資源簡介

10.1　隨機事件與概率
10.1.1　有限樣本空間與隨機事件
學習任務 1．結合具體實例，理解樣本點和有限樣本空間的含義．(數學抽象) 2．理解隨機事件與樣本點的關系．(數學建模)
觀察下列試驗，思考這類現象的共性是什么？
(1)拋擲一枚硬幣，觀察正面、反面出現的情況；
(2)拋擲一枚骰子，觀察出現點數的情況．
知識點1　隨機試驗
1．定義：我們把對隨機現象的實現和對它的觀察稱為隨機試驗，常用字母E來表示．
2．特點：(1)試驗可以在相同條件下重復進行；
(2)試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；
(3)每次試驗總是恰好出現這些可能結果中的一個，但事先不能確定出現哪一個結果．
知識點2　樣本空間
樣本點 隨機試驗E的每個可能的基本結果稱為樣本點，用ω表示樣本點
樣本空間 全體樣本點的集合Ω稱為試驗E的樣本空間
有限樣本空間 如果一個隨機試驗有n個可能結果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間
知識點3　事件的分類
隨機事件 將樣本空間Ω的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件．隨機事件一般用大寫字母A，B，C，…表示．在每次試驗中，當且僅當A中某個樣本點出現時，稱為事件A發生
必然事件 Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發生，所以Ω總會發生，稱Ω為必然事件
不可能事件 空集 不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發生，稱 為不可能事件
1．下列現象中，是隨機現象的有________．(填序號)
①在一條公路上，交警記錄某一小時通過的汽車超過300輛；
②若a為整數，則a＋1為整數；
③發射一枚炮彈，命中目標；
④檢查流水線上一件產品是合格品還是次品．
[答案]　①③④
2．從數字1，2，3中任取兩個數字，則該試驗的樣本空間Ω＝________．
[答案]　{(1，2)，(1，3)，(2，3)}
3．在200件產品中，有192件一級品，8件二級品，則下列事件：
①“在這200件產品中任意選9件，全部是一級品”；
②“在這200件產品中任意選9件，全部都是二級品”；
③“在這200件產品中任意選9件，不全是一級品”．
其中________是隨機事件；________是不可能事件．(填上事件的編號)
[答案]　①③　②
類型1　事件類型的判斷
【例1】　下列事件中，隨機事件是________．(填序號)
(1)任取一個整數，被2整除；
(2)李明在高一期末考試中數學成績在120分以上；
(3)甲、乙兩人進行競技比賽，甲的實力遠勝于乙，在一次比賽中甲一定獲勝；
(4)當圓的半徑變為原來的2倍時，圓的面積是原來的4倍．
(1)(2)(3)　[(1)(2)(3)均是可能發生也可能不發生的事件，為隨機事件，(4)是一定發生的事件，為必然事件．]
　判斷一個事件是哪類事件要看兩點
一看條件，因為三種事件都是相對于一定條件而言的；二看結果是否發生，一定發生的是必然事件，不一定發生的是隨機事件，一定不發生的是不可能事件．
[跟進訓練]
1．下列事件中，必然事件是________；不可能事件是________；隨機事件是________．(填序號)
(1)某人購買福利彩票一注，中獎500萬元；
(2)三角形的內角和為180°；
(3)沒有空氣和水，人類可以生存下去；
(4)同時拋擲兩枚硬幣一次，都出現正面向上；
(5)從分別標有1，2，3，4的四張標簽中任取一張，抽到1號標簽．
(2)　(3)　(1)(4)(5)　[(1)購買一注彩票，可能中獎，也可能不中獎，所以是隨機事件．
(2)所有三角形的內角和均為180°，所以是必然事件．
(3)空氣和水是人類生存的必要條件，沒有空氣和水，人類無法生存，所以是不可能事件．
(4)同時拋擲兩枚硬幣一次，不一定都是正面向上，所以是隨機事件．
(5)任意抽取，可能得到1，2，3，4號標簽中的任一張，所以是隨機事件．]
類型2　確定試驗的樣本空間
【例2】　拋擲一枚骰子，觀察其朝上面的點數，該試驗的樣本空間含6個樣本點．
(1)若將一枚骰子先后拋擲兩次，請列舉出該試驗的樣本空間所包含的樣本點；
(2) “向上的點數之和大于8”包含幾個樣本點？
[解]　(1)用(x，y)表示結果，其中x表示骰子第1次出現的點數，y表示骰子第2次出現的點數，則試驗的樣本空間Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，共36個樣本點．
法一(列舉法)：
(2)“出現的點數之和大于8”包含以下10個樣本點：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．
法二(列表法)：
如圖所示，坐標平面內的數表示相應兩次拋擲后出現的點數的和，樣本點與所描點一一對應．
(2)“點數之和大于8”包含10個樣本點(已用虛線圈出)．
法三(樹狀圖法)：
一枚骰子先后拋擲兩次的所有可能結果用樹狀圖表示．如圖所示，
(2)“點數之和大于8”包含10個樣本點(已用“√”標出)．
　樣本點個數的三個探求方法
(1)列舉法：適用樣本點個數不是很多，可以把樣本點一一列舉出來的情況，但列舉時必須按一定的順序，要做到不重不漏．
(2)列表法：適用于試驗中包含兩個或兩個以上的元素，且試驗結果相對較多的樣本點個數的求解問題，通常把樣本歸納為“有序實數對”，也可用坐標法，列表法的優點是準確、全面、不易遺漏．
(3)樹狀圖法：適用較復雜問題中的樣本點的探求，一般需要分步(兩步及兩步以上)完成的結果可以用樹狀圖進行列舉．
[跟進訓練]
2．一個口袋內裝有大小相同的4個球，其中2個白球，2個黑球，從中一次摸出2個球．
(1)共有多少個樣本點？
(2)2個球顏色不同包含幾個樣本點？
[解]　分別記白球為1，2號，黑球為3，4號．
(1)則有以下樣本點：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6個樣本點(其中(1，2)表示摸到1號、2號)．
(2)“2個球顏色不同”包含(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)4個樣本點．
類型3　隨機事件的含義
【例3】　柜子里有3雙不同的鞋，隨機抽取2只，用A1，A2，B1，B2，C1，C2分別表示3雙不同的鞋，其中下標為奇數表示左腳，下標為偶數表示右腳，指出下列隨機事件的含義．
(1)M＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}；
(2)N＝{A1B1，B1C1，A1C1}；
(3)P＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}．
[解]　(1)事件M的含義是“從3雙不同的鞋中，隨機抽取2只，取出的2只鞋不成雙”．
(2)事件N的含義是“從3雙不同的鞋中，隨機抽取2只，取出的2只鞋都是左腳的”．
(3)事件P的含義是“從3雙不同的鞋中，隨機抽取2只，取到的鞋一只是左腳的，一只是右腳的，且不成雙”．
　解答此類題目，應先理解事件中樣本點的意義，再觀察事件中樣本點的規律，才能確定隨機事件的含義．
[跟進訓練]
3．同時轉動如圖所示的兩個轉盤，記轉盤①得到的數為x，轉盤②得到的數為y，結果為(x，y)(不考慮指針落在分界線上的情況)．
(1)寫出這個試驗的樣本空間；
(2)寫出事件A：“x＋y＝5”和事件B：“x<3且y>1”的集合表示；
(3)說出事件C＝{(1，4)，(2，2)，(4，1)}，D＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)}所表示的含義．
[解]　(1)這個試驗的樣本空間為Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．
(2)事件A＝{(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}；
事件B＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)}．
(3)事件C表示“xy＝4”，事件D表示“x＝y”．
1．(多選)下列事件是隨機事件的是(　　)
A．東邊日出西邊雨
B．下雪不冷化雪冷
C．清明時節雨紛紛
D．梅子黃時日日晴
ACD　[B是必然事件，其余都是隨機事件．]
2．從含有8件正品、2件次品的10件產品中，任意抽取3件，則必然事件是(　　)
A．3件都是正品
B．至少有1件次品
C．3件都是次品
D．至少有1件正品
D　[將抽到正品記為1，次品記為0，則樣本空間Ω＝{(1，1，0)，(1，0，0)，(1，1，1)}，因此至少有1件正品為必然事件．]
3．依次投擲兩枚骰子，所得點數之和記為X，那么X＝4表示的隨機試驗的樣本點是(　　)
A．第一枚是3點，第二枚是1點
B．第一枚是3點，第二枚是1點或第一枚是1點，第二枚是3點或兩枚都是2點
C．兩枚都是4點
D．兩枚都是2點
B　[依次投擲兩枚骰子，所得點數之和記為X，那么X＝4表示的隨機試驗的樣本點是第一枚是3點，
第二枚是1點或第一枚是1點，第二枚是3點或兩枚都是2點．故選B.]
4．一個家庭有兩個小孩，則關于兩個孩子的性別的隨機事件的樣本空間Ω＝________．
[答案]　{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．確定樣本點個數的常用方法有哪些？書寫樣本點時常常注意哪些問題？
[提示]　確定樣本點個數的常用方法有：列舉法、列表法、樹狀圖法．書寫樣本點時常常注意以下問題：要按順序寫，特別要注意題目中的有關字眼，如“先后”“依次”“順序”“放回”“不放回”等．
2．如何寫出試驗的樣本空間？
[提示]　確定試驗的樣本空間就是寫出試驗的所有可能的結果，并寫成Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}的形式．
3．如何判斷一個事件是否為隨機事件、必然事件和不可能事件？
[提示]　看結果是否發生，一定發生的是必然事件，一定不發生的是不可能事件，可能發生也可能不發生的是隨機事件．
課時分層作業(四十四)　有限樣本空間與隨機事件
一、選擇題
1．下列現象中，不可能事件是(　　)
A．三角形的內角和為180°
B．a⊥α，b⊥α，a∥b
C．銳角三角形中兩內角和小于90°
D．三角形中任意兩邊之和大于第三邊
C　[銳角三角形中兩內角和大于90°.]
2．試驗E：“任取一個兩位數，觀察個位數字與十位數字的和的情況”，則該試驗的樣本空間為(　　)
A．{10，11，…，99}　　 B．{1，2，…，18}
C．{0，1，…，18} 　 D．{1，2，…，10}
[答案]　B
3．某校高一年級要組建書法、乒乓球、機器人、籃球四個興趣小組，某學生只選報其中的2個，則樣本點共有(　　)
A．3個　　B．4個　　C．5個　　D．6個
D　[該生選報的所有可能情況是：書法和乒乓球、書法和機器人、書法和籃球、乒乓球和機器人、乒乓球和籃球、機器人和籃球，所以樣本點有6個．]
4．從甲、乙等5名學生中隨機選出2人，觀察選出的2人，設事件M為“甲被選中”，則事件M含有的樣本點個數為(　　)
A．2 　B．4 　C．6 　D．8
B　[設5名學生分別為甲、乙、丙、丁、戊，則M＝{甲乙，甲丙，甲丁，甲戊}，∴M含有4個樣本點．]
5．在一個袋子中裝有分別標注1，2，3，4，5的五個小球，這些小球除標注的數字外其他完全相同，現從中隨機取出2個小球，則取出小球標注的數字之差的絕對值為2或4的事件包含的樣本點個數為(　　)
A．2 　B．4 　C．6 　D．8
B　[從5個小球中任取2個，其中數字之差的絕對值為2或4的事件包含(1，3)，(1，5)，(2，4)，(3，5)，共4個樣本點．故選B.]
二、填空題
6．投擲兩枚骰子，點數之和為8所包含的樣本點有______個．
5　[樣本點為(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，共5個．]
7．下列試驗中是隨機事件的有________．
①某收費站在一天內通過的車輛數；②一個平行四邊形的對邊平行且相等；③某運動員在下屆奧運會上獲得冠軍；④某同學在回家的路上撿到100元錢；⑤沒有水和陽光的條件下，小麥的種子發芽．
①③④　[①③④都是隨機事件，②是必然事件，⑤是不可能事件．]
8．從1，2，3，…，10中任意選一個數，這個試驗的樣本空間為________，滿足“它是偶數”樣本點的個數為________．
Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}　5　[樣本空間為Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，其中滿足“它是偶數”樣本點有：2，4，6，8，10，共有5個．]
三、解答題
9．已知集合M＝{－2，3}，N＝{－4，5，6}，從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標．
(1)寫出這個試驗的樣本空間；
(2)求這個試驗樣本點的總數；
(3)寫出“第一象限內的點”所包含的樣本點．
[解]　(1)Ω＝{(－2，－4)，(－2，5)，(－2，6)，(3，－4)，(3，5)，(3，6)，(－4，－2)，(5，－2)，(6，－2)，(－4，3)，(5，3)，(6，3)}．
(2)試驗樣本點的總數是12．
(3)“第一象限內的點”所包含的樣本點為：(3，5)，(3，6)，(5，3)，(6，3)．
10．在25件同類產品中，有2件次品，從中任取3件產品，其中不是隨機事件的是(　　)
A．3件都是正品 　 B．至少有1件次品
C．3件都是次品 　 D．恰有1件正品
C　[25件產品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品，則“3件都是次品”不是隨機事件．]
11．(多選)給出關于滿足A B的非空集合A，B的四個命題，其中正確的命題是(　　)
A．若任取x∈A，則x∈B是必然事件
B．若任取x A，則x∈B是不可能事件
C．若任取x∈B，則x∈A是隨機事件
D．若任取x B，則x A是必然事件
ACD　[根據A B的Venn圖(圖略)可知，對于A，集合A中的所有元素都在B中，故A正確；對于B，當集合B的范圍比A大時，不在A中的元素，有可能在B中，故B錯誤，應為“若任取x A，則x∈B是隨機事件”；對于C，因為A B，所以在B中的元素有可能在A中，易知C正確；對于D，由于B包含A，故若所取元素不在B中，則必不在A中，故D正確．]
12．將一枚質地均勻的骰子拋擲兩次，得到的點數依次記為a，b，設事件M為“方程ax2＋bx＋1＝0有實數解”，則事件M中含有樣本點的個數為(　　)
A．6 　B．17 　C．19 　D．21
C　[將一枚質地均勻的骰子拋擲兩次，得到的點數依次記為a和b，
∵方程ax2＋bx＋1＝0(a＞0)有實數解，∴Δ＝b2－4a≥0，
則M＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，5)，(6，6)}，共含19個樣本點．]
13．寫出下列試驗的樣本空間：
(1)甲、乙兩隊進行一場足球賽，觀察甲隊比賽結果(包括平局)________；
(2)從含有6件次品的50件產品中任取4件，觀察其中次品數________．
(1)Ω＝{勝，平，負}　(2)Ω＝{0，1，2，3，4}　[(1)對于甲隊來說，有勝、平、負三種結果．
(2)從含有6件次品的50件產品中任取4件，其次品的個數可能為0，1，2，3，4，不能再有其他結果．]
14．甲、乙兩人做出拳游戲(錘、剪、布)．
(1)寫出樣本空間；
(2)用集合表示事件“甲贏”；
(3)用集合表示事件“平局”．
[解]　(1)Ω＝{(錘，剪)，(錘，布)，(錘，錘)，(剪，錘)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，錘)，(布，剪)，(布，布)}．
(2)記“甲贏”為事件A，則A＝{(錘，剪)，(剪，布)，(布，錘)}．
(3)記“平局”為事件B，則B＝{(錘，錘)，(剪，剪)，(布，布)}．
15．設有一列北上的火車，已知停靠的站由南至北分別為S1，S2，…，S10共10站．若甲在S3站買票，乙在S6站買票．設試驗的樣本空間Ω表示火車所有可
能停靠的站，令A表示甲可能到達的站的集合，B表示乙可能到達的站的集合．
(1)寫出該試驗的樣本空間Ω；
(2)寫出A，B包含的樣本點；
(3)鐵路局需為該列車準備多少種北上的車票？
[解]　(1)Ω＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}．
(2)A＝{S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}；B＝{S7，S8，S9，S10}．
(3)鐵路局需要準備從S1站發車的車票共計9種，
從S2站發車的車票共計8種，……，從S9站發車的車票1種，合計共9＋8＋…＋2＋1＝45(種)．10.1.2　事件的關系和運算
學習任務 1．了解隨機事件的并、交與互斥的含義．(數學抽象) 2．能結合實例進行隨機事件的并、交運算．(數學運算)
在擲骰子試驗中，定義如下事件：Ci＝{出現i點}，Di＝{出現的點數不大于2i－1}．
在上述事件中， (1)事件C1與事件C2間有什么關系？(2)事件D2與事件C2間有什么關系？
知識點1　事件的關系
關系 定義 表示法 圖示
包含關系 若事件A發生，事件B一定發生，稱事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B A(或A B)
相等關系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，則稱事件A與事件B相等 A＝B
互斥事件 如果事件A與事件B不能同時發生，稱事件A與事件B互斥(或互不相容) 若A∩B＝ ，則A與B互斥
對立事件 如果事件A和事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發生，稱事件A與事件B互為對立，事件A的對立事件記為 若A∩B＝ ，且A∪B＝Ω，則A與B對立
知識點2　事件的運算
項目 定義 表示法 圖示
并事件 事件A與事件B至少有一個發生，稱這個事件為事件A與事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B)
交事件 事件A與事件B同時發生，稱這樣的一個事件為事件A與事件B的交事件(或積事件) A∩B(或AB)
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若兩個事件是互斥事件，則這兩個事件也是對立事件． (　　)
(2)若兩個事件是對立事件，則這兩個事件也是互斥事件． (　　)
(3)若事件A與B是互斥事件，則在一次試驗中事件A和B至少有一個發生． (　　)
(4)拋擲一枚骰子一次，記事件A＝{出現點數大于4}，事件B＝{出現的點數為5}，則事件B發生時，事件A一定發生． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．從裝有2個紅球和2個白球的口袋內任取2個球觀察顏色．設事件A為“所取兩個球至少有一個白球”，事件B為“所取兩個球恰有一個紅球”，則A∪B表示的事件為________； A∩B表示的事件為________．
[答案]　所取兩個球至少有一個白球　所取兩個球恰有一個紅球
類型1　事件關系的判斷
【例1】　從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花，點數從1～10各10張)中，任取1張．判斷下列給出的每對事件是否為互斥事件，是否為對立事件，并說明理由．
(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；
(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌點數為5的倍數”與“抽出的牌點數大于9”．
[解]　(1)是互斥事件，不是對立事件．
理由：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時發生的，所以是互斥事件．同時，不能保證其中必有一個發生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此，二者不是對立事件．
(2)既是互斥事件，又是對立事件．
理由：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”兩個事件不可能同時發生，且其中必有一個發生，所以它們既是互斥事件，又是對立事件．
(3)不是互斥事件，當然不是對立事件．
理由：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌點數為5的倍數”與“抽出的牌點數大于9”這兩個事件可能同時發生，如抽得的牌點數為10，因此，二者不是互斥事件，當然也不是對立事件．
　判斷互斥事件、對立事件的兩種方法
定義法 判斷互斥事件、對立事件一般用定義判斷．不可能同時發生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有且僅有一個發生，則這兩個事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件
集合法 (1)由各個事件所含的結果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥； (2)事件A的對立事件所含的結果組成的集合，是全集中由事件A所含的結果組成的集合的補集
[跟進訓練]
1．(1)同時擲兩枚硬幣，向上面都是正面為事件A，向上面至少有一枚是正面為事件B，則有(　　)
A．A B　　　　　 B．A B
C．A＝B 　 D．A與B互斥
(2)從裝有3個紅球和2個白球的口袋中隨機取出3個球，則事件“取出1個紅球和2個白球”的對立事件是(　　)
A．取出2個紅球和1個白球
B．取出的3個球全是紅球
C．取出的3個球中既有紅球也有白球
D．取出的3個球中不止一個紅球
(1)A　(2)D　[(1)由事件的包含關系知A B.
(2)從裝有3個紅球和2個白球的口袋中隨機取出3個球，則事件“取出1個紅球和2個白球”的對立事件是取出的3個球中至少有兩個紅球．故選D.]
類型2　事件的運算
【例2】　擲一枚骰子，下列事件：
A＝“出現奇數點”，B＝“出現偶數點”，C＝“點數小于3”，D＝“點數大于2”，E＝“點數是3的倍數”．
求：(1)A∩B，BC；
(2)A∪B，B＋C；
(3)記為事件H的對立事件，求 .
[解]　(1)A∩B＝ ，BC＝{2}．
(2)A∪B＝{1，2，3，4，5，6}，B＋C＝{1，2，4，6}．
(3)C＝BC＝{2}；
＝{1，2，4，5}．
　事件間的運算方法
(1)利用事件間運算的定義．列出同一條件下的試驗所有可能出現的結果，分析并利用這些結果進行事件間的運算．
(2)利用Venn圖．借助集合間運算的思想，分析同一條件下的試驗所有可能出現的結果，把這些結果在圖中列出，進行運算．
[跟進訓練]
2．從某大學數學系圖書室中任選一本書．設A＝{數學書}；B＝{中文版的書}；C＝{2022年后出版的書}．問：
(1)A∩B表示什么事件？
(2)在什么條件下有A∩B∩C＝A
(3)如果＝B，那么是否意味著圖書室中的所有的數學書都不是中文版的？
[解]　(1)A∩B＝{2022年或2022年前出版的中文版的數學書}．
(2)在“圖書室中所有數學書都是2022年后出版的且為中文版”的條件下才有A∩B∩C＝A.
(3)是．＝B意味著圖書室中的非數學書都是中文版的，而且所有的中文版的書都不是數學書．
1．抽查10件產品，設事件A：至少有兩件次品，則與事件A互斥的事件為(　　)
A．恰有兩件次品　　　　 B．恰有一件次品
C．恰有兩件正品 　 D．至少有兩件正品
B　[事件“恰有一件次品”與事件A不會同時發生，故選B.]
2．拋擲一枚骰子，“向上一面的點數是1或2”為事件A，“向上一面的點數是2或3”為事件B，則(　　)
A．A B
B．A＝B
C．A∪B表示向上一面的點數是1或2或3
D．A∩B表示向上一面的點數是1或2或3
C　[設A＝{1，2}，B＝{2，3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3}，所以A∪B表示向上一面的點數是1或2或3．]
3．拋擲一枚質地均勻的正方體骰子，事件E＝{向上的點數為偶數}，F＝{向上的點數為質數}，則E∩F＝________．
{向上的點數為2}　[E＝{向上的點數為偶數}＝{2，4，6}，F＝{向上的點數為質數}＝{2，3，5}，∴E∩F＝{向上的點數為2}．]
4．從一批產品(既有正品也有次品)中取出3件產品，設A＝“3件產品全不是次品”，B＝“3件產品全是次品”，C＝“3件產品不全是次品”，則下列結論正確的是________(填寫序號)．
①A與B互斥；②B與C互斥；③A與C互斥；④A與B對立；⑤B與C對立．
①②⑤　[A＝“3件產品全不是次品”，指的是3件產品全是正品，B＝“3件產品全是次品”，C＝“3件產品不全是次品”，它包括1件次品2件正品，2件次品1件正品，3件全是正品3個事件，由此知：A與B是互斥事件，但不對立；A與C是包含關系，不是互斥事件，更不是對立事件；B與C是互斥事件，也是對立事件．所以正確結論的序號為①②⑤.]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．事件間的關系和運算有哪些？如何用符號表示？
[提示]　事件關系或運算的含義
事件關系或運算 含義 符號表示
包含 A發生導致B發生 A B
并事件(和事件) A與B至少一個發生 A∪B或A＋B
交事件(積事件) A與B同時發生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A與B不能同時發生 A∩B＝
互為對立 A與B有且僅有一個發生 A∩B＝ ，A∪B＝Ω
2．互斥事件與對立事件有什么關系？
[提示]　(1)對立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件．
(2)從集合的觀點來判斷：設事件A與B所含的樣本點組成的集合分別是A，B，若A，B互斥，則A∩B＝ ，若A，B對立，則A∩B＝ ，且A∪B＝Ω，即 ΩB＝A， ΩA＝B.互斥事件A與B的和A＋B可理解為集合A∪B.
課時分層作業(四十五)　事件的關系和運算
一、選擇題
1．擲一枚骰子，設事件A＝{出現的點數不小于5}，B＝{出現的點數為偶數}，則事件A與事件B的關系是(　　)
A．A B
B．A∩B＝{出現的點數為6}
C．事件A與B互斥
D．事件A與B是對立事件
B　[由題意事件A表示出現的點數是5或6；事件B表示出現的點數是2或4或6．故A∩B＝{出現的點數為6}．]
2．打靶3次，事件Ai＝“擊中i發”，其中i＝0，1，2，3．那么A＝A1∪A2∪A3表示(　　)
A．全部擊中　　　　　 B．至少擊中1發
C．至少擊中2發 　 D．全部未擊中
B　[A1∪A2∪A3表示的是A1，A2，A3這三個事件中至少有一個發生，即可能擊中1發、2發或3發，故選B.]
3．從1，2，3，4這4個數中，任取2個數求和，那么“這2個數的和大于4”為事件A，“這2個數的和為偶數”為事件B，則A∪B和A∩B包含的樣本點數分別為(　　)
A．1，6　　B．4，2　　C．5，1　　D．6，1
C　[從1，2，3，4這4個數中，任取2個數求和，則試驗的樣本空間為Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}．其中事件A包含的樣本點有：(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共4個．事件B包含的樣本點有：(1，3)，(2，4)，共2個．所以事件A∪B包含的樣本點有：(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共5個．事件A∩B包含的樣本點有：(2，4)，共1個．]
4．已知100件產品中有5件次品，從這100件產品中任意取出3件，設E表示事件“3件產品全不是次品”，F表示事件“3件產品全是次品”，G表示事件“3件產品中至少有1件次品”，則下列結論正確的是(　　)
A．F與G互斥
B．E與G互斥但不對立
C．E，F，G任意兩個事件均互斥
D．E與G互為對立
D　[由題意得事件E與事件F不可能同時發生，是互斥事件；事件E與事件G不可能同時發生，是互斥事件；當事件F發生時，事件G一定發生，所以事件F與事件G不是互斥事件，故A，C不正確；事件E與事件G中必有一個發生，所以事件E與事件G互為對立，故B不正確，D正確．]
5．(多選)某小組有三名男生和兩名女生，從中任選兩名學生去參加比賽，則下列各對事件中為互斥事件的是(　　)
A．恰有一名男生和全是男生
B．至少有一名男生和至少有一名女生
C．至少有一名男生和全是男生
D．至少有一名男生和全是女生
AD　[A中兩個事件是互斥事件，恰有一名男生即選出的兩名學生中有一名男生和一名女生，它與全是男生不可能同時發生；B中兩個事件不是互斥事件；C中兩個事件不是互斥事件；D中兩個事件是互斥事件，至少有一名男生與全是女生顯然不可能同時發生．]
二、填空題
6．設某隨機試驗的樣本空間Ω＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{2，3，4}，B＝{3，4，5}，C＝{5，6，7}．則A∪B＝________； ∩B＝________．
[答案]　{2，3，4，5}　{5}
7．甲、乙兩人破譯同一個密碼，令甲、乙破譯出密碼分別為事件A，B，則B∪A表示的含義是________，事件“密碼被破譯”可表示為________．
[答案]　只有一人破譯密碼　B∪A∪AB
8．袋中裝有9個白球，2個紅球，從中任取3個球，則：①恰有1個紅球和全是白球；②至少有1個紅球和全是白球；③至少有1個紅球和至少有2個白球；④至少有1個白球和至少有1個紅球．在上述事件中，是對立事件的為________．
②　[①是互斥不對立的事件，②是對立事件，③④不是互斥事件．]
三、解答題
9．用紅、黃、藍三種不同的顏色給大小相同的三個圓隨機涂色，每個圓只涂一種顏色．設事件A＝“三個圓的顏色全不相同”，事件B＝“三個圓的顏色不全相同”，事件C＝“其中兩個圓的顏色相同”，事件D＝“三個圓的顏色全相同”．
(1)寫出試驗的樣本空間；
(2)用集合的形式表示事件A，B，C，D；
(3)事件B與事件C有什么關系？事件A和B的交事件與事件D有什么關系？說明理由．
[解]　(1)由題意可知三個圓可能顏色一樣，也可能有兩個圓顏色一樣，另一個圓異色，還可能三個圓異色，則試驗的樣本空間Ω＝{(紅，紅，紅)，(黃，黃，黃)，(藍，藍，藍)，(紅，紅，黃)，(紅，紅，藍)，(藍，藍，紅)，(藍，藍，黃)，(黃，黃，紅)，(黃，黃，藍)，(紅，黃，藍)}．
(2)A＝{(紅，黃，藍)}．
B＝{(紅，紅，黃)，(紅，紅，藍)，(藍，藍，紅)，(藍，藍，黃)，(黃，黃，紅)，(黃，黃，藍)，(紅，黃，藍)}．
C＝{(紅，紅，黃)，(紅，紅，藍)，(藍，藍，紅)，(藍，藍，黃)，(黃，黃，紅)，(黃，黃，藍)}．
D＝{(紅，紅，紅)，(黃，黃，黃)，(藍，藍，藍)}．
(3)由(2)可知C B，A∩B＝A，A與D互斥，所以事件B包含事件C，事件A和B的交事件與事件D互斥．
10．把紅、藍、黑、白4張紙牌隨機地分給甲、乙、丙、丁4個人，每人分得1張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是(　　)
A．對立事件
B．互斥但不對立事件
C．不可能事件
D．以上說法都不對
B　[因為只有1張紅牌，所以這兩個事件不可能同時發生，所以它們是互斥事件；但這兩個事件加起來并不是總體事件，所以它們不是對立事件．]
11．(多選)(2022·江蘇南京六校聯考)對空中飛行的飛機連續射擊兩次，每次發射一枚炮彈，設事件A＝“兩彈都擊中飛機”，事件B＝“兩彈都沒擊中飛機”，事件C＝“恰有一彈擊中飛機”，事件D＝“至少有一彈擊中飛機”，下列關系正確的是(　　)
A．A D 　 B．B∩D＝
C．A∪C＝D 　 D．A∪B＝B∪D
ABC　[“恰有一彈擊中飛機”指第一枚擊中第二枚沒中或第一枚沒中第二枚擊中．
“至少有一彈擊中飛機”包含兩種情況：一種是恰有一彈擊中，另一種是兩彈都擊中．∴A∪B≠B∪D.]
12．(多選)在一次隨機試驗中，A，B，C，D是彼此互斥的事件，且A＋B＋C＋D是必然事件，則下列說法正確的是(　　)
A．A＋B與C是互斥事件，也是對立事件
B．B＋C與D是互斥事件，但不是對立事件
C．A＋C與B＋D是互斥事件，但不是對立事件
D．A與B＋C＋D是互斥事件，也是對立事件
BD　[由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是必然事件，故事件的關系如圖所示．由圖可知，任何一個事件與其余三個事件的和事件互為對立，任何兩個事件的和事件與其余兩個事件中任何一個是互斥事件，任何兩個事件的和事件與其余兩個事件的和事件互為對立，故B，D中的說法正確．]
13．如圖所示，事件A＝“甲元件正常”，B＝“乙元件正常”，C＝“丙元件正常”．則A∪B∪C表示的含義為________，表示的含義為________．
[答案]　電路工作正常　電路工作不正常
14．對一箱產品進行隨機抽查檢驗，如果查出2個次品就停止檢查，最多檢查3個產品．
寫出該試驗的樣本空間Ω，并用樣本點表示事件：A＝{至少有2個正品}，B＝{至少1個產品是正品}；并判斷事件A與事件B的關系．
[解]　依題意，檢查是有序地逐個進行，至少檢查2個，最多檢查3個產品．如果用“0”表示查出次品，用“1”表示查出正品，那么樣本點至少是一個二位數，至多是一個三位數的有序數列．樣本空間Ω＝{00，010，011，100，101，110，111}．
A＝{011，101，110，111}．
B＝{010，011，100，101，110，111}，所以A B.
15．某連鎖火鍋城開業之際，為吸引更多的消費者，開展抽獎活動，前20位顧客可參加如下活動：搖動如圖所示的游戲轉盤(上面扇形的圓心角都相等)，顧客可以免費獲得按照指針所指區域的數字10倍金額的店內菜品或飲品，最高120元，每人只能參加一次這個活動．記事件A：“獲得不多于30元菜品或飲品”．
(1)求事件A包含的基本事件；
(2)寫出事件A的對立事件，以及事件A的一個互斥事件．
[解]　(1)事件A包含的基本事件為：{獲得10元菜品或飲品}，{獲得20元菜品或飲品}，{獲得30元菜品或飲品}．
(2)事件A的對立事件是＝“獲得多于30元但不多于120元菜品或飲品”，事件A的一個互斥事件為：“獲得40元菜品或飲品”(答案不唯一)．10.1.3　古典概型
學習任務 1．結合具體實例，理解古典概型．(數學抽象) 2．能計算古典概型中簡單隨機事件的概率．(數學建模、數學運算)
問題：1．丟一枚質量均勻的骰子，丟出奇數的概率是多少？
2．丟一枚質地均勻的硬幣，正面朝上的概率是多少？
知識點1　概率
對隨機事件發生可能性大小的度量(數值)稱為事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．
知識點2　古典概型的定義
試驗具有如下共同特征：
(1)有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；
(2)等可能性：每個樣本點發生的可能性相等．
將具有以上兩個特征的試驗稱為古典概型試驗，其數學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．
知識點3　古典概型的概率計算公式
一般地，設試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中k個樣本點，則定義事件A的概率P(A)＝＝．其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數．
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1) 在區間[0，10]上任取一個數的試驗是古典概型． (　　)
(2)任何一個事件都是一個樣本點． (　　)
(3)古典概型中每一個樣本點出現的可能性相等． (　　)
(4)古典概型中的任何兩個樣本點都是互斥的． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．若書架上數學、物理、化學書的數量分別是5本、3本、2本，則隨機抽出一本是物理書的概率為________．
[答案]　
類型1　古典概型的判斷
【例1】　下列是古典概型的是(　　)
A．任意拋擲兩枚骰子，所得點數之和作為樣本點
B．求任意的一個正整數平方的個位數字是1的概率，將取出的正整數作為樣本點
C．從甲地到乙地共n條路線，求某人正好選中最短路線的概率
D．拋擲一枚均勻硬幣首次出現正面為止
C　[A項中由于點數的和出現的可能性不相等，故A不是；B項中的樣本點是無限的，故B不是；C項滿足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D項中樣本點既不是有限個也不具有等可能性，故D不是．]
　古典概型的判斷方法
判斷隨機試驗是否為古典概型，關鍵是抓住古典概型的兩個特征——有限性和等可能性，二者缺一不可．
[跟進訓練]
1．下列試驗是古典概型的為________．(填序號)
①從6名同學中選出4人參加數學競賽，每人被選中的可能性大小；
②同時擲兩顆骰子，點數和為6的概率；
③近三天中有一天降雨的概率．
①②　[①②是古典概型，因為符合古典概型的定義和特點．③不是古典概型，因為不符合等可能性，降雨受多方面因素影響．]
類型2　較簡單的古典概型問題
【例2】　某旅游愛好者計劃從3個亞洲國家A1，A2，A3和3個歐洲國家B1，B2，B3中選擇2個國家去旅游．
(1)若從這6個國家中任選2個 ，求這2個國家都是亞洲國家的概率；
(2)若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個，求這2個國家包括A1但不包括B1的概率．
[解]　(1)由題意知，從6個國家中任選兩個國家，其一切可能的結果組成的樣本點有：
(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共15個．
所選兩個國家都是亞洲國家的事件所包含的樣本點有：
(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3個，
則所求事件的概率為P＝.
(2)從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個，其一切可能的結果組成的樣本點有：
(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，共9個．
包括A1但不包括B1的事件所包含的樣本點有：
(A1，B2)，(A1，B3)，共2個，則所求事件的概率為P＝.
　求古典概型概率的步驟
(1)判斷所給概率模型是否為古典概型．
(2)算出樣本點的總數n.
(3)算出事件A包含的樣本點個數m.
(4)算出事件A的概率，即P(A)＝.
[跟進訓練]
2．現有6道題，其中4道甲類題，2道乙類題，張同學從中任取2道題解答．試求：
(1)所取的2道題都是甲類題的概率；
(2)所取的2道題不是同一類題的概率．
[解]　(1)將4道甲類題依次編號為1，2，3，4；2道乙類題依次編號為5，6．任取2道題，這個試驗的樣本空間為Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)}，共15個樣本點，且每個樣本點出現的可能性是等可能的，可用古典概型來計算概率．
用A表示“所取的2道題都是甲類題”這一事件，則A＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}，共含有6個樣本點，所以P(A)＝.
(2)由(1)知試驗的樣本空間共有15個樣本點，用B表示“所取的2道題不是同一類題”這一事件，則B＝{(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)}，共包含8個樣本點，所以P(B)＝.
類型3　“放回”與“不放回”問題
【例3】　從含有兩件正品a1，a2和一件次品b的3件產品中，按先后順序任意取出兩件產品，每次取出后不放回，求取出的兩件產品中恰有一件次品的概率．
[解]　按照題意，取產品的過程可以用如圖所示的樹形圖直觀表示．
因此樣本空間可記為Ω＝{(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}，共包含6個樣本點．
用A表示“取出的兩件中，恰好有一件次品”，則A＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}，A包含的樣本點個數為4，所以P(A)＝.
[母題探究]
把本例的條件“每次取出后不放回”換成“每次取出后放回”，其余條件不變，求取出的兩件產品中恰有一件次品的概率．
[解]　有放回地連續取出兩件，其一切可能的結果組成的樣本空間Ω＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)}，共9個樣本點．
用B表示“恰有一件次品”這一事件，則B＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}．
事件B由4個樣本點組成，所以P(B)＝.
　抽取問題是古典概型的常見問題，解決此類問題需要注意兩點：一是所給問題是否需要將被抽取的個體進行區分才能滿足古典概型的條件，二是看抽取的方式是有放回還是不放回，兩種抽取方式對樣本點的總數有影響．另外，不放回抽樣看作無序或有序抽取均可，有放回抽樣要看作有序抽取．
[跟進訓練]
3．(2022·山東聊城一中月考)一個信箱里裝有標號為1，2，3，4的4封大小完全相同的信件，先后隨機地選取2封信，根據下列條件，分別求2封信上的數字為不相鄰整數的概率．
(1)信的選取是無放回的；
(2)信的選取是有放回的．
[解]　(1)記事件A為“選取的2封信上的數字為不相鄰整數”．
從4封信中無放回地隨機選取2封，則試驗的樣本空間Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}，共有12個樣本點，這12個樣本點出現的可能性是相等的，A＝{(1，3)，(1，4)，(2，4)，(3，1)，(4，1)，(4，2)}，包含6個樣本點．
由古典概型的概率計算公式知P(A)＝，
故無放回地選取2封信，這2封信上數字為不相鄰整數的概率為.
(2)從4封信中有放回地隨機選取2封，則試驗的樣本空間Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，
共有16個樣本點，且這16個樣本點出現的可能性是相等的．
A＝{(1，1)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，4)，(3，1)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，4)}，包含10個樣本點.
由古典概型的概率計算公式知P(A)＝，
故有放回地選取2封信，這2封信上數字為不相鄰整數的概率為.
1．(多選)下列試驗是古典概型的是(　　)
A．在適宜的條件下種一粒種子，發芽的概率
B．口袋里有2個白球和2個黑球，這4個球除顏色外完全相同，從中任取一球為白球的概率
C．向一個圓面內部隨機地投一個點，該點落在圓心的概率
D．10個人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率
BD　[A不是等可能事件，C不滿足有限性．]
2．甲、乙、丙三名同學站成一排，甲站在中間的概率是(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
C　[樣本空間的樣本點為：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6個，甲站在中間的事件包括乙甲丙、丙甲乙，共2個，所以甲站在中間的概率是P＝.]
3．一個袋中裝有2個紅球和2個白球，現從袋中取出1個球，然后放回袋中再取出1個球，則取出的2個球同色的概率為(　　)
A． 　B． 　C． 　D．
A　[把2個紅球分別標記為紅1、紅2，2個白球分別標記為白1、白2，本試驗樣本空間所包含的樣本點共有16個，其中取出的2個球同色包含的樣本點有8個：(紅1，紅1)，(紅1，紅2)，(紅2，紅1)，(紅2，紅2)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)，故所求概率P＝.]
4．將一枚質地均勻的一元硬幣拋3次，恰好出現一次正面朝上的概率是________．
　[試驗共有8個結果：(正，正，正)，(反，正，正)，(正，反，正)，(正，正，反)，(反，反，正)，(反，正，反)，(正，反，反)，(反，反，反)，其中恰好出現一次正面朝上的結果有3個，故所求的概率是.]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．如何判斷一個試驗是不是古典概型？
[提示]　若該試驗具有古典概型的兩個特征：有限性和等可能性，則該試驗是古典概型，否則，不是．
2．古典概型的概率公式是什么？
[提示]　古典概型試驗的計算公式P(A)＝，其中樣本點總數為n，事件A所包含的樣本點個數為m.
3．解決有序和無序問題時應注意哪些問題？
[提示]　(1)關于不放回抽樣，計算樣本點個數時，既可以看作是有順序的，也可以看作是無順序的，其最后結果是一致的．但不論選擇哪一種方式，觀察的角度必須一致，否則會產生錯誤．
(2)關于有放回抽樣，應注意在連續取出兩次的過程中，因為先后順序不同，所以(a，b)，(b，a)不是同一個樣本點．解題的關鍵是要清楚無論是“不放回抽取”還是“有放回抽取”，每一件產品被取出的機會都是相等的．
課時分層作業(四十六)　古典概型
一、選擇題
1．一部三冊的小說，任意排放在書架的同一層上，則第一冊和第二冊相鄰的概率為(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
C　[設一部三冊的小說為1，2，3，所以試驗的樣本空間Ω＝ {(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)}，共6個樣本點，事件“第一冊和第二冊相鄰”包含4個樣本點，故第一冊和第二冊相鄰的概率為P＝.]
2．某天放學后，教室里還剩下2位男同學和2位女同學．若他們隨機依次走出教室，則第2位走出的是男同學的概率是(　　)
A． 　B． 　C． 　D．
A　[法一：2位男同學和2位女同學走出教室的所有可能順序為(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，共6種，所以第2位走出的是男同學的概率P＝.故選A.
法二：只考慮第二位同學，出來男生或是女生是等可能的，故概率為.故選A.]
3．某學校美術室收藏有4幅國畫，其中山水畫、花鳥畫各2幅，現從中隨機抽取2幅進行展覽，則恰好抽到2幅不同種類的國畫的概率為(　　)
A． 　B． C． 　D．
D　[設2幅山水畫為A1，A2，2幅花鳥畫為B1，B2，從中隨機抽取2幅所包含的樣本點為(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(B1，B2)，共6個，滿足條件的樣本點有4個，故P＝.故選D.]
4．(2022·新高考Ⅰ卷)從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，則這2個數互質的概率為(　　)
A． 　B． 　C． 　D．
D　[從2至8的7個整數中隨機取2 個不同的數，共有21種不同的取法，
若兩數不互質，不同的取法有：(2，4)，(2，6)，(2，8)，(3，6)，(4，6)，(4，8)，(6，8)，共7種，故所求概率P＝.
故選D.]
5．(多選)一個袋子中裝有3件正品和1件次品，按以下要求抽取2件產品，其中結論正確的是(　　)
A．任取2件，則取出的2件中恰有1件次品的概率是
B．每次抽取1件，不放回地抽取兩次，樣本點總數為16
C．每次抽取1件，不放回地抽取兩次，則取出的2件中恰有1件次品的概率是
D．每次抽取1件，有放回地抽取兩次，樣本點總數為16
ACD　[記4件產品分別為1，2，3，a，其中a表示次品．在A中，樣本空間Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，a)，(2，3)，(2，a)，(3，a)}，共6個樣本點，且每個樣本點出現的可能性相等，“恰有一件次品”的樣本點為(1，a)，(2，a)，(3，a)，因此其概率P＝，A正確；在B中，每次抽取1件，不放回地抽取兩次，樣本空間Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，a)，(2，1)，(2，3)，(2，a)，(3，1)，(3，2)，(3，a)，(a，1)，(a，2)，(a，3)}，因此n(Ω)＝12，B錯誤；在C中，“取出的兩件中恰有一件次品”的樣本點數為6，其概率為，C正確；在D中，每次抽取1件，有放回地抽取兩次，樣本空間Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，a)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，a)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，a)，(a，1)，(a，2)，(a，3)，(a，a)}，因此n(Ω)＝16，D正確．]
二、填空題
6．從1，2，3，4四個數中，有放回地選取兩個數，其中一個數是另一個數的2倍的概率是________．
　[用列舉法知，有放回地選取兩個數共有16個樣本點，且每個樣本點出現的可能性相等，其中一個數是另一個數的2倍的有(1，2)，(2，1)，(2，4)，(4，2)，共4個樣本點，故所求的概率為.]
7．(2022·全國乙卷)從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區服務工作，則甲、乙都入選的概率為________．
　[甲、乙等5名同學分別標記為a1，a2，a3，a4，a5，其中甲標記為a1，乙標記為a2．從中隨機選3名參加社區服務工作的事件有{a1，a2，a3}，{a1，a2，a4}，{a1，a2，a5}，{a2，a3，a4}，{a2，a3，a5}，{a3，a4，a5}，{a1，a3，a4}，{a1，a3，a5}，{a2，a4，a5}，{a1，a4，a5}，共計10種．甲、乙都入選的事件有{a1，a2，a3}，{a1，a2，a4}，{a1，a2，a5}，共計3種，故所求概率P＝.]
8．在國慶閱兵中，某兵種A，B，C三個方陣按一定次序通過主席臺，若先后次序是隨機排定的，則B先于A，C通過的概率為________．
　[用(A，B，C)表示A，B，C通過主席臺的次序，則試驗的樣本空間Ω＝ {(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)}，共6個樣本點，其中事件B先于A，C通過的有(B，C，A)和(B，A，C)，共2個樣本點，故所求概率P＝.]
三、解答題
9．一個盒子里裝有完全相同的十個小球，分別標上1，2，3，…，10這10個數字，現隨機地抽取兩個小球，如果：
(1)抽取是不放回的；
(2)抽取是有放回的．
分別求兩個小球上的數字為相鄰整數的概率．
[解]　設事件A：兩個小球上的數字為相鄰整數．
則事件A包括的樣本點有(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，(6，7)，(7，8)，(8，9)，(9，10)，(10，9)，(9，8)，(8，7)，(7，6)，(6，5)，(5，4)，(4，3)，(3，2)，(2，1)，共18個．
(1)不放回取球時，總的樣本點數為90，故P(A)＝.
(2)有放回取球時，總的樣本點數為100，故P(A)＝.
10．《史記》中講述了田忌與齊王賽馬的故事．“田忌的上等馬優于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬．”雙方從各自的馬匹中隨機選一匹進行一場比賽，則田忌的馬獲勝的概率為(　　)
A． 　B． C． 　D．
A　[設齊王的上、中、下三個等次的馬分別為a，b，c，田忌的上、中、下三個等次的馬分別記為A，B，C，從雙方的馬匹中隨機選一匹進行一場比賽的所有的可能為Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，根據題意，其中Ab，Ac，Bc是田忌獲勝，則田忌獲勝的概率為.故選A.]
11．《易經》是中國傳統文化中的精髓，如圖是易經八卦圖(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦)，每一卦由三根線組成(表示一根陽線，表示一根陰線)，從八卦中任取一卦，這一卦的三根線中恰有2根陽線和1根陰線的概率為(　　)
A． 　B． 　C． 　D．
C　[從八卦中任取一卦，基本事件總數n＝8，
這一卦的三根線中恰有2根陽線和1根陰線包含的基本事件個數m＝3，
∴所求概率為P＝.故選C.]
12．(多選)已知一個古典概型的樣本空間Ω和事件A和B，其中n(Ω)＝12，n(A)＝6，n(B)＝4，n(A∪B)＝8，那么下列事件概率正確的是(　　)
A．P(AB)＝ 　 B．P(A∪B)＝
C．P＝ 　 D．P＝
ABC　[對于選項A：n(AB)＝n(A)＋n(B)－n(A∪B)＝6＋4－8＝2，所以P(AB)＝，故A正確；
對于選項B：P(A∪B)＝，故B正確；
對于選項C：n＝n(B)－n(AB)＝4－2＝2，
所以P＝，故C正確；
對于選項D：n＝n(Ω)－n(A∪B)＝12－8＝4，所以P＝，故D錯誤．故選ABC.]
13．一次拋擲兩枚均勻的骰子，得到的點數為m和n，則關于x的方程x2＋(m＋n)x＋4＝0無實數根的概率是________．
　[易知總的樣本點個數為36，且每個樣本點出現的可能性相等．因為方程無實數根，所以Δ＝(m＋n)2－16<0，即－414．某企業為了解下屬某部門對本企業職工的服務情況，隨機訪問50名職工，根據這50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數據分組區間為[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100].
(1)求頻率分布直方圖中a的值；
(2)從評分在[40，60)的受訪職工中，隨機抽取2人，求此2人的評分都在[40，50)內的概率．
[解]　(1)因為(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006．
(2)受訪職工評分在[50，60)內的有50×0.006×10＝3(人)，記為A1，A2，A3；
受訪職工中評分在[40，50)內的有50×0.004×10＝2(人)，記為B1，B2．
從這5名受訪職工中隨機抽取2人，
所包含的樣本點有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共10個．
所抽取2人的評分都在[40，50)內包含的樣本點有1個，即(B1，B2)，故所求的概率為.
15．某兒童樂園在“六一”兒童節推出了一項趣味活動．參加活動的兒童需轉動如圖所示的轉盤兩次，每次轉動后，待轉盤停止轉動時，記錄指針所指區域中的數．設兩次記錄的數分別為x，y.獎勵規則如下：
①若xy≤3，則獎勵玩具一個；②若xy≥8，則獎勵水杯一個；③其余情況獎勵飲料一瓶．
假設轉盤質地均勻，四個區域劃分均勻．小亮準備參加此項活動．
(1)求小亮獲得玩具的概率；
(2)請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由．
[解]　用數對(x，y)表示兒童參加活動先后記錄的數，則樣本空間Ω與點集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一對應．
S＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)}，所以樣本點總數n＝16．
(1)記“xy≤3”為事件A，則事件A包含的樣本點個數共5個，
即A＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)}．
所以P(A)＝，即小亮獲得玩具的概率為.
(2)記“xy≥8”為事件B，“3＜xy＜8”為事件C.
則事件B包含的樣本點共6個，即B＝{(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．
所以P(B)＝.
事件C包含的樣本點共5個，即C＝{(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}．
所以P(C)＝.因為＞，所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率．10.1.4　概率的基本性質
學習任務 掌握概率的基本性質并能運用這些性質求一些簡單事件的概率．(數學抽象、數學運算)
甲、乙兩人下棋，甲不輸的概率是0.6，兩人下成平局的概率是0.3．
問題：甲獲勝的概率是多少？
知識點　概率的基本性質
性質1　對任意的事件A，都有P(A)≥0．
性質2　必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P( )＝0．
性質3　如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
性質4　如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．
性質5　如果A B，那么P(A)≤P(B)．
性質6　設A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若A與B為互斥事件，則P(A)＋P(B)＝1． (　　)
(2)若P(A)＋P(B)＝1，則事件A與B為對立事件． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×
2．若P(A∪B)＝0.7，P(A)＝0.4，P(B)＝0.6，則P(A∩B)＝________．
0.3　[P(A∩B)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝0.4＋0.6－0.7＝0.3．]
類型1　互斥事件概率公式的應用
【例1】　在某一時期內，一條河流某處的年最高水位在各個范圍內的概率如下表：
年最高水位(單位：m) [8，10) [10，12) [12，14) [14，16) [16，18]
概率 0.1 0.28 0.38 0.16 0.08
計算在同一時期內，這條河流這一處的年最高水位(單位：m)在下列范圍內的概率：
(1)[10，16)；(2)[8，12)；(3)[14，18].
[解]　記該河流這一處的年最高水位(單位：m)在[8，10)，[10，12)，[12，14)，[14，16)，[16，18]分別為事件A，B，C，D，E，且彼此互斥．
(1)P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82．
(2)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.28＝0.38．
(3)P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.08＝0.24．
　運用互斥事件的概率加法公式解題的步驟
(1)確定題中哪些事件彼此互斥；
(2)將待求事件拆分為幾個互斥事件的和；
(3)先求各互斥事件分別發生的概率，再求和．
[跟進訓練]
1．(1)拋擲一枚骰子，觀察出現的點，設事件A為“出現1點”，B為“出現2點”．已知P(A)＝P(B)＝，則出現1點或2點的概率為________．
(2)盒子里裝有6只紅球，4只白球，從中任取3只球．設事件A表示“3只球中有1只紅球，2只白球”，事件B表示“3只球中有2只紅球，1只白球”．已知P(A)＝，P(B)＝，則這3只球中既有紅球又有白球的概率為________．
(1)　(2)　[(1)設事件C為“出現1點或2點”，因為事件A，B是互斥事件，由C＝A∪B可得P(C)＝P(A)＋P(B)＝，所以出現1點或出現2點的概率是.
(2)因為A，B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝，所以這3只球中既有紅球又有白球的概率是.]
類型2　對立事件的概率公式
【例2】　甲、乙兩人下棋，和棋的概率為，乙獲勝的概率為，求：
(1)甲獲勝的概率；
(2)甲不輸的概率．
[解]　(1)“甲獲勝”和“和棋或乙獲勝”是對立事件，所以“甲獲勝”的概率P＝1－，即甲獲勝的概率是.
(2)法一：設事件A為“甲不輸”，可看成是“甲獲勝”“和棋”這兩個互斥事件的并事件，所以P(A)＝.
法二：設事件A為“甲不輸”，可看成是“乙獲勝”的對立事件，所以P(A)＝1－，即甲不輸的概率是.
　利用對立事件的概率公式解題的思路
(1)當對立事件A，B中一個事件的概率易求，另一個事件的概率不易求時，直接計算符合條件的概率較煩瑣，可先間接地計算其對立事件的概率，再由公式P(A)＋P(B)＝1，求出符合條件的事件的概率．
(2)應用對立事件的概率公式時，一定要分清事件和其對立事件到底是什么．該公式常用于“至多”“至少”型問題的求解．
[跟進訓練]
2．備戰奧運會射擊隊的某一選手射擊一次，其命中環數的概率如下表：
命中環數 10環 9環 8環 7環
概率 0.32 0.28 0.18 0.12
求該選手射擊一次：
(1)命中9環或10環的概率；
(2)至少命中8環的概率；
(3)命中不足8環的概率．
[解]　記“射擊一次，命中k環”為事件Ak(k＝7，8，9，10)．
(1)因為A9與A10互斥，所以P(A9∪A10)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.60．
(2)記“至少命中8環”為事件B，則B＝A8＋A9＋A10，又A8，A9，A10兩兩互斥，
所以P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78．
(3)記“命中不足8環”為事件C.則事件C與事件B是對立事件．所以P(C)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22．
類型3　非互斥事件概率加法公式的應用
【例3】　從1～20這20個整數中隨機選擇一個數，設事件A表示“選到的數能被2整除”，事件B表示“選到的數能被3整除”，求下列事件的概率：
(1)這個數既能被2整除也能被3整除；
(2)這個數能被2整除或能被3整除；
(3)這個數既不能被2整除也不能被3整除．
[解]　顯然從1～20這20個整數中隨機選擇一個數，樣本點總數為20．其中這20個整數中能被2整除的有10個，能被3整除的有6個，所以P(A)＝，P(B)＝.
(1)“這個數既能被2整除也能被3整除”即事件AB，因為1～20這20個整數中既能被2整除也能被3整除的有3個，所以P(AB)＝.
(2)“這個數能被2整除或能被3整除”即事件A∪B，由分析得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝.
(3)由于事件“這個數既不能被2整除也不能被3整除”(即事件)與事件“這個數能被2整除或能被3整除”(即事件A∪B)為對立事件，所以P＝1－P(A∪B)＝1－.
　首先判斷該事件不是互斥事件，為此需要考慮非互斥事件概率加法如何求解，借助公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)進行計算．
[跟進訓練]
3．甲、乙、丙、丁四人參加4×100米接力賽，他們跑每一棒的概率均為.求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率．
[解]　設事件A＝“甲跑第一棒”，事件B＝“乙跑第四棒”，則P(A)＝，P(B)＝.
記甲跑第x棒，乙跑第y棒為(x，y)，
則共有可能結果12種，樣本空間Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}．
甲跑第一棒，乙跑第四棒只有一種結果，即(1，4)，故P(A∩B)＝.
所以，甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝.
1．若A，B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，則P(B)等于(　　)
A．0.3　　　B．0.7　　　C．0.1　　　D．1
A　[∵A，B是互斥事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5，∵P(A)＝0.2，∴P(B)＝0.5－0.2＝0.3．故選A.]
2．從一批羽毛球產品中任取一個，如果其質量小于4.8 g的概率為0.3，質量不小于4.85 g的概率為0.32，那么質量在[4.8，4.85) g范圍內的概率是(　　)
A．0.62 　 B．0.38
C．0.70 　 D．0.68
B　[質量在[4.8，4.85) g范圍內的概率P＝1－0.3－0.32＝0.38．]
3．已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.2．
(1)如果B A，則P(A∪B)＝__________，P(AB)＝________；
(2)如果A，B互斥，則P(A∪B)＝_______，P(AB)＝________．
(1)0.4　0.2　(2)0.6　0　[(1)因為B A，所以P(A∪B)＝P(A)＝0.4，P(AB) ＝P(B)＝0.2．
(2)如果A，B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.2＝0.6．P(AB)＝P( )＝0．]
4．一個電路板上裝有甲、乙兩根熔絲，甲熔斷的概率為0.85，乙熔斷的概率為0.74，兩根同時熔斷的概率為0.63，則至少有一根熔斷的概率為________．
0.96　[設A＝“甲熔絲熔斷”，B＝“乙熔絲熔斷”，則甲、乙兩根熔絲至少有一根熔斷”為事件A∪B.
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.85＋0.74－0.63＝0.96．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．若事件A和事件B為互斥事件，那么P(A)，P(B)，P(A∪B)有什么關系？
[提示]　P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
2．若事件A和事件B不是互斥事件，那么P(A)，P(B)，P(A∪B)有什么關系？
[提示]　P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
3．若事件A和事件B是對立事件，那么P(A)，P(B)有什么關系？
[提示]　P(A)＋P(B)＝1．
課時分層作業(四十七)　概率的基本性質
一、選擇題
1．某學校高一年級派甲、乙兩個班參加學校組織的拔河比賽，甲、乙兩個班取得冠軍的概率分別為和，則該年級在拔河比賽中取得冠軍的概率為(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
A　[甲班取得冠軍和乙班取得冠軍是兩個互斥事件，該校高一年級取得冠軍是這兩個互斥事件的和事件，其概率為兩個互斥事件的概率之和，即為.故選A.]
2．若A，B是互斥事件，則(　　)
A．P(A∪B)<1 　 B．P(A∪B)＝1
C．P(A∪B)>1 　 D．P(A∪B)≤1
D　[∵A，B互斥，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)≤1(當A，B對立時，P(A∪B)＝1)．]
3．若某群體中的成員只用現金支付的概率為0.45，既用現金支付也用非現金支付的概率為0.15，則不用現金支付的概率為(　　)
A．0.3 　B．0.4 　C．0.6 　D．0.7
B　[設事件A為“只用現金支付”，事件B為“既用現金支付也用非現金支付”，事件C為“不用現金支付”，則P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，所以P(C)＝1－P(A)－P(B)＝0.4．故選B.]
4．某學校組織參加興趣小組，其中有82%的學生選擇數學小組，60%的學生選擇英語小組，96%的學生選擇數學或英語小組，則該學校既選擇數學小組又選擇英語小組的學生數占該校學生總數的比例是(　　)
A．62% 　B．56% 　C．46% 　D．42%
C　[設“選擇數學小組”為事件A，“選擇英語小組”為事件B，則“選擇數學或英語小組”為事件A＋B，“既選擇數學小組又選擇英語小組”為事件AB，
依題意得P(A)＝82%，P(B)＝60%，P(A∪B)＝96%，
所以P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝82%＋60%－96%＝46%.
故該學校既選擇數學小組又選擇英語小組的學生數占該校學生總數的比例是46%.]
5．若隨機事件A，B互斥，A，B發生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，則實數a的取值范圍是(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
D　[由題意可知
即
即解得＜a≤.]
二、填空題
6．事件A，B互斥，它們都不發生的概率為，且P(A)＝2P(B)，則P(A)＝________．
　[因為事件A，B互斥，它們都不發生的概率為，
所以P(A)＋P(B)＝1－.
又因為P(A)＝2P(B)，所以P(A)＋P(A)＝，
解得P(A)＝.]
7．已知盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知從中取出2粒都是黑子的概率是，從中取出2粒都是白子的概率是，現從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．
　[從中取出2粒棋子，“都是黑棋子”記為事件A，“都是白棋子”記為事件B，則A，B為互斥事件．所求概率為P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝.]
8．如圖所示，靶子由一個中心圓面Ⅰ和兩個同心圓環Ⅱ、Ⅲ構成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分別為0.35，0.30，0.25，則不命中靶的概率是________．
0.10　[“射手命中圓面Ⅰ”為事件A，“命中圓環Ⅱ”為事件B，“命中圓環Ⅲ”為事件C，“不中靶”為事件D，則A，B，C彼此互斥，故射手中靶的概率為P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90．
因為中靶和不中靶是對立事件，故不命中靶的概率為P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.90＝0.10．]
三、解答題
9． (源自湘教版教材)某企業有三個分廠，現將男女職工人數統計如下：
項目 第一分廠 第二分廠 第三分廠 總計
男 400人 350人 250人 1 000人
女 100人 50人 50人 200人
總計 500人 400人 300人 1 200人
若從中任意抽取一名職工，則該職工是女性或是第三分廠職工的概率是多少？
[解]　設A＝“抽到女工”，B＝“抽到第三分廠職工”，則
P(A)＝，P(B)＝，P(A∩B)＝，
因此，該職工是女性或是第三分廠職工的概率為
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)
＝
＝.
10．(2022·北京豐臺期中)在一次隨機試驗中，其中3個事件A1，A2，A3的概率分別為0.2，0.3，0.5，則下列說法中正確的是(　　)
A．A1＋A2與A3是互斥事件，也是對立事件
B．A1＋A2＋A3是必然事件
C．P(A2∪A3)＝0.8
D．P(A1＋A2)≤0.5
D　[由已知條件可知，一次隨機試驗中產生的事件可能不止事件A1，A2，A3這三個事件，故P(A1∪A2∪A3)≤P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝1，從而AB錯誤； P(A2∪A3)≤P(A2)＋P(A3)＝0.8，故C錯誤；
P(A1＋A2)≤P(A1)＋P(A2)＝0.5，故D正確．故選D.]
11．已知隨機事件發生的概率滿足P(A∪B)＝，某人猜測事件發生，則此人猜測正確的概率為(　　)
A．1 　B． 　C． 　D．0
C　[事件＝1－P(A∪B)＝1－，故選C.]
12．(多選)黃種人群中各種血型的人所占的比例如下表所示：
血型 A B AB O
該血型的人所占比例 0.28 0.29 0.08 0.35
已知同種血型的人可以輸血，O型血可以給任何一種血型的人輸血，任何血型的人都可以給AB血型的人輸血，其他不同血型的人不能互相輸血．下列結論正確的是(　　)
A．任找一個人，其血可以輸給B型血的人的概率是0.64
B．任找一個人，B型血的人能為其輸血的概率是0.29
C．任找一個人，其血可以輸給O型血的人的概率為1
D．任找一個人，其血可以輸給AB型血的人的概率為1
AD　[任找一個人，其血型為A，B，AB，O型血的事件分別為A′，B′，C′，D′，它們兩兩互斥．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35．因為B，O型血可以輸給B型血的人，所以“可以輸給B型血的人”為事件B′∪D′，根據概率的加法公式，得P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64，A正確；B型血的人能為B型、AB型的人輸血，其概率為0.29＋0.08＝0.37，B錯誤；由O型血只能接受O型血的人輸血知，C錯誤；由任何血型的人都可以給AB血型的人輸血，知D正確．]
13．拋擲一枚質地均勻的骰子，向上的一面出現任意一種點數的概率都是，記事件A為“向上的點數是奇數”，事件B為“向上的點數不超過3”，則概率P(A∪B)＝________．
　[拋擲一枚質地均勻的骰子，向上的一面出現任意一種點數的概率都是，
所以P(A)＝，P(B)＝，P(A∩B)＝，
所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝.]
14．袋中有外形、質量完全相同的紅球、黑球、黃球、綠球共12個，從中任取一球，得到紅球的概率是，得到黑球或黃球的概率是，得到黃球或綠球的概率也是.
(1)試分別求得到黑球、黃球、綠球的概率；
(2)從中任取一球，求得到的不是紅球也不是綠球的概率．
[解]　(1)從袋中任取一球，記“得到紅球”“得到黑球”“得到黃球”“得到綠球”分別為事件A，B，C，D，它們彼此互斥，
則P(A)＝，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝，
P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝，P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－.
則聯立
解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，
故得到黑球、黃球、綠球的概率分別為.
(2)事件“得到紅球或綠球”可表示為事件A∪D，由(1)及互斥事件的概率加法公式得P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝，
故得到的不是紅球也不是綠球的概率
P＝1－P(A∪D)＝1－.
15．某商場在元旦舉行購物抽獎促銷活動，規定顧客從裝有編號為0，1，2，3，4的五個相同小球的抽獎箱中一次任意摸出兩個小球，若取出的兩個小球的編號之和等于7，則中一等獎；等于6或5，則中二等獎；等于4，則中三等獎；其余結果不中獎．
(1)求中二等獎的概率；
(2)求不中獎的概率．
[解]　從五個小球中一次任意摸出兩個小球，不同的結果有(0，1)，(0，2)，(0，3)，(0，4)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共10種．記兩個小球的編號之和為x.
(1)記“中二等獎”為事件A.由題意可知，事件A包括兩個互斥事件：x＝5，x＝6．
事件x＝5的取法有2種，即(1，4)，(2，3)，故P(x＝5)＝；
事件x＝6的取法有1種，即(2，4)，故P(x＝6)＝.
所以P(A)＝P(x＝5)＋P(x＝6)＝.
(2)記“不中獎”為事件B，則“中獎”為事件包括三個互斥事件：中一等獎(x＝7)，中二等獎(事件A)，中三等獎(x＝4)．事件x＝7的取法有1種，即(3，4)，故P(x＝7)＝；
事件x＝4的取法有(0，4)，(1，3)，共2種，
故P(x＝4)＝.由(1)可知，P(A)＝.
所以P＝P(x＝7)＋P(x＝4)＋P(A)＝.
所以不中獎的概率P(B)＝1－.10.2　事件的相互獨立性
學習任務 1．結合有限樣本空間，了解兩個隨機事件獨立性的含義．(數學抽象) 2．結合古典概型，利用獨立性計算概率．(數學運算)
3張獎券只有1張能中獎，3名同學有放回地抽取．事件A為“第一名同學沒有抽到中獎獎券”，事件B為“第三名同學抽到中獎獎券”．事件A的發生是否會影響B發生的概率？
知識點　事件的相互獨立性
1．相互獨立事件的定義
對任意兩個事件A與B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立．
2．相互獨立事件的性質
當事件A，B相互獨立時，則事件A與事件相互獨立，事件與事件B相互獨立，事件與事件相互獨立．
思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)不可能事件與任何一個事件相互獨立． (　　)
(2)必然事件與任何一個事件相互獨立． (　　)
(3)若兩個事件互斥，則這兩個事件相互獨立． (　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)×
類型1　獨立性的判斷
【例1】　(源自湘教版教材)一個家庭中有若干小孩，假定生男孩與生女孩是等可能的，設A＝“一個家庭中既有男孩又有女孩”，B＝“一個家庭中最多有一個女孩”，對下述兩種情形，討論事件A與B的獨立性：
(1)家庭中有兩個小孩；
(2)家庭中有三個小孩．
[解]　(1)有兩個小孩的家庭，樣本空間
Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4個基本事件，由等可能性知概率各為，這時A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，A∩B＝{(男，女)，(女，男)}．
于是P(A)＝，P(B)＝，P(A∩B)＝.
由此可知P(A∩B)≠P(A)P(B)，
所以事件A，B不獨立．
(2)有三個小孩的家庭，樣本空間
Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．
由等可能性知這8個基本事件的概率均為，這時A含有6個基本事件，B含有4個基本事件，A∩B含有3個基本事件，于是P(A)＝，P(B)＝，P(A∩B)＝.
顯然有P(A∩B)＝＝P(A)P(B)成立，從而事件A與B是獨立的．
　判斷兩個事件相互獨立的方法
(1)定量法：利用P(AB)＝P(A)P(B)是否成立可以準確地判斷兩個事件是否相互獨立．
(2)定性法：直觀地判斷一個事件發生與否對另一個事件的發生的概率是否有影響，若沒有影響就是相互獨立事件．
[跟進訓練]
1．擲一枚質地均勻的硬幣，記事件A表示“出現正面”，事件B表示“出現反面”，則(　　)
A．A與B相互獨立
B．P(AB)＝P(A)P(B)
C．A與不相互獨立
D．P(AB)＝
C　[由題得P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝0，故A與不相互獨立，A，B，D不正確．故選C.]
類型2　相互獨立事件概率的計算
【例2】　甲、乙、丙3位大學生同時應聘某個用人單位的職位，3人能被選中的概率分別為，且各自能否被選中互不影響．求：
(1)3人同時被選中的概率；
(2)3人中恰有1人被選中的概率．
[解]　記甲、乙、丙能被選中的事件分別為A，B，C，
則P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)3人同時被選中的概率P1＝P(ABC)＝P(A)·P(B)P(C)＝.
(2)3人中恰有1人被選中的概率P2＝P＝.
[母題探究]
1．本例條件不變，求3人中至少有1人被選中的概率．
解：法一：3人中有2人被選中的概率P3＝＝＋＋.
由本例第(1)(2)問可知，3人中至少有1個被選中的概率為P＝P1＋P2＋P3＝.
法二：3人均未被選中的概率P＝P＝.
因為“3人中至少有1人被選中”與“3人均未被選中”互為對立事件，所以“3人中至少有1人被選中”的概率為1－.
2．若本例條件“3人能被選中的概率分別為”變為“甲、乙兩人恰有一人被選中的概率為，兩人都被選中的概率為，丙被選中的概率為”，求恰好有2人被選中的概率．
[解]　設甲、乙兩人恰有一人被選中為事件A，甲、乙都被選中為事件B，丙被選中為事件C，則恰好有2人被選中的概率P＝P(A)P(C)＋P(B)P＝.
　事件間的獨立性關系
已知兩個事件A，B相互獨立，它們的概率分別為P(A)，P(B)，則有
事件 表示 概率
A，B同時發生 AB P(A)P(B)
A，B都不發生 PP
A，B恰有一個發生 ∪ P(A)P＋PP(B)
A，B中至少有一個發生 ∪∪(AB) P(A)P＋PP(B)＋P(A)P(B)
A，B中至多有一個發生 ∪∪ P(A)P＋PP(B)＋PP
[跟進訓練]
2．甲、乙兩個人獨立地破譯一個密碼，他們能譯出密碼的概率分別為和，求：
(1)兩個人都譯出密碼的概率；
(2)兩個人都譯不出密碼的概率；
(3)恰有一個人譯出密碼的概率；
(4)至多一個人譯出密碼的概率；
(5)至少一個人譯出密碼的概率．
[解]　記“甲獨立地譯出密碼”為事件A，“乙獨立地譯出密碼”為事件B，A與B為相互獨立事件，且P(A)＝，P(B)＝.
(1)“兩個人都譯出密碼”的概率為P(AB)＝P(A)P(B)＝.
(2)“兩個人都譯不出密碼”概率為P＝PP＝[1－P(A)]×[1－P(B)]＝.
(3)“恰有一個人譯出密碼”可以分為兩類，即甲譯出乙未譯出以及甲未譯出乙譯出，且兩個事件為互斥事件，
所以恰有一個人譯出密碼的概率為P＝P＋P
＝P(A)P＋PP(B)
＝.
(4)“至多一個人譯出密碼”的對立事件為“兩個人都譯出密碼”，所以至多一個人譯出密碼的概率為1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－.
(5) “至少一個人譯出密碼”的對立事件為“兩個人都譯不出密碼”，所以至少一個人譯出密碼的概率為1－P＝1－.
類型3　相互獨立事件的概率的綜合應用
【例3】　三個元件T1，T2，T3正常工作的概率分別為，將它們中的兩個元件T2，T3并聯后再和第三個元件T1串聯接入電路，如圖所示，求電路不發生故障的概率．
[解]　記“三個元件T1，T2，T3正常工作”分別為事件A1，A2，A3，
則P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，
不發生故障的事件為(A2∪A3)A1．
法一：(直接法)
電路不發生故障的概率為P＝P[(A2∪A3)A1]＝P＝.
法二：(間接法)
電路不發生故障的概率為
P＝P[(A2∪A3)A1]＝P(A2∪A3)·P(A1)
＝[·P]·P(A1)
＝.
　求較復雜事件的概率的一般步驟
(1)列出題中涉及的各個事件，并且用適當的符號表示．
(2)理清事件之間的關系(兩個事件是互斥還是對立，或者是相互獨立的)，列出關系式．
(3)根據事件之間的關系準確選取概率公式進行計算．
(4)當直接計算符合條件的事件的概率較復雜時，可先間接地計算其對立事件的概率，再求出符合條件的事件的概率．
[跟進訓練]
3．甲、乙二人進行一次圍棋比賽，一共賽5局，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，同時比賽結束．假設在一局中，甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，各局比賽結果相互獨立．已知前2局中，甲、乙各勝1局．
(1)求再賽2局結束這次比賽的概率；
(2)求甲獲得這次比賽勝利的概率．
[解]　記Ai表示事件“第i局甲獲勝”，i＝3，4，5，
Bj表示事件“第j局乙獲勝”，j＝3，4，5．
(1)記A表示事件“再賽2局結束比賽”．
A＝(A3A4)∪(B3B4)．
由于各局比賽結果相互獨立，故
P(A)＝P((A3A4)∪(B3B4))＝P(A3A4)＋P(B3B4)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52．
(2)記事件B表示“甲獲得這次比賽的勝利”．
因前2局中，甲、乙各勝1局，故甲獲得這次比賽的勝利當且僅當在后面的比賽中，甲先勝2局，從而B＝(A3A4)∪(B3A4A5)∪(A3B4A5)，
由于各局比賽結果相互獨立，
故P(B)＝P(A3A4)＋P(B3A4A5)＋P(A3B4A5)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)·P(A5)＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648．
1．一袋中裝有5只白球，3只黃球，在有放回地摸球中，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，則事件A1與是(　　)
A．相互獨立事件　　 B．不相互獨立事件
C．互斥事件 　 D．對立事件
A　[由題意可得表示“第二次摸到的不是白球”，即表示“第二次摸到的是黃球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黃球或白球互不影響，故事件A1與是相互獨立事件．]
2．甲、乙去同一家藥店購買一種醫用外科口罩，已知這家藥店出售A，B，C三種醫用外科口罩，甲、乙購買A，B，C三種醫用外科口罩的概率分別如表：
項目 購買A種醫 用外科口罩 購買B種 醫用外科口罩 購買C種醫 用外科口罩
甲 0.1 0.4
乙 0.3 0.2
則甲、乙購買的是同一種醫用外科口罩的概率為(　　)
A．0.24　　 B．0.28
C．0.30 　 D．0.32
B　[由表知，甲購買A口罩的概率為0.5，乙購買B口罩的概率為0.5，
所以甲、乙購買同一種口罩的概率P＝0.5×0.3＋0.1×0.5＋0.4×0.2＝0.28．]
3．已知A，B是相互獨立事件，且P(A)＝，P(B)＝，則P＝________，P＝________．
　[因為P(A)＝，P(B)＝.
所以P＝，P＝.
所以P＝P(A)P＝，
P＝PP＝.]
4．在同一時間內，甲、乙兩個氣象臺獨立預報天氣準確的概率分別為和.在同一時間內，求：
(1)甲、乙兩個氣象臺同時預報天氣準確的概率為______；
(2)至少有一個氣象臺預報準確的概率為________．
(1)　(2)　[記“甲氣象臺預報天氣準確”為事件A，“乙氣象臺預報天氣準確”為事件B.
(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝.
(2)至少有一個氣象臺預報準確的概率為P＝1－＝1－PP＝1－.]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．相互獨立事件的定義是什么？具有哪些性質？
[提示]　對任意兩個事件A與B，如果P(AB)＝ P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨立．若A，B相互獨立，則也是相互獨立．
2．相互獨立事件與互斥事件有什么區別？
[提示]　相互獨立事件與互斥事件的區別
相互獨立事件 互斥事件
條件 事件A(或B)是否發生對事件B(或A)發生的概率沒有影響 不可能同時發生的兩個事件
符號 相互獨立事件A，B同時發生，記作：AB 互斥事件A，B中有一個發生，記作：A∪B(或A＋B)
計算公式 P(AB)＝P(A)·P(B) P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
課時分層作業(四十八)　事件的相互獨立性
一、選擇題
1．從應屆高中生中選飛行員，已知這批學生體形合格的概率為，視力合格的概率為，其他綜合標準合格的概率為，從中任選一學生，則三項均合格的概率為(假設三項標準互不影響)(　　)
A．　 　B．　 　C．　 　D．
B　[由題意知三項標準互不影響，∴P＝.]
2．一件產品要經過2道獨立的加工程序，第一道工序的次品率為a，第二道工序的次品率為b，則產品的正品率為(　　)
A．1－a－b
B．1－ab
C．(1－a)(1－b)
D．1－(1－a)(1－b)
C　[因為2道工序相互獨立，所以產品的正品率為(1－a)·(1－b)．]
3．(2021·新高考Ⅰ卷)有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球．甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則(　　)
A．甲與丙相互獨立 　 B．甲與丁相互獨立
C．乙與丙相互獨立 　 D．丙與丁相互獨立
B　[事件甲發生的概率P(甲)＝，事件乙發生的概率P(乙)＝，事件丙發生的概率P(丙)＝，事件丁發生的概率P(丁)＝.事件甲與事件丙同時發生的概率為0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A錯誤；事件甲與事件丁同時發生的概率為，P(甲丁)＝P(甲)P(丁)，故B正確；事件乙與事件丙同時發生的概率為，P(乙丙)≠P(乙)P(丙)，故C錯誤；事件丙與事件丁是互斥事件，不是相互獨立事件，故D錯誤．故選B.]
4．某大街在甲、乙、丙三處設有紅綠燈，汽車在這三處因遇綠燈而通行的概率分別是，則汽車在這三處因遇紅燈而停車一次的概率為(　　)
A． 　B． 　C． 　D．
D　[設汽車分別在甲、乙、丙三處通行為事件A，B，C，則P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
停車一次即為事件，
故概率為P＝.]
5．(多選)從甲袋中摸出一個紅球的概率是，從乙袋中摸出一個紅球的概率是，從兩袋中各摸出一個球，下列結論正確的是(　　)
A．2個球都是紅球的概率為
B．2個球不都是紅球的概率為
C．至少有1個紅球的概率為
D．2個球中恰有1個紅球的概率為
ACD　[設“從甲袋中摸出一個紅球”為事件A1，“從乙袋中摸出一個紅球”為事件A2，則P(A1)＝，P(A2)＝，且A1，A2相互獨立.2個球都是紅球為A1A2，其概率為，A正確；“2個球不都是紅球”是“2個球都是紅球”的對立事件，其概率為，B錯誤；2個球中至少有1個紅球的概率為1－PP＝1－，C正確； 2個球中恰有1個紅球的概率為，D正確．故選ACD.]
二、填空題
6．有甲、乙兩批種子，發芽率分別為0.8和0.9．在兩批種子中各取一粒，則恰有一粒種子能發芽的概率是________．
0.26　[所求概率P＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26．]
7．設某批電子手表的正品率為，次品率為，現對該批電子手表進行檢測，每次抽取一個電子手表，假設每次檢測相互獨立，則第3次首次檢測到次品的概率為________．
　[因為第3次首次檢測到次品，所以第1次和第2次檢測到的都是正品，第3次檢測到的是次品，所以第3次首次檢測到次品的概率為.]
8．在一次三人象棋對抗賽中，甲勝乙的概率為0.4，乙勝丙的概率為0.5，丙勝甲的概率為0.6，比賽順序如下：第一局，甲對乙；第二局，第一局勝者對丙；第三局，第二局勝者對第一局敗者；第四局，第三局勝者對第二局敗者，則乙連勝四局的概率為________．
0.09　[乙連勝四局，即乙先勝甲，然后勝丙，接著再勝甲，最后再勝丙，∴概率P＝(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09．]
三、解答題
9．計算機考試分理論考試與實際操作考試兩部分，每部分考試成績只記“合格”與“不合格”，兩部分考試都“合格”者，則計算機考試“合格”，并頒發合格證書．
甲、乙、丙三人在理論考試中“合格”的概率依次為，在實際操作考試中“合格”的概率依次為，甲、乙、丙每部分考試是否合格互不影響，且三人兩部分考試結果也互不影響．
(1)假設甲、乙、丙三人同時進行理論與實際操作兩項考試，誰獲得合格證書的可能性更大？
(2)這三人進行理論與實際操作兩項考試后，求恰有兩人獲得合格證書的概率．
[解]　(1)記事件A＝“甲獲得合格證書”，事件B＝“乙獲得合格證書”，事件C＝“丙獲得合格證書”，則P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
因為P(C)＞P(B)＞P(A)，所以丙獲得合格證書的可能性更大．
(2)設事件D＝“三人考試后恰有兩人獲得合格證書”，則
P(D)＝P＋P＋P＝，
即甲、乙、丙三人進行理論與實際操作兩項考試后，恰有兩人獲得合格證書的概率為.
10．若P(AB)＝，P＝，P(B)＝，則下列關于事件A與B關系的判斷，正確的是(　　)
A．事件A與B互斥
B．事件A與B相互對立
C．事件A與B相互獨立
D．事件A與B互斥且相互獨立
C　[因為P(A)＝1－P＝1－，
而P(B)＝，所以P(A)P(B)＝.
又因為P(AB)＝，所以P(AB)＝P(A)P(B)，
所以事件A與B相互獨立．]
11．一個電路如圖所示，A，B，C，D，E，F為6個開關，其閉合的概率都是，且是否閉合是相互獨立的，則燈亮的概率是(　　)
A． 　B． 　C． 　D．
A　[設事件G＝“C閉合”，事件H＝“D閉合”，事件T＝“A與B中至少有一個不閉合”，事件R＝“E與F中至少有一個不閉合”，則P(G)＝P(H)＝，P(T)＝P(R)＝1－，所以燈亮的概率P＝1－P(T)P(R)PP＝.]
12．(多選)甲、乙兩隊進行排球比賽，采取五局三勝制(當一隊贏得三場勝利時，該隊獲勝，比賽結束)．根據前期比賽成績可知在每一局比賽中，甲隊獲勝的概率為，乙隊獲勝的概率為.若前兩局中乙隊以2∶0領先，則下列結論正確的是(　　)
A．甲隊獲勝的概率為
B．乙隊以3∶0獲勝的概率為
C．乙隊以3∶1獲勝的概率為
D．乙隊以3∶2獲勝的概率為
AB　[對于A，在乙隊以2∶0領先的前提下，若甲隊獲勝則第三、四、五局均為甲隊取勝，所以甲隊獲勝的概率為P1＝，故A正確；
對于B，乙隊以3∶0獲勝，即第三局乙獲勝，概率為，故B正確；
對于C，乙隊以3∶1獲勝，即第三局甲獲勝，第四局乙獲勝，概率為，故C錯誤；
對于D，若乙隊以3∶2獲勝，則第五局為乙隊取勝，第三、四局乙隊輸，所以乙隊以3∶2獲勝的概率為，故D錯誤．]
13．荷花池中，有一只青蛙在成“品”字形的三片荷葉上跳來跳去(每次跳躍時，均從一葉跳到另一葉)，而且沿逆時針方向跳的概率是沿順時針方向跳的概率的2倍，如圖所示．假設現在青蛙在A葉上，則跳三次之后停在A葉上的概率是________．
　[由題意知，青蛙沿逆時針方向跳的概率是，沿順時針方向跳的概率是.青蛙跳三次要回到A葉上只有兩條途徑：第一條，按A→B→C→A，此時停在A葉上的概率P1＝；第二條，按A→C→B→A，此時停在A葉上的概率P2＝.
所以跳三次之后停在A葉上的概率P＝P1＋P2＝.]
14．在某校運動會中，甲、乙、丙三支足球隊進行單循環賽(即每兩隊比賽一場)，共賽三場，每場比賽勝者得3分，負者得0分，沒有平局．在每一場比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為.
(1)求甲隊獲第一名且丙隊獲第二名的概率；
(2)求在該次比賽中甲隊至少得3分的概率．
[解]　(1)設甲隊獲第一名且丙隊獲第二名為事件A，則P(A)＝.
(2)甲隊至少得3分有兩種情況：兩場只勝一場；兩場都勝．設事件B為“甲兩場只勝一場”，設事件C為“甲兩場都勝”，則事件“甲隊至少得3分”為B∪C，
則P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝.
15．如圖所示，用A，B，C，D四種不同的元件分別連接成兩個系統M，N.當元件A，B都正常工作或元件C正常工作或元件D正常工作時，系統M正常工作；當元件A，B都正常工作或元件B，D都正常工作或元件C正常工作時，系統N正常工作．已知A，B，C，D四種元件正常工作的概率分別為0.5，0.9，0.7，0.8，且各元件是否正常工作是彼此獨立的．試從能否正常工作的角度判斷兩個系統中哪一個的連接方式更為合理．
[解]　由題意知，元件A正常工作的概率為p1＝0.5，元件B正常工作的概率p2＝0.9，元件C正常工作的概率p3＝0.7，元件D正常工作的概率p4＝0.8，
則系統M正常工作的概率為1－(1－p1p2)(1－p3)(1－p4)＝1－(1－0.5×0.9)×(1－0.7)×(1－0.8)＝1－0.033＝0.967，系統N正常工作的概率為1－{1－[1－(1－p1)(1－p4)]·p2}·(1－p3)＝1－[1－(1－0.5×0.2)×0.9]×0.3＝1－0.057＝0.943．
因為0.967＞0.943，所以系統M的連接方式更為合理．10.3　頻率與概率
10.3.1　頻率的穩定性
學習任務 1．了解概率的意義以及頻率與概率的區別．(數學抽象) 2． 結合實例，會用頻率估計概率．(數學運算)
小剛拋擲一枚硬幣100次，出現正面朝上48次．由此估計試驗中該硬幣正面朝上的頻率是多少？若再拋擲一枚硬幣一次，出現正面朝上的概率是多少？
知識點　頻率的穩定性
1．頻率的穩定性
一般地，隨著試驗次數n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發生的頻率fn(A)會逐漸穩定于事件A發生的概率P(A)，我們稱頻率的這個性質為頻率的穩定性．
2．頻率穩定性的作用
可以用頻率fn(A)估計概率P(A)．
思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)隨機事件的頻率和概率不可能相等． (　　)
(2)隨機事件的頻率和概率都隨著試驗次數的變化而變化． (　　)
(3)概率能反映隨機事件發生可能性的大小，而頻率則不能． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
類型1　頻率和概率的關系
【例1】　(1)若在同等條件下進行n次重復試驗得到某個事件A發生的頻率f(n)，則隨著n的逐漸增大，有(　　)
A．f(n)與某個常數相等
B．f(n)與某個常數的差逐漸減小
C．f(n)與某個常數的差的絕對值逐漸減小
D．f(n)在某個常數的附近擺動并趨于穩定
(2)下列關于概率和頻率的敘述中正確的有________．(把符合條件的所有答案的序號填在橫線上)
①隨機事件的頻率就是概率；
②隨機事件的概率是一個確定的數值，而頻率不是一個確定的數值；
③頻率是客觀存在的，與試驗次數無關；
④概率是隨機的，在試驗前不能確定；
⑤概率可以看作頻率在理論上的期望值，它從數量上反映了隨機事件發生的可能性大小，而頻率在大量重復試驗的前提下可近似地看作這個事件的概率．
(1)D　(2)②⑤　[(1)由頻率和概率的關系知，在同等條件下進行n次重復試驗得到某個事件A發生的頻率f(n)，隨著n的逐漸增加，頻率f(n)逐漸趨近于概率．故選D.
(2)隨機事件的頻率是概率的近似值，頻率不是概率，故①錯誤；隨機事件的頻率不是一個確定的數值，而概率是一個確定的數值，故②正確；頻率是隨機的，它與試驗條件、次數等有關，而概率是確定的值，與試驗次數無關，故③④錯誤；由頻率與概率的關系可知⑤正確．]
　頻率與概率的關系
頻率反映了一個隨機事件出現的頻繁程度，頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，通常用概率來反映隨機事件發生的可能性的大小，有時也用頻率來作為隨機事件概率的估計值．通過大量的重復試驗，事件發生的頻率會逐漸趨近于某一個常數，這個常數就是概率．
[跟進訓練]
1．在n次重復進行的試驗中，事件A發生的頻率為，當n很大時，那么P(A)與的大小關系是(　　)
A．P(A)≈　　　　 B．P(A)<
C．P(A)> 　 D．P(A)＝
A　[在n次重復進行的試驗中，事件A發生的頻率為，當n很大時，越來越接近P(A)，因此我們可以用近似地代替P(A)．故選A.]
類型2　用隨機事件的頻率估計其概率
【例2】　某公司為了解當地用戶對其產品的滿意度，從該地的A，B兩地區分別隨機調查了40名用戶，根據用戶對產品的滿意度評分(單位：分)，得到A地區的用戶滿意度評分的頻率分布直方圖(如圖)和B地區的用戶滿意度評分的頻數分布表(如表1)．
表1
滿意度評分 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
頻數 2 8 14 10 6
(1)分別估計A，B兩地區樣本用戶滿意度評分低于70分的頻率．
(2)根據用戶滿意度評分，將用戶的滿意度分為三個等級(如表2)，將頻率看作概率，從A，B兩地區的用戶中各隨機抽查一名用戶進行調查，求至少有一名用戶評分滿意度等級為“滿意”或“非常滿意”的概率．
表2
滿意度評分 低于70分 [70，90) [90，100]
滿意度等級 不滿意 滿意 非常滿意
[解]　(1)由題圖可得(0.005＋0.010＋0.015＋0.020×2＋a)×10＝1，解得a＝0.030，
估計A地區樣本用戶滿意度評分低于70分的頻率為(0.010＋0.020＋0.030)×10＝0.6，估計B地區樣本用戶滿意度評分低于70分的頻率為＝0.25．
(2)根據樣本頻率可以估計總體頻率，
記事件M表示“從A地區隨機抽取一名用戶滿意度評級為不滿意”，則P＝0.6．
記事件N表示“從B地區隨機抽取一名用戶滿意度評級為不滿意”，則P＝0.25．
易知事件M和事件N相互獨立，則事件相互獨立．
記事件C表示“至少有一名用戶評分滿意度等級為‘滿意’或‘非常滿意’”，
則P＝1－0.6×0.25＝0.85，
故至少有一名用戶評分滿意度等級為“滿意”或“非常滿意”的概率為0.85．
　解此類題目的步驟：先利用頻率的計算公式依次計算頻率，然后用頻率估計概率．
[跟進訓練]
2．某保險公司利用簡單隨機抽樣的方法，對投保的車輛進行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結果統計如下：
賠償金額(元) 0 1 000 2 000 3 000 4 000
車輛數(輛) 500 130 100 150 120
(1)若每輛車的投保金額為2 800元，估計賠付金額大于投保金額的概率；
(2)在樣本車輛中，車主是新司機的占10%，在賠付金額為4 000元的樣本車輛中，車主是新司機的占20%，估計在已投保車輛中，新司機獲賠金額為4 000元的概率．
[解]　(1)車輛數為500＋130＋100＋150＋120＝1 000．設A表示事件“賠付金額為3 000元”，B表示事件“賠付金額為4 000元”，以頻率估計概率得P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12，由于投保金額為2 800元，賠付金額大于投保金額的情形是賠付3 000元和4 000元，A與B互斥，所以所求概率為P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27．
(2)設C表示事件“投保車輛中新司機獲賠4 000元”，由已知，樣本車輛中車主是新司機的有0.1×1 000＝100(位)，而賠付金額為4 000元的車輛中車主為新司機的有0.2×120＝24(位)，所以樣本車輛中新司機車主獲賠金額為4 000元的頻率為＝0.24，由頻率估計概率得P(C)＝0.24．
類型3　概率思想的實際應用
【例3】　設有外形完全相同的兩個箱子，甲箱中有99個白球，1個黑球，乙箱中有1個白球，99個黑球．先隨機地抽取一箱，再從取出的一箱中抽取一球，結果取得白球．推斷這球是從哪一個箱子中取出的？
[解]　甲箱中有99個白球，1個黑球，故隨機地取出一球，得到白球的可能性是.乙箱中有1個白球，99個黑球，從中任取一球，得到白球的可能性是.由此可見，這一白球從甲箱中抽出的概率比從乙箱中抽出的概率大得多．既然在一次抽樣中抽到白球，當然可以認為是從概率大的箱子中取出的．所以我們作出統計推斷：該白球是從甲箱中取出的．
　概率是描述隨機事件發生的可能性大小的一個數量，在一次試驗中，概率大的事件比概率小的事件出現的可能性更大．
[跟進訓練]
3．為了估計某自然保護區中天鵝的數量，可以使用以下方法：先從該保護區中捕出一定數量的天鵝，如200只，給每只天鵝作上記號且不影響其存活，然后放回保護區，經過適當的時間，讓它們和保護區中其余的天鵝充分混合，再從保護區中捕出一定數量的天鵝，如150只．查看其中有記號的天鵝，設有20只，試根據上述數據，估計該自然保護區中天鵝的數量．
[解]　設保護區中天鵝的數量為n，假設每只天鵝被捕到的可能性是相等的，從保護區中任捕一只，設事件A＝{捕到帶有記號的天鵝}，則P(A)＝.
從保護區中捕出150只天鵝，其中有20只帶有記號，由概率的定義可知P(A)≈.
由，解得n≈1 500，所以該自然保護區中天鵝的數量約為1 500只．
1．某人將一枚硬幣連擲10次，正面朝上的情況出現了8次，若用A表示“正面朝上”這一事件，則A的(　　)
A．概率為　　 B．頻率為
C．頻率為8 　 D．概率接近于8
B　[做n次隨機試驗，事件A發生了m次，則事件A發生的頻率為.如果多次進行試驗，事件A發生的頻率總在某個常數附近擺動，那么這個常數才是事件A的概率，故為事件A的頻率．]
2．“某彩票的中獎概率為”意味著(　　)
A．買100張彩票就一定能中獎
B．買100張彩票能中一次獎
C．買100張彩票一次獎也不中
D．購買彩票中獎的可能性為
D　[某彩票的中獎率為，意味著中獎的可能性為，可能中獎，也可能不中獎．]
3．已知隨機事件A發生的頻率是0.02，事件A出現了10次，那么共進行了________次試驗．
500　[設進行了n次試驗，則有＝0.02，得n＝500，故進行了500次試驗．]
4．如果袋中裝有數量差別很大而大小相同的白球和黃球(只是顏色不同)若干個，從中任取1球，取了10次有7個白球，估計袋中數量較多的是________球．
白　[取10次球有7次是白球，則取出白球的頻率是0.7，故可估計袋中數量較多的是白球．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
頻率和概率有什么區別和聯系？
[提示]　
名稱 區別 聯系
頻率 本身是隨機的，在試驗之前無法確定，大多會隨著試驗次數的改變而改變．做同樣次數的重復試驗，得到的頻率值也可能會不同 (1)頻率是概率的近似值，隨著試驗次數的增加，頻率會越來越接近概率． (2)在實際問題中，事件的概率通常情況下是未知的，常用頻率估計概率
概率 是一個[0，1]中的確定值，不隨試驗結果的改變而改變
課時分層作業(四十九)　頻率的穩定性
一、選擇題
1．某地氣象局預報說：明天本地降水的概率為80%，則下列解釋正確的是(　　)
A．明天本地有80%的區域降水
B．明天本地有80%的時間降水
C．明天本地降水的可能性是80%
D．以上說法均不正確
C　[選項A，B顯然不正確，因為明天本地降水的概率為80%不是說有80%的區域降水，也不是說有80%的時間降水，而是指降水的可能性是80%.故選C.]
2．每道選擇題有四個選項，其中只有一個選項是正確的．某次數學考試共有12道選擇題，有位同學說：“每個選項正確的概率是，我每道題都選擇第一個選項，則一定有3道題選擇結果正確．”該同學的說法(　　)
A．正確　　　 B．錯誤
C．無法解釋 　 D．以上均不正確
B　[解每一道選擇題都可看成一次試驗，每次試驗的結果都是隨機的，經過大量的試驗其結果呈現出一定的規律，即隨機選取一個選項選擇正確的概率是.12道選擇題做對3道題的可能性比較大，但并不能保證一定做對3道題，也有可能都選錯，因此該同學的說法錯誤．]
3．(多選)某籃球運動員在最近幾次參加的比賽中的投籃情況如下表：
投籃次數 投中兩分球的次數 投中三分球的次數
100 55 18
記該籃球運動員在一次投籃中，投中兩分球為事件A，投中三分球為事件B，沒投中為事件C，用頻率估計概率的方法，得到的下述結論中，正確的是(　　)
A．P＝0.55 　 B．P＝0.18
C．P＝0.27 　 D．P＝0.55
ABC　[依題意，P(A)＝＝0.55，P(B)＝＝0.18，顯然事件A，B互斥，P(C)＝1－P(A＋B)＝1－P(A)－P(B)＝0.27，事件B，C互斥，則P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.45，于是得選項A，B，C都正確，選項D錯誤．
故選ABC.]
二、填空題
4．設某廠產品的次品率為2%，估算該廠8 000件產品中合格品的件數可能為________件．
7 840　[次品率為2%，故次品約8 000×2%＝160(件)，故合格品的件數可能為7 840．]
5．一家保險公司想了解汽車的擋風玻璃破碎的概率，公司收集了20 000輛汽車的數據，時間是從某年的5月1日到下一年的4月30日，共發現有600輛汽車的擋風玻璃破碎，則一輛汽車在一年內擋風玻璃破碎的概率近似是________．
0.03　[在一年內擋風玻璃破碎的頻率為＝0.03，用頻率來估計擋風玻璃破碎的概率，故概率近似為0.03．]
三、解答題
6．某超市隨機選取1 000位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統計表，其中“√”表示購買，“×”表示未購買．
顧客人數 甲 乙 丙 丁
100 √ × √ √
217 × √ × √
200 √ √ √ ×
300 √ × √ ×
85 √ × × ×
98 × √ × ×
(1)估計顧客同時購買乙和丙的概率；
(2)估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率；
(3)如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大？
[解]　(1)從統計表可以看出，在這1 000位顧客中有200位顧客同時購買了乙和丙，所以顧客同時購買乙和丙的概率可以估計為＝0.2．
(2)從統計表可以看出，在這1 000位顧客中，有100位顧客同時購買了甲、丙、丁，另有200位顧客同時購買了甲、乙、丙，其他顧客最多購買了2種商品．
所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率可以估計為＝0.3．
(3)顧客同時購買甲和乙的概率可以估計為＝0.2，
顧客同時購買甲和丙的概率可以估計為＝0.6，
顧客同時購買甲和丁的概率可以估計為＝0.1．
所以，如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買丙的可能性最大．
7．某市交警部門在調查一起交通事故過程中，所有的目擊證人都指證肇事車是一輛A款出租車，但由于天黑，均未看清該車的車牌號碼及顏色，而該市有兩家出租車公司，其中甲公司有100輛A款出租車，3 000輛B款出租車，乙公司有3 000輛A款出租車，100輛B款出租車，交警部門應先調查哪個公司的車輛較合理(　　)
A．甲公司　　　 B．乙公司
C．甲或乙公司均可 　 D．以上都對
B　[由于甲公司A款的比例為，乙公司A款的比例為，
可知肇事車在乙公司的可能性大些．]
8．(多選)某機構要調查某小區居民生活垃圾的投放情況(該小區居民的生活垃圾以廚余垃圾、可回收物、其他垃圾為主)，隨機抽取了該小區“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱這三類垃圾箱，總計1 000千克的生活垃圾，數據(單位：千克)統計如下：
類別 “廚余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱
廚余垃圾的投放質量 400 200 100
可回收物的投放質量 30 140 30
其他垃圾的投放質量 20 20 60
根據樣本數據估計該小區居民生活垃圾的投放情況，下列結論正確的是(　　)
A．“廚余垃圾”投放正確的概率約為
B．“可回收物”投放錯誤的概率約為
C．該小區這三類垃圾中，“廚余垃圾”投放正確的概率最低
D．該小區這三類垃圾中，“其他垃圾”投放錯誤的概率最高
AC　[A選項，“廚余垃圾”共有400＋200＋100＝700 kg，其中400 kg投放正確，概率為，所以A選項說法正確；
B選項，“可回收物”共有30＋140＋30＝200 kg，其中60kg投放錯誤，概率為，所以B選項說法錯誤；
C選項，“廚余垃圾”、“可回收物”、“其他垃圾”投放正確的概率依次為最小，所以C選項說法正確；
D選項，“廚余垃圾”、“可回收物”、“其他垃圾”投放錯誤的概率依次為最大，所以D選項說法錯誤．故選AC.]
9．某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續購買該險種的投保人稱為續保人，續保人本年度的保費與其上年度出險次數的關聯如下：
上年度出險次數 0 1 2 3 4 ≥5
保費 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
隨機調查了該險種的200名續保人在一年內的出險情況，得到如下統計表：
出險次數 0 1 2 3 4 ≥5
頻數 60 50 30 30 20 10
(1)記A為事件：“一續保人本年度的保費不高于基本保費”，求P(A)的估計值；
(2)記B為事件：“一續保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”．求P(B)的估計值；
(3)求續保人本年度平均保費的估計值．
[解]　(1)事件A發生當且僅當一年內出險次數小于2．
由所給數據知，一年內出險次數小于2的頻率為＝0.55，故P(A)的估計值為0.55．
(2)事件B發生當且僅當一年內出險次數大于1且小于4．
由所給數據知，一年內出險次數大于1且小于4的頻率為＝0.3，
故P(B)的估計值為0.3．
(3)由所給數據得
保費 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
頻率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05
調查的200名續保人的平均保費為0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.
因此，續保人本年度平均保費的估計值為1.192 5a.
10．有A，B兩種乒乓球，A種乒乓球的次品率是1%，B種乒乓球的次品率是5%.
(1)甲同學買的是A種乒乓球，乙同學買的是B種乒乓球，但甲買到的是次品，乙買到的是合格品，從概率的角度如何解釋？
(2)如果你想買到合格品，應選擇購買哪種乒乓球？
[解]　(1)因為A種乒乓球的次品率是1%，所以任選一個A種乒乓球是合格品的概率是99%.同理，任選一個B種乒乓球是合格品的概率是95%.
因為99%>95%，所以“買一個A種乒乓球，買到的是合格品”的可能性比“買一個B種乒乓球，買到的是合格品”的可能性大．但并不表示“買一個A種乒乓球，買到的是合格品”一定發生．乙買一個B種乒乓球，買到的是合格品，而甲買一個A種乒乓球，買到的卻是次品，即可能性較小的事件發生了，而可能性較大的事件卻沒有發生，這正是隨機事件的不確定性的體現．
(2)因為任意選取一個A種乒乓球是合格品的可能性為99%，所以如果做大量重復買一個A種乒乓球的試驗，“買到的是合格品”的頻率會穩定在0.99附近．同理，做大量重復買一個B種乒乓球的試驗，“買到的是合格品”的頻率會穩定在0.95附近．因此若希望買到的是合格品，則應選擇購買A種乒乓球．10.3.2　隨機模擬
學習任務 了解隨機模擬的含義，會利用隨機模擬估計概率．(數學建模、數學運算)
在求解頻率與概率的關系時需要做大量的重復試驗去驗證，既費時又費力，有沒有更好的其他辦法可以替代試驗呢？
知識點　隨機模擬
1．產生隨機數的方法
(1)利用計算器或計算機軟件產生隨機數．
(2)構建模擬試驗產生隨機數．
2．蒙特卡洛方法
利用隨機模擬解決問題的方法稱為蒙特卡洛方法．
思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)隨機數是用計算機或計算器隨便按鍵產生的數． (　　)
(2)不能用偽隨機數估計概率． (　　)
(3)用隨機模擬試驗估計事件的概率時，試驗次數越多，所得的估計值越接近實際值． (　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√
類型1　隨機數的產生方法
【例1】　要產生1～25之間的隨機整數，你有哪些方法？
[解]　法一：可以把25個大小形狀相同的小球分別標上1，2，3，…，24，25，放入一個袋中，把它們充分攪拌均勻，然后從中摸出一個，這個球上的數就稱為隨機數，放回后重復以上過程，就得到一系列的1～25之間的隨機整數．
法二：可以利用計算機產生隨機數，以Excel為例：
(1)選定A1格，輸入“＝RANDBETWEEN(1，25)”，按Enter鍵，則在此格中的數是隨機產生的；
(2)選定A1格，點擊復制，然后選定要產生隨機數的格，比如A2至A100，點擊粘貼，則在A2至A100的格中均為隨機產生的1～25之間的數，這樣我們就很快得到了100個1～25之間的隨機數，相當于做了100次隨機試驗．
　隨機數產生的方法比較
方法 抽簽法 用計算器或計算機產生
優點 保證機會均等 操作簡單，省時、省力
缺點 耗費大量人力、物力、時間，或不具有實際操作性 由于是偽隨機數，故不能保證完全等可能
[跟進訓練]
1．某校高一年級共20個班，1 200名學生，期中考試時如何把學生分配到40個考場中去？
[解]　要把1 200人分到40個考場，每個考場30人，可用計算機完成．
(1)按班級、學號順序把學生檔案輸入計算機．
(2)用隨機函數按順序給每個學生一個隨機數(每人都不相同)．
(3)使用計算機的排序功能按隨機數從小到大排列，可得到1 200名學生的考試號0 001，0 002，…，1 200，然后0 001～0 030為第一考場，0 031～0 060為第二考場，依次類推．
類型2　簡單的隨機模擬試驗的應用
【例2】　一個袋中有7個大小、形狀相同的小球，6個白球，1個紅球，現任取1個，若為紅球就停止，若為白球就放回，攪拌均勻后再接著取，試設計一個模擬試驗計算恰好第三次摸到紅球的概率．
[解]　用1，2，3，4，5，6表示白球，7表示紅球，利用計算器或計算機產生1到7之間(包括1和7)取整數值的隨機數．因為要求恰好第三次摸到紅球的概率，所以每三個隨機數作為一組．如下，產生20組隨機數：
666 743 671 464 571 561 156 567 732 375
716 116 614 445 117 573 552 274 114 662
就相當于做了20次試驗，在這些數組中，前兩個數字不是7，第三個數字恰好是7就表示第一次、第二次摸到的是白球，第三次摸到的是紅球，它們分別是567和117，共兩組，因此恰好第三次摸到紅球的概率約為＝0.1．
　在設計隨機模擬試驗時，注意以下兩點
(1)要根據具體的事件設計恰當的試驗，使試驗能夠真正地模擬隨機事件．
(2)注意用不同的隨機數來表示不同的隨機事件的發生．
[跟進訓練]
2．在一個盒中裝有10支圓珠筆，其中7支一級品，3支二級品，任取一支，用模擬方法求取到一級品的概率．
[解]　設事件A：“取到一級品”．
(1)用計算機的隨機函數RANDBETWEEN(1，10)或計算器產生1到10之間的整數隨機數，分別用1，2，3，4，5，6，7表示取到一級品，用8，9，10表示取到二級品．
(2)統計試驗總次數N及其中出現1至7之間數的次數N1．
(3)計算頻率fn(A)＝，即為事件A的概率的近似值．
類型3　較復雜的隨機模擬試驗的應用
【例3】　A地的天氣預報顯示，A地在今后的三天中，每一天有強濃霧的概率為30%，現用隨機模擬的方法估計這三天中至少有兩天有強濃霧的概率，先利用計算器產生0－9之間整數值的隨機數，并用0，1，2，3，4，5，6表示沒有強濃霧，用7，8，9表示有強濃霧，再以每3個隨機數作為一組，代表三天的天氣情況，產生了如下20組隨機數：
102　798　391　925　173　845　812
529　769　683　231　307　592　027
516　588　730　113　977　539
則這三天中至少有兩天有強濃霧的概率近似為(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
D　[在20組隨機數中表示三天中至少有兩天有強濃霧的可以通過列舉得到，共4組隨機數：798，769，588，977，所求概率為.故選D.]
　利用隨機模擬估計概率應關注三點
用整數隨機數模擬試驗估計概率時，首先要確定隨機數的范圍和用哪些數代表不同的試驗結果．我們可以從以下三方面考慮：
(1)當試驗的基本事件等可能時，基本事件總數即為產生隨機數的范圍，每個隨機數代表一個基本事件．
(2)研究等可能事件的概率時，用按比例分配的方法確定表示各個結果的數字個數及總個數．
(3)當每次試驗結果需要n個隨機數表示時，要把n個隨機數作為一組來處理，此時一定要注意每組中的隨機數字能否重復．
[跟進訓練]
3．袋子中有四個小球，分別寫有“文、明、中、國”四個字，有放回地從中任取一個小球，直到“中”“國”兩個字都取到就停止，用隨機模擬的方法估計恰好在第三次停止的概率．利用電腦隨機產生0到3之間取整數值的隨機數，分別用0，1，2，3代表“文、明、中、國”這四個字，以每三個隨機數為一組，表示取球三次的結果，經隨機模擬產生了以下18組隨機數：
232　321　230　023　123　021　132
220　001　231　130　133　231　013
320　122　103　233
由此可以估計，恰好第三次就停止的概率為(　　)
A． 　B． 　C． 　D．
B　[經隨機模擬產生的18組隨機數中，恰好第三次就停止包含的樣本點有：023，123，132，共3個，由此可以估計，恰好第三次就停止的概率為.故選B.]
1．用隨機模擬的方法估計概率時，其準確程度決定于(　　)
A．產生的隨機數的大小
B．產生的隨機數的個數
C．隨機數對應的結果
D．產生隨機數的方法
B　[用隨機模擬的方法估計概率時，產生的隨機數越多，準確程度越高，故選B.]
2．擲兩枚骰子，用隨機模擬方法估計出現點數之和為9的概率時，產生的整數值隨機數中，每幾個數字為一組(　　)
A．1　　 　B．2　　 　C．9　 　　D．12
B　[由于擲兩枚骰子，所以產生的整數值隨機數中，每2個數字為一組．]
3．已知某運動員每次投籃命中的概率低于40%，現采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器產生0到9之間取整數值的隨機數，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，再以每三個隨機數為一組，代表三次投籃的結果．經隨機模擬產生了20組隨機數：
907　966　191　925　271　932　812
458　569　683　431　257　393　027
556　488　730　113　537　989
據此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為(　　)
A．0.35 　B．0.25 　C．0.20 　D．0.15
B　[由題意知模擬三次投籃的結果，經隨機模擬產生了20組隨機數，在20組隨機數中表示三次投籃恰有兩次命中的有191，271，932，812，393，共5組隨機數，∴所求概率為＝0.25．故選B.]
4．在用隨機數(整數)模擬“有4個男生和5個女生，從中選4個，求選出2個男生2個女生”的概率時，可讓計算機產生1～9的隨機整數，并用1～4代表男生，用5～9代表女生，因為是選出4個，所以每4個隨機數作為一組．若得到的一組隨機數“4678”，則它代表的含義是________．
選出的4人中，只有1個男生　[用1～4代表男生，用5～9代表女生，4678表示1男3 女，即選出的4人中，只有1個男生．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．產生隨機數的方法有哪些？
[提示]　產生隨機數的方法有抽簽法、利用計算機或計算器產生隨機數的隨機模擬方法等．
2．如何用隨機模擬的方法估計概率？
[提示]　用隨機模擬法估計概率的主要步驟：(1)設計概率模型．(2)進行模擬試驗．(3)統計試驗結果，估計概率．
“黃金72小時”中的概率
當地震等地質災害發生后，在媒體上經常可以看到“黃金72小時”這幾個字．你知道它表示的是什么意思嗎？
醫學研究和統計表明，在沒有食物尤其是沒有水的條件下，生命的存續期一般不會超過3天．國際救援界認為，在地震等地質災害發生后的72小時內，被救出人員的存活率隨時間的消逝呈遞減趨勢：第一天(即24小時內)，存活率約為90%；第二天，存活率為50%—60%；第三天，存活率為20%—30%.再往后的話，存活率將進一步減少．
這里的存活率可以用概率來理解：被救出的人員，如果是在24小時內被發現的，那么該人員生還的概率為90%；如果是在第24—48小時內被發現的，那么生還的概率為50%—60%；如果是第48—72小時內發現的，那么生還的概率為20%—30%.這就意味著，當地震等地質災害發生后，應該“與時間賽跑”，利用各種手段和機會盡可能早地發現被困人員．
需要注意的是，概率描述的只是事件發生的可能性大小，發生的可能性小(即概率小)并不代表不會發生．統計數據表明，地震六天后，被埋人員生還的概率幾乎為零．但是這樣的事例并不是沒有：2005年巴基斯坦7.6級地震中，一名青年被埋27天后獲救生還；2008年我國汶川地震中，一位60歲的老人被困11天后獲救生還；等等．因此，幾乎所有的救援工作，在“黃金72小時”之外都會繼續，以發現更多生命的奇跡．
課時分層作業(五十)　隨機模擬
一、選擇題
1．(多選)下列能產生隨機數的是(　　)
A．拋擲骰子試驗
B．拋硬幣
C．計算器
D．正方體的六個面上分別寫有1，2，2，3，4，5，拋擲該正方體
ABC　[D項中，出現2的概率為，出現1，3，4，5的概率均是，則D項不能產生隨機數．]
2．利用拋硬幣產生隨機數1和2，出現正面表示產生的隨機數為1，出現反面表示產生的隨機數為2．小王拋兩次，則出現的隨機數之和為3的概率為(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
A　[拋擲硬幣兩次，產生的隨機數的情況有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)共四種，其中隨機數之和為3的情況有(1，2)，(2，1)兩種，故所求概率為.]
3．假定某運動員每次投擲飛鏢正中靶心的概率為40%，現采用隨機模擬的方法估計該運動員兩次投擲飛鏢恰有一次命中靶心的概率：先由計算器產生0到9之間取整數值的隨機數，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每兩個隨機數為一組，代表兩次的結果，經隨機模擬產生了20組隨機數：
93　28　12　45　85　69　68　34　31　25
73　93　02　75　56　48　87　30　11　35
據此估計，該運動員兩次擲鏢恰有一次正中靶心的概率為(　　)
A．0.50 　 B．0.45　
C．0.40 　 D．0.35
A　[兩次擲鏢恰有一次正中靶心表示隨機數中有且只有一個數為1，2，3，4中的一個．它們分別是93，28，45，25，73，93，02，48，30，35，共10個．
因此估計所求的概率為＝0.50．]
二、填空題
4．在利用整數隨機數進行隨機模擬試驗中，整數a到整數b之間的每個整數出現的可能性是________．
　[[a，b]中共有b－a＋1個整數，每個整數出現的可能性相等，所以每個整數出現的可能性是.]
5．甲、乙兩支籃球隊進行一局比賽，甲獲勝的概率為0.6，若采用三局兩勝制舉行一次比賽，現采用隨機模擬的方法估計乙獲勝的概率．先利用計算器或計算機生成0到9之間取整數值的隨機數，用0，1，2，3，4，5表示甲獲勝；6，7，8，9表示乙獲勝，這樣能體現甲獲勝的概率為0.6．因為采用三局兩勝制，所以每3個隨機數作為一組．例如，產生30組隨機數：
034 743 738 636 964 736 614 698 637 162
332 616 804 560 111 410 959 774 246 762
428 114 572 042 533 237 322 707 360 751
據此估計乙獲勝的概率約為________．(保留3位有效數字)
0.367　[產生30組隨機數，就相當于做了30次試驗．如果6，7，8，9中恰有2個或3個數出現，就表示乙獲勝，它們分別是738，636，964，736，698，637，616，959，774，762，707，共11個．所以采用三局兩勝制，乙獲勝的概率約為≈0.367．]
三、解答題
6．某籃球愛好者做投籃練習，假設其每次投籃命中的概率是60%，若該籃球愛好者連續投籃4次，求至少投中3次的概率．用隨機模擬的方法估計上述概率．
[解]　利用計算機或計算器產生0到9之間取整數值的隨機數，用1，2，3，4，5，6表示投中，用7，8，9，0表示未投中，這樣可以體現投中的概率是60%，因為投籃4次，所以每4個隨機數作為1組．例如5727，7895，0123，…，4560，4581，4698，共100組這樣的隨機數，若所有數組中沒有7，8，9，0或只有7，8，9，0中的一個數的數組的個數為n，則至少投中3次的概率近似值為.
7．拋擲兩顆相同的骰子，用隨機模擬方法估計“上面點數的和是6的倍數”的概率時，用1，2，3，4，5，6分別表示上面的點數是1，2，3，4，5，6，用計算器或計算機分別產生1到6的兩組整數隨機數各60個，每組第i個數組成一組，共組成60組數，其中有一組是16，這組數表示的結果是否滿足上面點數的和是6的倍數：________(選填“是”或“否”)．
否　[16表示第一顆骰子向上的點數是1，第二顆骰子向上的點數是6，則上面點數的和是1＋6＝7，不表示和是6的倍數．]
8．在一個大轉盤上，盤面被均勻地分成12份，分別寫有1～12這12個數字，其中2，4，6，8，10，12這6個區域對應的獎品是文具盒，而1，3，5，7，9，11這6個區域對應的獎品是書包．游戲規則是轉盤轉動后指針停在哪一格，則繼續向前前進相應的格數．例如：你轉動轉盤停止后，指針落在4所在區域，則還要往前前進4格，到標有8的區域，此時8區域對應的獎品就是你的，依此類推．請問：小明在玩這個游戲時，得到的獎品是書包的概率是________．
0　[∵轉盤停止后，指針所在區域再前進相應格數后所在位置均為標為偶數的區域，
又∵得到書包對應的區域均標為奇數，
∴得到的獎品為書包的概率為0．]
9．某市為了了解一周內學生的線上學習情況，從該市抽取了1 000名學生進行調查，根據所得信息制作了如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)為了估計從該市任意抽取的3名同學中恰有2人線上學習時間在[200，300)的概率P，特設計如下隨機模擬試驗：先由計算器產生0到9之間取整數值的隨機數，依次用0，1，2，3，…，9的前若干個數字表示線上學習時間在[200，300)內，剩余的數字表示線上學習時間不在[200，300)內；再以每三個隨機數為一組，代表線上學習的情況．
假設用上述隨機模擬方法產生了如下30組隨機數：
907　966　191　925　271　569　812　458　932
683　431　257　393　027　556　438　873　730
113　669　206　232　433　474　537　679　138
598　602　231
請根據這些隨機數估計概率P；
(2)為了進一步進行調查，用比例分配的分層隨機抽樣方法從這1 000名學生中抽取20名學生，在抽取的20人中，再從線上學習時間在[350，450)的同學中任意選擇2名，求這2名同學來自同一組的概率．
[解]　(1)由頻率分布直方圖可知，線上學習時間在[200，300)的頻率為(0.002＋0.006)×50＝0.4，所以可以用數字0，1，2，3表示線上學習時間在[200，300)內，數字4，5，6，7，8，9表示線上學習時間不在[200，300)內．觀察題中隨機數組可得，3名同學中恰有2人線上學習時間在[200，300)的有191，271，812，932，431，393，027，730，206，433，138，602，共12個．用頻率估計概率可得，該市3名同學中恰有2人線上學習時間在[200，300)的概率P＝＝0.4．
(2)抽取的20人中，線上學習時間在[350，450)的同學有20×(0.003＋0.002)×50＝5(人)，其中線上學習時間在[350，400)的同學有3名，設為A，B，C，線上學習時間在[400，450)的同學有2名，設為a，b，用(x，y)表示樣本空間中的樣本點，則從5名同學中任取2名的樣本空間Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)}，共10個樣本點，用M表示“2名同學來自同一組”這一事件，則M＝{(A，B)，(A，C)，(B，C)，(a，b)}，共4個樣本點，所以P(M)＝＝0.4．第10章 概率 章末綜合提升
類型1　隨機事件與概率
1．隨機事件與概率主要包含以下內容：樣本空間、事件間的關系、頻率與概率的關系及概率的性質，特別是互斥事件與對立事件的概念辨析及相應概率的求解，是歷次考試命題的重點，對于互斥事件的概率求法一般有兩種方法：一是直接求解法，二是間接法．當題目涉及“至多”“至少”型問題時，多考慮間接法．
2．掌握隨機事件概率的應用，提升數學抽象和數學運算素養．
【例1】　某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1 000張獎券為一個開獎單位，設特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個．設1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1張獎券的中獎概率；
(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率．
[解]　(1)P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
故事件A，B，C的概率分別為.
(2)1張獎券中獎包含中特等獎、一等獎、二等獎．設“1張獎券中獎”這個事件為M，則M＝A∪B∪C.∵A，B，C兩兩互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝.
故1張獎券的中獎概率為.
(3)設“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事件N，則事件N與“1張獎券中特等獎或中一等獎”為對立事件，∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝.
故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為.
類型2　古典概型
1．古典概型有兩個基本特征，即有限性和等可能性．在應用公式P(A)＝時，關鍵在于正確理解試驗的發生過程，求出試驗的樣本空間的樣本點總數n和事件A的樣本點個數k.
2．掌握古典概型的概率公式及其應用，提升數學建模的數學素養．
【例2】　袋中有形狀、大小都相同的4個小球.
(1)若4個小球中有1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機摸出2只球，求這2只球顏色不同的概率；
(2)若4個小球顏色相同，標號分別為1，2，3，4，從中一次取兩球，求標號和為奇數的概率；
(3)若4個小球中有1只白球，1只紅球，2只黃球，有放回地取球，取兩次，求兩次取得球的顏色相同的概率．
[解]　(1)設取出的2只球顏色不同為事件A.
試驗的樣本空間Ω＝{(白，紅)，(白，黃1)，(白，黃2)，(紅，黃1)，(紅，黃2)，(黃1，黃2)}，共6個樣本點，事件A包含5個樣本點，故P(A)＝.
(2)試驗的樣本空間Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}，共6個樣本點，設標號和為奇數為事件B，則B包含的樣本點為(1，2)，(1，4)，(2，3)，(3，4)，共4個，所以P(B)＝.
(3)試驗的樣本空間Ω＝{(白，白)，(白，紅)，(白，黃1)，(白，黃2)，(紅，紅)，(紅，白)，(紅，黃1)，(紅，黃2)，(黃1，黃1)，(黃1，白)，(黃1，紅)，(黃1，黃2)，(黃2，黃2)，(黃2，白)，(黃2，紅)，(黃2，黃1)}，共16個樣本點，其中顏色相同的有6個，故所求概率為P＝.
類型3　事件的相互獨立性
1．相互獨立事件的辨析及概率計算主要依據P(AB)＝P(A)P(B)．由于相互獨立事件的概率通常和互斥事件的概率綜合在一起考查，解題時先要判斷事件的關系是互斥還是相互獨立，再選擇相應的公式計算求解．
2．掌握相互獨立事件的概率公式的應用，提升數學建模和邏輯推理的數學素養．
【例3】　(2022·石家莊期末)甲、乙兩人進行圍棋比賽，比賽要求雙方下滿五盤棋，已知第一盤棋甲贏的概率為，由于心態不穩，若甲贏了上一盤棋，則下一盤棋甲贏的概率依然為，若甲輸了上一盤棋，則下一盤棋甲贏的概率就變為.已知比賽沒有和棋，且前兩盤棋都是甲贏．
(1)求第四盤棋甲贏的概率；
(2)求比賽結束時，甲恰好贏三盤棋的概率．
[解]　(1)記第四盤棋甲贏的事件為A，它是第三盤棋甲贏和甲輸的兩個互斥事件A1，A2的和，P(A1)＝，P(A2)＝＝，則＝P(A2)＝，所以第四盤棋甲贏的概率是.
(2)記甲恰好贏三盤棋的事件為B，它是后三盤棋甲只贏一盤的三個互斥事件的和，甲只在第三盤贏的事件為B1、只在第四盤贏的事件為B2、只在第五盤贏的事件為B3，則P(B1)＝＝＝＝，P(B3)＝，則有P＝＝，所以比賽結束時，甲恰好贏三盤棋的概率為.
章末綜合測評(五)　概率
(時間：120分鐘　滿分：150分)
一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．拋擲一枚質地均勻的硬幣，如果連續拋擲1 000次，那么第999次出現正面朝上的概率是(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
D　[拋擲一枚硬幣，有正面朝上和反面朝上兩種可能，概率均為，與第幾次拋擲無關．]
2．隨著互聯網的普及，網上購物已逐漸成為消費時尚，為了解消費者對網上購物的滿意情況，某公司隨機對4 500名網上購物消費者進行了調查(每名消費者限選一種情況回答)，統計結果如下表：
滿意狀況 不滿意 比較滿意 滿意 非常滿意
人數 200 n 2 100 1 000
根據表中數據，估計在網上購物的消費者群體中對網上購物“比較滿意”或“滿意”的概率是(　　)
A． 　B． 　C． 　D．
C　[由題意得，n＝4 500－200－2 100－1 000＝1 200，所以隨機調查的消費者中對網上購物“比較滿意”或“滿意”的總人數為1 200＋2 100＝3 300，所以隨機調查的消費者中對網上購物“比較滿意”或“滿意”的頻率為，由此估計在網上購物的消費者群體中對網上購物“比較滿意”或“滿意”的概率為.]
3．(2022·四川瀘州敘永一中期中)在一個實驗中，某種豚鼠被感染A病毒的概率均為40%，現采用隨機模擬方法估計三只豚鼠中被感染的概率：先由計算機產生出[0，9]之間整數值的隨機數，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示沒有被感染．經隨機模擬產生了如下20組隨機數：
192　907　966　925　271　932　812
458　569　683　257　393　127　556
488　730　113　537　989　431
據此估計三只豚鼠都沒被感染的概率為(　　)
A．0.25 　B．0.4 　C．0.6 　D．0.75
A　[20組數據中，都不含1，2，3，4的數據有5個，分別是：907，966，569，556，989；故三只豚鼠都沒被感染的概率為＝0.25．故選A .]
4．從2022年北京冬奧會、冬殘奧會志愿者的28 730人中隨機抽取20人，測得他們的身高分別為(單位：cm) ：162、153、148、154、165、168、172、171、170、150、151、152、160、165、164、179、149、158、159、175，根據樣本頻率分布估計總體分布的原理，在所有志愿者中任抽取一人身高在155.5 cm－170.5 cm之間的概率為(　　)
A． 　B． 　C． 　D．
B　[根據題意，分析20人的數據可得，身高在155.5 cm－170.5 cm之間的有9人，則在志愿者中任抽取一人身高在155.5 cm－170.5 cm之間的概率為.故選B.]
5．(2022·全國甲卷)從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數字之積是4的倍數的概率為(　　)
A． 　B． 　C． 　D．
C　[從6張卡片中無放回抽取2張，共有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，15種情況，其中數字之積為4的倍數的有(1，4)，(2，4)，(2，6)，(3，4)，(4，5)，(4，6)，6種情況，故概率為.故選C.]
6．袋中有大小相同的黃、紅、白球各一個，每次任取一個，有放回地取3次，則下列事件的概率為的是(　　)
A．顏色相同 　 B．顏色不全相同
C．顏色全不相同 　 D．無紅球
B　[有放回地取球3次，共27種可能結果，其中顏色相同的結果有3種，其概率為；顏色不全同的結果有24種，其概率為；顏色全不同的結果有6種，其概率為；無紅球的結果有8種，其概率為.]
7．(2022·山東濟寧育才中學月考)壇子中放有3個白球、2個黑球，從中不放回地取球2次，每次取1個球，用A1表示“第一次取得白球”，A2表示“第二次取得白球”，則A1和A2是(　　)
A．互斥的事件 　 B．相互獨立的事件
C．對立的事件 　 D．不相互獨立的事件
D　[設白球編號為1，2，3，黑球的編號為4，5，從壇子中不放回地取球2次，基本事件有20種，P＝＝，＝＝，P≠P，所以A1和A2是不相互獨立的事件．
基本事件包括“第1次取到白球，第2次取到白球”，即A1和A2可以同時發生，
所以A1和A2不是互斥，也不是對立事件．
故選D.]
8．在如圖所示的電路中，5只箱子表示保險匣，箱中所示數值表示通電時保險絲被切斷的概率，當開關合上時，電路暢通的概率是(　　)
A． 　B． 　C． 　D．
A　[當開關合上時，電路暢通，即A至B暢通，且B至C暢通，可求得A至B暢通的概率為1－×＝，B至C暢通的概率為1－，所以電路暢通的概率為.]
二、選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分)
9．下列說法中正確的有(　　)
A．買彩票中獎的概率是0.001，那么買1 000張彩票一定能中獎
B．昨天沒有下雨，則說明關于氣象局預報昨天“降水的概率為90%”是錯誤的
C．一年按365天計算，兩名學生的生日相同的概率是
D．乒乓球比賽前，用抽簽來決定誰先發球，抽簽方法是從1～10共10個數中各抽取1個，再比較大小，這種抽簽方法是公平的
CD　[根據概率的意義可知CD正確．]
10．(2022·廣雅附中、廣州外國語、鐵一中學聯考)利用簡單隨機抽樣的方法抽查某工廠的100件產品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余為不合格品，現在這個工廠隨機抽查一件產品，設事件A為“是一等品”，B為“是合格品”，C為“是不合格品”，則下列結果正確的是(　　)
A．P(B)＝ 　 B．P(A∩B)＝0
C．P(B∩C)＝ 　 D．P(A∪B)＝
ABD　[由題意知A、B、C為互斥事件，∴P(A∩B)＝P(B∩C)＝0，故B正確、C錯誤；
∵從100件中抽取產品符合古典概型的條件，∴P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，則P(A∪B)＝P，∴A、D正確．故選ABD.]
11．(2022·武漢十四中月考)某社團開展“建黨100周年主題活動——學黨史知識競賽”，甲、乙兩人能得滿分的概率分別為，兩人能否獲得滿分相互獨立，則下列說法錯誤的是(　　)
A．兩人均獲得滿分的概率為
B．兩人至少一人獲得滿分的概率為
C．兩人恰好只有甲獲得滿分的概率為
D．兩人至多一人獲得滿分的概率為
BCD　[∵甲、乙兩人能得滿分的概率分別為，兩人能否獲得滿分相互獨立，分別記甲、乙得滿分的事件為M，N，則P，，M，N獨立．
∴兩人均獲得滿分的概率為P＝＝，故A 正確；
兩人至少一人獲得滿分的概率為1－P＝1－(1－P(M))(1－P(N))＝1－，故B錯誤；
兩人恰好只有甲獲得滿分的概率為P＝P(M)(1－P(N))＝，故C錯誤；
兩人至多一人獲得滿分的概率為：
1－P，故D 錯誤．故選BCD.]
12．去年“國慶節”期間，高速公路車輛較多．某調查公司在一服務區從七座以下小型汽車中抽取了40名駕駛員進行詢問調查，將他們在某段高速公路的車速(km/h)分成六段：[60，65)，[65，70)，[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．下列結論正確的是(　　)
A．這40輛小型車輛車速的眾數的估計值為77.5
B．在該服務區任意抽取一輛車，車速超過80 km/h的概率為0.35
C．若從車速在[60，70)的車輛中任意抽取2輛，則至少有一輛車的車速在[65，70)的概率為
D．若從車速在[60，70)的車輛中任意抽取2輛，則車速都在[60，65)內的概率為
ABC　[在A中，由題圖可知，眾數的估計值為最高的矩形的中點橫坐標對應的值＝77.5，A正確；在B中，車速超過80 km/h的頻率為0.05×5＋0.02×5＝0.35，用頻率估計概率知B正確；在C中，由題圖可知，車速在[60，65)內的車輛數為2，車速在[65，70)內的車輛數為4，運用古典概型求概率得，至少有一輛車的車速在[65，70)的概率為，即車速都在[60，65)內的概率為，故C正確，D錯誤．故選ABC.]
三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13．(2022·甘肅甘南期末)從1，2，3，4，5中隨機取三個不同的數，則其和為奇數這一事件包含的樣本點個數為________．
4　[從1，2，3，4，5中隨機取三個不同的數有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共10種情況，其中(1，2，4)，(1，3，5)，(2，3，4)，(2，4，5)中三個數字之和為奇數，共有4種．]
14．一只袋子中裝有7個紅玻璃球，3個綠玻璃球，從中無放回地任意抽取兩次，每次只取一個，取得兩個紅球的概率為，取得兩個綠球的概率為，則至少取得一個紅球的概率為________．
　[由于事件A“至少取得一個紅球”與事件B“取得兩個綠球”是對立事件，則至少取得一個紅球的概率為P(A)＝1－P(B)＝1－.]
15．某工廠生產了一批節能燈泡，這批產品中按質量分為一等品，二等品，三等品．從這些產品中隨機抽取一件產品測試，已知抽到一等品或二等品的概率為0.86，抽到二等品或三等品的概率為0.35，則抽到二等品的概率為________．
0.21　[設抽到一等品，二等品，三等品分別為事件A，B，C，
則，則P＝0.21．]
16．已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為和.假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲、乙兩球都落入盒子的概率為________；甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率為________．
　[法一：甲、乙兩球都落入盒子的概率為.甲、乙兩球至少有一個落入盒子的情形包括：①甲落入、乙未落入的概率為；②甲未落入、乙落入的概率為；③甲、乙均落入的概率為.所以甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率為.
法二：甲、乙兩球都落入盒子的概率為.甲、乙兩球均未落入盒子的概率為，則甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率為1－.]
四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
17．(本小題滿分10分) 袋中有大小、形狀相同的紅球、黑球各一個，現依次有放回地隨機摸取3次，每次摸取一個球．
(1)一共有多少種不同的結果？請列出所有可能的結果；
(2)若摸到紅球時得2分，摸到黑球時得1分，求3次摸球所得總分為5分的概率．
[解]　(1)一共有8種不同的結果，列舉如下：(紅，紅，紅)，(紅，紅，黑)，(紅，黑，紅)，(紅，黑，黑)，(黑，紅，紅)，(黑，紅，黑)，(黑，黑，紅)，(黑，黑，黑)．
(2)記“3次摸球所得總分為5分”為事件A，事件A包含的基本事件為(紅，紅，黑)，(紅，黑，紅)，(黑，紅，紅)，共3個，
由(1)可知，基本事件總數為8，
所以事件A發生的概率為P(A)＝.
18．(本小題滿分12分)(2022·山東威海期末)某社區舉行憲法宣傳答題活動，該活動共設置三關，參加活動的選手從第一關開始依次闖關，若闖關失敗或闖完三關，則闖關結束，規定每位選手只能參加一次活動．已知每位選手闖第一關成功的概率為，闖第二關成功的概率為，闖第三關成功的概率為.若闖關結束時，恰好通過兩關可獲得獎金300元，三關全部通過可獲得獎金800元．假設選手是否通過每一關相互獨立．
(1)求參加活動的選手沒有獲得獎金的概率；
(2)現有甲、乙兩位選手參加本次活動，求兩人最后所得獎金總和為1 100元的概率．
[解]　(1)設選手闖第一關成功為事件A，闖第二關成功為事件B，闖第三關成功為事件C，所以，，
設參加活動的選手沒有獲得獎金為事件M，
所以P.
(2)設選手闖關獲得獎金300元為事件E，選手闖關獲得獎金800元為事件D，
所以，P，
設兩人最后所得獎金總和為1 100元為事件F，
所以，甲、乙兩位選手有一人獲得800元，一人獲得300元，
所以P.
19．(本小題滿分12分) 海關對同時從A，B，C三個不同地區進口的某種商品進行抽樣檢測，從各地區進口此種商品的數量(單位：件)如下表所示．工作人員用分層隨機抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進行檢測．
地區 A B C
數量 50 150 100
(1)求這6件樣品中來自A，B，C各地區商品的數量；
(2)若在這6件樣品中隨機抽取2件送往甲機構進行進一步檢測，求這2件商品來自相同地區的概率．
[解]　(1)因為樣本量與總體中的個體數的比是，所以樣本包含三個地區的個體數量分別是50×＝2．
所以這6件樣品中來自A，B，C三個地區的數量分別為1，3，2．
(2)設6件來自A，B，C三個地區的樣品分別為A；B1，B2，B3；C1，C2，
則從這6件樣品中抽取的2件商品構成的所有樣本點為：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15個．
每個樣品被抽到的機會均等，因此這些樣本點的出現是等可能的．
記事件D＝“抽取的這2件商品來自相同地區”，則事件D包含的樣本點有：
{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4個．
所以P(D)＝，即這2件商品來自相同地區的概率為.
20．(本小題滿分12分) 某超市為了解顧客的購物量及結算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關數據，如下表所示．
一次購物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件以上
顧客數/人 x 30 25 y 10
結算時間/(分/人) 1 1.5 2 2.5 3
已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.
(1)確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結算時間的平均值；
(2)求一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率．(將頻率視為概率)
[解]　(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20．
該超市所有顧客一次購物的結算時間組成一個總體，所收集的100位顧客一次購物的結算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機樣本．顧客一次購物的結算時間的平均值可用樣本平均數估計，其估計值為＝1.9(分鐘)．
(2)記A為事件“一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘”，A1，A2，A3分別表示事件“該顧客一次購物的結算時間為1分鐘”“該顧客一次購物的結算時間為1.5分鐘”“該顧客一次購物的結算時間為2分鐘”．將頻率視為概率得P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝.
因為A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝.
故一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率為.
21．(本小題滿分12分)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位：℃)有關．如果最高氣溫不低于25 ℃，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區間[20，25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20 ℃，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統計了前三年六月份各天的最高氣溫數據，得下面的頻數分布表：
最高氣溫 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40]
天數 2 16 36 25 7 4
以最高氣溫位于各區間的頻率估計最高氣溫位于該區間的概率．
(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；
(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)，當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率．
[解]　(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當且僅當最高氣溫低于25 ℃，
由表中數據可知，最高氣溫低于25 ℃的頻率為＝0.6．
所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6．
(2)當這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，
若最高氣溫低于20 ℃，則Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；
若最高氣溫位于區間[20，25)，則Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；
若最高氣溫不低于25 ℃，則Y＝450×(6－4)＝900，
所以，利潤Y的所有可能值為－100，300，900．
Y大于零當且僅當最高氣溫不低于20 ℃，由表格數據知，最高氣溫不低于20 ℃的頻率為＝0.8，因此Y大于零的概率的估計值為0.8．
22．(本小題滿分12分)(2022·華中師大附中期末)某地為了解居民可支配收入情況，隨機抽取100人，經統計，這100人去年可支配收入(單位：萬元)均在區間[4.5，10.5]內，按[4.5，5.5)，[5.5，6.5)，[6.5，7.5)，[7.5，8.5)，[8.5，9.5)，[9.5，10.5]分成6組，頻率分布直方圖如圖所示，若上述居民可支配收入數據的第60百分位數為8.1．
(1)求a，b的值，并估計這100位居民可支配收入的平均值(同一組中的數據用該組區間的中點值作代表)；
(2)用樣本的頻率估計概率，從該地居民中抽取甲、乙、丙3人，若每次抽取的結果互不影響，求抽取的3人中至少有兩人去年可支配收入在[7.5，8.5)內的概率．
[解]　(1)由頻率分布直方圖，可得0.05＋0.12＋a＋b＋0.2＋0.08＝1，則a＋b＝0.55，①
因為居民收入數據的第60百分位數為8.1，
所以0.05＋0.12＋a＋(8.1－7.5)×b＝0.6，
則a＋0.6b＝0.43，②
將①與②聯立，解得
所以平均值為0.05×5＋0.12×6＋0.25×7＋0.3×8＋0.2×9＋0.08×10＝7.72．
(2)根據題意，設事件A，B，C分別為甲、乙、丙在[7.5，8.5)內，則P＝P＝P＝0.3．
①“抽取3人中有2人在[7.5，8.5)內”＝ABC，且BC互斥，根據概率的加法公式和事件獨立性定義，得P1＝P＝0.3×0.3×(1－0.3)＋0.3×(1－0.3)×0.3＋(1－0.3)×0.3×0.3＝0.189．
②“抽取3人中有3人在[7.5，8.5)內”＝ABC，由事件獨立性定義，得P2＝P＝PPP＝0.3×0.3×0.3＝0.027．
所以抽取的3人中至少有兩人去年可支配收入在[7.5，8.5)內的概率P＝P1＋P2＝0.189＋0.027＝0.216．

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