資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第七章 統計與概率
第二節 概率
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 概率的相關概念 ☆☆ 概率問題在中考數學中的考察難度在中檔以下，年年都會考查，是廣大考生的得分點，分值為10分左右，預計2024年各地中考還將出現。該專題考題的類型也比較的固定，單獨考查時，通常作為選擇或者填空題，考概率的基本定義和簡單計算、頻率估計概率等。綜合考查時會和統計圖表類問題結合，作為最后一問，考查概率的樹狀圖或者列表分析。因為整體難度較小，屬于中考數學中必拿分點，審題時要多加注意即可。
考點2 頻率與概率 ☆☆
考點3 概率的相關計算 ☆☆☆
■考點一　概率的相關概念
1）確定事件與隨機事件
定義 事件發生的概率
確定事件 必然
事件 在一定條件下，有些事情我們事先肯定它一定發生，這些事情稱為 。 P(必然事件)=1
不可能事件 在一定條件下，有些事情我們事先肯定它一定不會發生，這些事情稱為 。 P(不可能事件)=0
不確定事件（隨機事件） 在一定條件下，許多事情我們無法確定它會不會發生，這些事情稱為 （又叫 ）。 0＜P(隨機事件)＜1
2）概率的定義及計算公式
概率的定義：一般地，對于一個隨機事件A，把刻畫其發生可能性大小的數值，稱之為隨機事件A發生的 ，記為P(A)。
概率的意義：一個事件發生的 是一個確定的數，它從數值上刻畫了一個隨機事件發生的可能性的 。
■考點二　頻率與概率
1）利用頻率估計概率：一般地，在大量重復試驗中，如果事件發生的頻率穩定在某個 附近，因此，用一個事件發生的頻率來估計這一事件發生的 。
2）適用條件：當試驗的所有可能結果不是有限個，或各種結果發生的可能性不相等時，我們一般要通過統計頻率來估計 。
3）方法：進行大量重復試驗，當事件發生的頻率越來越靠近一個常數時，該常數就可認為是這個事件發生的概率．
■考點三　概率的相關計算方法
1）概率的計算方法：
（1）概率公式： P（A）=，其中n為所有事件的 ，m為事件A發生的 。
（2）列表法：當一次試驗要涉及 ，并且可能出現的結果數目較多時，應不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用 求事件發生的 。
（3）樹狀圖法：當一次試驗要涉及 的因素時，通常采用 來求事件發生的概率。
2）概率的應用：概率是和實際結合非常緊密的數學知識，可以對生活中的某些現象做出評判，如解釋摸獎、評判游戲活動的公平性、數學競賽獲獎的可能性等等，還可以對某些事件做出決策。
■易錯提示
1. 當一次試驗要涉及兩個因素或一個因素做兩次試驗并且可能出現的結果數目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常可以采用列表法，也可以用樹狀圖法. 當試驗包含三步或三步以上時，不能用列表法，用畫樹狀圖法比較方便。
2. 概率是頻率的穩定值，頻率是概率的近似值，且隨實驗次數的增多，值越來越精確。
■考點一　概率的相關概念
◇典例1：（2023·湖北襄陽·統考中考真題）襄陽氣象臺發布的天氣預報顯示，明天襄陽某地下雨的可能性是，則“明天襄陽某地下雨”這一事件是（ ）
A．必然事件 B．不可能事件 C．隨機事件 D．確定性事件
◆變式訓練
1．（2023·遼寧營口·統考中考真題）下列事件是必然事件的是（ ）
A．四邊形內角和是360° B．校園排球比賽，九年一班獲得冠軍
C．擲一枚硬幣時，正面朝上 D．打開電視，正在播放神舟十六號載人飛船發射實況
2．（2023·浙江·統考一模）下列事件中，是隨機事件的是（ ）
A．明天太陽從東方升起 B．平面內不共線的三點確定一個圓
C．任意畫一個三角形，其內角和是 D．經過有交通信號的路口時遇見紅燈
◇典例2：（2023·河北·統考中考真題）1有7張撲克牌如圖所示，將其打亂順序后，背面朝上放在桌面上．若從中隨機抽取一張，則抽到的花色可能性最大的是（ ）

A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2023·貴州·統考中考真題）在學校科技宣傳活動中，某科技活動小組將3個標有“北斗”，2個標有“天眼”，5個標有“高鐵”的小球（除標記外其它都相同）放入盒中，小紅從盒中隨機摸出1個小球，并對小球標記的內容進行介紹，下列敘述正確的是（ ）
A．摸出“北斗”小球的可能性最大 B．摸出“天眼”小球的可能性最大
C．摸出“高鐵”小球的可能性最大 D．摸出三種小球的可能性相同
2．（2023·廣東云浮·統考二模）在不透明的袋子里裝有個紅球、個白球、個黑球，它們除顏色外都相同，從袋子中任意摸出個球．下列判斷正確的是（ ）
甲：摸到紅球比摸到白球的可能性小；乙：摸到紅球和摸到黑球的可能性相同
A．只有甲對 B．只有乙對 C．甲、乙都對 D．甲、乙都不對
◇典例3：（2023·黑龍江哈爾濱·統考中考真題）將枚黑棋子5枚白棋子裝入一個不透明的空盒子里，這些棋子除顏色外無其他差別，從盒子中隨機取出一枚棋子，則取出的棋子是黑棋子的概率是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2023·廣東佛山·校考一模）在一個不透明的口袋中，裝有3個黃球和4個白球，它們除顏色外都相同，從中任意摸出一個球，摸到白球的概率為（　　）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江·統考中考真題）現有三張正面印有2023年杭州亞運會吉祥物琮琮、宸宸和蓮蓮的不透明卡片，卡片除正面圖案不同外，其余均相同，將三張卡片正面向下洗勻，從中隨機抽取一張卡片，則抽出的卡片圖案是琮琮的概率是 ．

◇典例4：（2023·山東煙臺·統考中考真題）如圖，在正方形中，陰影部分是以正方形的頂點及其對稱中心為圓心，以正方形邊長的一半為半徑作弧形成的封閉圖形．將一個小球在該正方形內自由滾動，小球隨機地停在正方形內的某一點上．若小球停在陰影部分的概率為，停在空白部分的概率為，則與的大小關系為（ ）

A． B． C． D．無法判斷
◆變式訓練
1．（2023·江蘇·統考中考真題）如圖，飛鏢游戲板中每一塊小正方形的面積相等．任意投擲飛鏢1次且擊中游戲板，則擊中陰影部分的概率是 ．
2．（2023·廣東深圳·校考模擬預測）如圖平行四邊形中，E為的中點，交與點O，若隨機向平行四邊形內投一粒米，則米粒落在圖中陰影部分的概率為 ．

■考點二　頻率與概率
◇典例5：（2023·江蘇泰州·統考中考真題）在相同條件下的多次重復試驗中，一個隨機事件發生的頻率為f，該事件的概率為P．下列說法正確的是（ ）
A．試驗次數越多，f越大 B．f與P都可能發生變化
C．試驗次數越多，f越接近于P D．當試驗次數很大時，f在P附近擺動，并趨于穩定
◆變式訓練
1.（2023·江西撫州·統考一模）以下說法合理的是（ ）
A．小明做了3次擲圖釘的實驗，發現2次釘尖朝上，由此他說釘尖朝上的概率是
B．某彩票的中獎概率是5%，那么買100張彩票一定有5張中獎
C．某射擊運動員射擊一次只有兩種可能的結果：中靶與不中靶，所以他擊中靶的概率是
D．小明做了3次擲均勻硬幣的實驗，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他認為再擲一次，正面朝上的概率還是
2.（2023·福建廈門·統考模擬預測）下列說法正確的是（ ）
A．為了解某品牌的日光燈壽命，適宜采取全面調查方式
B．某彩票的中獎機會是，買100張一定會中獎
C．拋一枚硬幣正面朝上的概率為，則拋一枚硬幣有的可能出現正面朝上
D．“若a是實數，則”是必然事件
◇典例6：（2023·甘肅·統考中考真題）某學習小組做拋擲一枚瓶蓋的實驗，整理的實驗數據如下表：
累計拋擲次數 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
蓋面朝上次數 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2850
蓋面朝上頻率
下面有三個推斷：①通過上述實驗的結果，可以推斷這枚瓶蓋有很大的可能性不是質地均勻的；
②第2000次實驗的結果一定是“蓋面朝上”；③隨著實驗次數的增大，“蓋面朝上”的概率接近0.53．
其中正確的是 ．（填序號）
◆變式訓練
1．（2024·遼寧撫順·統考二模）某種麥粒在相同條件下進行發芽試驗，結果如下表所示：
試驗的麥粒數
發芽的麥粒數
發芽的頻率
則任取一粒麥粒，估計它能發芽的概率約為 ．（結果精確到）
2．（2023·福建廈門·校考模擬預測）春節假期歐亞商場為了吸引顧客，舉行有獎酬賓活動：凡購物滿100元，均可得到一次摸獎的機會．不透明的盒子中裝有紅、黃兩種顏色的小球共20個，除顏色外無其他差別，隨機摸出一個小球，如果摸到紅色小球則有機會以優惠價1.88元購買“大福字”一個．如圖顯示了活動第一天開展上述摸球活動的獲獎的結果．李老師在活動第二天去購物，剛好消費了100元，推測李老師能以優惠價購買“大福字”的概率為 ．
◇典例7：（2023·遼寧錦州·統考中考真題）一個不透明的盒子中裝有若干個紅球和個黑球，這些球除顏色外均相同．經多次摸球試驗后發現，摸到黑球的頻率穩定在左右，則盒子中紅球的個數約為 ．
◆變式訓練
1．（2023·山東青島·統考一模）在一個不透明的盒子中裝有a個黑白顏色的球，小明又放入了4個紅球，這些球大小相同．若每次將球充分攪勻后，任意摸出1個球記下顏色再放回盒子．通過大量重復試驗后，發現摸到紅球的頻率穩定在左右，則a的值大約為（ ）
A．10 B．16 C．25 D．30
2.（2023·四川廣安·統考一模）近幾年，二維碼逐漸進入了人們的生活，成為廣大民眾生活中不可或缺的一部分．如圖是一個面積為6的正方形二維碼，為了估計黑色陰影部分的面積，小張在二維碼內隨機擲點，經過大量重復試驗，發現點落在黑色陰影部分的頻率穩定在0.6附近，則可估計該二維碼中黑色陰影部分的面積為 ．
3．（2023·河北·模擬預測）在一個不透明的盒子里裝有黑、白兩種顏色的球共個，小穎做摸球試驗，她將盒子里面的球攪勻后從中隨機摸出一個球，記下顏色，然后把它放回盒子中，不斷重復上述過程．如圖所示為“摸到白球”的頻率折線統計圖．
(1)請估計：當n足夠大時，摸到白球的頻率將會接近__________（結果精確到），假如小李摸一次球，小李摸到白球的概率為__________；(2)試估算盒子里白、黑兩種顏色的球各有多少個；
(3)在（2）的條件下，如果要使摸到白球的頻率穩定在，需要往盒子里再放入多少個白球？
■考點三　概率的相關計算方法
◇典例8：（2023·湖南·統考中考真題）一個布袋中放著3個紅球和9個黑球，這兩種球除了顏色以外沒有任何其他區別．布袋中的球已經攪勻．從布袋中任取1個球，取出紅球的概率是 ．
◆變式訓練
1．（2023·江蘇·校考模擬預測）一個不透明的布袋里裝有2個白球，1個黑球和若干個紅球，它們除顏色外其余都相同，從中任意摸出1個球，是白球的概率為．則布袋里紅球有 個.
2．（2023·廣東深圳·校考模擬預測）在一個不透明的布袋中裝有個白球和個黃球，它們除顏色不同外，其余均相同，若從中隨機摸出一個球，摸到黃球的概率是 ， 則 ．
◇典例9：（2023·山東淄博·統考中考真題）“敬老愛老”是中華民族的優秀傳統美德．小剛、小強計劃利用暑期從，，三處養老服務中心中，隨機選擇一處參加志愿服務活動，則兩人恰好選到同一處的概率是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2023·山東·統考中考真題）一個不透明的袋子中裝有2個紅球、3個黃球，每個球除顏色外都相同．曉君同學從袋中任意摸出1個球（不放回）后，曉靜同學再從袋中任意摸出1個球．兩人都摸到紅球的概率是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023·河南·統考中考真題）為落實教育部辦公廳、中共中央宣傳部辦公廳關于《第41批向全國中小學生推薦優秀影片片目》的通知精神，某校七、八年級分別從如圖所示的三部影片中隨機選擇一部組織本年級學生觀看，則這兩個年級選擇的影片相同的概率為（ ）

A． B． C． D．
◇典例10：（2023·湖南常德·統考中考真題）我市“神十五”航天員張陸和他的兩位戰友已于2023年6月4日回到地球家園，“神十六”的三位航天員已在中國空間站開始值守，空間站的主體結構包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙，假設“神十六”甲、乙、丙三名航天員從核心艙進入問天實驗艙和夢天實驗艙開展實驗的機會均等，現在要從這三名航天員中選2人各進入一個實驗艙開展科學實驗，則甲、乙兩人同時被選中的概率為( )

A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2023·內蒙古赤峰·統考中考真題）某校在勞動課上，設置了植樹、種花、除草三個勞動項目．九年一班和九年二班都通過抽簽的方式從這三個項目中隨機抽取一個項目，則這兩個班級恰好都抽到種花的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·寧夏·統考中考真題）如圖，在標有數字1，2，3，4的四宮格里任選兩個小方格，則所選方格中數字之和為4的概率是 ．
◇典例11：（2023·江蘇·統考中考真題）在張相同的小紙條上，分別寫有：①；②；③；④乘法；⑤加法．將這張小紙條做成支簽，①、②、③放在不透明的盒子中攪勻，④、⑤放在不透明的盒子中攪勻．(1)從盒子中任意抽出支簽，抽到無理數的概率是______；
(2)先從盒子中任意抽出支簽，再從盒子中任意抽出支簽，求抽到的個實數進行相應的運算后結果是無理數的概率．
◆變式訓練
1．（2023·江蘇鹽城·校考二模）鹽城地處黃海之濱，市域內海洋灘涂資源豐富，灘涂面積占江蘇省灘涂總面積近70%，被譽為“東方濕地之都”．黃海濕地文化是鹽城身份認同、文化自信的重要載體，丹頂鶴、麋鹿、勺嘴鷸“濕地吉祥三寶”更是世界聞名．為保護與宣傳這“三寶”，某校生物興趣小組設計了3張環保宣傳卡片，正面分別繪有丹頂鶴、麋鹿、勺嘴鷸圖案，除此之外卡片完全相同．

(1)將這3張卡片背面朝上，洗勻，從中隨機抽取一張，則抽取的卡片正面圖案恰好是“麋鹿”的概率為_____；(2)將這3張卡片背面朝上，洗勻，從中隨機抽取一張，不放回，再從剩余的兩張卡片中隨機抽取一張，請用列表或畫樹狀圖的方法，求抽取的卡片正面圖案恰好是“丹頂鶴”和“勺嘴鷸”的概率．
2．（2023·安徽·模擬預測）甲、乙兩人用擲硬幣方式進行游戲，已知擲一枚質地均勻的硬幣，出現正面朝上和反面朝上的可能性相同．(1)若甲投擲一枚質地均勻的硬幣，正面朝上則前進一步，反面朝上則后退一步，假設每次步長相同，那么投擲兩次后，求甲前進兩步的概率；(2)若甲、乙兩人相隔兩步面對面站立，兩人共同投擲一枚質地均勻的硬幣，正面朝上則同時前進一步，反面朝上則同時后退一步，互相阻礙則兩人原地不動，假設兩人步長相同．那么投擲三次硬幣后，求甲、乙兩人間距離為0的概率．
◇典例12：（2023·廣東廣州·統考中考真題）甲、乙兩位同學相約打乒乓球．(1)有款式完全相同的4個乒乓球拍（分別記為A，B，C，D），若甲先從中隨機選取1個，乙再從余下的球拍中隨機選取1個，求乙選中球拍C的概率；(2)雙方約定：兩人各投擲一枚質地均勻的硬幣，如果兩枚硬幣全部正面向上或全部反面向上，那么甲先發球，否則乙先發球．這個約定是否公平？為什么？
◆變式訓練
1.（2023·內蒙古·統考中考真題）如圖，，兩個帶指針的轉盤分別被分成三個面積相等的扇形，轉盤上的數字分別是，，5，轉盤上的數字分別是6，，4（兩個轉盤除表面數字不同外，其他完全相同）．小聰和小明同時轉動，兩個轉盤，使之旋轉（規定：指針恰好停留在分界線上，則重新轉一次）．(1)轉動轉盤，轉盤指針指向正數的概率是________；(2)若同時轉動兩個轉盤，轉盤指針所指的數字記為，轉盤指針所指的數字記為，若，則小聰獲勝；若，則小明獲勝；請用列表法或樹狀圖法說明這個游戲是否公平．
◇典例13：（2023·安徽·模擬預測）綜合與實踐
【問題再現】(1)課本中有這樣一道概率題：如圖1，這是一個可以自由轉動的轉盤，轉動轉盤，當轉盤停止時，指針落在藍色區域和橙色區域的概率分別是多少？請你解答．
【類比設計】(2)在元旦晚會上班長想設計一個搖獎轉盤．請你在圖2中設計一個轉盤，自由轉動這個轉盤，當它停止轉動時，三等獎：指針落在紅色區域的概率為，二等獎：指針落在白色區域的概率為，一等獎：指針落在黃色區域的概率為．
【拓展運用】(3)在一次促銷活動中，某商場為了吸引顧客，設立轉盤，轉盤被平均分為10份，顧客每消費200元轉動1次，對準紅1份，黃2份、綠3份區域，分別得獎金100元、50元、30元購物券，求轉動1次所獲購物券的平均數．
◆變式訓練
1.（2023·福建·二模）某商場舉行促銷活動，消費滿一定金額的顧客可以通過參與摸球活動獲得獎勵．具體方法如下：從一個裝有2個紅球、3個黃球（僅顏色不同）的袋中摸出2個球，根據摸到的紅球數確定獎勵金額，具體金額設置如下表：現有兩種摸球方案：
摸到的紅球數 0 1 2
獎勵（單位：元） 5 10 20
方案一：隨機摸出一個球，記下顏色后不放回，再從中隨機摸出一個球；
方案二：隨機摸出一個球，記下顏色后放回，再從中隨機摸出一個球．
(1)求方案一中，兩次都摸到紅球的的概率；(2)請你從平均收益的角度幫助顧客分析，選擇哪種摸球方案更有利
2.（2023·廣東·統考二模）某著名景區計劃在西峰修建安裝至多4條索道接送游客，過去10年景區游客統計資料顯示，景區每年游客客流量都在160萬人以上．過去10年的游客客流量的統計情況繪制成如下頻數分布直方圖（數據包括左端點，不含右端點，假設每年游客客流量不相互影響）．
以過去10年的游客客流量的統計情況為參考依據．(1)求該景區今年游客客流量不低于240萬人的概率；(2)若該景區希望安裝的索道盡可能運行，但每年索道最多可運行條數受游客客流量的限制，并有如下表關系：
年游客客流量（單位：萬人）
索道最多可運行條數 1 2 3 4
若某條索道運行，則該條索道年利潤為6000萬元；若某條索道未運行，則該條索道年虧損2000萬元，從平均獲利的角度看，幫景區作出決策，應選擇安裝2條還是3條索道獲利較多？請說明理由．
1．（2023·江蘇徐州·統考中考真題）下列事件中的必然事件是（ ）
A．地球繞著太陽轉 B．射擊運動員射擊一次，命中靶心
C．天空出現三個太陽 D．經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈
2．（2023·寧夏·統考中考真題）勞動委員統計了某周全班同學的家庭勞動次數（單位：次），按勞動次數分為4組：，，，，繪制成如圖所示的頻數分布直方圖．從中任選一名同學，則該同學這周家庭勞動次數不足6次的概率是（ ）

A． B． C． D．
3．（2023·湖南·統考中考真題）“千門萬戶曈曈日，總把新桃換舊符”．春節是中華民族的傳統節日，古人常用寫“桃符”的方式來祈福避禍，而現在，人們常用貼“福”字、貼春聯、掛燈籠等方式來表達對新年的美好祝愿．某商家在春節期間開展商品促銷活動，顧客凡購物金額滿100元，就可以從“福”字、春聯、燈籠這三類禮品中免費領取一件．禮品領取規則：顧客每次從裝有大小、形狀、質地都相同的三張卡片(分別寫有“福”字、春聯、燈籠)的不透明袋子中，隨機摸出一張卡片，然后領取一件與卡片上文字所對應的禮品．現有2名顧客都只領取了一件禮品，那么他們恰好領取同一類禮品的概率是( )
A． B． C． D．
4．（2023·內蒙古呼和浩特·統考中考真題）如圖所示的兩張圖片形狀大小完全相同，把兩張圖片全部從中間剪斷，再把四張形狀大小相同的小圖片混合在一起．從四張圖片中隨機摸取一張，不放回，接著再隨機摸取一張，則這兩張小圖片恰好合成一張完整圖片的概率是（ ）

A． B． C． D．
5．（2023·湖北恩施·統考中考真題）縣林業部門考察銀杏樹苗在一定條件下移植的成活率，所統計的銀杏樹苗移植成活的相關數據如下表所示：
移植的棵數a 100 300 600 1000 7000 15000
成活的棵數b 84 279 505 847 6337 13581
成活的頻率 0.84 0.93 0.842 0.847 0.905 0.905
根據表中的信息，估計銀杏樹苗在一定條件下移植成活的概率為（精確到0.1）（　　）
A．0.905 B．0.90 C．0.9 D．0.8
6．（2023·遼寧鞍山·統考中考真題）在一個不透明的口袋中裝有紅球和白球共12個，這些球除顏色外都相同，將口袋中的球攪勻后，從中隨機摸出1個球，記下它的顏色后再放回口袋中，不斷重復這一過程，共摸球200次，發現有50次摸到紅球，則口袋中紅球約有 個．
7．（2023·山東聊城·統考中考真題）在一個不透明的袋子中，裝有五個分別標有數字，，0，2，的小球，這些小球除數字外其他完全相同．從袋子中隨機摸出兩個小球，兩球上的數字之積恰好是有理數的概率為 ．
8．（2023·江蘇鹽城·統考中考真題）隨著鹽城交通的快速發展，城鄉居民出行更加便捷.如圖，從甲鎮到乙鎮有鄉村公路和省級公路兩條路線；從乙鎮到鹽城南洋國際機場，有省級公路、高速公路和城市高架三條路線.小華駕車從甲鎮到鹽城南洋國際機場接人（不考慮其他因素）.
(1)從甲鎮到乙鎮，小華所選路線是鄉村公路A的概率為_________．
(2)用列表或畫樹狀圖的方法，求小華兩段路程都選省級公路的概率．
9．（2023·湖北黃石·統考中考真題）健康醫療大數據蘊藏了豐富的居民健康狀況、衛生服務利用等海量信息，是人民健康保障的數據金礦和證據源泉．目前，體質健康測試已成為中學生的必測項目之一．某校某班學生針對該班體質健康測試數據開展調查活動，先收集本班學生八年級的《體質健康標準登記表》，再算出每位學生的最后得分，最后得分記為x，得到下表
成績 頻數 頻率
不及格（） 6
及格（） 20%
良好（） 18 40%
優秀（） 12
(1)請求出該班總人數；(2)該班有三名學生的最后得分分別是68，88，91，將他們的成績隨機填入表格□□□，求恰好得到的表格是88，91，68的概率；(3)設該班學生的最后得分落在不及格，及格，良好，優秀范圍內的平均分分別為a，b﹐c，d，若，請求出該班全體學生最后得分的平均分，并估計該校八年級學生體質健康狀況．
10．（2023·江蘇徐州·統考中考真題）甲，乙、丙三人到淮海戰役烈士紀念塔園林游覽，若每人分別從紀念塔、紀念館這兩個景點中選擇一個參觀，且選擇每個景點的機會相等，則三人選擇相同景點的概率為多少？
11．（2023·福建·統考中考真題）為促進消費，助力經濟發展，某商場決定“讓利酬賓”，于“五一”期間舉辦了抽獎促銷活動．活動規定：凡在商場消費一定金額的顧客，均可獲得一次抽獎機會．抽獎方案如下：從裝有大小質地完全相同的1個紅球及編號為①②③的3個黃球的袋中，隨機摸出1個球，若摸得紅球，則中獎，可獲得獎品：若摸得黃球，則不中獎．同時，還允許未中獎的顧客將其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1個紅球或黃球（它們的大小質地與袋中的4個球完全相同），然后從中隨機摸出1個球，記下顏色后不放回，再從中隨機摸出1個球，若摸得的兩球的顏色相同，則該顧客可獲得精美禮品一份．現已知某顧客獲得抽獎機會．(1)求該顧客首次摸球中獎的概率；(2)假如該顧客首次摸球未中獎，為了有更大機會獲得精美禮品，他應往袋中加入哪種顏色的球？說明你的理由
1．（2023·安徽蕪湖·統考二模）如圖，電路圖上有4個開關和1個小燈泡，在所有的元件和線路都正常的前提下．下列操作中，“小燈泡發光”這個事件是隨機事件的是（ ）
A．只閉合1個開關 B．只閉合2個開關 C．只閉合3個開關 D．閉合4個開關
2．（2023·廣東湛江·校聯考三模）下列說法中錯誤的是（　 ）
A．擲一枚普通的正六面體骰子，出現向上一面點數是的概率是
B．從裝有個紅球的袋子中，摸出個白球是不可能事件
C．任意拋擲一枚圖釘，釘尖觸地和釘尖朝上的概率不相等
D．某種彩票的中獎率為，買張彩票一定有張中獎
3．（2023·河南周口·校聯考模擬預測）豫劇，又叫河南梆子、河南謳、土梆子等，是發源于河南省的一個戲曲劇種．如圖，豫劇愛好者小華購買了《豫劇》特種郵票1套3枚，第1枚《花木蘭》，第2枚《七品芝麻官》，第3枚《朝陽溝》，并計劃把其中的兩枚送給好朋友樂樂和妙妙．小華將它們背面朝上放在桌面上（郵票背面完全相同），先讓樂樂從中隨機抽取一枚（不放回），再讓妙妙從中隨機抽取一枚，則妙妙抽到第三枚《朝陽溝》的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·山東青島·統考模擬預測）學校通過以下方式抽取部分同學免費參加活動：在一個裝有6個紅球和若干白球（每個球除顏色外，其它都相同）的袋中，隨機摸一個球，摸到一個紅球就得“民間美術展”活動門票一張，已知參加抽取活動的同學共有人，“民間美術展”活動門票張，則白球的數量是（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
5．（2023·河南濮陽·統考三模）在“河南美食簡介”競答活動中，第一題組共設置“河南燴面”“胡辣湯”“洛陽酸漿面條”“開封雙麻火燒”四種美食，參賽的甲、乙二人從以上四種美食中隨機選取一個進行簡介，則兩人恰好選中同一種美食的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·北京海淀·校考模擬預測）（多選題）罰球是籃球比賽中得分的一個組成部分，罰球命中率的高低對籃球比賽的結果影響很大．下圖是對某球員罰球訓練時命中情況的統計：
下面推斷中合理的是（ ）
A．當罰球次數是500時，該球員命中次數是411，所以“罰球命中”的概率是
B．隨著罰球次數的增加，“罰球命中”的頻率總在附近擺動，顯示出一定的穩定性，可以估計該球員“罰球命中”的概率是
C．由于該球員“罰球命中”的頻率的平均值是，所以“罰球命中”的概率是
D．若讓該球員再進行1000次的罰球訓練，命中的個數可能會超過812次

7．（2023·廣東河源·統考一模）現在從“，0，1，3”四個數中任選兩個數作為一次函數的系數k，b，則一次函數的圖象經過一、二、四象限的概率為 ．
8．（2023·江蘇鹽城·校考二模）《周髀算經》中提出了“方屬地，圓屬天”，也就是人們常說的“天圓地方”．我國古代銅錢的鑄造也蘊含了這種“外圓內方”“天地合一”的哲學思想，現將銅錢抽象成如圖所示的圖形，其中圓的半徑為r，正方形的邊長為，若在圓內隨機取點，得到點取自陰影部分的概率為P，則圓周率π的值為 （用所給字母表示．）
9．（2023·安徽·模擬預測）一個不透明的箱子里裝有藍、白兩種顏色的球共個，它們除顏色外，其他都相同．李明將球攪勻后從箱子中隨機摸出個球，記下顏色后，再將它放回，不斷重復實驗．多次實驗結果如表．
摸球次數
白球頻率
(1)當摸球次數足夠多時，摸到白球的頻率將會穩定于______（精確到）左右，從箱子中摸一次球，估計摸到藍球的概率是______．(2)從該箱子里隨機摸出個球，不放回，再摸出個球．用列舉法求摸到個藍球、個白球的概率．
10．（2023·河北唐山·統考二模）有四個完全相同的小球，分別標注，，1，3這四個數字．把標注后的小球放入不透明的口袋中，從中隨機拿出兩個小球，所標數字和的絕對值為k的概率記作（如：是任取兩個數，其和的絕對值為3的概率）。(1)用列表法求；(2)張亮認為：的所有取值的眾數大于它們的平均數，你認為張亮的想法正確嗎？請通過計算說明；(3)能否找到概率，，（），使．若能找到，請舉例說明；若不能找到，請說明理由．
11．（2023·山西·山西大附中校考一模）某商場，為了吸引顧客，在“元旦”當天舉辦了商品有獎酬賓活動，凡購物滿200元者，有兩種獎勵方案供選擇：
方案一：是直接獲得20元的禮金券；
方案二：是得到一次搖獎的機會．規則如下：已知如圖是由轉盤和箭頭組成的兩個轉盤A、B，這兩個轉盤除了顏色不同外，其它構造完全相同，搖獎者同時轉動兩個轉盤，指針分別指向一個區域（指針落在分割線上時重新轉動轉盤），根據指針指向的區域顏色（如表）決定送禮金券的多少．
指針指向 兩紅 一紅一藍 兩藍
禮金券（元） 18 9 18
(1)請你用列表法（或畫樹狀圖法）求兩款轉盤指針分別指向一紅區和一藍區的概率．(2)如果一名顧客當天在本店購物滿200元，若只考慮獲得最多的禮品券，請你幫助分析選擇哪種方案較為實惠．
1．（2023·廣東肇慶·統考三模）暑假里5名同學結伴乘動車外出旅游，實名制購票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五個座位（一排共五個座位），上車后五人在這五個座位上隨意坐，則恰有一人坐對與自己車票相符座位的坐法有（　　）
A．40 B．45 C．50 D．55
2．（2023·湖北省直轄縣級單位·校聯考模擬預測）動物學家通過大量的調查，估計某種動物活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率為0.5，現年20歲的這種動物活到25歲的概率是 ．
3．（2024·福建·一模）如圖，在平行四邊形紙板中，點分別為的中點，連接．將一飛鏢隨機投擲到平行四邊形紙板上，則飛鏢落在陰影部分的概率為 ．

4．（2022·廣東佛山·統考模擬預測）某商場有一個可以自由轉動的圓形轉盤（如圖）．規定：顧客購物元以上可以獲得一次轉動轉盤的機會，當轉盤停止時，指針落在哪一個區域就獲得相應的獎品（指針指向兩個扇形的交線時，當作指向右邊的扇形）．下表是活動進行中的一組統計數據：
轉動轉盤的次數
落在“鉛筆”的次數
落在“鉛筆”的頻率
(1)轉動該轉盤一次，獲得一瓶飲料的概率約為_______；（結果保留小數點后一位）
(2)經統計該商場每天約有名顧客參加抽獎活動，一瓶飲料和一支鉛筆單價和為元，支出的鉛筆和飲料的獎品總費用是元，請計算該商場每支鉛筆和每瓶飲料的費用；
(3)在（）的條件下，該商場想把每天支出的獎品費用控制在元左右，則轉盤上“一瓶飲料”區域的圓心角應調整為______度．
5．（2023·江蘇宿遷·模擬預測）在物理實驗中，當電流在一定時間段內正常通過電子元件時，每個電子元件的狀態有兩種可能：通電或斷開，并且這兩種的可能性相等．
(1)如圖1，當只有一個電子元件時，A、B之間的電流通過概率是___________；
(2)如圖2，當有兩個電子元件a、b串聯時，請用樹狀圖（或列表格）表示圖中A、B之間的電流能否通過的所有可能情況，求出A、B之間的電流通過的概率；
(3)如圖3，當有三個電子元件串聯時，猜想A，B之間電流通過的概率是___________．
6.（2023·福建福州·校考模擬預測）福州第十九中學每年的校園科學文化藝術節中的“愛心義賣會”活動，是學校同學們表現愛心的重要活動，在2021年的義賣會上，九年某班的同學設計了一個“愛心盲盒大抽獎”的活動，其規則如下：通過購買愛心小盲盒，每個愛心小盲盒3元，根據小盲盒內事先藏好的數字，可以進行兌獎，而每一位參與活動的同學都有4個小盲盒可以選擇，其中一個小盲盒藏有數字4，可以兌換4元，有一個小盲盒藏有數字2，可以兌換2元，剩余的兩個小盲盒藏有數字1，可以兌換1元，每位同學最多只能買2個小盲盒．
(1)張同學購買了兩個小盲盒，用列表法或樹狀圖的方法求出求他購買的第1個小盲盒里藏有數字4的概率：______；(2)李同學手上有7元，請用概率統計的知識說明，從李同學最終在手上的錢的平均值為依據，她是買一個小盲盒好，還是兩個小盲盒好．
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第七章 統計與概率
第二節 概率
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 概率的相關概念 ☆☆ 概率問題在中考數學中的考察難度在中檔以下，年年都會考查，是廣大考生的得分點，分值為10分左右，預計2024年各地中考還將出現。該專題考題的類型也比較的固定，單獨考查時，通常作為選擇或者填空題，考概率的基本定義和簡單計算、頻率估計概率等。綜合考查時會和統計圖表類問題結合，作為最后一問，考查概率的樹狀圖或者列表分析。因為整體難度較小，屬于中考數學中必拿分點，審題時要多加注意即可。
考點2 頻率與概率 ☆☆
考點3 概率的相關計算 ☆☆☆
■考點一　概率的相關概念
1）確定事件與隨機事件
定義 事件發生的概率
確定事件 必然
事件 在一定條件下，有些事情我們事先肯定它一定發生，這些事情稱為必然事件。 P(必然事件)=1
不可能事件 在一定條件下，有些事情我們事先肯定它一定不會發生，這些事情稱為不可能事件。 P(不可能事件)=0
不確定事件（隨機事件） 在一定條件下，許多事情我們無法確定它會不會發生，這些事情稱為不確定事件（又叫隨機事件）。 0＜P(隨機事件)＜1
2）概率的定義及計算公式
概率的定義：一般地，對于一個隨機事件A，把刻畫其發生可能性大小的數值，稱之為隨機事件A發生的概率，記為P(A)。
概率的意義：一個事件發生的概率是一個確定的數，它從數值上刻畫了一個隨機事件發生的可能性的大小。
■考點二　頻率與概率
1）利用頻率估計概率：一般地，在大量重復試驗中，如果事件發生的頻率穩定在某個常數P附近，因此，用一個事件發生的頻率來估計這一事件發生的概率。
2）適用條件：當試驗的所有可能結果不是有限個，或各種結果發生的可能性不相等時，我們一般要通過統計頻率來估計概率．
3）方法：進行大量重復試驗，當事件發生的頻率越來越靠近一個常數時，該常數就可認為是這個事件發生的概率．
■考點三　概率的相關計算方法
1）概率的計算方法：
（1）概率公式： P（A）=，其中n為所有事件的總數，m為事件A發生的總次數。
（2）列表法：當一次試驗要涉及兩個因素，并且可能出現的結果數目較多時，應不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用列表法求事件發生的概率。
（3）樹狀圖法：當一次試驗要涉及2個或更多的因素時，通常采用畫樹狀圖來求事件發生的概率。
2）概率的應用：概率是和實際結合非常緊密的數學知識，可以對生活中的某些現象做出評判，如解釋摸獎、評判游戲活動的公平性、數學競賽獲獎的可能性等等，還可以對某些事件做出決策。
■易錯提示
1. 當一次試驗要涉及兩個因素或一個因素做兩次試驗并且可能出現的結果數目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常可以采用列表法，也可以用樹狀圖法. 當試驗包含三步或三步以上時，不能用列表法，用畫樹狀圖法比較方便。
2. 概率是頻率的穩定值，頻率是概率的近似值，且隨實驗次數的增多，值越來越精確。
■考點一　概率的相關概念
◇典例1：（2023·湖北襄陽·統考中考真題）襄陽氣象臺發布的天氣預報顯示，明天襄陽某地下雨的可能性是，則“明天襄陽某地下雨”這一事件是（ ）
A．必然事件 B．不可能事件 C．隨機事件 D．確定性事件
【答案】C
【分析】隨機事件（不確定事件）：無法預先確定在一次實驗中會不會發生的事件，稱它們為不確定事件或隨機事件；不可能事件：稱那些在每一次實驗中都一定不會發生的事件為不可能事件．
【詳解】解：明天襄陽某地下雨這一事件是隨機事件，故選：C．
【點睛】本題主要考查隨機事件，熟記必然事件、隨機事件、不可能事件的概念是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023·遼寧營口·統考中考真題）下列事件是必然事件的是（ ）
A．四邊形內角和是360° B．校園排球比賽，九年一班獲得冠軍
C．擲一枚硬幣時，正面朝上 D．打開電視，正在播放神舟十六號載人飛船發射實況
【答案】A
【分析】根據事件發生的可能性大小判斷相應事件的類型即可．
【詳解】解：A、四邊形內角和是360°是必然事件，故此選項符合題意；
B、校園排球比賽，九年一班獲得冠軍是隨機事件，故此選項不符合題意；
C、擲一枚硬幣時，正面朝上是隨機事件，故此選項不符合題意；
D、打開電視，正在播放神舟十六號載人飛船發射實況是隨機事件，故此選項不符合題意；故選：A．
【點睛】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件．
2．（2023·浙江·統考一模）下列事件中，是隨機事件的是（ ）
A．明天太陽從東方升起 B．平面內不共線的三點確定一個圓
C．任意畫一個三角形，其內角和是 D．經過有交通信號的路口時遇見紅燈
【答案】D
【分析】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．據事件發生的可能性大小判斷即可．
【詳解】解：A、明天太陽從東方升起，是必然事件，不符合題意；
B、平面內不共線的三點確定一個圓，是必然事件，不符合題意；
C、任意畫一個三角形，其內角和是540°，是不可能事件，不符合題意；
D、經過有交通信號燈的路口時遇到紅燈，是隨機事件，符合題意；故選：D．
◇典例2：（2023·河北·統考中考真題）1有7張撲克牌如圖所示，將其打亂順序后，背面朝上放在桌面上．若從中隨機抽取一張，則抽到的花色可能性最大的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據概率計算公式分別求出四種花色的概率即可得到答案．
【詳解】解：∵一共有7張撲克牌，每張牌被抽到的概率相同，其中黑桃牌有1張，紅桃牌有3張，梅花牌有1張，方片牌有2張，
∴抽到的花色是黑桃的概率為，抽到的花色是紅桃的概率為，抽到的花色是梅花的概率為，抽到的花色是方片的概率為，∴抽到的花色可能性最大的是紅桃，故選B．
【點睛】本題主要考查了簡單的概率計算，正確求出每種花色的概率是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023·貴州·統考中考真題）在學校科技宣傳活動中，某科技活動小組將3個標有“北斗”，2個標有“天眼”，5個標有“高鐵”的小球（除標記外其它都相同）放入盒中，小紅從盒中隨機摸出1個小球，并對小球標記的內容進行介紹，下列敘述正確的是（ ）
A．摸出“北斗”小球的可能性最大 B．摸出“天眼”小球的可能性最大
C．摸出“高鐵”小球的可能性最大 D．摸出三種小球的可能性相同
【答案】C
【分析】根據概率公式計算摸出三種小球的概率，即可得出答案．
【詳解】解：盒中小球總量為：（個），摸出“北斗”小球的概率為：，
摸出“天眼”小球的概率為：，摸出“高鐵”小球的概率為：，
因此摸出“高鐵”小球的可能性最大．故選C．
【點睛】本題考查判斷事件發生可能性的大小，掌握概率公式是解題的關鍵．
2．（2023·廣東云浮·統考二模）在不透明的袋子里裝有個紅球、個白球、個黑球，它們除顏色外都相同，從袋子中任意摸出個球．下列判斷正確的是（ ）
甲：摸到紅球比摸到白球的可能性小；乙：摸到紅球和摸到黑球的可能性相同
A．只有甲對 B．只有乙對 C．甲、乙都對 D．甲、乙都不對
【答案】C
【分析】根據個數最多的就得到可能性最大分別分析即可．
【詳解】解：依題意，個紅球、個白球、個黑球，白球的個數最多，
∴摸到紅球比摸到白球的可能性小，故甲正確；
摸到紅球和摸到黑球的可能性相同，故乙正確；故選：C．
【點睛】此題主要考查了隨機事件以及可能性大小，利用可能性大小的比較：只要總情況數目相同，誰包含的情況數目多，誰的可能性就大；反之也成立；若包含的情況相當，那么它們的可能性就相等得出是解題關鍵．
◇典例3：（2023·黑龍江哈爾濱·統考中考真題）將枚黑棋子5枚白棋子裝入一個不透明的空盒子里，這些棋子除顏色外無其他差別，從盒子中隨機取出一枚棋子，則取出的棋子是黑棋子的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取出的棋子是黑棋子的概率：，據此即可求解．
【詳解】解：由題意得：取出的棋子是黑棋子的概率為： 故選：D
【點睛】本題考查概率的計算．熟記概率公式是解題關鍵．
◆變式訓練
1．（2023·廣東佛山·校考一模）在一個不透明的口袋中，裝有3個黃球和4個白球，它們除顏色外都相同，從中任意摸出一個球，摸到白球的概率為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了根據公式計算概率，熟練掌握公式是解題的關鍵．
【詳解】解：從中任意摸出一個球，摸到白球的概率．故選：C．
2．（2023·浙江·統考中考真題）現有三張正面印有2023年杭州亞運會吉祥物琮琮、宸宸和蓮蓮的不透明卡片，卡片除正面圖案不同外，其余均相同，將三張卡片正面向下洗勻，從中隨機抽取一張卡片，則抽出的卡片圖案是琮琮的概率是 ．

【答案】
【分析】根據概率公式即可求解．
【詳解】將三張卡片正面向下洗勻，從中隨機抽取一張卡片，則抽出的卡片圖案是琮琮的概率是。故答案為：．
【點睛】本題考查了概率公式求概率，熟練掌握概率公式是解題的關鍵．
◇典例4：（2023·山東煙臺·統考中考真題）如圖，在正方形中，陰影部分是以正方形的頂點及其對稱中心為圓心，以正方形邊長的一半為半徑作弧形成的封閉圖形．將一個小球在該正方形內自由滾動，小球隨機地停在正方形內的某一點上．若小球停在陰影部分的概率為，停在空白部分的概率為，則與的大小關系為（ ）

A． B． C． D．無法判斷
【答案】B
【分析】根據題意可得陰影部分面積等于正方形面積的一半，進而即可求解．
【詳解】解：如圖所示，連接交于O，
由題意得，分別是正方形四條邊的中點，∴點O為正方形的中心，∴，

根據題意，可得扇形的面積等于扇形的面積，∴，
∴陰影部分面積等于空白部分面積，即陰影部分面積等于正方形面積的一半∴，故選：B．
【點睛】本題考查了正方形的性質，扇形面積，幾何概率，得出陰影部分面積等于正方形面積的一半是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023·江蘇·統考中考真題）如圖，飛鏢游戲板中每一塊小正方形的面積相等．任意投擲飛鏢1次且擊中游戲板，則擊中陰影部分的概率是 ．
【答案】
【分析】根據幾何概率的求解公式即可求解．
【詳解】解：∵總面積為9個小正方形的面積，其中陰影部分面積為5個小正方形的面積，
∴擊中陰影部分的概率是，故答案為：．
【點睛】此題主要考查概率的求解，解題的關鍵是熟知幾何概率的公式．
2．（2023·廣東深圳·校考模擬預測）如圖平行四邊形中，E為的中點，交與點O，若隨機向平行四邊形內投一粒米，則米粒落在圖中陰影部分的概率為 ．

【答案】
【分析】根據平行四邊形的性質得到，推出，證得，整理得到，由，得到，即可得到米粒落在圖中陰影部分的概率．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，
∴，∴，∴，即
∵，∴，
∴，即米粒落在圖中陰影部分的概率為，故答案為：．
【點睛】此題考查了平行四邊形的性質，相似三角形的判定和性質，求幾何概率，正確掌握各圖形的判定和性質定理是解題的關鍵．
■考點二　頻率與概率
◇典例5：（2023·江蘇泰州·統考中考真題）在相同條件下的多次重復試驗中，一個隨機事件發生的頻率為f，該事件的概率為P．下列說法正確的是（ ）
A．試驗次數越多，f越大 B．f與P都可能發生變化
C．試驗次數越多，f越接近于P D．當試驗次數很大時，f在P附近擺動，并趨于穩定
【答案】D
【分析】根據頻率的穩定性解答即可．
【詳解】解：在多次重復試驗中，一個隨機事件發生的頻率會在某一個常數附近擺動，并且趨于穩定這個性質稱為頻率的穩定性．故選：D．
【點睛】本題考查了頻率與概率，掌握頻率的穩定性是關鍵．
◆變式訓練
1.（2023·江西撫州·統考一模）以下說法合理的是（ ）
A．小明做了3次擲圖釘的實驗，發現2次釘尖朝上，由此他說釘尖朝上的概率是
B．某彩票的中獎概率是5%，那么買100張彩票一定有5張中獎
C．某射擊運動員射擊一次只有兩種可能的結果：中靶與不中靶，所以他擊中靶的概率是
D．小明做了3次擲均勻硬幣的實驗，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他認為再擲一次，正面朝上的概率還是
【答案】D
【分析】直接利用概率的意義分別分析得出答案．
【詳解】解：A、小明做了3次擲圖釘的實驗，發現2次釘尖朝上，由此他說釘尖朝上的概率是是錯誤的，3次試驗不能總結出概率，故選項A錯誤，不符合題意；B、某彩票的中獎概率是，那么買100張彩票可能有5張中獎，但不一定有5張中獎，故選項B錯誤，不符合題意；
C、某射擊運動員射擊一次只有兩種可能的結果：中靶與不中靶，所以他擊中靶的概率是不正確，中靶與不中靶不是等可能事件，故選項C錯誤，不符合題意；
D、小明做了3次擲均勻硬幣的實驗，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他認為再擲一次，正面朝上的可能性是，故選項D正確，符合題意．故選：D．
【點睛】此題主要考查了概率的意義，正確理解概率的意義是解題關鍵．
2.（2023·福建廈門·統考模擬預測）下列說法正確的是（ ）
A．為了解某品牌的日光燈壽命，適宜采取全面調查方式
B．某彩票的中獎機會是，買100張一定會中獎
C．拋一枚硬幣正面朝上的概率為，則拋一枚硬幣有的可能出現正面朝上
D．“若a是實數，則”是必然事件
【答案】C
【分析】根據抽樣調查和全面調查的定義、等可能事件及必然事件的定義逐一判斷即可求解．
【詳解】解：A、為了解某品牌的日光燈壽命，適宜采取抽樣調查方式，則說法錯誤，故A選項不符合題意；B、某彩票的中獎機會是，買100張一定會中獎，說法錯誤，故B選項不符合題意；
C、拋一枚硬幣正面朝上的概率為，則拋一枚硬幣有的可能出現正面朝上，說法正確，故C選項符合題意；D、“若a是實數，則”是必然事件，則說法錯誤，故D選項不符合題意，故選C．
【點睛】本題考查抽樣調查和全面調查的定義、隨機事件及概率，熟練掌握其基礎知識是解題的關鍵．
◇典例6：（2023·甘肅·統考中考真題）某學習小組做拋擲一枚瓶蓋的實驗，整理的實驗數據如下表：
累計拋擲次數 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
蓋面朝上次數 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2850
蓋面朝上頻率
下面有三個推斷：①通過上述實驗的結果，可以推斷這枚瓶蓋有很大的可能性不是質地均勻的；
②第2000次實驗的結果一定是“蓋面朝上”；③隨著實驗次數的增大，“蓋面朝上”的概率接近0.53．
其中正確的是 ．（填序號）
【答案】①③
【分析】根據表中數據及頻率估計概率依次判斷即可．
【詳解】解：①通過上述實驗的結果，發現蓋面朝上的次數多與累計次數的一半，可以推斷這枚瓶蓋有很大的可能性不是質地均勻的，故正確；
②實驗是隨機的，第2000次實驗的結果不一定是“蓋面朝上”，故錯誤；
③隨著實驗次數的增大，“蓋面朝上”的概率接近0.53，故正確．故答案為：①③．
【點睛】本題考查頻率估計概率，結合表中數據求解是解題關鍵．
◆變式訓練
1．（2024·遼寧撫順·統考二模）某種麥粒在相同條件下進行發芽試驗，結果如下表所示：
試驗的麥粒數
發芽的麥粒數
發芽的頻率
則任取一粒麥粒，估計它能發芽的概率約為 ．（結果精確到）
【答案】
【分析】本題考查用頻率估計概率，讀懂表格是關鍵．根據表格即可求解．
【詳解】解：由表格可得：隨著實驗麥粒數的增加，其發芽的頻率穩定在左右，
任取一粒麥粒，它能發芽的概率約為，故答案為：．
2．（2023·福建廈門·校考模擬預測）春節假期歐亞商場為了吸引顧客，舉行有獎酬賓活動：凡購物滿100元，均可得到一次摸獎的機會．不透明的盒子中裝有紅、黃兩種顏色的小球共20個，除顏色外無其他差別，隨機摸出一個小球，如果摸到紅色小球則有機會以優惠價1.88元購買“大福字”一個．如圖顯示了活動第一天開展上述摸球活動的獲獎的結果．李老師在活動第二天去購物，剛好消費了100元，推測李老師能以優惠價購買“大福字”的概率為 ．
【答案】0.35
【分析】本題主要考查利用頻率估計概率，在同樣條件下，做大量的重復試驗，利用一個隨機事件發生的頻率逐漸穩定到某個常數，可以估計這個事件發生的概率．隨著摸球次數的增加，“摸到紅球”的頻率逐漸穩定于0.35，據此利用頻率估計概率即可．
【詳解】解：由題意知，隨著摸球次數的增加，“摸到紅球”的頻率逐漸穩定于0.35，
所以推測李老師能以優惠價購買“大福字”的概率為0.35，故答案為：0.35．
◇典例7：（2023·遼寧錦州·統考中考真題）一個不透明的盒子中裝有若干個紅球和個黑球，這些球除顏色外均相同．經多次摸球試驗后發現，摸到黑球的頻率穩定在左右，則盒子中紅球的個數約為 ．
【答案】
【分析】設袋子中紅球有個，根據摸到黑球的頻率穩定在左右，可列出關于的方程，求出的值，從而得出結果．
【詳解】解：設袋子中紅球有個，根據題意，得,
∴盒子中紅球的個數約為，故答案為：
【點睛】本題主要考查了利用頻率估計概率，熟練掌握求概率公式是解此題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023·山東青島·統考一模）在一個不透明的盒子中裝有a個黑白顏色的球，小明又放入了4個紅球，這些球大小相同．若每次將球充分攪勻后，任意摸出1個球記下顏色再放回盒子．通過大量重復試驗后，發現摸到紅球的頻率穩定在左右，則a的值大約為（ ）
A．10 B．16 C．25 D．30
【答案】B
【分析】本題利用了用大量試驗得到的頻率可以估計事件的概率．關鍵是根據紅球的頻率得到相應的等量關系．在同樣條件下，大量反復試驗時，隨機事件發生的頻率逐漸穩定在概率附近，可以從比例關系入手，列出方程求解．
【詳解】解：由題意可得，，解得，，
經檢驗：是原分式方程的解，所以，故選：B．
2.（2023·四川廣安·統考一模）近幾年，二維碼逐漸進入了人們的生活，成為廣大民眾生活中不可或缺的一部分．如圖是一個面積為6的正方形二維碼，為了估計黑色陰影部分的面積，小張在二維碼內隨機擲點，經過大量重復試驗，發現點落在黑色陰影部分的頻率穩定在0.6附近，則可估計該二維碼中黑色陰影部分的面積為 ．
【答案】
【分析】本題考查了頻率估計概率，由，即可求解；理解頻率與概率之間的關系，掌握解法是解題的關鍵．
【詳解】解：由題意得：，解得：，故答案為：．
3．（2023·河北·模擬預測）在一個不透明的盒子里裝有黑、白兩種顏色的球共個，小穎做摸球試驗，她將盒子里面的球攪勻后從中隨機摸出一個球，記下顏色，然后把它放回盒子中，不斷重復上述過程．如圖所示為“摸到白球”的頻率折線統計圖．
(1)請估計：當n足夠大時，摸到白球的頻率將會接近__________（結果精確到），假如小李摸一次球，小李摸到白球的概率為__________；(2)試估算盒子里白、黑兩種顏色的球各有多少個；
(3)在（2）的條件下，如果要使摸到白球的頻率穩定在，需要往盒子里再放入多少個白球？
【答案】(1)，(2)估算盒子里白、黑兩種顏色的球各有個(3)個
【分析】本題考查了用頻率估計概率，已知概率求數量，分式方程的應用．熟練掌握用頻率估計概率，已知概率求數量，分式方程的應用是解題的關鍵．（1）根據用頻率估計概率求解作答即可；
（2）由題意知，盒子里白顏色的球有（個），則黑顏色的球有（個）；
（3）設需要往盒子里再放入個白球，依題意得，，計算求解，然后作答即可．
【詳解】（1）解：由統計圖可知，當n足夠大時，摸到白球的頻率將會接近，假如小李摸一次球，小李摸到白球的概率為，故答案為：，；
（2）解：由題意知，盒子里白顏色的球有（個），黑顏色的球有（個）；
∴估算盒子里白、黑兩種顏色的球各有個；
（3）解：設需要往盒子里再放入個白球，
依題意得，，，解得，，
經檢驗，是原分式方程的解，∴需要往盒子里再放入個白球．
■考點三　概率的相關計算方法
◇典例8：（2023·湖南·統考中考真題）一個布袋中放著3個紅球和9個黑球，這兩種球除了顏色以外沒有任何其他區別．布袋中的球已經攪勻．從布袋中任取1個球，取出紅球的概率是 ．
【答案】/0.25
【分析】根據公式計算即可．
【詳解】∵一個布袋中放著3個紅球和9個黑球，∴取出紅球的概率是，故答案為：．
【點睛】本題考查了根據概率公式計算概率，熟練掌握公式是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023·江蘇·校考模擬預測）一個不透明的布袋里裝有2個白球，1個黑球和若干個紅球，它們除顏色外其余都相同，從中任意摸出1個球，是白球的概率為．則布袋里紅球有 個.
【答案】1
【分析】設布袋里紅球有x個，根據白球的概率列方程求解可得．
【詳解】解：設布袋里紅球有x個，
由題意得：，解得：，經檢驗是原方程的解．
∴布袋里紅球有1個，故答案為：1．
【點睛】本題考查根據概率求球的個數，認真讀懂題意是關鍵．
2．（2023·廣東深圳·校考模擬預測）在一個不透明的布袋中裝有個白球和個黃球，它們除顏色不同外，其余均相同，若從中隨機摸出一個球，摸到黃球的概率是 ， 則 ．
【答案】9
【分析】根據概率公式列出方程求解即可．
【詳解】∵在一個不透明的布袋中裝有個白球和個黃球，
∴共有個球，其中黃球n個，
根據概率公式知：，解得，
經檢驗，是原方程的根，方程的解為：，故答案為：9．
【點睛】此題考查概率公式和分式方程，解題關鍵在于根據概率公式列出方程．
◇典例9：（2023·山東淄博·統考中考真題）“敬老愛老”是中華民族的優秀傳統美德．小剛、小強計劃利用暑期從，，三處養老服務中心中，隨機選擇一處參加志愿服務活動，則兩人恰好選到同一處的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】畫出樹狀圖展示所有9種等可能的結果數，找出兩人恰好選擇同一場所的結果數，然后根據概率公式求解．
【詳解】解：畫樹狀圖如圖：
共有9種等可能的結果數，其中兩人恰好選擇同一場所的結果數為3，
∴明明和亮亮兩人恰好選擇同一場館的概率,故選：B．
【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果，再從中選出符合事件或的結果數目，然后利用概率公式計算事件或事件的概率．
◆變式訓練
1．（2023·山東·統考中考真題）一個不透明的袋子中裝有2個紅球、3個黃球，每個球除顏色外都相同．曉君同學從袋中任意摸出1個球（不放回）后，曉靜同學再從袋中任意摸出1個球．兩人都摸到紅球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題意畫出樹狀圖得出所有等可能的情況數，找出兩人都摸到紅球的情況數，然后根據概率公式即可得出答案．
【詳解】解：根據題意畫樹狀圖如下：

由樹狀圖知，共有20種等可能的情況數，其中兩人都摸到紅球的有2種，
則兩人都摸到紅球的概率是．故選：A．
【點睛】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率．樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．
2．（2023·河南·統考中考真題）為落實教育部辦公廳、中共中央宣傳部辦公廳關于《第41批向全國中小學生推薦優秀影片片目》的通知精神，某校七、八年級分別從如圖所示的三部影片中隨機選擇一部組織本年級學生觀看，則這兩個年級選擇的影片相同的概率為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先畫樹狀圖，再根據概率公式計算即可．
【詳解】設三部影片依次為A、B、C，根據題意，畫樹狀圖如下：
故相同的概率為．故選B．
【點睛】本題考查了畫樹狀圖法計算概率，熟練掌握畫樹狀圖法是解題的關鍵．
◇典例10：（2023·湖南常德·統考中考真題）我市“神十五”航天員張陸和他的兩位戰友已于2023年6月4日回到地球家園，“神十六”的三位航天員已在中國空間站開始值守，空間站的主體結構包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙，假設“神十六”甲、乙、丙三名航天員從核心艙進入問天實驗艙和夢天實驗艙開展實驗的機會均等，現在要從這三名航天員中選2人各進入一個實驗艙開展科學實驗，則甲、乙兩人同時被選中的概率為( )

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用列表法表示出所有等可能得結果，然后利用概率公式求解即可．
【詳解】
甲 乙 丙
甲 （乙，甲） （丙，甲）
乙 （甲，乙） （丙，乙）
丙 （甲，丙） （乙，丙）
有表格可得，一共有6種等可能得結果，其中甲、乙兩人同時被選中的結果有2種，
∴甲、乙兩人同時被選中的概率為．故選：B．
【點睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．
◆變式訓練
1．（2023·內蒙古赤峰·統考中考真題）某校在勞動課上，設置了植樹、種花、除草三個勞動項目．九年一班和九年二班都通過抽簽的方式從這三個項目中隨機抽取一個項目，則這兩個班級恰好都抽到種花的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據列表法求概率即可求解．
【詳解】解：設分別表示植樹、種花、除草三個勞動項目，列表如下，
共有9種等可能結果，符合題意得出有1種，∴這兩個班級恰好都抽到種花的概率是，故選：D．
【點睛】本題考查了列表法求概率，熟練掌握求概率的方法是解題的關鍵．
2．（2023·寧夏·統考中考真題）如圖，在標有數字1，2，3，4的四宮格里任選兩個小方格，則所選方格中數字之和為4的概率是 ．
【答案】
【分析】利用列表法求概率即可．
【詳解】解：列表如下：
1 2 3 4
1 3 4 5
2 3 5 6
3 4 5 7
4 5 6 7
共有12種等可能的結果，其中和為4有2種等可能的結果，∴．故答案為：．
【點睛】本題考查列表法求概率．熟練掌握列表法，是解題的關鍵．
◇典例11：（2023·江蘇·統考中考真題）在張相同的小紙條上，分別寫有：①；②；③；④乘法；⑤加法．將這張小紙條做成支簽，①、②、③放在不透明的盒子中攪勻，④、⑤放在不透明的盒子中攪勻．(1)從盒子中任意抽出支簽，抽到無理數的概率是______；
(2)先從盒子中任意抽出支簽，再從盒子中任意抽出支簽，求抽到的個實數進行相應的運算后結果是無理數的概率．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先判斷盒子中無理數的個數，再根據概率公式進行計算即可；（2）據題意畫出所有的組合情況，再計算出對應的運算結果，得到運算結果是無理數的個數，再據概率公式進行計算即可．
【詳解】（1）解：∵，故和均為無理數，
故盒子中任意抽出支簽，抽到無理數的概率是．故答案為：．
（2）解：樹狀圖畫出所有情況為：
即抽簽的組合有種，分別為：
組合情況 運算結果 運算結果是否是無理數
第一種組合 ，，乘法 否
第二種組合 ，，加法 是
第三種組合 ，，乘法 是
第四種組合 ，，加法 是
第五種組合 ，，乘法 否
第六種組合 ，，加法 是
第七種組合 ，，乘法 是
第八種組合 ，，加法 是
第九種組合 ，，乘法 是
第十種組合 ，，加法 是
第十一種組合 ，，乘法； 是
第十二種組合 ，，加法 是
對應的組合運算結果共個，其中運算結果為無理數的有個，
故抽到的個實數進行相應的運算后結果是無理數的概率為．
【點睛】本題考查了概率公式求概率，畫樹狀圖求概率，無理數的定義等，解題的關鍵是求所有情況下運算的結果，判斷結果是無理數的個數．
◆變式訓練
1．（2023·江蘇鹽城·校考二模）鹽城地處黃海之濱，市域內海洋灘涂資源豐富，灘涂面積占江蘇省灘涂總面積近70%，被譽為“東方濕地之都”．黃海濕地文化是鹽城身份認同、文化自信的重要載體，丹頂鶴、麋鹿、勺嘴鷸“濕地吉祥三寶”更是世界聞名．為保護與宣傳這“三寶”，某校生物興趣小組設計了3張環保宣傳卡片，正面分別繪有丹頂鶴、麋鹿、勺嘴鷸圖案，除此之外卡片完全相同．

(1)將這3張卡片背面朝上，洗勻，從中隨機抽取一張，則抽取的卡片正面圖案恰好是“麋鹿”的概率為_____；(2)將這3張卡片背面朝上，洗勻，從中隨機抽取一張，不放回，再從剩余的兩張卡片中隨機抽取一張，請用列表或畫樹狀圖的方法，求抽取的卡片正面圖案恰好是“丹頂鶴”和“勺嘴鷸”的概率．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用概率公式可直接得出答案；（2）利用列表或畫樹狀圖的方法表示出所有等可能的情況，再從中找出符合條件的情況數，利用概率公式求解．
【詳解】（1）解：由題意知，恰好是“麋鹿”的概率為，故答案為：；
（2）解：畫樹狀圖如下：

由圖可知，共有6種等可能的情況，其中恰好是“丹頂鶴”和“勺嘴鷸”的情況有2種，，
因此抽取的卡片正面圖案恰好是“丹頂鶴”和“勺嘴鷸”的概率是．
【點睛】本題考查列表或畫樹狀圖法求概率，解題的關鍵是通過列表或畫樹狀圖表示出所有等可能的情況，做到不重復、不遺漏．
2．（2023·安徽·模擬預測）甲、乙兩人用擲硬幣方式進行游戲，已知擲一枚質地均勻的硬幣，出現正面朝上和反面朝上的可能性相同．(1)若甲投擲一枚質地均勻的硬幣，正面朝上則前進一步，反面朝上則后退一步，假設每次步長相同，那么投擲兩次后，求甲前進兩步的概率；(2)若甲、乙兩人相隔兩步面對面站立，兩人共同投擲一枚質地均勻的硬幣，正面朝上則同時前進一步，反面朝上則同時后退一步，互相阻礙則兩人原地不動，假設兩人步長相同．那么投擲三次硬幣后，求甲、乙兩人間距離為0的概率．
【答案】(1)(2)
【分析】本題考查了概率的應用，掌握概率的計算公式以及樹狀圖或列表法是解題關鍵．
（1）列舉出甲兩次投硬幣的所有可能結果，即可求解；
（2）畫出樹狀圖，確定可能出現的所有結果以及滿足條件的結果數，即可求解．
【詳解】（1）解：由題意得甲兩次投硬幣的結果有4種，每種結果發生的可能性相同，
分別為（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）．
其中甲前進兩步的結果是（正，正），只有1種，甲前進兩步的概率為．
（2）解：根據題意可畫樹狀圖如下：

由圖可知共有8種等可能的情況，其中甲、乙兩人間距離為0的情形有3種，
甲、乙兩人間距離為0的概率為．
◇典例12：（2023·廣東廣州·統考中考真題）甲、乙兩位同學相約打乒乓球．(1)有款式完全相同的4個乒乓球拍（分別記為A，B，C，D），若甲先從中隨機選取1個，乙再從余下的球拍中隨機選取1個，求乙選中球拍C的概率；(2)雙方約定：兩人各投擲一枚質地均勻的硬幣，如果兩枚硬幣全部正面向上或全部反面向上，那么甲先發球，否則乙先發球．這個約定是否公平？為什么？
【答案】(1)(2)公平．理由見解析
【分析】（1）用列表法或畫樹狀圖法列舉出所有等可能的結果，再用乙選中球拍C的結果數除以總的結果數即可；（2）分別求出甲先發球和乙先發球的概率，再比較大小，如果概率相同則公平，否則不公平．
【詳解】（1）解：畫樹狀圖如下：
一共有12種等可能的結果，其中乙選中球拍C有3種可能的結果，∴乙選中球拍C的概率；
（2）解：公平．理由如下：畫樹狀圖如下：
一共有4種等可能的結果，其中兩枚硬幣全部正面向上或全部反面向上有2種可能的結果，
∴甲先發球的概率，乙先發球的概率，∵，∴這個約定公平．
【點睛】本題考查列表法或畫樹狀圖法求等可能事件的概率，游戲的公平性，掌握列表法或畫樹狀圖法求等可能事件的概率的方法是解題的關鍵．
◆變式訓練
1.（2023·內蒙古·統考中考真題）如圖，，兩個帶指針的轉盤分別被分成三個面積相等的扇形，轉盤上的數字分別是，，5，轉盤上的數字分別是6，，4（兩個轉盤除表面數字不同外，其他完全相同）．小聰和小明同時轉動，兩個轉盤，使之旋轉（規定：指針恰好停留在分界線上，則重新轉一次）．(1)轉動轉盤，轉盤指針指向正數的概率是________；(2)若同時轉動兩個轉盤，轉盤指針所指的數字記為，轉盤指針所指的數字記為，若，則小聰獲勝；若，則小明獲勝；請用列表法或樹狀圖法說明這個游戲是否公平．
【答案】(1)(2)這個游戲公平，理由見解析
【分析】（1）轉盤指針指向正數的概率，據此即可求解；（2）通過列表找出事件的所有等可能結果，分別計算小明獲勝的概率、小聰獲勝的概率即可進行判斷．
【詳解】（1）解：∵為正數 ∴轉盤指針指向正數的概率為：
（2）解：列表得：
6
4
一共有9種等可能的結果
其中的有4種、、、；
其中的有4種、、、
∴（小聰獲勝）；（小明獲勝） （小聰獲勝）（小明獲勝） ∴這個游戲公平
【點睛】本題考查了概率的應用．熟記概率的計算公式以及列表法（或樹狀圖）是解題關鍵．
◇典例13：（2023·安徽·模擬預測）綜合與實踐
【問題再現】(1)課本中有這樣一道概率題：如圖1，這是一個可以自由轉動的轉盤，轉動轉盤，當轉盤停止時，指針落在藍色區域和橙色區域的概率分別是多少？請你解答．
【類比設計】(2)在元旦晚會上班長想設計一個搖獎轉盤．請你在圖2中設計一個轉盤，自由轉動這個轉盤，當它停止轉動時，三等獎：指針落在紅色區域的概率為，二等獎：指針落在白色區域的概率為，一等獎：指針落在黃色區域的概率為．
【拓展運用】(3)在一次促銷活動中，某商場為了吸引顧客，設立轉盤，轉盤被平均分為10份，顧客每消費200元轉動1次，對準紅1份，黃2份、綠3份區域，分別得獎金100元、50元、30元購物券，求轉動1次所獲購物券的平均數．
【答案】(1)P（藍色區域），P（橙色區域）(2)見解析(3)29元
【分析】（1）根據概率公式進行計算即可；（2）將轉盤均分成份，根據概率求出各種顏色所占份數，即可得解；（3）利用對準紅、黃、綠的概率乘以各自對應的錢數，即可得解．
【詳解】（1）解：根據幾何概率的意義可知，P（藍色區域），P（橙色區域）．
（2）解：根據題意，將轉盤均分成份，
則：紅色占：份；白色占：份；黃色占：份；如圖所示：（答案不唯一）；
（3）解：由題意，得：轉動1次的平均數為（元）；
答：轉動1次所獲購物券的平均數是29元．
【點睛】本題考查概率的應用，以及計算加權平均數．熟練掌握概率公式，以及加權平均數的計算方法，是解題的關鍵．
◆變式訓練
1.（2023·福建·二模）某商場舉行促銷活動，消費滿一定金額的顧客可以通過參與摸球活動獲得獎勵．具體方法如下：從一個裝有2個紅球、3個黃球（僅顏色不同）的袋中摸出2個球，根據摸到的紅球數確定獎勵金額，具體金額設置如下表：現有兩種摸球方案：
摸到的紅球數 0 1 2
獎勵（單位：元） 5 10 20
方案一：隨機摸出一個球，記下顏色后不放回，再從中隨機摸出一個球；
方案二：隨機摸出一個球，記下顏色后放回，再從中隨機摸出一個球．
(1)求方案一中，兩次都摸到紅球的的概率；(2)請你從平均收益的角度幫助顧客分析，選擇哪種摸球方案更有利
【答案】(1)(2)從平均收益的角度看，顧客選擇方案二更有利
【分析】（1）通過列表的形式表示出所有等可能的結果，再用概率公式求解即可．
（2）分別計算方案一和方案二的平均收益，再進行比較后選擇即可．
【詳解】（1）解：對于方案一，列表如下．
由上表可知，共有20種等可能的結果，兩次都摸到紅球的結果數是2．
故采用方案一摸球，兩次都摸到紅球的概率為．
（2）解：由（1）中表可知，采用方案一，兩次都摸到紅球的概率為，摸到一次紅球的概率為，沒有摸到紅球的概率為．平均收益為元．
對于方案二，列表如下．
由上表可知，共有25種等可能的結果，兩次摸到紅球的結果數是4，摸到一次紅球的結果數是12，沒有摸到紅球的結果數是9．
所以兩次都摸到紅球的概率為，摸到一次紅球的概率為，沒有摸到紅球的概率為．
平均收益為元．
∵，∴從平均收益的角度看，顧客選擇方案二更有利．
【點睛】本題考查列表法求概率，概率的實際應用，熟練掌握這些知識點是解題關鍵．
2.（2023·廣東·統考二模）某著名景區計劃在西峰修建安裝至多4條索道接送游客，過去10年景區游客統計資料顯示，景區每年游客客流量都在160萬人以上．過去10年的游客客流量的統計情況繪制成如下頻數分布直方圖（數據包括左端點，不含右端點，假設每年游客客流量不相互影響）．
以過去10年的游客客流量的統計情況為參考依據．(1)求該景區今年游客客流量不低于240萬人的概率；(2)若該景區希望安裝的索道盡可能運行，但每年索道最多可運行條數受游客客流量的限制，并有如下表關系：
年游客客流量（單位：萬人）
索道最多可運行條數 1 2 3 4
若某條索道運行，則該條索道年利潤為6000萬元；若某條索道未運行，則該條索道年虧損2000萬元，從平均獲利的角度看，幫景區作出決策，應選擇安裝2條還是3條索道獲利較多？請說明理由．
【答案】(1)(2)選擇2條索道，理由見解析
【分析】（1）以過去10年游客流量不低于240萬的比率作為今年的概率；（2）計算出不同游客流量出現的概率，再分別計算兩種方案下各種游客流量概率下的平均獲利進行比較．
【詳解】（1）該景區地過去10年游客客流量不低于240萬人的年數為（年），
占總年數的比率為，因此該景區今年游客客流量不低于240萬人的概率為；
（2）根據題意，年游客客流量在的概率為，此時可維持1條索道運行；
年游客客流量在的概率為，此時可維持2條索道運行；
年游客客流量在的概率為，此時可維持3條索道運行；
年游客客流量在的概率為，此時可維持4條索道運行；
若安裝2條索道，則平均獲利為（萬元），
若安裝3條索道，則平均獲利為（萬元），
∵，∴選擇安裝2條索道獲利較多．
【點睛】本題考查概率的應用，熟練掌握概率相關知識靈活運用是解題關鍵．
1．（2023·江蘇徐州·統考中考真題）下列事件中的必然事件是（ ）
A．地球繞著太陽轉 B．射擊運動員射擊一次，命中靶心
C．天空出現三個太陽 D．經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈
【答案】A
【分析】根據必然事件、不可能事件、隨機事件的概念，可得答案．
【詳解】解∶ A、地球繞著太陽轉是必然事件，故A正確；
B、射擊運動員射擊一次，命中靶心是隨機事件，故B錯誤；
C、天空出現三個太陽是不可能事件，故C錯誤；
D、經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈是隨機事件，故D錯誤；故選∶ A．
【點睛】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件．
2．（2023·寧夏·統考中考真題）勞動委員統計了某周全班同學的家庭勞動次數（單位：次），按勞動次數分為4組：，，，，繪制成如圖所示的頻數分布直方圖．從中任選一名同學，則該同學這周家庭勞動次數不足6次的概率是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用概率公式進行計算即可．
【詳解】解：由題意，得：；故選A．
【點睛】本題考查直方圖，求概率．解題的關鍵是從直方圖中有效的獲取信息．
3．（2023·湖南·統考中考真題）“千門萬戶曈曈日，總把新桃換舊符”．春節是中華民族的傳統節日，古人常用寫“桃符”的方式來祈福避禍，而現在，人們常用貼“福”字、貼春聯、掛燈籠等方式來表達對新年的美好祝愿．某商家在春節期間開展商品促銷活動，顧客凡購物金額滿100元，就可以從“福”字、春聯、燈籠這三類禮品中免費領取一件．禮品領取規則：顧客每次從裝有大小、形狀、質地都相同的三張卡片(分別寫有“福”字、春聯、燈籠)的不透明袋子中，隨機摸出一張卡片，然后領取一件與卡片上文字所對應的禮品．現有2名顧客都只領取了一件禮品，那么他們恰好領取同一類禮品的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分別用表示寫有“福”字、春聯、燈籠的三張卡片，利用列表法求出概率即可．
【詳解】解：分別用A，B，C表示寫有“福”字、春聯、燈籠的三張卡片，列表如下：
A B C
A A，A A，B A，C
B B，A B，B B，C
C C，A C，B C，C
共有9中等可能的結果，其中他們恰好領取同一類禮品有種等可能的結果，∴；故選C．
【點睛】本題考查列表法求概率，解題的關鍵是正確的列出表格．
4．（2023·內蒙古呼和浩特·統考中考真題）如圖所示的兩張圖片形狀大小完全相同，把兩張圖片全部從中間剪斷，再把四張形狀大小相同的小圖片混合在一起．從四張圖片中隨機摸取一張，不放回，接著再隨機摸取一張，則這兩張小圖片恰好合成一張完整圖片的概率是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】四張形狀相同的小圖片分別用、、、表示，其中和合成一張完整圖片，和合成一張完整圖片，用列表法或畫樹狀圖法可展示所有12種等可能的結果，再找出兩張小圖片恰好合成一張完整圖片的結果數，然后根據概率公式求解即可．
【詳解】解：四張形狀相同的小圖片分別用、、、表示，其中和合成一張完整圖片，和合成一張完整圖片，畫樹狀圖如下：

共有12種等可能的結果，其中兩張小圖片恰好合成一張完整圖片的結果數為4，
所以兩張小圖片恰好合成一張完整圖片的概率．故選：B．
【點睛】本題考查列表法與樹狀圖法：掌握列表法或畫樹狀圖求等可能事件概率的方法是解題的關鍵．
5．（2023·湖北恩施·統考中考真題）縣林業部門考察銀杏樹苗在一定條件下移植的成活率，所統計的銀杏樹苗移植成活的相關數據如下表所示：
移植的棵數a 100 300 600 1000 7000 15000
成活的棵數b 84 279 505 847 6337 13581
成活的頻率 0.84 0.93 0.842 0.847 0.905 0.905
根據表中的信息，估計銀杏樹苗在一定條件下移植成活的概率為（精確到0.1）（　　）
A．0.905 B．0.90 C．0.9 D．0.8
【答案】C
【分析】利用表格中數據估算這種樹苗移植成活率的概率即可得出答案．
【詳解】解：由表格數據可得，隨著樣本數量不斷增加，這種樹苗移植成活的頻率穩定在0.905，
∴銀杏樹苗在一定條件下移植成活的概率為0.9，故選：C．
【點睛】此題考查了利用頻率估計概率，大量反復試驗下頻率穩定值即為概率．
6．（2023·遼寧鞍山·統考中考真題）在一個不透明的口袋中裝有紅球和白球共12個，這些球除顏色外都相同，將口袋中的球攪勻后，從中隨機摸出1個球，記下它的顏色后再放回口袋中，不斷重復這一過程，共摸球200次，發現有50次摸到紅球，則口袋中紅球約有 個．
【答案】
【分析】利用頻率估計隨機摸出1個球是紅球的概率為，根據概率公式即可求出答案．
【詳解】解：設紅球有個，則， 答：紅球的個數約為個．故答案為：．
【點睛】本題考查利用頻率估計概率，解答本題的關鍵是明確題意，計算出相應的紅球個數．
7．（2023·山東聊城·統考中考真題）在一個不透明的袋子中，裝有五個分別標有數字，，0，2，的小球，這些小球除數字外其他完全相同．從袋子中隨機摸出兩個小球，兩球上的數字之積恰好是有理數的概率為 ．
【答案】/
【分析】列表得出所有等可能的結果數，再從中找到符合條件的結果數，然后再用概率公式求解即可．
【詳解】解：根據題意列表如下：
0 2
0
0
0 0 0 0 0
2 0
0
共有20種等可能出現的結果，兩球上的數字之積恰好是有理數的有8種，
兩球上的數字之積恰好是有理數的概率為，故答案為：．
【點睛】本題主要考查的是用列表法或樹狀圖法求概率，列表法可以重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件，用到的知識點為：概率等于所求情況數與總情況數之比．
8．（2023·江蘇鹽城·統考中考真題）隨著鹽城交通的快速發展，城鄉居民出行更加便捷.如圖，從甲鎮到乙鎮有鄉村公路和省級公路兩條路線；從乙鎮到鹽城南洋國際機場，有省級公路、高速公路和城市高架三條路線.小華駕車從甲鎮到鹽城南洋國際機場接人（不考慮其他因素）.
(1)從甲鎮到乙鎮，小華所選路線是鄉村公路A的概率為_________．
(2)用列表或畫樹狀圖的方法，求小華兩段路程都選省級公路的概率．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據概率公式計算即可；（2）列表表示出所有的可能性，再根據概率公式計算即可．
【詳解】（1）從甲鎮到乙鎮，小華所選路線是鄉村公路A的概率為，故答案為：．
（2）列表如下：
C D E
A AC AD AE
B BC BD BE
共有6種等可能的結果，其中兩段路程都選省級公路只有，共1種，
∴小華兩段路程都選省級公路的概率．
【點睛】此題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種結果，那么事件A的概率．
9．（2023·湖北黃石·統考中考真題）健康醫療大數據蘊藏了豐富的居民健康狀況、衛生服務利用等海量信息，是人民健康保障的數據金礦和證據源泉．目前，體質健康測試已成為中學生的必測項目之一．某校某班學生針對該班體質健康測試數據開展調查活動，先收集本班學生八年級的《體質健康標準登記表》，再算出每位學生的最后得分，最后得分記為x，得到下表
成績 頻數 頻率
不及格（） 6
及格（） 20%
良好（） 18 40%
優秀（） 12
(1)請求出該班總人數；(2)該班有三名學生的最后得分分別是68，88，91，將他們的成績隨機填入表格□□□，求恰好得到的表格是88，91，68的概率；(3)設該班學生的最后得分落在不及格，及格，良好，優秀范圍內的平均分分別為a，b﹐c，d，若，請求出該班全體學生最后得分的平均分，并估計該校八年級學生體質健康狀況．
【答案】(1)45人(2)(3)85分，良好
【分析】（1）用成績為良好的頻數除以所占的頻率求解即可；（2）利用列舉法列舉出所有的可能結果，再利用概率公式求解即可；（3）先利用a，b﹐c，d表示出班級全體學生的總數，再結合已知求得該班全體學生最后得分的平均分即可解決問題．
【詳解】（1）解：（人），答：該班總人數為45人；
（2）解：將68，88，91隨機排列，得68，88，91；68，91，88；88，68，91；88，91，68；91，68，88；91，88，68，共6種等可能的結果，其中恰好得到的表格是88 ，91 ，68的有1種，
∴恰好得到的表格是88，91，68的概率為；
（3）解：由題知，抽查班級的學生中，成績不及格，及格，良好，優秀的人數分別是6，9，18，12，又該班學生的最后得分落在不及格，及格，良好，優秀范圍內的平均分分別為a，b，c，d，
所以該班學生成績的總分為：，
又，所以，
則該班全體學生最后得分的平均分為：(分)，所以該校八年級學生體質健康狀況是良好．
【點睛】本題考查用列舉法求事件的概率、加權平均數及以樣本估測總體，能根據表格中的數據得出抽取的樣本容量是解題的關鍵．
10．（2023·江蘇徐州·統考中考真題）甲，乙、丙三人到淮海戰役烈士紀念塔園林游覽，若每人分別從紀念塔、紀念館這兩個景點中選擇一個參觀，且選擇每個景點的機會相等，則三人選擇相同景點的概率為多少？
【答案】
【分析】根據樹狀圖可進行求解概率．
【詳解】解：由題意可得如下樹狀圖：

∴甲、乙、丙三人分別從紀念塔、紀念館這兩個景點中選擇一個參觀，則共有8種情況，其中三人選擇相同景點參觀共有2種，所以三人選擇相同景點的概率為．
【點睛】本題主要考查概率，熟練掌握利用樹狀圖求解概率是解題的關鍵．
11．（2023·福建·統考中考真題）為促進消費，助力經濟發展，某商場決定“讓利酬賓”，于“五一”期間舉辦了抽獎促銷活動．活動規定：凡在商場消費一定金額的顧客，均可獲得一次抽獎機會．抽獎方案如下：從裝有大小質地完全相同的1個紅球及編號為①②③的3個黃球的袋中，隨機摸出1個球，若摸得紅球，則中獎，可獲得獎品：若摸得黃球，則不中獎．同時，還允許未中獎的顧客將其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1個紅球或黃球（它們的大小質地與袋中的4個球完全相同），然后從中隨機摸出1個球，記下顏色后不放回，再從中隨機摸出1個球，若摸得的兩球的顏色相同，則該顧客可獲得精美禮品一份．現已知某顧客獲得抽獎機會．(1)求該顧客首次摸球中獎的概率；(2)假如該顧客首次摸球未中獎，為了有更大機會獲得精美禮品，他應往袋中加入哪種顏色的球？說明你的理由
【答案】(1)(2)應往袋中加入黃球，見解析
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）據列表法求分別求得加入黃球和紅球的概率即可求解．
【詳解】（1）解：顧客首次摸球的所有可能結果為紅，黃①，黃②，黃③，共4種等可能的結果．
記“首次摸得紅球”為事件，則事件發生的結果只有1種，
所以，所以顧客首次摸球中獎的概率為．
（2）他應往袋中加入黃球．理由如下：
記往袋中加入的球為“新”，摸得的兩球所有可能的結果列表如下：
第二球 第一球 紅 黃① 黃② 黃③ 新
紅 紅，黃① 紅，黃② 紅，黃③ 紅，新
黃① 黃①，紅 黃①，黃② 黃①，黃③ 黃①，新
黃② 黃②，紅 黃②，黃① 黃②，黃③ 黃②，新
黃③ 黃③，紅 黃③，黃① 黃③，黃② 黃③，新
新 新，紅 新，黃① 新，黃② 新，黃③
共有種等可能結果．
（）若往袋中加入的是紅球，兩球顏色相同的結果共有種，此時該顧客獲得精美禮品的概率；（）若往袋中加入的是黃球，兩球顏色相同的結果共有種，此時該顧客獲得精美禮品的概率；因為，所以，所作他應往袋中加入黃球．
【點睛】本小題考查簡單隨機事件的概率等基礎知識，考查抽象能力、運算能力、推理能力、應用意識、創新意識等，考查統計與概率思想、模型觀念，熟練掌握概率公式是解題的關鍵．
1．（2023·安徽蕪湖·統考二模）如圖，電路圖上有4個開關和1個小燈泡，在所有的元件和線路都正常的前提下．下列操作中，“小燈泡發光”這個事件是隨機事件的是（ ）
A．只閉合1個開關 B．只閉合2個開關 C．只閉合3個開關 D．閉合4個開關
【答案】B
【分析】本題考查了隨機事件的判斷，根據題意分別判斷能否發光，進而判斷屬于什么事件即可．解題的關鍵是根據題意判斷小燈泡能否發光．
【詳解】解：A、只閉合1個開關，小燈泡不會發光，屬于不可能事件，不符合題意；
B、只閉合2個開關，小燈泡可能發光也可能不發光，是隨機事件，符合題意；
C、只閉合3個開關，小燈泡一定會發光，是必然事件，不符合題意；
D、閉合4個開關，小燈泡一定會發光，是必然事件，不符合題意．故選：B．
2．（2023·廣東湛江·校聯考三模）下列說法中錯誤的是（　 ）
A．擲一枚普通的正六面體骰子，出現向上一面點數是的概率是
B．從裝有個紅球的袋子中，摸出個白球是不可能事件
C．任意拋擲一枚圖釘，釘尖觸地和釘尖朝上的概率不相等
D．某種彩票的中獎率為，買張彩票一定有張中獎
【答案】D
【分析】根據概率的定義可知正確；根據隨機事件和必然事件可知正確，根據概率的意義可知錯誤．
【詳解】解：∵擲一枚普通的正六面體骰子，共有種等可能的結果，則出現向上一面點數是的概率是∴項的說法正確，故項不符合題意；
∵從裝有個紅球的袋子中，摸出的應該都是紅球，∴摸出個白球是不可能事件，
∴項的說法正確，故項不符合題意；
∵任意拋擲一枚圖釘，共有兩種可能的結果，但可能性不一樣大，釘尖朝上的可能大，
∴釘尖觸地和釘尖朝上的概率不相等，∴項說法正確，故項不符合題意；
∵某種彩票的中獎率為，是中獎頻率接近∴買張彩票一定有張可能中獎，也可能不中獎，
∴項說法錯誤；故項符合題意，故選：．
【點睛】本題考查了概率的定義，概率的意義，隨機事件和必然事件，掌握概率的定義及概率的的意義是解題的關鍵．
3．（2023·河南周口·校聯考模擬預測）豫劇，又叫河南梆子、河南謳、土梆子等，是發源于河南省的一個戲曲劇種．如圖，豫劇愛好者小華購買了《豫劇》特種郵票1套3枚，第1枚《花木蘭》，第2枚《七品芝麻官》，第3枚《朝陽溝》，并計劃把其中的兩枚送給好朋友樂樂和妙妙．小華將它們背面朝上放在桌面上（郵票背面完全相同），先讓樂樂從中隨機抽取一枚（不放回），再讓妙妙從中隨機抽取一枚，則妙妙抽到第三枚《朝陽溝》的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率．
列表得出所有等可能結果，從中找到符合條件的結果數，再根據概率公式求解即可．
【詳解】解：將三枚郵票分別記作、、，根據題意列表如下：
由表可知，共有6種等可能結果，其中妙妙抽到第三枚《朝陽溝》的有2種結果，
所以妙妙抽到第三枚《朝陽溝》的概率為，故選：D．
4．（2023·山東青島·統考模擬預測）學校通過以下方式抽取部分同學免費參加活動：在一個裝有6個紅球和若干白球（每個球除顏色外，其它都相同）的袋中，隨機摸一個球，摸到一個紅球就得“民間美術展”活動門票一張，已知參加抽取活動的同學共有人，“民間美術展”活動門票張，則白球的數量是（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】D
【分析】本題主要考查了利用頻率估計概率，根據概率求數量；設袋中共有個白球，根據摸到紅球的概率求出球的總個數，即可解答．
【詳解】解：設袋中共有個白球，則摸到紅球的概率為，
∴，解得，經檢驗：時，，
所以是原方程的解．故選：D．
5．（2023·河南濮陽·統考三模）在“河南美食簡介”競答活動中，第一題組共設置“河南燴面”“胡辣湯”“洛陽酸漿面條”“開封雙麻火燒”四種美食，參賽的甲、乙二人從以上四種美食中隨機選取一個進行簡介，則兩人恰好選中同一種美食的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查求概率問題，正確的畫出數狀圖或者列出表格即可求得答案．
【詳解】解：用A，B，C，D分別表示“河南燴面”“胡辣湯”“洛陽酸漿面條”“開封雙麻火燒”四種美食， 畫樹狀圖如下：
從圖中可以看出共有16種等可能的結果，兩人恰好選中同一美食的結果有4種，
則兩人恰好選中同一美食的概率為．故選∶C．
6．（2023·北京海淀·校考模擬預測）（多選題）罰球是籃球比賽中得分的一個組成部分，罰球命中率的高低對籃球比賽的結果影響很大．下圖是對某球員罰球訓練時命中情況的統計：
下面推斷中合理的是（ ）
A．當罰球次數是500時，該球員命中次數是411，所以“罰球命中”的概率是
B．隨著罰球次數的增加，“罰球命中”的頻率總在附近擺動，顯示出一定的穩定性，可以估計該球員“罰球命中”的概率是
C．由于該球員“罰球命中”的頻率的平均值是，所以“罰球命中”的概率是
D．若讓該球員再進行1000次的罰球訓練，命中的個數可能會超過812次

【答案】BD
【分析】根據圖形和各個小題的說法可以判斷是否正確，從而可以解答本題．
【詳解】解：當罰球次數是500時，該球員命中次數是411，所以此時“罰球命中”的頻率是：，但“罰球命中”的概率不一定是，故A錯誤，不合題意；
隨著罰球次數的增加，“罰球命中”的頻率總在附近擺動，顯示出一定的穩定性，可以估計該球員“罰球命中”的概率是．故B正確，符合題意；
雖然該球員“罰球命中”的頻率的平均值是，但是“罰球命中”的概率不是，故C錯誤，不合題意．若讓該球員再進行1000次的罰球訓練，命中的個數可能會超過812次，故D正確，符合題意．
故選BD．
【點睛】本題考查利用頻率估計概率，算術平均數，解答本題的關鍵是明確概率的定義，利用數形結合的思想解答．
7．（2023·廣東河源·統考一模）現在從“，0，1，3”四個數中任選兩個數作為一次函數的系數k，b，則一次函數的圖象經過一、二、四象限的概率為 ．
【答案】
【分析】首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果，再根據一次函數的圖象經過一、二、四象限時，確定結果，最后利用概率公式求解即可求得答案．本題考查了用列表法或樹狀圖法求概率以及一次函數圖象與系數的關系．
【詳解】解：畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的結果，其中一次函數的圖象經過一、二、四象限（，）的結果有2種，
∴一次函數的圖象經過一、二、四象限的概率為，故答案為：．
8．（2023·江蘇鹽城·校考二模）《周髀算經》中提出了“方屬地，圓屬天”，也就是人們常說的“天圓地方”．我國古代銅錢的鑄造也蘊含了這種“外圓內方”“天地合一”的哲學思想，現將銅錢抽象成如圖所示的圖形，其中圓的半徑為r，正方形的邊長為，若在圓內隨機取點，得到點取自陰影部分的概率為P，則圓周率π的值為 （用所給字母表示．）
【答案】
【分析】計算圓形錢幣和正方形的面積，利用幾何概率公式求出P，即可求出圓周率π的值．
【詳解】解：由題意知，解得，，故答案為：．．
【點睛】本題考查幾何概率的應用，解題的關鍵是掌握概率公式．
9．（2023·安徽·模擬預測）一個不透明的箱子里裝有藍、白兩種顏色的球共個，它們除顏色外，其他都相同．李明將球攪勻后從箱子中隨機摸出個球，記下顏色后，再將它放回，不斷重復實驗．多次實驗結果如表．
摸球次數
白球頻率
(1)當摸球次數足夠多時，摸到白球的頻率將會穩定于______（精確到）左右，從箱子中摸一次球，估計摸到藍球的概率是______．(2)從該箱子里隨機摸出個球，不放回，再摸出個球．用列舉法求摸到個藍球、個白球的概率．
【答案】(1)；（或）(2)摸到個藍球、個白球的概率為
【分析】（1）運用頻率估算概率的方法即可求解；根據概率和為即可求解；
（2）運用列表或畫樹狀圖求隨機事件的概率的方法即可求解．
【詳解】（1）解：根據表格信息可得，摸到白球的頻率將會穩定于，摸到藍球的概率是，
故答案為：；（或）
（2）解：由（1）知，袋中白球的個數約為，藍球的個數約為，列表如下：
藍
藍
由表知，共有種等可能的結果，其中摸到1個藍球、1個白球的結果有6種，
摸到1個藍球、1個白球的概率為．
10．（2023·河北唐山·統考二模）有四個完全相同的小球，分別標注，，1，3這四個數字．把標注后的小球放入不透明的口袋中，從中隨機拿出兩個小球，所標數字和的絕對值為k的概率記作（如：是任取兩個數，其和的絕對值為3的概率）。(1)用列表法求；(2)張亮認為：的所有取值的眾數大于它們的平均數，你認為張亮的想法正確嗎？請通過計算說明；(3)能否找到概率，，（），使．若能找到，請舉例說明；若不能找到，請說明理由．
【答案】(1)(2)張亮的想法是錯的，見解析(3)
【分析】（1）用列表法列舉出所有等可能出現的結果，再根據概率的定義進行計算即可；
（2）求出的所有取值的眾數和平均數，比較得出答案；
（3）根據的所有取值，是否存在三個值的和為即可．
【詳解】（1）由題得，列表為：
第1個 第2個 1 3
3 1 1
3 0 2
1 1 0 4
3 1 2 4
所以，共有12種等可能結果，其中和的絕對值為1的有4種，；
（2）由（1）得：，，，，，
∴的所有取值的眾數為，而的所有取值的平均數為：，∵，所以張亮的想法是錯的．
（3）∵，∴（答案不唯一）
【點睛】本題考查列表法或樹狀圖法，眾數、平均數，列舉出所有等可能出現的結果是計算概率的前提，掌握眾數、平均數的計算方法是解決問題的關鍵．
11．（2023·山西·山西大附中校考一模）某商場，為了吸引顧客，在“元旦”當天舉辦了商品有獎酬賓活動，凡購物滿200元者，有兩種獎勵方案供選擇：
方案一：是直接獲得20元的禮金券；
方案二：是得到一次搖獎的機會．規則如下：已知如圖是由轉盤和箭頭組成的兩個轉盤A、B，這兩個轉盤除了顏色不同外，其它構造完全相同，搖獎者同時轉動兩個轉盤，指針分別指向一個區域（指針落在分割線上時重新轉動轉盤），根據指針指向的區域顏色（如表）決定送禮金券的多少．
指針指向 兩紅 一紅一藍 兩藍
禮金券（元） 18 9 18
(1)請你用列表法（或畫樹狀圖法）求兩款轉盤指針分別指向一紅區和一藍區的概率．(2)如果一名顧客當天在本店購物滿200元，若只考慮獲得最多的禮品券，請你幫助分析選擇哪種方案較為實惠．
【答案】(1)(2)方案一，見解析；
【分析】（1）根據列表法（或畫樹狀圖法）求指針分別指向一紅區和一藍區的概率即可；
（2）根據（1）的樹狀圖求出方案二的平均收益即可判斷；
【詳解】（1）解：由題可知，轉盤A中紅色區域的圓心角的度數是藍色區域的圓心角的度數的2倍，轉盤B中藍色區域的圓心角的度數是紅色區域的圓心角的度數的2倍，故可畫樹狀圖如下：
由樹狀圖可知，共有9種等可能的情況，其中兩個轉盤指針一個指向紅色區域、一個指向藍色區域的情況有5種，∴P(一紅區和一藍區)=
（2）由（1）中的樹狀圖可知，指針指向兩個紅色區域有2種情況，指向兩個藍色區域也有2種情況 ，
∴P(兩個紅區)= ，P(兩個藍區)= ，∴方案二的平均收益為：，
∵13<20，∴若只考慮獲得最多的禮品券，選擇方案一更加實惠；
【點睛】本題主要考查列表法（或畫樹狀圖法）求概率，掌握概率的求解方法是解題的關鍵．
1．（2023·廣東肇慶·統考三模）暑假里5名同學結伴乘動車外出旅游，實名制購票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五個座位（一排共五個座位），上車后五人在這五個座位上隨意坐，則恰有一人坐對與自己車票相符座位的坐法有（　　）
A．40 B．45 C．50 D．55
【答案】B
【分析】本題主要考查了列舉法．設5名同學也用A，B，C，D，E來表示，若恰有一人坐對與自己車票相符座位的坐法，設E同學坐在自己的座位上，則其他四位都不是自己的座位，一一列舉，根據分步計算原理可得．
【詳解】解：設5名同學票用A，B，C，D，E來表示，若恰有一人坐對與自己車票相符座位的坐法，
設E同學坐在自己的座位上，則其他四位都不是自己的座位，
則有共9種坐法，
則恰有一人坐對與自己車票相符座位的坐法有種，故選：B．
2．（2023·湖北省直轄縣級單位·校聯考模擬預測）動物學家通過大量的調查，估計某種動物活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率為0.5，現年20歲的這種動物活到25歲的概率是 ．
【答案】
【分析】先設出所有動物的只數，根據動物活到各年齡階段的概率求出相應的只數，再根據概率公式解答即可．
【詳解】解：設共有這種動物x只，則活到20歲的只數為，活到25歲的只數為，
故現年20歲到這種動物活到25歲的概率為．故答案為：．
【點睛】考查了概率的意義，用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．注意在本題中把20歲時的動物只數看成單位1．
3．（2024·福建·一模）如圖，在平行四邊形紙板中，點分別為的中點，連接．將一飛鏢隨機投擲到平行四邊形紙板上，則飛鏢落在陰影部分的概率為 ．

【答案】
【分析】根據點分別為的中點，得到，，從而得到，進而得出，由此即可得到答案．
【詳解】解：如圖，連接，
四邊形為平行四邊形，點分別為的中點，
點在同一直線上，，，
，，
飛鏢落在陰影部分的概率為，故答案為：．
【點睛】本題考查了幾何概率，平行四邊形的性質，用到的知識點為：概率相應的面積與總面積之比，根據題意計算出是解此題的關鍵．
4．（2022·廣東佛山·統考模擬預測）某商場有一個可以自由轉動的圓形轉盤（如圖）．規定：顧客購物元以上可以獲得一次轉動轉盤的機會，當轉盤停止時，指針落在哪一個區域就獲得相應的獎品（指針指向兩個扇形的交線時，當作指向右邊的扇形）．下表是活動進行中的一組統計數據：
轉動轉盤的次數
落在“鉛筆”的次數
落在“鉛筆”的頻率
(1)轉動該轉盤一次，獲得一瓶飲料的概率約為_______；（結果保留小數點后一位）
(2)經統計該商場每天約有名顧客參加抽獎活動，一瓶飲料和一支鉛筆單價和為元，支出的鉛筆和飲料的獎品總費用是元，請計算該商場每支鉛筆和每瓶飲料的費用；
(3)在（）的條件下，該商場想把每天支出的獎品費用控制在元左右，則轉盤上“一瓶飲料”區域的圓心角應調整為______度．
【答案】(1)；(2)該商場每支鉛筆元，則每瓶飲料元；(3)．
【分析】（）利用頻率估計概率求解；（）利用（）得到獲得一瓶飲料的概率和一支鉛筆的概率為，然后根據總費用是元列出方程，再進行計算即可得出答案；（）設轉盤上“一瓶飲料”區域的圓心角應調整為度，則，然后解方程即可.
【詳解】（1）根據表格可知：轉動該轉盤一次，獲得鉛筆的概率約為，
∴轉動該轉盤一次，獲得一瓶飲料的概率約為；
（2）解：設每支鉛筆元，則每瓶飲料元，
依題意得：，解得：，則，
∴該商場每支鉛筆元，則每瓶飲料元；
（3）設轉盤上“一瓶飲料”區域的圓心角應調整為度，
則，解得：，
∴轉盤上“一瓶飲料”區域的圓心角應調整為度，故答案為：．
【點睛】此題考查了用頻率估計概率、概率公式，解題的關鍵是理解大量重復實驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．
5．（2023·江蘇宿遷·模擬預測）在物理實驗中，當電流在一定時間段內正常通過電子元件時，每個電子元件的狀態有兩種可能：通電或斷開，并且這兩種的可能性相等．
(1)如圖1，當只有一個電子元件時，A、B之間的電流通過概率是___________；
(2)如圖2，當有兩個電子元件a、b串聯時，請用樹狀圖（或列表格）表示圖中A、B之間的電流能否通過的所有可能情況，求出A、B之間的電流通過的概率；
(3)如圖3，當有三個電子元件串聯時，猜想A，B之間電流通過的概率是___________．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本題考查了概率公式求概率，畫樹狀圖法求概率；（1）根據概率公式即可求解；
（2）由題意畫出樹狀圖找到所有的等可能事件，結合并聯電路的知識求出對應的概率即可；
（3）由題意畫出樹狀圖找到所有的等可能事件，結合并聯電路的知識求出對應的概率即可．
【詳解】（1）解： A、B之間只有一個電阻，共有兩種情況，通電或斷開，所以電流通過概率是；
（2）解：用樹狀圖表示為：
由圖可知，共有4種等可能結果，其中A、B間有電流通過的有1種，
∴B，A之間電流通過的概率是；
（3）畫樹狀圖得：
由樹狀圖可知共有8種可能，A，B之間電流通過的有1種，所以概率是．
6.（2023·福建福州·校考模擬預測）福州第十九中學每年的校園科學文化藝術節中的“愛心義賣會”活動，是學校同學們表現愛心的重要活動，在2021年的義賣會上，九年某班的同學設計了一個“愛心盲盒大抽獎”的活動，其規則如下：通過購買愛心小盲盒，每個愛心小盲盒3元，根據小盲盒內事先藏好的數字，可以進行兌獎，而每一位參與活動的同學都有4個小盲盒可以選擇，其中一個小盲盒藏有數字4，可以兌換4元，有一個小盲盒藏有數字2，可以兌換2元，剩余的兩個小盲盒藏有數字1，可以兌換1元，每位同學最多只能買2個小盲盒．
(1)張同學購買了兩個小盲盒，用列表法或樹狀圖的方法求出求他購買的第1個小盲盒里藏有數字4的概率：______；(2)李同學手上有7元，請用概率統計的知識說明，從李同學最終在手上的錢的平均值為依據，她是買一個小盲盒好，還是兩個小盲盒好．
【答案】(1)(2)李同學應該買一個小盲盒好，理由見解析
【分析】（1）用列表法展示12種等可能的結果數，找出張同學購買的第1個小盲盒里藏有數字4的結果數，然后根據概率公式求解；（2）先分別計算出李同學購買一個小盲盒和兩個小盲盒后最終在手上的錢的平均值，然后再比較即可判斷．
【詳解】（1）解：列表得：
4 2 1 1
4 /
2 /
1 /
1 /
共有12種等可能情況，記購買的第1個小盲盒里藏有數字4為事件A，共3種情況，
∴．故答案為：．
（2）若李同學購買1個小盲盒，花去3元，還有4元，
則可兌換4元的概率為，兌換2元的概率為，兌換1元的概率為，
因此此時李同學最終在手上的錢的平均值為：（元）；
若李同學購買2個小盲盒，花去6元，還有1元，由（1）可知，
可兌換6元的概率為，可兌換5元的概率為，
可兌換3元的概率為，可兌換2元的概率為，
因此此時李同學最終在手上的錢的平均值為：（元）；
∵，∴李同學應該買一個小盲盒好．
【點睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率和概率的應用．列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．注意概率=所求情況數與總情況數之比．理解和掌握概率公式的應用是解題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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