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難題集(2)
制作人：陳文集
6.在1×3的矩形內(nèi)不重疊地放兩個(gè)與大矩形相似的小矩形，且每個(gè)小矩形的每邊分別與大矩形的邊平行，求兩個(gè)小矩形周長和（兩個(gè)小矩形想重疊的邊，在“周長和”中要分別計(jì)算）的最大值。
解：兩個(gè)小矩形的放置情況有如下幾種：
圖1
兩個(gè)小矩形都“豎放”，如圖1，在這種方法下，周長和最大的兩個(gè)矩形，邊長分別為1和，故此時(shí)周長和的最大值為。
兩個(gè)小矩形都“橫放”，如圖2及圖3所示，這時(shí)兩個(gè)小矩形的周長和的最大值是
圖2
圖3
（3）圖4
兩個(gè)小矩形一個(gè)“橫放”，一個(gè)“豎放”，如圖4，這時(shí)兩個(gè)小矩形的周長和為
因?yàn)?＜3a≤1，即0＜a≤,故當(dāng)a=時(shí)，此時(shí)兩個(gè)小矩形的周長和最大為。
綜上三種情形，知所求的最大值為。
7.如圖，在長和寬分別是8和7矩形內(nèi)，放置了如圖中5個(gè)大小相同的正方形，求正方形的邊長。
8.設(shè)x,y是大于零的實(shí)數(shù)，且，則4。
解：設(shè)，
因?yàn)?br/> 所以
所以
所以

所以

因?yàn)閄＞0,y＞0
所以4
9.如圖，圓O的弦AC,BD交于點(diǎn)Q,AP,CP是圓O的切線,O,Q,P三點(diǎn)共線。求證
10.定義下列操作規(guī)則：
規(guī)則A：相鄰兩數(shù)a,b，順序顛倒為b,a，稱為一次“變換”。（如一行數(shù)1，2，3，4要變?yōu)?，1，2，4，可以這樣操作：1，2，3，4變?yōu)?，3，2，4變?yōu)?，1，2，4）。
規(guī)則B：相鄰三數(shù)a,b,c，順序顛倒為c,b,a，稱為一次“變換”。
規(guī)則C：相鄰四數(shù)a,b,c,d，順序顛倒為d,c,b,a，稱為一次“變換”。
現(xiàn)按照順序排列著1，2，3，4~~~~~~~~~，20004，2005，目標(biāo)是：經(jīng)過若干次“變換”，將這一行數(shù)變?yōu)?005，1，2，3，4~~~~~~~~2003，2004.
問：（1）只用規(guī)則A操作，目標(biāo)能否實(shí)現(xiàn)？
（2）只用規(guī)則B操作，目標(biāo)能否實(shí)現(xiàn)？
（3）只用規(guī)則C操作，目標(biāo)能否實(shí)現(xiàn)？

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