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第八章　成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　
1.會通過收集現(xiàn)實(shí)問題中兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，能利用散點(diǎn)圖直觀認(rèn)識變量間的相關(guān)關(guān)系.
2.會求樣本相關(guān)系數(shù)r，并能利用樣本相關(guān)系數(shù)r判斷兩個隨機(jī)變量線性相關(guān)程度的大小．
一、相關(guān)關(guān)系的概念
問題1　下列兩個變量是否具有函數(shù)關(guān)系？
(1)球的面積與半徑的關(guān)系；
(2)人的身高和體重的關(guān)系；
(3)角度和它的余弦值的關(guān)系；
(4)父母的身高和子女的身高的關(guān)系．
知識梳理
兩個變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關(guān)系稱為________關(guān)系．
例1　(多選)下列兩個變量存在相關(guān)關(guān)系的為(　　)
A．扇形的半徑與面積之間的關(guān)系
B．降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系
C．人的身高與體重之間的關(guān)系
D．家庭的支出與收入之間的關(guān)系
反思感悟　函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的關(guān)系．函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系， 而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系．
跟蹤訓(xùn)練1　(多選)下列說法正確的是(　　)
A．闖紅燈與交通事故發(fā)生率的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系
B．同一物體的加速度與作用力的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系
C．產(chǎn)品的成本與產(chǎn)量的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系
D．廣告費(fèi)用與銷售量的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系
二、散點(diǎn)圖與變量的相關(guān)關(guān)系
知識梳理
1．散點(diǎn)圖：為了更加直觀地描述成對樣本數(shù)據(jù)中兩個變量之間的關(guān)系，用橫軸表示其中的一個變量，縱軸表示另一個變量，則成對樣本數(shù)據(jù)都可用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來，由這些點(diǎn)組成的統(tǒng)計(jì)圖叫做散點(diǎn)圖．
2．從整體上看，當(dāng)一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)________的趨勢，我們就稱這兩個變量________相關(guān)；當(dāng)一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)________的趨勢，則稱這兩個變量________相關(guān)．
3．一般地，如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在____________附近，我們就稱這兩個變量________相關(guān)．
4．一般地，如果兩個變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，那么我們就稱這兩個變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān)．
例2　某個男孩的年齡與身高的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示：
年齡x(歲) 1 2 3 4 5 6
身高y(cm) 78 87 98 108 115 120
(1)畫出散點(diǎn)圖；
(2)判斷y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系，如果相關(guān)，是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)？
反思感悟　判斷兩個變量x和y是否具有線性相關(guān)關(guān)系，常用的簡便方法就是繪制散點(diǎn)圖，如果發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，那么這兩個變量就是線性相關(guān)的，注意不要受個別點(diǎn)的位置的影響．
跟蹤訓(xùn)練2　下面是水稻產(chǎn)量與施化肥量的一組觀測數(shù)據(jù)：
施化肥量 15 20 25 30 35 40 45
水稻產(chǎn)量 320 330 360 410 460 470 480
(1)將上述數(shù)據(jù)制成散點(diǎn)圖；
(2)你能從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)施化肥量與水稻產(chǎn)量存在什么關(guān)系嗎？水稻產(chǎn)量會一直隨施化肥量的增加而增加嗎？
三、樣本相關(guān)系數(shù)
問題2　設(shè)x1，x2，…， xn和y1，y2，…，yn的均值分別為和.將每個變量的觀測數(shù)據(jù)減去其均值，得到成對數(shù)據(jù)為(x1－，y1－)，(x2－，y2－)，…，(xn－，yn－)，并繪制散點(diǎn)圖，則繪制的散點(diǎn)圖有什么特征？你能利用正負(fù)相關(guān)變量的成對樣本數(shù)據(jù)平移后呈現(xiàn)的規(guī)律，構(gòu)造一個度量成對樣本數(shù)據(jù)是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的數(shù)字特征嗎？
問題3　你認(rèn)為Lxy的大小一定能度量出成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度嗎？
知識梳理
1．樣本相關(guān)系數(shù)：
2．樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為__________．
當(dāng)|r|越接近1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越______；
當(dāng)|r|越接近0時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越______．
例3　對四組成對樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得以下散點(diǎn)圖，關(guān)于其樣本相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是(　　)
A．r2B．r4C．r4D．r2反思感悟　線性相關(guān)程度強(qiáng)弱的判斷方法
(1)散點(diǎn)圖：散點(diǎn)圖只是粗略作出判斷，其圖象越接近直線，相關(guān)程度越強(qiáng)．
(2)樣本相關(guān)系數(shù)：樣本相關(guān)系數(shù)能夠較準(zhǔn)確的判斷相關(guān)的程度，其絕對值越大，相關(guān)程度越強(qiáng)．
跟蹤訓(xùn)練3　已知r1表示變量X與Y之間的樣本相關(guān)系數(shù)，r2表示變量U與V之間的樣本相關(guān)系數(shù)，且r1＝0.837，r2＝－0.957，則(　　)
A．變量X與Y之間呈正相關(guān)關(guān)系，且X與Y之間的相關(guān)程度強(qiáng)于U與V之間的相關(guān)程度
B．變量X與Y之間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，且X與Y之間的相關(guān)程度強(qiáng)于U與V之間的相關(guān)程度
C．變量U與V之間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，且X與Y之間的相關(guān)程度弱于U與V之間的相關(guān)程度
D．變量U與V之間呈正相關(guān)關(guān)系，且X與Y之間的相關(guān)程度弱于U與V之間的相關(guān)程度
四、樣本相關(guān)系數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
例4　根據(jù)統(tǒng)計(jì)，某蔬菜基地西紅柿畝產(chǎn)量的增加量y(百千克)與某種液體肥料每畝使用量x(千克)之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如圖所示．
依據(jù)散點(diǎn)圖可以看出，變量x與y線性相關(guān)，請計(jì)算y與x的樣本相關(guān)系數(shù)r并推斷變量x與y的相關(guān)程度(若r>0.75，則線性相關(guān)程度很強(qiáng))．
反思感悟　(1)當(dāng)|r|越接近1時，兩個變量的相關(guān)程度越強(qiáng)，當(dāng)|r|越接近0時，兩個變量的相關(guān)程度越弱．
(2)樣本相關(guān)系數(shù)r有時也稱樣本線性相關(guān)系數(shù)，|r|刻畫了樣本點(diǎn)集中于某條直線的程度．當(dāng)r＝0時，只表明成對數(shù)據(jù)間沒有線性相關(guān)關(guān)系，但不排除它們之間有其他相關(guān)關(guān)系．
跟蹤訓(xùn)練4　為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每隔30 min從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一個零件，并測量其尺寸(單位：cm)．下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)依次抽取的16個零件的尺寸：
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8
零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16
零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
求的樣本相關(guān)系數(shù)r，并回答是否可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小(若<0.25，則可以認(rèn)為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小)．(結(jié)果精確到0.01)
附：樣本(xi，yi)(i＝1，2，…，n)的樣本相關(guān)系數(shù)
1．知識清單：
(1)相關(guān)關(guān)系的概念．
(2)散點(diǎn)圖與變量的相關(guān)關(guān)系．
(3)樣本相關(guān)系數(shù)及其實(shí)際應(yīng)用．
2．方法歸納：數(shù)形結(jié)合．
3．常見誤區(qū)：樣本相關(guān)系數(shù)絕對值的大小與相關(guān)程度的關(guān)系．
1．下列兩個變量存在相關(guān)關(guān)系的是(　　)
A．利息與利率
B．居民收入與儲蓄存款
C．電視機(jī)產(chǎn)量與蘋果產(chǎn)量
D．某種商品的銷售額與銷售價格
2．某商場五天內(nèi)某種T恤衫的銷售情況如表：
第x天 1 2 3 4 5
銷售量y(件) 19 39 59 79 104
則下列說法正確的是(　　)
A．y與x負(fù)線性相關(guān)
B．y與x正線性相關(guān)
C．y與x不相關(guān)
D．y與x成正比例關(guān)系
3．(多選)下面各圖中，散點(diǎn)圖與樣本相關(guān)系數(shù)r符合的是(　　)
§8.1　成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性
問題1　(1)(3)是函數(shù)關(guān)系；(2)(4)不是函數(shù)關(guān)系．
知識梳理
相關(guān)
例1　BCD　[扇形的半徑與面積之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系，其余均為相關(guān)關(guān)系．]
跟蹤訓(xùn)練1　ABD　[闖紅燈與發(fā)生交通事故之間不是因果關(guān)系，但具有相關(guān)性，是相關(guān)關(guān)系，所以A正確；物體的加速度與作用力的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系，所以B正確；產(chǎn)品的成本與產(chǎn)量之間是相關(guān)關(guān)系，所以C錯誤；廣告費(fèi)用與銷售量之間是相關(guān)關(guān)系，所以D正確．]
知識梳理
2．增加　正　減小　負(fù)
3．一條直線　線性
例2　解　(1)散點(diǎn)圖如圖所示．
(2)由散點(diǎn)圖知，所有散點(diǎn)分布在一條直線附近，因此，認(rèn)為y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，且是正相關(guān)關(guān)系．
跟蹤訓(xùn)練2　解　(1)散點(diǎn)圖如圖．
(2)從圖中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)施化肥量由小到大變化時，水稻產(chǎn)量也由小變大，圖中的散點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，因此施化肥量和水稻產(chǎn)量線性相關(guān)，但水稻產(chǎn)量只是在一定范圍內(nèi)隨著施化肥量的增加而增加，不會一直隨施化肥量的增加而增加．
問題2　散點(diǎn)圖(略)，發(fā)現(xiàn)正相關(guān)時散點(diǎn)大多數(shù)分布在第一象限、第三象限，負(fù)相關(guān)時散點(diǎn)大多數(shù)分布在第二象限、第四象限．構(gòu)造一個量：
Lxy＝[(x1－)(y1－)＋(x2－)(y2－)＋…＋(xn－)·(yn－)]．
一般情形下，Lxy>0表明成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；Lxy<0表明成對樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)．
問題3　不一定．因?yàn)長xy的大小與數(shù)據(jù)的度量單位有關(guān)，所以不宜直接用它度量成對樣本數(shù)據(jù)相關(guān)程度的大小．
知識梳理
2．[－1,1]　強(qiáng)　弱
例3　A　[由給出的四組成對樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出，題圖1和題圖3是正相關(guān)，樣本相關(guān)系數(shù)大于0，題圖2和題圖4是負(fù)相關(guān)，樣本相關(guān)系數(shù)小于0，題圖1和題圖2的樣本點(diǎn)集中在一條直線附近，所以相關(guān)程度更強(qiáng)，所以r1接近于1，r2接近于－1，由此可得r2跟蹤訓(xùn)練3　C　[因?yàn)閞1＝0.837>0，r2＝－0.957<0，所以變量X與Y之間呈正相關(guān)關(guān)系，變量U與V之間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，因?yàn)閨r1|<|r2|，所以X與Y之間的相關(guān)程度弱于U與V之間的相關(guān)程度．]
例4　解　由所給數(shù)據(jù)可得＝＝5，
＝＝5，
∵r＝＝＝>0.75.
∴變量x與y的線性相關(guān)程度很強(qiáng)．
跟蹤訓(xùn)練4　解　＝×(1＋2＋3＋…＋16)＝8.5，由樣本數(shù)據(jù)得(xi，i)(i＝1，2，…，16)的樣本相關(guān)系數(shù)為r≈≈－0.18.
由于|r|<0.25，因此可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小．
隨堂演練
1．B　[選項(xiàng)A中的兩個變量具有函數(shù)關(guān)系；選項(xiàng)B中居民收入與儲蓄存款具有相關(guān)關(guān)系，一般來說，居民收入越高對應(yīng)的儲蓄存款越多；選項(xiàng)C中的電視機(jī)產(chǎn)量與蘋果產(chǎn)量無任何關(guān)系；選項(xiàng)D中某種商品的銷售額與銷售價格具有函數(shù)關(guān)系．]
2．B　[根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖如圖，
可知所有點(diǎn)分布在一條直線附近，所以y與x是線性相關(guān)的，又y值隨著x值的增大而增大，所以y與x正相關(guān)．]
3．ACD　[因?yàn)闃颖鞠嚓P(guān)系數(shù)r的絕對值越接近1，線性相關(guān)程度越強(qiáng)，且r＞0時正相關(guān)，r＜0時負(fù)相關(guān)，故觀察各選項(xiàng)，易知B不符合，A，C，D均符合．]
4．0.849

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