資源簡介

7.1　復(fù)數(shù)的概念
7.1.1　數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念
學(xué)習(xí)任務(wù) 1．了解引進(jìn)虛數(shù)單位i的必要性，了解數(shù)系的擴(kuò)充過程．(邏輯推理) 2．理解在數(shù)系的擴(kuò)充中由實(shí)數(shù)集擴(kuò)展到復(fù)數(shù)集出現(xiàn)的一些基本概念．(數(shù)學(xué)抽象) 3．掌握復(fù)數(shù)的表示方法，理解復(fù)數(shù)相等的充要條件．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
小學(xué)的時(shí)候我們先學(xué)了自然數(shù)；為了衡量一個(gè)蘋果分給幾個(gè)小朋友的問題，引入了分?jǐn)?shù)；慢慢又引入了負(fù)數(shù)；緊接著為了衡量邊長為1的正方形的對(duì)角線的長度，引入了無理數(shù)；一步步地將數(shù)系擴(kuò)充到實(shí)數(shù)系……
知識(shí)點(diǎn)1　復(fù)數(shù)的概念及其表示
1．復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)集
形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位．全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做復(fù)數(shù)集．規(guī)定i·i＝i2＝－1．
1．如何理解虛數(shù)單位i
[提示]　①i2＝－1；②i可與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，且原有的加、乘運(yùn)算律仍成立．
2．復(fù)數(shù)的表示
復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部，b叫做復(fù)數(shù)z的虛部．
知識(shí)點(diǎn)2　復(fù)數(shù)相等的充要條件
在復(fù)數(shù)集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取兩個(gè)數(shù)a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我們規(guī)定：a＋bi與c＋di相等當(dāng)且僅當(dāng)a＝c且b＝d．　
知識(shí)點(diǎn)3　復(fù)數(shù)的分類
(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)
(2)復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系如圖所示．
2．復(fù)數(shù)m＋ni的實(shí)部是m，虛部是ni，對(duì)嗎？
[提示]　不對(duì)．由復(fù)數(shù)實(shí)部和虛部的概念可知，復(fù)數(shù)m＋ni，只有m，n∈R時(shí)，m才是m＋ni的實(shí)部，此時(shí)復(fù)數(shù)m＋ni的虛部是實(shí)數(shù)n，而不是ni．
a＋bi叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，簡稱代數(shù)形式．
1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)若a，b為實(shí)數(shù)，則z＝a＋bi為虛數(shù)． (　　)
(2)復(fù)數(shù)z＝bi是純虛數(shù)． (　　)
(3)實(shí)數(shù)集與復(fù)數(shù)集的交集是實(shí)數(shù)集． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√
2．已知x，y∈R，若x＋3i＝(y－2)i，則x＝________；y＝________．
[答案]　0　5
類型1　復(fù)數(shù)的概念
【例1】　給出下列說法：①復(fù)數(shù)2＋3i的虛部是3i；②形如a＋bi(b∈R)的數(shù)一定是虛數(shù)；③若a∈R，a≠0，則(a＋3)i是純虛數(shù)；④若兩個(gè)復(fù)數(shù)能夠比較大小，則它們都是實(shí)數(shù)．其中錯(cuò)誤說法的個(gè)數(shù)是(　　)
A．1　　　 B．2　　　
C．3　　　 D．4
C　[復(fù)數(shù)2＋3i的虛部是3，①錯(cuò)；形如a＋bi(b∈R)的數(shù)不一定是虛數(shù)，②錯(cuò)；只有當(dāng)a∈R，a＋3≠0時(shí)，(a＋3)i是純虛數(shù)，③錯(cuò)；若兩個(gè)復(fù)數(shù)能夠比較大小，則它們都是實(shí)數(shù)，故④正確，所以有3個(gè)錯(cuò)誤．]
　判斷復(fù)數(shù)概念方面的命題真假的注意點(diǎn)
(1)正確理解復(fù)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、實(shí)部、虛部、復(fù)數(shù)相等的概念，注意它們之間的區(qū)別與聯(lián)系．
(2)注意復(fù)數(shù)集與實(shí)數(shù)集中有關(guān)概念與性質(zhì)的不同．
(3)注意通過列舉反例來說明一些命題的真假．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．下列說法中正確的是(　　)
A．復(fù)數(shù)由實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)構(gòu)成
B．若復(fù)數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)是虛數(shù)，則必有x≠0
C．在復(fù)數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，則復(fù)數(shù)z一定不是純虛數(shù)
D．若a，b∈R且a＞b，則a＋i＞b＋i
C　[選項(xiàng)A錯(cuò)，復(fù)數(shù)由實(shí)數(shù)與虛數(shù)構(gòu)成，在虛數(shù)中又分為純虛數(shù)和非純虛數(shù)；選項(xiàng)B錯(cuò)，若復(fù)數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)是虛數(shù)，則必有y≠0，但可以x＝0；選項(xiàng)C正確，若復(fù)數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)是純虛數(shù)，必有x＝0，y≠0，因此只要x≠0，復(fù)數(shù)z一定不是純虛數(shù)；選項(xiàng)D錯(cuò)，當(dāng)a，b∈R時(shí)，a＋i與b＋i都是虛數(shù)，不能比較大小．]
類型2　復(fù)數(shù)的分類
【例2】　當(dāng)實(shí)數(shù)x取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z＝＋(x2－2x－15)i是下列數(shù)？
(1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)．
[解]　(1)當(dāng)x滿足
即x＝5時(shí)，z是實(shí)數(shù)．
(2)當(dāng)x滿足即x≠－3且x≠5時(shí)，z是虛數(shù)．
(3)當(dāng)x滿足即x＝－2或x＝3時(shí)，z是純虛數(shù)．
　利用復(fù)數(shù)的分類求參數(shù)的方法及注意事項(xiàng)
(1)利用復(fù)數(shù)的分類求參數(shù)時(shí)，首先應(yīng)將復(fù)數(shù)化為z＝a＋bi(a，b∈R)的形式，若不是這種形式，應(yīng)先化為這種形式，得到實(shí)部與虛部，再求解．
(2)要注意確定使實(shí)部、虛部的式子有意義的條件，再結(jié)合實(shí)部與虛部的取值求解．
(3)要特別注意復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)為純虛數(shù)的充要條件是a＝0且b≠0．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．(1)若z＝a＋(a2－1)i(a∈R，i為虛數(shù)單位)為實(shí)數(shù)，則a的值為(　　)
A．0　　　　 B．1
C．－1 D．1或－1
(2)若復(fù)數(shù)(a2－3a＋2)＋(a－1)i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為(　　)
A．1 B．2
C．1或2 D．－1
(1)D　(2)B　[若z＝a＋(a2－1)i(a∈R，i為虛數(shù)單位)為實(shí)數(shù)，則a2－1＝0，所以a＝±1．故選D．
(2)根據(jù)復(fù)數(shù)的分類知，需滿足
解得所以a＝2．]
類型3　復(fù)數(shù)相等的充要條件
【例3】　(1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求實(shí)數(shù)x，y的值．
(2)已知關(guān)于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的值．
[解]　(1)由復(fù)數(shù)相等的充要條件，得
解得
(2)設(shè)a是原方程的實(shí)根，則a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0，
所以a2＋a＋3m＝0且2a＋1＝0，所以a＝－且－＋3m＝0，所以m＝．
　復(fù)數(shù)相等問題的解題技巧
(1)必須是復(fù)數(shù)的代數(shù)形式才可以根據(jù)實(shí)部與實(shí)部相等，虛部與虛部相等列方程組求解．
(2)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件，將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題，為應(yīng)用方程思想提供了條件，同時(shí)這也是復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化思想的體現(xiàn)．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．若x＝1是方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0的實(shí)數(shù)根，求復(fù)數(shù)m的值．
[解]　由題意可知，1＋1－2i ＋3m－i＝0，
即m＝－＋i．
1．在2＋，i，8＋5i，(1－)i，0.618這幾個(gè)數(shù)中，純虛數(shù)的個(gè)數(shù)為(　　)
A．0　　　 B．1　　　
C．2　　　 D．3
C　[i，(1－)i是純虛數(shù)，2＋，0.618是實(shí)數(shù)，8＋5i是虛數(shù)．故純虛數(shù)的個(gè)數(shù)為2．]
2．復(fù)數(shù)z＝－i的實(shí)部和虛部分別是(　　)
A．－，－ B．，－
C．， D．－，
B　[復(fù)數(shù)z＝－i的實(shí)部為，虛部為－．
故選B．]
3．已知x，y∈R，i為虛數(shù)單位，且(x－2)＋yi＝－1＋i，則x＋y＝________．
2　[∵(x－2)＋yi＝－1＋i，∴
∴∴x＋y＝2．]
4．在下列數(shù)中，屬于虛數(shù)的是__________，屬于純虛數(shù)的是________．
0，1＋i，πi，＋2i，i，i．
1＋i，πi，＋2i，i，i　πi，i　[根據(jù)虛數(shù)的概念知：1＋i，πi，＋2i，i，i都是虛數(shù)；由純虛數(shù)的概念知：πi，i都是純虛數(shù)．]
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．當(dāng)a，b滿足什么條件時(shí)，復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)是實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)？
[提示]　當(dāng)b＝0時(shí)，a＋bi是實(shí)數(shù)；當(dāng)b≠0時(shí)，a＋bi是虛數(shù)；當(dāng)a＝0，b≠0時(shí)，a＋bi是純虛數(shù)．
2．兩個(gè)實(shí)數(shù)能比較大小，那么兩個(gè)復(fù)數(shù)能比較大小嗎？
[提示]　當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)時(shí)，可以比較大小，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)時(shí)，不能比較大小．
3．若復(fù)數(shù)z＝a＋bi>0，則實(shí)數(shù)a，b滿足什么條件？
[提示]　若復(fù)數(shù)z＝a＋bi>0，則實(shí)數(shù)a，b滿足a>0，且b＝0．
課時(shí)分層作業(yè)(十六)　數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念
一、選擇題
1．若a，b∈R，i是虛數(shù)單位，且b＋(a－2)i＝1＋i，則a＋b的值為(　　)
A．1　　　 B．2　　　
C．3　　　 D．4
D　[由b＋(a－2)i＝1＋i，得b＝1，a＝3，
所以a＋b＝4．]
2．若復(fù)數(shù)z＝(m＋2)＋(m2－9)i(m∈R)是正實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為 (　　)
A．－2 B．3
C．－3 D．±3
B　[由題意知解得m＝3，故選B．]
3．設(shè)a，b∈R，“a＝0”是“復(fù)數(shù)a＋bi是純虛數(shù)”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
B　[因?yàn)閍，b∈R，“a＝0”時(shí)“復(fù)數(shù)a＋bi不一定是純虛數(shù)”；“復(fù)數(shù)a＋bi是純虛數(shù)”，則“a＝0”一定成立．所以a，b∈R，“a＝0”是“復(fù)數(shù)a＋bi是純虛數(shù)”的必要不充分條件．]
4．以－3＋i的虛部為實(shí)部，以3i＋i2的實(shí)部為虛部的復(fù)數(shù)是(　　)
A．1－i B．1＋i
C．－3＋3i D．3＋3i
A　[－3＋i的虛部為1，3i＋i2＝－1＋3i的實(shí)部為－1，故所求復(fù)數(shù)為1－i．]
5．(多選)下列說法正確的是(　　)
A．純虛數(shù)的平方不小于0
B．i是一個(gè)無理數(shù)
C．1－ai(a∈R)是一個(gè)復(fù)數(shù)
D．復(fù)數(shù)a＋i與b＋3i(a，b∈R)不可能相等
CD　[純虛數(shù)的平方，如i2＝－1＜0，故A錯(cuò)；∈R，故i是純虛數(shù)，故B錯(cuò)；C正確；D中兩個(gè)復(fù)數(shù)的虛部不相等，故兩個(gè)復(fù)數(shù)不可能相等，D正確，故選CD．]
二、填空題
6．設(shè)m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是純虛數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則m＝________．
－2　[由題意知，
∴m＝－2．]
7．已知z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i(m，n∈R)，且z1＝z2，則實(shí)數(shù)m＝________，n＝________．
2　±2　[由復(fù)數(shù)相等的充要條件有
]
8．下列命題：
①若a∈R，則(a＋1)i是純虛數(shù)；
②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是純虛數(shù)，則x＝±1；
③兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小．
其中正確命題的序號(hào)是________．
③　[當(dāng)a＝－1時(shí)，(a＋1)i＝0，故①錯(cuò)誤；兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小，故③對(duì)；若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是純虛數(shù)，則即x＝1，故②錯(cuò)．]
三、解答題
9．當(dāng)實(shí)數(shù)m取何值時(shí)，復(fù)數(shù)z＝＋(m2＋2m－3)i是下列數(shù)？
(1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)．
[解]　(1)要使z是實(shí)數(shù)，m需滿足m2＋2m－3＝0，且有意義，即m－1≠0，解得m＝－3．
(2)要使z是虛數(shù)，m需滿足m2＋2m－3≠0，且有意義，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3．
(3)要使z是純虛數(shù)，m需滿足＝0，m－1≠0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2．
10．已知復(fù)數(shù)z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的實(shí)部大于虛部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．(－1，3)
B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．(－3，1)
D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
B　[由已知可得a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，
解得a>3或a<－1，
因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．]
11．集合M＝{4，5，－3m＋(m－3)i}(其中i為虛數(shù)單位)，N＝{－9，3}，且M∩N≠ ，則實(shí)數(shù)m的值為(　　)
A．－3　　B．3　　C．3或－3　　D．－1
B　[因?yàn)镸∩N≠ ，所以M中的－3m＋(m－3)i必須為實(shí)數(shù)，
所以m＝3，此時(shí)實(shí)部恰為－9，滿足題意．
故選B．]
12．已知關(guān)于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有實(shí)根n，且z＝m＋ni，則復(fù)數(shù)z＝(　　)
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
B　[由題意，知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即n2＋mn＋2＋(2n＋2)i＝0．
所以
解得
所以z＝3－i．]
13．如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞0，則實(shí)數(shù)m的值為________．
2　[因?yàn)楫?dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)時(shí)，才能比較大小．
則 m＝2．
所以m＝2時(shí)，(m2－1)＋(m2－2m)i＞0．]
14．若復(fù)數(shù)z＝＋i是純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位)，求tan的值．
[解]　∵復(fù)數(shù)z＝＋i是純虛數(shù)，
∴cos θ－＝0，sin θ－≠0，又cos2θ＋sin2θ＝1，
∴cos θ＝，sin θ＝－，∴tan θ＝－，
∴tan ＝＝＝－7．
15．已知復(fù)數(shù)z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中i是虛數(shù)單位，m，λ，θ∈R)．
(1)若z1為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；
(2)若z1＝z2，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
[解]　(1)∵z1為純虛數(shù)，
∴解得m＝－2．
(2)由z1＝z2，得
∴λ＝4－cos2θ－2sinθ＝sin2θ－2sinθ＋3＝(sin θ－1)2＋2．
∵－1≤sin θ≤1，
∴當(dāng)sin θ＝1時(shí)，λmin＝2，
當(dāng)sin θ＝－1時(shí)，λmax＝6，
∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍是[2，6]．7.1.2　復(fù)數(shù)的幾何意義
學(xué)習(xí) 任務(wù) 1．掌握用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)或以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量來表示復(fù)數(shù)及它們之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．(數(shù)學(xué)抽象) 2．掌握實(shí)軸、虛軸、模、共軛復(fù)數(shù)等概念．(數(shù)學(xué)抽象) 3．掌握用向量的模來表示復(fù)數(shù)的模的方法．(邏輯推理)
我們知道，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，因此實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示，復(fù)數(shù)作為數(shù)系的擴(kuò)充，能不能進(jìn)行幾何表示呢？讓我們來一起探究吧！
知識(shí)點(diǎn)1　復(fù)數(shù)的幾何意義
1．復(fù)平面
(1)復(fù)平面：建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面．
(2)實(shí)軸：坐標(biāo)系中的x軸叫做實(shí)軸，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)．
(3)虛軸：坐標(biāo)系中的y軸叫做虛軸，除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)．
1．實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，虛軸上的點(diǎn)表示虛數(shù)，這句話對(duì)嗎？
[提示]　不正確．實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)，原點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)為(0，0)，它所確定的復(fù)數(shù)是z＝0＋0i＝0，表示的是實(shí)數(shù)．
2．復(fù)數(shù)的幾何意義
(1)復(fù)數(shù)集C中的數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)：
復(fù)數(shù)z＝a＋bi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)；
(2)復(fù)數(shù)集C中的數(shù)與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量一一對(duì)應(yīng)：
復(fù)數(shù)z＝a＋bi平面向量．
知識(shí)點(diǎn)2　復(fù)數(shù)的模
1．定義：向量的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模或絕對(duì)值．
2．記法：復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模記作|z|或|a＋bi|．
3．公式：|z|＝|a＋bi|＝．
知識(shí)點(diǎn)3　共軛復(fù)數(shù)
1．定義：一般地，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)．虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)．
2．表示：復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi．
2．共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)有什么關(guān)系？
[提示]　它們所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱．
1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)原點(diǎn)是實(shí)軸和虛軸的交點(diǎn)． (　　)
(2)若＝(0，－3)，則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－3i． (　　)
(3)復(fù)數(shù)z＝－1－2i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限． (　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)×
2．已知復(fù)數(shù)z＝1＋2i(i是虛數(shù)單位)，則|z|＝________．
　[∵z＝1＋2i，
∴|z|＝＝．]
3．復(fù)數(shù)z＝－3－2i的共軛復(fù)數(shù)＝________．
[答案]　－3＋2i
類型1　復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的關(guān)系
【例1】　求實(shí)數(shù)a分別取何值時(shí)，復(fù)數(shù)z＝＋(a2－2a－15)i(a∈R)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z滿足下列條件：
(1)在復(fù)平面的第二象限內(nèi)；
(2)在復(fù)平面內(nèi)的x軸上方．
[解]　(1)點(diǎn)Z在復(fù)平面的第二象限內(nèi)，
則
解得a＜－3．
(2)點(diǎn)Z在x軸上方，
則
解得a＞5或a＜－3．
即當(dāng)a＞5或a＜－3時(shí)，點(diǎn)Z在復(fù)平面內(nèi)的x軸上方．
[母題探究]
1．本例中題設(shè)條件不變，求復(fù)數(shù)z表示的點(diǎn)在x軸上時(shí)，實(shí)數(shù)a的值．
[解]　點(diǎn)Z在x軸上，所以a2－2a－15＝0且a＋3≠0，所以a＝5．
故a＝5時(shí)，點(diǎn)Z在x軸上．
2．本例中條件不變，如果點(diǎn)Z在直線x＋y＋7＝0上，求實(shí)數(shù)a的值．
[解]　因?yàn)辄c(diǎn)Z在直線x＋y＋7＝0上，
所以＋a2－2a－15＋7＝0，
即a3＋2a2－15a－30＝0，所以(a＋2)(a2－15)＝0，故a＝－2或a＝±．
所以a＝－2或a＝±時(shí)，點(diǎn)Z在直線x＋y＋7＝0上．
　利用復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)解題的步驟
(1)首先確定復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，從而確定復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)．
(2)根據(jù)已知條件，確定實(shí)部與虛部滿足的關(guān)系．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(1)已知a∈R，則復(fù)數(shù)(a2＋a＋1)－(a2－2a＋3)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的第________象限．
(2)已知復(fù)數(shù)x2－6x＋5＋(x－2)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為________．
(1)四　(2)(1，2)　[(1)因?yàn)閍2＋a＋1＝＋>0，－(a2－2a＋3)＝－(a－1)2－2<0，
故復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限．
(2)因?yàn)閺?fù)數(shù)x2－6x＋5＋(x－2)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，
所以所以所以1所以所求實(shí)數(shù)x的取值范圍是(1，2)．]
類型2　復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)向量的對(duì)應(yīng)
【例2】　在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)A，B，C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1＋4i，－3i，2，O為復(fù)平面的坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)求向量和對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；
(2)求平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．
[解]　(1)由已知得所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1＋4i，－3i，2，則＝(1，4)，＝(0，－3)，＝(2，0)，
因此＝(1，1)，＝＝(1，－4)，
故對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1＋i，
對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1－4i．
(2)法一：由已知得點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為(1，4)，(0，－3)，(2，0)，則AC的中點(diǎn)為，由平行四邊形的性質(zhì)知BD的中點(diǎn)也是，
若設(shè)D(x0，y0)，
則有解得
故D(3，7)．
即頂點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3＋7i．
法二：由已知得＝(1，4)，＝(0，－3)，＝(2，0)，
所以＝(1，7)，＝(2，3)，
由平行四邊形的性質(zhì)得＝＝(3，10)，
所以＝＝(3，7)，于是D(3，7)．
即頂點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3＋7i．
　解決復(fù)數(shù)與平面向量一一對(duì)應(yīng)的問題時(shí)，一般以復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)為工具，實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向量之間的轉(zhuǎn)化．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．在復(fù)平面內(nèi)，分別用點(diǎn)和向量表示下列復(fù)數(shù)：
4，2＋i，－i，－1＋3i，3－2i．
[解]　如圖(1)，點(diǎn)A，B，C，D，E分別表示復(fù)數(shù)4，2＋i，－i，－1＋3i，3－2i．
如圖(2)，向量分別表示復(fù)數(shù)4，2＋i，－i，－1＋3i，3－2i．
類型3　復(fù)數(shù)的模及其應(yīng)用
【例3】　已知復(fù)數(shù)z1＝－i，z2＝－＋i．
(1)求||，||的模并比較大小；
(2)設(shè)z∈C，且z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，則滿足|z2|≤|z|≤|z1|的點(diǎn)Z組成的集合是什么圖形？并作圖表示．
[解]　(1)||＝|＋i|＝＝2，
||＝＝＝1．
所以||＞||．
(2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2．
不等式1≤|z|≤2等價(jià)于不等式組
因?yàn)闈M足|z|≤2的點(diǎn)Z組成的集合是圓心在原點(diǎn)、半徑為2的圓及其內(nèi)部(包括邊界)，
而滿足|z|≥1的點(diǎn)Z組成的集合是圓心在原點(diǎn)、半徑為1的圓的外部(包括邊界)，
所以滿足條件的點(diǎn)Z組成的集合是一個(gè)圓環(huán)(包括邊界)，如圖中陰影部分所示．
　1．復(fù)數(shù)的模的計(jì)算
計(jì)算復(fù)數(shù)的模時(shí)，應(yīng)先確定復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，再利用模長公式計(jì)算．雖然兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小，但它們的模可以比較大小．
2．復(fù)數(shù)模的幾何意義
(1)|z|表示點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離，可依據(jù)|z|滿足的條件判斷點(diǎn)Z的集合表示的圖形；
(2)利用復(fù)數(shù)模的定義，把模的問題轉(zhuǎn)化為幾何問題解決．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．(1)(2022·廣西桂林期末)滿足1≤≤3的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積為(　　)
A．π　　　 B．2π　　　
C．8π　　　 D．9π
(2)若復(fù)數(shù)z滿足z＋|z|＝2＋8i，則z的共軛復(fù)數(shù)＝________．
(1)C　(2)－15－8i　[(1)滿足1≤≤3的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成的圖形為以原點(diǎn)為圓心，半徑分別為1和3構(gòu)成的圓環(huán)，所以面積為π×32－π×12＝8π．
故選C．
(2)設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則|z|＝，代入方程得a＋bi＋＝2＋8i，
∴
解得
∴z＝－15＋8i, z的共軛復(fù)數(shù)＝－15－8i．]
1．復(fù)數(shù)z＝3－5i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(　　)
A．(3，－5) B．(3，5)
C．(3，－5i) D．(3，5i)
A　[復(fù)數(shù)z＝3－5i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(3，－5)．]
2．已知z＝m－1＋(m＋2)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　)
A．(－1，2) B．(－2，1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－2)
B　[∵z＝m－1＋(m＋2)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，∴m－1<0，m＋2>0，
解得－2則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－2，1)．]
3．在復(fù)平面內(nèi)，O為原點(diǎn)，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－1－2i，若點(diǎn)A關(guān)于虛軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(　　)
A．－2－i B．2＋i
C．1－2i D．－1＋2i
C　[由題意可知，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1，－2)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，－2)，故向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1－2i．]
4．向量a＝(3，4)，設(shè)向量a對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z，則z的共軛復(fù)數(shù)＝________，||＝________．
[答案]　3－4i　5
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、復(fù)平面內(nèi)的向量有什么關(guān)系？
[提示]　復(fù)數(shù)與復(fù)平面上點(diǎn)、與復(fù)平面上以原點(diǎn)為始點(diǎn)的向量是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．
即：
2．設(shè)復(fù)數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)，則|z|等于多少？其幾何意義是什么？
[提示]　|z|＝，其表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)(x，y)到原點(diǎn)(0，0)的距離．
3． 復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的共軛復(fù)數(shù)如何表示？
[提示]　＝a－bi(a，b∈R)．
課時(shí)分層作業(yè)(十七)　復(fù)數(shù)的幾何意義
一、選擇題
1．若＝(0，－3)，則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)(　　)
A．等于0
B．等于－3
C．在虛軸上
D．既不在實(shí)軸上，也不在虛軸上
C　[向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－3i，在虛軸上．]
2．若復(fù)數(shù)z＝－2＋i，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C　[復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)＝－2－i，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(－2，－1)，位于第三象限．]
3．設(shè)(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是實(shí)數(shù)，則|x＋yi|＝(　　)
A．1　　　 B．
C．　　 D．2
B　[因?yàn)閤，y∈R，(1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，
所以x＝y(tǒng)＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝＝，故選B．]
4．已知復(fù)數(shù)z滿足|z|2－2|z|－3＝0，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的集合表示的圖形是(　　)
A．一個(gè)圓 B．線段
C．兩點(diǎn) D．兩個(gè)圓
A　[∵|z|2－2|z|－3＝0，
∴(|z|－3)(|z|＋1)＝0，∴|z|＝3，
∴復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)O為圓心，以3為半徑的一個(gè)圓．]
5．(多選)(2022·山東威海一中月考)已知m，n∈R，復(fù)數(shù)z1＝m＋3i，z2＝z1＋4－2i，且z2為純虛數(shù)，復(fù)數(shù)z1的共軛復(fù)數(shù)為，則(　　)
A．m＝－4
B．＝2
C．＝－4－3i
D．復(fù)數(shù)的虛部為－3i
AC　[由題可知z2＝m＋3i＋4－2i＝＋i，
對(duì)于A：因?yàn)閦2為純虛數(shù)，所以m＝－4，故A正確；
對(duì)于B：＝1，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：＝－4－3i，故C正確；
對(duì)于D：復(fù)數(shù)的虛部為－3，故D錯(cuò)誤．
故選AC．]
二、填空題
6．若復(fù)數(shù)z1＝2＋bi與復(fù)數(shù)z2＝a－4i(a，b∈R)互為共軛復(fù)數(shù)，則a＝__________，b＝________．
2　4　[因?yàn)閦1與z2互為共軛復(fù)數(shù)，所以a＝2，b＝4．]
7．復(fù)數(shù)z＝x－2＋(3－x)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________．
(3，＋∞)　[∵復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，
∴解得x>3．]
8．設(shè)z為純虛數(shù)，且|z－1|＝|－1＋i|，則復(fù)數(shù)z＝________．
±i　[因?yàn)閦為純虛數(shù)，所以設(shè)z＝ai(a∈R，且a≠0)，
則|z－1|＝|ai－1|＝．
又因?yàn)閨－1＋i|＝，所以＝，即a2＝1，
所以a＝±1，即z＝±i．]
三、解答題
9．(源自北師大版教材)在復(fù)平面內(nèi)作出表示下列復(fù)數(shù)的點(diǎn)，并分別求出它們的模和共軛復(fù)數(shù)：
(1)z1＝3－2i；(2)z2＝－1＋i．
[解]　在復(fù)平面作圖如圖．
(1)|z1|＝|3－2i|＝＝＝3＋2i；
(2)|z2|＝|－1＋i|＝＝2，＝－1－i．
10．當(dāng)A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D　[因?yàn)?m<1，所以3m－2>0，m－1<0，所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限．]
11．在復(fù)平面內(nèi)，把復(fù)數(shù)3－i對(duì)應(yīng)的向量按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是(　　)
A．2 B．－2i
C．－3i D．3＋i
B　[復(fù)數(shù)3－i對(duì)應(yīng)的向量的坐標(biāo)為(3，－)，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到新向量的坐標(biāo)為(0，－2)，所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－2i．]
12．(多選)(2022·湖北宜昌市一中月考)已知復(fù)數(shù)z0＝1＋2i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為P0，復(fù)數(shù)z滿足，下列結(jié)論正確的是(　　)
A．P0點(diǎn)的坐標(biāo)為()
B．復(fù)數(shù)z0的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)P0關(guān)于虛軸對(duì)稱
C．復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在一條直線上
D．滿足＝的復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)z有2個(gè)
ACD　[A．因?yàn)閺?fù)數(shù)z0＝1＋2i，由復(fù)數(shù)的幾何意義知，P0點(diǎn)的坐標(biāo)為()，故正確；
B．復(fù)數(shù)z0的共軛復(fù)數(shù)是＝1－2i，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)P0關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，故錯(cuò)誤；
C．設(shè)z＝x＋yi，x，y∈R，因?yàn)椋裕剑喌脃＝x，故正確；
D．因?yàn)辄c(diǎn)P0到直線y＝x距離的最小值為d＝＝，所以滿足＝的z有2個(gè)，故正確．故選ACD．]
13．已知0(1，)　[因?yàn)?所以|z|＝∈(1，)．]
14．已知復(fù)數(shù)z1＝cos θ＋isin 2θ，z2＝sin θ＋icos θ，求當(dāng)θ滿足什么條件時(shí)：
(1)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱；
(2)|z2|＜．
[解]　(1)在復(fù)平面內(nèi)，z1與z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，
則 (k∈Z)，
所以θ＝2kπ＋π(k∈Z)．
(2)由|z2|＜，得＜，
即3sin2θ＋cos2θ＜2，所以sin2θ＜，
所以kπ－＜θ＜kπ＋(k∈Z)．
15．已知x為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)z＝x－2＋(x＋2)i．
(1)當(dāng)x為何值時(shí)，復(fù)數(shù)z的模最小；
(2)當(dāng)復(fù)數(shù)z的模最小時(shí)，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z位于函數(shù)y＝－mx＋n的圖象上，其中mn＞0，求＋的最小值及取得最小值時(shí)m，n的值．
[解]　(1)|z|＝＝≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)，復(fù)數(shù)z的模最小，為2．
(2)當(dāng)復(fù)數(shù)z的模最小時(shí)，Z(－2，2)．又點(diǎn)Z位于函數(shù)y＝－mx＋n的圖象上，所以2m＋n＝2．
又mn＞0，所以＋＝＝＋＋≥，當(dāng)且僅當(dāng)n2＝2m2時(shí)等號(hào)成立．
又2m＋n＝2，所以m＝2－，n＝2－2．
所以＋的最小值為，此時(shí)m＝2－，n＝2－2.7.2　復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算
7.2.1　復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算及其幾何意義
學(xué)習(xí)任務(wù) 1．掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算法則．(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算) 2．了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義．(直觀想象)
我們知道，任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都可以相加，而且實(shí)數(shù)中的加法運(yùn)算還滿足交換律與結(jié)合律，即a，b，c∈R時(shí)，必定有a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
那么，復(fù)數(shù)中的加法應(yīng)該如何規(guī)定，才能使得類似的交換律與結(jié)合律都成立呢？
知識(shí)點(diǎn)1　復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算
1．復(fù)數(shù)加法、減法的運(yùn)算法則
設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，則有：
z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i．
2．復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算律
設(shè)z1，z2，z3∈C，則有：
交換律：z1＋z2＝z2＋z1；
結(jié)合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
1．兩個(gè)實(shí)數(shù)之和仍是一個(gè)實(shí)數(shù)，兩個(gè)復(fù)數(shù)之和仍是一個(gè)復(fù)數(shù)，那么兩個(gè)虛數(shù)之和仍是一個(gè)虛數(shù)嗎？
[提示]　不一定，如i＋(－i)＝0．
2．若復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1－z2>0，能否認(rèn)為z1>z2
[提示]　不能．如2＋i－i>0，但2＋i與i不能比較大小．
知識(shí)點(diǎn)2　復(fù)數(shù)加減法的幾何意義
如圖所示，設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2對(duì)應(yīng)向量分別為，四邊形OZ1ZZ2為平行四邊形，向量與復(fù)數(shù)z1＋z2對(duì)應(yīng)，向量與復(fù)數(shù)z1－z2對(duì)應(yīng)．
3．類比絕對(duì)值|x－x0|的幾何意義，|z－z0|(z，z0∈C)的幾何意義是什么？
[提示]　|z－z0|(z，z0∈C)的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z到點(diǎn)Z0的距離．
已知向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2－3i，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3－4i，則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為________．
1－i　[＝＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i．]
類型1　復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算
【例1】　(1)計(jì)算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________．
(2)已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y為實(shí)數(shù)，若z1－z2＝5－3i，則|z1＋z2|＝________．
(1)－2－i　(2)　[(1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i＝－2－i．
(2)z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)i]＝[(3x－4y)－(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i，
所以解得
所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，則z1＋z2＝1－i，
所以|z1＋z2|＝．]
　復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的方法技巧
(1)可把復(fù)數(shù)運(yùn)算類比實(shí)數(shù)運(yùn)算，若有括號(hào)，先計(jì)算括號(hào)里面的；若沒有括號(hào)，可以從左到右依次進(jìn)行．
(2)當(dāng)利用交換律、結(jié)合律抵消掉某些項(xiàng)的實(shí)部或虛部時(shí)，可以利用運(yùn)算律簡化運(yùn)算，注意正負(fù)號(hào)法則與實(shí)數(shù)相同，不能弄錯(cuò)．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．復(fù)數(shù)(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
A　[復(fù)數(shù)(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋3)i＝9＋i，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(9，1)，在第一象限．]
類型2　復(fù)數(shù)代數(shù)形式加、減運(yùn)算的幾何意義
【例2】　(1)復(fù)數(shù)z1，z2滿足|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝．則|z1－z2|＝________．
(2)如圖所示，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O，A，C對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)分別為0，3＋2i，－2＋4i，試求：
①所表示的復(fù)數(shù)，所表示的復(fù)數(shù)；
②對(duì)角線所表示的復(fù)數(shù)；
③對(duì)角線所表示的復(fù)數(shù)及的長度．
(1)　[由|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，知z1，z2，z1＋z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是一個(gè)邊長為1的正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，所求|z1－z2|是這個(gè)正方形的一條對(duì)角線長，所以|z1－z2|＝．]
(2)[解]　①＝－，∴所表示的復(fù)數(shù)為－3－2i．
∵＝，∴所表示的復(fù)數(shù)為－3－2i．
②∵＝，
∴所表示的復(fù)數(shù)為(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i．
③對(duì)角線＝，它所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i, ||＝＝．
　利用復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義解題的技巧
(1)形轉(zhuǎn)化為數(shù)：利用幾何意義可以把幾何圖形的變換轉(zhuǎn)化成復(fù)數(shù)運(yùn)算去處理．
(2)數(shù)轉(zhuǎn)化為形：對(duì)于一些復(fù)數(shù)運(yùn)算也可以給予幾何解釋，使復(fù)數(shù)作為工具運(yùn)用于幾何之中．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．復(fù)數(shù)z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它們在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是一個(gè)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，求這個(gè)正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．
[解]　設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2，z3在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為x＋yi(x，y∈R)，如圖．
則＝＝(x，y)－(1，2)＝(x－1，y－2)．
＝＝(－1，－2)－(－2，1)＝(1，－3)．
∵＝，∴
解得故點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2－i．
類型3　復(fù)數(shù)模的最值問題
【例3】　(1)如果復(fù)數(shù)z滿足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是(　　)
A．1 B．　　　
C．2 D．
(2)若復(fù)數(shù)z滿足|z＋＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值．
(1)A　[設(shè)復(fù)數(shù)－i，i，－1－i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Z1，Z2，Z3，因?yàn)閨z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以點(diǎn)Z的集合為線段Z1Z2．
問題轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)Z在線段Z1Z2上移動(dòng)，則求|ZZ3|的最小值，因?yàn)閨Z1Z3|＝1．所以|z＋i＋1|min＝1．]
(2)[解]　如圖所示，設(shè)＝－－i，
則||＝＝2．
所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1．
　|z1－z2|表示復(fù)平面內(nèi)z1，z2對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離．利用此性質(zhì)，可把復(fù)數(shù)模的問題轉(zhuǎn)化為復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離問題，從而進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形問題求解．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i為虛數(shù)單位)的最小值．
[解]　因?yàn)閨z|＝1且z∈C，作圖如圖，
所以|z－2－2i|的幾何意義為單位圓上的點(diǎn)M到復(fù)平面上的點(diǎn)P(2，2)的距離，所以|z－2－2i|的最小值為|OP|－1＝2－1．
1．已知復(fù)數(shù)z1＝3＋4i，z2＝3－4i，則z1＋z2＝(　　)
A．8i　　　 B．6
C．6＋8i D．6－8i
B　[z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6．]
2．設(shè)z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，則z1－z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D　[∵z1－z2＝(3－4i)－(－2＋3i)＝5－7i，
∴z1－z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限．]
3．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)1＋i和1＋3i分別對(duì)應(yīng)向量和，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則||＝(　　)
A．　　 B．2
C．　　 D．4
B　[由復(fù)數(shù)減法運(yùn)算的幾何意義知，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(1＋3i)－(1＋i)＝2i，所以||＝2．]
4．若|z－2|＝|z＋2|，則|z－1|的最小值是________．
1　[由|z－2|＝|z＋2|，知z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是到(2，0)與到(－2，0)距離相等的點(diǎn)，即虛軸．|z－1|表示z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與(1，0)的距離．
∴|z－1|min＝1．]
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．如何理解復(fù)數(shù)的加減法？
[提示]　由于復(fù)數(shù)具有數(shù)與形的多重性，因此復(fù)數(shù)加減法也應(yīng)從數(shù)與形等方面領(lǐng)會(huì)，即從代數(shù)形式上領(lǐng)會(huì)，復(fù)數(shù)加減法類似于多項(xiàng)式合并同類項(xiàng)；從幾何形式上，復(fù)數(shù)加減法等同于向量加減法運(yùn)算．
2．|z－z0|的幾何意義是什么？|z－z1|＝3表示的軌跡是什么？
[提示]　|z－z0|表示z和z0所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離．當(dāng)|z－z1|＝3時(shí)，表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以z1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為圓心，半徑為3的圓．
課時(shí)分層作業(yè)(十八)　復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算及其幾何意義
一、選擇題
1．復(fù)數(shù)(1－i)－(2＋i)＋3i等于(　　)
A．－1＋i　 B．1－i
C．i D．－i
A　[(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i．故選A．]
2．已知復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量如圖所示，則復(fù)數(shù)z＋1所對(duì)應(yīng)的向量正確的是(　　)
A　　　　　B　　　C　　　D
A　[由圖可知z＝－2＋i，所以z＋1＝－1＋i，則復(fù)數(shù)z＋1所對(duì)應(yīng)的向量的坐標(biāo)為(－1，1)．故選A．]
3．復(fù)數(shù)z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi(a，b∈R)，若它們的和為實(shí)數(shù)，差為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a，b的值為(　　)
A．a(chǎn)＝－3，b＝－4 B．a(chǎn)＝－3，b＝4
C．a(chǎn)＝3，b＝－4 D．a(chǎn)＝3，b＝4
A　[由題意可知z1＋z2＝(a－3)＋(b＋4)i是實(shí)數(shù)，z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i是純虛數(shù)，故解得a＝－3，b＝－4．]
4．在平行四邊形ABCD中，若A，C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為－1＋i和－4－3i，則該平行四邊形的對(duì)角線AC的長度為(　　)
A．　　　 B．5
C．2　　　 D．10
B　[依題意，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的長度為|－3－4i|＝5．]
5．(多選)表示(　　)
A．點(diǎn)()與點(diǎn)()之間的距離
B．點(diǎn)()與點(diǎn)之間的距離
C．點(diǎn)()到原點(diǎn)的距離
D．坐標(biāo)為()的向量的模
ACD　[由復(fù)數(shù)的幾何意義，知復(fù)數(shù)3＋2i，1＋i分別對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)()與點(diǎn)()，所以表示點(diǎn)()與點(diǎn)()之間的距離，故A說法正確，B說法錯(cuò)誤；＝，可表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，故C說法正確；＝＝|－2－i|，|－2－i|可表示點(diǎn)(－2，－1)到原點(diǎn)的距離，即坐標(biāo)為()的向量的模，故D說法正確．故選ACD．]
二、填空題
6．已知復(fù)數(shù)z滿足z＋(1＋2i)＝5－i，則z＝________．
4－3i　[z＝(5－i)－(1＋2i)＝4－3i．]
7．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)－3－i與5＋i對(duì)應(yīng)的向量分別是與，其中O是原點(diǎn)，則向量＝________，則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為________，A，B兩點(diǎn)間的距離為________．
2　－8－2i　2　[向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(－3－i)＋(5＋i)＝2．
∵＝，
∴向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i．
∴A，B兩點(diǎn)間的距離為|－8－2i|＝＝2．]
8．已知|z|＝4，且z＋2i是實(shí)數(shù)，則復(fù)數(shù)z＝________．
±2－2i　[因?yàn)閦＋2i是實(shí)數(shù)，所以可設(shè)z＝a－2i(a∈R)，由|z|＝4得a2＋4＝16，
所以a2＝12，所以a＝±2，
所以z＝±2－2i．]
三、解答題
9．已知復(fù)數(shù)z1＝1＋ai，z2＝2a－3i，z3＝a2＋i(a∈R)．
(1)當(dāng)a為何值時(shí)，復(fù)數(shù)z1－z2＋z3是實(shí)數(shù)？
(2)當(dāng)a為何值時(shí)，復(fù)數(shù)z1－z2＋z3是純虛數(shù)？
[解]　由題意，知z1－z2＋z3＝(1＋ai)－(2a－3i)＋(a2＋i)＝1－2a＋a2＋(a＋4)i．
(1)若復(fù)數(shù)z1－z2＋z3是實(shí)數(shù)，
則a＋4＝0，即a＝－4．
(2)若復(fù)數(shù)z1－z2＋z3是純虛數(shù)，則解得a＝1．
10．已知復(fù)數(shù)z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是純虛數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的值為(　　)
A．1　　　 B．2
C．－2　　 D．－2或1
C　[由z1＋z2＝a2－2＋a＋(a2－3a＋2)i是純虛數(shù)，得得a＝－2．]
11．A，B分別是復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，則△AOB一定是(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
B　[根據(jù)復(fù)數(shù)加(減)法的幾何意義，可知以為鄰邊所作的平行四邊形的對(duì)角線相等，則此平行四邊形為矩形，故△AOB為直角三角形．]
12．(多選)設(shè)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，i為虛數(shù)單位，則下列命題正確的是(　　)
A．z＋∈R
B．z－是純虛數(shù)
C．若z＝cos ＋isin ，則|z|＝1
D．若|z－i|＝1，則|z|的最大值為2
AD　[因?yàn)閺?fù)數(shù)z與其共軛復(fù)數(shù)為的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)，所以z＋∈R，A正確；
當(dāng)z為實(shí)數(shù)時(shí)，也為實(shí)數(shù)，則z－是實(shí)數(shù)，B錯(cuò)誤；若z＝cos ＋isin ，
則|z|＝≠1，C錯(cuò)誤；
若|z－i|＝1，設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，則x2＋(y－1)2＝1，則|z|表示滿足方程x2＋(y－1)2＝1的圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，其最大值為2，D正確．]
13．設(shè)f(z)＝z－3i＋|z|，若z1＝－2＋4i，z2＝5－i，則f (z1＋z2)＝________．
3＋3　[z1＋z2＝3＋3i，故f (z1＋z2)＝f (3＋3i)＝3＋|3＋3i|＝3＋3．]
14．在復(fù)平面內(nèi)，已知復(fù)數(shù)z1，z2滿足|z1|＝|z2|＝3，且|z1－z2|＝3，求|z1＋z2|．
[解]　設(shè)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z2，
則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1＋z2，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1－z2，因?yàn)閨z1|＝|z2|＝3，且|z1－z2|＝3，
所以△AOB為等腰直角三角形，且||＝3．
作正方形AOBC，如圖所示，
則＝對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1＋z2，
故|z1＋z2|＝||＝||＝3．
15．在復(fù)平面內(nèi)，A，B，C三點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1，2＋i，－1＋2i，其中i為虛數(shù)單位．
(1)求對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；
(2)判斷△ABC的形狀；
(3)求△ABC的面積．
[解]　(1)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2＋i－1＝1＋i，
對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－1＋2i－(2＋i)＝－3＋i，
對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－1＋2i－1＝－2＋2i．
(2)∵||＝，||＝，||＝＝2，
∴||2＋||2＝||2，
∴△ABC為直角三角形．
(3)S△ABC＝×2＝2．7.2.2　復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算
學(xué)習(xí)任務(wù) 1．掌握復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算．(數(shù)學(xué)運(yùn)算) 2．理解復(fù)數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和乘法對(duì)加法的分配律．(邏輯推理) 3．掌握在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程的方法．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
怎樣規(guī)定兩個(gè)復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，才能使在復(fù)數(shù)集中的乘法、除法與原實(shí)數(shù)集中的有關(guān)規(guī)定內(nèi)容？復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算把i看作一個(gè)字母，相當(dāng)于多項(xiàng)式的合并同類項(xiàng)，那么復(fù)數(shù)乘法是否可以像多項(xiàng)式乘法那樣進(jìn)行呢？
知識(shí)點(diǎn)1　復(fù)數(shù)的乘法
1．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則
已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．
2．復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律
對(duì)于任意z1，z2，z3∈C，有
交換律 z1z2＝z2z1
結(jié)合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3)
乘法對(duì)加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
知識(shí)點(diǎn)2　復(fù)數(shù)的除法法則
(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)．
(1)復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式的乘法有何不同？
(2)|z|2＝z2，正確嗎？
[提示]　(1)復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式乘法是類似的，有一點(diǎn)不同即必須在所得結(jié)果中把i2換成－1，再把實(shí)部、虛部分別合并．
(2)不正確．例如，|i|2＝1，而i2＝－1．
(1)＝________；
(2)＝________；
(3)＝________．
[答案]　(1)－i　(2)i　(3)－i
類型1　復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算
【例1】　(源自湘教版教材)計(jì)算：
(1)(1＋2i)(4－3i)；
(2)(1＋i)2；
(3)(1－i)2；
(4)(1＋i)1 000．
[解]　(1)(1＋2i)(4－3i)
＝1×4＋1×(－3i)＋2i×4＋2i×(－3i)
＝4－3i＋8i－6i2
＝4－3i＋8i－6×(－1)
＝10＋5i．
(2)(1＋i)2＝12＋2·1·i＋i2＝1＋2i－1＝2i．
(3)(1－i)2＝12－2·1·i＋i2＝1－2i－1＝－2i．
(4)由(2)得，(1＋i)1 000＝[(1＋i)2]500
＝(2i)500
＝2500·i500
＝2500·1
＝2500．
　1．兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式乘法的一般方法
復(fù)數(shù)的乘法可以按多項(xiàng)式的乘法法則進(jìn)行，注意選用恰當(dāng)?shù)某朔ü竭M(jìn)行簡便運(yùn)算，例如平方差公式、完全平方公式等．
2．常用公式
(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)．
(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．
(3)(1±i)2＝±2i．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(1)若復(fù)數(shù)(1－i)(a＋i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
(2)計(jì)算：①(2＋3i)(2－3i)＝________；
②(－2－i)(3－2i)(－1＋3i) ＝________．
(1)B　(2)①13　②5－25i　[(1)z＝(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i，
因?yàn)閷?duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，
所以解得a<－1，故選B．
(2)①(2＋3i)(2－3i)＝22－(3i)2＝22－(－9)＝13．
②原式＝(－6＋4i－3i＋2i2)(－1＋3i)
＝(－8＋i)(－1＋3i)＝8－24i－i＋3i2＝5－25i．]
類型2　復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算
【例2】　(源自北師大版教材)計(jì)算：
(1)；(2)；(3)．
[解]　(1)＝＝；
(2)＝＝＝－＋i；
(3)＝＝＝i6＝－1．
　1．根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則，通過分子、分母都乘分母的共軛復(fù)數(shù)，使“分母實(shí)數(shù)化”，這個(gè)過程與“分母有理化”類似．
2．設(shè)z1，z2都是復(fù)數(shù)，則|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝(z2≠0)．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．(1)(2022·全國甲卷)若z＝－1＋i，則＝(　　)
A．－1＋i B．－1－i
C．－＋i D．－－i
(2)(多選)若復(fù)數(shù)z＝，其中i為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．z的虛部為－1
B．|z|＝
C．z2為純虛數(shù)
D．z的共軛復(fù)數(shù)為－1－i
(1)C　(2)ABC　[(1)∵z＝－1＋i，
∴z·＝|z|2＝()2＝4，
則＝＝－＋i．故選C．
(2)z＝＝＝＝1－i，
對(duì)于A，z的虛部為－1，正確；
對(duì)于B，模長|z|＝，正確；
對(duì)于C，因?yàn)閦2＝(1－i)2＝－2i，故z2為純虛數(shù)，正確；
對(duì)于D，z的共軛復(fù)數(shù)為1＋i，錯(cuò)誤．]
類型3　在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程
【例3】　在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解下列方程．
(1)x2＋5＝0；
(2)x2＋4x＋6＝0．
[解]　(1)因?yàn)閤2＋5＝0，所以x2＝－5，
又因?yàn)?i)2＝(－i)2＝－5，
所以x＝±i，
所以方程x2＋5＝0的根為±i．
(2)法一：因?yàn)閤2＋4x＋6＝0，
所以(x＋2)2＝－2，
因?yàn)?i)2＝(－i)2＝－2，
所以x＋2＝i或x＋2＝－i，
即x＝－2＋i或x＝－2－i，
所以方程x2＋4x＋6＝0的根為x＝－2±i．
法二：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8＜0，
所以方程x2＋4x＋6＝0無實(shí)數(shù)根．
在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，設(shè)方程x2＋4x＋6＝0的根為x＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，
則(a＋bi)2＋4(a＋bi)＋6＝0，
所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0，
整理得(a2－b2＋4a＋6)＋(2ab＋4b)i＝0，
所以
又因?yàn)閎≠0，所以
解得a＝－2，b＝±．
所以x＝－2±i，
即方程x2＋4x＋6＝0的根為x＝－2±i．
　在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程的方法
(1)當(dāng)a，b，c都是實(shí)數(shù)且a≠0時(shí)，關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)總是有解的，而且
①當(dāng)Δ＝b2－4ac＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
②當(dāng)Δ＝b2－4ac＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
③當(dāng)Δ＝b2－4ac＜0時(shí)，方程有兩個(gè)互為共軛的虛數(shù)根．
(2)利用復(fù)數(shù)相等的定義求解
設(shè)方程的根為x＝m＋ni(m，n∈R)，將此代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化簡后利用復(fù)數(shù)相等的定義求解．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c為實(shí)數(shù))的一個(gè)根．
(1)求b，c的值；
(2)試判斷1－i是不是方程的根．
[解]　(1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，且b，c為實(shí)數(shù)，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，
即b＋c＋(b＋2)i＝0，
∴解得
(2)由(1)知方程為x2－2x＋2＝0，
把1－i代入方程左邊得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右邊，即方程成立．
∴1－i是方程的根．
1．已知復(fù)數(shù)z＝2－i，則z·的值為(　　)
A．5　　　 B．
C．3　　　 D．
A　[z·＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5．]
2．已知i為虛數(shù)單位，則的實(shí)部與虛部之積是(　　)
A．　　　 B．－　　　
C．i　　　 D．－i
A　[因?yàn)椋剑剑玦，
所以的實(shí)部與虛部之積是．]
3．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)＋(1＋i)2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
B　[＋(1＋i)2＝i＋＋1－3＋2i＝－＋i，故復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限．]
4．若一元二次方程x2－2x＋5＝0，則該方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解為________．
1±2i　[Δ＝(－2)2－4×1×5＝－16<0，
所以方程的根為x＝＝1±2i．
即方程的兩根分別為1＋2i和1－2i．]
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．三個(gè)實(shí)數(shù)|z|，||，z·具有怎樣的關(guān)系？
[提示]　設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則＝a－bi，
所以|z|＝，||＝＝，
z·＝(a＋bi)(a－bi)＝a2－(bi)2＝a2＋b2，
所以|z|2＝||2＝z·．
2．復(fù)數(shù)除法的實(shí)質(zhì)是怎樣的？
[提示]　復(fù)數(shù)除法的實(shí)質(zhì)是分母實(shí)數(shù)化的過程，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，就是先把它們的商寫成分?jǐn)?shù)的形式，然后把分子與分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，再把結(jié)果化簡即可．
3． 實(shí)系數(shù)一元二次方程的虛根有何特點(diǎn)？
[提示]　實(shí)系數(shù)一元二次方程的虛根是成對(duì)出現(xiàn)的，即若復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R，b≠0)是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，則其共軛復(fù)數(shù)a－bi是該方程的另一根．
利用復(fù)數(shù)產(chǎn)生分形圖
以前我們學(xué)過的函數(shù)，定義域都是實(shí)數(shù)集的子集．但函數(shù)概念還可以推廣：定義域是復(fù)數(shù)集的子集的函數(shù)稱為復(fù)變函數(shù)．類似地，我們還可以得到多項(xiàng)式復(fù)變函數(shù)的概念．例如，f (z)＝z2就是一個(gè)多項(xiàng)式復(fù)變函數(shù)，此時(shí)
f (i)＝i2＝－1，f (1＋i)＝(1＋i)2＝2i．
給定多項(xiàng)式復(fù)變函數(shù)f(z)之后，對(duì)任意一個(gè)復(fù)數(shù)z0，通過計(jì)算公式zn＋1＝f (zn)，n∈N可以得到一列值
z0，z1，z2，…，zn，…．
如果存在一個(gè)正數(shù)M，使得|zn|＜M對(duì)任意n∈N都成立，則稱z0為f(z)的收斂點(diǎn)；否則，稱z0為f (z)的發(fā)散點(diǎn)．f (z)的所有收斂點(diǎn)組成的集合稱為f(z)的充滿茹利亞集．
例如，當(dāng)f(z)＝z2時(shí)，如果z0＝i，則得到的一列值是
i，－1，1，1，…，1，…；
如果z0＝1＋i，則算出的一列值是
1＋i，2i，－4，…，，…．
顯然，對(duì)于f(z)＝z2來說，i為收斂點(diǎn)，1＋i為發(fā)散點(diǎn)．事實(shí)上，利用|z2|＝|z|2可以證明，f(z)＝z2的充滿茹利亞集是一個(gè)單位圓盤(即由滿足|z|≤1的所有z組成的集合)．
讓人驚訝的是，當(dāng)f(z)＝z2＋c時(shí)，對(duì)于某些復(fù)數(shù)c來說，f(z)的充滿茹利亞集是非常復(fù)雜的．如果利用計(jì)算機(jī)對(duì)不同形態(tài)的收斂點(diǎn)和發(fā)散點(diǎn)進(jìn)行不同的著色．而且，如果按照一定的規(guī)則對(duì)c進(jìn)行分類，并進(jìn)行著色，可以得到如圖所示的芒德布羅分形圖．
課時(shí)分層作業(yè)(十九)　復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算
一、選擇題
1．(2022·浙江高考)已知a，b∈R，a＋3i＝(b＋i)i(i為虛數(shù)單位)，則(　　)
A．a(chǎn)＝1，b＝－3 B．a(chǎn)＝－1，b＝3
C．a(chǎn)＝－1，b＝－3 D．a(chǎn)＝1，b＝3
B　[a＋3i＝bi－1，∴a＝－1，b＝3，故選B．]
2．(2022·新高考Ⅱ卷)(2＋2i)(1－2i)＝(　　)
A．－2＋4i B．－2－4i
C．6＋2i D．6－2i
D　[(2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i－4i2＝2－2i＋4＝6－2i，故選D．]
3．復(fù)數(shù)z滿足z2＋1＝0，則z3＝(　　)
A．1　　　 B．±1
C．i　　　 D．±i
D　[因?yàn)閦2＋1＝0，所以z2＝－1，則z＝±i．
當(dāng)z＝i時(shí)，z3＝i3＝－i．
當(dāng)z＝－i時(shí)，z3＝(－i)3＝i．所以z3＝±i．]
4．設(shè)a是實(shí)數(shù)，且＋是實(shí)數(shù)，則a等于(　　)
A．　　　 B．1
C．　　　 D．2
B　[∵＋＝＋＝＋i，
又∵∈R，∴＝0，解得a＝1．]
5．(多選)下列各式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是(　　)
A．i3(1＋i)2 B．i2(1－i)2
C． D．
BC　[計(jì)算得AD為實(shí)數(shù)，BC為純虛數(shù)．]
二、填空題
6．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程2x2＋3x＋4＝0的解為________．
　[因?yàn)棣ぃ絙2－4ac＝32－4×2×4＝9－32＝－23<0，
所以方程2x2＋3x＋4＝0的根為
x＝＝．]
7．若復(fù)數(shù)z滿足方程i＝1－i，則z＝________．
－1＋i　[由題意可得＝＝＝－i(1－i)＝－1－i，所以z＝－1＋i．]
8．設(shè)復(fù)數(shù)z＝－2＋i，若復(fù)數(shù)z＋的虛部為b，則b＝________．
　[因?yàn)閦＝－2＋i，所以z＋＝－2＋i＋＝－2＋i＋＝－2＋i－－i＝－＋i，所以b＝．]
三、解答題
9．已知復(fù)數(shù)z＝．
(1)求復(fù)數(shù)z；
(2)若z2＋az＋b＝1－i，求實(shí)數(shù)a，b的值．
[解]　(1)z＝＝＝＝1＋i．
(2)把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i，
得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，
整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，
所以解得
10．若一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則稱此復(fù)數(shù)為“理想復(fù)數(shù)”．已知z＝＋bi(a，b∈R)為“理想復(fù)數(shù)”，則(　　)
A．a(chǎn)－5b＝0 B．3a－5b＝0
C．a(chǎn)＋5b＝0 D．3a＋5b＝0
D　[因?yàn)閦＝＋bi＝＋bi＝＋i．由題意知，＝－－b，則3a＋5b＝0．]
11．(多選)已知不相等的復(fù)數(shù)z1，z2，則下列說法正確的是(　　)
A．若<0，則z1是純虛數(shù)
B．若|z1|＝|z2|，則＝
C．若z1＝，則z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱
D．若>0，則
AC　[對(duì)于A，設(shè)z1＝a＋bi(a，b∈R)，則＝a2－b2＋2abi<0，則ab＝0且a2－b2<0，所以a＝0，b≠0，所以z1是純虛數(shù)，故A正確；
對(duì)于B，若z1＝1，z2＝i，此時(shí)|z1|＝|z2|＝1，但＝＝－1，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若z2＝a＋bi(a，b∈R)，在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(a，b)，則z1＝＝a－bi(a，b∈R)，在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(a，－b)，所以z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，故C正確；
對(duì)于D，若z1＝2＋i，z2＝1＋2i，則＝＝－3＋4i，此時(shí)>0，但的大小無法比較，故D錯(cuò)誤．故選AC．]
12．復(fù)數(shù)z同時(shí)滿足①|(zhì)z－2i|＝|z－2|；②|z|2＝2，則z＝________．
±(1＋i)　[設(shè)z＝a＋bi，a，b∈R，由條件①可以得到＝，兩邊平方化簡可得a＝b，故|z|2＝2 a2＋b2＝2 a＝b＝±1，z＝±(1＋i)．]
13．若2－3i是方程x2－4x＋a＝0(a∈R)的一個(gè)根，則其另外一個(gè)根是________，a＝________．
2＋3i　13　[設(shè)方程的另外一根為x，則x＋2－3i＝4，故x＝2＋3i，a＝(2－3i)(2＋3i)＝13．]
14．已知復(fù)數(shù)z1＝1－i，z2＝4＋6i，i為虛數(shù)單位．
(1)求；
(2)若復(fù)數(shù)z＝1＋bi(b∈R)滿足z＋z1為實(shí)數(shù)，求|z|．
[解]　(1)＝＝＝＝－1＋5i．
(2)因?yàn)閦＝1＋bi(b∈R)，所以z＋z1＝2＋(b－1)i．
因?yàn)閦＋z1為實(shí)數(shù)，所以b－1＝0，所以b＝1，
所以z＝1＋i，所以|z|＝．
15．設(shè)z是虛數(shù)，ω＝z＋是實(shí)數(shù)，且－1＜ω＜2．
(1)求|z|的值及z的實(shí)部的取值范圍；
(2)設(shè)u＝，證明：u為純虛數(shù)．
[解]　(1)因?yàn)閦是虛數(shù)，所以可設(shè)z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0．
所以ω＝z＋＝x＋yi＋
＝x＋yi＋＝x＋＋i．
因?yàn)棣厥菍?shí)數(shù)且y≠0，
所以y－＝0，所以x2＋y2＝1，即|z|＝1．
此時(shí)ω＝2x．
因?yàn)椋?＜ω＜2，所以－1＜2x＜2，從而有－＜x＜1，即z的實(shí)部的取值范圍是．
(2)證明：設(shè)z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0，
由(1)知，x2＋y2＝1，
所以u(píng)＝＝
＝
＝＝－i．
因?yàn)閤∈，y≠0，所以≠0，
所以u(píng)為純虛數(shù)．7.3*　復(fù)數(shù)的三角表示
學(xué)習(xí)任務(wù) 1．了解復(fù)數(shù)的三角形式，了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示與三角表示之間的關(guān)系．(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理) 2．了解復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義．(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)
設(shè)復(fù)數(shù)z＝1＋i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，記r為向量的模，θ是以x軸正半軸為始邊、射線OZ為終邊的一個(gè)角，求r的值，并寫出θ的任意一個(gè)值，探討r，θ與z＝1＋i的實(shí)部、虛部之間的關(guān)系．
知識(shí)點(diǎn)1　復(fù)數(shù)的三角表示式
1．定義：任何一個(gè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式．其中，r是復(fù)數(shù)z的模；θ是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，向量所在射線(射線OZ)為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的輻角．r(cos θ＋isin θ)叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的三角表示式，簡稱三角形式．
1．任何一個(gè)不為零的復(fù)數(shù)的輻角有多少個(gè)值？輻角的主值有多少個(gè)值？
[提示]　輻角有無限多個(gè)值，這些值相差2π的整數(shù)倍．輻角的主值只有一個(gè)值，在0≤θ＜2π范圍內(nèi)．
2．輻角的主值：規(guī)定在0≤θ＜2π范圍內(nèi)的輻角θ的值為輻角的主值．通常記作arg z，即0≤arg z＜2π．
知識(shí)點(diǎn)2　復(fù)數(shù)三角形式乘法法則與幾何意義
已知z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，則z1z2＝r1r2[cos (θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．
這就是說，兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和．
2．復(fù)數(shù)乘法的幾何意義是什么？
[提示]　兩個(gè)復(fù)數(shù)z1，z2相乘時(shí)，先分別畫出與z1，z2對(duì)應(yīng)的向量，然后把向量繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角θ2(如果θ2＜0，就要把繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角|θ2|)，再把它的模變?yōu)樵瓉淼膔2倍，得到向量表示的復(fù)數(shù)就是積z1z2．
知識(shí)點(diǎn)3　復(fù)數(shù)三角形式除法法則與幾何意義
已知z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，則＝＝[cos (θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
這就是說，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差．
3．復(fù)數(shù)除法的幾何意義是什么？
[提示]　兩個(gè)復(fù)數(shù)z1，z2相除時(shí)，先分別畫出與z1，z2對(duì)應(yīng)的向量，然后把向量繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角θ2(如果θ2＜0，就要把繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角|θ2|)，再把它的模變?yōu)樵瓉淼谋叮玫较蛄勘硎镜膹?fù)數(shù)就是商．
將下列復(fù)數(shù)表示為三角形式：
(1)－5i＝________；
(2) 2－2i＝________．
[答案]　(1)5
(2)2
類型1　復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化為三角形式
【例1】　把下列復(fù)數(shù)表示成三角形式：
(1)1；(2)－i；(3)－2．
[解]　(1)r＝1，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在x軸的正半軸上，
所以arg 1＝0，所以1＝cos 0＋isin 0．
(2)r＝2，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，且cos θ＝，所以取θ＝－，
所以－i＝2．
(3)－2＝－i，r＝2，
對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，且cos θ＝－，
所以取θ＝．
所以－2＝2．
　將復(fù)數(shù)代數(shù)形式化為三角形式的步驟
(1)先求復(fù)數(shù)的模．
(2)決定輻角所在的象限．
(3)根據(jù)象限求出輻角．
(4)求出復(fù)數(shù)的三角形式．
提醒：復(fù)數(shù)三角形式的四個(gè)要求：模非負(fù)，角相同，余弦前，加號(hào)連，缺一不可．任何一個(gè)不滿足，就不是三角形式．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．下列復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù)三角形式表示的是(　　)
A．
B．－
C．
D．cos π＋isin π
D　[選項(xiàng)A，cos 與isin 之間用“－”連接，不是用“＋”連接；選項(xiàng)B，－<0不符合r≥0要求；選項(xiàng)C，是cos π與isin π用“＋”連接，而不是sin ＋icos π的形式．故A、B、C均不是復(fù)數(shù)的三角形式．故選D．]
類型2　復(fù)數(shù)三角形式的乘、除運(yùn)算
【例2】　(源自蘇教版教材)計(jì)算下列各式，并把結(jié)果化成代數(shù)形式：
(1)2×3；
(2)÷
[解]　(1)原式＝6
＝6＝6＝3＋3i．
(2)原式＝
＝＝＝＋i．
　1．乘法法則：模相乘，輻角相加．
2．除法法則：模相除，輻角相減．
3．復(fù)數(shù)的n次冪，等于模的n次冪，輻角為n倍．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．計(jì)算下列各式，并把結(jié)果化成代數(shù)形式：
(1)；
(2)(cos 75°＋isin 75°)×；
(3)÷．
[解]　(1)
＝()2＝2
＝－1＋i．
(2)因?yàn)椋璱＝
＝，
所以(cos 75°＋isin 75°)×
＝×
＝×
＝cos π＋isin π＝cos ＋isin
＝＋i．
(3)因?yàn)椋玦＝cos π＋isin π，
所以÷
＝÷
＝
＝＝＋i．
類型3　復(fù)數(shù)三角形式乘、除運(yùn)算的幾何意義
【例3】　在復(fù)平面內(nèi)，把復(fù)數(shù)3－i對(duì)應(yīng)的向量分別按逆時(shí)針和順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，求所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．
[解]　因?yàn)?－i＝2
＝2，
所以2×
＝2
＝2
＝2
＝3＋i，
2×
＝2
＝2
＝－2i．
故把復(fù)數(shù)3－i對(duì)應(yīng)的向量按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的復(fù)數(shù)為3＋i，按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的復(fù)數(shù)為－2i．
　利用復(fù)數(shù)乘除法的幾何意義求解復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)時(shí)，要注意點(diǎn)Z所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)就是向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，常常轉(zhuǎn)化為＝．而求解向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)時(shí)，要注意它與已知(或可求)向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)之間的關(guān)系，即要明確模與輻角的變化，從而準(zhǔn)確利用復(fù)數(shù)乘除法的幾何意義求解．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．(1)設(shè)A，B，C是△ABC的內(nèi)角，z＝(cos A＋isin A)÷(cos B＋isin B)·(cos C＋isin C)是一個(gè)實(shí)數(shù)，則△ABC是(　　)
A．銳角三角形 B．鈍角三角形
C．直角三角形 D．形狀不能確定
(2)(多選)在復(fù)平面內(nèi)，已知正三角形ABC的頂點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2＋i，3＋2i，則頂點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)可能是(　　)
A．＋i B．＋i
C．＋i D．＋i
(1)C　(2)CD　[(1)由題意知arg z＝A－B＋C＝π－2B＝0，則B＝．故選C．
(2)因?yàn)閷?duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3＋2i)－(2＋i)＝1＋i，則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(1＋i)(cos 60°＋isin 60°)＝＋i或(1＋i)[cos(－60°)＋isin(－60°)]＝＋i，所以＝對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2＋i＋＋i或者2＋i＋＋i，
即＋i或＋i．故選CD．]
1．復(fù)數(shù)－3i的輻角主值為(　　)
A．－　　　 B．
C．－＋2kπ(k∈Z) D．＋2kπ(k∈Z)
B　[與－3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在負(fù)虛軸上，所以arg(－3i)＝π．故選B．]
2．復(fù)數(shù)z＝1＋i(i為虛數(shù)單位)的三角形式為(　　)
A．z＝(sin 45°＋icos 45°)
B．z＝(cos 45°＋isin 45°)
C．z＝[cos (－45°)－isin(－45°)]
D．z＝[cos (－45°)＋isin(－45°)]
B　[依題意得r＝＝，復(fù)數(shù)z＝1＋i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，且cos θ＝，因此，arg z＝45°，結(jié)合選項(xiàng)知B正確．故選B．]
3．在復(fù)平面中，把復(fù)數(shù)z＝＋2i對(duì)應(yīng)的向量按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(　　)
A．＋i B．＋i
C．1＋＋(1＋)i D．1－＋(1＋)i
D　[依題意，旋轉(zhuǎn)后的向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(＋2i)·(cos 45°＋isin 45°)＝1－＋(1＋)i．故選D．]
4．計(jì)算÷2＝________．
i　[原式＝＝＝i．]
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．復(fù)數(shù)三角形式中的輻角和輻角主值有什么區(qū)別與聯(lián)系？
[提示]　
區(qū)別 輻角有無數(shù)個(gè)，而輻角主值是指在0≤θ＜2π范圍內(nèi)的輻角，因而一個(gè)復(fù)數(shù)的輻角主值只有一個(gè)
聯(lián)系 θ＝2kπ＋arg z，k∈Z
2．將復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)化為三角形式z＝r(cos θ＋isin θ)時(shí)，要注意什么？
[提示]　將復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)化為三角形式z＝r(cos θ＋isin θ)時(shí)，要注意：
(1)r＝．
(2)cos θ＝，sin θ＝，其中θ終邊所在象限與點(diǎn)(a，b)所在象限相同．若tan θ＝(a≠0)，θ終邊所在象限與點(diǎn)(a，b)所在象限一致．當(dāng)a＝0，b>0時(shí)，arg z＝．
3．用復(fù)數(shù)的三角形式乘除法的幾何意義解題時(shí)關(guān)鍵把握哪些量的變化？
[提示]　運(yùn)用復(fù)數(shù)乘除法的幾何意義解題，關(guān)鍵要明確模與輻角的變化，抓住向量與復(fù)數(shù)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．
課時(shí)分層作業(yè)(二十)　復(fù)數(shù)的三角表示
一、選擇題
1．(多選)復(fù)數(shù)z＝i的三角形式可以是(　　)
A．2
B．2
C．2
D．2
CD　[∵r＝＝2，
cos θ＝，sin θ＝－，
∴θ可取或－．]
2．復(fù)數(shù)z＝的代數(shù)形式為(　　)
A．1－i　　 B．1＋i　　
C．1　　　 D．i
B　[z＝
＝[cos(75°－30°)＋isin(75°－30°)]
＝(cos 45°＋isin 45°)＝1＋i．故選B．]
3．復(fù)數(shù)z＝，將復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)向量按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(　　)
A． B．i
C．1 D．i
A　[z＝＝1－i，
又將復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，
∴旋轉(zhuǎn)后的向量對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)(1－i)
＝(1－i)＝．]
4．復(fù)數(shù)sin 50°－isin 140°的輻角的主值是(　　)
A．150° B．40°
C．－40° D．320°
D　[sin 50°－isin 140°
＝cos (270°＋50°)＋isin (180°＋140°)
＝cos 320°＋isin 320°．]
5．(多選)已知復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量為，復(fù)數(shù)z1＝(－1－i)z對(duì)應(yīng)的向量為，復(fù)數(shù)z2＝z對(duì)應(yīng)的向量為，則下列說法正確的是(　　)
A．將的模擴(kuò)大為原來的2倍，再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)可得到
B．將的模擴(kuò)大為原來的2倍，再順時(shí)針旋轉(zhuǎn)可得到
C．將的模縮小為原來的，再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)可得到
D．將的模縮小為原來的，再順時(shí)針旋轉(zhuǎn)可得到
AD　[因?yàn)?－1－i)z＝2z
＝2z，z
＝z
＝z．故選AD．]
二、填空題
6．若|z|＝2，arg z＝，則復(fù)數(shù)z＝________．
1＋i　[由題意知，z＝2＝1＋i．]
7．a(chǎn)rg＝________．
　[復(fù)數(shù)z＝－－i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，且cos θ＝－，所以arg＝．]
8．設(shè)(1＋i)z＝i，則復(fù)數(shù)z的三角形式為________．
　[∵(1＋i)z＝i，
∴z＝＝＝(1＋i)
＝．]
三、解答題
9．設(shè)復(fù)數(shù)z＝(1－i)5，求z的模和輻角的主值．
[解]　∵z＝(1－i)5＝25
＝32＝32
＝32，
∴復(fù)數(shù)z的模為32，輻角的主值為．
10．若復(fù)數(shù)z＝(a＋i)2的輻角的主值是，則實(shí)數(shù)a的值是(　　)
A．1 B．－1
C．－ D．－
B　[因?yàn)閦＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，arg z＝，
所以所以a＝－1，故選B．]
11．“復(fù)數(shù)z1，z2的模與輻角分別相等”是“z1＝z2”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
A　[當(dāng)復(fù)數(shù)z1，z2的模與輻角分別相等時(shí)，一定有z1＝z2，充分性成立；但當(dāng)z1＝z2時(shí)，z1與z2的輻角可以相等，也可以相差2π的整數(shù)倍，必要性不成立．綜上，“復(fù)數(shù)z1，z2的模與輻角分別相等”是“z1＝z2”的充分不必要條件．故選A．]
12．(多選)下列各角可以作為復(fù)數(shù)3－3i的輻角的是(　　)
A．－ B．
C．－ D．
AB　[依題意得，r＝＝6，
cos θ＝＝，復(fù)數(shù)3－3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，所以arg(3－3i)＝，
所以2kπ＋(k∈Z)都可以作為復(fù)數(shù)3－3i的輻角．故選AB．]
13．設(shè)復(fù)數(shù)2＋i和－3－i的輻角的主值分別是α，β，則tan (α＋β)＝________．
1　[因?yàn)閺?fù)數(shù)2＋i和－3－i的輻角的主值分別是α，β，所以tan α＝，tan β＝，所以tan (α＋β)＝＝1．]
14．在復(fù)平面內(nèi)，一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)按照逆時(shí)針方向依次為Z1，Z2，Z3，O(其中O為原點(diǎn))．已知點(diǎn)Z2對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z2＝1＋i，求Z1和Z3分別對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z1，z3．
[解]　根據(jù)題意畫出草圖，如圖所示．
由復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義知z1＝·z2·[cos ＋isin]
＝(1＋i)
＝＋i，
z3＝·z2·
＝(1＋i)
＝＋i．
15．在復(fù)平面上A，B表示復(fù)數(shù)為α，β(α≠0)，且β＝(1＋i)α，判斷△AOB形狀，并證明S△AOB＝|α|2．
[解]　△AOB為等腰直角三角形．
證明：∵α≠0，∴β＝(1＋i)α，
∴＝1＋i＝，
∴∠AOB＝．
∵分別表示復(fù)數(shù)α，β－α，
由β－α＝αi，得＝i＝cos ＋isin ，
∴∠OAB＝90°，∴△AOB為等腰直角三角形．
∴S△AOB＝|OA|2＝|α|2．　代數(shù)基本定理
1．代數(shù)基本定理
任何一元n(n∈N*)次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式方程f (x)＝0至少有一個(gè)復(fù)數(shù)根．
它說的是：任何一元n次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式f (x)在復(fù)數(shù)集中有n個(gè)復(fù)數(shù)根(重根按重?cái)?shù)計(jì))．
2．一元多項(xiàng)式方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系
(1)設(shè)實(shí)系數(shù)一元二次方程a2x2＋a1x＋a0＝0(a2≠0)在復(fù)數(shù)集C內(nèi)的根為x1，x2，則
3．設(shè)實(shí)數(shù)系一元三次方程
a3x3＋a2x2＋a1x＋a0＝0(a3≠0)　①
在復(fù)數(shù)集C內(nèi)的根為x1，x2，x3，可以得到，方程①可變形為
a3(x－x1)(x－x2)(x－x3)＝0，
展開得
a3x3－a3(x1＋x2＋x3)x2＋a3(x1x2＋x1x3＋x2x3)x－a3x1x2x3＝0．　②
比較①②可以得到
【典例】　(1)(多選)(2022·浙江金華一中期中)在代數(shù)史上，代數(shù)基本定理是數(shù)學(xué)中最重要的定理之一，在復(fù)數(shù)集范圍內(nèi)，若ω是x3＝1的一個(gè)根，則ω2＋ω＋1＝(　　)
A．0 B．1　　　
C．2 D．3
(2)(2022·江蘇鹽城期末)設(shè)多項(xiàng)式函數(shù)f (x)＝anxn＋an－1xn-1＋…＋a1x＋a0(an≠0)，根據(jù)代數(shù)基本定理可知方程f (x)＝0有n個(gè)根x1，x2，…，xn．則x1＋x2＋…＋xn＝________；x1x2…xn＝________．
(1)AD　(2)－　(－1)n　[(1)因?yàn)閤3＝1，所以x3－1＝0，即(x－1)(x2＋x＋1)＝0，所以x＝1或x＝．即ω＝1或ω＝．
當(dāng)ω＝1時(shí)，ω2＋ω＋1＝3；
當(dāng)ω＝時(shí)，ω2＋ω＋1＝0．故選AD．
(2)由題意知：
f(x)＝an(x－x1)(x－x2)…(x－xn)，
∴an(x－x1)(x－x2)…(x－xn)＝anxn＋an－1xn-1＋…＋a1x＋a0，
∴，
∴]
1．設(shè)實(shí)系數(shù)一元三次方程x3＋2x2＋3x＋4＝0在復(fù)數(shù)集C內(nèi)的根為x1，x2，x3，則的值為(　　)
A．－2　　　 B．0
C．2　　　 D．4
A　[∵x3＋2x2＋3x＋4＝(x－x1)(x－x2)(x－x3)＝x3－(x1＋x2＋x3)x2＋(x1x2＋x1x3＋x2x3)x－x1x2x3，
由對(duì)應(yīng)系數(shù)相等得：
x1＋x2＋x3＝－2，x1x2＋x1x3＋x2x3＝3，
＝(x1＋x2＋x3)2－2(x1x2＋x1x3＋x2x3)＝4－6＝－2．
故選A．]
2．(多選)設(shè)實(shí)系數(shù)一元四次方程ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝0(a≠0)，在復(fù)數(shù)集C內(nèi)的根為x1，x2，x3，x4，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．x1＋x2＋x3＋x4＝－
B．x1x2x3＋x1x2x4＋x1x3x4＋x2x3x4＝－
C．x1x2x3x4＝
D．x1x2＋x1x3＋x1x4＋x2x3＋x2x4＋x3x4＝
AC　[由題設(shè)知：
ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝a(x－x1)(x－x2)(x－x3)(x－x4)＝a[x4－(x1＋x2＋x3＋x4)x3＋(x1x2＋x1x3＋x2x3＋x1x4＋x2x4＋x3x4)x2－(x1x2x3＋x1x2x4＋x1x3x4＋x2x3x4)x＋x1x2x3x4]，
∴x1＋x2＋x3＋x4＝－，
x1x2＋x1x3＋x2x3＋x1x4＋x2x4＋x3x4＝，
x1x2x3＋x1x2x4＋x1x3x4＋x2x3x4＝－，x1x2x3x4＝．
故選AC．]第7章 復(fù)數(shù) 章末綜合提升
類型1　復(fù)數(shù)的概念
1．復(fù)數(shù)的概念包括虛數(shù)、純虛數(shù)、復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)的模等．理解復(fù)數(shù)的相關(guān)概念是解答相應(yīng)問題的關(guān)鍵．
2．掌握復(fù)數(shù)的相關(guān)概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．
【例1】　(1)設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)a＋(a∈R)是純虛數(shù)，則a＝(　　)
A．4　　　 B．3
C．2　　　 D．1
(2)(2022·北京高考)若復(fù)數(shù)z滿足i·z＝3－4i，則＝(　　)
A．1 B．5
C．7 D．25
(3)若復(fù)數(shù)z＝1＋i(i為虛數(shù)單位)，是z的共軛復(fù)數(shù)，則z2＋的虛部為(　　)
A．0 B．－1
C．1 D．－2
(1)C　(2)B　(3)A　[(1)∵a＋＝a＋＝a＋＝a－2－4i是純虛數(shù)，
∴a－2＝0，即a＝2．故選C．
(2)由條件可知z＝＝－4－3i，∴|z|＝5．
(3)∵z＝1＋i，∴＝1－i，∴z2＋＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i＋(－2i)＝0．故選A．]
類型2　復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算
1．復(fù)數(shù)運(yùn)算包括復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法和除法，它是本章的重要內(nèi)容，是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)．
2．借助復(fù)數(shù)運(yùn)算的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．
【例2】　已知復(fù)數(shù)z＝(1＋2i)(－2＋i)－．
(1)化簡復(fù)數(shù)z；
(2)若z2＋(2a－1)z－(1－i)b－16＝0，求實(shí)數(shù)a，b的值．
[解]　(1)z＝(1＋2i)(－2＋i)－
＝－4－3i－＝－4－3i－(2－i)＝－6－2i．
(2)∵(－6－2i)2＋(2a－1)(－6－2i)－(1－i)b－16＝0，
∴32＋24i－6(2a－1)－2(2a－1)i－b＋bi－16＝0，∴22－12a－b＋(26－4a＋b)i＝0，
∴解得
類型3　復(fù)數(shù)的幾何意義
1．復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)及向量之間是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，另外復(fù)數(shù)加減法的幾何意義與向量加減法的幾何意義一致．
2．通過復(fù)數(shù)幾何意義的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)．
【例3】　(1)設(shè)z＝－3＋2i，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)(多選)已知復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量為(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，與實(shí)軸正方向的夾角為120°，且復(fù)數(shù)z的模為2，則復(fù)數(shù)z為(　　)
A．1＋i B．－1＋i
C．－1－i D．1－i
(3)復(fù)數(shù)z滿足|z＋3－i|＝，則|z|的最大值是________，|z|的最小值是________．
(1)C　(2)BC　(3)3　[(1)由題意，得＝－3－2i，其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(－3，－2)，位于第三象限，故選C．
(2)設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為Z(a，b)．根據(jù)題意可畫圖形如圖所示．
∵|z|＝2，且與x軸正方向的夾角為120°，
∴a＝－1，b＝±，
即點(diǎn)Z的坐標(biāo)為(－1，)或(－1，－)．
∴z＝－1＋i或－1－i．
(3)|z＋3－i|＝表示以－3＋i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P(－3，)為圓心，以為半徑的圓，如圖所示，
則|OP|＝|－3＋i|＝＝2，
顯然|z|max＝|OA|＝|OP|＋＝3，
|z|min＝|OB|＝|OP|－＝．]
章末綜合測評(píng)(二)　復(fù)數(shù)
(時(shí)間：120分鐘　滿分：150分)
一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1．(2022·全國乙卷)設(shè)(1＋2i)a＋b＝2i，其中a，b為實(shí)數(shù)，則(　　)
A．a(chǎn)＝1，b＝－1 B．a(chǎn)＝1，b＝1
C．a(chǎn)＝－1，b＝1 D．a(chǎn)＝－1，b＝－1
A　[因?yàn)閍，b∈R，＋2ai＝2i，所以a＋b＝0，2a＝2，解得a＝1，b＝－1．
故選A．]
2．(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1－z)＝1，則z＋＝(　　)
A．－2　　　 B．－1　　
C．1　　 D．2
D　[由題設(shè)有1－z＝＝＝－i，故z＝1＋i，故z＋＝(1＋i)＋(1－i)＝2，
故選D．]
3．已知i是虛數(shù)單位，則化簡的結(jié)果為 (　　)
A．i B．－i
C．－1 D．1
B　[因?yàn)椋剑剑絠，
所以＝i2 023＝i3＝－i．]
4．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
A　[＝＝＝，所以該復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，該點(diǎn)在第一象限．]
5．如圖，若向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z，則z＋表示的復(fù)數(shù)為(　　)
A．1＋3i B．－3－i
C．3－i D．3＋i
D　[由題圖可得Z(1，－1)，即z＝1－i，所以z＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋2＋2i＝3＋i．故選D．]
6．(2022·廣西桂林中學(xué)月考)設(shè)z∈C，滿足2≤≤3，其在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，求點(diǎn)Z構(gòu)成的集合所表示的圖形面積(　　)
A．1 B．5
C．π D．5π
D　[設(shè)復(fù)數(shù)z＝x＋yi，則z＋i＝x＋i，＝．
則2≤≤3等價(jià)于2≤≤3，即有4≤x2＋≤9．
所以復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z()表示復(fù)平面上以()為圓心，以2，3為半徑的兩個(gè)圓所夾的圓環(huán)(包括邊界)，故其面積為9π－4π＝5π．
故選D．]
7．已知方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有實(shí)根b，且z＝a＋bi，則復(fù)數(shù)z等于(　　)
A．2－2i B．2＋2i
C．－2＋2i D．－2－2i
A　[由b是方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)的根可得b2＋(4＋i)b＋4＋ai＝0，
整理可得(b＋a)i＋(b2＋4b＋4)＝0，
所以解得所以z＝2－2i．]
8．已知z＝x＋yi(x，y∈R)且|z|＝1，則x＋y的最大值為(　　)
A．1＋ B．2
C．1 D．
B　[∵z＝x＋yi(x，y∈R)且|z|＝1，
∴x2＋y2＝1．設(shè)x＝cos θ，y＝sin θ，θ∈R，
∴x＋y＝cos θ＋sin θ＝2sin ，
∴x＋y的最大值是2，故選B．]
二、選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分)
9．給出下列復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)，這些點(diǎn)中對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為虛數(shù)的為(　　)
A．(3，1) B．(－2，0)
C．(0，4) D．(－1，－5)
ACD　[易知選項(xiàng)A、B、C、D中的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為3＋i，－2，4i，－1－5i，因此A、C、D中的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為虛數(shù)．]
10．已知方程x2＋2x－a＝0，其中a<0，則在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)關(guān)于該方程的根的結(jié)論錯(cuò)誤的是(　　)
A．該方程一定有一對(duì)共軛虛根
B．該方程可能有兩個(gè)正實(shí)根
C．該方程兩根的實(shí)部之和等于－2
D．若該方程有虛根，則其虛根的模一定小于1
ABD　[方程x2＋2x－a＝0，a<0，則Δ＝4＋4a，當(dāng)Δ≥0，即a≥－1時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根，故A錯(cuò)誤；由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可知，兩個(gè)實(shí)數(shù)根的和為－2，所以不可能有兩個(gè)正實(shí)根，故B錯(cuò)誤；當(dāng)Δ<0時(shí)，方程有兩個(gè)虛數(shù)根，由求根公式可得x＝－1±i，所以兩個(gè)根的實(shí)部之和等于－2，故C正確；若該方程有虛根，則虛根的模為>1，故D錯(cuò)誤．]
11．設(shè)z1，z2是復(fù)數(shù)，則下列命題中的真命題是(　　)
A．若|z1－z2|＝0，則＝
B．若z1＝，則＝z2
C．若|z1|＝|z2|，則z1·＝z2·
D．若|z1|＝|z2|，則＝
ABC　[對(duì)于A，|z1－z2|＝0 z1＝z2 ＝，是真命題；
對(duì)于B，若z1＝，則z1和z2互為共軛復(fù)數(shù)，所以＝z2，是真命題；
對(duì)于C，設(shè)z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)，若|z1|＝|z2|，則＝，z1·＝，z2·＝，所以z1·＝z2·，是真命題；
對(duì)于D，若z1＝2，z2＝1＋i，則|z1|＝|z2|，但＝＝－2＋2i，故D是假命題．]
12．(2022·山西呂梁模擬)已知復(fù)數(shù)z滿足＝3，則(　　)
A．復(fù)數(shù)z虛部的最大值為2
B．復(fù)數(shù)z實(shí)部的取值范圍是
C．的最小值為1
D．復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一、三、四象限
ABC　[滿足＝3的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以()為圓心，以3為半徑的圓，如圖，
由圖可知，虛部最大的復(fù)數(shù)z＝1＋2i，即復(fù)數(shù)z虛部的最大值為2，A正確；
實(shí)部最小的復(fù)數(shù)z＝－2－i，實(shí)部最大的復(fù)數(shù)z＝4－i，所以實(shí)部的取值范圍是，B正確；
表示復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到()的距離，所以的最小值為3－2＝1，C正確；
由圖可知，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一、二、三、四象限，故D錯(cuò)誤．故選ABC．]
三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13．設(shè)復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)的模為，則(a＋bi)(a－bi)＝________．
3　[∵|a＋bi|＝＝，
∴(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3．]
14．復(fù)數(shù)z滿足方程i＝1－i，則z＝________．
－1＋i　[∵i＝1－i，
∴＝＝＝－i(1－i)＝－1－i，
∴z＝－1＋i．]
15．設(shè)z的共軛復(fù)數(shù)是，若z＋＝4，z·＝8，則|z|＝________，＝________．
2　±i　[設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，則＝8得，

∴|z|＝2．∴＝＝＝±i．]
16．對(duì)任意復(fù)數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)，i為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是________．(填序號(hào))
①|(zhì)z－|＝2y；②z2＝x2＋y2；
③|z－|≥2x；④|z|≤|x|＋|y|．
④　[對(duì)于①，|＝|2y|≥2x不一定成立，故不正確；對(duì)于④，|z|＝≤|x|＋|y|，故正確．]
四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
17．(本小題滿分10分)現(xiàn)有以下三個(gè)式子：①；②；③(i為虛數(shù)單位)，某同學(xué)在解題時(shí)發(fā)現(xiàn)以上三個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)．
(1)從三個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；
(2)根據(jù)三個(gè)式子的結(jié)構(gòu)特征及(1)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為一個(gè)復(fù)數(shù)恒等式，并證明你的結(jié)論．
[解]　(1)選①，＝＝＝i；
選②，＝＝＝i；
選③，＝＝＝i．
(2)根據(jù)三個(gè)式子的結(jié)構(gòu)特征及(1)的計(jì)算結(jié)果，可以得到，＝i (a，b∈R，且a，b不同時(shí)為零)．
下面進(jìn)行證明：
＝＝＝＝ i．
18．(本小題滿分12分) 四邊形ABCD是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，A，B，C，D四點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1＋3i，2i，2＋i，z．
(1)求復(fù)數(shù)z；
(2)z是關(guān)于x的方程2x2－px＋q＝0的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)p，q的值．
[解]　(1)由題意，復(fù)平面內(nèi)A，B，C的坐標(biāo)分別為(1，3)，(0，2)，(2，1)，
設(shè)D的坐標(biāo)為(x，y)，由于＝，
∴(x－1，y－3)＝(2，－1)，∴x－1＝2，y－3＝－1，
解得x＝3，y＝2，故D(3，2)，
則點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z＝3＋2i．
(2)∵3＋2i是關(guān)于x的方程2x2－px＋q＝0的一個(gè)根，
∴3－2i是關(guān)于x的方程2x2－px＋q＝0的另一個(gè)根，
則3＋2i＋3－2i＝，(3＋2i)·(3－2i)＝，
即p＝12，q＝26．
19．(本小題滿分12分)(2022·山東東營期末)已知復(fù)數(shù)z1＝，z2＝(2＋i)m－3(1＋2i)，m∈R，i為虛數(shù)單位．
(1)若z1＋z2是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；
(2)若z1＋z2＞0，求z1·z2的值．
[解]　(1)z1＝＝m2＋m2i，z2＝2m－3＋(m－6)i，
所以z1＋z2＝m2＋2m－3＋(m2＋m－6)i，
因?yàn)閦1＋z2是純虛數(shù)，所以，得m＝1．
(2)由(1)知，z1＋z2＝m2＋2m－3＋(m2＋m－6)i，
因?yàn)閦1＋z2＞0，所以，得m＝2，
所以z1＝4＋4i，z2＝1－4i，
所以z1·z2＝(4＋4i)(1－4i)＝20－12i．
20．(本小題滿分12分)(2022·河北張家口月考)已知復(fù)數(shù)z1＝，z2＝m－3i(m∈R)．
(1)求復(fù)數(shù)z1的共軛復(fù)數(shù)；
(2)若復(fù)數(shù)z3＝z1＋i，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，且≥5，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
[解]　(1)z1＝＝＝＝1＋i，
所以復(fù)數(shù)z1的共軛復(fù)數(shù)為1－i．
(2)由(1)得z3＝1＋2i，＝＝＝，
所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為，
它在第三象限，則，
解得－又＝≥5，解得m≤－4或m≥4，
綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為．
21．(本小題滿分12分)(2022·江蘇泰州期末)已知復(fù)數(shù)z滿足z－1為純虛數(shù)，(1－2i)·z為實(shí)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位．
(1)求復(fù)數(shù)z；
(2)若x·z＋y·＝z·，求實(shí)數(shù)x，y的值．
[解]　(1)設(shè)z＝m＋ni(其中m，n∈R)，
由z－1＝(m－1)＋ni為純虛數(shù)，得m＝1，且n≠0．
由(1－2i)·z＝(1－2i)·(1＋ni)＝1＋2n＋(n－2)i為實(shí)數(shù)，得n＝2．所以z＝1＋2i．
(2)由(1)知，z＝1＋2i．
故由x·z＋y·，得x·(1＋2i)＋y·(1－2i)＝(1＋2i)·(1－2i)，即(x＋y)＋(2x－2y)i＝5．
因?yàn)閤，y∈R，由復(fù)數(shù)相等的充要條件得：
解得
22．(本小題滿分12分) 已知復(fù)數(shù)z滿足|z|＝，z2的虛部為2．
(1)求復(fù)數(shù)z；
(2)設(shè)z，z2，z－z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，求△ABC的面積．
[解]　(1)設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，
由已知條件得a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi，
所以2ab＝2．
所以a＝b＝1或a＝b＝－1，即z＝1＋i或z＝－1－i．
(2)當(dāng)z＝1＋i時(shí)，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i．
所以點(diǎn)A(1，1)，B(0，2)，C(1，－1)，
所以S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1．
當(dāng)z＝－1－i時(shí)，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i．
所以點(diǎn)A(－1，－1)，B(0，2)，C(－1，－3)，
所以S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1．
綜上，△ABC的面積為1．

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