資源簡介

8.2.2　非線性回歸模型
[學習目標]　
1.用擬合效果分析非線性回歸問題.
2.了解非線性回歸模型，掌握非線性回歸模型的求解過程．
一、用擬合效果分析非線性回歸問題
例1　經濟學專業的學生們為研究流通費率y和銷售額x(單位：千萬元)的關系，對同類型10家企業的相關數據(i＝1,2，…，10)進行整理，并得到如下散點圖：
根據此散點圖，在2千萬元至1億元之間，下面四個回歸模型中最適宜作為流通費率y和銷售額x的回歸模型的是(　　)
A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋b
C．y＝aex＋b D．y＝aln x＋b
反思感悟　(1)根據散點圖可以判斷兩個變量之間的相關關系，根據樣本點的分布選取合適的函數模型．
(2)兩個變量Y與x的回歸模型中，決定系數R2越大，擬合效果越好．
跟蹤訓練1　2021年8月27日教育部在其網站發布了2020年全國教育事業發展統計公報，其中“十三五”時期全國高等教育在學總規模和毛入學率如圖所示，則下列四個回歸模型中最適合作為毛入學率y和年份數x的回歸模型是(　　)
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2
C．y＝a＋bex D．y＝a＋bln x
二、非線性回歸模型
例2　(1)噪聲污染已經成為影響人們身體健康和生活質量的嚴重問題，為了了解聲音強度D(單位：dB)與聲音能量I(單位：W/cm2)之間的關系，將測量得到的聲音強度Di和聲音能量Ii(i＝1,2，…，10)數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統計量的值．
②當聲音強度大于60 dB時屬于噪音，會產生噪聲污染，城市中某點P共受到兩個聲源的影響，這兩個聲源的聲音能量分別是I1和I2，且＋＝1010.已知點P的聲音能量等于聲音能量I1與I2之和，請根據①中的非線性經驗回歸方程，判斷點P是否受到噪聲污染的干擾，并說明理由．
(2)某景區的各景點從2011年取消門票實行免費開放后，旅游的人數不斷地增加，不僅帶動了該市淡季的旅游，而且優化了旅游產業的結構，促進了該市旅游向“觀光、休閑、會展”三輪驅動的理想結構快速轉變．下表是從2012年至2021年，該景點的旅游人數y(萬人)與年份x的數據：
第x年 1 2 3 4 5
旅游人數y(萬人) 300 283 321 345 372
第x年 6 7 8 9 10
旅游人數y(萬人) 435 486 527 622 800
該景點為了預測2024年的旅游人數，建立了y與x的兩個回歸模型：
模型(ⅰ)：由最小二乘法求得y與x的經驗回歸方程＝50.8x＋169.7；
模型(ⅱ)：由散點圖的樣本點分布，可以認為樣本點集中在曲線y＝aebx的附近．
①根據表中數據，求模型(ⅰ)的非線性經驗回歸方程＝ex( 精確到個位， 精確到0.01)；
②根據下列表中的數據，比較兩種模型的決定系數R2，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預測2024年該景區的旅游人數(單位：萬人，精確到個位)．
參考公式、參考數據及說明：
③參考數據：e5.46≈235，e1.43≈4.2.
反思感悟　解決非線性回歸問題的方法步驟
(1)確定變量：確定解釋變量為x，響應變量為y.
(2)畫散點圖：通過觀察散點圖并與學過的函數(冪函數、指數函數、對數函數、二次函數)圖象作比較，選取擬合效果好的函數模型．
(3)變量置換：通過變量置換把非線性回歸問題轉化為線性回歸問題．
(4)分析擬合效果：通過計算決定系數來判斷擬合效果．
(5)寫出非線性經驗回歸方程．
跟蹤訓練2　黃河鯉是我國華北地區的主要淡水養殖品種之一，其鱗片金黃、體形梭長，尤以色澤鮮麗、肉質細嫩、氣味清香而著稱．為研究黃河鯉早期生長發育的規律，豐富黃河鯉早期養殖經驗，某院校研究小組以當地某水產養殖基地的黃河鯉仔魚為研究對象，從出卵開始持續觀察20天，試驗期間，每天固定時段從試驗水體中隨機取出同批次9尾黃河鯉仔魚測量體長，取其均值作為第ti天的觀測值yi(單位：mm)，其中ti＝i，i＝1,2,3，…，20.根據以往的統計資料，該組數據可以用Logistic曲線擬合模型y＝或Logistic非線性回歸模型y＝進行統計分析，其中a，b，u為參數．基于這兩個模型，繪制得到如下的散點圖和殘差圖．
(1)你認為哪個模型的擬合效果更好？分別結合散點圖和殘差圖進行說明；
1．知識清單：
(1)用擬合效果分析非線性回歸問題．
(2)非線性回歸模型．
2．方法歸納：轉化思想．
3．常見誤區：非線性經驗回歸方程轉化為線性經驗回歸方程時的轉化方法．
1．營養學家對某地區居民的身高y與營養攝入量x的幾組數據進行研究后發現兩個變量存在相關關系，該營養學家按照不同的曲線擬合y與x之間的經驗回歸方程，并算出決定系數R2如表所示．
擬合曲線 直線 指數曲線 拋物線 三次曲線
y與x的經驗回歸方程 ＝f1(x) ＝f2(x) ＝f3(x) ＝f4(x)
決定系數R2 0.893 0.986 0.931 0.312
則這組數據模型的經驗回歸方程的最好選擇應是(　　)
A.＝f1(x) B.＝f2(x)
C.＝f3(x) D.＝f4(x)
2．某校數學學習興趣小組為研究某作物種子的發芽率y和溫度x(單位：°C)的關系，由試驗數據得到如圖所示的散點圖. 由此散點圖，可以得出最適宜作為發芽率y和溫度x的回歸模型的是(　　)
A．y＝a＋bx
B．y＝a＋bln x
C．y＝a＋bex
D．y＝a＋bx2
3．若一函數模型為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，將y轉化為t的經驗回歸方程，則需做變換t等于(　　)
A．x2 B．(x＋a)2
C.2 D．以上都不對
4．在研究兩個變量的相關關系時，觀察散點圖發現樣本點集中于某一條指數曲線y＝ebx＋a的周圍．令z＝ln y，求得經驗回歸方程為＝0.25x－2.58，則該模型的非線性經驗回歸方程為____________________．
　非線性回歸模型
例1　D　[根據散點圖，可以知道各點基本上是沿著一條具有遞減趨勢的曲線分布，并且變化趨勢較平緩，
A中，y＝ax＋b表示直線，變化趨勢是定的，不符合題意；
B中，y＝ax2＋b表示的曲線既有上升又有下降部分，不符合題意；
C中，y＝aex＋b表示的曲線不論是上升還是下降，都比較快，曲線較“陡峭”，不符合題意；
D中，y＝aln x＋b表示的曲線不論是上升還是下降，都比較平緩，符合題意．]
跟蹤訓練1　A　[根據圖象可知，函數圖象隨著自變量的變大，函數值增長速度基本不變，再由圖象的形狀結合選項，可判定函數y＝a＋bx符合要求．]
例2　(1)解　①由Wi＝lg Ii，先建立D關于W的經驗回歸方程，
由于＝＝10，
∴＝－ ＝45.7－10×(－11.5)＝160.7，
∴D關于W的經驗回歸方程是＝10W＋160.7，
即D關于I的非線性經驗回歸方程是＝10·lg I＋160.7.
②點P的聲音能量I＝I1＋I2，
∵＋＝1010，
∴I＝I1＋I2＝10－10·(I1＋I2)＝10－10·≥9×10－10(當且僅當＝，即I2＝2I1時等號成立)，
根據①中的非線性經驗回歸方程，點P的聲音強度D的最小預測值為＝10·lg(9×10－10)＋160.7＝10·lg 9＋60.7>60，
∴點P會受到噪聲污染的干擾．
(2)解　①對＝ex取對數，得ln ＝x＋ln ，設＝ln ，先建立u關于x的經驗回歸方程為＝x＋.
＝≈0.108≈0.11,
＝－≈6.05－0.108×5.5＝5.456≈5.46，
＝e≈e5.46≈235，
∴模型(ⅱ)的非線性經驗回歸方程為＝235e0.11x.
②由表格中的數據，有30 407>14 607，R模型(ⅰ)的決定系數R小于模型(ⅱ)的決定系數R，
說明回歸模型(ⅱ)的擬合效果更好．
2024年時，x＝13，
預測旅游人數為＝235e0.11×13＝235e1.43≈235×4.2＝987(萬人)．
跟蹤訓練2　解　(1)Logistic非線性回歸模型y＝擬合效果更好．
從散點圖看，散點更均勻地分布在該模型擬合曲線附近；
從殘差圖看，該模型下的殘差更均勻地集中在以殘差為0的直線為對稱軸的水平帶狀區域內．
(2)將y＝轉化為ln＝a－bt，
則－＝＝－0.208，
所以＝0.208，
所以＝－·＝－1.608＋0.208×10.5＝0.576.
所以y關于t的經驗回歸方程為＝.
當t＝22時，體長＝＝≈12.28(mm)．
隨堂演練
1．B　[決定系數R2的值越大，說明模型的擬合效果越好，觀察可知，指數曲線的R2最大，故經驗回歸方程的最好選擇應是＝f2(x)．]
2．B　[由散點圖可知，數據分布成遞增趨勢，但是呈現上凸效果，即增加越來越緩慢．
A中，y＝a＋bx是直線型，均勻增長，不符合要求；
B中，y＝a＋bln x是對數型，增長越來越緩慢，符合要求；
C中，y＝a＋bex是指數型，爆炸式增長，增長越來越快，不符合要求；
D中，y＝a＋bx2是二次函數型，圖象既有上升，又有下降，不符合要求．]
3．C　[y＝ax2＋bx＋c＝a2＋(a≠0)，可令t＝2，
則y＝at＋為y關于t的經驗回歸方程．]
4.＝e0.25x－2.58
解析　因為＝0.25x－2.58，
z＝ln y，
所以＝e0.25x－2.58.

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