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第五章 圓
第三節 與圓有關的計算
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 弧長、扇形的面積 ☆☆☆ 從近年各地中考來看，與圓相關的計算考查頻率還是比較高，主要結合圓周角和圓心角相關知識圍繞計算正多邊形相關知識、弧長、扇形面積、不規則圖形的面積及圓錐相關知識命題，題型主要以選填題為主，難度不大。預測2024年中考還會延續這種命題趨勢，并也有可能出現創新型題目.
考點2 圓柱和圓錐 ☆☆
考點3 正多邊形 ☆☆
考點4不規則圖形的面積 ☆☆
1．圓的周長公式：C＝2πR(半徑為R)．
圓的面積公式：S＝πR2(半徑為R)．
2．在半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的弧長l的計算公式為：l＝．
在半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的扇形(弧長為l)面積的計算公式為：S扇形＝＝lR.
3．圓柱的側面展開圖是矩形，這個矩形的長和寬分別是底面圓的周長和圓柱的高．
圓柱側面積公式：S圓柱側＝2πrh；圓柱全面積公式：S圓柱全＝2πrh＋2πr2(其中圓柱的底面半徑為r，高為h)．
4．圓錐的側面積和全面積：
圓錐的側面展開圖是一個扇形，若圓錐的母線長為l，底面半徑為r，則這個扇形的半徑為l，扇形的弧長為2πr．
(1)圓錐的側面積公式：S圓錐側＝πrl．
(2)圓錐的全面積公式：S圓錐全＝πr2＋πrl．
(3)圓錐側面展開圖扇形的圓心角度數的計算公式：θ＝·360°．
5．正多邊形的中心：正多邊形的外接圓的圓心．外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，正多
邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角，中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊
形的邊心距．作相等的圓心角就可以等分圓周，從而得到相應正多邊形．
6．不規則圖形面積的計算
求與圓有關的不規則圖形的面積時,最基本的思想就是轉化思想,即把所求的不規則的圖形的面積轉化為規則圖形的面積.常用的方法有:
(1)直接用公式求解.
(2)將所求面積分割后,利用規則圖形的面積求解.
(3)將陰影中某些圖形等積變形后移位,重組成規則圖形求解.
(4)將所求面積分割后,利用旋轉,將部分陰影圖形移位后,組成規則圖形求解.
■考點一　弧長、扇形的面積
◇典例1：1．（2023 溫州）若扇形的圓心角為40°，半徑為18，則它的弧長為 　4π　．
【考點】弧長的計算．
【答案】4π．
【點撥】根據弧長公式計算即可．
【解析】解：由弧長公式得，
故答案為：4π．
【點睛】本題考查了弧長的計算，熟記弧長的公式，即（l表示弧長，n是弧所對圓心角的度數，r表示半徑）．
2．（2023 北侖區一模）如圖是2022年杭州亞運會徽標的示意圖，若AO＝5，BO＝2，∠AOD＝120°，則陰影部分面積為（　　）
A．14π B．7π C． D．2π
【考點】扇形面積的計算．
【答案】B
【點撥】根據S陰影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC，求解即可．
【解析】解：S陰影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC
＝﹣
＝
＝7π，
故選：B．
【點睛】本題考查扇形的面積，解題的關鍵是熟記扇形面積計算公式：設圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l為扇形的弧長）．
◆變式訓練
1．（2021 長興縣模擬）一個扇形的面積是3π cm2，圓心角是120°，則此扇形的半徑是　3　cm．
【考點】扇形面積的計算．
【答案】3．
【點撥】設此扇形的半徑為r cm，利用扇形的面積公式得到＝3π，然后解關于r的方程即可．
【解析】解：設此扇形的半徑為r cm，
根據題意得＝3π，
解得r＝3．
即此扇形的半徑為3cm．
故答案為3．
【點睛】本題考查了扇形面積的計算：設圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形＝或S扇形＝lR（其中l為扇形的弧長）．
2．（2023 紹興模擬）如圖，△ABC中，∠C＝90°，，，以AC為直徑的⊙O交AB于點D，則的長為 　π　．
【考點】弧長的計算．
【答案】π．
【點撥】根據已知條件得到∠COD的度數，在利用銳角三角函數得到半徑的值，最后利用弧長公式即可得解答．
【解析】解：連接OD，
∵∠C＝90°，，，
∴，
∴∠BAC＝30°，
∴∠COD＝60°，，
∴AC＝6，
∴OC＝3，
∴的長為：，
故答案為：π．
【點睛】本題考查了銳角三角函數，圓周角定理，弧長公式，掌握銳角三角函數是解題的關鍵．
■考點二 圓柱和圓錐
◇典例2：（2022 寧波）已知圓錐的底面半徑為4cm，母線長為6cm，則圓錐的側面積為（　　）
A．36πcm2 B．24πcm2 C．16πcm2 D．12πcm2
【考點】圓錐的計算；扇形面積的計算．
【答案】B
【點撥】根據圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和扇形的面積公式求解．
【解析】解：圓錐的側面積＝×2π×4×6＝24π（cm2）．
故選：B．
【點睛】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．
◆變式訓練
1．（2022 宜興市校級一模）如果圓柱的母線長為5cm，底面半徑為2cm，那么這個圓柱的側面積是　20πcm2　．
【考點】圓柱的計算．
【答案】20πcm2
【點撥】根據柱的母線（高）等于展開后所得矩形的寬，圓柱的底面周長等于矩形的長和矩形的面積公式進行計算．
【解析】解：這個圓柱的側面積＝5×2π×2＝20π（cm2）．
故答案為20πcm2．
【點睛】本題考查了圓柱的計算：圓柱的母線（高）等于展開后所得矩形的寬，圓柱的底面周長等于矩形的長．
2．（2023 諸暨市模擬）已知圓錐的底面半徑為5cm，高線長為12cm，則圓錐的側面積為（　　）cm2．
A．130π B．120π C．65π D．60π
【考點】圓錐的計算．
【答案】C
【點撥】先利用勾股定理求得圓錐的母線長，再根據圓錐的側面積＝底面周長×母線長÷2列式計算即可．
【解析】解：∵圓錐的底面半徑為5cm，高線長為12cm，
∴圓錐的底面周長＝2π×5＝10π（cm），母線長＝＝13（cm），
∴圓錐的側面積＝×10π×13＝65π（cm2）．
故選：C．
【點睛】本題考查了圓錐的計算，利用了勾股定理，圓的周長公式和扇形面積公式求解．
■考點三 正多邊形
◇典例3：（2023 龍港市二模）如圖，要擰開一個邊長為a的正六邊形螺帽，則扳手張開的開口b至少為（　　）
A．2a B． C． D．
【考點】正多邊形和圓．
【答案】B
【點撥】根據正六邊形的性質以及直角三角形的邊角關系進行計算即可．
【解析】解：如圖，正六邊形ABCDEF的外接圓為⊙O，連AE，OA，BE，則點O在BE上，
∵正六邊形ABCDEF，
∴AB＝AF＝EF＝a，∠F＝∠FAB＝120°，
∴∠FAE＝∠FEA＝＝30°，
∴∠BAE＝120°﹣30°＝90°，
在Rt△BEF中，AB＝a，∠AEB＝×60°＝30°，
∴AE＝AB＝a，
即b＝a，
故選：B．
【點睛】本題考查正多邊形和圓，掌握正六邊形的性質以及直角三角形的邊角關系是正確解答的前提．
◆變式訓練
1．（2023 紹興模擬）如圖，正五邊形ABCDE內接于⊙O，其半徑為1，作OF⊥BC交⊙O于點F，則的長為（　　）
A．π B． C． D．
【考點】正多邊形和圓．
【答案】C
【點撥】連接OA，OB，OC，求出∠AOF再用弧長公式列式計算即可．
【解析】解：連接OA，OB，OC，如圖：
∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴∠AOB＝∠BOC＝360°÷5＝72°，OB＝OC，
∵OF⊥BC，
∴∠BOF＝∠BOC＝36°，
∴∠AOF＝108°，
∴的長為＝π，
故選：C．
【點睛】本題考查正多邊形和圓，解題的關鍵是掌握弧長公式和求出所對的圓心角度數．
2．（2023 余杭區二模）如圖，正九邊形外接圓的半徑是R，則這個正九邊形的邊長為（　　）
A．Rsin20° B．Rsin40° C．2Rsin20° D．2Rsin40°
【考點】正多邊形和圓；解直角三角形．
【答案】C
【點撥】過O作OC⊥AB于點C，則AC＝BC＝AB，解直角三角形即可得到結論．
【解析】解：如圖所示，
過O作OC⊥AB于點C，則AC＝BC＝AB，
∵此多邊形是正九邊形，
∴∠AOB＝＝40°，
∴∠AOC＝＝20°，
在Rt△AOC中，AC＝OAsin∠AOC＝R×sin20°，
∴AB＝2AC＝2Rsin20°．
故選：C．
【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用及正多邊形和圓，根據題意畫出圖形，利用數形結合求解是解答此題的關鍵．
■考點四 不規則圖形的面積
◇典例4：（2022 吳興區校級二模）如圖，AB是半圓O的直徑，且AB＝10，點C為半圓上的一點．將此半圓沿BC所在的直線折疊，若弧BC恰好過圓心O，則圖中陰影部分的面積是 　　．（結果保留π）
【考點】扇形面積的計算；翻折變換（折疊問題）；垂徑定理．
【答案】．
【點撥】過點O作OD⊥BC于點D，交于點E，則可判斷點O是的中點，由折疊的性質可得OD＝OE＝R＝3，在Rt△OBD中求出∠OBD＝30°，繼而得出∠AOC，求出扇形AOC的面積即可得出陰影部分的面積．
【解析】解：過點O作OD⊥BC于點D，交于點E，連接OC，
則點E是的中點，由折疊的性質可得點O為的中點，
∴S弓形BO＝S弓形CO，
在Rt△BOD中，OD＝DE＝R＝，OB＝R＝5，
∴∠OBD＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∴S陰影＝S扇形AOC＝＝．
故答案為：．
【點睛】本題考查了扇形面積的計算，解答本題的關鍵是作出輔助線，判斷點O是的中點，將陰影部分的面積轉化為扇形的面積．
◆變式訓練
1．（2023 淳安縣一模）如圖，菱形ABCD中，分別以點B，D為圓心，以長為半徑畫弧，分別交邊BC，AD于點E，F．若AB＝4，∠BAD＝60°，則圖中陰影部分的面積為 　　．（結果不取近似值）
【考點】扇形面積的計算；近似數和有效數字；等邊三角形的判定與性質；菱形的性質．
【答案】．
【點撥】根據菱形的性質求出對角線的長，進而求出菱形的面積，再根據扇形面積的計算方法求出扇形ADE的面積，可得答案．
【解析】解：如圖，連接AC交BD于點O，則AC⊥BD，
∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
∴∠BAC＝∠ACD＝30°，AB＝BC＝CD＝DA＝4，
在Rt△AOB中，AB＝4，∠BAO＝30°，
∴BO＝AB＝2，AO＝AB＝2，
∴S陰影部分＝2S扇形BOE
＝2×
＝，
故答案為：．
【點睛】本題考查扇形面積的計算，菱形的性質，掌握扇形面積的計算方法以及菱形的性質是正確解答的前提．
2．（2023 舟山二模）如圖，△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，AC＝1，分別以A，B，C為圓心做弧，得到曲線CDEF，那么曲線CDEF和線段CF圍成的圖形（圖中陰影部分）的面積為（　　）
A． B． C． D．
【考點】扇形面積的計算；等腰直角三角形．
【答案】A
【點撥】圖形中的陰影部分由三個扇形組成，分別求出扇形的半徑，就能求出面積．
【解析】解：△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，AC＝1，
∴AB＝，BD＝+1，EC＝+2，
陰影的面積＝扇形ACD的面積+扇形EBD的面積+扇形ECF的面積
＝×π×1+×π×+××
＝．
故選：A．
【點睛】本題主要考查扇形面積的計算，知道扇形面積計算公式S＝．
1．（2023 婺城區模擬）如果一個扇形的半徑是2，弧長是，則此扇形的圓心角的度數為（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【考點】弧長的計算．
【答案】B
【點撥】根據l＝，結合題意可得出扇形圓心角的度數．
【解析】解：∵扇形的弧長為，半徑為2，
∴＝，
解得：n＝45°．
故選：B．
【點睛】此題考查了弧長的計算，屬于基礎題，解答本題的關鍵是掌握弧長的公式，及公式中所含字母代表的含義．
2．（2023 金華模擬）已知一個底面半徑為3cm的圓錐，它的母線長是5cm，則這個圓錐的側面積是（　　）cm2．
A．15π B．45π C．30π D．20π
【考點】圓錐的計算．
【答案】A
【點撥】根據圓錐側面積的公式：底面周長×母線長÷2，進行計算即可得．
【解析】解：圓錐的側面積：2π×3×5÷2＝15π（cm2），
故選：A．
【點睛】本題考查了圓錐的側面積，掌握圓錐側面積的公式是關鍵．
3．（2021 紹興）如圖，正方形ABCD內接于⊙O，點P在上，則∠BPC的度數為（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【考點】正多邊形和圓；正方形的性質；圓周角定理．
【答案】B
【點撥】根據正方形的性質得到BC弧所對的圓心角為90°，則∠BOC＝90°，然后根據圓周角定理求解．
【解析】解：連接OB、OC，如圖，
∵正方形ABCD內接于⊙O，
∴所對的圓心角為90°，
∴∠BOC＝90°，
∴∠BPC＝∠BOC＝45°．
故選：B．
【點睛】本題考查了圓周角定理和正方形的性質，確定BC弧所對的圓心角為90°，是本題解題的關鍵．
4．（2021 海曙區模擬）《九章算術》第一章“方田”中講述了扇形面積的計算方法：“今有宛田，下周三十步，徑十六步，問為田幾何？”大致意思為：現有一塊扇形的田，弧長30步，其所在圓的直徑是16步，則這塊田面積為（　　）
A．平方步 B．平方步 C．120平方步 D．240平方步
【考點】扇形面積的計算；弧長的計算．
【答案】C
【點撥】先求出扇形所在圓的半徑，再根據扇形的面積公式求出答案即可．
【解析】解：∵扇形所在圓的直徑是16步，
∴扇形所在圓的半徑是8步，
∵弧長是30步，
∴扇形的面積是＝120（平方步），
即這塊田面積為120平方步，
故選：C．
【點睛】本題考查了扇形的面積計算和弧長計算，注意：扇形的面積＝弧長×半徑．
5．（2022 臺州）一個垃圾填埋場，它在地面上的形狀為長80m，寬60m的矩形，有污水從該矩形的四周邊界向外滲透了3m，則該垃圾填埋場外圍受污染土地的面積為（　　）
A．（840+6π）m2 B．（840+9π）m2 C．840m2 D．876m2
【考點】扇形面積的計算；矩形的性質．
【答案】B
【點撥】直接根據圖形中外圍面積和可得結論．
【解析】解：如圖，
該垃圾填埋場外圍受污染土地的面積＝80×3×2+60×3×2+32π
＝（840+9π）m2．
故選：B．
【點睛】本題考查了矩形和扇形的面積，掌握扇形的面積公式是解本題的關鍵．
6．（2023 金東區二模）如圖，在正六邊形ABCDEF中，BC＝2，點O在對角線AD上，BO⊥OF，以O為圓心，OB為半徑畫弧，分別交AB，AF于點M，N．則的長為（　　）
A． B． C． D．
【考點】正多邊形和圓；弧長的計算；圓周角定理．
【答案】D
【點撥】根據正六邊形的性質以及等腰直角三角形的性質可求出OB，∠OBF＝∠OFB＝45°，再根據等腰三角形的性質求出∠AOM的度數，得到∠MON的度數，由弧長公式進行計算即可．
【解析】解：如圖，連接BF，OM，ON，由正六邊形的對稱性可知OB＝OF，即△BOF是等腰直角三角形，
∴∠OBF＝∠OFB＝45°，
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠BAF＝120°，∠ABF＝∠AFB＝30°，
∴BF＝AB×2＝2，
∴OB＝OF＝BF＝，
∵OB＝OM，∠OBM＝45°+30°＝75°，
∴∠BOM＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴∠AOM＝45°﹣30°＝15°，
同理∠AON＝15°，
∴∠MON＝30°，
∴的長為＝，
故選：D．
【點睛】本題考查正多邊形和圓，等腰直角三角形的性質，圓周角定理以及弧長的計算，掌握正六邊形的性質以及弧長的計算公式是正確解答的前提．
7．（2022 麗水）某仿古墻上原有一個矩形的門洞，現要將它改為一個圓弧形的門洞，圓弧所在的圓外接于矩形，如圖．已知矩形的寬為2m，高為2m，則改建后門洞的圓弧長是（　　）
A．m B．m C．m D．（+2）m
【考點】弧長的計算；勾股定理；矩形的性質．
【答案】C
【點撥】先作出合適的輔助線，然后根據題意和圖形，可以求得優弧所對的圓心角的度數和所在圓的半徑，然后根據弧長公式計算即可．
【解析】解：連接AC，BD，AC和BD相交于點O，則O為圓心，如圖所示，
由題意可得，CD＝2m，AD＝2m，∠ADC＝90°，
∴tan∠DCA＝＝＝，AC＝＝4（m），
∴∠ACD＝60°，OA＝OC＝2m，
∴∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∴優弧ADCB所對的圓心角為300°，
∴改建后門洞的圓弧長是：＝（m），
故選：C．
【點睛】本題考查弧長公式、勾股定理、圓周角定理、矩形的性質，解答本題的關鍵是求出優弧所對的圓心角的度數和所在圓的半徑．
8．（2023 金華模擬）如圖1是一座立交橋的示意圖（道路寬度忽略不計），A為入口，F，G為出口，其中直行道為AB，CG，EF，且AB＝CG＝EF；彎道為以點O為圓心的一段弧，且所對的圓心角均為90°，甲、乙兩車由A口同時駛入立交橋，均以12m/s的速度行駛，從不同出口駛出，其間兩車到點O的距離y（m）與時間x（s）的對應關系如圖2所示，結合題目信息，下列說法錯誤的是（　　）
A．甲車從G口出，乙車從F口出 B．立交橋總長為252m
C．從F口出比從G口出多行駛72m D．乙車在立交橋上共行駛16s
【考點】弧長的計算；一次函數的應用．
【答案】D
【點撥】根據題意，根據弧長公式并結合圖象問題可得．
【解析】解：根據兩車運行時間，可知甲車從G口出，乙車從F口出，故A正確；
由圖象可知，兩車通過、、弧時每段所用時間均為3s，
通過直行道AB，CG，EF時，每段用時為4s．
所以立交橋總長為（3×3+4×3）×12＝252m，故B正確；
根據兩車運行路線，從F口駛出比從G口多走，弧長之和，
用時為6s，則多走72m，故C正確；
根據題意乙車行駛時間為：4×2+3×3＝17秒，故D錯誤；
故選：D．
【點睛】本題考查了動點問題的函數圖象，解答時要注意數形結合．
9．（2023 臨平區二模）如圖，扇形紙片AOB的半徑為2，沿AB折疊扇形紙片，點O恰好落在上的點C處，則圖中陰影部分的面積為（　　）
A． B． C． D．
【考點】扇形面積的計算；圓周角定理．
【答案】A
【點撥】根據折疊的想法得到AC＝AO，BC＝BO，推出四邊形AOBC是菱形，連接OC交AB于D，根據等邊三角形的性質得到∠CAO＝∠AOC＝60°，求得∠AOB＝120°，根據菱形和扇形的面積公式即可得到結論．
【解析】解：沿AB折疊扇形紙片，點O恰好落在上的點C處，
∴AC＝AO，BC＝BO，
∵AO＝BO，
∴四邊形AOBC是菱形，
連接OC交AB于D，
∵OC＝OA，
∴△AOC是等邊三角形，
∴∠CAO＝∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵OC＝2，
∴AC＝2，AD＝AC＝，
∴AB＝2AD＝2，
∴圖中陰影部分的面積＝S扇形AOB﹣S菱形AOBC＝﹣×2×2＝π﹣2．
故選：A．
【點睛】本題考查了扇形面積的計算，菱形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，正確地作出輔助線是解題的關鍵．
10．（2021 湖州）如圖，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，點P是AD邊上的一個動點，連接BP，點C關于直線BP的對稱點為C1，當點P運動時，點C1也隨之運動．若點P從點A運動到點D，則線段CC1掃過的區域的面積是（　　）
A．π B．π+ C． D．2π
【考點】扇形面積的計算；軸對稱的性質；矩形的性質．
【答案】B
【點撥】由臨界狀態確定出C1的運動路徑，明確點P從點A運動到點D，則線段CC1掃過的區域為：扇形BC'C''和△BCC''，再分別計算兩部分面積即可．
【解析】解：如圖，當P與A重合時，點C關于BP的對稱點為C′，
當P與D重合時，點C關于BP的對稱點為C″，
∴點P從點A運動到點D，則線段CC1掃過的區域為：扇形BC'C''和△BCC''，
在△BCD中，∵∠BCD＝90°，BC＝，CD＝1，
∴tan∠DBC＝，
∴∠DBC＝30°，
∴∠CBC″＝60°，
∵BC＝BC''，
∴△BCC''為等邊三角形，
∴S扇形BC′C″＝＝π，
作C''F⊥BC于F，
∵△BCC''為等邊三角形，
∴BF＝，
∴C''F＝tan60°×＝，
∴S△BCC''＝，
∴線段CC1掃過的區域的面積為：π+．
故選：B．
【點睛】本題考查了以矩形為背景的軸對稱，扇形的面積計算，等邊三角形的判定與性質等知識，解題的關鍵是畫出線段CC1掃過的圖形．
11．（2021 開化縣模擬）如圖，點C，點D，點E分別是以AB，AC，BC為直徑的半圓弧的一個三等分點，再分別以AD，DC，CE，BE為直徑向外側作4個半圓，若圖中陰影部分的面積為，則AB的長為（　　）
A． B．2 C．4 D．
【考點】扇形面積的計算．
【答案】A
【點撥】根據所給的圖形結合三角函數的知識可得出AC、BC、BE、CE的長度，然后根據四邊形ABED為直角梯形，外層4個半圓無重疊得出S陰影＝S△ADC+S△BCE，設AD＝a，構建方程，可得結論．
【解析】解：設AD＝a，
由題意，∠ACB＝90°，∠ACD＝30°，∠BCE＝60°，
∴∠DCE＝180°，
∴D、C、E三點共線，
點C是半徑為1的半圓弧AB的一個三等分點，
∴對的圓心角為＝60°，
∴∠ABC＝30°，
同法可得∠ACD＝∠CBE＝30°，
∴AC＝2a，AB＝4a，BC＝2a，CD＝a，EC＝a，BE＝3a，
∵四邊形ABED為直角梯形，外層4個半圓無重疊．
∴S陰影＝S梯形ABED+（AD2+CD2+CE2+BE2）﹣S△ABC﹣（AC2+BC2），
＝S△ADC+S△BCE＝，
∴×a×a+×a×3a＝，
解得a＝（負根已經舍去），
∴AB＝4a＝2．
故選：A．
【點睛】本題考查了面積及等積變換的知識，難度較大，關鍵是仔細觀察圖形得出要求陰影部分面積的另一種表達方式，從而進行變換求解．
12．（2021 臺州）如圖，將線段AB繞點A順時針旋轉30°，得到線段AC．若AB＝12，則點B經過的路徑長度為 　2π　．（結果保留π）
【考點】弧長的計算；旋轉的性質．
【答案】2π
【點撥】利用弧長公式計算即可．
【解析】解：長度＝＝2π，
故答案為：2π．
【點睛】本題考查弧長公式，旋轉變換等知識，解題的關鍵是記住弧長l＝．
13．（2022 常山縣模擬）一個圓柱的底面半徑為5cm，母線長為6cm，則這個圓柱的側面積為 　60π　cm2．
【考點】圓柱的計算；認識立體圖形；幾何體的表面積．
【答案】60π．
【點撥】圓柱側面積＝底面周長×高．
【解析】解：圓柱的底面周長為：π×2×5＝10π（cm），
側面積為10π×6＝60π（cm2）．
故答案為：60π．
【點睛】本題主要考查了圓柱側面積的計算方法，解題的關鍵是牢記圓柱的側面積公式．
14．（2023 寧波）如圖，圓錐形煙囪帽的底面半徑為30cm，母線長為50cm，則煙囪帽的側面積為 　1500π　cm2．（結果保留π）
【考點】圓錐的計算．
【答案】1500π．
【點撥】根據扇形面積公式計算即可．
【解析】解：煙囪帽的側面積為：×2π×30×50＝1500π（cm2），
故答案為：1500π．
【點睛】本題考查的是圓錐的計算，熟記圓錐的側面展開圖是扇形以及扇形面積公式是解題的關鍵．
15．（2023 金華）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB為直徑作半圓，交BC于點D，交AC于點E，則弧DE的長為 　π　cm．
【考點】弧長的計算．
【答案】π．
【點撥】連接OE，OD，由等腰三角形的性質推出∠C＝∠ODB，得到OD∥AC，推出∠EOD＝∠AEO，由OE＝OA，∠OEA＝∠BAC＝50°，因此∠∠EOD＝∠BAC＝50°，由弧長公式即可求出的長．
【解析】解：連接OE，OD，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠C＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∴∠EOD＝∠AEO，
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠BAC＝50°，
∴∠EOD＝∠BAC＝50°，
∵OD＝AB＝×6＝3（cm），
∴的長＝＝π（cm）．
故答案為：π．
【點睛】本題考查弧長的計算，等腰三角形的性質，平行線的性質，關鍵是由等腰三角形的性質推出OD∥AC，從而求出∠EOD的度數．
16．（2023 余杭區模擬）如圖，在菱形ABCD中，分別以點A，C為圓心，AD，CB長為半徑畫弧，分別交對角線AC于點E，F，若AB＝4，∠ABC＝120°，則圖中陰影部分的面積為 　8﹣　．（結果保留π）
【考點】扇形面積的計算；菱形的性質．
【答案】8﹣．
【點撥】根據菱形的性質和直角三角形的性質，可以求得AC和BD的長，再根據圖形可知：S陰影＝S菱形ABCD﹣S扇形ABD，代入數據計算即可．
【解析】解：連接BD交AC于點O，如圖所示，
∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，AB＝4，
∴∠DAB＝60°，AC⊥BD，AB＝AD＝4，
∴∠DAO＝30°，∠AOD＝90°，
∴DO＝2，AO＝2，
∴BD＝4，AC＝4，
∴S陰影＝S菱形ABCD﹣S扇形ABD
＝﹣
＝﹣
＝8﹣，
故答案為：8﹣．
【點睛】本題考查扇形面積的計算、菱形的性質，解答本題的關鍵是明確題意，求出AC和BD的長．
17．（2023 杭州）如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內接正六邊形，設正六邊形ABCDEF的面積為S1，△ACE的面積為S2，則＝　2　．
【考點】正多邊形和圓．
【答案】2．
【點撥】連接OA，OC，OE，首先證明出△ACE 是⊙O的內接正三角形，然后證明出△BAC≌△OAC（ASA），得到 S△ABC＝S△AEE＝S△CDE S△AOC＝S△OAE＝S△OCE，進而求解即可．
【解析】解：如圖所示，連接OA，OC，OE．
∵六邊形ABCDEF是⊙O的內接正六邊形，
∴AC＝AE＝CE，
∴△ACE是⊙O的內接正三角形，
∵∠B＝120°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣∠B）＝30°，
∵∠CAE＝60°，
∴∠OAC＝∠OAE＝30°，
∴∠BAC＝∠OAC＝30°，
同理可得，∠BCA＝∠OCA＝30°，
又∵AC＝AC，
∴△BAC≌△OAC（ASA），
∴S△BAC＝S△AOC，
圓和正六邊形的性質可得，S△BAC＝S△AFE＝S△CDE，
由圓和正三角形的性質可得，S△OAC＝S△OAE＝S△OCE，
∵S1＝S△BAC+S△AEF+S△CDE+S△OAC+S△OAE+S△OCE＝2（S△OAC+S△OAE+S△OCE）＝2S2，
∴，
故答案為：2
【點睛】此題考查了圓內接正多邊形的性質，正六邊形和正三角形的性質，全等三角形的性質和判定等知 識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．
18．（2023 浙江二模）如圖，已知⊙O的半徑為，四邊形ABCD內接于⊙O，連結AC、BD，DB＝DC，∠BDC＝45°．
（1）求的長；
（2）求證：AD平分△ABC的外角∠EAC．
【考點】弧長的計算；圓周角定理；圓內接四邊形的性質．
【答案】（1）π；
（2）見解析．
【點撥】（1）連接OB，OC，根據圓周角定理得∠BOC＝2∠BDC＝90°，再根據弧長公式計算即可；
（2）根據圓內接四邊形的性質得到∠DCB＝∠EAD，根據等腰三角形的性質得到∠DCB＝∠DBC，根據圓周角定理得到∠DBC＝∠DAC，等量代換得到答案．
【解析】（1）解：如圖，連接OB，OC，
∵∠BDC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝90°，
∴的長為＝π；
（2）證明：∵DB＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB，
∵∠CAD＝∠DBC，
∴∠CAD＝∠DCB，
∵∠DCB+∠DAB＝180°，∠EAD+∠DAB＝180°，
∴∠EAD＝∠DCB，
∴∠EAD＝∠CAD，
∴AD平分△ABC的外角∠EAC．
【點睛】本題考查的是弧長的計算、圓周角定理和圓內接四邊形的性質，掌握圓內接四邊形的外角等于它的內對角是解題的關鍵．
19．（2023 平湖市一模）如圖，將含30°角的直角三角板ABC放入半圓O中，A，B，C三點恰好在半圓O上，點E是BC的中點，連結OE并延長交圓O于點D．
（1）求證：OD∥AC；
（2）若AB＝8，求陰影部分的面積．
【考點】扇形面積的計算；含30度角的直角三角形；勾股定理；垂徑定理；圓周角定理．
【答案】（1）證明見解答；
（2）﹣4．
【點撥】（1）根據圓周角定理得到∠C＝90°，根據垂徑定理得到OD⊥BC，由平行線的判定即可得到結論；
（2）連接OC，先根據圓周角定理可得∠AOC＝60°，根據含30°角的性質得AC＝4，根據勾股定理得BC的長，計算△ABC的面積，由三角形中線的性質可得△AOC的面積，最后由扇形和三角形的面積公式即可得到答案．
【解析】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠C＝90°，
∵點E是BC的中點，
∴BE＝CE，
∴OD⊥BC，
∴∠BEO＝90°，
∴∠C＝∠BEO，
∴OD∥AC；
（2）解：連接OC，
在Rt△ACB中，∠B＝30°，AB＝8，
∴∠AOC＝2∠B＝60°，AC＝AB＝4，BC＝＝4，
∴S△AOC＝S△ABC＝××＝4，
∴陰影部分的面積＝S扇形OAC﹣S△AOC＝﹣4＝﹣4．
【點睛】本題考查了扇形的面積，平行線的判定，勾股定理，垂徑定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．
20．（2022 金華）如圖1，正五邊形ABCDE內接于⊙O，閱讀以下作圖過程，并回答下列問題：
作法 如圖2．
1．作直徑AF．
2．以F為圓心，FO為半徑作圓弧，與⊙O交于點M，N．
3．連接AM，MN，NA．
（1）求∠ABC的度數．
（2）△AMN是正三角形嗎？請說明理由．
（3）從點A開始，以DN長為邊長，在⊙O上依次截取點，再依次連接這些分點，得到正n邊形，求n的值．
【考點】正多邊形和圓；作圖—基本作圖；等邊三角形的判定．
【答案】（1）108°；
（2）△AMN是正三角形，理由見解答；
（3）15．
【點撥】（1）根據正五邊形內角和，可以計算出∠ABC的度數；
（2）先判斷，然后根據題意和圖形說明理由即可；
（3）根據題意和（2）中的結果，計算出∠NOD的度數，然后即可計算出n的值．
【解析】解：（1）∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴∠ABC＝＝108°，
即∠ABC＝108°；
（2）△AMN是正三角形，
理由：連接ON，NF，如圖，
由題意可得：FN＝ON＝OF，
∴△FON是等邊三角形，
∴∠NFA＝60°，
∴∠NMA＝60°，
同理可得：∠ANM＝60°，
∴∠MAN＝60°，
∴△MAN是正三角形；
（3）連接OD，如圖，
∵∠AMN＝60°，
∴∠AON＝120°，
∵∠AOD＝＝144°，
∴∠NOD＝∠AOD﹣∠AON＝144°﹣120°＝24°，
∵360°÷24°＝15，
∴n的值是15．
【點睛】本題考查正多邊形和圓、等邊三角形的判定，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．
1．（2021 衢州）已知扇形的半徑為6，圓心角為150°，則它的面積是（　　）
A．π B．3π C．5π D．15π
【考點】扇形面積的計算．
【答案】D
【點撥】把已知數據代入扇形面積公式計算，即可得到答案．
【解析】解：扇形面積＝，
故選：D．
【點睛】本題考查的是扇形面積計算，掌握扇形面積公式：是解決本題的關鍵．
2．（2023 慈溪市一模）已知圓錐的底面周長為3cm，母線長為6cm，則圓錐的側面積是（　　）
A．9πcm2 B．9cm2 C．18πcm2 D．18cm2
【考點】圓錐的計算．
【答案】B
【點撥】根據圓錐的側面積＝底面周長×母線長÷2列式計算即可．
【解析】解：圓錐的側面積＝×3×6＝9（cm2）．
故選：B．
【點睛】本題考查了圓錐的側面積計算方法，解題的關鍵是掌握圓錐的側面積：S側＝ 2πr l＝πrl．
3．（2023 金東區一模）如圖，在4×4的方格中（共有16個小方格），每個小方格都是邊長為1的正方形，O，A，B分別是小正方形的頂點，則扇形OAB的弧長等于（　　）
A．2π B．π C．2π D．π
【考點】弧長的計算；勾股定理．
【答案】B
【點撥】由題目給出的圖形可知△AOB為等腰直角三角形，求出扇形的半徑及圓心角的弧度數，然后直接代入弧長公式求解．
【解析】解：∵每個小方格都是邊長為1的正方形，
∴由圖可知，，且OA＝2．
由弧長公式可得：扇形OAB的弧長等于＝＝．
故選：B．
【點睛】本題考查了弧長公式，考查了學生的讀圖能力，是基礎的計算題．
4．（2023 拱墅區校級模擬）如圖，在△ABC中，以BC為直徑的半圓分別與AB，AC交于點D，E．若BC＝6，∠A＝60°，則的長為 （　　）
A． B．π C．2π D．3π
【考點】弧長的計算．
【答案】B
【點撥】連接OD、OE，根據三角形內角和定理、等腰三角形的性質求出∠DOE＝60°，再根據弧長公式計算，得到答案．
【解析】解：連接OD、OE，
∵∠A＝60°，
∴∠B+∠C＝120°，
∵OB＝OD，OE＝OC，
∴∠ODB＝∠B，∠OEC＝∠C，
∴∠BOD+∠EOC＝360°﹣120°×2＝120°，
∴∠DOE＝60°，
∴的長為：＝π，
故選：B．
【點睛】本題考查的是弧長的計算，熟記弧長公式是解題的關鍵．
5．（2023 路橋區二模）小科同學將一張直徑為16的圓形卡紙平均分成4份，用其中一份作一個圓錐的側面，則這個圓錐的底面半徑是（　　）
A．2 B．4 C．8 D．16
【考點】圓錐的計算．
【答案】A
【點撥】先求出圓形卡紙的周長，再求出圓錐的底面圓的周長，最后根據圓的周長公式求出半徑即可．
【解析】解：圓形卡紙的周長為16π，
∵＝4π，
∴圓錐的底面圓的周長為4π，
設圓錐的底面半徑為r，
則2πr＝4π，
解得：r＝2，
即這個圓錐的底面半徑為2，
故選：A．
【點睛】本題考查了圓錐的計算，能求出圓錐的底面圓的周長是解此題的關鍵．
6．（2023 鄞州區模擬）如圖所示，某盞路燈照射的空間可以看成如圖所示的圓錐，它的高AO＝8米，底面半徑OB＝6米，則圓錐的側面積是多少平方米（結果保留π）（　　）
A．60π B．50π C．48π D．80π
【考點】圓錐的計算．
【答案】A
【點撥】先利用勾股定理計算出AB的長，由于圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．則根據扇形的面積公式可計算出圓錐的側面積．
【解析】解：在Rt△ABO中，AB＝＝＝10，
所以圓錐的側面積＝×2π×6×10＝60π（平方米）．
故選：A．
【點睛】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．
7．（2020 金華模擬）如圖，一只螞蟻要從圓柱體下底面的A點，沿圓柱表面爬到與A相對的上底面的B點，圓柱底面直徑為4，母線為6，則螞蟻爬行的最短路線長為（　　）
A． B． C．4π D．6π
【考點】圓柱的計算；平面展開﹣最短路徑問題．
【答案】A
【點撥】要求最短路線，首先要把圓柱的側面展開，利用兩點之間線段最短，再利用勾股定理來求．
【解析】解：把圓柱側面展開，展開圖如圖所示，點A，B的最短距離為線段AB的長，
BC＝6，AC為底面半圓弧長，AC＝2π，
所以AB＝＝．
故選：A．
【點睛】此題主要考查了平面展開圖的最短路徑問題，本題的關鍵是要明確，要求兩點間的最短線段，就要把這兩點放到一個平面內，即把圓柱的側面展開再計算．
8．（2022 錢塘區二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，以點D為圓心，DA的長為半徑畫弧，交BC于點E，交DC的延長線于點F，則圖中陰影部分的面積為（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．﹣ D．﹣2
【考點】扇形面積的計算；矩形的性質．
【答案】B
【點撥】連接DE，利用矩形的性質以及勾股定理求出CE的長以及∠CDE的度數，進而利用圖中陰影部分的面積＝S扇形DEF﹣S△DEC，求出答案．
【解析】解：連接DE，
在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，
∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，∠BCD＝90°，
∴DE＝AD＝4，
∴CE＝＝2，
∴CE＝DE，
∴∠EDC＝30°，
∴圖中陰影部分的面積＝S扇形DEF﹣S△DEC
＝﹣×2×2
＝﹣2．
故選：B．
【點睛】此題主要考查了扇形面積求法以及矩形的性質等知識，正確得出CE的長以及∠CDE的度數是解題關鍵．
9．（2023 永康市一模）如圖，已知正五邊形ABCDE的邊長為2，連接對角線構成另一個正五邊形FGHIJ，則正五邊形FGHIJ的邊長為（　　）
A．1 B． C． D．
【考點】正多邊形和圓．
【答案】C
【點撥】根據正五邊形的性質，得到∠AEB＝∠ABE＝∠BAG＝∠EAF＝∠FAG＝36°，∠EAG＝∠EGA＝72°，得到EA＝EG＝2，證明△BAG∽△BEA列式計算即可．
【解析】解：∵正五邊形ABCDE的邊長為2，
AB＝BC＝CD＝DE＝EA＝2，∠BAE＝∠AED＝∠EDC＝∠DCB＝∠CBA＝108°，
∴∠AEB＝∠ABE＝∠BAG＝∠EAF＝∠FAG＝36°，∠EAG＝∠EGA＝72°，
∴EA＝EG＝2，△BAG∽△BEA，BG＝AG＝EF＝FA，
∴，
∴，
解得（舍去），
∴，
故選：C．
【點睛】本題考查了正五邊形的性質，等腰三角形的判定和性質，三角形相似的判定和性質，解方程，熟練掌握正五邊形的性質，三角形相似的判定和性質是解題的關鍵．
10．（2021 龍灣區模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分別以AB，BC，CA為直徑作半圓圍成兩月牙形，過點C作DF∥AB分別交三個半圓于點D，E，F．若＝，AC+BC＝15，則陰影部分的面積為（　　）
A．16 B．20 C．25 D．30
【考點】扇形面積的計算；勾股定理；圓周角定理．
【答案】C
【點撥】陰影部分面積可以看成是以AC、BC為直徑的兩個半圓的面積加上一個直角三角形ABC的面積減去一個以AB為直徑的半圓的面積．
【解析】解：連接AF、BE，
∵AC是直徑，
∴∠AFC＝90°．
∵BC是直徑，
∴∠CDB＝90°．
∵DF∥AB，
∴四邊形ABDF是矩形，
∴AB＝DF，
取AB的中的O，作OG⊥CE．
∵，設DF＝10k，CE＝6k，
∵CG＝CE＝3k，OC＝OA＝5k，
∴OG＝4K，
∴AF＝BD＝4K，CF＝DE＝2K，
∴AC＝．
∵AC+BC＝15，
∴2k+4k＝15，
∴k＝，
∴AC＝5，BC＝10，
S陰影＝直徑為AC的半圓的面積+直徑為BC的半圓的面積+S△ABC﹣直徑為AB的半圓的面積
＝π（）2+π（）2+AC×BC﹣π（）2
＝π（AC）2+π（BC）2﹣π（AB）2+AC×BC
＝π（AC2+BC2﹣AB2）+AC×BC
＝AC×BC
＝×5×10
＝25．
故選：C．
【點睛】此題主要考查了扇形面積的計算公式，陰影部分的面積可以看作是幾個規則圖形的面積的和或差．
11．（2021 溫州）若扇形的圓心角為30°，半徑為17，則扇形的弧長為 　π　．
【考點】弧長的計算．
【答案】π．
【點撥】根據弧長公式代入即可．
【解析】解：根據弧長公式可得：
l＝＝＝π．
故答案為：π．
【點睛】本題考查弧長的計算，掌握弧長公式是解題關鍵．
12．（2023 洞頭區二模）若扇形的圓心角為60°，半徑為3，則該扇形的面積為 　1.5π　．
【考點】扇形面積的計算．
【答案】1.5π
【點撥】直接利用扇形的面積公式求解即可．
【解析】解：根據題意，扇形的圓心角為60°，半徑為3，
則該扇形的面積為S＝＝1.5π，
故答案為：1.5π．
【點睛】本題考查扇形的面積公式，熟記扇形的面積公式是解答本題的關鍵．
13．（2020 大興區一模）將面積為225cm2的正方形硬紙片圍成圓柱的側面，則此圓柱的底面直徑為　　cm（結果保留π）．
【考點】圓柱的計算．
【答案】
【點撥】圓柱的底面直徑＝底面周長÷π．
【解析】解：由面積為225cm2的正方形可知正方形的邊長＝＝15cm，即是圓柱底面的周長，所以用這硬紙片圍成圓柱的側面的直徑＝cm，
故答案為：．
【點睛】此題考查正多邊形和圓，本題要先由正方形的面積求出正方形的周長，然后再求底面的直徑．
14．（2023 溫州二模）如圖，菱形花壇ABCD的邊長為9米，∠B＝60°，其中由兩個正六邊形組成的部分種花，則種花部分的面積為 　27　米2．
【考點】正多邊形和圓；等邊三角形的判定與性質；菱形的性質．
【答案】27．
【點撥】根據菱形的性質和正六邊形的性質，求出正六邊形的邊長和面積即可．
【解析】解：如圖，設正六邊形EFGHMN的中心為O，過點O作OP⊥EF于P，
∵四邊形ABCD是菱形，其邊長為9米，∠B＝60°，而六邊形EFGHMN是正六邊形，
∴EF＝OE＝OF＝3米，∠EOF＝60°，
∴OP＝OE＝（米），
∴S正六邊形EFGHMN＝6S△EOF
＝6××3×
＝（平方米），
∴兩個正六邊形的面積為27平方米，
故答案為：27．
【點睛】本題考查正多邊形和圓，掌握正六邊形的性質以及面積的計算方法是正確解答的前提．
15．（2023 舟山模擬）如圖，在矩形ABCD中，，AD＝2，以點A為圓心，AD長為半徑畫弧，交AB于點E，則圖中陰影部分的面積是 　4﹣π　.（結果不取近似值）
【考點】扇形面積的計算；矩形的性質．
【答案】4﹣π．
【點撥】根據扇形的面積公式，利用圖中陰影部分的面積＝S矩形ABCD﹣S扇形ADE進行計算．
【解析】解：圖中陰影部分的面積＝S矩形ABCD﹣S扇形ADE
＝2×2﹣
＝4﹣π．
故答案為：4﹣π．
【點睛】本題考查了扇形面積的計算：設圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l為扇形的弧長）．
16．（2023 杭州一模）如圖是以點O為圓心的圓形紙片，AB是⊙O的弦，將該圓形紙片沿直線AB折疊，劣弧恰好經過圓心O．若AB＝6，則圖中陰影部分的面積為 　　．
【考點】扇形面積的計算；翻折變換（折疊問題）；垂徑定理．
【答案】．
【點撥】過點O作OD⊥AB交AB于點D，連接OA，OB，根據折疊的性質可知OA＝2OD，根據勾股定理求得AO，∠AOB＝120°，根據陰影部分面積等比空白弓形部分面積，即S扇形OAB﹣S△OAB，即可求解．
【解析】解：過點O作OD⊥AB交AB于點D，連接OA，OB，
根據折疊的性質可知OA＝2OD，
∴，
∴∠OAD＝30°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∵AB＝6，
∴，
∴，則，
∴陰影部分面積＝，
故答案為：．
【點睛】本題考查的是扇形面積的計算、垂徑定理以及翻折變換（折疊問題），掌握扇形面積公式是解題的關鍵．
17．（2023 杭州模擬）如圖，扇形AOB中，∠AOB＝120°，連接AB，以A為旋轉中心，將AB旋轉30°得到AC，若OA＝2，則陰影部分的面積為 　　．
【考點】扇形面積的計算；旋轉的性質．
【答案】π﹣．
【點撥】連接BD，OD，由旋轉可知∠BAC＝30°，再由OA＝OB，∠AOB＝120°可知∠BAO＝30°，可得△OAD是等邊三角形，∠AOD＝∠BOD＝60°，故弓形AD與弓形BD相等，即可得S陰影＝S扇形AOB﹣S△ABD，即可得出結論．
【解析】解：連接BD，OD，
∵∠AOB＝120°，OA＝OB，
∴∠BAO＝30°，
由旋轉可知∠BAC＝30°，
∴∠OAD＝60°，
∵OA＝OD，
∴△OAD是等邊三角形，
∴∠AOD＝∠BOD＝60°，
∴AD＝BD，OD⊥AB，AE＝BE，
∴弓形AD與弓形BD相等，即可得
∴S陰影＝S扇形AOB﹣S△ABD，
∵OD⊥AB，AE＝BE，∠BAO＝∠BAC＝30°，
∴DE＝OE＝OA＝1，AE＝BE＝，
∴AB＝2，
∴S陰影＝S扇形AOB﹣S△ABD＝﹣×2×1＝π﹣．
故選：π﹣．
【點睛】本題考查了扇形的面積計算，等邊三角形的性質和判定，直角三角形的性質等知識點，能把求不規則圖形的面積轉化成求規則圖形的面積是解此題的關鍵．
18．（2022 常山縣模擬）如圖，正五邊形ABCDE內接于⊙O，連結AC，BD交于點F．
（1）求證：AB＝AF．
（2）若⊙O的半徑為10，求正五邊形ABCDE的面積（結果精確到0.1，參考數據：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）．
【考點】正多邊形和圓；解直角三角形；全等三角形的判定與性質；圓周角定理．
【答案】（1）證明見解析部分；
（2）239.0．
【點撥】（1）證明∠AFB＝∠ABF＝72°，可得結論；
（2）過點B作BH⊥OA于點H．解直角三角形求出OH，AB，可得結論．
【解析】解：（1）證明：如圖，連接OA，OD，OC，OB．
∵ABCDE是正五邊形，
∴∠BOC＝72°，∠AOD＝144°，
∴∠BAC＝∠BOC＝36°，∠ABF＝∠AOD＝72°，
∴∠AFB＝180°﹣36°﹣72°＝72°，
∴∠AFB＝∠ABF，
∴AB＝AF；
（2）解：過點B作BH⊥OA于點H．則BH＝OB sin36°，OH＝OB cos36°，
∴五邊形ABCDE的面積＝5× AB OH
＝5××2×OB2 sin30° cos36°
＝5×102×0.59×0.81
≈239.0．
【點睛】本題考查正多邊形與圓，圓周角定理，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題．
19．（2023 溫嶺市一模）將等腰直角三角板與量角器按如圖所示的方式擺放，使三角板的直角頂點與量角器的中心O重合，三角板內部的小等腰直角三角形的兩個頂點A，B恰好落在量角器邊緣，對應的刻度分別是70°，130°，若CA＝5，則陰影部分面積為 　　．
【考點】扇形面積的計算；等腰直角三角形．
【答案】．
【點撥】把量角器看作半圓，構造扇形AOB，陰影部分的面積就等于扇形AOB的面積減去△AOB的面積，再利用相關的面積公式求解即可．
【解析】解：連接OA、OB，作AD⊥OB于點D，
∵等腰直角三角形ACB中，CA＝5，
∴，
∵A，B對應的刻度分別是70°，130°，
∴∠AOB＝130°﹣70°＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等邊三角形，
∴，，
．
【點睛】本題考查了扇形的面積公式，等邊三角形的判定和性質，解直角三角形，構造扇形并得出等邊三角形是解題的關鍵．
20．（2022 衢州）如圖，C，D是以AB為直徑的半圓上的兩點，∠CAB＝∠DBA，連結BC，CD．
（1）求證：CD∥AB．
（2）若AB＝4，∠ACD＝30°，求陰影部分的面積．
【考點】扇形面積的計算；平行線的判定與性質；圓周角定理．
【答案】（1）證明過程見解析；
（2）S陰影＝．
【點撥】（1）根據圓周角定理可得，∠ACD＝∠DBA，由已知條件可得∠CAB＝∠ACD，再根據平行線的判定方法即可得出答案；
（2）連結OD，過點D作DE⊥AB，垂足為E．由∠ACD＝30°，可得∠ACD＝∠CAB＝30°，根據圓周角定理可得∠AOD＝∠COB＝60°，即可得出∠COD＝180°﹣∠AOD﹣∠COB＝60°，∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，即可算出S扇形BOD＝的面積，在Rt△ODE中，根據三角函數可算出DE＝cos30°OD的長度，即可算出S△BOD＝的面積，根據S陰影＝S扇形BOD﹣S△BOD代入計算即可得出答案．
【解析】（1）證明：∵＝，
∴∠ACD＝∠DBA，
又∵∠CAB＝∠DBA，
∴∠CAB＝∠ACD，
∴CD∥AB．
（2）如圖，連結OD，過點D作DE⊥AB，垂足為E．
∵∠ACD＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，
∴S扇形BOD＝．
在Rt△ODE中，
∵DE＝sin60° OD＝＝，
∴S△BOD＝＝＝，
∴S陰影＝S扇形BOD﹣S△BOD＝．
∴S陰影＝．
【點睛】本題主要考查了扇形面積的計算，平行線的性質與判定及圓周角定理，熟練掌握扇形面積的計算，平行線的性質與判定及圓周角定理進行求解是解決本題的關鍵．
21．（2022 浦江縣模擬）平行四邊形的對角線AC⊥AB，以AC為直徑的⊙O交AD于點E．
（1）如圖1，若＝2，求的值．
（2）如圖2，若AC＝10，∠ACB＝15°，把邊BC下方的弧以BC為對稱軸向上翻折，與對角線AC交于點F，求CF的值．
【考點】弧長的計算；軸對稱的性質；翻折變換（折疊問題）；平行四邊形的性質；圓周角定理．
【答案】（1）；
（2）5．
【點撥】（1）連結OE，根據＝2，得到∠AOE＝2∠EOC，根據∠AOE+∠EOC＝180°，∠EOC＝60°，根據圓周角定理得到∠EAC＝∠EOC＝30°，根據平行四邊形ABCD中，對角線AC⊥AB，得到AC⊥CD，根據含30度角的直角三角形的性質即可得出答案；
（2）作∠BCG＝15°，交圓O于點G，連結AG，由對稱性可得CF＝CG，∠ACG＝30°，根據∠AGC是直徑AC所對的圓周角，得到∠AGC＝90°，根據特殊角的三角函數即可得出答案．
【解析】解：（1）連結OE，
∵＝2，
∴∠AOE＝2∠EOC，
∵∠AOE+∠EOC＝180°，
∴∠EOC＝60°，
∵∠EAC是所對的圓周角，
∴∠EAC＝∠EOC＝30°，
又∵在平行四邊形ABCD中，對角線AC⊥AB，
∴AC⊥CD，
∴；
（2）作∠BCG＝15°，交圓O于點G，連結AG，
由對稱性可得CF＝CG，∠ACG＝30°，
∵∠AGC是直徑AC所對的圓周角，
∴∠AGC＝90°，
∴CF＝CG＝AC cos30°＝．
【點睛】本題考查了圓周角定理，軸對稱的性質，翻折變換（折疊問題），平行四邊形的性質，利用對稱性構造CF＝CG，∠ACG＝30°是解題的關鍵．
22．（2023 浦江縣模擬）浦江桃形李是地方名果，是浦江縣的特產之一．請你運用數學知識，根據素材，幫果農解決問題．
信息及素材
素材一 在專業種植技術人員的正確指導下，果農對桃形李的種植技術進行了研究與改進，使產量得到了增長，根據果農們的記錄，2020年桃形李平均每株產量是35千克，2022年達到了50.4千克，每年的增長率是相同的．
素材二 一般采用的是長方體包裝盒．
素材三 果農們通過問卷調查發現，顧客也很愿意購買美觀漂亮的其它設計的包裝紙盒．
任務1：求桃形李產量的年平均增長率；
任務2：現有長80cm，寬75cm的長方形紙板，將四角各裁掉一個正方形（如圖1），折成無蓋長方體紙盒（如圖2）．為了放下適當數量的桃形李，需要設計底面積為3300cm2的紙盒，計算此時紙盒的高；
任務3：為了增加包裝盒的種類，打算將任務2中的紙板通過圖3的方式裁剪，得到底面為正六邊形的無蓋紙盒（如圖4），求出此時紙盒的高．（圖中實線表示剪切線，虛線表示折痕．紙板厚度及剪切接縫處損耗忽略不計）
【考點】正多邊形和圓；一元二次方程的應用．
【答案】任務：1：20%；
任務2：10；
任務3：．
【點撥】任務1：設桃形李產量的年平均增長率為x，則2022年的產量為35（1+x）2千克，由2022年的產量解方程即可；
任務2：由圖1可得裁掉正方形的邊長即為圖2長方體盒子的高，設裁掉正方形的邊長為m（cm），根據長方體紙盒的底面積列方程求解即可；
任務3：設底面正六邊形為ABCDEF，連接AC、FD、BE，AC和BE交于點G，FD和BE交于點H，BE所在直線交長方形紙板的邊于點M、N，根據正六邊形的性質求得△ABG為含30°角的直角三角形，可得其兩直角邊的長度；結合等邊三角形的判定和性質再求得左右兩側小三角形的高，然后根據長方形紙板的長和寬建立方程求解即可．
【解析】解：任務1：設桃形李產量的年平均增長率為x，
由題意得：
35（1+x）2＝50.4，
解得：x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不符合題意，舍去），
答：桃形李產量的年平均增長率為20%；
任務2：設裁掉正方形的邊長為m（cm），由題意得：
（75﹣2m）×（80﹣2m）＝3300，
化簡得，4m2﹣310m+2700＝0，
整理得，（m﹣10）（4m﹣270）＝0，
解得：m1＝10，m2＝（不符合題意舍去），
答：此時紙盒的高為10cm；
任務3：如圖，設底面正六邊形為ABCDEF，連接AC、FD、BE，AC和BE交于點G，FD和BE交于點H，BE所在直線交長方形紙板的邊于點M、N，
設底面正六邊形的邊長為a（cm），紙盒的高為b（cm），
∵正六邊形的每條邊相等，每個內角都為120°，
∴△ABC為等腰三角形，∠ABC＝120°，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°，
由正六邊形的性質可得BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝60°，
∴∠AGB＝90°，
∴直角三角形ABG中，BG＝a，AG＝，
同理可得直角三角形FHE中，HE＝，
∵CG＝AG＝，b+AG+GC+b＝75，
∴2b+＝75①，
∵左側小三角形頂點B的角度＝360°﹣120°﹣90°﹣90°＝60°，
∴左側小三角形為邊長b的等邊三角形，
根據圖形的上下對稱可得MN與長方形紙板的左右兩邊垂直，
∴BM為等邊三角形的高，
∴BM＝，
同理可得，EN＝BM＝
∵四邊形AGHF為矩形，
∴GH＝AF＝a，
∵MN＝MB+BG+GH+HE+EN＝80，
∴2a+＝80②，
聯立①②式可得b＝150﹣80，
答：紙盒的高為（150﹣80）cm；
【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，正六邊形的性質，等邊三角形的判定和性質，30°角的直角三角形的邊長關系，對稱的性質；掌握正六邊形的性質是解題關鍵．
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第五章 圓
第三節 與圓有關的計算
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 弧長、扇形的面積 ☆☆☆ 從近年各地中考來看，與圓相關的計算考查頻率還是比較高，主要結合圓周角和圓心角相關知識圍繞計算正多邊形相關知識、弧長、扇形面積、不規則圖形的面積及圓錐相關知識命題，題型主要以選填題為主，難度不大。預測2024年中考還會延續這種命題趨勢，并也有可能出現創新型題目.
考點2 圓柱和圓錐 ☆☆
考點3 正多邊形 ☆☆
考點4不規則圖形的面積 ☆☆
1．圓的周長公式：C＝ (半徑為R)．
圓的面積公式：S＝ (半徑為R)．
2．在半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的弧長l的計算公式為：l＝ ．
在半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的扇形(弧長為l)面積的計算公式為：S扇形＝ ＝lR.
3．圓柱的側面展開圖是 ，這個 的長和寬分別是底面圓的 和圓柱的 ．
圓柱側面積公式：S圓柱側＝ ；圓柱全面積公式：S圓柱全＝ (其中圓柱的底面半徑為r，高為h)．
4．圓錐的側面積和全面積：
圓錐的側面展開圖是一個扇形，若圓錐的母線長為l，底面半徑為r，則這個扇形的半徑為l，扇形的弧長為2πr．
(1)圓錐的側面積公式：S圓錐側＝ ．
(2)圓錐的全面積公式：S圓錐全＝ ．
(3)圓錐側面展開圖扇形的圓心角度數的計算公式：θ＝ ．
5．正多邊形的中心：正多邊形的外接圓的圓心．外接圓的半徑叫做正多邊形的 ，正多
邊形每一邊所對的 叫做正多邊形的中心角，中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊
形的邊心距．作相等的 就可以等分圓周，從而得到相應正多邊形．
6．不規則圖形面積的計算
求與圓有關的不規則圖形的面積時,最基本的思想就是轉化思想,即把所求的不規則的圖形的面積轉化為規則圖形的面積.常用的方法有:
(1)直接用公式求解.
(2)將所求面積分割后,利用規則圖形的面積求解.
(3)將陰影中某些圖形等積變形后移位,重組成規則圖形求解.
(4)將所求面積分割后,利用旋轉,將部分陰影圖形移位后,組成規則圖形求解.
■考點一　弧長、扇形的面積
◇典例1：（2023 溫州）若扇形的圓心角為40°，半徑為18，則它的弧長為 　 　．
2．（2023 北侖區一模）如圖是2022年杭州亞運會徽標的示意圖，若AO＝5，BO＝2，∠AOD＝120°，則陰影部分面積為（　　）
A．14π B．7π C． D．2π
◆變式訓練
1．（2021 長興縣模擬）一個扇形的面積是3π cm2，圓心角是120°，則此扇形的半徑是　 　cm．
2．（2023 紹興模擬）如圖，△ABC中，∠C＝90°，，，以AC為直徑的⊙O交AB于點D，則的長為 　 　．
■考點二 圓柱和圓錐
◇典例2：（2022 寧波）已知圓錐的底面半徑為4cm，母線長為6cm，則圓錐的側面積為（　　）
A．36πcm2 B．24πcm2 C．16πcm2 D．12πcm2
◆變式訓練
1．（2022 宜興市校級一模）如果圓柱的母線長為5cm，底面半徑為2cm，那么這個圓柱的側面積是　 ．
2．（2023 諸暨市模擬）已知圓錐的底面半徑為5cm，高線長為12cm，則圓錐的側面積為（　　）cm2．
A．130π B．120π C．65π D．60π
■考點三 正多邊形
◇典例3：（2023 龍港市二模）如圖，要擰開一個邊長為a的正六邊形螺帽，則扳手張開的開口b至少為（　　）
A．2a B． C． D．
◆變式訓練
1．（2023 紹興模擬）如圖，正五邊形ABCDE內接于⊙O，其半徑為1，作OF⊥BC交⊙O于點F，則的長為（　　）
A．π B． C． D．
2．（2023 余杭區二模）如圖，正九邊形外接圓的半徑是R，則這個正九邊形的邊長為（　　）
A．Rsin20° B．Rsin40° C．2Rsin20° D．2Rsin40°
■考點四 不規則圖形的面積
◇典例4：（2022 吳興區校級二模）如圖，AB是半圓O的直徑，且AB＝10，點C為半圓上的一點．將此半圓沿BC所在的直線折疊，若弧BC恰好過圓心O，則圖中陰影部分的面積是 　　．（結果保留π）
◆變式訓練
1．（2023 淳安縣一模）如圖，菱形ABCD中，分別以點B，D為圓心，以長為半徑畫弧，分別交邊BC，AD于點E，F．若AB＝4，∠BAD＝60°，則圖中陰影部分的面積為 　　．（結果不取近似值）
2．（2023 舟山二模）如圖，△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，AC＝1，分別以A，B，C為圓心做弧，得到曲線CDEF，那么曲線CDEF和線段CF圍成的圖形（圖中陰影部分）的面積為（　　）
A． B． C． D．
1．（2023 婺城區模擬）如果一個扇形的半徑是2，弧長是，則此扇形的圓心角的度數為（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．（2023 金華模擬）已知一個底面半徑為3cm的圓錐，它的母線長是5cm，則這個圓錐的側面積是（　　）cm2．
A．15π B．45π C．30π D．20π
3．（2021 紹興）如圖，正方形ABCD內接于⊙O，點P在上，則∠BPC的度數為（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．（2021 海曙區模擬）《九章算術》第一章“方田”中講述了扇形面積的計算方法：“今有宛田，下周三十步，徑十六步，問為田幾何？”大致意思為：現有一塊扇形的田，弧長30步，其所在圓的直徑是16步，則這塊田面積為（　　）
A．平方步 B．平方步 C．120平方步 D．240平方步
5．（2022 臺州）一個垃圾填埋場，它在地面上的形狀為長80m，寬60m的矩形，有污水從該矩形的四周邊界向外滲透了3m，則該垃圾填埋場外圍受污染土地的面積為（　　）
A．（840+6π）m2 B．（840+9π）m2 C．840m2 D．876m2
6．（2023 金東區二模）如圖，在正六邊形ABCDEF中，BC＝2，點O在對角線AD上，BO⊥OF，以O為圓心，OB為半徑畫弧，分別交AB，AF于點M，N．則的長為（　　）
A． B． C． D．
7．（2022 麗水）某仿古墻上原有一個矩形的門洞，現要將它改為一個圓弧形的門洞，圓弧所在的圓外接于矩形，如圖．已知矩形的寬為2m，高為2m，則改建后門洞的圓弧長是（　　）
A．m B．m C．m D．（+2）m
8．（2023 金華模擬）如圖1是一座立交橋的示意圖（道路寬度忽略不計），A為入口，F，G為出口，其中直行道為AB，CG，EF，且AB＝CG＝EF；彎道為以點O為圓心的一段弧，且所對的圓心角均為90°，甲、乙兩車由A口同時駛入立交橋，均以12m/s的速度行駛，從不同出口駛出，其間兩車到點O的距離y（m）與時間x（s）的對應關系如圖2所示，結合題目信息，下列說法錯誤的是（　　）
A．甲車從G口出，乙車從F口出 B．立交橋總長為252m
C．從F口出比從G口出多行駛72m D．乙車在立交橋上共行駛16s
9．（2023 臨平區二模）如圖，扇形紙片AOB的半徑為2，沿AB折疊扇形紙片，點O恰好落在上的點C處，則圖中陰影部分的面積為（　　）
A． B． C． D．
10．（2021 湖州）如圖，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，點P是AD邊上的一個動點，連接BP，點C關于直線BP的對稱點為C1，當點P運動時，點C1也隨之運動．若點P從點A運動到點D，則線段CC1掃過的區域的面積是（　　）
A．π B．π+ C． D．2π
11．（2021 開化縣模擬）如圖，點C，點D，點E分別是以AB，AC，BC為直徑的半圓弧的一個三等分點，再分別以AD，DC，CE，BE為直徑向外側作4個半圓，若圖中陰影部分的面積為，則AB的長為（　　）
A． B．2 C．4 D．
12．（2021 臺州）如圖，將線段AB繞點A順時針旋轉30°，得到線段AC．若AB＝12，則點B經過的路徑長度為 　　．（結果保留π）
13．（2022 常山縣模擬）一個圓柱的底面半徑為5cm，母線長為6cm，則這個圓柱的側面積為 　　cm2．
14．（2023 寧波）如圖，圓錐形煙囪帽的底面半徑為30cm，母線長為50cm，則煙囪帽的側面積
為 　 　cm2．（結果保留π）
15．（2023 金華）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB為直徑作半圓，交BC于點D，交AC于點E，則弧DE的長為 　　cm．
16．（2023 余杭區模擬）如圖，在菱形ABCD中，分別以點A，C為圓心，AD，CB長為半徑畫弧，分別交對角線AC于點E，F，若AB＝4，∠ABC＝120°，則圖中陰影部分的面積為 　　．（結果保留π）
17．（2023 杭州）如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內接正六邊形，設正六邊形ABCDEF的面積為S1，△ACE的面積為S2，則＝　　．
18．（2023 浙江二模）如圖，已知⊙O的半徑為，四邊形ABCD內接于⊙O，連結AC、BD，DB＝DC，∠BDC＝45°．
（1）求的長；
（2）求證：AD平分△ABC的外角∠EAC．
19．（2023 平湖市一模）如圖，將含30°角的直角三角板ABC放入半圓O中，A，B，C三點恰好在半圓O上，點E是BC的中點，連結OE并延長交圓O于點D．
（1）求證：OD∥AC；
（2）若AB＝8，求陰影部分的面積．
20．（2022 金華）如圖1，正五邊形ABCDE內接于⊙O，閱讀以下作圖過程，并回答下列問題：
作法 如圖2．
1．作直徑AF．
2．以F為圓心，FO為半徑作圓弧，與⊙O交于點M，N．
3．連接AM，MN，NA．
（1）求∠ABC的度數．
（2）△AMN是正三角形嗎？請說明理由．
（3）從點A開始，以DN長為邊長，在⊙O上依次截取點，再依次連接這些分點，得到正n邊形，求n的值．
1．（2021 衢州）已知扇形的半徑為6，圓心角為150°，則它的面積是（　　）
A．π B．3π C．5π D．15π
2．（2023 慈溪市一模）已知圓錐的底面周長為3cm，母線長為6cm，則圓錐的側面積是（　　）
A．9πcm2 B．9cm2 C．18πcm2 D．18cm2
3．（2023 金東區一模）如圖，在4×4的方格中（共有16個小方格），每個小方格都是邊長為1的正方形，O，A，B分別是小正方形的頂點，則扇形OAB的弧長等于（　　）
A．2π B．π C．2π D．π
4．（2023 拱墅區校級模擬）如圖，在△ABC中，以BC為直徑的半圓分別與AB，AC交于點D，E．若BC＝6，∠A＝60°，則的長為 （　　）
A． B．π C．2π D．3π
5．（2023 路橋區二模）小科同學將一張直徑為16的圓形卡紙平均分成4份，用其中一份作一個圓錐的側面，則這個圓錐的底面半徑是（　　）
A．2 B．4 C．8 D．16
6．（2023 鄞州區模擬）如圖所示，某盞路燈照射的空間可以看成如圖所示的圓錐，它的高AO＝8米，底面半徑OB＝6米，則圓錐的側面積是多少平方米（結果保留π）（　　）
A．60π B．50π C．48π D．80π
7．（2020 金華模擬）如圖，一只螞蟻要從圓柱體下底面的A點，沿圓柱表面爬到與A相對的上底面的B點，圓柱底面直徑為4，母線為6，則螞蟻爬行的最短路線長為（　　）
A． B． C．4π D．6π
8．（2022 錢塘區二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，以點D為圓心，DA的長為半徑畫弧，交BC于點E，交DC的延長線于點F，則圖中陰影部分的面積為（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．﹣ D．﹣2
9．（2023 永康市一模）如圖，已知正五邊形ABCDE的邊長為2，連接對角線構成另一個正五邊形FGHIJ，則正五邊形FGHIJ的邊長為（　　）
A．1 B． C． D．
10．（2021 龍灣區模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分別以AB，BC，CA為直徑作半圓圍成兩月牙形，過點C作DF∥AB分別交三個半圓于點D，E，F．若＝，AC+BC＝15，則陰影部分的面積為（　　）
A．16 B．20 C．25 D．30
11．（2021 溫州）若扇形的圓心角為30°，半徑為17，則扇形的弧長為 　　．
12．（2023 洞頭區二模）若扇形的圓心角為60°，半徑為3，則該扇形的面積為 　　．
13．（2020 大興區一模）將面積為225cm2的正方形硬紙片圍成圓柱的側面，則此圓柱的底面直徑為　　cm（結果保留π）．
14．（2023 溫州二模）如圖，菱形花壇ABCD的邊長為9米，∠B＝60°，其中由兩個正六邊形組成的部分種花，則種花部分的面積為 　 　米2．
15．（2023 舟山模擬）如圖，在矩形ABCD中，，AD＝2，以點A為圓心，AD長為半徑畫弧，交AB于點E，則圖中陰影部分的面積是 　　.（結果不取近似值）
16．（2023 杭州一模）如圖是以點O為圓心的圓形紙片，AB是⊙O的弦，將該圓形紙片沿直線AB折疊，劣弧恰好經過圓心O．若AB＝6，則圖中陰影部分的面積為 　　．
17．（2023 杭州模擬）如圖，扇形AOB中，∠AOB＝120°，連接AB，以A為旋轉中心，將AB旋轉30°得到AC，若OA＝2，則陰影部分的面積為 　　．
18．（2022 常山縣模擬）如圖，正五邊形ABCDE內接于⊙O，連結AC，BD交于點F．
（1）求證：AB＝AF．
（2）若⊙O的半徑為10，求正五邊形ABCDE的面積（結果精確到0.1，參考數據：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）．
19．（2023 溫嶺市一模）將等腰直角三角板與量角器按如圖所示的方式擺放，使三角板的直角頂點與量角器的中心O重合，三角板內部的小等腰直角三角形的兩個頂點A，B恰好落在量角器邊緣，對應的刻度分別是70°，130°，若CA＝5，則陰影部分面積為 　　．
20．（2022 衢州）如圖，C，D是以AB為直徑的半圓上的兩點，∠CAB＝∠DBA，連結BC，CD．
（1）求證：CD∥AB．
（2）若AB＝4，∠ACD＝30°，求陰影部分的面積．
21．（2022 浦江縣模擬）平行四邊形的對角線AC⊥AB，以AC為直徑的⊙O交AD于點E．
（1）如圖1，若＝2，求的值．
（2）如圖2，若AC＝10，∠ACB＝15°，把邊BC下方的弧以BC為對稱軸向上翻折，與對角線AC交于點F，求CF的值．
22．（2023 浦江縣模擬）浦江桃形李是地方名果，是浦江縣的特產之一．請你運用數學知識，根據素材，幫果農解決問題．
信息及素材
素材一 在專業種植技術人員的正確指導下，果農對桃形李的種植技術進行了研究與改進，使產量得到了增長，根據果農們的記錄，2020年桃形李平均每株產量是35千克，2022年達到了50.4千克，每年的增長率是相同的．
素材二 一般采用的是長方體包裝盒．
素材三 果農們通過問卷調查發現，顧客也很愿意購買美觀漂亮的其它設計的包裝紙盒．
任務1：求桃形李產量的年平均增長率；
任務2：現有長80cm，寬75cm的長方形紙板，將四角各裁掉一個正方形（如圖1），折成無蓋長方體紙盒（如圖2）．為了放下適當數量的桃形李，需要設計底面積為3300cm2的紙盒，計算此時紙盒的高；
任務3：為了增加包裝盒的種類，打算將任務2中的紙板通過圖3的方式裁剪，得到底面為正六邊形的無蓋紙盒（如圖4），求出此時紙盒的高．（圖中實線表示剪切線，虛線表示折痕．紙板厚度及剪切接縫處損耗忽略不計）
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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