
C．±18 D．0
C　[當(dāng)a∥b時(shí)，若a與b同向，則它們的夾角為0°，所以a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18；若a與b反向，則它們的夾角為180°，所以a·b＝|a|·|b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18．故選C．]
3．設(shè)|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，則a與b的夾角為_(kāi)_______．
　[設(shè)a，b的夾角為θ，則cos θ＝＝，
∵θ∈[0，π]，∴θ＝．]
4．已知|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角為，則b在a方向上的投影向量為_(kāi)_______．
a　[b在a方向上的投影向量為|b|cos ·＝2×a＝a．]
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問(wèn)題：
1．向量夾角的范圍是多少？
[提示]　[0，π]．
2．如何求兩個(gè)向量的數(shù)量積？對(duì)于向量a，b，如何求它們的夾角θ？
[提示]　a·b＝|a||b|cos θ，從而cos θ＝．
3．如何求向量b在a方向上的投影向量？如何求向量a在b方向上的投影向量？
[提示]　b在a方向上的投影向量為|b|e1cos θ，a在b方向上的投影向量為|a|e2cos θ(θ為a與b的夾角，e1為a方向的單位向量，e2為b方向的單位向量)．
4．設(shè)a與b都是非零向量，若a⊥b，則a·b等于多少？反之成立嗎？
[提示]　a⊥b a·b＝0．反之成立．
5．|a·b|與|a||b|的大小關(guān)系如何？
[提示]　|a·b|≤|a||b|．
課時(shí)分層作業(yè)(五)　向量數(shù)量積的概念及性質(zhì)
一、選擇題
1．已知|a|＝，|b|＝2，a與b的夾角是120°，則a·b等于(　　)
A．3　　　 B．－3　　
C．－3　　 D．3
B　[由數(shù)量積的定義，得a·b＝|a||b|cos 120°＝×2×＝－3．]
2．已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夾角為135°，則|b|＝(　　)
A．12 B．3
C．6 D．3
C　[因?yàn)閍·b＝|a||b|cos 135°＝－12，又|a|＝4，則4××|b|＝－12，解得|b|＝6．]
3．已知|a|＝8，與a同向的單位向量為e，|b|＝4，a，b的夾角為120°，則向量b在向量a方向上的投影向量為(　　)
A．4e B．－4e
C．2e D．－2e
D　[向量b在向量a方向上的投影向量為|b|·cos 120°e＝4×cos 120°e＝－2e．故選D．]
4．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，則與的夾角是(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
C　[如圖，作向量＝，則∠BAD是與的夾角，在△ABC中，因?yàn)椤螦CB＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即與的夾角是120°．]
5．(多選)下列命題正確的是(　　)
A．0·a＝0
B．若a≠0，則對(duì)任一非零向量b都有a·b≠0
C．若a·b＝0，則a與b中至少有一個(gè)為0
D．若a與b是兩個(gè)單位向量，則a2＝b2
AD　[A正確，因?yàn)?的長(zhǎng)度為0，結(jié)合數(shù)量積的定義可知0·a＝0．B，C錯(cuò)誤，當(dāng)非零向量a⊥b時(shí)，有a·b＝0．D正確，因?yàn)閨a|＝|b|＝1，所以a2＝|a|2＝1，b2＝＝1，故a2＝b2．]
二、填空題
6．如圖所示，△ABC是頂角為120°的等腰三角形，且AB＝1，則·＝________．
－　[因?yàn)椤鰽BC是頂角為120°的等腰三角形，且AB＝1，所以BC＝．所以·＝1××cos 150°＝－．]
7．已知|a|＝2，且a與b的夾角為60°，與b同向的單位向量為e，則向量a在向量b上的投影向量為_(kāi)_______．
e　[因?yàn)閍與b的夾角為60°，a在b上的投影向量為|a|cos 60°e＝2×e＝e．]
8．已知向量a，b均為單位向量，a·b＝，則a與b的夾角為_(kāi)_______．
　[設(shè)a與b的夾角為θ，
由題意知|a|＝|b|＝1，則cos θ＝＝，
又∵0≤θ≤π，∴θ＝．]
三、解答題
9．已知|a|＝5，|b|＝4，a與b的夾角θ＝120°，與b同向的單位向量為e．
(1)求a·b；
(2)求a在b上的投影向量．
[解]　(1)a·b＝|a||b|cos θ＝5×4×cos 120°＝－10．
(2)a在b上的投影向量為|a|cos θe＝5×cos 120°e＝－e．
10．如圖所示，一力作用在小車上，其中力F的大小為10 N，方向與水平面成60°角．則當(dāng)小車向前運(yùn)動(dòng)10 m時(shí)，力F做的功為(　　)
A．100 J B．50 J
C．50 J D．200 J
B　[由題意，根據(jù)向量的數(shù)量積的定義，可得力F做的功W＝F·s＝10×10×cos 60°＝50(J)，故選B．]
11．已知平面上三點(diǎn)A，B，C滿足||＝3，||＝4，||＝5，則···的值為(　　)
A．－7 B．7
C．25 D．－25
D　[由條件知∠ABC＝90°，所以原式＝0＋4×5cos (180°－C)＋5×3cos (180°－A)＝－20cos C－15cos A＝－20×－15×＝－16－9＝－25．]
12．定義：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ為向量a與b的夾角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，則|a×b|等于(　　)
A．8 B．－8
C．8或－8 D．6
A　[cos θ＝＝＝－，∵θ∈[0，π]，
∴sin θ＝．∴|a×b|＝2×5×＝8．故選A．]
13．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，則△ABC的形狀是________，·＝________．
等邊三角形　－8　[·＝||||·cos ∠BAC，
即8＝4×4cos ∠BAC，
于是cos ∠BAC＝，因?yàn)?°<∠BAC<180°，
所以∠BAC＝60°．
又AB＝AC，故△ABC是等邊三角形．
此時(shí)·＝||||cos 120°＝－8．]
14．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，D是邊BC的中點(diǎn)，求：
(1)在上的投影向量；
(2)在上的投影向量．
[解]　如圖，連接AD，因?yàn)锳B＝AC＝4，∠BAC＝90°，所以△ABC是等腰直角三角形．又D是BC邊的中點(diǎn)，
所以AD⊥BC，∠ABD＝45°，所以BD＝2．
延長(zhǎng)AB到E，則與的夾角為∠DBE＝180°－45°＝135°．
(1)設(shè)與向量方向相同的單位向量為e1，則在上的投影向量是
||cos 135°e1＝4×e1＝－2e1．
(2)設(shè)與向量方向相同的單位向量為e2，
則在上的投影向量是
||cos 135°e2＝2×e2＝－2e2．
15．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)．
(1)求·的值；
(2)求·的最大值．
[解]　(1)如圖所示，由向量數(shù)量積的定義可得·＝·＝||||·cos θ．
由圖可知，||cos θ＝||，
因此·＝||2＝1．
(2)·＝||||cos α＝||cos α，而||cos α就是向量在上的投影向量的模，當(dāng)在上的投影向量的模最大，即為||時(shí)，·最大，此時(shí)點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，所以·的最大值為1．第2課時(shí)　向量數(shù)量積的運(yùn)算律
學(xué)習(xí)任務(wù) 1．掌握平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律及常用的公式．(邏輯推理) 2．會(huì)利用向量數(shù)量積的有關(guān)運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算或證明．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
我們已經(jīng)知道，很多運(yùn)算都滿足一定的運(yùn)算律．例如，向量的加法滿足交換律，數(shù)乘向量對(duì)加法滿足分配律，即對(duì)任意向量a，b以及實(shí)數(shù)λ，有a＋b＝b＋a，λ(a＋b)＝λa＋λb．
根據(jù)向量數(shù)量積的定義，探討向量數(shù)量積的運(yùn)算滿足哪些運(yùn)算律，并說(shuō)明理由．
知識(shí)點(diǎn)1　向量數(shù)量積的運(yùn)算律
(1)a·b＝b·a．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
知識(shí)點(diǎn)2　數(shù)量積運(yùn)算的常用公式
(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
(2)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2；
(3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．
1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)a·b＝b·c推不出a＝c． (　　)
(2)對(duì)于向量a，b，c，等式(a·b)c＝(b·c)a都成立． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×
2．已知|a|＝3，|b|＝4，則(a＋b)·(a－b)＝________．
[答案]　－7
類型1　求數(shù)量積
【例1】　已知|a|＝6，|b|＝4，a與b的夾角為60°，求(a＋2b)·(a＋3b)．
[解]　(a＋2b)·(a＋3b)
＝a·a＋5a·b＋6b·b
＝|a|2＋5a·b＋6|b|2
＝|a|2＋5|a||b|cos 60°＋6|b|2
＝62＋5×6×4×cos 60°＋6×42＝192．
　根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，向量的加、減與數(shù)量積的混合運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．已知兩個(gè)單位向量e1，e2的夾角為，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，則b1·b2＝________．
－6　[由題設(shè)知|e1|＝|e2|＝1，且e1·e2＝，
所以b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝＝3－2×－8＝－6．]
類型2　與向量模有關(guān)的問(wèn)題
【例2】　(源自人教B版教材)(1)已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，求|a＋2b|；
(2)已知|a＋b|＝|a－b|，求a·b．
[解]　(1)由題意可知
a2＝4，b2＝1，a·b＝2×1×cos 60°＝1，
所以|a＋2b|2＝(a＋2b)2
＝a2＋4a·b＋4b2
＝4＋4×1＋4×1＝12，
因此|a＋2b|＝2．
(2)由題意可知|a＋b|2＝|a－b|2，
即(a＋b)2＝(a－b)2，
因此a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，
因此a·b＝0．
　a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性質(zhì)可用來(lái)求向量的模，可以實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．已知向量a與b夾角為45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝，求|b|．
[解]　因?yàn)閨2a＋b|＝，
所以(2a＋b)2＝10，
所以4a2＋4a·b＋b2＝10．
又因?yàn)橄蛄縜與b的夾角為45°且|a|＝1，
所以4×12＋4×1×|b|×＋|b|2＝10，
整理得|b|2＋2|b|－6＝0，
解得|b|＝或|b|＝－3(舍去)．
類型3　與向量垂直、夾角有關(guān)的問(wèn)題
【例3】　(1)已知非零向量m，n滿足4|m|＝3|n|，m與n夾角的余弦值為，若n⊥(tm＋n)，則實(shí)數(shù)t的值為(　　)
A．4　　　 B．－4　　　
C．　　　 D．－
(2)已知e1與e2是兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量e1＋ke2與ke1＋e2的夾角為銳角，求k的取值范圍．
(1)B　[由題意知，＝＝，
所以m·n＝|n|2＝n2，
因?yàn)閚·(tm＋n)＝0，所以tm·n＋n2＝0，
即tn2＋n2＝0，所以t＝－4．]
(2)[解]　∵e1＋ke2與ke1＋e2的夾角為銳角，
∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝＋(k2＋1)e1·e2＝2k＞0，∴k＞0．
當(dāng)k＝1時(shí)，e1＋ke2＝ke1＋e2，它們的夾角為0°，不符合題意，舍去．
綜上，k的取值范圍為k＞0且k≠1．
[母題探究]
將本例(2)中的條件“銳角”改為“鈍角”，其他條件不變，求k的取值范圍．
[解]　∵e1＋ke2與ke1＋e2的夾角為鈍角，
∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝＋(k2＋1)e1·e2＝2k＜0，∴k＜0．
當(dāng)k＝－1時(shí)，e1＋ke2與ke1＋e2方向相反，它們的夾角為π，不符合題意，舍去．
綜上，k的取值范圍是k＜0且k≠－1．
　求兩向量夾角的方法
(1)一般是利用夾角公式：cos θ＝．
(2)注意：數(shù)量積大于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說(shuō)明兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時(shí)兩向量的夾角為鈍角．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．已知非零向量a，b滿足a＋3b與7a－5b互相垂直，a－4b與7a－2b互相垂直，求a與b的夾角．
[解]　由已知條件得
即
②－①得23b2－46a·b＝0，
∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，
∴|a|＝|b|，∴cos θ＝＝＝．
∵θ∈[0，π]，∴θ＝．
1．已知向量a，b滿足|a|＝1，a·b＝－1，則a·(2a－b)＝(　　)
A．4　　　 B．3　　　
C．2　　　 D．0
B　[∵|a|＝1，知a2＝|a|2＝1，又a·b＝－1，
∴a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3．]
2．已知a，b方向相同，且|a|＝2，|b|＝4，則|2a＋3b|＝(　　)
A．16 B．256
C．8 D．64
A　[∵|2a＋3b|2＝4a2＋9b2＋12a·b＝16＋144＋96＝256，∴|2a＋3b|＝16．]
3．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b與λa－b垂直，則實(shí)數(shù)λ等于(　　)
A． B．－
C．± D．1
A　[∵3a＋2b與λa－b垂直，∴(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0，∴λ＝．]
4．已知向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，則向量a與a－b的夾角為_(kāi)_______．
　[|a－b|＝＝＝，
設(shè)向量a與a－b的夾角為θ，則
cos θ＝＝＝，
又θ∈[0，π]，所以θ＝．]
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問(wèn)題：
1．向量的數(shù)量積滿足哪些運(yùn)算律？
[提示]　(1)a·b＝b·a．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
2．向量的夾角與其數(shù)量積之間存在什么關(guān)系？
[提示]　向量a，b的夾角為銳角，得到a·b>0；反之，a·b>0不能說(shuō)明a·b的夾角為銳角，因?yàn)閍，b夾角為0°時(shí)也有a·b>0．同理，向量a，b的夾角為鈍角，得到a·b<0；反之，a·b<0不能說(shuō)明a，b的夾角為鈍角，因?yàn)閍，b夾角為180°時(shí)也有a·b<0．
課時(shí)分層作業(yè)(六)　向量數(shù)量積的運(yùn)算律
一、選擇題
1．已知單位向量a，b，則(2a＋b)·(2a－b)的值為(　　)
A． B．
C．3　　 D．5
C　[由題意得(2a＋b)·(2a－b)＝4a2－b2＝4－1＝3．]
2．已知平面向量a，b滿足a·(a＋b)＝3且|a|＝2，|b|＝1，則向量a與b的夾角為(　　)
A． B．
C． D．
C　[設(shè)向量a與b的夾角為θ．
因?yàn)閍·(a＋b)＝a2＋a·b＝4＋2cos θ＝3，
所以cos θ＝－，又因?yàn)棣取蔥0，π]，所以θ＝．]
3．已知|a|＝|b|＝1，a與b的夾角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b, c與d垂直，則k的值為(　　)
A．－6 B．6
C．3 D．－3
B　[因?yàn)閏與d垂直，所以c·d＝0，所以(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，所以2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0，所以2k＝12，所以k＝6．]
4．(2022·全國(guó)乙卷) 已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，則a·b＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
C　[∵|a－2b|2＝|a|2－4a·b＋4|b|2，
又∵|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，
∴9＝1－4a·b＋4×3＝13－4a·b，
∴a·b＝1．
故選C．]
5．(多選)設(shè)a，b，c是任意的非零向量，且它們相互不共線，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．a(chǎn)·c－b·c＝(a－b)·c
B．(b·c)·a－(c·a)·b不與c垂直
C．|a|－|b|＜|a－b|
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
ACD　[根據(jù)向量數(shù)量積的分配律知A正確；
因?yàn)閇(b·c)·a－(c·a)·b]·c
＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，
所以(b·c)·a－(c·a)·b與c垂直，B錯(cuò)誤；
因?yàn)閍，b不共線，
所以|a|，|b|，|a－b|組成三角形三邊，
所以|a|－|b|＜|a－b|成立，C正確；
D正確．故選ACD．]
二、填空題
6．已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，則|a＋b|＝________．
　[∵a·(a－2b)＝0，∴a2－2a·b＝0．
∵|a|＝1，|b|＝2，∴a·b＝，
∴|a＋b|＝＝＝．]
7．(2022·全國(guó)甲卷)設(shè)向量a，b的夾角的余弦值為，且|a|＝1，|b|＝3，則(2a＋b)·b＝________．
11　[設(shè)a與b的夾角為θ，因?yàn)閍與b的夾角的余弦值為，即cos θ＝，又|a|＝1，|b|＝3，所以a·b＝|a|·|b|cos θ＝1×3×＝1，所以(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2a·b＋|b|2＝2×1＋32＝11．]
8．已知向量a，b滿足|a|＝5，|b|＝3，且b⊥(a－b)，則a，b夾角的余弦值為_(kāi)_______，設(shè)a在b方向上的投影向量為λb，則λ＝________．
　1　[∵b⊥(a－b)，∴b·(a－b)＝0 b·a－b2＝0 b·a＝b2，
∴cos 〈a，b〉＝＝＝＝，
由a在b方向上的投影為|a|cos 〈a，b〉＝3，知a在b方向上的投影向量為3·，
即3·＝λb，解得λ＝1．]
三、解答題
9．已知平面向量a，b，若|a|＝1，|b|＝2，且|a－b|＝．
(1)求a與b的夾角θ；
(2)若c＝ta＋b，且a⊥c，求t的值及|c|．
[解]　(1)由|a－b|＝，得a2－2a·b＋b2＝7，
所以1－2×1×2×cos θ＋4＝7，所以cos θ＝－．
又θ∈[0，π]，所以θ＝．
(2)因?yàn)閍⊥c，所以a·(ta＋b)＝0，
所以ta2＋a·b＝0，
所以t＋1×2×＝0，所以t＝1，
所以c＝a＋b，c2＝a2＋2a·b＋b2
＝1＋2×1×2×＋4＝3．所以|c|＝．
10．若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，則向量a－b與b的夾角為(　　)
A． B．
C． D．
D　[由|a＋b|＝|a－b|可得a·b＝0，由|a－b|＝2|a|可得3a2＝b2，所以|b|＝|a|，設(shè)向量a－b與b的夾角為θ，則cos θ＝＝＝－＝－，又θ∈[0，π]，所以θ＝．]
11．如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD＝60°，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，則·＝(　　)
A． B．－
C． D．－
D　[∵E，F(xiàn)是菱形ABCD中邊BC，CD的中點(diǎn)，
∴＝＋＝＝)，
又||＝||＝2，且〈〉＝60°，
∴·＝·)
＝·＋||2－||2
＝||·||·cos 60°＋×22－×22
＝－．]
12．(多選)已知正△ABC的邊長(zhǎng)為2，設(shè)＝2a，＝b，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．|a＋b|＝1 B．a(chǎn)⊥b
C．(4a＋b)⊥b D．a(chǎn)·b＝－1
CD　[分析知|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角是120°，故B結(jié)論錯(cuò)誤；
∵(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3，
∴|a＋b|＝，故A結(jié)論錯(cuò)誤；
∵(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝4×1×2×cos 120°＋4＝0，
∴(4a＋b)⊥b，故C結(jié)論正確；
a·b＝1×2×cos 120°＝－1，故D結(jié)論正確．]
13．已知|a|＝|b|＝|c|＝1且滿足3a＋mb＋7c＝0，其中a，b的夾角為60°，則實(shí)數(shù)m＝________．
5或－8　[因?yàn)?a＋mb＋7c＝0，
所以3a＋mb＝－7c，
所以(3a＋mb)2＝(－7c)2，
即9＋m2＋6ma·b＝49，
又a·b＝|a||b|cos 60°＝，
所以m2＋3m－40＝0，
解得m＝5或m＝－8．]
14．已知e1，e2是夾角為60°的兩個(gè)單位向量．若a＝3e1＋2e2，b＝te1＋2e2，其中t∈R，若a，b的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
[解]　因?yàn)閍，b的夾角為銳角，
所以a·b>0，且a，b不共線，
當(dāng)a·b>0時(shí)，
(3e1＋2e2)·(te1＋2e2)＝＝3t＋(6＋2t)＋4>0，得t>－，
當(dāng)a，b共線時(shí)，存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使a＝λb，即3e1＋2e2＝λ(te1＋2e2)，所以
解得所以當(dāng)t≠3時(shí)，a，b不共線，
綜上，t的取值范圍為t>－且t≠3，
即t的取值范圍為∪．
15．已知平面上三個(gè)向量a，b，c的模均為1，它們相互之間的夾角均為120°．
(1)求證：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求k的取值范圍．
[解]　(1)證明：因?yàn)閨a|＝|b|＝|c|＝1，
且a，b，c之間的夾角均為120°，
所以(a－b)·c＝a·c－b·c
＝|a||c|cos 120°－|b||c|cos 120°＝0，
所以(a－b)⊥c．
(2)因?yàn)閨ka＋b＋c|>1，
所以(ka＋b＋c)2>1，
即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c>1，
因?yàn)閍·b＝a·c＝b·c＝cos 120°＝－，
所以k2－2k>0，
解得k<0或k>2．
所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為(－∞，0)∪(2，＋∞)．6.3　平面向量基本定理及坐標(biāo)表示
6.3.1　平面向量基本定理
學(xué)習(xí)任務(wù) 1．理解平面向量基本定理及其意義，了解向量基底的含義．(數(shù)學(xué)抽象) 2．掌握平面向量基本定理，會(huì)用基底表示平面向量．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
在物理課《力的合成與分解》中，我們知道，一個(gè)力可以分解成無(wú)數(shù)對(duì)大小、方向不同的分力．
知識(shí)點(diǎn)　平面向量基本定理
1．平面向量基本定理
條件 e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量
結(jié)論 對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
2．基底
若e1，e2不共線，把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底．
思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)基底中的向量可以是零向量． (　　)
(2)平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關(guān)于基底的線性分解形式也是唯一確定的． (　　)
(3)若＝a，＝b，AD是△ABC的中線，則＝(a＋b)． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√
類型1　平面向量基本定理的理解
【例1】　(多選)如果e1，e2是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么下列說(shuō)法中不正確的是(　　)
A．a(chǎn)＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α內(nèi)的所有向量
B．對(duì)于平面α內(nèi)任一向量a，使a＝λe1＋μe2的實(shí)數(shù)對(duì)(λ，μ)有無(wú)窮多個(gè)
C．若向量λ1e1＋μ1e2與λ2e1＋μ2e2共線，則＝
D．若存在實(shí)數(shù)λ，μ，使得λe1＋μe2＝0，則λ＝μ＝0
BC　[由平面向量基本定理可知，AD的說(shuō)法是正確的．
對(duì)于B，由平面向量基本定理可知，若平面的基底確定，那么同一平面內(nèi)任意一個(gè)向量在此基底下的實(shí)數(shù)對(duì)是唯一的．
對(duì)于C，當(dāng)λ1＝λ2＝0或μ1＝μ2＝0時(shí)，結(jié)論不成立．]
　考查兩個(gè)向量是否能構(gòu)成基底，主要看兩向量是否不共線．此外，一個(gè)平面的基底一旦確定，那么平面上任意一個(gè)向量都可以由這個(gè)基底唯一表示．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(多選)設(shè){e1，e2}是平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底，則下列四組向量中，能作為基底的是(　　)
A．e1＋e2和e1－e2
B．3e1－4e2和6e1－8e2
C．e1＋2e2和2e1＋e2
D．e1和e1＋e2
ACD　[選項(xiàng)B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，
∴6e1－8e2與3e1－4e2共線，∴不能作為基底，選項(xiàng)A，C，D中兩向量均不共線，可以作為基底．]
類型2　用基底表示向量
【例2】　(源自湘教版教材)如圖，△ABC中，AB邊的中點(diǎn)為P，重心為G．在△ABC外任取一點(diǎn)O，作向量．
(1)試用表示；
(2)試用表示．
[解]　(1)＝＝＋
＝＋)
＝＋－
＝＋．
(2)＝＝＋
＝＋)
＝＋－
＝＋
＝＋
＝＋＋．
　基底表示其他向量的方法
方法一：利用向量的線性運(yùn)算及法則對(duì)所求向量不斷轉(zhuǎn)化，直至能用基底表示為止．
方法二：列向量方程組，利用基底表示向量的唯一性求解．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．已知△OAB中，點(diǎn)D在線段OB上，且OD＝2DB，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)C，使BA＝AC，連接OC，DC．設(shè)＝a，＝b．
(1)用a，b表示；
(2)若與＋k共線，求k的值．
[解]　(1)由題意知A為BC的中點(diǎn)，
∴＝)，
∴＝2＝2a－b，
＝＝－＝2a－b．
(2)由(1)得＋k＝(2k＋1)a－kb，
∵與＋k共線，設(shè)＝λ(＋k)，
則2a－b＝λ(2k＋1)a－λkb，
∴解得k＝．
類型3　平面向量基本定理的應(yīng)用
【例3】　(2022·江蘇馬壩高中月考)如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AB上，且AE＝2BE，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)．
(1)設(shè)＝a，＝b，用a，b表示；
(2)已知ED⊥EF，求證：AB＝AD．
[解]　(1)因?yàn)锳E＝2BE，所以＝＝，
所以＝＝b－a，
＝＝＋＝a＋b．
(2)證明：因?yàn)镋D⊥EF，所以·＝0，
即·＝b2－a2＝0，
即|a|＝|b|，所以AB＝AD．
　利用向量解決幾何問(wèn)題的一般思路
(1)選取不共線的兩個(gè)平面向量作為基底．
(2)將相關(guān)的向量用基底表示，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題．
(3)利用向量知識(shí)進(jìn)行向量運(yùn)算，得向量問(wèn)題的解．
(4)將向量問(wèn)題的解轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題的解．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．用向量方法證明：菱形對(duì)角線互相垂直．已知四邊形ABCD是菱形，AC，BD是其對(duì)角線．求證：AC⊥BD．
[證明]　設(shè)＝a，＝b．
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以|a|＝|b|，
又＝＝a＋b，＝＝b－a，
則·＝(a＋b)·(b－a)＝b2－a2＝|b|2－|a|2＝0，
故⊥．所以AC⊥BD．
1．已知平行四邊形ABCD，則下列各組向量中，是該平面內(nèi)所有向量基底的是(　　)
A．{} B．{}
C．{} D．{}
D　[由于不共線，所以是一組基底．故選D．]
2．已知向量e1，e2不共線，實(shí)數(shù)x，y滿足(5x－6y)e1＋(4x－5y)e2＝6e1＋3e2，則x－y的值為(　　)
A．3 B．－3
C．0 D．2
A　[由平面向量基本定理，得
則①－②得x－y＝3．]
3．在△ABC中，O為△ABC的重心，若＝λ＋μ，則λ－2μ＝(　　)
A．－ B．－1
C． D．－
D　[由題意可得＝×)＝＋＝＋)＝＋，所以λ＝－，μ＝，所以λ－2μ＝－－2×＝－．]
4．如圖，在平行四邊形ABCD中，設(shè)＝a，＝b，用基底{a，b}表示，則＝________，＝________．
a－b　a＋b　[法一：設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O(圖略)，則有＝＝＝a，＝＝＝b．所以＝＝＝a－b，
＝＝a＋b．
法二：設(shè)＝x，＝y(tǒng)，
則＝＝y(tǒng)，
又
所以
解得x＝a－b，y＝a＋b，
即＝a－b，＝a＋b．]
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問(wèn)題：
1．平面內(nèi)滿足什么條件的兩個(gè)向量可以構(gòu)成基底？
[提示]　平面內(nèi)任意不共線的兩個(gè)向量都可以構(gòu)成一組基底．
2．若存在實(shí)數(shù)λ1，λ2，μ1，μ2及不共線的向量e1，e2，使向量a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，則λ1，λ2，μ1，μ2有怎樣的大小關(guān)系？
[提示]　由題意λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即(λ1－μ1)e1＝(μ2－λ2)e2，由于e1，e2不共線，故λ1＝μ1，λ2＝μ2．
課時(shí)分層作業(yè)(七)　平面向量基本定理
一、選擇題
1．(多選)(2022·廣東雷州市白沙中學(xué)月考)如圖所示，D是△ABC的邊AB上的中點(diǎn)，則向量＝(　　)
A．－＋ B．
C．－ D．＋
AD　[＝＝－＋＝＋＝＋)＝＋．故選AD．]
2．如圖，在矩形ABCD中，若＝5e1，＝3e2，則＝(　　)
A．(5e1＋3e2)
B．(5e1－3e2)
C．(3e2－5e1)
D．(5e2－3e1)
A　[＝＝)
＝)＝(5e1＋3e2)．故選A．]
3．(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD＝2DA．記＝m，＝n，則＝(　　)
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
B　[因?yàn)辄c(diǎn)D在邊AB上，BD＝2DA，所以＝2，即＝2()，所以＝3－2＝3n－2m＝－2m＋3n．故選B．]
4．如圖，向量e1，e2，a的起點(diǎn)與終點(diǎn)均在正方形的格點(diǎn)上．若a＝λe1＋μe2，則λ＋μ＝(　　)
A．－1　　　 B．3
C．1　　　 D．－3
A　[根據(jù)題中圖象可知，a＝－2e1＋e2，所以λ＝－2，μ＝1，即λ＋μ＝－2＋1＝－1，故選A．]
5．如圖，在△ABC中，＝，＝，若＝λ＋μ，則等于(　　)
A． B．
C．3　　　 D．
A　[由題意可得，＝＝＝＝＋＝＋＝＋，據(jù)此可知λ＝，μ＝，則＝．]
二、填空題
6．設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基底，且a＝e1＋2e2，b＝＋e2，則向量e1＋e2可以表示為以a，b為基底的線性組合，即e1＋e2＝________．
a－b　[由a＝e1＋2e2①，b＝－e1＋e2②，①＋②得e2＝a＋b，代入①可求得e1＝a－b，
所以e1＋e2＝a－b．]
7．若向量a＝4e1＋2e2與b＝ke1＋e2共線，其中e1，e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，則k的值為_(kāi)_______．
2　[∵向量a與b共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa，
即ke1＋e2＝λ(4e1＋2e2)＝4λe1＋2λe2．
∵e1，e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，
∴∴k＝2．]
8．設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2為實(shí)數(shù))，則λ1＋λ2的值為_(kāi)_______．
　[如圖，由題意知，D為AB的中點(diǎn)，＝，
所以＝＝＋
＝＋)＝－＋，
所以λ1＝－，λ2＝，
所以λ1＋λ2＝－＋＝．]
三、解答題
9．設(shè)e1，e2是不共線的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2．
(1)證明：{a，b}可以作為一個(gè)基底；
(2)以{a，b}為基底表示向量c＝3e1－e2．
[解]　(1)證明：假設(shè)a＝λb(λ∈R)，
則e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共線，得
所以λ不存在．
故a與b不共線，可以作為一個(gè)基底．
(2)設(shè)c＝ma＋nb(m，n∈R)，
則3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2．
所以
解得
所以c＝2a＋b．
10．若＝a，＝b，＝λ(λ≠－1)，則等于(　　)
A．a(chǎn)＋λb　　 B．λa＋(1－λ)b
C．λa＋b　　　　 D．a(chǎn)＋b
D　[∵＝λ，
∴＝λ()，
∴(1＋λ)＝＋λ，
∴＝＋＝a＋b．]
11．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D是半圓弧AB的兩個(gè)三等分點(diǎn)，＝a，＝b，則等于(　　)
A．a(chǎn)－b B．a(chǎn)－b
C．a(chǎn)＋b D．a(chǎn)＋b
D　[連接CD，OD(圖略)，
∵點(diǎn)C，D是半圓弧AB的兩個(gè)三等分點(diǎn)，
∴AC＝BD，∴CD∥AB，∠CAD＝∠DAB＝30°，
∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO＝30°，
∴∠CAD＝∠ADO＝30°，
∴AC∥DO，
∴四邊形ACDO為平行四邊形，＝．
∵＝＝a，＝b，
∴＝a＋b．]
12．(多選)(2022·河北保定一中月考)在△ABC中，M，N分別是線段AB，AC上的點(diǎn)，CM與BN交于P點(diǎn)，若＝＋，則(　　)
A．＝ B．＝2
C．＝3 D．＝
AD　[設(shè)＝m＝n，由＝＋，可得＝＋＝＋．
因?yàn)镃，P，M共線，所以＋＝1，解得m＝．
因?yàn)镹，P，B共線，所以＋＝1，解得n＝．
故＝＝，
即＝＝．故選AD．]
13．如圖所示，OM∥AB，點(diǎn)P在由射線OM，線段OB及AB的延長(zhǎng)線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)(不含邊界)運(yùn)動(dòng)，且＝x＋y，則x的取值范圍是________；當(dāng)x＝－時(shí)，y的取值范圍是________．
(－∞，0)　　[由題意得＝a＋b(a，b∈(0，＋∞)且00)．由－aλ<0，得x∈(－∞，0)．
又由＝x＋y，知0當(dāng)x＝－時(shí)，有0<－＋y<1，解得14．若點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足：＝＋．
(1)求△ABM與△ABC的面積之比；
(2)若N為AB中點(diǎn)，AM與CN交于點(diǎn)O，設(shè)＝x＋y，求x，y的值．
[解]　(1)由＝＋可知M，B，C三點(diǎn)共線，
如圖，令＝λ ＝＝＋λ＝＋λ()＝(1－λ)＋λ λ＝，
所以＝，即面積之比為1∶4．
(2)由＝x＋y ＝x＋＝＋y，由O，M，A三點(diǎn)共線及O，N，C三點(diǎn)共線
15．(2022·山東棗莊三中月考)如圖，在平行四邊形ABCD中，E點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)，G點(diǎn)分別是AD，BC的四等分點(diǎn)．設(shè)＝a，＝b．
(1)用a，b表示；
(2)如果|b|＝2|a|，EF，EG有什么位置關(guān)系？用向量的方法證明你的結(jié)論．
[解]　(1)由已知，得＝＝a，＝＝b，
所以＝＝b－a，
＝＝b＋a．
(2)·＝·＝b2－a2，
如果|b|＝2|a|，那么·＝0，
即EF⊥EG．
所以EF與EG互相垂直．6.3.5　平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
學(xué)習(xí)任務(wù) 1．掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算．(數(shù)學(xué)運(yùn)算) 2．能夠用兩個(gè)向量的坐標(biāo)來(lái)解決與向量的模、夾角、垂直有關(guān)的問(wèn)題．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)i，j分別是x軸和y軸方向上的單位向量，a＝(3，2)，b＝(2，1)，則a·b的值為多少？a·b的值與a，b的坐標(biāo)有怎樣的關(guān)系？若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b為多少？
知識(shí)點(diǎn)　平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
設(shè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a與b的夾角．
(1)數(shù)量積的坐標(biāo)表示：a·b＝x1x2＋y1y2．
(2)向量模的公式：|a|＝．
(3)兩點(diǎn)間的距離公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則||＝．
(4)向量的夾角公式：
cos θ＝＝．
(5)向量垂直的充要條件：
若a與b都是非零向量，則a⊥b x1x2＋y1y2＝0．
已知向量a＝(x，y)，則與a共線的單位向量的坐標(biāo)是什么？
[提示]　設(shè)與a共線的單位向量為±a＝±＝±．
1．已知向量a＝(1，3)，b＝(－2，m)，若a⊥b，則m＝________．
　[因?yàn)閍⊥b，所以a·b＝1×(－2)＋3m＝0，解得m＝．]
2．已知a＝(，1)，b＝(－，1)，則|a|＝________，|b|＝________，a，b的夾角θ＝________．
[答案]　2　2　120°
類型1　平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算
【例1】　(1)已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，則(a＋2b)·(a－3b)＝(　　)
A．10　　　 B．－10　　
C．3　　 D．－3
(2)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AD上，＝2，則·＝________．
(1)B　(2)　[(1)a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10．故選B．
(2)建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，
則A(0，2)，E(2，1)，D(2，2)，B(0，0)，C(2，0)，
因?yàn)椋?，
所以F．
所以＝(2，1)，
＝－(2，0)＝，
所以·＝(2，1)·
＝2×＋1×2＝．]
　數(shù)量積運(yùn)算的途徑及注意點(diǎn)
(1)進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算解題時(shí)通常有兩條途徑：一是先將各向量用坐標(biāo)表示，直接進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算；二是先利用數(shù)量積的運(yùn)算律將原式展開(kāi)，再依據(jù)已知計(jì)算．
(2)對(duì)于以圖形為背景的向量數(shù)量積運(yùn)算的題目，只需把握?qǐng)D形的特征，并寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(1)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，則·＝(　　)
A．2 B．－2
C．4 D．無(wú)法確定
(2)已知點(diǎn)A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，則向量在方向上的投影向量長(zhǎng)度為_(kāi)_______．
(1)C　(2)　[(1)以B為原點(diǎn)，以的方向?yàn)閤軸、y軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖．
則B(0，0)，A(2，0)，D(0，y)．
所以＝(－2，0)，＝(－2，y)，
得·＝(－2，0)·(－2，y)＝4．
(2)由已知得＝(2，1)，＝(5，5)，因此在方向上的投影向量長(zhǎng)度為＝＝．]
類型2　向量模的坐標(biāo)表示
【例2】　若向量a的始點(diǎn)為A(－2，4)，終點(diǎn)為B(2，1)，求：
(1)向量a的模；
(2)與a平行的單位向量的坐標(biāo)；
(3)與a垂直的單位向量的坐標(biāo)．
[解]　(1)∵a＝＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，∴|a|＝＝5．
(2)與a平行的單位向量是±＝±(4，－3)，
即坐標(biāo)為或．
(3)設(shè)與a垂直的單位向量為e＝(m，n)，則a·e＝4m－3n＝0，∴＝．
又∵|e|＝1，∴m2＋n2＝1，
解得或
∴e＝或e＝．
　求向量的模的兩種基本策略
(1)字母表示下的運(yùn)算
利用|a|2＝a2，將向量模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量與向量的數(shù)量積的問(wèn)題．
(2)坐標(biāo)表示下的運(yùn)算
若a＝(x，y)，則a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．已知平面向量a＝(3，5)，b＝(－2，1)．
(1)求a－2b及其模的大小；
(2)若c＝a－(a·b)·b，求|c|．
[解]　(1)a－2b＝(3，5)－2(－2，1)＝(7，3)，
|a－2b|＝＝．
(2)a·b＝(3，5)·(－2，1)＝3×(－2)＋5×1＝－1，
∴c＝a－(a·b)·b＝(3，5)＋(－2，1)＝(1，6)，
∴|c|＝＝．
類型3　向量的夾角與垂直問(wèn)題
【例3】　(源自湘教版教材)已知a＝(3，1)，b＝，求k為何值時(shí)：
(1)a∥b；
(2)a⊥b；
(3)a與b的夾角為鈍角．
[解]　(1)因?yàn)閍∥b，
所以3k－1×＝0，解得k＝－．
(2)因?yàn)閍⊥b，
所以3×＋1×k＝0，解得k＝．
(3)因?yàn)椋肌碼，b〉＜π，所以cos 〈a，b〉＜0，
則由向量夾角余弦公式可得
3×＋1×k＝－＋k＜0，
解得k＜．
由(1)知，k＝－時(shí)，a∥b，即a，b共線，此時(shí)〈a，b〉＝π．
所以k＜且k≠－時(shí)，a，b的夾角為鈍角．
　利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求兩向量夾角的步驟
(1)求向量的數(shù)量積．利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出這兩個(gè)向量的數(shù)量積．
(2)求模．利用|a|＝計(jì)算兩向量的模．
(3)求夾角余弦值．由公式cos θ＝求夾角余弦值．
(4)求角．由向量夾角的范圍及cos θ求θ的值．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．已知點(diǎn)A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)．
(1)求證：AB⊥AD；
(2)要使四邊形ABCD為矩形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)以及矩形ABCD兩對(duì)角線所夾銳角的余弦值．
[解]　(1)證明：因?yàn)锳(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，
＝(1，1)，＝(－3，3)，
所以·＝1×(－3)＋1×3＝0，所以⊥，即AB⊥AD．
(2)因?yàn)椤停倪呅蜛BCD為矩形，
所以＝，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x，y)，
則由＝(1，1)，＝(x＋1，y－4)，
得解得
所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，5)，從而＝(－2，4)，＝(－4，2)，
且||＝2，||＝2·＝8＋8＝16．
設(shè)與的夾角為θ，
則cos θ＝＝＝，
所以矩形的兩對(duì)角線所夾銳角的余弦值為．
1．(2022·全國(guó)乙卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，則＝(　　)
A．2　　　 B．3
C．4 D．5
D　[因?yàn)閍－b＝－＝，
所以＝＝5．
故選D．]
2．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，則a與b的夾角為(　　)
A． B．
C． D．
B　[a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝5，|a|＝＝，|b|＝＝，
設(shè)a與b的夾角為θ，則cos θ＝＝＝．
又0≤θ≤π，∴θ＝．]
3．已知a＝(－1，1)，b＝(1，2)，則a·(a＋2b)＝________．
4　[a＋2b＝(1，5)，a·(a＋2b)＝1×(－1)＋5×1＝4．]
4．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b與b垂直，則n＝________．
±　[由題意2a－b＝(3，n)，
∵2a－b與b垂直，
∴3×(－1)＋n2＝0，
∴n2＝3，∴n＝±．]
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問(wèn)題：
已知非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
1．如何求向量a與b的夾角θ的余弦值cos θ？
[提示]　cos θ＝＝．
2．向量a與b的夾角θ的范圍與向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算的關(guān)系是什么？
[提示]　(1)當(dāng)θ為銳角或零角 x1x2＋y1y2>0；
(2)當(dāng)θ為直角 x1x2＋y1y2＝0；
(3)當(dāng)θ為鈍角或平角 x1x2＋y1y2<0．
向量的數(shù)量積與三角形的面積
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給定A(x1，y1)，B(x2，y2)，假設(shè)O，A，B不在同一條直線上，如圖所示，你能用A，B的坐標(biāo)表示出△OAB的面積嗎？
一般地，利用向量的數(shù)量積可以方便地求出△OAB的面積為
S＝|x1y2－x2y1|．
事實(shí)上，如圖所示，記t＝|OA|，a＝(－y1，x1)，則容易驗(yàn)證，a是與垂直的單位向量．
過(guò)B作OA的垂線BC．因?yàn)閍為單位向量，所以由向量數(shù)量積的幾何意義可知
|BC|＝|a·|，
因此，△OAB的面積為
S＝|AO|×|BC|＝|AO|×|a·|
＝t×
＝|(－y1，x1)·(x2，y2)|
＝|x1y2－x2y1|．
由此也可以看出，如圖所示，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，而且O，A，B三點(diǎn)不共線，則以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形OACB的面積為
S＝|x1y2－x2y1|．
由此你能體會(huì)到向量數(shù)量積的作用之大了嗎？
課時(shí)分層作業(yè)(十)　平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
一、選擇題
1．若向量a＝(x，2)，b＝(－1，3)，a·b＝3，則x等于(　　)
A．3　　　 B．－3　　
C．　　 D．－
A　[a·b＝－x＋6＝3，故x＝3．]
2．設(shè)平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，則|2a－b|等于(　　)
A．4 B．5
C．3 D．4
D　[由a∥b得y＋4＝0，
∴y＝－4，b＝(－2，－4)，
∴2a－b＝(4，8)，
∴|2a－b|＝4．故選D．]
3．已知向量m＝(1，1)，向量n與向量m的夾角為，且m·n＝－1，則|n|＝(　　)
A．－1 B．1
C．2 D．－2
B　[cos ＝＝＝－，|n|＝1，故選B．]
4．已知向量a＝(0，－2)，b＝(1，)，則向量a在向量b上的投影向量的坐標(biāo)為(　　)
A． B．
C． D．
D　[向量a在向量b上的投影向量為·＝·＝－b，其坐標(biāo)為－(1，)＝．故選D．]
5．(多選)已知a，b是單位向量，且a＋b＝(1，－1)，則(　　)
A．|a＋b|＝2
B．a(chǎn)與b垂直
C．a(chǎn)與a－b的夾角為
D．|a－b|＝1
BC　[由a＋b＝(1，－1)兩邊平方，得|a|2＋|b|2＋2a·b＝12＋(－1)2＝2，則|a＋b|＝，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)閍，b是單位向量，所以1＋1＋2a·b＝2，得a·b＝0，所以B選項(xiàng)正確；由|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝2，所以|a－b|＝，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)a與a－b的夾角為θ，則cos θ＝＝＝＝，θ∈[0，π]，所以a與a－b的夾角為，所以C選項(xiàng)正確．故選BC．]
二、填空題
6．(2022·全國(guó)甲卷)已知向量a＝(m，3)，b＝(1，m＋1)．若a⊥b，則m＝________．
－　[由題意知，a·b＝m＋3(m＋1)＝0，解得m＝－．]
7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形OABC的對(duì)角線OB的兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為O(0，0)，B(1，1)，則·＝________．
1　[如圖所示，在正方形OABC中，A(0，1)，C(1，0)(當(dāng)然兩者位置可互換，不影響最終結(jié)果)，則＝(1，0)，＝(1，－1)，從而·＝(1，0)×(1，－1)＝1×1＋0×(－1)＝1．]
8．設(shè)向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝，則m＝________．
－2　[法一：a＋b＝(m＋1，3)，
又|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，
∴(m＋1)2＋32＝m2＋1＋5，解得m＝－2．
法二：由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，
得a·b＝0，即m＋2＝0，解得m＝－2．]
三、解答題
9．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．
(1)若a∥b，求|a－b|；
(2)若a與b的夾角為銳角，求x的取值范圍．
[解]　(1)因?yàn)閍∥b，所以－x－x(2x＋3)＝0，
解得x＝0或x＝－2．
當(dāng)x＝0時(shí)，a＝(1，0)，b＝(3，0)，
所以a－b＝(－2，0)，則|a－b|＝2．
當(dāng)x＝－2時(shí)，a＝(1，－2)，b＝(－1，2)，
所以a－b＝(2，－4)，則|a－b|＝2．
綜上，|a－b|＝2或2．
(2)因?yàn)閍與b的夾角為銳角，
所以a·b＞0，即2x＋3－x2＞0，解得－1＜x＜3．
又當(dāng)x＝0時(shí)a∥b，故x的取值范圍是(－1，0)∪(0，3)．
10．已知A(－2，1)，B(6，－3)，C(0，5)，則△ABC的形狀是(　　)
A．直角三角形 B．銳角三角形
C．鈍角三角形 D．等邊三角形
A　[由題設(shè)知＝(8，－4)，＝(2，4)，＝(－6，8)，所以·＝2×8＋(－4)×4＝0，即⊥．所以∠BAC＝90°，故△ABC是直角三角形．]
11．(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，則實(shí)數(shù)t＝(　　)
A．－6 B．－5
C．5 D．6
C　[由已知有c＝(3＋t，4)，cos 〈a，c〉＝cos 〈b，c〉，故＝，解得t＝5．故選C．]
12．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量＝(2，2)，＝(4，1)，在x軸上有一點(diǎn)P使得·有最小值，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(　　)
A．(－3，0) B．(2，0)
C．(3，0) D．(4，0)
C　[設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，0)，
則＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)．
所以·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)
＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，
所以當(dāng)x＝3時(shí)，·有最小值1．
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，0)．]
13．已知A(1，－1)，B(2，2)，C(3，0)三點(diǎn)，直線CD⊥AB且CB∥AD，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是________．
(0，1)　[根據(jù)題意，設(shè)D(x，y)，則
＝(x－3，y)，＝(1，3)，
＝(－1，2)，＝(x－1，y＋1)．
因?yàn)镃D⊥AB，
所以·＝(x－3)×1＋3y＝0．①
因?yàn)镃B∥AD，所以∥，
則2(x－1)＝(－1)(y＋1)．②
由①②得x＝0，y＝1，
所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，1)．]
14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈．
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m與n的夾角為，求x的值．
[解]　(1)因?yàn)閙＝，
n＝(sin x，cos x)，m⊥n．
所以m·n＝0，即sin x－cos x＝0，
所以sin x＝cos x，所以tan x＝1．
(2)因?yàn)閨m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos ＝，
即sin x－cos x＝，所以sin ＝，
因?yàn)?所以x－＝，即x＝．
15．(源自北師大版教材)(1)已知定點(diǎn)A和向量，點(diǎn)P是直線AB外的一點(diǎn)，請(qǐng)寫出點(diǎn)P到直線AB的距離的向量表示．
(2)已知點(diǎn)A(1，1)，向量m＝(2，1)，過(guò)點(diǎn)A作以向量m為方向向量的直線l，求點(diǎn)P(3，5)到直線l的距離．
[解]　(1)設(shè)n⊥，作向量(如圖)．
則·表示向量在向量n上的投影數(shù)量，
是點(diǎn)P到直線AB的距離．
(2)設(shè)n⊥l，即n⊥m，作向量(如圖)．
設(shè)n＝(x，y)，由于直線l的方向向量m＝(2，1)，又n⊥m，
則n·m＝(x，y)·(2，1)＝0，
即2x＋y＝0，令x＝1，得y＝－2，n＝(1，－2)．
由于A(1，1)，P(3，5)，于是＝(3，5)－(1，1)＝(2，4)．
由(1)知，點(diǎn)P到直線l的距離d＝＝＝．6.4.3　余弦定理、正弦定理
第1課時(shí)　余弦定理
學(xué)習(xí)任務(wù) 1．掌握余弦定理的兩種表示形式及證明方法．(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理) 2．會(huì)運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問(wèn)題．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
如圖，某隧道施工隊(duì)為了開(kāi)鑿一條山地隧道，需要測(cè)算隧道的長(zhǎng)度．工程技術(shù)人員先在地面上選一適當(dāng)?shù)奈恢肁，量出A到山腳B，C的距離，其中AB＝ km，AC＝1 km，再利用經(jīng)緯儀測(cè)出A對(duì)山腳BC(即線段BC)的張角∠BAC＝150°．根據(jù)上述條件你能求出山腳BC的長(zhǎng)度嗎？
知識(shí)點(diǎn)1　余弦定理的表示及其推論
文字表述 三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍
符號(hào)語(yǔ)言 a2＝b2＋c2－2bc cos A； b2＝a2＋c2－2ac cos B； c2＝a2＋b2－2ab cos C
推論 cos A＝； cos B＝； cos C＝
知識(shí)點(diǎn)2　解三角形
(1)一般地，三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的元素．
(2)已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形．
1．勾股定理指出了直角三角形中三邊之間的關(guān)系，余弦定理則指出了三角形的三條邊與其中的一個(gè)角之間的關(guān)系．你能說(shuō)說(shuō)這兩個(gè)定理之間的關(guān)系嗎？
[提示]　余弦定理是勾股定理的推廣，而勾股定理是余弦定理的特例．
2．余弦定理推論的作用是什么？
[提示]　余弦定理的推論是余弦定理的第二種形式，適用于已知三角形三邊來(lái)確定三角形的角的問(wèn)題．用余弦定理的推論還可以根據(jù)角的余弦值的符號(hào)來(lái)判斷三角形中的角是銳角還是鈍角．
在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．
(1)若b＝3，c＝2，A＝30°，則a＝________；
(2)若a＝1，b＝，c＝，則B＝________．
(1)　(2)150°　[(1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋(2)2－2×3×2cos 30°＝3，所以a＝．
(2)由余弦定理的推論，得cos B＝＝＝－．又0°類型1　已知兩邊與一角解三角形
【例1】　(1)在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝60 cm，A＝，則a＝________cm；
(2)在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos C＝，則BC＝________．
(1)60　(2)4或5　[(1)由余弦定理，得
a＝＝60(cm)．
(2)由余弦定理，得()2＝52＋BC2－2×5×BC×，
所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或BC＝5．]
　已知兩邊及一角解三角形的兩種情況
(1)若已知角是其中一邊的對(duì)角，可用余弦定理列出關(guān)于第三邊的一元二次方程求解．
(2)若已知角是兩邊的夾角，則直接運(yùn)用余弦定理求出另外一邊，再用余弦定理和三角形內(nèi)角和定理求其他角．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．在△ABC中，a＝2，c＝，B＝45°，解這個(gè)三角形．
[解]　根據(jù)余弦定理得
b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(2)2＋()2－2×2×()×cos 45°＝8，∴b＝2，
又∵cos A＝
＝＝，
∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°．
類型2　已知三邊解三角形
【例2】　在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C．
[解]　根據(jù)余弦定理的推論，得cos A＝＝＝．
∵A∈(0，π)，
∴A＝．
cos C＝＝＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝，
∴B＝π－A－C＝π－－＝π，
∴A＝，B＝π，C＝．
　已知三角形的三邊解三角形的方法
先利用余弦定理的推論求出一個(gè)角的余弦，從而求出第一個(gè)角；再利用余弦定理的推論求出第二個(gè)角；最后利用三角形的內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求△ABC中各角的度數(shù)．
[解]　已知a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，令a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k＞0)，
由余弦定理的推論，得cos A＝
＝＝，
∵0°∴A＝45°，
cos B＝
＝＝，
∵0°∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°．
類型3　利用余弦定理判斷三角形形狀
【例3】　(源自人教B版教材)在△ABC中，已知acos A＝bcos B，試判斷這個(gè)三角形的形狀．
[思路導(dǎo)引]　a cos A＝b cos B得出a，b，c間的數(shù)量關(guān)系．
[解]　∵a cos A＝bcos B，
∴由余弦定理可得
a·＝b·，
整理得(c2＋b2－a2)a2＝(a2＋c2－b2)b2，
即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2，
∴a2＋b2＝c2或a＝b．
故△ABC為直角三角形或等腰三角形．
　利用余弦定理判斷三角形形狀的兩種途徑
(1)化邊的關(guān)系：將條件中的角，利用余弦定理化為邊的關(guān)系，再變形條件判斷．
(2)化角的關(guān)系：將條件轉(zhuǎn)化為角與角之間的關(guān)系，通過(guò)三角變換得出關(guān)系進(jìn)行判斷．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．在△ABC中，若a cos B＋a cos C＝b＋c，試判斷該三角形的形狀．
[解]　由acos B＋acos C＝b＋c并結(jié)合余弦定理，
得a·＋a·＝b＋c，
即＋＝b＋c，
整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0．
因?yàn)閎＋c≠0，所以a2＝b2＋c2，
故△ABC是直角三角形．
1．已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，則c等于(　　)
A． B．
C．　　　 D．5
A　[由余弦定理，得c2＝12＋22－2×1×2cos 60°＝3，所以c＝．]
2．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，則△ABC的最小角為(　　)
A． B．
C． D．
B　[∵a>b>c，∴C為最小角且C為銳角，
由余弦定理的推論，得cos C＝＝＝．
又∵C為銳角，∴C＝．]
3．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，則角A等于(　　)
A．60° B．45°
C．120° D．30°
C　[∵cos A＝＝－，∴A＝120°．]
4．在△ABC中，若a＝2b cos C，則△ABC的形狀為_(kāi)_______．
等腰三角形　[∵a＝2b cos C＝2b·＝，
∴a2＝a2＋b2－c2，即b2＝c2，b＝c，
∴△ABC為等腰三角形．]
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問(wèn)題：
1．余弦定理及其推論的內(nèi)容是什么？
[提示]　(1)三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍．即a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝c2＋a2－2ca cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C．
(2)余弦定理的推論：cos A＝，cos B＝，cos C＝(已知三邊求三角)．
2．解三角形是如何定義的？余弦定理可解哪些三角形？
[提示]　由三角形的六個(gè)元素(即三條邊和三個(gè)內(nèi)角)中的三個(gè)元素(其中至少有一個(gè)是邊)求其他未知元素的問(wèn)題叫做解三角形，余弦定理主要解決知道三邊求三角，或知道兩邊及一角求第三邊．
3．在△ABC中，若a2[提示]　當(dāng)a2課時(shí)分層作業(yè)(十二)　余弦定理
一、選擇題
1．在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，則A＋C＝(　　)
A．90°　　B．120°　　C．135°　　D．150°
B　[cos B＝＝＝．
所以B＝60°，所以A＋C＝120°．]
2．在△ABC中，角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，C＝60°，a＝4b，c＝，則b＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．
A　[由余弦定理知()2＝a2＋b2－2abcos 60°，因?yàn)閍＝4b，所以13＝16b2＋b2－2×4b×b×，解得b＝1，故選A．]
3．在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，則△ABC一定是(　　)
A．銳角三角形 B．鈍角三角形
C．直角三角形 D．等邊三角形
D　[在△ABC中，因?yàn)锳＝60°，a2＝bc，
所以由余弦定理可得，
a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，
所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，
所以b＝c，結(jié)合A＝60°可得△ABC一定是等邊三角形．]
4．在△ABC中，bcos C＋ccos B＝2b，則＝(　　)
A． B．
C．－ D．2
B　[由余弦定理的推論及bcos C＋ccos B＝2b，
得b·＋c·＝2b．
∴＝2b，
得a＝2b．因此＝．]
5．(多選)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若a＝2，c＝2，cos A＝，且bA．b＝2 B．b＝2
C．B＝60° D．B＝30°
AD　[由a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋12－6b b2－6b＋8＝0 (b－2)(b－4)＝0，由b二、填空題
6．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知B＝C，2b＝a，則cos A＝________．
　[由B＝C，2b＝a，
可得b＝c＝a，
所以cos A＝
＝＝．]
7．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，且a，b是方程x2－5x＋2＝0的兩個(gè)根，C＝60°，則c＝________．
　[由題意得，a＋b＝5，ab＝2．
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C
＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，
所以c＝．]
8．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，則A＝________，AC邊上的高為_(kāi)_______．
　　[由余弦定理的推論，可得
cos A＝＝＝，
又0則AC邊上的高為h＝ABsin A＝3×＝．]
三、解答題
9．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc．
(1)求A的大小；
(2)若b＋c＝2a＝2，試判斷△ABC的形狀．
[解]　(1)∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
∴a2＝b2＋c2－bc，
而a2＝b2＋c2－2bccos A，∴2cos A＝1，
∴cos A＝．∵A∈(0，π)，∴A＝．
(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A，且a＝，
∴()2＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc．①
又∵b＋c＝2，與①聯(lián)立，解得bc＝3，
∴∴b＝c＝，
∴△ABC為等邊三角形．
10．若△ABC的三邊長(zhǎng)分別為AB＝7，BC＝5，CA＝6，則·的值為(　　)
A．19 B．14
C．－18 D．－19
D　[設(shè)三角形的三邊BC，AC，AB分別為a，b，c，依題意得，a＝5，b＝6，c＝7．
∴·＝||·||·cos(π－B)＝－ac·cos B．
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B，
∴－ac·cos B＝(b2－a2－c2)＝(62－52－72)
＝－19，∴·＝－19．]
11．在△ABC中，若內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，cos2 ＝，則△ABC的形狀為(　　)
A．等邊三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
B　[在△ABC中，由已知cos2 ＝，
得＝，所以cos A＝．
根據(jù)余弦定理的推論，得＝．
所以b2＋c2－a2＝2b2，即c2＝a2＋b2，
因此△ABC是直角三角形．]
12．(多選)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，對(duì)于△ABC，有如下命題，其中正確的有(　　)
A．sin (B＋C)＝sin A
B．cos (B＋C)＝cos A
C．若a2＋b2＝c2，則△ABC為直角三角形
D．若a2＋b2AC　[依題意，在△ABC中，B＋C＝π－A，sin (B＋C)＝sin(π－A)＝sin A，A正確；
cos (B＋C)＝cos(π－A)＝－cos A，B錯(cuò)誤；
因?yàn)閍2＋b2＝c2，則由余弦定理的推論得cos C＝＝0，而0因?yàn)閍2＋b213．已知△ABC為鈍角三角形，a＝3，b＝4，c＝x，則x的取值范圍是________．
(1，)∪(5，7)　[①若x>4，則x所對(duì)的角為鈍角，
∴<0且x<3＋4＝7，∴5②若x<4，則4對(duì)的角為鈍角，
∴<0且3＋x>4，∴1∴x的取值范圍是(1，)∪(5，7)．]
14．(源自蘇教版教材)如圖，AM是△ABC的邊BC上的中線，求證：AM＝．
[證明]　設(shè)∠AMB＝α，則∠AMC＝180°－α．
在△ABM中，由余弦定理，得
AB2＝AM2＋BM 2－2AM·BM cos α．
在△ACM中，由余弦定理，得
AC2＝AM2＋MC2－2AM·MC cos (180°－α)．
因?yàn)閏os (180°－α)＝－cos α，BM＝MC＝BC，
所以AB2＋AC2＝2AM2＋BC 2，
從而AM＝．
15．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0．
(1)求角B的大小；
(2)若a＋c＝1，求b的取值范圍．
[解]　(1)由已知得－cos (A＋B)＋cos A cos B－sin Acos B＝0，
即有sin A sin B－sin A cos B＝0．
因?yàn)閟in A≠0，所以sin B－ cos B＝0．
又cos B≠0，所以tan B＝．又0＜B＜π，
所以B＝．
(2)由余弦定理，可知b2＝a2＋c2－2ac cos B．
因?yàn)閍＋c＝1，cos B＝，
所以b2＝3＋．
又0＜a＜1，于是有≤b2＜1，即有≤b＜1．第4課時(shí)　余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例
學(xué)習(xí)任務(wù) 1．能將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題．(數(shù)學(xué)建模) 2．能夠用正、余弦定理求解與距離、高度、角度有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
在我國(guó)古代就有嫦娥奔月的神話故事．明月高懸，我們仰望夜空，會(huì)有無(wú)限遐想．
問(wèn)題：月亮離我們地球有多遠(yuǎn)呢？科學(xué)家們是怎樣測(cè)出來(lái)的呢？
知識(shí)點(diǎn)　基線
(1)定義
在測(cè)量過(guò)程中，我們把根據(jù)測(cè)量的需要而確定的線段叫做基線．
(2)性質(zhì)
在測(cè)量過(guò)程中，應(yīng)根據(jù)實(shí)際需要選取合適的基線長(zhǎng)度，使測(cè)量具有較高的精確度．一般來(lái)說(shuō)，基線越長(zhǎng)，測(cè)量的精確度越高．
思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)基線選擇不同，同一個(gè)量的測(cè)量結(jié)果可能不同． (　　)
(2)兩點(diǎn)間可視但不可到達(dá)問(wèn)題的測(cè)量方案實(shí)質(zhì)是構(gòu)造已知兩角及一邊的三角形并求解． (　　)
[答案]　(1)√　(2)√
類型1　測(cè)量距離問(wèn)題
【例1】　(源自人教B版教材)如圖所示，A，B是某沼澤地上不便到達(dá)的兩點(diǎn)，C，D是可到達(dá)的兩點(diǎn)．已知A，B，C，D四點(diǎn)都在水平面上，而且已經(jīng)測(cè)得∠ACB＝45°，∠BCD＝30°，∠CDA＝45°，∠BDA＝15°，CD＝100 m，求AB的長(zhǎng)．
[解]　因?yàn)锳，B，C，D 4點(diǎn)都在水平面上，所以∠BDC＝∠BDA＋∠CDA＝15°＋45°＝60°，
因此∠CBD＝180°－30°－60°＝90°，
所以在Rt△BCD中，BC＝100cos 30°＝50(m)．
在△ACD中，因?yàn)椤螩AD＝180°－45°－30°－45°＝60°，所以由正弦定理可知
＝，因此AC＝m．
在△ABC中，由余弦定理可知
AB2＝＋(50)2－2××50cos 45°＝，從而有AB＝ m．
　求兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問(wèn)題，一般是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求三角形的邊長(zhǎng)問(wèn)題，基本方法是
(1)認(rèn)真理解題意，正確作出圖形，根據(jù)條件和圖形特點(diǎn)尋找可解的三角形．
(2)把實(shí)際問(wèn)題里的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊和角，利用正、余弦定理求解．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．為了測(cè)量河的寬度，在一岸邊選定兩點(diǎn)A，B，望對(duì)岸標(biāo)記物C，測(cè)得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，則河的寬度為_(kāi)_______m．
60　[由題意知，∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，
∴△ABC為等腰三角形．河寬即AB邊上的高，這與AC邊上的高相等，過(guò)B作BD⊥AC于D，
∴河寬BD＝120·sin 30°＝60(m)．]
類型2　測(cè)量高度問(wèn)題
【例2】　如圖所示，為了測(cè)量河對(duì)岸電視塔CD的高度，小王在點(diǎn)A處測(cè)得塔頂D的仰角為30°，塔底C與A的連線同河岸成15°角，小王沿與河岸平行的方向向前走了1 200 m到達(dá)M處，測(cè)得塔底C與M的連線同河岸成60°角，求電視塔CD的高度．
[解]　在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°，
∠AMC＝180°－60°＝120°，
由正弦定理得＝，
即＝，解得AC＝600(m)．
在△ACD中，因?yàn)閠an ∠DAC＝＝，
所以CD＝600×＝600(m)．
即電視塔CD的高度為600 m．
　測(cè)量高度問(wèn)題的解題策略
(1)“空間”向“平面”的轉(zhuǎn)化：測(cè)量高度問(wèn)題往往是空間中的問(wèn)題，因此先要選好所求線段所在的平面，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題．
(2)“解直角三角形”與“解非直角三角形”結(jié)合，全面分析所有三角形，仔細(xì)規(guī)劃解題思路．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．如圖，為測(cè)量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)，從點(diǎn)A測(cè)得點(diǎn)M的仰角∠MAN＝60°，點(diǎn)C的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，從點(diǎn)C測(cè)得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，則山高M(jìn)N＝________m．
150　[由題意可知AB＝BC＝100 m，所以AC＝100 m，在△ACM中，由正弦定理得AM＝·sin 60°＝100(m)，所以MN＝AM sin 60°＝100×＝150(m)．]
類型3　角度問(wèn)題
【例3】　如圖，甲船在A處，乙船在A處的南偏東45°方向，距A有9海里的B處，并以20海里每小時(shí)的速度沿南偏西15°方向行駛，若甲船沿南偏東θ度的方向，并以28海里每小時(shí)的速度行駛，恰能在C處追上乙船．問(wèn)用多少小時(shí)追上乙船，并求sin θ的值．(結(jié)果保留根號(hào)，無(wú)需求近似值)
[解]　設(shè)用t小時(shí)，甲船追上乙船，且在C處相遇，
則在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9，
∠ABC＝180°－15°－45°＝120°，由余弦定理得，
(28t)2＝81＋(20t)2－2×9×20t×，
即128t2－60t－27＝0，解得t＝或t＝－(舍去)，
∴AC＝21海里，BC＝15海里．根據(jù)正弦定理，
得sin ∠BAC＝＝，
則cos ∠BAC＝＝．
又∠ABC＝120°，∠BAC為銳角，
∴θ＝45°－∠BAC，sin θ＝sin(45°－∠BAC)
＝sin 45°cos∠BAC－cos 45°sin ∠BAC＝．
　解決實(shí)際問(wèn)題應(yīng)注意的問(wèn)題
(1)首先明確題中所給各個(gè)角的含義，然后分析題意，分析已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵最主要的一步．
(2)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問(wèn)題后，要正確使用正、余弦定理解決問(wèn)題．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距6 n mile，漁船乙以5 n mile/h的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時(shí)從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙，剛好用2 h追上．
(1)求漁船甲的速度；
(2)求sin α的值．
[解]　(1)依題意，知∠BAC＝120°，AB＝6，AC＝5×2＝10，∠BCA＝α．
在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC＝62＋102－2×6×10×cos 120°＝196，
解得BC＝14，所以漁船甲的速度為＝7 (n mile/h)．
(2)在△ABC中，AB＝6，∠BAC＝120°，BC＝14，∠BCA＝α，
由正弦定理，得＝，
即sin α＝＝＝．
1．某次測(cè)量中，A在B的北偏東55°，則B在A的(　　)
A．北偏西35°　　　 B．北偏東55°
C．南偏西35° D．南偏西55°
D　[如圖所示．
]
2．如圖所示，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者與A在河的同側(cè)，在所在的河岸邊先確定一點(diǎn)C，測(cè)出A，C的距離為50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的距離為(　　)
A．50 m　 B．50 m
C．25 m　　 D． m
A　[∠ABC＝180°－45°－105°＝30°，在△ABC中，由＝，得AB＝100×＝50(m)．]
3．如圖，D，C，B三點(diǎn)在地面同一直線上，DC＝100 m，從C，D兩點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)仰角分別是60°，30°，則A點(diǎn)離地面的高度AB等于(　　)
A．50 m B．100 m C．50 m D．100 m
A　[因?yàn)椤螪AC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°，由正弦定理得＝，所以AC＝DC＝100 m，
在Rt△ABC中，AB＝AC sin 60°＝50 m．]
4．海上某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東75°，距離為12海里；在A處看燈塔C，在貨輪的北偏西30°，距離為8海里；貨輪向正北由A處航行到D處時(shí)看燈塔B在北偏東120°，則：
(1)A處與D處之間的距離為_(kāi)_______海里；
(2)燈塔C與D處之間的距離為_(kāi)_______海里．
(1)24　(2)8　[由題意，畫出示意圖．
(1)在△ABD中，可知∠ADB＝60°，B＝45°，AB＝12．
由正弦定理得AD＝·sin 45°＝24海里．
(2)在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos 30°＝242＋(8)2－2×24×8×＝(8)2，
∴CD＝8海里．
即A處與D處之間的距離為24海里，燈塔C與D處之間的距離為8海里．]
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問(wèn)題：
測(cè)量距離問(wèn)題有哪些類型？如何求解？
[提示]　當(dāng)AB的長(zhǎng)度不可直接測(cè)量時(shí)，求AB的距離有以下三種類型：
類型 簡(jiǎn)圖 計(jì)算方法
A，B間不可達(dá)也不可視 測(cè)得AC＝b，BC＝a，C的大小，則由余弦定理得AB＝
B，C與點(diǎn)A可視但不可達(dá) 測(cè)得BC＝a，B，C的大小，則A＝π－(B＋C)，由正弦定理得AB＝
C，D與點(diǎn)A，B均可視不可達(dá) 測(cè)得CD＝a及∠BDC，∠ACD，∠BCD，∠ADC的度數(shù)．在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB
秦九韶的“三斜求積術(shù)”
你聽(tīng)說(shuō)過(guò)“三斜求積術(shù)”嗎？這是我國(guó)宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶用實(shí)例的形式提出的，其實(shí)質(zhì)是根據(jù)三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c，求三角形面積S，即
S＝．
你能證明這個(gè)公式嗎？
“三斜求積術(shù)”中的“三斜”指三角形的三條邊，而且三條邊從小到大分別稱為“小斜”“中斜”“大斜”．秦九韶是用語(yǔ)言敘述的相關(guān)公式，即：以少?gòu)V求之，以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)；一為從隅，開(kāi)平方得積．
事實(shí)上，利用余弦定理等內(nèi)容，也可推導(dǎo)出“三斜求積術(shù)”，過(guò)程如下．
S2＝c2a2sin2B＝(c2a2－c2a2cos2B)，
又因?yàn)閏a cosB＝，所以
S2＝，
從而可知
S＝．
課時(shí)分層作業(yè)(十五)　余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例
一、選擇題
1．已知海上A，B兩個(gè)小島相距10海里，C島臨近陸地，若從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，則B島與C島之間的距離是(　　)
A．10海里 B．海里
C．5海里 D．5海里
D　[如圖所示，C＝180°－60°－75°＝45°，AB＝10海里．
由正弦定理，得
＝，
所以BC＝5(海里)．]
2．一艘船向正北方向航行，看見(jiàn)正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見(jiàn)一燈塔在船的南偏西60°方向上，另一燈塔在船的南偏西75°方向上，則這艘船的速度是(　　)
A．5海里/時(shí) B．5海里/時(shí)
C．10海里/時(shí) D．10海里/時(shí)
D　[如圖，依題意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，從而CD＝CA＝10(海里)，在Rt△ABC中，由正弦定理，可得AB＝5(海里)，所以這艘船的速度是10海里/時(shí)．故選D．]
3．如圖，航空測(cè)量的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)飛行的海拔高度為10 000 m，速度為50 m/s．某一時(shí)刻飛機(jī)看山頂?shù)母┙菫?5°，經(jīng)過(guò)420 s后看山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨却蠹s為(≈1.4，≈1.7)(　　)
A．7 350 m B．2 650 m
C．3 650 m D．4 650 m
B　[如圖，設(shè)飛機(jī)的初始位置為點(diǎn)A，經(jīng)過(guò)420 s后的位置為點(diǎn)B，山頂為點(diǎn)C，作CD⊥AB于點(diǎn)D，
則∠BAC＝15°，∠CBD＝45°，所以∠ACB＝30°，
在△ABC中，AB＝50×420＝21 000，
由正弦定理得＝，
則BC＝×sin 15°＝10 500()，因?yàn)镃D⊥AB，
所以CD＝BC sin 45°＝10 500()×＝10 500(－1)＝7 350，
所以山頂?shù)暮０胃叨却蠹s為10 000－7 350＝2 650(m)．
故選B．]
4．(多選)如圖，某校測(cè)繪興趣小組為測(cè)量河對(duì)岸直塔AB(A為塔頂，B為塔底)的高度，選取與B在同一水平面內(nèi)的兩點(diǎn)C與D(B，C，D不在同一直線上)，測(cè)得CD＝s．測(cè)繪興趣小組利用測(cè)角儀可測(cè)得的角有：∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，則根據(jù)下列各組中的測(cè)量數(shù)據(jù)可計(jì)算出塔AB的高度的是(　　)
A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDC
B．s，∠ACB，∠BCD，∠ACD
C．s，∠ACB，∠ACD，∠ADC
D．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC
ACD　[解一個(gè)三角形，需要知道三個(gè)條件，且至少一個(gè)為邊長(zhǎng)．
對(duì)于A, 在△CBD中，已知s，∠BCD，∠BDC，可以解這個(gè)三角形得到BC，再利用∠ACB、BC解直角△ABC得到AB的值；
對(duì)于B，在△CBD中，已知s，∠BCD，無(wú)法解出此三角形，在△CAD中，已知s，∠ACD，無(wú)法解出此三角形，也無(wú)法通過(guò)其他三角形求出它的其他幾何元素，所以它不能計(jì)算出塔AB的高度；
對(duì)于C，在△ACD中，已知s，∠ACD，∠ADC，可以解△ACD得到AC，再利用∠ACB、AC解直角△ABC得到AB的值；
對(duì)于D，如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD，連接AE．
由于cos ∠ACB＝，cos ∠BCD＝，cos ∠ACE＝，
所以cos ∠ACE＝cos ∠ACB·cos ∠BCD，所以可以求出∠ACD的大小，
在△ACD中，已知∠ACD，∠ADC，s可以求出AC，再利用∠ACB、AC解直角△ABC得到AB的值．故選ACD．]
二、填空題
5．有一個(gè)長(zhǎng)為1千米的斜坡，它的傾斜角為75°，現(xiàn)要將其傾斜角改為30°，則坡底要伸長(zhǎng)________千米．
　[如圖，∠BAO＝75°，∠C＝30°，AB＝1，
∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°．
在△ABC中，＝，
∴AC＝＝＝(千米)．]
6．已知輪船A和輪船B同時(shí)離開(kāi)C島，A船沿北偏東30°的方向航行，B船沿正北方向航行(如圖)．若A船的航行速度為40 n mile/h，1 h后，B船測(cè)得A船位于B船的北偏東45°的方向上，則此時(shí)A，B兩船相距________n mile．
20　[由題意∠BCA＝30°，∠ABC＝180°－45°＝135°，AC＝40×1＝40，
由正弦定理得＝，即
＝，解得AB＝20 n mile．]
三、解答題
7．如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在西偏北45°的方向上，仰角為30°，行駛4 km后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北60°的方向上．
(1)求此山的高度(單位：km)；
(2)設(shè)汽車行駛過(guò)程中仰望山頂D的最大仰角為θ，求tan θ．
[解]　(1)設(shè)此山高h(yuǎn)(km)，則AC＝，
在△ABC中，∠ABC＝120°，∠BCA＝60°－45°＝15°，AB＝4．
根據(jù)正弦定理得＝，即＝，解得h＝2()(km)．
(2)由題意可知，當(dāng)點(diǎn)C到公路距離最小時(shí)，仰望山頂D的仰角達(dá)到最大，
所以過(guò)C作CE⊥AB，垂足為E，連接DE．
則∠DEC＝θ，CE＝AC·sin 45°，DC＝AC·tan 30°，所以tan θ＝＝．
8．如圖，在山腳A處測(cè)得山頂P的仰角為30°，沿傾斜角為15°的斜坡向上走a m到B，在B處測(cè)得山頂P的仰角為60°，則山高h(yuǎn)＝(　　)
A．a(chǎn) m　 B． m　 C．a(chǎn) m　 D．a(chǎn) m
A　[由題意知，∠PAQ＝30°，∠BAQ＝15°，∠PBC＝60°，AB＝a m，在△PAB中，∠PAB＝15°，∠BPA＝30°，∴＝，∴PB＝a m，∴h＝PC＋CQ＝a×sin 60°＋a sin 15°＝a m，故選A．]
9．一次機(jī)器人足球比賽中，甲隊(duì)1號(hào)機(jī)器人由點(diǎn)A開(kāi)始做勻速直線運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，發(fā)現(xiàn)足球在點(diǎn)D處正以2倍于自己的速度向點(diǎn)A做勻速直線滾動(dòng)，如圖所示，已知AB＝4 dm，AD＝17 dm，∠BAC＝45°，若忽略機(jī)器人原地旋轉(zhuǎn)所需的時(shí)間，則該機(jī)器人最快可在距A點(diǎn)________dm的C處截住足球．
7　[設(shè)BC＝x dm，由題意知CD＝2x dm，AC＝AD－CD＝(17－2x)dm．
在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A，
即x2＝(4)2＋(17－2x)2－8(17－2x)cos 45°，解得x1＝5，x2＝．
∴AC＝17－2x＝7(dm)或－(dm)(舍去)．
∴該機(jī)器人最快可在線段AD上距A點(diǎn)7 dm的點(diǎn)C處截住足球．]
10．某省第三次農(nóng)業(yè)普查農(nóng)作物遙感測(cè)量試點(diǎn)工作，用上了無(wú)人機(jī)．為了測(cè)量?jī)缮巾擬，N間的距離，無(wú)人機(jī)沿水平方向在A，B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，A，B，M，N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)(如圖)，無(wú)人機(jī)能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：①指出需要測(cè)量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標(biāo)出)；②用文字和公式寫出計(jì)算M，N間的距離的步驟．
[解]　方案一：①需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有：A點(diǎn)到M，N點(diǎn)的俯角α1，β1；B點(diǎn)到M，N的俯角α2，β2；A，B間的距離d．
②第一步：計(jì)算AM．由正弦定理得AM＝；
第二步：計(jì)算AN．
由正弦定理得AN＝；
第三步：計(jì)算MN．由余弦定理得
MN＝．
方案二：①需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有：A點(diǎn)到M，N點(diǎn)的俯角α1，β1；B點(diǎn)到M，N點(diǎn)的俯角α2，β2；A，B間的距離d．
②第一步：計(jì)算BM．
由正弦定理得BM＝；
第二步：計(jì)算BN．由正弦定理得BN＝；
第三步：計(jì)算MN．由余弦定理得
MN＝．　用向量法研究三角形的性質(zhì)
三角形“四心”的向量表示
在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．
(1)三角形的重心：＝0 O是△ABC的重心．
(2)三角形的垂心：·＝·＝· O是△ABC的垂心．
(3)三角形的內(nèi)心：a＋b＋c＝0 O是△ABC的內(nèi)心．
(4)三角形的外心：||＝||＝|| O是△ABC的外心．
【典例】　(1)若三個(gè)不共線的向量滿足·＝·＝·＝0，則點(diǎn)O為△ABC的(　　)
A．內(nèi)心　　B．外心　　C．重心　　D．垂心
(2)已知△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)P滿足＋2 ＝0，則S△PAB∶S△PAC∶S△PBC＝(　　)
A．1∶2∶3 B．1∶2∶1
C．2∶1∶1 D．1∶1∶2
(3)在△ABC中，AB＝2，BC＝，AC＝3．若O是△ABC外心，且＝p＋q，則p＝________，q＝________．
(1)A　(2)B　(3)　　[(1)由題意知與＋＝(E在∠BAC的鄰補(bǔ)角的平分線上)垂直，所以點(diǎn)O在∠BAC的平分線上．同理，點(diǎn)O在∠ABC的平分線上，故點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心．
(2)延長(zhǎng)PB至D，使得＝2 (圖略)，于是有＝0，即點(diǎn)P是△ADC的重心，依據(jù)重心的性質(zhì)，有S△PAD＝S△PAC＝S△PDC．由B是PD的中點(diǎn)，得S△PAB∶S△PAC∶S△PBC＝1∶2∶1．
(3)如圖所示，取AB的中點(diǎn)D，AC的中點(diǎn)E，連接OD，OE，則OD⊥AB，OE⊥AC．
由余弦定理，得cos ∠BAC＝＝．
·＝||||cos ∠BAC＝．
∵＝p＋q，
∴
∵·＝||·||·cos ∠BAO＝||·||＝2，·＝||·||·cos ∠CAO＝||·||＝，
∴解得p＝，q＝．
]
1．在△ABC中，AB＝6，O為△ABC的外心，則·等于(　　)
A．　　　 B．6　　　
C．12　　　 D．18
D　[如圖，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，
可知AD＝AB＝3，
則·＝()·＝··＝3×6＋0＝18．]
2．用向量方法證明：
(1)三角形的三條高線交于一點(diǎn)．
如圖①所示，△ABC中，設(shè)BC，CA邊上的高AD，BE交于點(diǎn)H，求證：邊AB上的高過(guò)點(diǎn)H；
(2)三角形的三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)．
如圖②所示，△ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，BC和CA邊上的垂直平分線交于點(diǎn)O，求證：AB邊上的垂直平分線過(guò)點(diǎn)O．
[解]　(1)在△ABC中，
∵AH⊥BC，BH⊥AC，∴·＝0，·＝0，
∴·()＝0，·()＝0．
∴··＝0，
∴·＝0，∴CH⊥AB，故三角形三條高交于一點(diǎn)．
(2)設(shè)＝c，＝a，＝b，
則a＋b＋c＝0，
因?yàn)锽C和CA邊上的垂直平分線交于點(diǎn)O，
所以⊥⊥，所以·＝0，·＝0，
因?yàn)椋剑剑?br/>所以()·＝0，()·＝0，
所以b2＋c·b＋·b＝0，－a2－c·a＋·a＝0，
兩式相加得，(b2－a2)＋c·(b－a)＋·(b＋a)＝0，
因?yàn)閏＝－(b＋a)，
所以(b2－a2)－(b＋a)·(b－a)＋·(b＋a)＝0，
所以(b2－a2)－(b2－a2)－·c＝0，
所以·c＝0，所以⊥c，所以FO⊥AB，即AB邊上的垂直平分線過(guò)點(diǎn)O．微專題1　平面向量中的最值與范圍問(wèn)題
平面向量中的最值和范圍問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問(wèn)題，由于平面向量具有了“數(shù)”與“形”的雙重特性，故其最值或范圍問(wèn)題可從代數(shù)與幾何兩大視角進(jìn)行切入，解題方法可分為構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)法、直角坐標(biāo)系法、基本不等式法、極化恒等式法、幾何意義法等．
類型1　目標(biāo)函數(shù)法求最值(或范圍)
【例1】　(1)已知向量a，b滿足a＝(t，2－t)，|b|＝1，且(a－b)⊥b，則a，b的夾角的最小值為(　　)
A．　　　C．
(2)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(－，1)，則|2a－b|的最大值為_(kāi)_______．
(1)C　(2)4　[(1)因?yàn)?a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝0，即a·b＝b2，
cos 〈a，b〉＝＝＝＝＝，
又因?yàn)?t2－4t＋8＝2[(t－)2＋2]≥2[()2＋2]＝4，
所以0所以a，b的夾角的最小值為．
(2)法一(構(gòu)造函數(shù)法)：由題意得|a|＝1，|b|＝2,
a·b＝sin θ－cos θ＝2sin ，
所以|2a－b|2＝4|a|2＋|b|2－4a·b
＝4×12＋22－8sin ＝8－8sin ．
所以|2a－b|2的最大值為8－8×(－1)＝16，
故|2a－b|的最大值為4．
法二(幾何意義)：由題意得|2a－b|≤2|a|＋|b|＝2×1＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)向量a，b方向相反時(shí)不等式取等號(hào)，故|2a－b|的最大值為4．
類型2　坐標(biāo)法、幾何意義法求最值(或范圍)
【例2】　(2020·新高考Ⅰ卷)已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則·的取值范圍是(　　)
A．(－2，6) B．(－6，2)
C．(－2，4) D．(－4，6)
A　[法一(坐標(biāo)法)：
如圖，取A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則A(0，0)，B(2，0)，C(3，)，
F(－1，)．
設(shè)P(x，y)，則＝(x，y)，＝(2，0)，且－1所以·＝(x，y)·(2，0)＝2x∈(－2，6)．
法二(幾何意義法)：
的模為2，根據(jù)正六邊形的特征，
可以得到在方向上的投影的取值范圍是(－1，3)，結(jié)合向量數(shù)量積的定義，可知·等于的模與在方向上的投影的乘積，所以·的取值范圍是(－2，6)，故選A．]
類型3　基本不等式法求最值(或范圍)
【例3】　如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，動(dòng)點(diǎn)P在邊BC上，且滿足＝m＋n(m，n均為正實(shí)數(shù))，則＋的最小值為_(kāi)_______．
　[由題意得＝＝－，所以＝m＋n＝m＋n＝＋n，由P，B，C三點(diǎn)共線，得
m－n＋n＝m＋n＝1(m，n>0)，
所以＋＝＝＋＋≥＋2＝＝
(當(dāng)且僅當(dāng)3n2＝4m2，即時(shí)取等號(hào))，則＋的最小值為．]
類型4　極化恒等式法求最值(或范圍)
【例4】　(1)如圖所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，A，D分別在x軸、y軸的正半軸(含原點(diǎn))上滑動(dòng)，則·的最大值是________．
(2)四邊形ABCD為菱形，∠BAC＝30°，AB＝6，P是菱形ABCD所在平面的任意一點(diǎn)，則·的最小值為_(kāi)_______．
(1)2　(2)－27　[(1)如圖，取BC的中點(diǎn)M，AD的中點(diǎn)N，連接MN，ON，
則·＝－．因?yàn)镺M≤ON＋NM＝AD＋AB＝，當(dāng)且僅當(dāng)O，N，M三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)．所以·的最大值為2．
(2)由題設(shè)，AC＝6，取AC的中點(diǎn)O，連接OA，OC，OP，
則＝＝＝，所以·＝()·()＝－＝－27≥－27．]
微專題強(qiáng)化練(一)　平面向量中的最值與范圍問(wèn)題
一、選擇題
1．在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，M為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動(dòng)，則·的取值范圍是(　　)
A．　　 B．
C． D．[0，1]
C　[將正方形放入如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)E(x，0)，0≤x≤1．
則M，C(1，1)．
所以＝＝(1－x，1)，
所以·＝(1－x，1)·＝(1－x)2＋．
因?yàn)?≤x≤1，所以≤(1－x)2＋≤，
即·的取值范圍是．]
2．邊長(zhǎng)為2的正△ABC內(nèi)一點(diǎn)M(包括邊界)滿足：＝＋λ(λ∈R)，則·的取值范圍是(　　)
A． B．
C． D．[－2，2]
B　[因?yàn)辄c(diǎn)M在△ABC內(nèi)部(包括邊界)，
所以0≤λ≤，
由·＝·()
＝·
＝－2＋＋2λ＝－＋2λ∈．]
3．已知A，B，C三點(diǎn)共線(該直線不過(guò)原點(diǎn)O)，且＝m＋2n(m>0，n>0)，則＋的最小值為(　　)
A．10　　　 B．9　　　
C．8　　　 D．4
C　[因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線(該直線不過(guò)原點(diǎn)O)，且＝m＋2n(m>0，n>0)，所以m＋2n＝1，
所以＋＝(m＋2n)
＝4＋＋≥4＋2＝8，
當(dāng)且僅當(dāng)＝，即m＝，n＝時(shí)等號(hào)成立．]
4．已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，M為BC的中點(diǎn)，若|－t|≥2，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為(　　)
A．[1，2]
B．[0，2]
C．(－∞，0]∪[2，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
C　[以BC中點(diǎn)M為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)．
∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，
∴M(0，0)，A(0，)，B(－1，0)．
∴＝(－1，－)，＝(0，－)，
∴－t＝(－1，－t)，
∴|－t|＝≥2，化簡(jiǎn)得t2－2t≥0，∴t≥2或t≤0．故選C．]
5．已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則·()的最小值是(　　)
A．－2 B．－
C．－　 D．－1
B　[法一：(極化恒等式)結(jié)合題意畫出圖形，如圖①所示，設(shè)BC的中點(diǎn)為D，AD的中點(diǎn)為E，連接AD，PE，PD，則有＝2，
則·()＝2·＝2()·()＝2(－)．而＝＝，
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，有最小值0，故此時(shí)·()取得最小值，最小值為－2＝－2×＝－．
法二：(坐標(biāo)法)如圖②，以等邊△ABC的底邊BC所在直線為x軸，以邊BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)，設(shè)P(x，y)，則＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·()＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2－，當(dāng)x＝0，y＝時(shí)，·()取得最小值，最小值為－．故選B．]
二、填空題
6．如圖，在△ABC中，延長(zhǎng)CB到D，使BD＝BC，當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上移動(dòng)時(shí)，若＝λ＋μ，則t＝λ－μ的最大值是________．
3　[因?yàn)楣簿€，設(shè)＝k(0≤k≤1)，又B是CD的中點(diǎn)，則＝2＝2k－k，
又＝λ＋μ，
∴
∴t＝λ－μ＝3k≤3，故t的最大值為3．]
7．矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，點(diǎn)P為矩形ABCD內(nèi)(包括邊界)一點(diǎn)，則||的取值范圍是________．
[0，2]　[法一：(坐標(biāo)法)將矩形放在坐標(biāo)系中，設(shè)P(x，y)，
則A(0，0)，B(2，0)，＝(－x，－y)＋(2－x，－y)＝(2－2x，－2y)，||＝＝2，
轉(zhuǎn)化為矩形內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)(1，0)的距離的2倍．
由圖可知點(diǎn)D(0，1)和點(diǎn)C(2，1)到定點(diǎn)(1，0)的距離相等同時(shí)取最大值：＝．
故||的取值范圍是[0，2]．
法二：(基向量法)取AB的中點(diǎn)H，易知＝2，∴||＝2||，結(jié)合題意可知0≤|PH|≤|CH|＝．故||的取值范圍為[0，2]．]
8．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，D是AB的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是邊BC，AC上的動(dòng)點(diǎn)，且EF＝1，則·的最小值等于________．
　[如圖，取EF的中點(diǎn)H，
則·＝－＝－，
因?yàn)閨CH|＋|DH|≥|CD|，所以
|DH|≥|CD|－|CH|＝－＝2，
所以·＝－≥4－＝．]
三、解答題
9．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知A(0，5)，B(－1，3)，C(3，t)．
(1)若t＝1，求證：△ABC為直角三角形；
(2)求實(shí)數(shù)t的值，使||最小．
[解]　(1)證明：當(dāng)t＝1時(shí)，C(3，1)，則＝(－1，－2)，＝(4，－2)，所以·＝(－1)×4＋(－2)×(－2)＝0．
所以⊥，即△ABC為直角三角形．
(2)＝(－1，－2)，＝(3，t－5)，
所以＝(－1，－2)＋(3，t－5)＝(2，t－7)，
所以||＝．
當(dāng)t＝7時(shí)，||有最小值，最小值為2．
10．已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|ka＋b|＝|a－kb|(k>0)．
(1)用k表示數(shù)量積a·b；
(2)求a·b的最小值，并求出此時(shí)a與b的夾角．
[解]　(1)由|ka＋b|＝|a－kb|，得(ka＋b)2＝3(a－kb)2，
∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2，
∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0．
又a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，故|a|＝|b|＝1，∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，∴a·b＝＝．
(2)由(1)得a·b＝＝≥×2＝，當(dāng)且僅當(dāng)k＝，即k＝1時(shí)等號(hào)成立．
∴a·b的最小值為．
設(shè)此時(shí)a與b的夾角為θ，則cos θ＝＝，又θ∈[0，π]，∴θ＝．第6章 平面向量及其應(yīng)用 章末綜合提升
類型1　平面向量的線性運(yùn)算
1．向量的線性運(yùn)算有平面向量及其坐標(biāo)運(yùn)算的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算，以及平面向量的基本定理、共線定理，主要考查向量的線性運(yùn)算和根據(jù)線性運(yùn)算求參問(wèn)題．
2．通過(guò)向量的線性運(yùn)算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng)．
【例1】　(1)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則＝(　　)
A．－ B．－
C．＋ D．＋
(2)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，則λ＝________．
(1)A　(2)　[(1)法一：如圖所示，＝＝＋＝×＋)＝－，故選A．
法二：＝＝－＝－×＝－，故選A．
(2)2a＋b＝(4，2)，因?yàn)閏＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以1×2＝4λ，即λ＝．]
類型2　平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
1．平面向量的數(shù)量積是向量的核心內(nèi)容，重點(diǎn)是數(shù)量積的運(yùn)算，利用向量的數(shù)量積判斷兩向量平行、垂直，求兩向量的夾角，計(jì)算向量的模等．
2．通過(guò)向量的數(shù)量積運(yùn)算，提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．
【例2】　(1)(多選)已知向量a＝(1，2)，b＝(m，1)(m<0)，且向量b滿足b·(a＋b)＝3，則(　　)
A．|b|＝
B．(2a＋b)∥(a＋2b)
C．向量2a－b與a－2b的夾角為
D．向量a在向量b上的投影向量的模為
(2)(2021·全國(guó)甲卷)已知向量a＝(3，1)，b＝(1，0)，c＝a＋kb．若a⊥c，則k＝________．
(1)AC　(2)－　[(1)將a＝(1，2)，b＝(m，1)代入b·(a＋b)＝3，得(m，1)·(1＋m，3)＝3，得m2＋m＝0，解得m＝－1或m＝0(舍去)，所以b＝(－1，1)，所以|b|＝＝，故A正確；
因?yàn)?a＋b＝(1，5)，a＋2b＝(－1，4)，1×4－(－1)×5＝9≠0，所以2a＋b與a＋2b不平行，故B錯(cuò)誤；
設(shè)向量2a－b與a－2b的夾角為θ，因?yàn)?a－b＝(3，3)，a－2b＝(3，0)，所以cos θ＝＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝，故C正確；
向量a在向量b上的投影向量的模為＝＝，故D錯(cuò)誤．
(2)c＝(3，1)＋(k，0)＝(3＋k，1)，a·c＝3(3＋k)＋1×1＝10＋3k＝0，得k＝－．]
類型3　利用余弦、正弦定理解三角形
1．常以余弦定理和正弦定理的應(yīng)用為背景，融合三角形面積公式、三角恒等變換等，體現(xiàn)了知識(shí)的交匯性．
2．借助解三角形，培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．
【例3】　(2022·湖南長(zhǎng)郡中學(xué)月考)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，其外接圓的半徑為，且滿足4sin B cos C＝2a－c．
(1)求角B；
(2)若AC邊上的中線長(zhǎng)為，求△ABC的面積．
[解]　(1)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，其外接圓的半徑為，
則a＝2sin A，c＝2sin C，
又4sin B cos C＝2a－c，
則2sin B cos C＝2sin A－sin C，
則2sin B cos C＝2sin B cos C＋2cos B sin C－sin C，
又sin C＞0，即cos B＝，
又0＜B＜π，則B＝．
(2)由題意可得b＝2sin B＝2×＝3，
又AC邊上的中線長(zhǎng)為，
則||＝5，
即c2＋a2＋2×ac×＝25，
即a2＋c2＋ac＝25，①
又由余弦定理可得a2＋c2－2ac×＝9，
即a2＋c2－ac＝9，②
由①②可得ac＝8，
即△ABC的面積為ac sin B＝×8×＝2．
類型4　余弦、正弦定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用
1．余弦定理和正弦定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用主要涉及距離、高度、角度以及平面圖形的面積等很多方面．解決這類問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出示意圖，將問(wèn)題抽象為三角形的模型，然后利用定理求解．注意隱含條件和最后將結(jié)果還原為實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行檢驗(yàn)．
2．將生活中的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形模型，提升邏輯推理和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．
【例4】　甲船在靜水中的速度為40海里/時(shí)，當(dāng)甲船在點(diǎn)A時(shí)，測(cè)得海面上乙船擱淺在其南偏東60°方向的點(diǎn)P處，甲船繼續(xù)向北航行0.5小時(shí)后到達(dá)點(diǎn)B，測(cè)得乙船P在其南偏東30°方向．
(1)假設(shè)水流速度為0，畫出兩船的位置圖，標(biāo)出相應(yīng)角度并求出點(diǎn)B與點(diǎn)P之間的距離；
(2)若水流的速度為10海里/時(shí)，方向向正東方向，甲船保持40海里/時(shí)的靜水速度不變，從點(diǎn)B走最短的路程去救援乙船，求甲船的船頭方向與實(shí)際行進(jìn)方向所成角的正弦值．
[解]　(1)兩船的位置圖如下：
由圖可得，∠PAB＝120°，∠APB＝30°，所以AB＝AP＝40×0.5＝20，所以由余弦定理可得PB＝
＝＝20，
所以點(diǎn)B與點(diǎn)P之間的距離為20海里．
(2)如圖，的方向?yàn)樗鞯姆较颍姆较驗(yàn)榇^的方向，的方向?yàn)閷?shí)際行進(jìn)的方向，其中BD＝4BC，∠CBP＝∠BPD＝60°．
在△BPD中，由正弦定理可得＝，
所以sin ∠PBD＝sin ∠BPD＝×＝．
即甲船的船頭方向與實(shí)際行進(jìn)方向所成角的正弦值為．
章末綜合測(cè)評(píng)(一)　平面向量及其應(yīng)用
(時(shí)間：120分鐘　滿分：150分)
一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1．(2022·廣東執(zhí)信中學(xué)月考)下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．單位向量都相等
B．任意向量的模都是正數(shù)
C．若四邊形ABCD為平行四邊形，則＝
D．＝0
C　[對(duì)于C， ABCD中，AB＝DC，且向量與同向，則＝，C正確．故選C．]
2．(2022·哈爾濱工業(yè)大學(xué)附中期中)向量b＝在向量a＝上的投影向量為(　　)
A． B．
C． D．
D　[根據(jù)題意可得：a·b＝－1＋2＝1，＝，
向量b＝在向量a＝上的投影向量為×＝＝．故選D．]
3．已知△ABC的其中兩邊長(zhǎng)分別為2，3，這兩邊的夾角的余弦值為，則△ABC的外接圓的半徑為(　　)
A．　　B．　　C．　　D．8
C　[由題意知，邊長(zhǎng)分別為2，3的兩邊的夾角的正弦值為＝．又由余弦定理可得第三邊的長(zhǎng)為＝3，所以由正弦定理知，△ABC的外接圓的直徑為＝，所以其半徑為．故選C．]
4．(2020·全國(guó)Ⅲ卷)已知向量a，b滿足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，則cos 〈a，a＋b〉＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
D　[由題意，得a·(a＋b)＝a2＋a·b＝25－6＝19，|a＋b|＝＝＝7，所以cos 〈a，a＋b〉＝＝＝，故選D．]
5．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若b2＋c2－a2＝bc，則sin (B＋C)的值為(　　)
A．－ B．
C．－ D．
B　[由b2＋c2－a2＝bc，得cos A＝＝，則sin (B＋C)＝sin A＝．]
6．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若△ABC的面積為3，b－c＝2，cos A＝－，則△ABC的周長(zhǎng)為(　　)
A．18 B．16
C．20 D．15
A　[在△ABC中，由cos A＝－，可得sin A＝，所以bc×＝3，即bc＝24．由余弦定理得a2＝b2＋c2＋2bc×＝b2＋c2＋bc，聯(lián)立得則△ABC的周長(zhǎng)為a＋b＋c＝18，故選A．]
7．已知非零向量與滿足·＝0且·＝，則△ABC的形狀是(　　)
A．三邊均不相等的三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等邊三角形
C　[由·＝0，得∠A的平分線垂直于BC，所以AB＝AC，設(shè)的夾角為θ，
而·＝cos θ＝，
又θ∈[0，π]，所以θ＝，∠BAC＝π－＝π，故△ABC為等腰三角形．]
8．如圖，在△ABC中，B＝45°，AC＝8，D是BC邊上一點(diǎn)，DC＝5，DA＝7，則AB的長(zhǎng)為(　　)
A．4 B．4
C．8 D．4
D　[因?yàn)镈C＝5，DA＝7，AC＝8，
所以cos ∠ADC＝＝，
因此cos ∠ADB＝－，
所以sin ∠ADB＝，
又B＝45°，DA＝7，
由正弦定理，可得＝，
所以AB＝＝＝4．]
二、選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分)
9．對(duì)任意向量a，b，下列關(guān)系式中恒成立的是(　　)
A．|a·b|≤|a||b|
B．|a－b|≤||a|－|b||
C．(a＋b)2＝|a＋b|2
D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
ACD　[|a·b|＝|a|·|b|·|cos 〈a，b〉|≤|a|·|b|，故A正確；由向量的運(yùn)算法則知C，D正確；當(dāng)b＝－a≠0時(shí)，|a－b|＞||a|－|b||，故B錯(cuò)誤．故選ACD．]
10．(2022·遼寧沈陽(yáng)二中期中)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則下列命題為真命題的是(　　)
A．若A>B，則sin A>sin B
B．若sin2A＋sin2BC．若a cosA＝b cos B，則△ABC為等腰三角形
D．若a＝8，c＝10，A＝60°，則符合條件的△ABC有兩個(gè)
AB　[對(duì)A選項(xiàng)，根據(jù)結(jié)論大角對(duì)大邊，則有a>b，又因?yàn)檎叶ɡ恚剑?br/>所以sin A>sin B，故A正確；
對(duì)B選項(xiàng)，由sin2A＋sin2B∴cosC<0，△ABC為鈍角三角形，故B正確；
對(duì)C選項(xiàng)，由a cos A＝b cos B可得sin A cos A＝sin B cos B，∴sin 2A＝sin 2B，
∴A＝B或2A＋2B＝π，∴△ABC是直角三角形或等腰三角形，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D選項(xiàng)，由正弦定理得sin C＝＝>1，故不存在滿足條件的△ABC，故D錯(cuò)誤．故選AB．]
11．(2022·山西晉城一中月考)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且cos A＝a cos C，b＝2，若邊BC的中線AD＝3，則下列結(jié)論正確的有(　　)
A．A＝
B．A＝
C．·＝6
D．△ABC的面積為3
ACD　[根據(jù)正弦定理，由
cos A＝a cos C 2sin B cos A－sin C cos A＝sin A cos C 2sin B cos A＝sin A cos C＋sin C cos A＝sin (A＋C)＝sin (π－B)＝sin B，
因?yàn)锽∈(0，π)，所以sin B≠0，因此2cos A＝1 cos A＝，因?yàn)锳∈(0，π)，所以A＝，因此選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
因?yàn)锳D是中線，所以由＝＝＋＋2· 36＝c2＋12＋2×2×c c＝2，或c＝－4舍去，因此·＝2×2×＝6，所以選項(xiàng)C正確；
△ABC的面積為bc sin A＝×2×2×＝3，所以選項(xiàng)D正確．故選ACD．]
12．設(shè)點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是(　　)
A．若＝＋，則點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)
B．若＝2，則點(diǎn)M在線段BC的延長(zhǎng)線上
C．若＝－，則點(diǎn)M是△ABC的重心
D．若＝x＋y，且x＋y＝，則△MBC的面積是△ABC面積的
ACD　[A項(xiàng)，＝＋ －＝－，即＝，則點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，所以A正確；
B項(xiàng)，＝2 ＝，即＝，則點(diǎn)M在線段CB的延長(zhǎng)線上，所以B錯(cuò)誤；
C項(xiàng)，如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為D，
則＝－＝＝2，由重心性質(zhì)可知C成立；
D項(xiàng)，＝x＋y，
且x＋y＝ 2＝2x＋2y，2x＋2y＝1，設(shè)＝2，
所以＝2x＋2y，2x＋2y＝1，
可知B，C，D三點(diǎn)共線，
所以△MBC的面積是△ABC面積的，所以D正確．]
三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13．若|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角為60°，若(3a＋5b)⊥(ma－b)，則m的值為_(kāi)_______．
　[由題意知(3a＋5b)·(ma－b)＝3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0，即3m＋(5m－3)×2×cos 60°－5×4＝0，解得m＝．]
14．(2022·浙江高考) 我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補(bǔ)了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白．如果把這個(gè)方法寫成公式，就是S＝，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設(shè)某三角形的三邊a＝，b＝，c＝2，則該三角形的面積S＝________．
　[法一：S＝＝＝．
法二：cos A＝＝＝，sin A＝，
S＝×2×＝．]
15．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若2sin Asin Bcos C＝sin2C，則＝________，角C的最大值為_(kāi)_______．
2　　[∵2sinAsin Bcos C＝sin2C，
∴2ab cosC＝c2 a2＋b2－c2＝c2 ＝2，
∴cos C＝＝≥，
∵0即角C的最大值為．]
16．如圖所示，半圓的直徑AB＝2，O為圓心，C是半圓上不同于A，B的任意一點(diǎn)，若P為半徑OC上的動(dòng)點(diǎn)，則()·的最小值是________．
－　[因?yàn)辄c(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，
所以＝2，
設(shè)||＝x，則||＝1－x(0≤x≤1)，
所以()·＝2·＝－2x(1－x)
＝2－．
所以當(dāng)x＝時(shí)，()·取到最小值－．]
四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)
17．(本小題滿分10分) 已知＝(－1，3)，＝(3，m)，＝(1，n)，且∥．
(1)求實(shí)數(shù)n的值；
(2)若⊥，求實(shí)數(shù)m的值．
[解]　(1)因?yàn)椋?－1，3)，＝(3，m)，＝(1，n)，
所以＝＝(3，3＋m＋n)，
因?yàn)椤危O(shè)＝λ，
即解得n＝－3．
(2)因?yàn)椋剑?2，3＋m)，
＝＝(4，m－3)，
又⊥，所以·＝0，
即8＋(3＋m)(m－3)＝0，
解得m＝±1．
18．(本小題滿分12分)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知(a＋c)·(a－c)＝b(b＋c)．
(1)求角A的大小；
(2)在下列三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中的橫線上，并解答．
若b＝3，c＝4，點(diǎn)D是BC邊上的一點(diǎn)，且________，求線段AD的長(zhǎng)．
①AD是△ABC的中線；②AD是△ABC的角平分線；③BD＝2CD．
注：若選擇多個(gè)條件解答，則按第一個(gè)計(jì)分．
[解]　(1)由(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，得b2＋c2－a2＝－bc，
即cos A＝＝－，
因?yàn)?(2)選①，由b＝3，c＝4，A＝，
則||2＝＝||2＋||2＋·＝c2＋b2＋bc·cos A＝4＋＋6×＝，所以AD＝．
選②，因?yàn)镾△ABC＝S△ADC＋S△ABD，b＝3，c＝4，A＝，
所以bc sin A＝b·AD sin ＋c·AD sin ，
即×3×4·sin＝×3AD·sin＋×4AD·sin，解得AD＝．
選③，依題意，得＝＋)＝＋，由b＝3，c＝4，A＝，
則||2＝＝||2＋||2＋·＝c2＋b2＋bc·cos A＝＋4＋×＝．
故AD＝．
19．(本小題滿分12分)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2．
(1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面積；
(2)是否存在正整數(shù)a，使得△ABC為鈍角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由．
[解]　(1)因?yàn)?sin C＝3sin A，則2c＝2(a＋2)＝3a，則a＝4，故b＝5，c＝6，
cos C＝＝，所以C為銳角，則sin C＝＝，
因此，S△ABC＝ab sinC＝×4×5×＝．
(2)顯然c>b>a，若△ABC為鈍角三角形，則C為鈍角，
由余弦定理的推論可得cos C＝＝＝<0，
解得－1由三角形的三邊關(guān)系可得a＋a＋1>a＋2，可得a>1，
∵a∈Z，故a＝2．
20．(本小題滿分12分)(2022·南京師大附中月考)如圖，在△OAB中，P為邊AB上的一點(diǎn)，＝2，||＝6，||＝2，且與的夾角為60°．
(1)求的模長(zhǎng)；
(2)求·的值．
[解]　(1)因?yàn)椋?，
所以＝＝＋＝＋)＝＋，
因?yàn)閨|＝6，||＝2，與的夾角為60°，
所以＝＝＝×36＋×6×2×＋×4＝，所以||＝．
(2)·＝·()＝＋·＋＝－×36＋×6×2×＋×4＝－．
21．(本小題滿分12分)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知△ABC的面積為．
(1)求sin B sin C；
(2)若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周長(zhǎng)．
[解]　(1)由題設(shè)得ac sin B＝，
即c sin B＝．
由正弦定理得sin C sin B＝．
故sin B sin C＝．
(2)由題設(shè)及(1)得cos B cos C－sin B sin C＝－，
即cos (B＋C)＝－，
所以B＋C＝，故A＝．
法一：由題設(shè)得bc sin A＝，即bc＝8．
由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，得b＋c＝．
故△ABC的周長(zhǎng)為a＋b＋c＝3＋．
法二：因?yàn)閍＝3，所以2R＝＝2(R為△ABC外接圓的半徑)，
所以sin B sin C＝·＝＝＝，則bc＝8．
由余弦定理得b2＋c2－2bc·cos ＝9，
即b2＋c2－bc＝9，
所以(b＋c)2－3bc＝9，
所以(b＋c)2＝9＋3bc＝9＋3×8＝33，故b＋c＝．
所以△ABC的周長(zhǎng)為a＋b＋c＝3＋．
22．(本小題滿分12分)目前，中國(guó)已經(jīng)建成全球最大的5G網(wǎng)絡(luò)，無(wú)論是大山深處還是廣袤平原，處處都能見(jiàn)到5G基站的身影．如圖①，某同學(xué)在一條水平公路上觀測(cè)對(duì)面山項(xiàng)上的一座5G基站AB，已知基站高AB＝50 m，該同學(xué)眼高1.5 m(眼睛到地面的距離)，該同學(xué)在初始位置C處(眼睛所在位置)測(cè)得基站底部B的仰角為37°，測(cè)得基站頂端A的仰角為45°．
(1)求出山高BE(結(jié)果保留一位小數(shù))；
(2)如圖②，當(dāng)該同學(xué)面向基站AB前行時(shí)(保持在同一鉛垂面內(nèi))，記該同學(xué)所在位置M處(眼睛所在位置)到基站AB所在直線的距離MD＝x m，且記在M處觀測(cè)基站底部B的仰角為α，觀測(cè)基站頂端A的仰角為β．試問(wèn)當(dāng)x多大時(shí)，觀測(cè)基站的視角∠AMB最大？
參考數(shù)據(jù)：sin 8°≈0.14，sin 37°≈0.6，sin 45°≈0.7，sin 127°≈0.8．
[解]　(1)由題知∠ACB＝8°，∠BAC＝45°，
在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，
所以BC≈＝250，
在Rt△BDC中，sin ∠BCD＝，
即sin 37°＝，所以BD≈250×0.6＝150，
所以山高BE＝BD＋DE≈150＋1.5＝151.5 m．
(2)由題知∠AMD＝β，∠BMD＝α，
則在Rt△BMD中，tan α＝＝，
在Rt△AMD中，tan β＝＝，
由題知∠AMB＝β－α，
則tan ∠AMB＝tan (β－α)＝
＝＝＝≤＝＝，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝100m時(shí)，tan ∠AMB取得最大值，即視角最大．

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