資源簡介

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二、向量在幾何中的應用
歸納總結：
1）平面幾何圖形的許多性質，如平移、全等、相似、長度、角度等都可以由向量的線性運算及數量積來解決.
2）向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”.
① 建立平面幾何與向量的聯系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題.
② 通過向量運算研究幾何元素之間的關系和距離、夾角等問題.
③ 把運算結果“翻譯”成幾何關系.
【題干】1.在中，若，則是（ ）
A. 直角三角形 B. 銳角三角形
C. 鈍角三角形 D. 等邊三角形
【答案】A
【解析】分析：根據向量加減法三角形法則，向量數量積的運算公式，對式子進行化簡，進而得到，由此即可判斷出的形狀.
∵，∴
∴，∴，則.
【點評】考查向量的加、減法，向量垂直的充要條件，進而判斷三角形形狀，關鍵在于條件的轉化，難度一般.
【題干】2.若是非零向量，且，，則函數是（ ）.
A. 一次函數且是奇函數 B. 一次函數但不是奇函數
C. 二次函數且是偶函數 D. 二次函數但不是偶函數
【答案】A
【解析】，又因為，即，所以，因為，所以是一次函數，且關于原點對稱，所以是奇函數.
【題干】3.在四邊形中，，，則該四邊形的面積為（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因為在四邊形中，，， .所以四邊形的對角線互相垂直，又∵，，該四邊形的面積：.
【點評】考查向量數量積，模的運算，因為，所以，從而判斷出四邊形的形狀.
【題干】4.在所在的平面上有一點滿足＋＋＝，則與的面積之比是________.
【答案】
【解析】由得，即，得，即，所以點是邊上的第二個三等分點，故
【點評】因為＋＋＝，所以，即，
所以點是邊上的靠近點的一個三等分點，故.難度一般.
【題干】5.如圖，在中，已，則________.
【答案】
【解析】∵，，∴，
∴
∴，.
【點評】，因此，，難度一般.
【題干】6.在中，若，，且，則的面積為________.
【答案】
【解析】因為，所以，所以， ，所以的面積為.
【點評】考查平面向量數量積的運算，結合余弦定理求三角形面積，難度一般.
【題干】7.在正方形中，，分別為，的中點，求證.
【答案】見解析
【解析】，，
垂直.
【點評】將 轉化為，轉化為向量問題求解，題目較易.
【題干】8.如圖，平面直角坐標系中，已知向量，，，且.
（1）求與間的關系；
（2）若，求與的值及四邊形的面積.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵，∴由，
得，故
（2）由，. ∵，
∴，又因為，∴ 或
當時，，當時，，故與同向，四邊形的面積
【點評】考查平面向量的線性運算、平面向量的坐標運算、平面向量的數量積、平面向量平行、垂直的判定與性質.綜合性較強，難度一般.
【題干】9.如圖，梯形中，，，，，，是的一個動點， ，.
（1）當 最小時，求的值
（2）當時，求的值
【答案】（1） （2）
【解析】（1）以為原點，所在直線為軸，建立如圖所示直角坐標系.則，，，，，，有，，
有，當時，最小，此時，
在中 ，在，，所以
（2）由（1）知，，，，，
∵，∴， ，∴，整理得： ，此時
【點評】（1）本小題適宜用向量法求解，先建立坐標系，設出，根據建立關于的函數，然后再根據求函數最值的方法確定求最小值時點的位置，從而求出的值.
（2）在（1）的基礎上，可用表示出，然后根據，，從而建立關于的方程，求出的值.從而確定點的位置，求出的值.
【題干】10.在直角坐標系中，已知點和點，若點在的一平分線上，且，則__________.
【答案】
【解析】∵ 點在的一平分線上，∴ 設又，∴，得，
∴.
【題干】11.在平行四邊形中，與交于點，是線段的中點，的延長線與交于點．若，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B．
【解析】（法一）常規方法：，∵三點共線，故可設，又三點共線，故向量與為共線向量．
，，，從而有，
故．
（法二）幾何法：由平面幾何知識容易求得，倍長，
則.
（法三）排除法：同上計算出后，排除，
又由三點共線，排除.
【題干】12.若是內一點，，則是的( ）
A. 內心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心
【答案】D．
【解析】以、為鄰邊作平行四邊形，則，
又，∴，∴，∴為的中點，、、共線，又為的中點，∴是中線的三等分點，且，
∴是的重心.
【題干】13.若點是的外心，且，則內角的大小為________.
【答案】
【解析】取邊中點，連結知，，
從而，又為的中點，，所以四邊形為菱形，又，故，為開始作的草圖，為分析后作出的較符合題意的圖．
【題干】14.在中，為中線上的一個動點，若，則的最小值為________.
【答案】
【解析】如圖，設，則，所以，故當時，取最小值.
【題干】15.已知點是的重心，，用表示．
【答案】，，.
【解析】延長分別交對邊于，則，，．
【題干】16.在中，已知向量與滿足且，
則為（ ）
A．三邊均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等邊三角形 D．等邊三角形
【答案】D
【解析】非零向量與滿足，即角的平分線垂直于，
∴，又，，所以為等邊三角形.
【題干】17.已知，，，點在內，且，設 ，則等于（ ）
A．　 B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ ，，，∴為直角三角形，其中，∴，
∴，即.
【題干】18.是平面內一定點，，，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則的軌跡一定通過的( )
A. 外心　　　　B. 內心 C. 重心 D. 垂心
【答案】B
【解析】設為上的單位向量，為上的單位向量，則的方向為的角平分線的方向，又，∴的方向與方向相同，而，∴點在上移動，∴點的軌跡一定通過的內心.
【題干】19.已知：如圖所示，是菱形，和是它的兩條對角線，求證.
【答案】見解析.
【解析】證法一：∵，，
∴＝（＋），
∴.
證法二：以所在直線為軸，以為原點建立直角坐標系，設，，，則由得，
∵，，∴，
∴.
【題干】20.證明：三角形重心與頂點的距離等于它到對邊中點的距離的兩倍.
【答案】見解析.
【解析】設，，則，，
∵共線，共線，∴可設，，
則，，
∵，即：，
∴，∵不平行，
∴
【題干】21.已知點，，及，
求：（1）為何值時，在軸上？在軸上？在第二象限？
（2）四邊形能否成為平行四邊形？若能，求出相應的值；若不能，請說明理由.【答案】（1）當在軸上時，；當在軸上時，；當在第二象限時，；（2）四邊形不能成為平行四邊形.
【解析】（1）∵，，
∴，當在軸上時，有，
即；當在軸上時，有，即；當在第二象限時，
有，即.
（2）∵，，假如四邊形能為平行四邊形，則有，即，∴有，該方程組無解，∴假設不成立，
∴四邊形不能成為平行四邊形.
【題干】22.已知、、是直線上的不同的三點，是外一點，向量滿足，記.求函數的解析式.
【答案】.
【解析】，∴、、三點共線，
∴，∴.
【題干】23.已知，是兩個向量集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A.
【解析】因為，由可得，
故．
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二、向量在幾何中的應用
歸納總結：
1）平面幾何圖形的許多性質，如平移、全等、相似、長度、角度等都可以由向量的線性運算及數量積來解決.
2）向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”.
① 建立平面幾何與向量的聯系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題.
② 通過向量運算研究幾何元素之間的關系和距離、夾角等問題.
③ 把運算結果“翻譯”成幾何關系.
【題干】1.在中，若，則是（ ）
A. 直角三角形 B. 銳角三角形
C. 鈍角三角形 D. 等邊三角形
【題干】2.若是非零向量，且，，則函數是（ ）.
A. 一次函數且是奇函數 B. 一次函數但不是奇函數
C. 二次函數且是偶函數 D. 二次函數但不是偶函數
【題干】3.在四邊形中，，，則該四邊形的面積為（ ）.
A. B.
C. D.
【題干】4.在所在的平面上有一點滿足＋＋＝，則與的面積之比是________.
【題干】5.如圖，在中，已，則________.
【題干】6.在中，若，，且，則的面積為________.
【題干】7.在正方形中，，分別為，的中點，求證.
【題干】8.如圖，平面直角坐標系中，已知向量，，，且.
（1）求與間的關系；
（2）若，求與的值及四邊形的面積.
【題干】9.如圖，梯形中，，，，，，是的一個動點， ，.
（1）當 最小時，求的值
（2）當時，求的值
【題干】10.在直角坐標系中，已知點和點，若點在的一平分線上，且，則__________.
【題干】11.在平行四邊形中，與交于點，是線段的中點，的延長線與交于點．若，，則（ ）
A. B.
C. D.
【題干】12.若是內一點，，則是的( ）
A. 內心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心
【題干】13.若點是的外心，且，則內角的大小為________.
【題干】14.在中，為中線上的一個動點，若，則的最小值為________.
【題干】15.已知點是的重心，，用表示．
【題干】16.在中，已知向量與滿足且，
則為（ ）
A．三邊均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等邊三角形 D．等邊三角形
【題干】17.已知，，，點在內，且，設 ，則等于（ ）
A．　 B． C． D．
【題干】18.是平面內一定點，，，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則的軌跡一定通過的( )
A. 外心　　　　B. 內心 C. 重心 D. 垂心
【題干】19.已知：如圖所示，是菱形，和是它的兩條對角線，求證.
【題干】20.證明：三角形重心與頂點的距離等于它到對邊中點的距離的兩倍.
【題干】21.已知點，，及，
求：（1）為何值時，在軸上？在軸上？在第二象限？
（2）四邊形能否成為平行四邊形？若能，求出相應的值；若不能，請說明理由.
【題干】22.已知、、是直線上的不同的三點，是外一點，向量滿足，記.求函數的解析式.
【題干】23.已知，是兩個向量集合，則（ ）
A． B． C． D．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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一、向量在平面幾何中的應用
平面向量在平面幾何中的應用主要是用向量的線性運算及數量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長度、夾角等問題．
1）證明線段平行或點共線問題，包括相似問題，常用共線向量定理：.
2）證明垂直問題：常用數量積的運算性質.
3）求夾角問題：利用夾角公式 （為與的夾角）．
4）常見問題：
① 線平行，點共線，相似問題，利用向量共線定理.
② 垂直問題：利用數量積運算性質.
③ 夾角問題：(為與的夾角)．
④ 求線段長度：利用向量模長計算公式.
二、平面向量在物理中的應用
1）由于物理學中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解與合成與向量的加法和減法相似，可以用向量的知識來解決．
2）物理學中的功是一個標量，這是力與位移的數量積．即 (為與的夾角)．
3）總結：
① 物理中的“功”可以看做向量數量積的原型，向量的三角形法則和平行四邊形法則可以與物理中力，位移合成與分解類比.
② 解題步驟
a. 把題中的相關量用向量表示.
b. 轉化成向量問題模型，通過向量運算解決.
③ 結果還原成物理問題.
三、主要考向
實現平面向量與三角函數、平面向量與解析幾何之間的轉化的主要手段是向量的坐標運算．兩條主線
1）向量兼具代數的抽象與嚴謹和幾何的直觀與形象，向量本身是一個數形結合的產物，在利用向量解決問題時，要注意數與形的結合、代數與幾何的結合、形象思維與邏輯思維的結合．
2）要注意變換思維方式，能從不同角度看問題，要善于應用向量的有關性質解題．
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