資源簡介

8.5 空間直線、平面的平行
思維導圖
考法解讀
考法一 證線線平行
【例1-1】（2024·湖南）已知三條不同的直線l，m，n，且，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【例1-2】（2024河北）如圖所示，在長方體AC1中，E，F分別是B1O和C1O的中點，則長方體的各棱中與EF平行的有（ ）
A．3條 B．4條
C．5條 D．6條
【例1-3】（2023山西）已知E E1分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AD A1D1的中點.求證：∠BEC=∠B1E1C1.
【一隅三反】
1．（2023甘肅）如圖，在正方體中，直線平面，且直線與直線不平行，則下列一定不可能的是（ ）
A．l與AD平行 B．l與AD不平行 C．l與AC平行 D．l與BD平行
2．（2023河南）下列結論中正確的是（ ）
①在空間中，若兩條直線不相交，則它們一定平行；②平行于同一條直線的兩條直線平行；③一條直線和兩條平行直線中的一條相交，那么它也和另一條相交；④空間中有四條直線a，b，c，d，如果ab，cd，且ad，那么bc.
A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③
3．（2024山東）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分別是AB，AC上的點，且AE∶EB=AF∶FC，則EF與B1C1的位置關系是 .
4．（2023·高一課時練習）如圖，空間四邊形ABCD，E、H分別是AB、AD的中點，F、G分別是BC、CD上的點，且，求證：直線EH與直線FG平行．
5．（2024北京）如圖，三棱柱中，，，分別為，，的中點.求證：.
考法二 線面平行的判定定理
【例2-1】（2023下·河南洛陽 ）如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，平面，E為的中點.
(1)證明：平面；
(2)設，，求點D到平面的距離.
【例2-2】（2024上·內蒙古 ）如圖，在四棱錐中，平面，，，，為棱上的一點，且．
(1)證明：平面；
(2)求四棱錐的體積．
【例2-3】（2024上·重慶 ）如圖，在直三棱柱中，，，，點M、N分別為和的中點．
(1)求異面直線與所成角的余弦值；
(2)證明：平面．
【一隅三反】
1．（2024·全國· 專題練習）如圖，四棱錐中，四邊形是矩形，，，為正三角形，且平面平面，、分別為、的中點．證明：平面；
2．（2024上·北京平谷 ）如圖，在四棱錐中，側棱底面，四邊形為平行四邊形，，，，是的中點.
(1)證明：平面；
(2)求點到平面的距離.
3．（2023上·四川南充 ）如圖，在棱長為1的正方體中，為棱的中點，為棱的中點．
(1)求證：平面；
(2)三棱錐的體積大小．
4．（2024·全國· 專題練習）如圖，在三棱柱中，四邊形是菱形，四邊形是正方形，，，，點為的中點.
求證：平面；
考法三 面面平行的判定定理
【例3】（2024湖南）如圖，在四棱錐中，，，平面，，.設M，N分別為，的中點.

(1)求證：平面平面；
(2)求三棱錐的體積.
【一隅三反】
1．（2023·廣西）如圖，在直三棱柱中，，，D，E，F分別是棱，，的中點．證明：平面平面；
2．（2023·廣西）正方體中，，和的中點分別為，在，和上各有一點，依次為，且，都等于棱長的，求證：平面平面．
3（2023下·遼寧阜新·高一校考期末）已知在正方體中，M、E、F、N分別是、、、的中點.求證：
(1)E、F、D、B四點共面
(2)平面平面.
考法四 線面平行的性質定理
【例4-1】（2023下·河南洛陽·高一校考階段練習）如圖，四面體被一平面所截，截面是一個平行四邊形.求證：.
【例4-2】（2024江蘇）如圖，在三棱錐中，點D，E分別為棱PB，BC的中點.若點F在線段AC上，且滿足平面PEF，則的值為（ ）

A．1 B．2 C． D．
【一隅三反】
1．（2023下·遼寧錦州）已知四棱錐中，底面為平行四邊形，為的中點，點在棱上，且滿足平面，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·四川成都 ）如圖，在四面體中，是中點，是中點.在線段上存在一點，使得平面，則的值為（ ）

A．1 B．2 C．3 D．
3（2024上·全國·高三專題練習）如圖，四棱錐中底面是正方形，四條側棱均相等，點G，E，F，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點，平面GEFH.求證：.
4．（2023·黑龍江）如圖，在四棱錐中，平面，，，且，點為棱上一點（不與重合），平面交棱于點．
求證：.
考法五 面面平行的性質定理
【例5-1】（2024上·北京 ）已知正方體，平面與平面的交線為l，則（ ）
A． B． C． D．
【例5-2】（2023上·江蘇連云港 ）如圖，在幾何體中，四邊形是邊長為3的正方形，平面與平面的交線為.
(1)證明：；
(2)若平面平面，H為的中點，，，，求該幾何體的體積.
【例5-3】（2024·全國· 專題練習）如圖，在直四棱柱中，四邊形為梯形，∥，，，，點在線段上，且，為線段的中點．
求證：∥平面.
【一隅三反】
1．（2023上·廣西南寧 ）（多選）如圖，在三棱柱中，已知點，分別在，上，且經過的重心，點，分別是，的中點，且平面平面，下列結論正確的是（ ）
A． B．平面
C． D．平面平面
2．（2024·安徽）如圖，三棱臺中，，是的中點，點在線段上，，平面平面．證明：.
3．（2024·福建）如圖所示，在直三棱柱中，，，點、分別為棱、的中點，點是線段上的點（不包括兩個端點）．設平面與平面相交于直線，求證：.
4．（2024·江西）如圖，在三棱柱中，側面是矩形，側面是菱形，，、分別為棱、的中點，為線段的中點．證明：平面.

考法六 平行性質求線段長度
【例6-1】（2024吉林）如圖，在棱長為的正方體中，為線段的中點，為線段的中點，則直線到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
【例6-2】（2023上·河南信陽 ）在邊長為3的正方體中．平面與平面之間的距離為 .
【一隅三反】
1．（2023福建 ）如圖，在正方體中，，E為AD的中點，點F在CD上，若平面，則 .
2．（2024上·上海 ）如圖所示，在棱長為1的正方體中，設分別是線段、上的動點，若平面，則線段長的最小值為 ．
3．（2023上·湖南 ）如圖，在棱長為3的正方體中，在線段上，且是側面上一點，且平面，則線段的最大值為 .
強化練習
單選題
1．（2024河北 ）下列說法正確的是（ ）
A．如果一條直線上的某一點在平面α內，那么這條直線也在平面α內
B．如果兩條直線與同一個平面所成的角相等，那么這兩條直線互相平行
C．如果兩條直線與同一條直線垂直，那么這兩條直線互相垂直
D．如果兩條直線與同一條直線平行，那么這兩條直線互相平行
2．（2024·浙江 ）已知直線和平面，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．（2023上·天津和平 ）設是三條不同的直線，是兩個不同的平面，下列命題正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
4．（2023下·河南省直轄縣級單位·高一濟源市第四中學校考階段練習）設，為兩個平面，則的充要條件是（ ）
A．內有兩條直線與平行 B．內有無數條直線與平行
C．，平行于同一條直線 D．內有兩條相交直線與平行
5．（2024·寧夏 ）若是異面直線，且平面，那么與平面的位置關系是（ ）
A． B．與相交
C． D．以上三種情況都有可能
6．（2023河南）給出下列4個命題，其中正確的命題是（ ）
①垂直于同一直線的兩個平面平行；②垂直于同一平面的兩個平面平行；
③平行于同一直線的兩個平面平行；④平行于同一平面的兩個平面平行.
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
7．（2023上·江蘇南通 ）已知兩個不同的平面，兩條不同的直線，，，則“，”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
8．（2024·全國· 專題練習）如圖是一個四棱錐的平面展開圖，其中四邊形為正方形，四個三角形為正三角形，分別是的中點，在此四棱錐中，則（ ）
A．與是異面直線，且平面
B．與是相交直線，且平面
C．與是異面直線，且平面
D．與是相交直線，且平面
多選題
9．（2023下·浙江 ）下列命題是真命題的是（ ）
A．平行于同一直線的兩條直線平行 B．平行于同一平面的兩條直線平行
C．平行于同一直線的兩個平面平行 D．平行于同一平面的兩個平面平行
10．（2023廣東）已知三棱柱中，分別是的中點，則（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
11．（2024上海）已知直線l，m，平面，，則下列說法錯誤的是（ ）.
A．，，則
B．，，，，則
C．，，，則
D．，，，，，則
12．（2023·浙江金華 ）在正方體中，與交于點，則（ ）
A．平面 B．平面
C．平面平面 D．平面平面
填空題
13．（2024上·安徽 ）已知為所在平面外一點，是中點，是上一點．若平面，則的值為 ．
14．（2024·陜西咸陽 ）如圖，為平行四邊形所在平面外一點，分別為上一點，且，當平面時， .

15．（2024北京）如圖，是棱長為1正方體的棱上的一點，且平面，O為的中點，則與的位置關系為 ；線段的長度為 .

16（2023下·江蘇淮安 ）如圖，正三棱柱的底面邊長是4，側棱長是，M為的中點，N是側面上一點，且∥平面，則線段MN的最大值為 .

解答題
17．（2023上·內蒙古呼倫貝爾 ）如圖，在正方體中，E是的中點.

(1)求證：平面；
(2)設正方體的棱長為1，求三棱錐的體積．
18（2023上·河北承德 ）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，分別是的中點．

(1)證明：平面；
(2)若平面經過點，且與棱交于點．請作圖畫出在棱上的位置，并求出的值．
19．（2023上·四川內江 ）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，分別是的中點．

(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面.
20．（2023上·四川南充 ）如圖，已知點P是正方形ABCD所在平面外一點，M，N分別是AB，PC的中點．

(1)求證：平面PAD；
(2)若PB中點為Q，求證：平面平面PAD．
21（2023下·河北承德·高一校聯考階段練習）如圖，正方體的棱長為3，點在棱上，點在棱上，在棱上，且是棱上一點.

(1)求證：四點共面；
(2)若平面∥平面，求證：為的中點.
22（2024·全國·模擬預測）如圖，在直四棱柱中，四邊形為梯形，，，，，點在線段上，且，為線段的中點．
(1)求證：平面；
(2)求三棱錐的表面積．8.5 空間直線、平面的平行
思維導圖
考法解讀
考法一 證線線平行
【例1-1】（2024·湖南）已知三條不同的直線l，m，n，且，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】若，又，則，故充分性成立，
反之，若，又，則，故必要性成立.
故“”是“”的充要條件.
故選：C.
【例1-2】（2024河北）如圖所示，在長方體AC1中，E，F分別是B1O和C1O的中點，則長方體的各棱中與EF平行的有（ ）
A．3條 B．4條
C．5條 D．6條
【答案】B
【解析】由于E，F分別是B1O，C1O的中點，故EF∥B1C1，
因為與棱B1C1平行的棱還有3條：AD, BC，A1D1，所以共有4條.
故選：B.
【例1-3】（2023山西）已知E E1分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AD A1D1的中點.求證：∠BEC=∠B1E1C1.
【答案】證明見解析
【解析】證明：如圖，連接EE1，
∵E1 E分別為A1D1 AD的中點，∴A1E1AE，且A1E1=AE
∴四邊形A1E1EA為平行四邊形，∴A1AE1E.，且A1A=E1E.
又∵A1AB1B，且A1A=B1B
∴E1EB1B，且E1E=B1B
∴四邊形E1EBB1為平行四邊形，
∴E1B1EB.同理E1C1EC.
又∠C1E1B1與∠CEB方向相同，
∴∠C1E1B1=∠CEB.
【一隅三反】
1．（2023甘肅）如圖，在正方體中，直線平面，且直線與直線不平行，則下列一定不可能的是（ ）
A．l與AD平行 B．l與AD不平行 C．l與AC平行 D．l與BD平行
【答案】A
【解析】假設，則由，知，這與直線與直線不平行矛盾，
所以直線與直線不平行.故選：A.
2．（2023河南）下列結論中正確的是（ ）
①在空間中，若兩條直線不相交，則它們一定平行；②平行于同一條直線的兩條直線平行；③一條直線和兩條平行直線中的一條相交，那么它也和另一條相交；④空間中有四條直線a，b，c，d，如果ab，cd，且ad，那么bc.
A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③
【答案】B
【解析】①錯誤，兩條直線可以異面；②正確，平行的傳遞性；③錯誤，和另一條直線可以相交也可以異面；④正確，平行的傳遞性.故選：B.
3．（2024山東）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分別是AB，AC上的點，且AE∶EB=AF∶FC，則EF與B1C1的位置關系是 .
【答案】平行
【解析】在△ABC中，AE∶EB=AF∶FC，∴EF∥BC，三棱柱ABC-A1B1C1中，有BC∥B1C1，
∴EF∥B1C1.故答案為：平行
4．（2023·高一課時練習）如圖，空間四邊形ABCD，E、H分別是AB、AD的中點，F、G分別是BC、CD上的點，且，求證：直線EH與直線FG平行．
【答案】證明見詳解
【解析】∵E、H分別是AB、AD的中點，則，
又∵F、G分別是BC、CD上的點，且，則，∴，故直線EH與直線FG平行．
5．（2024北京）如圖，三棱柱中，，，分別為，，的中點.求證：.
【答案】證明見解析
【解析】證明：因為，分別是，的中點，所以，
所以四邊形為平行四邊形，所以.同理可證，
又與方向相同，所以.
考法二 線面平行的判定定理
【例2-1】（2023下·河南洛陽 ）如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，平面，E為的中點.
(1)證明：平面；
(2)設，，求點D到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】（1）連接，交于點O，連接，
∵四邊形是平行四邊形，∴是的中點，
又∵E為的中點，∴是三角形的中位線，∴，
又∵平面，平面，∴平面；
.
（2）∵平行四邊形中，，，，
∴，
則，故，
又∵平面，∴，，都是直角三角形，
∵，∴，，，
∴，∴，∴，
因為是的中點，所以，且，
所以，
，
設點到平面的距離為，
由得：，
解得.
【例2-2】（2024上·內蒙古 ）如圖，在四棱錐中，平面，，，，為棱上的一點，且．
(1)證明：平面；
(2)求四棱錐的體積．
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】（1）連接交于點，連接．
在底面中，因為，，
由，可得，
因為，即，
所以在中，，故，
因為平面，平面，
所以平面；
（2）取的中點，連接，由，，
得為等邊三角形，所以．
在等邊三角形中，，
所以．
因為．
【例2-3】（2024上·重慶 ）如圖，在直三棱柱中，，，，點M、N分別為和的中點．
(1)求異面直線與所成角的余弦值；
(2)證明：平面．
【答案】(1)(2)證明見解析
【解析】（1）直三棱柱中，，作，且，
連接，作，且，連接，，則得到長方體，
底面為邊長為2的正方形，對角線長．
連接相交于，連接,
由于分別是，的中點，所以
則為異面直線與所成角或其補角，
，，,
則，
,
中，；
故異面直線與所成角的余弦值
（2）在正方形中，為的中點，
也為的中點，又為的中點，則，
在長方體中，,所以四邊形為平行四邊形，故，，平面，平面，平面．
【一隅三反】
1．（2024·全國· 專題練習）如圖，四棱錐中，四邊形是矩形，，，為正三角形，且平面平面，、分別為、的中點．證明：平面；
【答案】證明見解析
【解析】分別為的中點，
．又，所以，
又平面，平面，
所以平面.
2．（2024上·北京平谷 ）如圖，在四棱錐中，側棱底面，四邊形為平行四邊形，，，，是的中點.
(1)證明：平面；
(2)求點到平面的距離.
【答案】(1)答案見詳解(2)
【解析】（1）如圖：連接，交于，連接，
因為四邊形是平行四邊形，所以為中點，所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）因為平面，平面，所以，
又，，平面，，所以平面，
平面，所以.
所以底面為矩形.
因為為中點，所以、到平面的距離相等，設為.
由，
而，，
中，，，，所以是直角三角形，且，
所以，即為所求.
3．（2023上·四川南充 ）如圖，在棱長為1的正方體中，為棱的中點，為棱的中點．
(1)求證：平面；
(2)三棱錐的體積大小．
【答案】(1)證明見解析；(2)1.
【解析】（1）在正方體中，連接，取的中點，連接，
有M為的中點，則，又E為BC的中點，
于是，則四邊形是平行四邊形，，
又F為CD的中點，則有，即四邊形是平行四邊形，，
因此，又平面，平面，
所以平面.
（2）由（1）知，平面，則點到平面的距離等于點到平面的距離，
而正方體的棱長為1，平面，則點到平面的距離為到平面的距離1，
所以三棱錐的體積.
4．（2024·全國· 專題練習）如圖，在三棱柱中，四邊形是菱形，四邊形是正方形，，，，點為的中點.
求證：平面；
【答案】證明見解析
【解析】連接交于，連接，因為四邊形是正方形，所以是的中點，
又因為為的中點，所以，因為平面，平面，所以平面；
考法三 面面平行的判定定理
【例3】（2024湖南）如圖，在四棱錐中，，，平面，，.設M，N分別為，的中點.

(1)求證：平面平面；
(2)求三棱錐的體積.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】（1）證明：∵M，N分別為，的中點，∴，
又平面，平面，∴平面.
在中，，，∴.
又，∴.
∵平面，平面，∴平面.
又，∴平面平面.
（2）∵，，，∴，
∴三棱錐的體積.
【一隅三反】
1．（2023·廣西）如圖，在直三棱柱中，，，D，E，F分別是棱，，的中點．證明：平面平面；
【答案】證明見解析
【解析】因D，E，F分別是棱，，的中點．
且圖形為直三棱柱，則，
得四邊形為平行四邊形，．
又平面，平面，則平面．
又平面ABD，，
故平面平面
2．（2023·廣西）正方體中，，和的中點分別為，在，和上各有一點，依次為，且，都等于棱長的，求證：平面平面．
【答案】證明見解析
【解析】如圖，因為正方體中且都等于棱長的，
即，，所以，，
又因為，和的中點分別為，
即，，所以，，
所以，，
因為平面，平面，所以平面，
因為平面，平面，所以平面，
又因為，平面，
所以平面平面.
3（2023下·遼寧阜新·高一校考期末）已知在正方體中，M、E、F、N分別是、、、的中點.求證：
(1)E、F、D、B四點共面
(2)平面平面.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【解析】（1）證明：分別是、的中點，所以，
又，所以四邊形是平行四邊形，
.，即確定一個平面，故E、F、D、B四點共面.
（2）（2）M、N分別是、的中點，
.又平面，平面，平面.
連接，如圖所示，則，.
四邊形是平行四邊形.
.
又平面，平面.
平面.
都在平面,且,所以平面平面.
考法四 線面平行的性質定理
【例4-1】（2023下·河南洛陽·高一校考階段練習）如圖，四面體被一平面所截，截面是一個平行四邊形.求證：.
【答案】證明見解析
【解析】∵四邊形為平行四邊形，∴，
又平面，平面，
∴平面.
而平面平面，平面，
∴，∴.
【例4-2】（2024江蘇）如圖，在三棱錐中，點D，E分別為棱PB，BC的中點.若點F在線段AC上，且滿足平面PEF，則的值為（ ）

A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】如圖，連接CD，交PE于點G，連接FG，

因為平面PEF，平面ADC，平面平面，所以，
因為點D，E分別為棱PB，BC的中點，所以G是的重心，所以.
故選：C.
【一隅三反】
1．（2023下·遼寧錦州）已知四棱錐中，底面為平行四邊形，為的中點，點在棱上，且滿足平面，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如下圖，四棱錐中，連接AC交BQ，BD分別于點N，O，連接MN，
因底面ABCD為平行四邊形，則O是AC中點，也是BD中點，
而點Q是AD中點，于是得點N是重心，從而得，
因平面，平面，平面平面，
因此得，于是得，所以.
故選：C.

2．（2023上·四川成都 ）如圖，在四面體中，是中點，是中點.在線段上存在一點，使得平面，則的值為（ ）

A．1 B．2 C．3 D．
【答案】C
【解析】如圖所示，

取MD中點O，連接OP，OQ，∵為MD中點，為中點，∴.
又∵平面，平面，∴平面.
又平面，，平面，平面，∴平面平面.
又平面，平面，平面平面，平面平面，
∴，∴在中，.
故選：C.
3（2024上·全國·高三專題練習）如圖，四棱錐中底面是正方形，四條側棱均相等，點G，E，F，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點，平面GEFH.求證：.
【答案】證明見解析
【解析】因為平面，平面，
且平面平面，所以，
同理可證，因此.
4．（2023·黑龍江）如圖，在四棱錐中，平面，，，且，點為棱上一點（不與重合），平面交棱于點．
求證：.
【答案】證明見解析
【解析】證明：∵平面平面，
∴平面，
又平面，平面平面，∴.
考法五 面面平行的性質定理
【例5-1】（2024上·北京 ）已知正方體，平面與平面的交線為l，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如圖，在正方體中，
平面平面，平面平面，
平面平面，.
對于A，，，故A正確；
對于B，因為與相交，所以與不平行，故B錯誤；
對于C，因為與不平行，所以與不平行，故C錯誤；
對于D，因為與不平行，所以與不平行，故D錯誤；
故選：A.

【例5-2】（2023上·江蘇連云港 ）如圖，在幾何體中，四邊形是邊長為3的正方形，平面與平面的交線為.
(1)證明：；
(2)若平面平面，H為的中點，，，，求該幾何體的體積.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】（1）證明：∵，而平面，平面，
∴平面，又∵平面，
平面平面，∴，∴.
（2）∵，，H為中點，∴.
而，∴，∵平面平面.
平面平面，平面，∴平面.
過E分別作交于點I，交于點J，連接.
∴.
【例5-3】（2024·全國· 專題練習）如圖，在直四棱柱中，四邊形為梯形，∥，，，，點在線段上，且，為線段的中點．
求證：∥平面.
【答案】證明見解析
【解析】由題意可得∥，
且平面，平面，可得∥平面；
因為∥且，可知四邊形為平行四邊形，則∥，
且平面，平面，可得∥平面；
且，且，平面，
可得平面∥平面，
由平面，可得∥平面．
【一隅三反】
1．（2023上·廣西南寧 ）（多選）如圖，在三棱柱中，已知點，分別在，上，且經過的重心，點，分別是，的中點，且平面平面，下列結論正確的是（ ）
A． B．平面
C． D．平面平面
【答案】ABC
【解析】由三棱柱性質可知平面平面，又平面平面，平面平面，
由面面平行的性質可知；
又點，分別是，的中點，可知，即可得，所以A正確；
由，平面，平面，所以平面，即B正確；
又經過的重心，所以，且，，
所以，可知C正確；
因為四點共面，且易知與相交，所以平面與平面相交，因此D錯誤；
故選：ABC
2．（2024·安徽）如圖，三棱臺中，，是的中點，點在線段上，，平面平面．證明：.
【答案】證明見解析
【解析】證明：取的中點，連接，，
因為是的中點，所以，，
因為三棱臺中，，，，所以，
所以，，即四邊形為平行四邊形，所以，
因為平面，平面，所以平面，
因為平面，平面平面，所以．
3．（2024·福建）如圖所示，在直三棱柱中，，，點、分別為棱、的中點，點是線段上的點（不包括兩個端點）．設平面與平面相交于直線，求證：.
【答案】證明見解析
【解析】因為點，分別為棱、的中點，則，
在三棱柱中，四邊形為平行四邊形，
所以，，則，
因為平面，平面，所以，平面，
因為平面，平面平面，所以，，
故．
4．（2024·江西）如圖，在三棱柱中，側面是矩形，側面是菱形，，、分別為棱、的中點，為線段的中點．證明：平面.

【答案】證明見解析
【解析】證明：如圖所示：

取的中點，連接、、，
因為且，故四邊形為平行四邊形，
所以且，
因為為的中點，所以且，
因為、分別為、的中點，
所以且，
所以且，故四邊形為平行四邊形，
所以，
因為平面，平面，
所以平面，
因為、分別為、的中點，
所以，
因為平面，平面，
所以平面，
因為，、平面，
所以平面平面，
因為平面，故平面．
考法六 平行性質求線段長度
【例6-1】（2024吉林）如圖，在棱長為的正方體中，為線段的中點，為線段的中點，則直線到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在棱長為的正方體中，取中點G，連接，如圖，
因為為的中點，則，即有四邊形為平行四邊形，
有，則四邊形為平行四邊形，有，
又為的中點，則，四邊形為平行四邊形，則有，
因此直線到直線的距離等于點F到直線的距離，因為，
則四邊形為平行四邊形，有，在中，，
邊上的高，由三角形面積得：，，
所以直線到直線的距離為.
故選：D
【例6-2】（2023上·河南信陽 ）在邊長為3的正方體中．平面與平面之間的距離為 .
【答案】
【解析】由于故四邊形為平行四邊形，
故平面,平面,所以平面，
同理可得平面，又平面，
因此平面，
故點到平面的距離即為平面與平面之間的距離，
設到平面的距離為，為邊長為的等邊三角形，
故,所以，
故，
故答案為：

【一隅三反】
1．（2023福建 ）如圖，在正方體中，，E為AD的中點，點F在CD上，若平面，則 .
【答案】
【解析】根據題意，因為平面，平面，
且平面平面
所以.
又是的中點，所以是的中點.
因為在中，，故.
故答案為：
2．（2024上·上海 ）如圖所示，在棱長為1的正方體中，設分別是線段、上的動點，若平面，則線段長的最小值為 ．
【答案】
【解析】過點分別作交于點，交于點，
連接，
要想平面，則四邊形為平行四邊形，故，
設，則，故，
由勾股定理得，
其中，
當且僅當時，等號成立，
故.
故答案為：
3．（2023上·湖南 ）如圖，在棱長為3的正方體中，在線段上，且是側面上一點，且平面，則線段的最大值為 .
【答案】
【解析】如圖，
在線段上取一點，使得，在線段上取一點，使得，連接，
因為，所以，
又，所以，
因為平面平面，所以平面，
同理，因為平面平面，所以平面，
又，所以平面平面，因此，在線段上.
因為，
所以線段的最大值為.
故答案為：
強化練習
單選題
1．（2024河北 ）下列說法正確的是（ ）
A．如果一條直線上的某一點在平面α內，那么這條直線也在平面α內
B．如果兩條直線與同一個平面所成的角相等，那么這兩條直線互相平行
C．如果兩條直線與同一條直線垂直，那么這兩條直線互相垂直
D．如果兩條直線與同一條直線平行，那么這兩條直線互相平行
【答案】D
【解析】如果一條直線上的某一點在平面α內，那么這條直線與平面α相交或在平面α內，A不正確；
如果兩條直線與同一個平面所成的角相等，那么這兩條直線的位置關系不確定，B不正確；
如果兩條直線與同一條直線垂直，那么這兩條直線可能相交、平行或異面，C不正確；
由平行公理可知，如果兩條直線與同一條直線平行，那么這兩條直線互相平行，D正確.
故選：D.
2．（2024·浙江 ）已知直線和平面，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】因為，則存在使得且，
若且，則，
又且，所以，充分性成立；
設，，則有，但不平行，即必要性不成立.
故選：A.
3．（2023上·天津和平 ）設是三條不同的直線，是兩個不同的平面，下列命題正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】A
【解析】對于A，因為是三條不同的直線，，
所以，故A正確；
對于B，若，則或，故B錯誤；
對于C，若，則或或或直線與平面相交，故C錯誤；
對于D，若，則與平行或相交，故D錯誤.
故選：A.
4．（2023下·河南省直轄縣級單位·高一濟源市第四中學校考階段練習）設，為兩個平面，則的充要條件是（ ）
A．內有兩條直線與平行 B．內有無數條直線與平行
C．，平行于同一條直線 D．內有兩條相交直線與平行
【答案】D
【解析】
如圖所示正方體中，
設平面為，平面為，
顯然平面中有無數條直線與平面平行，但，故A、B錯誤；
又，但，故C錯誤；
由面面平行的判定定理和性質定理可知D正確.
故選：D
5．（2024·寧夏 ）若是異面直線，且平面，那么與平面的位置關系是（ ）
A． B．與相交
C． D．以上三種情況都有可能
【答案】D
【解析】在長方體中，平面視為平面，直線為直線a，點E，F分別為棱的中點，
如圖， 顯然有平面，當直線b為直線時，直線是異面直線，此時；
因，平面，平面，則，
當直線b為直線時，直線是異面直線，此時；
當直線b為直線時，直線是異面直線，此時與相交，
所以直線b與平面可能平行，可能相交，也可能在平面內.
故選：D.
6．（2023河南）給出下列4個命題，其中正確的命題是（ ）
①垂直于同一直線的兩個平面平行；②垂直于同一平面的兩個平面平行；
③平行于同一直線的兩個平面平行；④平行于同一平面的兩個平面平行.
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
【答案】D
【解析】對于①，垂直于同一直線的兩個平面平行，故①正確；
對于②，垂直于同一平面的兩個平面平行或相交，故②錯誤；
對于③，平行于同一直線的兩個平面相交或平行，故③錯誤；
對于④，平行于同一平面的兩個平面平行，故④正確．
故選:D．
7．（2023上·江蘇南通 ）已知兩個不同的平面，兩條不同的直線，，，則“，”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】因為，，
當，時，若，則有可能相交，故充分性不成立；
當時，由于，，所以，，故必要性成立；
所以“，”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
8．（2024·全國· 專題練習）如圖是一個四棱錐的平面展開圖，其中四邊形為正方形，四個三角形為正三角形，分別是的中點，在此四棱錐中，則（ ）
A．與是異面直線，且平面
B．與是相交直線，且平面
C．與是異面直線，且平面
D．與是相交直線，且平面
【答案】B
【解析】根據題意，畫出幾何體，如圖所示，
因為分別是的中點，可得且，
又因為且，所以且，
所以四邊形為梯形，所以與為相交直線，
因為為的中點，可得且，
所以四邊形為平行四邊形，可得，
又因為平面，平面，所以平面.
故選：B.
多選題
9．（2023下·浙江 ）下列命題是真命題的是（ ）
A．平行于同一直線的兩條直線平行 B．平行于同一平面的兩條直線平行
C．平行于同一直線的兩個平面平行 D．平行于同一平面的兩個平面平行
【答案】AD
【解析】對于A：根據平行線的傳遞性可知平行于同一直線的兩條直線平行，故A為真命題；
對于B：平行于同一平面的兩條直線的位置關系有：平行、相交或異面，故B為假命題；
對于C：平行于同一直線的兩個平面的位置關系有：平行或相交，故C為假命題；
對于D：根據空間中面面的位置關系可知平行于同一平面的兩個平面平行，故D為真命題；
故選：AD.
10．（2023廣東）已知三棱柱中，分別是的中點，則（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
【答案】AB
【解析】選項A：如圖1，連接，交于點，連接，
則點是的中點，又是的中點，則，
平面,平面
所以平面，所以A正確.
選項B：如圖2，取的中點，連接，因為是的中點，
所以，且，又，
所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，
平面，平面，所以平面，故B正確.
選項C：如圖3，取的中點，連接，因為是的中點，
所以，且，又，
所以，所以四邊形是平行四邊形，
所以，顯然與平面相交，故C錯誤.
選項D：如圖4，連接，交于點，連接，
則平面平面，若平面，平面，則，
由于是的中點，所以點是的中點，
而顯然點不是的中點，矛盾，故D錯誤.
故選：AB
11．（2024上海）已知直線l，m，平面，，則下列說法錯誤的是（ ）.
A．，，則
B．，，，，則
C．，，，則
D．，，，，，則
【答案】ABC
【解析】選項A中，m可能在內，也可能與平行，故A錯誤；
選項B中，與也可能相交，故B錯誤；
選項C中，與也可能相交，故C錯誤；
選項D中，依據面面平行的判定定理可知，故D正確.
故選：ABC.
12．（2023·浙江金華 ）在正方體中，與交于點，則（ ）
A．平面 B．平面
C．平面平面 D．平面平面
【答案】ABC
【解析】對于A，因為且，
所以四邊形時平行四邊形，所以，
又平面，平面，
所以平面，故A正確；
對于B，連接交于點，連接，
由正方體的分別為的中點，
因為因為且，
所以四邊形時平行四邊形，所以，
則且，
所以四邊形時平行四邊形，所以，
又平面，平面，
所以平面，故B正確；
對于C，因為且，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面，故C正確；
對于D，平面即為平面，
而平面與平面相交，
所以平面與平面相交，故D錯誤.
故選：ABC.

填空題
13．（2024上·安徽 ）已知為所在平面外一點，是中點，是上一點．若平面，則的值為 ．
【答案】/
【解析】如圖，連結交于點，連結.
因為，E為AD的中點，則，
又因為PA∥平面EBF，平面EBF平面PAC ，PA平面PAC，則PA∥OF，
所以.
故答案為：.
14．（2024·陜西咸陽 ）如圖，為平行四邊形所在平面外一點，分別為上一點，且，當平面時， .

【答案】/
【解析】如圖，連結交于點，連結.

因為，所以，
因為平面，平面平面平面，
所以，所以.
故答案為：
15．（2024北京）如圖，是棱長為1正方體的棱上的一點，且平面，O為的中點，則與的位置關系為 ；線段的長度為 .

【答案】 /
【解析】連接，交與，連接，則為的中點，

因為平面，平面，平面平面，
所以，故為的中點，所以，
在中.
故答案為：；.
16（2023下·江蘇淮安 ）如圖，正三棱柱的底面邊長是4，側棱長是，M為的中點，N是側面上一點，且∥平面，則線段MN的最大值為 .

【答案】
【解析】如圖，

取的中點，取的中點，連接，，，所以，
又面，面，所以平面，
又為的中點，所以，
又面，面，所以平面，
又，面，面，所以平面平面，
又因為是側面上一點，且平面，
所以在線段上，
因為正三棱柱的底面邊長是4，側棱長是
所以平面，因為平面，所以
又M為的中點，所以
所以
則，又
所以線段的最大值為．
故答案為：．
解答題
17．（2023上·內蒙古呼倫貝爾 ）如圖，在正方體中，E是的中點.

(1)求證：平面；
(2)設正方體的棱長為1，求三棱錐的體積．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】（1）證明：因為在正方體中，，，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又因為平面，平面，
所以平面.
（2）因為正方體的棱長是1，E是的中點，所以，
三角形ABC的面積，
三棱錐的體積.
18（2023上·河北承德 ）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，分別是的中點．

(1)證明：平面；
(2)若平面經過點，且與棱交于點．請作圖畫出在棱上的位置，并求出的值．
【答案】(1)證明見解析
(2)圖見解析，
【解析】（1）連接，則為的中點，
因為為的中點，所以．
又平面平面，
所以平面．
（2）如圖，過作直線與平行，
則，故共面．
延長與交于點，連接，與的交點即為點．
因為底面是正方形，是的中點，
所以，且，
因為是的中點，所以，
則，所以．

19．（2023上·四川內江 ）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，分別是的中點．

(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面.
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【解析】（1）∵分別是的中點，
∴
又∵平面,平面,
∴平面.
（2）∵四邊形為正方形，且分別為，邊的中點，，
又∵面，面，
∴面，
由（1）知，平面，
且,平面,平面,
∴平面平面
20．（2023上·四川南充 ）如圖，已知點P是正方形ABCD所在平面外一點，M，N分別是AB，PC的中點．

(1)求證：平面PAD；
(2)若PB中點為Q，求證：平面平面PAD．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【解析】（1）取PD的中點E，連接AE，NE，

因為N是PC的中點，所以且，
又M是AB的中點，ABCD是正方形，所以且，
所以且，所以四邊形AMNE為平行四邊形，所以，
又平面PAD，平面PAD，
所以平面PAD．
（2）因為Q為PB的中點，M是AB的中點，
所以，又平面PAD，平面PAD，
所以平面PAD，
又平面PAD，，MQ，平面MNQ，
所以平面平面PAD．
21（2023下·河北承德·高一校聯考階段練習）如圖，正方體的棱長為3，點在棱上，點在棱上，在棱上，且是棱上一點.

(1)求證：四點共面；
(2)若平面∥平面，求證：為的中點.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【解析】（1）證明：在上取一點，使得，
連接，則，
因為，所以四邊形是平行四邊形，
所以，
同理，四邊形是平行四邊形，所以，且，
又，且，所以，
所以四邊形是平行四邊形，所以，
所以，
所以四點共面.

（2）因為平面平面，平面平面，平面平面，
所以.
所以.
在中，，
在中，，
所以，即為的中點.
22（2024·全國·模擬預測）如圖，在直四棱柱中，四邊形為梯形，，，，，點在線段上，且，為線段的中點．
(1)求證：平面；
(2)求三棱錐的表面積．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】（1）由已知可得，又平面，平面，
平面．
且，
四邊形為平行四邊形，
，
又平面，平面，
平面．
又，且，平面，
平面平面．
又平面，
平面．
（2）在中，，，，
由余弦定理可得，
，
．
∵為線段的中點．
∴，，
由勾股定理得，，
由余弦定理得，
故，
則，
又，，，
故三棱錐的表面積為．

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