資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
8.3 完全平方公式與平方差公式
第二課時：平方差公式
【學習目標】
1、推導公式（a+b）（a-b）=a2-b2 ，并能用該公式進行計算。
2、經歷探索平方差公式的過程，培養觀察、交流、歸納、猜想、驗證等能力，領悟數形結合、從一般到特殊數學思想方法。
3、培養創新意識和合作精神，樹立實事求是的科學態度。
【學習重點】平方差公式的應用
【學習難點】對公式的理解及靈活應用
學習過程：
一、自主學習
1、計算
（1）（x2m）2 = （2）（x+2）（x-3）=
（3）（2x+3）（2x-3）= （4）（a+b）（a-b）=
【答案】（1）x4m (2) x2-x-6
(3)4x2-9 (4)a2-b2
2、認真研讀導學案，把你的疑惑，思考記錄下來，并解決相關習題.
(
b
) (
a
) (
（甲）
a
b
)
(
（乙）
)
如圖（甲）陰影部分為從邊長為a的正方形中挖去邊長為b的小正方形所形成的圖形。
（1）如圖甲，陰影部分的面積是 。（寫成兩數平方差的形式）。
（2）如圖乙，若將陰影部分裁剪下來，重新拼成一個長方形，它的長是 ，寬是 ，面積是 。（寫成多項式乘法的形式）
（3）比較甲、乙兩陰影部分的面積，得到（ ）（ ）= 。
這個公式稱為平方差公式，用語言敘述 。
請舉一個用平方差公式計算的例子： 。
探討：在運用公式的過程中，怎樣確定a、b ？
【答案】（1）a2-b2
a+b,a-b,(a+b)(a-b)
(3)a2-b2 =(a+b)(a-b)
兩個數的平方差，等于這兩個數的和與差的乘積。
92-52=(9+5)(9-5)=14·4=56
典型例題
例2 利用乘法公式計算: .
(1) 1 999 x2001;
(2) (x +3)(x -3)(x2 +9).
解(1) 1999 x2 001
= (2000 - 1) x(2000 + 1)
= 20002 - 12
= 3999999.
(2)(x +3)(x -3)(x2 +9)
= (x2 -9)(x2 +9)
= x4-81.
例3 計算:
(1) (a +b +c)2;
(2) (a -b)3.
解(1) (a +b +c)2
= [(a +b) +c]2
= (a +b)2 +2(a +b)c +c2
= a2+2ab +b2 +2ac +2bc +c2
= a2 +b2+c2 +2ab +2ac + 2bc.
(2)(a - b)3
= (a-b)(a -b)2
= (a -b)(a2 -2ab +b2)
= a3 -2a2b +ab2 -a2b +2ab2 - b3
= a3 -3a2b +3ab2 -b3.
二、交流展示
1、“自主學習”中解決不了的問題。
2、有爭議的問題或者提出的新問題。
三、反饋檢測
1.下列能用平方差公式計算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了平方差公式，根據平方差公式的結構特征逐一判斷各個選項即可．
【詳解】解：A、，不能用平方差公式計算，故本選項不符合題意；
B、，不能用平方差公式計算，故本選項不符合題意；
C、，能用平方差公式計算，故本選項符合題意；
D、，不能用平方差公式計算，故本選項不符合題意；
故選C．
2．下列各乘法中，不能用平方差公式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了平方差公式，解題關鍵是熟練運用平方差公式，本題屬于基礎型題型．
首先根據平方差公式的一般形式為：，對每個選項逐個判斷即可．
【詳解】A、，不可以用平方差公式，故本選項符合題意；
B、，可以用平方差公式，故本選項不符合題意；
C、，可以用平方差公式，故本選項不符合題意；
D、，可以用平方差公式，故本選項不符合題意．
故選：A.
3.當時，代數式的值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】略
4.如圖，從邊長為的正方形中去掉一個邊長為的小正方形，然后用剩余的部分剪開后拼成一個長方形，上述操作能驗證的等式是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查平方差公式的幾何背景，用代數式分別表示出左圖、右圖的涂色部分的面積即可，用代數式分別表示出左圖、右圖的涂色部分的面積是解此題的關鍵．
【詳解】解：左圖，涂色部分的面積為，拼成右圖的長為，寬為，因此面積為，
因此有：，
故選：D．
5.已知，，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解答本題的關鍵，平方差公式：．根據平方差公式，將，的值代入即可得到答案．
【詳解】
解得
故答案為：．
6．如圖，在邊長為a的正方形中減去一個邊長為b的小正方形，把剩下的部分拼成一個梯形，分別計算這兩個圖形陰影部分面積，驗證了公式 ．
【答案】
【分析】本題主要考查的是平方差公式的幾何表示，運用不同方法表示陰影部分面積是解題的關鍵，先根據左圖和右圖分別表示出陰影部分的面積，然后根據面積相等即可解答．
【詳解】解：由作圖可得：陰影部分的面積為；
由右圖可得：陰影部分的面積為：；
所以．
故答案為
7.計算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本題考查了平方差公式的運算，
（1）根據平方差公式直接計算即可；
（2）根據平方差公式直接計算即可；
（3）根據平方差公式直接計算即可；
（4）根據平方差公式直接計算即可．
【詳解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
8．(1)如圖1，已知正方形的邊長為a，正方形 的邊長為b，長方形和為陰影部分，則陰影部分的面積是 (寫成平方差的形式)；
(2) 將圖1中的長方形和剪下來，拼成圖2所示的長方形，則長方形的面積是 (寫成多項式相乘的形式)；
(3) 比較圖1 與圖2的陰影部分的面積，可得乘法公式 ；
(4) 利用所得公式計算：
【答案】（1），（2），（3），（4）4
【分析】此題考查了平方差公式的幾何背景，
（1）根據圖1確定出陰影部分面積即可；
（2）根據圖2確定出長方形面積即可；
（3）根據兩圖形面積相等得到乘法公式；
（4）利用得出的平方差公式計算即可得到結果．
【詳解】（1）∵正方形的面積是，正方形的面積是，
∴陰影部分的面積是．
故答案為：；
（2）由圖2得：，，
∴長方形的面積是，
故答案為：；
（3）由（1）、（2）可得到，
故答案為：；
（4）原式
，
，
．
四、學后反思
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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8.3 完全平方公式與平方差公式
第二課時：平方差公式
【學習目標】
1、推導公式（a+b）（a-b）=a2-b2 ，并能用該公式進行計算。
2、經歷探索平方差公式的過程，培養觀察、交流、歸納、猜想、驗證等能力，領悟數形結合、從一般到特殊數學思想方法。
3、培養創新意識和合作精神，樹立實事求是的科學態度。
【學習重點】平方差公式的應用
【學習難點】對公式的理解及靈活應用
學習過程：
一、自主學習
1、計算
（1）（x2m）2 = （2）（x+2）（x-3）=
（3）（2x+3）（2x-3）= （4）（a+b）（a-b）=
2、認真研讀導學案，把你的疑惑，思考記錄下來，并解決相關習題.
(
b
) (
a
) (
（甲）
a
b
)
(
（乙）
)
如圖（甲）陰影部分為從邊長為a的正方形中挖去邊長為b的小正方形所形成的圖形。
（1）如圖甲，陰影部分的面積是 。（寫成兩數平方差的形式）。
（2）如圖乙，若將陰影部分裁剪下來，重新拼成一個長方形，它的長是 ，寬是 ，面積是 。（寫成多項式乘法的形式）
（3）比較甲、乙兩陰影部分的面積，得到（ ）（ ）= 。
這個公式稱為平方差公式，用語言敘述 。
請舉一個用平方差公式計算的例子： 。
探討：在運用公式的過程中，怎樣確定a、b ？
典型例題
例2 利用乘法公式計算: .
(1) 1 999 x2001;
(2) (x +3)(x -3)(x2 +9).
例3 計算:
(1) (a +b +c)2;
(2) (a -b)3.
二、交流展示
1、“自主學習”中解決不了的問題。
2、有爭議的問題或者提出的新問題。
三、反饋檢測
1.下列能用平方差公式計算的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各乘法中，不能用平方差公式的是（ ）
A． B．
C． D．
3.當時，代數式的值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
4.如圖，從邊長為的正方形中去掉一個邊長為的小正方形，然后用剩余的部分剪開后拼成一個長方形，上述操作能驗證的等式是（　　）
A． B．
C． D．
5.已知，，則的值為 ．
6．如圖，在邊長為a的正方形中減去一個邊長為b的小正方形，把剩下的部分拼成一個梯形，分別計算這兩個圖形陰影部分面積，驗證了公式 ．
7.計算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
8．(1)如圖1，已知正方形的邊長為a，正方形 的邊長為b，長方形和為陰影部分，則陰影部分的面積是 (寫成平方差的形式)；
(2) 將圖1中的長方形和剪下來，拼成圖2所示的長方形，則長方形的面積是 (寫成多項式相乘的形式)；
(3) 比較圖1 與圖2的陰影部分的面積，可得乘法公式 ；
(4) 利用所得公式計算：
四、學后反思
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