資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第五章 圓
第二節 與圓有關的位置關系
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 點與圓的位置關系 ☆ 與圓相關的位置關系也是各地中考數學中的必考考點之一，主要內容包括點、直線與圓的位置關系、切線的性質和判定、三角形的內切圓和外接圓三塊，在解答題中想必還會考查切線的性質和判定，和直角三角形結合的求線段長的問題和三角函數結合的求角度的問題等知識點綜合，考查形式多樣，多以動點、動圖的形式給出，難度較大。關鍵是掌握基礎知識、基本方法。
考點2 直線與圓的位置關系 ☆☆
考點3切線的性質 ☆☆☆
考點4 切線的判定 ☆☆
1.點與圓的位置關系
點與圓有三種位置關系,主要根據點到圓心的距離d與圓的半徑r的大小關系得出.具體關系如下:
①點P在圓內 d＜r． ②點P在圓上 d＝r． ③點P在圓外 d＞r．
2. 直線與圓的位置關系
（1）相離:如果直線和圓沒有公共點,那么稱直線與圓相離.
（2）相切:如果直線和圓有唯一的公共點,那么稱直線和圓相切,這條直線叫做圓的切線,這個唯一的公共點叫做圓的切點.
（3）.相交:如果直線和圓有兩個公共點,那么稱直線和圓相交,這條直線叫做圓的割線,這兩個公共點叫做交點.
（4）直線與圓有三種位置關系,具體的位置關系取決于圓心O到直線l的距離d和☉O的半徑r之間的大小關系,幾種位置關系的區別如下表:
3.切線的判定和性質
（1）切線的判定方法
①與圓有唯一公共點的直線是圓的切線(切線的定義); ②圓心到直線的距離等于半徑的直線是圓的切線; ③經過半徑外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線(切線的判定定理).
（2）切線的性質
①切線與圓只有一個公共點; ②圓心到切線的距離等于半徑; ③切線垂直于過切點的半徑.
（3）切線長
①定義:經過圓外一點作圓的切線,這點和切點之間的線段的長,叫做這點到圓的切線長.
②性質定理:從圓外一點引圓的兩條切線,它們的切線長相等.
4．三角形的內切圓：與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，圓心叫做三角形的內
心，三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內心是三角形的三條角平分線的交點，內切圓的
半徑是內心到三邊的距離．
■考點一　點與圓的位置關系
◇典例1：（2022 浦江縣模擬）在平面直角坐標系中，若⊙A的半徑為5，A點的坐標是（4，0），P點的坐標是（0，3），則點P與⊙A的位置關系是（　?。?br/>A．點P在⊙A內 B．點P在⊙A外 C．點P在⊙A上 D．不能確定
【考點】點與圓的位置關系；坐標與圖形性質．
【答案】C
【點撥】根據兩點間的距離公式求出AP的長，再與5相比較即可．
【解析】解：∵點A的坐標為（4，0），點P的坐標為（0，3），
∴AP＝＝5＝半徑，
∴點P與⊙A的位置關系是：點P在⊙A上．
故選：C．
【點睛】本題考查的是點與圓的位置關系，熟知點與圓的三種位置關系是解答此題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2022 吳興區校級二模）如果⊙O的半徑為6cm，OP＝7cm，則點P與⊙O的位置關系是（　?。?br/>A．點P在⊙O內 B．點P在⊙O上 C．點P在⊙O外 D．不能確定
【考點】點與圓的位置關系．
【答案】C
【點撥】根據點到圓心的距離和圓的半徑之間的數量關系，即可判斷點和圓的位置關系．點到圓心的距離小于圓的半徑，則點在圓內；點到圓心的距離等于圓的半徑，則點在圓上；點到圓心的距離大于圓的半徑，則點在圓外．
【解析】解：根據點到圓心的距離7cm大于圓的半徑6cm，則該點在圓外．
故選：C．
【點睛】本題考查了點和圓的位置關系與數量之間的聯系：當點到圓心的距離大于圓的半徑時，則點在圓外．
2．（2023 寧波模擬）在數軸上，點A所表示的實數為4，點B所表示的實數為b，⊙A的半徑為2，要使點B在⊙A內時，實數b的取值范圍是（　?。?br/>A．b＞2 B．b＞6 C．b＜2或b＞6 D．2＜b＜6
【考點】點與圓的位置關系；實數與數軸．
【答案】D
【點撥】首先確定AB的取值范圍，然后根據點A所表示的實數寫出a的取值范圍，即可得到正確選項．
【解析】解：∵⊙A的半徑為2，若點B在⊙A內，
∴AB＜2，
∵點A所表示的實數為4，
∴2＜b＜6，
故選：D．
【點睛】本題考查了點與圓的位置關系：點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關系可以確定該點與圓的位置關系．
■考點二 直線與圓的位置關系
◇典例2：（2023 南潯區二模）已知平面內有⊙O與直線AB，⊙O的半徑為3cm，點O到直線AB的距離為3cm，則直線AB與⊙O的位置關系是（　　）
A．相切 B．相交 C．相離 D．不能判斷
【考點】直線與圓的位置關系．
【答案】A
【點撥】根據點O到直線AB的距離與圓的半徑大小作比較即可．
【解析】解：∵點O到直線AB的距離為3cm，且⊙O的半徑為3cm，
∴3cm＝3cm，即直線AB與⊙O的位置關系是相切，
故選：A．
【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，正確的理解題意是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023 濱江區二模）已知⊙O的直徑為4，圓心O到直線l的距離為2，則直線l與⊙O（　　）
A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定
【考點】直線與圓的位置關系．
【答案】B
【點撥】根據直線與圓的位置關系判定方法，假設圓心到直線的距離為d，當d＞r，直線與圓相離，當d＝r，直線與圓相切，當d＜r，直線與圓相交，由⊙O的直徑為4cm，點O到直線l的距離為2cm，得出d＝r，進而l與⊙O的位置關系．
【解析】解：∵⊙O的直徑為4，
∴⊙O的半徑為2，
∵點O到直線l的距離為2，
∴d＝r
∴l與⊙O的位置關系相切．
故選：B．
【點睛】此題主要考查了直線與圓的位置關系，解決問題的關鍵是判斷出圓的半徑與圓心到直線的距離，再根據判定方法得出位置關系．
2．（2021 慈溪市模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，以C為圓心，r為半徑作圓．若該圓與線段AB只有一個交點，則r的取值范圍為　r＝或2＜r≤2．?。?br/>【考點】直線與圓的位置關系；含30度角的直角三角形；圓周角定理．
【答案】r＝或2＜r≤2．
【點撥】先根據題意畫出符合的兩種情況，根據勾股定理求出BC，即可得出答案．
【解析】解：過C作CD⊥AB于D，
在Rt△BCA中，
∵∠ACB＝90°，AC＝2，∠B＝30°，
∴AB＝4，
∴BC＝＝＝2，
根據三角形的面積公式得：AB CD＝AC BC，
∴CD＝＝＝，
當圓與AB相切時，r＝，
當點A在圓內，點B在圓外或圓上時，r的范圍是2＜r≤2，
綜上所述：r的取值范圍是r＝或2＜r≤2，
故答案為：r＝或2＜r≤2．
【點睛】本題考查了直線和圓的位置關系，切線的性質，勾股定理的應用，能求出符合的所所有情況是解此題的關鍵，用了分類討論思想．
■考點三 切線的性質
◇典例3：（2021 麗水）如圖，在△ABC中，AC＝BC，以BC為直徑的半圓O交AB于點D，過點D作半圓O的切線，交AC于點E．
（1）求證：∠ACB＝2∠ADE；
（2）若DE＝3，AE＝，求的長．
【考點】切線的性質；弧長的計算；等腰三角形的性質；圓周角定理．
【答案】見解析
【點撥】（1）連接OD，CD，根據切線的性質得到∠ODE＝90°，根據圓周角定理得到∠BDC＝90°，求得∠ADE＝∠ODC，根據等腰三角形的性質即可得到結論；
（2）根據勾股定理得到AD＝＝2，tanA＝，求得∠A＝60°，推出△ABC是等邊三角形，得到∠B＝60°，BC＝AB＝2AD＝4，根據弧長公式即可得到結論．
【解析】（1）證明：連接OD，CD，
∵DE是⊙O的切線，
∴∠ODE＝90°，
∴∠ODC+∠EDC＝90°，
∵BC為⊙O直徑，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠ODC，
∵AC＝BC，
∴∠ACB＝2∠DCE＝2∠OCD，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠ACB＝2∠ADE；
（2）解：由（1）知，∠ADE+∠EDC＝90°，∠ADE＝∠DCE，
∴∠AED＝90°，
∵DE＝3，AE＝，
∴AD＝＝2，tanA＝，
∴∠A＝60°，
∵AC＝BC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠B＝60°，BC＝AB＝2AD＝4，
∴，
∴ 的長為＝＝．
【點睛】本題考查了切線的性質，勾股定理，等邊三角形的判定和性質，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023 甌海區一模）如圖，AB，AC分別切⊙O于B，C兩點，若∠OBC＝26°，則∠A的度數為（　?。?br/>A．32° B．52° C．64° D．72°
【考點】切線的性質．
【答案】B
【點撥】先根據切線長定理和切線的性質得到AB＝AC，∠OBA＝90°，則可計算出∠ABC＝64°，然后根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理計算∠A的度數．
【解析】解：∵AB，AC分別切⊙O于B，C兩點，
∴AB＝AC，OB⊥AB，
∴∠OBA＝90°，
∵∠OBC＝26°，
∴∠ABC＝90°﹣26°＝64°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝64°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝52°．
故選：B．
【點睛】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．也考查了等腰三角形的性質．
2．（2023 龍港市二模）如圖，AB與⊙O相切于點B，若⊙O的半徑為2，AB＝3，則AO的長為（　?。?br/>A． B． C． D．4
【考點】切線的性質．
【答案】C
【點撥】連接OB，利用圓的切線的性質定理和勾股定理解答即可．
【解析】解：連接OB，如圖，
∵AB與⊙O相切于點B，
∴OB⊥AB．
∵⊙O的半徑為2，
∴OB＝2，
∴OA＝＝＝，
故選：C．
【點睛】本題主要考查了圓的切線的性質定理，勾股定理，連接經過切點的半徑是解題的關鍵．
3．（2023 湖州）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點O在邊AC上，以點O為圓心，OC為半徑的半圓與斜邊AB相切于點D，交OA于點E，連結OB．
（1）求證：BD＝BC．
（2）已知OC＝1，∠A＝30°，求AB的長．
【考點】切線的性質；含30度角的直角三角形．
【答案】（1）見解答；
（2）．
【點撥】（1）根據切線性質得到∠ODB＝∠OCB＝90°，再根據HL證明Rt△ODB≌Rt△OCB，從而得到結論；
（2）分別在Rt△OBC中，利用三角函數求出BC的長，和在Rt△ABC中，利用三角函數求出即可求出AB的長．
【解析】（1）證明 如圖，連結OD，
∵半圓O與AB相切于點D，
∴OD⊥AB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ODB＝∠OCB＝90°，
在Rt△ODB和Rt△OCB中，
∴Rt△ODB≌Rt△OCB（HL），
∴BD＝BC；
（2）解 如圖，∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝60°，
∵Rt△ODB≌Rt△OCB，
∴，
在Rt△OBC中，
∵OC＝1，
∴，
在Rt△ABC中，
．
【點睛】本題考查圓的切線性質，全等三角形判定和性質，解直角三角形，熟悉相關圖形的性質是解題的關鍵．
■考點四　 切線的判定
◇典例4：（2023 義烏市模擬）如圖，⊙O的直徑AB＝4，∠ABC＝30°，BC交⊙O于點D，D是BC的中點．
（1）求BC的長；
（2）過點D作DE⊥AC，垂足為E，求證：直線DE是⊙O的切線．
【考點】切線的判定．
【答案】見解析
【點撥】（1）根據圓周角定理求得∠ADB＝90°，然后解直角三角形即可求得BD，進而求得BC即可；
（2）要證明直線DE是⊙O的切線只要證明∠EDO＝90°即可．
【解析】解：（1）連接AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
又∵∠ABC＝30°，AB＝4，
∴BD＝2，
∵D是BC的中點，
∴BC＝2BD＝4；
（2）連接OD．
∵D是BC的中點，O是AB的中點，
∴DO是△ABC的中位線，
∴OD∥AC，則∠EDO＝∠CED
又∵DE⊥AC，
∴∠CED＝90°，∠EDO＝∠CED＝90°，
∴OD⊥ED，
又∵OD是⊙O的半徑，
∴DE是⊙O的切線．
【點睛】此題主要考查了切線的判定以及含30°角的直角三角形的性質．解題時要注意連接過切點的半徑是圓中的常見輔助線．
◆變式訓練
1．（2023 金華模擬）如圖，BC為△ABC的外接圓⊙O的直徑，在線段BO上取點F作BC的垂線交AB于點E，點G在FE的延長線上，且GA＝GE．
（1）求證：AG與⊙O相切．
（2）已知直徑BC＝20，AC＝12．若BE＝OB，試求OE的長．
【考點】切線的判定與性質；圓周角定理；三角形的外接圓與外心；直線與圓的位置關系．
【答案】（1）證明見解析；
（2）2．
【點撥】（1）連接OA，由OA＝OB，GA＝GE得出∠ABO＝∠BAO，∠GEA＝∠GAE；再由EF⊥BC，得出∠BFE＝90°，進一步由∠ABO+∠BEF＝90°，∠BEF＝∠GEA，最后得出∠GAO＝90°求得答案；
（2）BC為直徑得出∠BAC＝90°，根據GF⊥BC，得出∠BFE＝90°，從而證得△BEF∽△BCA，求得EF、BF的長，進一步在△OEF中利用勾股定理得出OE的長即可．
【解析】（1）證明：如圖，
連接OA，
∵OA＝OB，GA＝GE，
∴∠ABO＝∠BAO，∠GEA＝∠GAE，
∵EF⊥BC，
∴∠BFE＝90°，
∴∠ABO+∠BEF＝90°，
又∵∠BEF＝∠GEA，
∴∠GAE＝∠BEF，
∴∠BAO+∠GAE＝90°，
∴OA⊥AG，
∵OA是〇O的半徑，
∴AG與⊙O相切；
（2）解：∵BC為直徑，
∴∠BAC＝90°，
∵GF⊥BC，
∴∠EFB＝90°，
∵BC＝20，AC＝12，
∴AB＝＝16，
∵BE＝OB，
∴BE＝10，
∵∠EBF＝∠CBA，∠BFE＝∠BAC，
∴△BEF∽△BCA，
∴，
∴EF＝6，BF＝8，
∴OF＝OB﹣BF＝10﹣8＝2，
∴OE＝．
【點睛】本題考查了切線的判定：過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線．也考查了勾股定理、相似三角形的判定與性質以及圓周角定理的推論．
1．（2020 拱墅區二模）已知⊙O的半徑為5，若PO＝4，則點P與⊙O的位置關系是（　?。?br/>A．點P在⊙O內 B．點P在⊙O上 C．點P在⊙O外 D．無法判斷
【考點】點與圓的位置關系．
【答案】A
【點撥】已知圓O的半徑為r，點P到圓心O的距離是d，①當r＞d時，點P在⊙O內，②當r＝d時，點P在⊙O上，③當r＜d時，點P在⊙O外，根據以上內容判斷即可．
【解析】解：∵⊙O的半徑為5，若PO＝4，
∴4＜5，
∴點P與⊙O的位置關系是點P在⊙O內，
故選：A．
【點睛】本題考查了點與圓的位置關系的應用，注意：已知圓O的半徑為r，點P到圓心O的距離是d，①當r＞d時，點P在⊙O內，②當r＝d時，點P在⊙O上，③當r＜d時，點P在⊙O外．
2．（2021 舟山）已知平面內有⊙O和點A，B，若⊙O半徑為2cm，線段OA＝3cm，OB＝2cm，則直線AB與⊙O的位置關系為（　　）
A．相離 B．相交 C．相切 D．相交或相切
【考點】直線與圓的位置關系．
【答案】D
【點撥】根據直線上點與圓的位置關系的判定得出直線與圓的位置關系．
【解析】解：⊙O的半徑為2cm，線段OA＝3cm，OB＝2cm，
即點A到圓心O的距離大于圓的半徑，點B到圓心O的距離等于圓的半徑，
∴點A在⊙O外，點B在⊙O上，
∴直線AB與⊙O的位置關系為相交或相切，
故選：D．
【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，正確的理解題意是解題的關鍵．
3．（2023 拱墅區二模）如圖，點B在⊙A上，點C在⊙A外，以下條件不能判定BC是⊙A切線的是（　?。?br/>A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠A
C．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A與AC的交點是AC中點
【考點】切線的判定；圓周角定理；點與圓的位置關系．
【答案】D
【點撥】根據切線的判定分別對各個選項進行判斷，即可得出結論．
【解析】解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，
∴BC⊥AB，
∵點B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半徑，
∴BC是⊙A切線；
B、∵∠B﹣∠C＝∠A，
∴∠B＝∠A+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵點B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半徑，
∴BC是⊙A切線；
C、∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵點B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半徑，
∴BC是⊙A切線；
D、∵⊙A與AC的交點是AC中點，
∴AB＝AC，但不能證出∠B＝90°，
∴不能判定BC是⊙A切線；
故選：D．
【點睛】本題考查了切線的判定、勾股定理的逆定理、三角形內角和定理等知識；熟練掌握切線的判定是解題的關鍵．
4．（2023 西湖區一模）如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC與⊙O相切于點B，連接AC，若BC＝1，，則AC的長為（　　）
A．3 B．2 C． D．1
【考點】切線的性質．
【答案】A
【點撥】根據切線得到∠ABC＝90°，結合勾股定理即可得到答案．
【解析】解：∵BC與⊙O相切于點B，
∴∠ABC＝90°，
OB＝，AB是⊙O的直徑，
∴AB＝，
∵BC＝1，
∴AC＝＝3．
故選：A．
【點睛】本題考查圓切線性質及勾股定理，解題的關鍵是根據切線得到直角三角形．
5．（2022 拱墅區模擬）如圖，AB、AC、BD是⊙O的切線，切點分別是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，則BD的長是（　?。?br/>A．3 B．4 C．5 D．6
【考點】切線長定理．
【答案】B
【點撥】由于AB、AC、BD是⊙O的切線，則AC＝AP，BP＝BD，求出BP的長即可求出BD的長．
【解析】解：∵AC、AP為⊙O的切線，
∴AC＝AP＝6，
∵BP、BD為⊙O的切線，
∴BP＝BD，
∴BD＝PB＝AB﹣AP＝10﹣6＝4．
故選：B．
【點睛】本題考查了切線長定理，兩次運用切線長定理并利用等式的性質是解題的關鍵．
6．（2023 婺城區模擬）如圖，△ABC是一張周長為18cm的三角形紙片，BC＝5cm，⊙O是它的內切圓，小明準備用剪刀在⊙O的右側沿著與⊙O相切的任意一條直線MN剪下△AMN，則剪下的三角形的周長為（　?。?br/>A．13cm B．8cm C．6.5cm D．隨直線MN的變化而變化
【考點】三角形的內切圓與內心．
【答案】B
【點撥】根據切線長定理得到BD＝BG，CP＝CG，MH＝MD，NH＝NP，根據三角形的周長公式計算．
【解析】解：由切線長定理得，BD＝BG，CP＝CG，MH＝MD，NH＝NP，
∴BD+CP＝BG+CG＝5，
∴AD+AP＝18﹣10＝8，
∴△AMN的周長＝AM+MN+AN＝AM+MD+AN+NP＝AD+AP＝8，
故選：B．
【點睛】本題考查的是三角形的內切圓和內心，掌握切線長定理是解題的關鍵．
7．（2023 金東區三模）如圖，直線y＝﹣x+6與坐標軸交于A，B兩點，點C為坐標平面內一點，BC＝2，點M為線段AC的中點，連結OM，則線段OM的最小值是（　　）
A．+1 B．﹣1 C．2 D．
【考點】點與圓的位置關系；一次函數的性質；一次函數圖象上點的坐標特征；三角形三邊關系；三角形中位線定理．
【答案】B
【點撥】根據同圓的半徑相等可知：點C在半徑為2的⊙B上，通過畫圖可知，C在BD與圓B的交點時，OM最小，在DB的延長線上時，OM最大，根據三角形的中位線定理可得結論．
【解析】解：如圖，∵直線y＝﹣x+6與坐標軸交于A，B兩點，
∴A（6，0），B（0，6），
∴OA＝OB＝6，
∵點C為坐標平面內一點，BC＝2，
∴C在⊙B上，且半徑為2，
取OD＝OA＝6，連接CD，
∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位線，
∴OM＝CD，
當OM最小時，即CD最小，而D，B，C三點共線時，當C在線段DB上時，OM最小，
∵OB＝OD＝6，∠BOD＝90°，
∴BD＝6，
∴CD＝6﹣2．
∴OM＝CD＝3﹣1．
即OM的最小值為：3﹣1．
故選：B．
【點睛】本題考查了坐標和圖形的性質，三角形的中位線定理等知識，確定OM為最小值時點C的位置是關鍵，也是難點．
8．（2023 諸暨市模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，．⊙C的半徑長為2，P是△ABC邊上一動點（可以與頂點重合），并且點P到⊙C的切線長為m．若滿足條件的點P有4個，則m的取值范圍是（　?。?br/>A． B． C． D．
【考點】切線的性質；勾股定理；圓周角定理．
【答案】B
【點撥】過點C作CE⊥AB于點E，過點E作⊙C的切線EF，切點為F，連接CF，利用直角三角形的邊角關系定理求得∠A，CE的值，利用切線的性質定理和勾股定理求得EF；過點B作⊙C的切線BD，切點為D，連接CD，利用切線的性質定理和勾股定理求得BD，觀察圖象可得EF＜m＜BD，則結論可得．
【解析】解：過點C作CE⊥AB于點E，過點E作⊙C的切線EF，切點為F，連接CF，如圖，
∵∠C＝90°，BC＝4，AC＝4，
∴tanA＝，
∴∠A＝30°，
∴EC＝AC sin30°＝2．
∵EF為⊙C的切線，
∴CF⊥EF，
∴EF＝＝＝2，
過點B作⊙C的切線BD，切點為D，連接CD，則CD⊥BD．
∴BD＝＝＝2，
∵P是△ABC邊上一動點（可以與頂點重合），并且點P到⊙C的切線長為m，且滿足條件的點P的位置有4個，
∴EF＜m＜BD，
∴2＜m＜2．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了圓的有關概念與性質，圓的切線的性質定理，直角三角形的邊角關系定理，特殊角的三角函數值，勾股定理，利用圖形的性質求得的最大值與最小值是解題的關鍵．
9．（2021 西湖區校級三模）已知⊙O的半徑為4，若PO＝4，則點P在圓 　上?。?br/>【考點】點與圓的位置關系．
【答案】上．
【點撥】已知圓O的半徑為r，點P到圓心O的距離是d，①當r＞d時，點P在⊙O內，②當r＝d時，點P在⊙O上，③當r＜d時，點P在⊙O外，根據以上內容判斷即可．
【解析】解：∵⊙O的半徑為4，若PO＝4，
∴4＝4，
∴點P與⊙O的位置關系是點P在圓上．
故答案為：上．
【點睛】本題考查了點與圓的位置關系的應用，注意：已知圓O的半徑為r，點P到圓心O的距離是d，①當r＞d時，點P在⊙O內，②當r＝d時，點P在⊙O上，③當r＜d時，點P在⊙O外．
10．（2021 金華模擬）已知⊙O的直徑為5，設圓心O到直線l的距離為d，當直線l與⊙O相交時，d的取值范圍是 0≤d＜2.5．
【考點】直線與圓的位置關系．
【答案】0≤d＜2.5．
【點撥】根據直線l和⊙O相交 0≤d＜r，即可得到的取值范圍．
【解析】解：∵⊙O的直徑為5，
∴⊙O的半徑是2.5，
∵直線l與⊙O相交，
∴圓心D到直線l的距離d的取值范圍是0≤d＜2.5，
故答案為：0≤d＜2.5．
【點睛】本題考查直線與圓的位置關系，解題的關鍵是記住①直線l和⊙O相交 d＜r②直線l和⊙O相切 d＝r③直線l和⊙O相離 d＞r．
11．（2021 杭州）如圖，已知⊙O的半徑為1，點P是⊙O外一點，且OP＝2．若PT是⊙O的切線，T為切點，連結OT，則PT＝　?。?br/>【考點】切線的性質．
【答案】
【點撥】根據圓的切線性質可得出△OPT為直角三角形，再利用勾股定理求得PT長度．
【解析】解：∵PT是⊙O的切線，T為切點，
∴OT⊥PT，
在Rt△OPT中，OT＝1，OP＝2，
∴PT＝＝＝，
故：PT＝．
【點睛】本題考查了圓的切線性質，即圓的切線垂直于過切點的半徑．
12．（2023 舟山）如圖，點A是⊙O外一點，AB，AC分別與⊙O相切于點B，C，點D在上．已知∠A＝50°，則∠D的度數是 　65°?。?br/>【考點】切線的性質；圓周角定理．
【答案】65°．
【點撥】連接OC，OB，根據切線的性質得到∠ACO＝∠ABO＝90°，求得∠COB＝360°﹣∠A﹣∠ACO﹣∠ABO＝130°，根據圓周角定理即可得到結論．
【解析】解：連接OC，OB，
∵AB，AC分別與⊙O相切于點B，C，
∴∠ACO＝∠ABO＝90°，
∵∠A＝50°，
∴∠COB＝360°﹣∠A﹣∠ACO﹣∠ABO＝130°，
∴∠D＝，
故答案為：65°．
【點睛】本題考查了切線的性質，圓周角定理，正確地作出輔助線是解題的關鍵．
13．（2023 衢州）如圖是一個圓形餐盤的正面及其固定支架的截面圖，凹槽ABCD是矩形．當餐盤正立且緊靠支架于點A，D時，恰好與BC邊相切，則此餐盤的半徑等于 　10　cm．
【考點】切線的性質；勾股定理；矩形的性質．
【答案】10．
【點撥】連接OA，過點O作OE⊥BC，交BC于點E，交AD于點F，則點E為餐盤與BC邊的切點，由矩形的性質得AD＝BC＝16cm，AD∥BC，∠BCD＝∠ADC＝90°，則四邊形CDFE是矩形，OE⊥AD，得CD＝EF＝4cm，∠AFO＝90°，AF＝DF＝8cm，設餐盤的半徑為x cm，則OA＝OE＝x cm，OF＝（x﹣4）cm，然后由勾股定理列出方程，解方程即可．
【解析】解：由題意得：BC＝16cm，CD＝4cm，
如圖，連接OA，過點O作OE⊥BC，交BC于點E，交AD于點F，
則∠OEC＝90°，
∵餐盤與BC邊相切，
∴點E為切點，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝16cm，AD∥BC，∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴四邊形CDFE是矩形，OE⊥AD，
∴CD＝EF＝4cm，∠AFO＝90°，AF＝DF＝AD＝×16＝8（cm），
設餐盤的半徑為x cm，
則OA＝OE＝x cm，
∴OF＝OE﹣EF＝（x﹣4）cm，
在Rt△AFO中，由勾股定理得：AF2+OF2＝OA2，
即82+（x﹣4）2＝x2，
解得：x＝10，
∴餐盤的半徑為10cm，
故答案為：10．
【點睛】本題考查了切線的性質、矩形的判定與性質、勾股定理等知識，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．
14．（2021 溫州）如圖，⊙O與△OAB的邊AB相切，切點為B．將△OAB繞點B按順時針方向旋轉得到△O′A′B，使點O′落在⊙O上，邊A′B交線段AO于點C．若∠A′＝25°，則∠OCB＝　85　度．
【考點】切線的性質；旋轉的性質；圓周角定理．
【答案】85
【點撥】根據切線的性質得到∠OBA＝90°，連接OO′，如圖，再根據旋轉的性質得∠A＝∠A′＝25°，∠ABA′＝∠OBO′，BO＝BO′，則判斷△OO′B為等邊三角形得到∠OBO′＝60°，所以∠ABA′＝60°，然后利用三角形外角性質計算∠OCB．
【解析】解：∵⊙O與△OAB的邊AB相切，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA＝90°，
連接OO′，如圖，
∵△OAB繞點B按順時針方向旋轉得到△O′A′B，
∴∠A＝∠A′＝25°，∠ABA′＝∠OBO′，BO＝BO′，
∵OB＝OO′，
∴△OO′B為等邊三角形，
∴∠OBO′＝60°，
∴∠ABA′＝60°，
∴∠OCB＝∠A+∠ABC＝25°+60°＝85°．
故答案為85．
【點睛】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．也考查了旋轉的性質．
15．（2023 余杭區模擬）如圖，在△ABC中，AB，BC分別為⊙O的切線，點E和點C為切點，線段AC經過圓心O且與⊙O相交于點D，若，AD＝，則OB的長為 　　．
【考點】切線的性質；解直角三角形；圓周角定理．
【答案】．
【點撥】連接OE，由題意可得∠OEA＝∠C＝90°，設OE＝OD＝OC＝3r，AE＝4r，則OA＝5r，進而可得，然后可得OE＝OD＝OC＝1，最后可根據勾股定理及三角函數進行求解即可．
【解析】解：∵BA，BC分別為⊙O的切線，
∴∠OEA＝∠C＝90°，
由可設OE＝OD＝OC＝3r，AE＝4r，則OA＝5r，
∵AD＝，
∴，
∴，
解得：，
∴OE＝OD＝OC＝1，
∴，
∴BC＝AC tanA＝2，
在Rt△OCB中，；
故答案為：．
【點睛】本題主要考查切線的性質、勾股定理及三角函數，熟練掌握切線的性質、勾股定理及三角函數是解題的關鍵．
16．（2022 寧波）如圖，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，點O在BC上，以OB為半徑的圓與AC相切于點A．D是BC邊上的動點，當△ACD為直角三角形時，AD的長為 　或?。?br/>【考點】切線的性質；直角三角形的性質；勾股定理．
【答案】或．
【點撥】根據切線的性質定理，勾股定理，直角三角形的等面積法解答即可．
【解析】解：連接OA，過點A作AD⊥BC于點D，
∵圓與AC相切于點A．
∴OA⊥AC，
由題意可知：D點位置分為兩種情況，
①當∠CAD為90°時，此時D點與O點重合，設圓的半徑＝r，
∴OA＝r，OC＝4﹣r，
∵AC＝2，
在Rt△AOC中，根據勾股定理可得：r2+4＝（4﹣r）2，
解得：r＝，
即AD＝AO＝；
②當∠ADC＝90°時，AD＝，
∵AO＝，AC＝2，OC＝4﹣r＝，
∴AD＝，
綜上所述，AD的長為或，
故答案為：或．
【點睛】本題主要考查了切線的性質和勾股定理，熟練掌握這些性質定理是解決本題的關鍵．
17．（2023 紹興）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，過點C作⊙O的切線CD，交AB的延長線于點D，過點A作AE⊥CD于點E．
（1）若∠EAC＝25°，求∠ACD的度數；
（2）若OB＝2，BD＝1，求CE的長．
【考點】切線的性質；圓周角定理．
【答案】（1）115°；（2）．
【點撥】（1）由垂直的定義得到∠AEC＝90°，由三角形外角的性質即可求出∠ACD的度數；
（2）由勾股定理求出CD的長，由平行線分線段成比例定理得到，代入有關數據，即可求出CE的長．
【解析】解：（1）∵AE⊥CD于點E，
∴∠AEC＝90°
∴∠ACD＝∠AEC+∠EAC＝90°+25°＝115°；
（2）∵CD是⊙O的切線，
∴半徑OC⊥DE，
∴∠OCD＝90°，
∵OC＝OB＝2，BD＝1，
∴OD＝OB+BD＝3，
∴CD＝＝．
∵∠OCD＝∠AEC＝90°，
∴OC∥AE，
∴，
∴，
∴CE＝．
【點睛】本題考查切線的性質，垂線，平行線分線段成比例，勾股定理，三角形外角的性質，關鍵是由三角形外角的性質求出∠ACD的度數，由勾股定理求出CD的長，由平行線分線段成比例定理即可求出CE的長．
18．（2023 金東區一模）如圖，AB為⊙O的直徑，CD為弦，且CD⊥AB于E，F為BA延長線上一點，CA恰好平分∠FCE．
（1）求證：FC與⊙O相切；
（2）連接OD，若OD∥AC，求的值．
【考點】切線的判定與性質；圓周角定理．
【答案】（1）證明見解析；
（2）的值是．
【點撥】（1）連接OC，則∠OCA＝∠OAC，由CD⊥AB于E，得∠AEC＝90°，而∠ACF＝∠ACE，則∠OCF＝∠OCA+∠ACF＝∠OAC+∠ACE＝90°，即可證明FC與⊙O相切；
（2）由等腰三角形的“三線合一”得∠COF＝∠DOF，由OD∥AC，得∠DOF＝∠OAC，所以∠COF＝∠OAC＝∠OCA＝60°，則∠F＝30°，所以OA＝OC＝OF，則AF＝OA＝AB，即可求得＝．
【解析】（1）證明：連接OC、則OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵CD⊥AB于E，
∴∠AEC＝90°，
∵CA平分∠FCE，
∴∠ACF＝∠ACE，
∴∠OCF＝∠OCA+∠ACF＝∠OAC+∠ACE＝90°，
∵FC經過⊙O的半徑OC的外端，且FC⊥OC，
∴FC與⊙O相切．
（2）解：∴OC＝OD，OF⊥CD，
∴∠COF＝∠DOF，
∵OD∥AC，
∴∠DOF＝∠OAC，
∴∠COF＝∠OAC＝∠OCA＝60°，
∴∠F＝30°，
∴OA＝OC＝OF，
∴AF＝OA＝AB，
∴＝，
∴的值是．
【點睛】此題重點考查切線的判定、等腰三角形的性質、直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．
19．（2022 富陽區一模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分線交BC于點D，點O在AB上，以點O為圓心，OA為半徑的圓恰好經過點D，分別交AC，AB于點E，F．
（1）試判斷直線BC與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若BF＝2，BD＝2，求陰影部分的面積（結果保留π）．
【考點】直線與圓的位置關系；扇形面積的計算；角平分線的性質；勾股定理；圓周角定理．
【答案】（1）BC與⊙O相切，理由見解析；
（2）2﹣π．
【點撥】（1）連接OD，證明OD∥AC，即可證得∠ODB＝90°，從而證得BC是圓的切線；
（2）設⊙O的半徑為r，則OB＝r+2，根據勾股定理列方程可得r的長，最后由面積差可得結論．
【解析】解：（1）BC與⊙O相切．
理由：連接OD．
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠BAD＝∠CAD，
又∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC，
又∵OD是⊙O的半徑，
∴BC與⊙O相切；
（2）設⊙O的半徑為r，則OB＝r+2，
由勾股定理得：OD2+BD2＝OB2，
∴r2+（2）2＝（r+2）2，
∴r＝2，
∴OD＝2，OB＝4，
∴∠OBD＝30°，
∴∠DOB＝60°，
∴陰影部分的面積＝×2×2﹣＝2﹣π．
【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，扇形面積的計算，以及勾股定理，熟練掌握切線的判定是解本題的關鍵．
1．（2023 江都區模擬）已知點P到圓心O的距離為5，若點P在圓內，則⊙O的半徑可能為（　?。?br/>A．3 B．4 C．5 D．6
【考點】點與圓的位置關系．
【答案】D
【點撥】根據點與圓的位置關系判斷得出即可．
【解析】解：∵點P在圓內，且d＝5，
∴r＞5，
故選：D．
【點睛】此題主要考查了點與圓的位置關系，點與圓的位置關系有3種．設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：①點P在圓外 d＞r，②點P在圓上 d＝r，③點P在圓內 d＜r．
2．（2022 余杭區一模）如圖，若⊙O的直徑為6，點O到某條直線的距離為6，則這條直線可能是（　?。?br/>A．l1 B．l2 C．l3 D．l4
【考點】直線與圓的位置關系．
【答案】A
【點撥】根據直線與圓的位置關系判斷即可．
【解析】解：∵若⊙O的直徑為6，
∴圓O的半徑為3，
∵點O到某條直線的距離為6，
∴這條直線與圓相離，
故選：A．
【點睛】本題考查直線與圓的位置關系，解題的關鍵是記住：當⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d．①直線l和⊙O相交 d＜r②直線l和⊙O相切 d＝r③直線l和⊙O相離 d＞r．
3．（2023 越秀區校級一模）已知⊙O的半徑是8，點P到圓心O的距離d為方程x2﹣4x﹣5＝0的一個根，則點P在（　?。?br/>A．⊙O的內部 B．⊙O的外部 C．⊙O上或⊙O的內部 D．⊙O上或⊙O的外部
【考點】點與圓的位置關系；一元二次方程的解；解一元二次方程﹣因式分解法．
【答案】A
【點撥】解一元二次方程根，據點與圓的關系直接判定即可得到答案．
【解析】解：解方程x2﹣4x﹣5＝0可得，x1＝5，x2＝﹣1，
∵點P到圓心O的距離d為方程x2﹣4x﹣5＝0的一個根，
∴d＝5＜8，
∴點P在⊙O的內部，
故選：A．
【點睛】本題考查解一元二次方程及點與圓的關系，解題的關鍵是正確解方程及掌握點到圓心距離與圓半徑關系判斷點與圓的關系．
4．（2021 杭州三模）如圖，在平面直角坐標系中，過格點A，B，C作一圓弧，點B與下列格點的連線中，能夠與該圓弧相切的是（　　）
A．點（0，3） B．點（1，3） C．點（6，0） D．點（6，1）
【考點】切線的判定．
【答案】B
【點撥】根據垂徑定理的性質得出圓心所在位置，再根據切線的性質得出，∠OBD+∠EBF＝90°時F點的位置即可．
【解析】解：∵過格點A，B，C作一圓弧，
∴三點組成的圓的圓心為：O′（2，0），
∵只有∠O′BD+∠EBF＝90°時，BF與圓相切，
∴當△BO′D≌△FBE時，
∴EF＝BD＝2，
∴F點的坐標為：（5，1），
∴點B與下列格點的連線中，能夠與該圓弧相切的是：（5，1）和（1，3）．
故選：B．
【點睛】此題主要考查了切線的性質及坐標與圖形的性質，得出△BOD≌△FBE時，EF＝BD＝2，即得出F點的坐標是解決問題的關鍵．
5．（2023 杭州一模）如圖，過⊙O外一點A作⊙O的切線AD，點D是切點，連結OA交⊙O于點B，點C是⊙O上不與點B，D重合的點．若∠A＝α°，則∠C的度數為（　?。?br/>A． B． C．2α° D．
【考點】切線的性質；圓周角定理．
【答案】A
【點撥】由切線的性質定理，得到∠ADO＝90°，由直角三角形的性質得到，∠AOD＝90°﹣α°，由圓周角定理得到∠C＝∠AOD＝（45﹣α）°．
【解析】解：∵AD切圓于D，
∴半徑OD⊥AD，
∴∠ADO＝90°，
∵∠A＝α°，
∴∠AOD＝90°﹣α°，
∴∠C＝∠AOD＝（45﹣α）°．
故選：A．
【點睛】本題考查切線的性質，圓周角定理，關鍵是掌握切線的性質定理，圓周角定理．
6．（2021 柯橋區模擬）如圖，△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周長為16．若⊙O與BC，AC，AB三邊分別切于E，F，D點，則DF的長為（　?。?br/>A．2 B．3 C．4 D．6
【考點】切線長定理．
【答案】A
【點撥】根據切線長定理求出AD＝AF，BE＝BD，CE＝CF，得出等邊三角形ADF，推出AD＝AF＝DF，根據BC＝6，求出BD+CF＝6，求出AD+AF＝4，即可求出答案．
【解析】解：∵⊙O與BC，AC，AB三邊分別切于E，F，D點，
∴AD＝AF，BE＝BD，CE＝CF，
∵BC＝BE+CE＝6，
∴BD+CF＝6，
∵AD＝AF，∠A＝60°，
∴△ADF是等邊三角形，
∴AD＝AF＝DF，
∵AB+AC+BC＝16，BC＝6，
∴AB+AC＝10，
∵BD+CF＝6，
∴AD+AF＝4，
∵AD＝AF＝DF，
∴DF＝AF＝AD＝×4＝2，
故選：A．
【點睛】本題考查了對切線長定理的應用，關鍵是求出AD+AF的值，主要考查學生運用定理進行推理和計算的能力，題目比較好，難度也適中．
7．（2022 金華模擬）如圖，△ABC周長為20cm，BC＝6cm，圓O是△ABC的內切圓，圓O的切線MN與AB、CA相交于點M、N，則△AMN的周長為（　?。?br/>A．14cm B．8cm C．7cm D．9cm
【考點】三角形的內切圓與內心；切線的性質．
【答案】B
【點撥】根據切線長定理得到BF＝BE，CF＝CD，DN＝NG，EM＝GM，AD＝AE，然后利用三角形的周長和BC的長求得AE和AD的長，從而求得△AMN的周長．
【解析】解：∵圓O是△ABC的內切圓，圓O的切線MN與AB、CA相交于點M、N，
∴BF＝BE，CF＝CD，DN＝NG，EM＝GM，AD＝AE，
∵△ABC周長為20cm，BC＝6cm，
∴AE＝AD＝＝＝＝4（cm），
∴△AMN的周長為AM+MG+NG+AN＝AM+ME+AN+ND＝AE+AD＝4+4＝8（cm），
故選：B．
【點睛】考查了三角形的內切圓與內心及切線的性質的知識，解題的關鍵是利用切線長定理求得AE和AD的長，難度不大．
8．（2023 淳安縣一模）如圖，AB是⊙的直徑，CD是∠ACB的平分線交⊙O于點D，過D作⊙O的切線交CB的延長線于點E．若AB＝4，∠E＝75°，則CD的長為（　?。?br/>A． B．2 C． D．
【考點】切線的性質；含30度角的直角三角形；垂徑定理；圓周角定理．
【答案】D
【點撥】連接OC、OD，CD與AB交于點F．首先證明∠OFD＝60°，再證明∠FOC＝∠FCO＝30°，求出DF、CF即可解決問題．
【解析】解：如圖，連接OC、OD，CD與AB交于點F．
∵AB是直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴，
∴OD⊥AB，
∵DE是切⊙O切線，
∴DE⊥OD，
∴AB∥DE，
∵∠E＝75°，
∴∠ABC＝∠E＝75°，∠CAB＝15°，
∴∠CFB＝∠CAB+∠ACF＝15°+45°＝60°，
∴∠OFD＝∠CFB＝60°，
在Rt△OFD中，∠DOF＝90°，OD＝2，∠ODF＝30°，
∴OF＝OD tan30°＝，DF＝2OF＝，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝30°，
∵∠COB＝∠CAB+∠ACO＝30°，
∴∠FOC＝∠FCO，
∴CF＝FO＝，
∴CD＝CF+DF＝2，
故選：D．
【點睛】本題考查了切線的性質，含30°角的直角三角形性質的應用，能求出DF、OF是解此題的關鍵，注意：圓的切線垂直于過切點的半徑．
9．（2023 杭州一模）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是AB延長線上的一點，CD與⊙O相切于點D，連接AD，BD．若∠C＝30°，則（　?。?br/>A． B． C． D．
【考點】切線的性質；圓周角定理．
【答案】B
【點撥】連接OD．根據切線的性質可得出OD⊥CD，根據直徑所對圓周角為直角得出∠ADB＝90°，結合題意易證△OBD為等邊三角形，最后由含30度角的直角三角形的性質結合勾股定理逐項計算判斷即可．
【解析】解：如圖，連接OD．
∵CD與⊙O相切于點D，
∴OD⊥CD．
∵∠C＝30°，
∴∠BOD＝60°，，
∴，即．
∵OD＝OB，
∴△OBD為等邊三角形，
∴BD＝OB，
∴，故A錯誤，不符合題意；
∵OD＝OB＝BD，，
∴OA＝OD＝OB＝BD＝BC，
∴，故B正確，符合題意；
∵AB＝2OB，OC＝2OB，
∴AB＝OC．
∵，
∴，
∴．
∵AB＝2BC，
∴，故C錯誤，不符合題意；
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°．
∵△OBD為等邊三角形，
∴∠ABD＝60°，
∴∠A＝30°，
∴，
∴，
∴，
∴，故D錯誤，不符合題意．
故選：B．
【點睛】本題考查切線的性質，圓周角定理的推論，等邊三角形的判定和性質，含30度角的直角三角形的性質以及勾股定理．連接常用的輔助線是解題關鍵．
10．（2023 慈溪市一模）如圖，在正△ABC中，D，E分別在邊AC，BC上，連結DE，∠ADE的平分線過△ABC的內心O，交AB于點F，連結EF．若要知道△ABC的周長，則只需要知道下列哪個三角形的周長？該三角形是（　?。?br/>A．△CDE B．△ADF C．△BEF D．△DEF
【考點】三角形的內切圓與內心；等邊三角形的性質．
【答案】A
【點撥】過點O作OG⊥AC于點G，OH⊥DE于點H，OM⊥BC于點M，連接OE，GM，OC，利用三角形的內心是三個內角平分線的交點和角平分線的性質，全等三角形的判定與性質，得到DG＝DH，EH＝EM，從而計算得到△CDE的周長為AC，進而得出△ABC的周長＝AB+AC+BC＝3AC＝3△CDE的周長，則結論可得．
【解析】解：過點O作OG⊥AC于點G，OH⊥DE于點H，OM⊥BC于點M，連接OE，GM，OC，如圖，
∵DF是∠ADE的平分線，OG⊥AC，OH⊥DE，
∴OG＝OH．
在Rt△DGO和Rt△DHO中，
，
∴Rt△DGO≌Rt△DHO（HL），
∴DG＝DH，
∵O為△ABC的內心，
∴CO平分∠ACB，
∵OG⊥AC，OM⊥BC，
∴OG＝OM，
∴OH＝OM．
在Rt△CGO和Rt△CMO中，
，
∴Rt△CGO≌Rt△CMO（HL），
∴CG＝CM．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴△CGM為等邊三角形，
∴CG＝CM＝MG．
∵O為正△ABC的內心，
∴CG＝AG＝AC，
在Rt△EHO和Rt△EMO中，
，
∴Rt△EHO≌Rt△EMO（HL），
∴EH＝EM，
∴△CDE的周長＝CD+DE+CE
＝CD+DH+EH+CE
＝CD+DG+EM+CE
＝CG+CM
＝2CG
＝AC．
∴△ABC的周長＝AB+AC+BC＝3AC＝3△CDE的周長，
∴要知道△ABC的周長，則只需要知道△CDE的周長即可．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質，三角形的內切圓與內心，全等三角形的判定與性質，熟練掌握三角形的內心的性質是解題的關鍵．
11．（2021 紹興模擬）圓的直徑為10cm，若圓心到某直線的距離是6cm，則直線與圓的位置關系為 　相離?。?br/>【考點】直線與圓的位置關系．
【答案】相離．
【點撥】欲求直線和圓的位置關系，關鍵是求出圓心到直線的距離d，再與半徑r進行比較．若d＜r，則直線與圓相交；若d＝r，則直線于圓相切；若d＞r，則直線與圓相離．
【解析】解：∵圓的直徑為10cm，
∴圓的半徑為5cm，
∵圓心到直線的距離6cm，
∴圓的半徑＜圓心到直線的距離，
∴直線于圓相離，
故答案為相離．
【點睛】本題考查的是直線與圓的位置關系，解決此類問題可通過比較圓心到直線距離d與圓半徑大小關系完成判定．
12．（2021 青海）點P是非圓上一點，若點P到⊙O上的點的最小距離是4cm，最大距離是9cm，則⊙O的半徑是 　6.5cm或2.5cm?。?br/>【考點】點與圓的位置關系．
【答案】6.5cm或2.5cm
【點撥】點P應分在位于圓的內部與外部兩種情況討論：①當點P在圓內時，直徑＝最小距離+最大距離；②當點P在圓外時，直徑＝最大距離﹣最小距離．
【解析】解：分為兩種情況：
①當點在圓內時，如圖1，
∵點到圓上的最小距離PB＝4cm，最大距離PA＝9cm，
∴直徑AB＝4+9＝13（cm），
∴半徑r＝6.5cm；
②當點在圓外時，如圖2，
∵點到圓上的最小距離PB＝4cm，最大距離PA＝9cm，
∴直徑AB＝9﹣4＝5（cm），
∴半徑r＝2.5cm．
綜上所述，圓O的半徑為6.5cm或2.5cm．
故答案為：6.5cm或2.5cm．
【點睛】本題主要考查了點與圓的位置關系，注意到分兩種情況進行討論是解決本題的關鍵．
13．（2022 衢州）如圖，AB切⊙O于點B，AO的延長線交⊙O于點C，連結BC．若∠A＝40°，則∠C的度數為 　25°?。?br/>【考點】切線的性質；圓周角定理．
【答案】25°．
【點撥】連接OB，先根據切線的性質求出∠AOB，再根據OB＝OC，∠AOB＝∠C+∠OBC即可解決問題．
【解析】解：如圖，連接OB．
∵AB是⊙O切線，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∵∠A＝40°，
∴∠AOB＝90°﹣∠A＝50°，
∵OC＝OB，
∴∠C＝∠OBC，
∵∠AOB＝∠C+∠OBC，
∴∠C＝25°．
故答案為：25°．
【點睛】本題考查切線的性質、等腰三角形的性質、直角三角形兩銳角互余等知識，解題的關鍵是添加輔助線構造直角三角形．
14．（2022 金華）如圖，木工用角尺的短邊緊靠⊙O于點A，長邊與⊙O相切于點B，角尺的直角頂點為C．已知AC＝6cm，CB＝8cm，則⊙O的半徑為 　　cm．
【考點】切線的性質；勾股定理．
【答案】．
【點撥】連接OA，OB，過點A作AD⊥OB于點D，利用矩形的判定與性質得到BD＝AC＝6cm，AD＝BC＝8cm，設⊙O的半徑為rcm，在Rt△OAD中，利用勾股定理列出方程即可求解．
【解析】解：連接OA，OB，過點A作AD⊥OB于點D，如圖，
∵長邊與⊙O相切于點B，
∴OB⊥BC，
∵AC⊥BC，AD⊥OB，
∴四邊形ACBD為矩形，
∴BD＝AC＝6cm，AD＝BC＝8cm．
設⊙O的半徑為r cm，
則OA＝OB＝r cm，
∴OD＝OB﹣BD＝（r﹣6）cm，
在Rt△OAD中，
∵AD2+OD2＝OA2，
∴82+（r﹣6）2＝r2，
解得：r＝．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了圓的切線的性質定理，勾股定理，矩形的判定與性質，依據題意添加適當的輔助線是解題的關鍵．
15．（2023 杭州一模）如圖，PA，PB是⊙O的切線，切點分別是點A和B，AC是⊙O的直徑．若∠P＝60°，BC＝2，則PA的長為 　2?。?br/>【考點】切線的性質．
【答案】2．
【點撥】連接AB，由AC是圓的直徑，得到∠ABC＝90，由PA，PB是⊙O的切線，得到PA＝PB，推出△PAB是等邊三角形，得到PA＝AB，∠PAB＝60°，因此∠BAC＝90°﹣∠PAB＝30°，求出AB的長，即可得到PA的長．
【解析】解：連接AB，
∵AC是圓的直徑，
∴∠ABC＝90，
∵PA，PB是⊙O的切線，切點分別是點A和B，
∴PA＝PB，∠PAC＝90°，
∵∠P＝60°，
∴△PAB是等邊三角形，
∴PA＝AB，∠PAB＝60°，
∴∠BAC＝90°﹣∠PAB＝30°，
∵BC＝2，
∴AB＝BC＝2，
∴PA＝2．
故答案為：2．
【點睛】本題考查切線的性質，圓周角定理，直角三角形的性質，等邊三角形的判定和性質，掌握以上知識點是解題的關鍵．
16．（2023 北侖區二模）如圖，等腰△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝AC＝8，半徑為2的⊙O在射線AC上運動，當⊙O與△ABC的一邊相切時，線段CO的長度為 　4或?。?br/>【考點】切線的性質；等腰三角形的性質；含30度角的直角三角形；垂徑定理．
【答案】4或．
【點撥】當⊙O與AB相切時，設切點為D，連接OD，求得∠ADO＝90°，過C作CE⊥AB于E，得到∠AEC＝90°，根據等腰三角形的性質得到∠A＝30°，根據等腰三角形的性質得到OC＝AC﹣AO＝4，當⊙O與BC相切時，設切點為E，連接OE，根據平角的定義得到∠OCE＝60°，于是得到結論．
【解析】解：當⊙O與AB相切時，設切點為D，
連接OD，
則∠ADO＝90°，
過C作CE⊥AB于E，
∴∠AEC＝90°，
∵AC＝BC，∠ACB＝120°，
∴∠A＝30°，
∴AO＝2OD＝4，
∴OC＝AC﹣AO＝4，
當⊙O與BC相切時，設切點為E，
連接OE，
∵∠ACB＝120°，
∴∠OCE＝60°，
∵OE＝2．
∴，
綜上所述，線段CO的長度為4或，
故答案為：4或．
【點睛】本題考查了切線的性質，解直角三角形，等腰三角形的性質，熟練掌握切線的性質是解題的關鍵．
17．（2021 紹興模擬）如圖，以△ABC的邊BC為直徑的⊙O，交AB邊于點D，D為AB的中點，DE⊥AC于點E．
（1）求證：AC＝BC．
（2）求證：DE是⊙O的切線．
【考點】切線的判定；垂徑定理；圓周角定理．
【答案】（1）證明過程見解析；
（2）證明過程見解析．
【點撥】（1）連接CD，由圓周角定理可得出∠BDC＝90°，則CD⊥AB，由中垂線的性質得出結論；
（2）連接OD，再證明OD⊥DE即可．
【解析】證明：（1）如圖，連接CD，
∵BC是⊙O的直徑．
∴∠BDC＝90°，
∴CD⊥AB，
又∵D為AB的中點，
∴AD＝BD，
∴AC＝BC；
（2）連接OD，
∵AD＝BD，OC＝OB，
∴OD是△ABC的中位線，
∴DO∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
又∵點D在⊙O上．
∴DE是⊙O的切線．
【點睛】本題主要考查了切線的判定，圓周角定理，等腰三角形的判定等知識點，熟練掌握切線的判定是解題的關鍵．
18．（2023 金華）如圖，點A在第一象限內，⊙A與x軸相切于點B，與y軸相交于點C，D，連結AB，過點A作AH⊥CD于點H．
（1）求證：四邊形ABOH為矩形．
（2）已知⊙A的半徑為4，OB＝，求弦CD的長．
【考點】切線的性質；坐標與圖形性質；勾股定理；矩形的判定與性質；垂徑定理．
【答案】（1）見解析；
（2）6．
【點撥】（1）根據切線的性質得到AB⊥x軸根據垂直的定義得到∠AHO＝∠HOB＝∠OBA＝90°，根據矩形的判定定理得到四邊形AHOB是矩形；
（2）連接AD，根據矩形的性質得到AH＝OB＝，根據勾股定理得到DH＝＝＝3，根據垂徑定理即可得到結論．
【解析】（1）證明：∵⊙A與x軸相切于點B，
∴AB⊥x軸
又∵AH⊥CD，HO⊥OB，
∴∠AHO＝∠HOB＝∠OBA＝90°，
∴四邊形AHOB是矩形；
（2）解：連接AD，
∵四邊形AHOB是矩形，
∴AH＝OB＝，
∵AD＝AB＝4，
∴DH＝＝＝3，
∵AH⊥CD，
∴CD＝2DH＝6．
【點睛】本題考查了切線的性質，矩形的判定和性質，勾股定理，垂徑定理，正確都作出輔助線是解題的關鍵．
19．（2022 紹興）如圖，半徑為6的⊙O與Rt△ABC的邊AB相切于點A，交邊BC于點C，D，∠B＝90°，連結OD，AD．
（1）若∠ACB＝20°，求的長（結果保留π）．
（2）求證：AD平分∠BDO．
【考點】切線的性質；平行線的判定與性質；圓心角、弧、弦的關系；圓周角定理．
【答案】（1）；
（2）證明見解析．
【點撥】（1）連結OA，由∠ACB＝20°，得∠AOD＝40°，由弧長公式即得的長為；
（2）根據AB切⊙O于點A，∠B＝90°，可得OA∥BC，有∠OAD＝∠ADB，而OA＝OD，即可得∠ADB＝∠ODA，從而AD平分∠BDO．
【解析】（1）解：連結OA，如圖：
∵∠ACB＝20°，
∴∠AOD＝40°，
∴＝＝；
（2）證明：∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AB切⊙O于點A，
∴OA⊥AB，
∵∠B＝90°，
∴OA∥BC，
∴∠OAD＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠ODA，
∴AD平分∠BDO．
【點睛】本題考查與圓有關的計算及圓的性質，解題的關鍵是掌握弧長公式及圓的切線的性質．
20．（2022 富陽區二模）如圖，以正方形ABCD的邊AB為直徑作⊙O，E是⊙O上一點，EF⊥AB于點F，AF＞BF，作直線DE交BC于點G，CD＝10，EF＝4．
（1）求AF的長；
（2）求證：DG是⊙O的切線．
【考點】切線的判定；正方形的性質；圓周角定理．
【答案】（1）AF＝8；（2）證明見解析．
【點撥】（1）已知直徑易知半徑．連接OE，在Rt△OEF中運用勾股定理求OF，再求AF，BF；
（2）欲證DG為切線，則證OE⊥DG．連接OD，證明△OAD≌△OED即可．已有兩邊對應相等，只需證明DE＝AD．為此作EH⊥AD于H，運用勾股定理可證．
【解析】（1）解：如圖，連接OE．
∵正方形邊長為10，AB是直徑，
∴OB＝OE＝5．
∵EF⊥AB，EF＝4，
∴OF＝＝3，
∴BF＝2，
∴AF＝8；
（2）證明：如圖，連接OD，作EH⊥AD于H點．
∴四邊形AFED為直角梯形，
∴EH＝AF＝8，HD＝10﹣4＝6．
∴DE＝＝10．
∴AD＝DE．
又OA＝OE，OD公共邊，
∴△OAD≌△OED（SSS），
∴∠OED＝∠OAD＝90°，
又OE是⊙O的半徑，
∴DG是⊙O的切線．
【點睛】此題考查了正方形的性質、圓的切線的判定、勾股定理等知識點，綜合性較強，難度較大
21．（2022 金華模擬）如圖，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中點，BE平分∠ABD交AC于點E，點O是AB上一點，⊙O過B、E兩點，交BD于點G，交AB于點F．
（1）判斷直線AC與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）當BD＝6，AB＝10時，求BG的長．
【考點】直線與圓的位置關系；等腰三角形的性質；勾股定理；圓周角定理．
【答案】（1）AC與⊙O相切；
（2）．
【點撥】（1）連接OE，如圖，根據等腰三角形的性質得到BD⊥AC，再證明OE∥BD，則OE⊥AC，然后根據切線的判定方法得到結論；
（2）連接FG，如圖，設⊙O的半徑為r，則OE＝r，OA＝10﹣r，利用OE∥BD得到＝，求出r得到BF＝，再根據圓周角定理得到∠FGB＝90°，則FG∥AD，根據平行線分線段成比例得到＝，從而可求出BG．
【解析】解：（1）AC與⊙O相切．
理由如下：連接OE，如圖，
∵AB＝BC，D是AC中點，
∴BD⊥AC，
∵BE平分∠ABD，
∴∠OBE＝∠DBE，
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∴∠OEB＝∠DBE，
∴OE∥BD，
∴OE⊥AC，
而OE為⊙O的半徑，
∴AC為⊙O的切線；
（2）連接FG，如圖，
設⊙O的半徑為r，則OE＝r，OA＝10﹣r，
∵OE∥BD，
∴＝，即＝，
解得r＝，
∴BF＝2r＝，
∵BF為⊙O的直徑，
∴∠FGB＝90°，
∴FG∥AD，
∴＝，即＝，
∴BG＝．
【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系：設⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，直線l和⊙O相交 d＜r；直線l和⊙O相切 d＝r；直線l和⊙O相離 d＞r．也考查了等腰三角形的性質和圓周角定理．
22．（2022 衢州二模）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點P，直線BF與AD延長線交于點F，且∠AFB＝∠ABC．
（1）求證：直線BF是⊙O的切線；
（2）若tan∠BCD＝，OP＝1，求線段BF的長．
【考點】切線的判定；解直角三角形；垂徑定理；圓周角定理．
【答案】見解析
【點撥】（1）欲證明直線BF是⊙O的切線，只要證明AB⊥BF即可．
（2）連接OC，設OC＝OB＝x，則PB＝x﹣1，解直角三角形求得PC＝2（x﹣1），在Rt△OPC中，利用勾股定理求出OB＝，進而求得PD＝PC＝，AB＝，AP＝由△APD∽△ABF，＝，即可解決問題．
【解析】（1）證明：∵∠AFB＝∠ABC，∠ABC＝∠ADC，
∴∠AFB＝∠ADC，
∴CD∥BF，
∴∠APD＝∠ABF，
∵CD⊥AB，
∴AB⊥BF，
∴直線BF是⊙O的切線．
（2）解：連接OC，
∵CD⊥AB，
∴PD＝CD，
設OC＝OB＝x，
∴PB＝x﹣1，
∵tan∠BCD＝，
∴PC＝2（x﹣1），
在Rt△POC中，OC2＝PC2+OP2，
∴x2＝（2x﹣2）2+12，
解得x＝，x＝1（舍去），
∴OB＝，
∴PD＝PC＝，AB＝，AP＝
∵∠PAD＝∠BAF，∠APD＝∠ABF，
∴△APD∽△ABF，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝．
【點睛】本題考查切線的判定，垂徑定理、勾股定理．相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用這些知識解決問題，學會條件常用輔助線，屬于中考?？碱}型．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
第五章 圓
第二節 與圓有關的位置關系
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 點與圓的位置關系 ☆ 與圓相關的位置關系也是各地中考數學中的必考考點之一，主要內容包括點、直線與圓的位置關系、切線的性質和判定、三角形的內切圓和外接圓三塊，在解答題中想必還會考查切線的性質和判定，和直角三角形結合的求線段長的問題和三角函數結合的求角度的問題等知識點綜合，考查形式多樣，多以動點、動圖的形式給出，難度較大。關鍵是掌握基礎知識、基本方法。
考點2 直線與圓的位置關系 ☆☆
考點3切線的性質 ☆☆☆
考點4 切線的判定 ☆☆
1.點與圓的位置關系
點與圓有三種位置關系,主要根據點到圓心的距離d與圓的半徑r的大小關系得出.具體關系如下:
①點P在圓內 ． ②點P在圓上 ． ③點P在圓外 ．
2. 直線與圓的位置關系
（1）相離:如果直線和圓 公共點,那么稱直線與圓相離.
（2）相切:如果直線和圓有 的公共點,那么稱直線和圓相切,這條直線叫做圓的 ,這個唯一的公共點叫做圓的 .
（3）.相交:如果直線和圓有 個公共點,那么稱直線和圓相交,這條直線叫做圓的割線,這兩個公共點叫做 .
（4）直線與圓有 種位置關系,具體的位置關系取決于圓心O到直線l的距離d和☉O的半徑r之間的大小關系,幾種位置關系的區別如下表:
3.切線的判定和性質
（1）切線的判定方法
①與圓有 公共點的直線是圓的切線(切線的定義); ②圓心到直線的距離等于 的直線是圓的切線; ③經過半徑外端點并且 于這條半徑的直線是圓的切線(切線的判定定理).
（2）切線的性質
①切線與圓只有 公共點; ② 到切線的距離等于半徑; ③切線 過切點的半徑.
（3）切線長
①定義:經過圓外一點作圓的切線,這點和切點之間的線段的長,叫做這點到圓的切線長.
②性質定理:從圓外一點引圓的兩條切線,它們的 相等.
4．三角形的內切圓：與三角形三邊都 的圓叫做三角形的內切圓，圓心叫做三角形的 ，三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內心是三角形的三條 的交點，內切圓的半徑是內心到三邊的距離．
■考點一　點與圓的位置關系
◇典例1：（2022 浦江縣模擬）在平面直角坐標系中，若⊙A的半徑為5，A點的坐標是（4，0），P點的坐標是（0，3），則點P與⊙A的位置關系是（　?。?br/>A．點P在⊙A內 B．點P在⊙A外 C．點P在⊙A上 D．不能確定
◆變式訓練
1．（2022 吳興區校級二模）如果⊙O的半徑為6cm，OP＝7cm，則點P與⊙O的位置關系是（　　）
A．點P在⊙O內 B．點P在⊙O上 C．點P在⊙O外 D．不能確定
2．（2023 寧波模擬）在數軸上，點A所表示的實數為4，點B所表示的實數為b，⊙A的半徑為2，要使點B在⊙A內時，實數b的取值范圍是（　?。?br/>A．b＞2 B．b＞6 C．b＜2或b＞6 D．2＜b＜6
■考點二 直線與圓的位置關系
◇典例2：（2023 南潯區二模）已知平面內有⊙O與直線AB，⊙O的半徑為3cm，點O到直線AB的距離為3cm，則直線AB與⊙O的位置關系是（　?。?br/>A．相切 B．相交 C．相離 D．不能判斷
◆變式訓練
1．（2023 濱江區二模）已知⊙O的直徑為4，圓心O到直線l的距離為2，則直線l與⊙O（　?。?br/>A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定
2．（2021 慈溪市模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，以C為圓心，r為半徑作圓．若該圓與線段AB只有一個交點，則r的取值范圍為　 ?。?br/>■考點三 切線的性質
◇典例3：（2021 麗水）如圖，在△ABC中，AC＝BC，以BC為直徑的半圓O交AB于點D，過點D作半圓O的切線，交AC于點E．
（1）求證：∠ACB＝2∠ADE；
（2）若DE＝3，AE＝，求的長．
◆變式訓練
1．（2023 甌海區一模）如圖，AB，AC分別切⊙O于B，C兩點，若∠OBC＝26°，則∠A的度數為（　　）
A．32° B．52° C．64° D．72°
2．（2023 龍港市二模）如圖，AB與⊙O相切于點B，若⊙O的半徑為2，AB＝3，則AO的長為（　?。?br/>A． B． C． D．4
3．（2023 湖州）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點O在邊AC上，以點O為圓心，OC為半徑的半圓與斜邊AB相切于點D，交OA于點E，連結OB．
（1）求證：BD＝BC．
（2）已知OC＝1，∠A＝30°，求AB的長．
■考點四　 切線的判定
◇典例4：（2023 義烏市模擬）如圖，⊙O的直徑AB＝4，∠ABC＝30°，BC交⊙O于點D，D是BC的中點．
（1）求BC的長；
（2）過點D作DE⊥AC，垂足為E，求證：直線DE是⊙O的切線．
◆變式訓練
1．（2023 金華模擬）如圖，BC為△ABC的外接圓⊙O的直徑，在線段BO上取點F作BC的垂線交AB于點E，點G在FE的延長線上，且GA＝GE．
（1）求證：AG與⊙O相切．
（2）已知直徑BC＝20，AC＝12．若BE＝OB，試求OE的長．
1．（2020 拱墅區二模）已知⊙O的半徑為5，若PO＝4，則點P與⊙O的位置關系是（　　）
A．點P在⊙O內 B．點P在⊙O上 C．點P在⊙O外 D．無法判斷
2．（2021 舟山）已知平面內有⊙O和點A，B，若⊙O半徑為2cm，線段OA＝3cm，OB＝2cm，則直線AB與⊙O的位置關系為（　　）
A．相離 B．相交 C．相切 D．相交或相切
3．（2023 拱墅區二模）如圖，點B在⊙A上，點C在⊙A外，以下條件不能判定BC是⊙A切線的是（　?。?br/>A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠A
C．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A與AC的交點是AC中點
4．（2023 西湖區一模）如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC與⊙O相切于點B，連接AC，若BC＝1，，則AC的長為（　?。?br/>A．3 B．2 C． D．1
5．（2022 拱墅區模擬）如圖，AB、AC、BD是⊙O的切線，切點分別是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，則BD的長是（　?。?br/>A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2023 婺城區模擬）如圖，△ABC是一張周長為18cm的三角形紙片，BC＝5cm，⊙O是它的內切圓，小明準備用剪刀在⊙O的右側沿著與⊙O相切的任意一條直線MN剪下△AMN，則剪下的三角形的周長為（　?。?br/>A．13cm B．8cm C．6.5cm D．隨直線MN的變化而變化
7．（2023 金東區三模）如圖，直線y＝﹣x+6與坐標軸交于A，B兩點，點C為坐標平面內一點，BC＝2，點M為線段AC的中點，連結OM，則線段OM的最小值是（　?。?br/>A．+1 B．﹣1 C．2 D．
8．（2023 諸暨市模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，．⊙C的半徑長為2，P是△ABC邊上一動點（可以與頂點重合），并且點P到⊙C的切線長為m．若滿足條件的點P有4個，則m的取值范圍是（　?。?br/>A． B． C． D．
9．（2021 西湖區校級三模）已知⊙O的半徑為4，若PO＝4，則點P在圓 　　．
10．（2021 金華模擬）已知⊙O的直徑為5，設圓心O到直線l的距離為d，當直線l與⊙O相交時，d的取值范圍是 ．
11．（2021 杭州）如圖，已知⊙O的半徑為1，點P是⊙O外一點，且OP＝2．若PT是⊙O的切線，T為切點，連結OT，則PT＝　?。?br/>12．（2023 舟山）如圖，點A是⊙O外一點，AB，AC分別與⊙O相切于點B，C，點D在上．已知∠A＝50°，則∠D的度數是 　?。?br/>13．（2023 衢州）如圖是一個圓形餐盤的正面及其固定支架的截面圖，凹槽ABCD是矩形．當餐盤正立且緊靠支架于點A，D時，恰好與BC邊相切，則此餐盤的半徑等于 　　cm．
14．（2021 溫州）如圖，⊙O與△OAB的邊AB相切，切點為B．將△OAB繞點B按順時針方向旋轉得到△O′A′B，使點O′落在⊙O上，邊A′B交線段AO于點C．若∠A′＝25°，則∠OCB＝　　度．
15．（2023 余杭區模擬）如圖，在△ABC中，AB，BC分別為⊙O的切線，點E和點C為切點，線段AC經過圓心O且與⊙O相交于點D，若，AD＝，則OB的長為 　?。?br/>16．（2022 寧波）如圖，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，點O在BC上，以OB為半徑的圓與AC相切于點A．D是BC邊上的動點，當△ACD為直角三角形時，AD的長為 　?。?br/>17．（2023 紹興）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，過點C作⊙O的切線CD，交AB的延長線于點D，過點A作AE⊥CD于點E．
（1）若∠EAC＝25°，求∠ACD的度數；
（2）若OB＝2，BD＝1，求CE的長．
18．（2023 金東區一模）如圖，AB為⊙O的直徑，CD為弦，且CD⊥AB于E，F為BA延長線上一點，CA恰好平分∠FCE．
（1）求證：FC與⊙O相切；
（2）連接OD，若OD∥AC，求的值．
19．（2022 富陽區一模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分線交BC于點D，點O在AB上，以點O為圓心，OA為半徑的圓恰好經過點D，分別交AC，AB于點E，F．
（1）試判斷直線BC與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若BF＝2，BD＝2，求陰影部分的面積（結果保留π）．
1．（2023 江都區模擬）已知點P到圓心O的距離為5，若點P在圓內，則⊙O的半徑可能為（　?。?br/>A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2022 余杭區一模）如圖，若⊙O的直徑為6，點O到某條直線的距離為6，則這條直線可能是（　　）
A．l1 B．l2 C．l3 D．l4
3．（2023 越秀區校級一模）已知⊙O的半徑是8，點P到圓心O的距離d為方程x2﹣4x﹣5＝0的一個根，則點P在（　　）
A．⊙O的內部 B．⊙O的外部 C．⊙O上或⊙O的內部 D．⊙O上或⊙O的外部
4．（2021 杭州三模）如圖，在平面直角坐標系中，過格點A，B，C作一圓弧，點B與下列格點的連線中，能夠與該圓弧相切的是（　?。?br/>A．點（0，3） B．點（1，3） C．點（6，0） D．點（6，1）
5．（2023 杭州一模）如圖，過⊙O外一點A作⊙O的切線AD，點D是切點，連結OA交⊙O于點B，點C是⊙O上不與點B，D重合的點．若∠A＝α°，則∠C的度數為（　　）
A． B． C．2α° D．
6．（2021 柯橋區模擬）如圖，△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周長為16．若⊙O與BC，AC，AB三邊分別切于E，F，D點，則DF的長為（　?。?br/>A．2 B．3 C．4 D．6
7．（2022 金華模擬）如圖，△ABC周長為20cm，BC＝6cm，圓O是△ABC的內切圓，圓O的切線MN與AB、CA相交于點M、N，則△AMN的周長為（　　）
A．14cm B．8cm C．7cm D．9cm
8．（2023 淳安縣一模）如圖，AB是⊙的直徑，CD是∠ACB的平分線交⊙O于點D，過D作⊙O的切線交CB的延長線于點E．若AB＝4，∠E＝75°，則CD的長為（　?。?br/>A． B．2 C． D．
9．（2023 杭州一模）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是AB延長線上的一點，CD與⊙O相切于點D，連接AD，BD．若∠C＝30°，則（　?。?br/>A． B． C． D．
10．（2023 慈溪市一模）如圖，在正△ABC中，D，E分別在邊AC，BC上，連結DE，∠ADE的平分線過△ABC的內心O，交AB于點F，連結EF．若要知道△ABC的周長，則只需要知道下列哪個三角形的周長？該三角形是（　?。?br/>A．△CDE B．△ADF C．△BEF D．△DEF
11．（2021 紹興模擬）圓的直徑為10cm，若圓心到某直線的距離是6cm，則直線與圓的位置關系為 　 　．
12．（2021 青海）點P是非圓上一點，若點P到⊙O上的點的最小距離是4cm，最大距離是9cm，則⊙O的半徑是 　 ?。?br/>13．（2022 衢州）如圖，AB切⊙O于點B，AO的延長線交⊙O于點C，連結BC．若∠A＝40°，則∠C的度數為 　 ?。?br/>14．（2022 金華）如圖，木工用角尺的短邊緊靠⊙O于點A，長邊與⊙O相切于點B，角尺的直角頂點為C．已知AC＝6cm，CB＝8cm，則⊙O的半徑為 　 　cm．
15．（2023 杭州一模）如圖，PA，PB是⊙O的切線，切點分別是點A和B，AC是⊙O的直徑．若∠P＝60°，BC＝2，則PA的長為 　 ?。?br/>16．（2023 北侖區二模）如圖，等腰△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝AC＝8，半徑為2的⊙O在射線AC上運動，當⊙O與△ABC的一邊相切時，線段CO的長度為 　 　．
17．（2021 紹興模擬）如圖，以△ABC的邊BC為直徑的⊙O，交AB邊于點D，D為AB的中點，DE⊥AC于點E．
（1）求證：AC＝BC．
（2）求證：DE是⊙O的切線．
18．（2023 金華）如圖，點A在第一象限內，⊙A與x軸相切于點B，與y軸相交于點C，D，連結AB，過點A作AH⊥CD于點H．
（1）求證：四邊形ABOH為矩形．
（2）已知⊙A的半徑為4，OB＝，求弦CD的長．
19．（2022 紹興）如圖，半徑為6的⊙O與Rt△ABC的邊AB相切于點A，交邊BC于點C，D，∠B＝90°，連結OD，AD．
（1）若∠ACB＝20°，求的長（結果保留π）．
（2）求證：AD平分∠BDO．
20．（2022 富陽區二模）如圖，以正方形ABCD的邊AB為直徑作⊙O，E是⊙O上一點，EF⊥AB于點F，AF＞BF，作直線DE交BC于點G，CD＝10，EF＝4．
（1）求AF的長；
（2）求證：DG是⊙O的切線．
21．（2022 金華模擬）如圖，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中點，BE平分∠ABD交AC于點E，點O是AB上一點，⊙O過B、E兩點，交BD于點G，交AB于點F．
（1）判斷直線AC與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）當BD＝6，AB＝10時，求BG的長．
22．（2022 衢州二模）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點P，直線BF與AD延長線交于點F，且∠AFB＝∠ABC．
（1）求證：直線BF是⊙O的切線；
（2）若tan∠BCD＝，OP＝1，求線段BF的長．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑