資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
第8章 整式乘法與因式分解 學(xué)案
【學(xué)習(xí)目標】
1.掌握冪的四種運算性質(zhì)及零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪.
2.熟練運用整式乘法法則和乘法公式進行整式的運算.
3.靈活運用提公因式法和公式法對多項式進行因式分解.
【學(xué)法指導(dǎo)】
1.自主學(xué)習(xí)，建立本章知識結(jié)構(gòu)體系.
2.合作探究，提高應(yīng)用知識解決問題的能力.
【自主學(xué)習(xí)】
1.請整理出本章知識結(jié)構(gòu)圖.
2.本章的主要內(nèi)容有哪些？學(xué)習(xí)的關(guān)鍵在哪些地方？
【答案】本章主要內(nèi)容有冪的運算，單項式與單項式相乘（除），單項式與多項式相乘（除），多項式與多項式相乘（除），完全平方公式與平方差公式，因式分解等。
要掌握整體代入思想，數(shù)形結(jié)合思想和方程思想。
【合作學(xué)習(xí)，課內(nèi)探究】
對點練習(xí)1
下列式子運算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了合并同類項、同底數(shù)冪的乘法，掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)合并同類項法則判斷選項A、D；根據(jù)同底數(shù)冪相乘法則判斷選項B、C即可．
【詳解】解：A．，原計算錯誤，不符合題意；
B．，原計算錯誤，不符合題意；
C．，原計算正確，符合題意；
D．與不是同類項，不可以合并，原計算錯誤，不符合題意；
故選：C．
對點練習(xí)2
先化簡，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本題考查了整式的混合運算化簡求值，利用平方差公式運算，先按運算順序把整式化簡，再把代入求值即可．
【詳解】解：，
當時，原式．
對點練習(xí)3
因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了分解因式，熟練掌握提公因式法和平方差公式是解此題的關(guān)鍵．
（1）直接提取公因式，即可得出答案；
（2）將式子變形為，再利用平方差公式和提取公因式法進行分解即可．
【詳解】（1）解：；
（2）解：
．
易錯題辨析
下列各多項式的因式分解中，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了因式分解，把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，叫做因式分解，因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分組分解法，因式分解必須分解到每個因式都不能再分解為止．據(jù)此逐項判斷即可．
【詳解】解：A，，原式錯誤；
B，，原式正確；
C，，原式錯誤；
D，，原式錯誤；
故選B．
典例講解
將完全平方公式進行適當?shù)淖冃危梢越鉀Q很多的數(shù)學(xué)問題，例如：若，，求的值．
解：因為，所以，即．
又因為，所以．
根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：
(1)若，，則 ；
(2)若，，求的值；
(3)兩個正方形如圖擺放，面積和為34，，則圖中陰影部分面積和為 ．
【答案】(1)12
(2)36
(3)5
【分析】本題考查完全平方公式的幾何背景．
（1）根據(jù)，代入計算即可；
（2）代入已知數(shù)據(jù)計算即可；
（3）設(shè)正方形的邊長為m、的邊長為n，根據(jù)完全平方公式推出聯(lián)立求出m、n的值，代入面積公式計算即可．
【詳解】（1）解：，
，即，
又，
，
，
故答案為：12；
（2）解：∵，，
；
（3）解：設(shè)正方形的邊長為m、的邊長為n，
，，
，即，
，
，
，
，
解得，
．
故答案為：5．
綜合小測試
1.下列計算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查整式乘法運算，涉及單項式乘以單項式、同底數(shù)冪的乘法運算、完全平方和公式、單項式乘以多項式、平方差公式等知識，根據(jù)相關(guān)運算法則及公式逐項驗證是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】解：A、，計算錯誤，不符合題意；
B、，計算錯誤，不符合題意；
C、，計算錯誤，不符合題意；
D、，計算正確，符合題意；
故選：D．
2.計算的結(jié)果等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了冪的乘方逆用與積的乘方的逆用．先利用乘方的意義化簡符號，再逆用同底數(shù)冪乘法將轉(zhuǎn)化成，再逆用積的乘方公式即可．
【詳解】解：
，
故選：D．
3.根據(jù)流程圖中的程序，若輸入x的值為1，則輸出y的值為（ ）
A． B．8 C．7 D．
【答案】C
【分析】本題考查了流程圖的計算，理解運算流程是解題關(guān)鍵．把代入程序中計算，判斷結(jié)果與0的大小，由此可確定y的值．
【詳解】解：當時，
，
當時，
，
即．
故選：C．
4.如圖，在邊長為a的正方形中挖掉一個邊長為b的小正方形，把余下的部分剪拼成如圖所示的長方形．通過計算剪拼前后陰影部分的面積，驗證了一個等式，這則個等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】此題考查了平方差公式幾何背景問題的解決能力，關(guān)鍵是能準確表示兩個圖形中陰影部分的面積．
根據(jù)題意分別表示出兩個圖形中陰影部分的面積即可．
【詳解】解：∵圖1中陰影部分的面積表示為：，
圖2中陰影部分的面積表示為：，
∴，
故選：A．
若是一個完全平方式，那么m的值為（　　）
A．7 B．14 C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了完全平方式．先根據(jù)兩平方項確定出這兩個數(shù)，再根據(jù)完全平方公式的乘積二倍項即可確定的值．
【詳解】解：∵，
∴，
解得．
故選：D．
6.下列因式分解結(jié)果正確的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵，將各式因式分解后進行判斷即可．
【詳解】，則A不符合題意；
，則B不符合題意；
無法因式分解，則C不符合題意；
，則D符合題意；
故選：D．
7.已知：，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了冪的乘方的逆運算，同底數(shù)冪相乘的逆運算．熟練掌握冪的乘方的逆運算，同底數(shù)冪相乘的逆運算是解題的關(guān)鍵．
由題意知，根據(jù)，計算求解即可．
【詳解】解：由題意知，，
故答案為：．
8.已知，，．則的值為 ．
【答案】56
【分析】本題主要考查了整式與平方差公式，熟練平方差公式是解決本題的關(guān)鍵．將與相加，即可得到，再乘以，利用平方差公式即可解決本題．
【詳解】解：，
．
故答案為：56．
9.分解因式： ．
【答案】
【分析】本題主要考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是掌握因式分解的方法．利用提公因式法即可求解．
【詳解】解：
故答案為：．
10.計算
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本題考查實數(shù)的運算，同底數(shù)的冪的運算和積的乘方，掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．
（1）先去絕對值，然后合并解題即可；
（2）利用積的乘方的逆運算進行解題即可；
（3）利用平方根的定義解方程即可；
（4）利用同底數(shù)的冪的運算進行解題即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
，；
（4）解：
．
11.計算：
【答案】
【分析】本題考查整式運算合并同類項，平方差運算．根據(jù)題意先去括號，再合并同類項即可得到本題答案．
【詳解】解：，
，
，
，
12.解答：
（1）因式分解：；
（2）化簡：．
【答案】（1）；（2）
【分析】本題考查整式的混合運算，涉及因式分解，解題的關(guān)鍵是掌握整式相關(guān)運算的法則．
（1）提取公因式進行分解因式即可；
（2）先根據(jù)完全平方公式和平方差公式以及多項式乘以單項式的計算法則去括號，然合并同類項即可．
【詳解】解：（1）原式；
（2）原式
．
能力拓展
【閱讀材料】
因式分解：．
解：將“”看成整體，令，則原式．再將“”還原，原式．上述解題用到的是“整體思想”，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法．
【問題解決】
(1)因式分解：；
(2)因式分解：；
(3)證明：若為正整數(shù)，則代數(shù)式的值一定是某個整數(shù)的平方．
【答案】(1)
(2)
(3)證明見解析
【分析】本題考查換元法、提公因式法、公式法分解因式，理解“換元法”的意義，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的關(guān)鍵．
（1）用換元法設(shè)，將原式化為，再利用完全平方公式得出，再將A還原即可；
（2）設(shè)，則原式，再將B還原，最后再利用完全平方公式即可；
（3）先計算，再利用完全平方公式即可．
【詳解】（1）解：令，
，
將“A”還原，可以得到：原式；
（2）解：令，
則
，
將“B”還原，可以得到：
原式；
（3）解：
，
∵n為正整數(shù)，
∴正整數(shù)．
∴，
∴代數(shù)式的值一定是某個整數(shù)的平方．
學(xué)習(xí)反思
通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？你還什么疑惑？
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第8章 整式乘法與因式分解 學(xué)案
【學(xué)習(xí)目標】
1.掌握冪的四種運算性質(zhì)及零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪.
2.熟練運用整式乘法法則和乘法公式進行整式的運算.
3.靈活運用提公因式法和公式法對多項式進行因式分解.
【學(xué)法指導(dǎo)】
1.自主學(xué)習(xí)，建立本章知識結(jié)構(gòu)體系.
2.合作探究，提高應(yīng)用知識解決問題的能力.
【自主學(xué)習(xí)】
1.請整理出本章知識結(jié)構(gòu)圖.
2.本章的主要內(nèi)容有哪些？學(xué)習(xí)的關(guān)鍵在哪些地方？
【合作學(xué)習(xí)，課內(nèi)探究】
對點練習(xí)1
下列式子運算正確的是（ ）
A． B． C． D．
對點練習(xí)2
先化簡，再求值：，其中．
對點練習(xí)3
因式分解：
(1)；
(2)．
易錯題辨析
下列各多項式的因式分解中，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
典例講解
將完全平方公式進行適當?shù)淖冃危梢越鉀Q很多的數(shù)學(xué)問題，例如：若，，求的值．
解：因為，所以，即．
又因為，所以．
根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：
(1)若，，則 ；
(2)若，，求的值；
(3)兩個正方形如圖擺放，面積和為34，，則圖中陰影部分面積和為 ．
綜合小測試
1.下列計算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
2.計算的結(jié)果等于（ ）
A．1 B． C． D．
3.根據(jù)流程圖中的程序，若輸入x的值為1，則輸出y的值為（ ）
A． B．8 C．7 D．
4.如圖，在邊長為a的正方形中挖掉一個邊長為b的小正方形，把余下的部分剪拼成如圖所示的長方形．通過計算剪拼前后陰影部分的面積，驗證了一個等式，這則個等式是（ ）
A． B．
C． D．
若是一個完全平方式，那么m的值為（　　）
A．7 B．14 C． D．
6.下列因式分解結(jié)果正確的是(　　)
A． B．
C． D．
7.已知：，則 ．
8.已知，，．則的值為 ．
9.分解因式： ．
10.計算
(1)
(2)
(3)
(4)
11.計算：
12.解答：
（1）因式分解：；
（2）化簡：．
能力拓展
【閱讀材料】
因式分解：．
解：將“”看成整體，令，則原式．再將“”還原，原式．上述解題用到的是“整體思想”，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法．
【問題解決】
(1)因式分解：；
(2)因式分解：；
(3)證明：若為正整數(shù)，則代數(shù)式的值一定是某個整數(shù)的平方．
學(xué)習(xí)反思
通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？你還什么疑惑？
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