資源簡介

條件概率與全概率公式
基礎知識
1 條件概率
① 定義
一般地，設為兩個事件,且，稱為在事件發生的條件下，事件發生的條件概率.
解釋
(1) 求“事件已發生，事件發生的概率”，可理解：如圖，事件已發生，則為樣本空間，此時事件發生的概率是包含的樣本點數與包含的樣本點數的比值，即
(通俗些理解，條件概率只是縮小了樣本空間，就是以為樣本空間計算的概率)
Eg: 某地7月份吹南風(事件)的概率是，下雨(事件)的概率是，即吹南風又下雨的概率是，那在吹南風的條件下下雨的概率是, 在下雨的條件下吹南風的的概率是.
(2) 當時，當且僅當事件與相互獨立時，有.
② 概率的乘法公式
對任意兩個事件與，若，則
設，則
(1)；
(2) 如果和互斥，那么 ；
(3) 設和互為對立事件，則.
2 全概率公式
一般地，設是一組兩兩互斥的事件，，且，，則對任意的事件，有
我們稱它為全概率公式.
解釋
(1)如下圖，外圈是樣本空間，分成互斥事件；內圈是樣本空間，對應分成互斥事件；
則.
(2) 它表示求樣本空間內任意一事件的概率的方法.
3 貝葉斯公式
設是一組兩兩互斥的事件，且，
解釋
貝葉斯公式告訴我們兩個條件概率之間的關系.
基本方法
【題型1】對條件概率概念和性質的理解
【典題1】 設為兩個事件，已知，則
A. 0.24 B. 0.375 C. 0.4 D. 0.5
【典題2】 事件，且兩兩獨立，若，則為 .
【鞏固練習】
1.(★)設集合，且，則下列說法正確的是
A. B. C. D.
2.(★★) (多選)已知為隨機事件，則下列表述中不正確的是
A.
B.
C.
D.
3.(★★★)已知事件滿足，則不能說明事件相互獨立的是( )
A. B.
C. D.
4.(★★★)(多選)設為同一隨機試驗的兩個隨機事件，若，則( )
A. B. C. D.
【題型2】 求條件概率
【典題1】 在某電路上有兩個獨立工作的元件，每次通電后，需要更換 元件的概率為0.2 ，需要更換 元件的概率為0.1 ，則在某次通電后有且只有一個需要更換的條件下，需要更換的概率是( )
A. B. C. D.
【典題2】 (多選)2023 年旅游市場強勁復蘇，7，8 月的暑期是旅游高峰期. 甲、乙、丙、丁四名旅游愛好者計劃 2024 年暑期在北京、上海、廣州三個城市中隨機選擇一個去旅游，每個城市至少有一人選擇. 事件為“甲選擇北京”，事件為“乙選擇上海”，則下列結論正確的是( )
A. 事件互斥 B.
C. D.
【鞏固練習】
1.(★) 拋鄭一枚質地均勻的骰子兩次，記 兩次的點數均為偶數 兩次的點數之和為8，則
A. B. C. D.
2.(★)某工廠生產了一批產品，需等待檢測后才能銷售. 檢測人員從這批產品中隨機抽取了 5 件產品來檢測，現已知這 5 件產品中有3 件正品，2 件次品，從中不放回地取出產品，每次 1 件，共取兩次. 已知第一次取得次品，則第二次取得正品的概率是( )
A. B. C. D.
3.(★★) 甲、乙兩名游客慕名來到四川旅游，準備分別從九寨溝、峨眉山、海螺溝、都江堰、青城山這 5 個景點中隨機選一個. 事件 : 甲和乙選擇的景點不同，事件 : 甲和乙恰好有一人選擇九寨溝. 則條件概率
A. B. C. D.
4.(★★★)2023 杭州亞運會于9 月 23 日至 10 月 8 日舉辦，組委會將甲、乙、丙、丁 4 名志愿者隨機派往黃龍體育中心、杭州奧體中心、浙江大學紫金港校區三座體育館工作，每座體育館至少派 1 名志愿者，表示事件“志愿者甲派往黃龍體育中心”；表示事件“志愿者乙派往黃龍體育中心”；C表示事件“志愿者乙派往杭州奧體中心”，則( )
A. 事件相互獨立 B. 事件為互斥事件
C. D.
5.(★★★)（多選）一個密閉的容器中裝有2 個紅球和 4 個白球，所有小球除顏色外均相同. 現從容器中不放回地抽取兩個小球. 記事件 : “至少有1 個紅球”，事件 : “至少有1 個白球”，事件，則( )
A. 事件不互斥 B. 事件相互獨立
C. D.
【題型3】 全概率公式的運用
【典題1】 設為兩個事件，已知，則 )
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6
【典題2】在一個抽獎游戲中，主持人從編號為的四個外觀相同的空箱子中隨機選擇一個，放入一件獎品，再將四個箱子關閉. 主持人知道獎品在哪個箱子里. 游戲規則是主持人請抽獎人在這四個箱子中選擇一個，若獎品在此箱子里，則獎品由獲獎人獲得. 現有抽獎人甲選擇了 2 號箱，在打開 2 號箱之前，主持人先打開了另外三個箱子中的一個空箱子. 按游戲規則，主持人將隨機打開甲的選擇之外的一個空箱子.
(1)計算主持人打開 4 號箱的概率；
(2)當主持人打開 4 號箱后，現在給抽獎人甲一次重新選擇的機會，請問他是堅持選 2 號箱，還是改選 1 號或 3 號箱？(以獲得獎品的概率最大為決策依據)
【鞏固練習】
1.(★) 已知為兩個隨機事件，，則
A. 0.1 B. C. 0.33 D.
2.(★) 某人周一至周五每天 至 出發去上班，其中在 至 出發的概率為0.4 ，在該時間段出發上班遲到的概率為0.1 ；在 至 出發的概率為0.6 ，在該時間段出發上班遲到的概率為0.2 ，則小王某天在 至 6:50 出發上班遲到的概率為( )
A. 0.3 B. 0.17 C. 0.16 D. 0.13
3.(★★)已知某公路上經過的貨車與客車的數量之比為，貨車和客車中途停車修理的概率分別為0.03 和 0.01 ，則一輛汽車中途停車修理的概率為( )
A. 1 B. C. D.
4.(★★★)某卡車為鄉村小學運送書籍，共裝運 10 箱，其中 5 箱英語書、 2 箱數學書、 3 箱語文書. 到目的地時發現丟失一箱，但不知丟失了哪一箱. 現從剩下的 9 箱中任意打開 2 箱，結果都是英語書，則丟失的一箱也是英語書的概率為( )
A. B. C. D.
5.(★★★)甲罐中有5 個紅球，2 個白球和 3 個黑球，乙罐中有4 個紅球，3 個白球和 3 個黑球(球除顏色外，大小質地均相同). 先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以 和 表示由甲罐中取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以表示由乙罐中取出的球是紅球的事件. 下列結論正確的個數是( )
(1)事件相互獨立；(2) 是兩兩互斥的事件；
(3) ；(4) ；(5)
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
6.(★★★)甲、乙、丙為完全相同的三個不透明盒子，盒內均裝有除顏色外完全相同的球。甲盒裝有4 個白球，8 個黑球，乙盒裝有1 個白球，5 個黑球，丙盒裝有3 個白球，3 個黑球.
(1)隨機抽取一個盒子，再從該盒子中隨機摸出 1 個球，求摸出的球是黑球的概率；
(2)已知(1)中摸出的球是黑球，求此球屬于乙箱子的概率.
7.(★★★★)某城市有甲、乙兩個網約車公司，相關部門為了更好地監管和服務，通過問卷調查的方式，統計當地網約車用戶(后面簡稱用戶，并假設每位用戶只選擇其中一家公司的網約車出行)對甲，乙兩個公司的乘車費用，等待時間，乘車舒適度等因素的評價，得到如下統計結果：
①用戶選擇甲公司的頻率為0.32 ，選擇乙公司的頻率為0.68 ；
②選擇甲公司的用戶對等待時間滿意的頻率為0.62 ，選擇乙公司的用戶對等待時間滿意的頻率為0.78 ；
③選擇甲公司的用戶對乘車舒適度滿意的頻率為0.68 ，選擇乙公司的用戶對乘車舒適度滿意的頻率為0.61 ；
④選擇甲公司的用戶對乘車費用滿意的頻率為0.21 ，選擇乙公司的用戶對乘車費用滿意的頻率為0.32 .
將上述隨機事件發生的頻率視為其發生的概率.
(1)分別求出網約車用戶對等待時間滿意、乘車舒適度滿意、乘車費用滿意的概率，并比較用戶對哪個因素滿意的概率最大，對哪個因素滿意的概率最小.
(2)若已知某位用戶對乘車舒適度滿意，則該用戶更可能選擇哪個公司的網約車出行 并說明理由。
【題型4】 貝葉斯公式的運用
【典題1】 已知12 件產品中有4 件次品，在先取 1 件的情況下，任取 2 件產品皆為正品，則先取 1 件為次品的概率為 .
【典題2】設甲、乙、丙三個地區爆發了某種流行病，三個地區的總人數比為，而三個地區感染此病的比例分別為. 現從這三個地區任意抽取一個人. 求:
(1)此人感染此病的概率；
(2)若此人感染此病，此人選自甲地區的概率為多少.
【鞏固練習】
1.(★★) 甲口袋中有3 個紅球，2 個白球，乙口袋中有4 個紅球，3 個白球，先從甲口袋中隨機取出 1 球放入乙口袋，分別以表示從甲口袋取出的球是紅球、白球的事件；再從乙口袋中隨機取出 1 球，以表示從乙口袋取出的球是紅球的事件，則
A. B. C. D.
2.(★★) 設5 支槍中有2 支未經過試射校正，3 支已經過試射校正. 一射手用校正過的槍射擊中靶的概率是0.9 ，用未經過校正的槍射擊中靶概率是0.4 . 今任取 1 支槍射靶，結果未中靶，則此槍為未經校正過的概率為( )
A. 0.5 B. 0.6 C. 0.8 D. 0.4
3.(★★★)現有兩臺車床加工同一型號的零件，第 1 臺車床加工的零件次品率為，第 2 臺車床加工的零件次品率為，加工出來的零件混放在一起. 已知第 1 臺車床加工的零件數與第 2 臺車床加工的零件數之比為，從這些零件中任取一個.
(1)求這個零件是次品的概率；
(2)已知這個零件是次品，求它是第一臺車床加工的概率.
4.(★★★)現有甲、乙兩個袋子，其中甲袋中有6 個紅球和 2 個白球，乙袋中有3 個紅球和 5 個白球，兩袋子中小球形狀和大小完全相同. 從這兩個袋子中選擇一個袋子，再從該袋子中一次摸出兩個球，稱為一次試驗. 已知選擇甲袋子的概率為，選擇乙袋子的概率為. 擬進行多次重復試驗，直到摸出的兩個球均為紅球，不再試驗.
(1)求第一次試驗摸出兩個紅球的概率；
(2)已知需進行第二次試驗，計算第一次試驗摸出的兩個球來自甲袋的概率.
1.(★★)已知為某隨機試驗的兩個事件，為事件的對立事件. 若，則
A. B. C. D.
2.(★★) “狼來了”的故事大家小時候應該都聽說過: 小孩第一次喊 “狼來了”，大家信了，但去了之后發現沒有狼；第二次喊 “狼來了”，大家又信了，但去了之后又發現沒有狼；第三次狼真的來了，但是這個小孩再喊狼來了就沒人信了. 從數學的角度解釋這一變化，假設小孩是誠實的，則他出于某種特殊的原因說謊的概率為0.1 ；小孩是不誠實的，則他說謊的概率是0.5. 最初人們不知道這個小孩誠實與否，所以在大家心目中每個小孩是誠實的概率是0.9 . 已知第一次他說謊了，那么他是誠實的小孩的概率是( )
A. B. C. D.
3.(★★)某批麥種中，一等麥種占 ，二等麥種占 等麥種種植后所結麥含有50 粒以上麥粒的概率分別為，則這批麥種種植后所結麥穗含有50 粒以上麥粒的概率為( )
A. 0.48 B. 0.52 C. 0.56 D. 0.65
4.(★★★)已知甲袋中有6 只紅球，4 只白球，乙袋中有8 只紅球，6 只白球，隨機取一只袋，再從袋中任取一球，發現是紅球，則此球來自甲袋的概率為( )
A. B. C. D.
5.(★★★)甲罐中有5 個紅球，2 個白球和 3 個黑球，乙罐中有4 個紅球，3 個白球和 3 個黑球(球除顏色外，大小質地均相同). 先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以 和 表示由甲罐中取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以表示由乙罐中取出的球是紅球的事件. 下列結論正確的個數是( )
(1)事件相互獨立 (2)
(3) (4)
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
6.(★★)偉大出自平凡，英雄來自人民. 在疫情防控一線，北京某大學學生會自發從學生會 6 名男生和 8 名女生骨干成員中選出 2 人作為隊長率領他們加入武漢社區服務隊，用 表示事件“抽到的 2 名隊長性別相同”，表示事件“抽到的 2 名隊長都是男生”，則 .
7.(★★)設某芯片制造廠有甲、乙、丙三條生產線，生產 規格的芯片，現有20 塊該規格的芯片，其中甲、乙、丙生產的芯片分別為6 塊、 6 塊、 8 塊，且甲、乙、丙生產該芯片的次品率依次為. 現從這 20 塊芯片中任取 1 塊芯片，若取到的芯片是次品，則該芯片是甲廠生產的概率為 .
8.(★★★)甲乙兩人射擊，甲射擊兩次，乙射擊一次. 甲每次射擊命中的概率是，乙命中的概率是 ，兩人每次射擊是否命中都互不影響，則甲乙二人全部命中的概率為 ；在兩人至少命中兩次的條件下，甲恰好命中兩次的概率為 .
9.(★★★)第三次人工智能浪潮滾滾而來，以ChatGPT發布為里程碑，開辟了人機自然交流的新紀
元. ChatGPT 所用到的數學知識并非都是遙不可及的高深理論，概率就被廣泛應用于ChatGPT 中. 某學習小組設計了如下問題進行探究: 甲和乙兩個箱子中各裝有5 個大小相同的小球，其中甲箱中有3 個紅球、 2 個白球，乙箱中有4 個紅球、 1 個白球.
(1)從甲箱中隨機抽出 2 個球，在已知抽到紅球的條件下，求 2 個球都是紅球的概率；
(2)鄭一枚質地均勻的骰子，如果點數小于等于4 ，從甲箱子隨機抽出 1 個球；如果點數大于等于5 ，從乙箱子中隨機抽出 1 個球. 若抽到的是紅球，求它是來自乙箱的概率.
10.(★★★★)如圖，有三個外形相同的箱子，分別編號為，其中 1 號箱裝有1 個黑球和 3 個白球，2 號箱裝有2 個黑球和 2 個白球，3 號箱裝有3 個黑球，這些球除顏色外完全相同. 小明先從三個箱子中任取一箱，再從取出的箱中任意摸出一球，記事件表示 “球取自第 號箱”，事件表示 “取得黑球”.
(1)求 的值；
(2)若小明取出的球是黑球，判斷該黑球來自幾號箱的概率最大？請說明理由.條件概率與全概率公式
基礎知識
1 條件概率
① 定義
一般地，設為兩個事件,且，稱為在事件發生的條件下，事件發生的條件概率.
解釋
(1) 求“事件已發生，事件發生的概率”，可理解：如圖，事件已發生，則為樣本空間，此時事件發生的概率是包含的樣本點數與包含的樣本點數的比值，即
(通俗些理解，條件概率只是縮小了樣本空間，就是以為樣本空間計算的概率)
Eg: 某地7月份吹南風(事件)的概率是，下雨(事件)的概率是，即吹南風又下雨的概率是，那在吹南風的條件下下雨的概率是, 在下雨的條件下吹南風的的概率是.
(2) 當時，當且僅當事件與相互獨立時，有.
② 概率的乘法公式
對任意兩個事件與，若，則
設，則
(1)；
(2) 如果和互斥，那么 ；
(3) 設和互為對立事件，則.
2 全概率公式
一般地，設是一組兩兩互斥的事件，，且，，則對任意的事件，有
我們稱它為全概率公式.
解釋
(1)如下圖，外圈是樣本空間，分成互斥事件；內圈是樣本空間，對應分成互斥事件；
則.
(2) 它表示求樣本空間內任意一事件的概率的方法.
3 貝葉斯公式
設是一組兩兩互斥的事件，且，
解釋
貝葉斯公式告訴我們兩個條件概率之間的關系.
基本方法
【題型1】對條件概率概念和性質的理解
【典題1】 設為兩個事件，已知，則
A. 0.24 B. 0.375 C. 0.4 D. 0.5
解析 設為兩個事件，由已知，
得，
所以，
故選: .
【典題2】 事件，且兩兩獨立，若，則為 .
解析 根據題意，可得，
由兩兩獨立，可知，
所以.
由，
可得，
故.
【鞏固練習】
1.(★)設集合，且，則下列說法正確的是
A. B. C. D.
答案 C
解析 因為，所以，
所以.
因為，
所以.
故選: C.
2.(★★) (多選)已知為隨機事件，則下列表述中不正確的是
A.
B.
C.
D.
答案 AB
解析 對選項，當事件為獨立事件，則，故錯誤；
對選項，當事件為互斥事件時，，
故錯誤；
對選項，故正確；
對選項，故正確.
故答案為: .
3.(★★★)已知事件滿足，則不能說明事件相互獨立的是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 對于，擲一枚質地均勻的股子，事件為向上的點數不超過4 ，事件為向上的點數為4 或 5 ，即 ，
滿足，但 ，
所以事件不相互獨立，故錯誤；
對于，因為，所以，
所以事件相互獨立，故正確；
對于，因為，所以，
所以事件相互獨立，故正確；
對于，因為，所以，
整理得 ，
所以事件相互獨立，故正確.
故選: A.
4.(★★★)(多選)設為同一隨機試驗的兩個隨機事件，若，則( )
A. B. C. D.
答案 ACD
解析 由題意，正確；
，
錯誤；
正確；
，
正確.
故選：ACD.
【題型2】 求條件概率
【典題1】 在某電路上有兩個獨立工作的元件，每次通電后，需要更換 元件的概率為0.2 ，需要更換 元件的概率為0.1 ，則在某次通電后有且只有一個需要更換的條件下，需要更換的概率是( )
A. B. C. D.
解析 設事件表示 “需要更換 元件”，事件表示 “需要更換 元件”，
事件表示 “在某次通電后有且只有一個需要更換”，
則，
，
在某次通電后有且只有一個需要更換的條件下，需要更換的概率是：
.
故選: C.
【典題2】 (多選)2023 年旅游市場強勁復蘇，7，8 月的暑期是旅游高峰期. 甲、乙、丙、丁四名旅游愛好者計劃 2024 年暑期在北京、上海、廣州三個城市中隨機選擇一個去旅游，每個城市至少有一人選擇. 事件為“甲選擇北京”，事件為“乙選擇上海”，則下列結論正確的是( )
A. 事件互斥 B.
C. D.
解析 選項 ，甲選擇北京和乙選擇上海可能同時發生，不互斥，錯誤；
選項，由題意，事件總數為 種，事件的個數均為 種，
則
，即，正確；
選項，正確；
選項，錯誤.
故選: .
【鞏固練習】
1.(★) 拋鄭一枚質地均勻的骰子兩次，記 兩次的點數均為偶數 兩次的點數之和為8，則
A. B. C. D.
答案 C
解析 由題意事件記 兩次的點數均為偶數 ，包含的基本事件數是，共 9 個基本事件，
在 發生的條件下，兩次的點數之和為8，
包含的基本事件數是共 3 個基本事件，
.
故選：C.
2.(★)某工廠生產了一批產品，需等待檢測后才能銷售. 檢測人員從這批產品中隨機抽取了 5 件產品來檢測，現已知這 5 件產品中有3 件正品，2 件次品，從中不放回地取出產品，每次 1 件，共取兩次. 已知第一次取得次品，則第二次取得正品的概率是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 設事件 “第一次取得次品”，事件 “第二次取得次品”，
則，
故.
故選: .
3.(★★) 甲、乙兩名游客慕名來到四川旅游，準備分別從九寨溝、峨眉山、海螺溝、都江堰、青城山這 5 個景點中隨機選一個. 事件 : 甲和乙選擇的景點不同，事件 : 甲和乙恰好有一人選擇九寨溝. 則條件概率
A. B. C. D.
答案 A
解析 由題知，，
所以.
故選: A.
4.(★★★)2023 杭州亞運會于9 月 23 日至 10 月 8 日舉辦，組委會將甲、乙、丙、丁 4 名志愿者隨機派往黃龍體育中心、杭州奧體中心、浙江大學紫金港校區三座體育館工作，每座體育館至少派 1 名志愿者，表示事件“志愿者甲派往黃龍體育中心”；表示事件“志愿者乙派往黃龍體育中心”；C表示事件“志愿者乙派往杭州奧體中心”，則( )
A. 事件相互獨立 B. 事件為互斥事件
C. D.
答案 D
解析 將 4 名志愿者分配到三座體育館，每座體育館至少派 1 名志愿者，
共有 種安排方案，
志愿者甲派往黃龍體育中心、志愿者乙派往黃龍體育中心、志愿者乙派往杭州奧體中心，
各有 種方案，
；
志愿者甲、乙均派往黃龍體育中心，有 種方案，
；
志愿者甲派往黃龍體育中心且乙派往杭州奧體中心，有 種方案，
；
對于 事件不相互獨立，故錯誤；
對于 事件不是互斥事件，故錯誤；
對于，故錯誤；
對于，故正確.
故選: D.
5.(★★★)（多選）一個密閉的容器中裝有2 個紅球和 4 個白球，所有小球除顏色外均相同. 現從容器中不放回地抽取兩個小球. 記事件 : “至少有1 個紅球”，事件 : “至少有1 個白球”，事件，則( )
A. 事件不互斥 B. 事件相互獨立
C. D.
答案 AD
解析 根據題意，事件 ：“至少有1 個紅球”，事件 : “至少有1 個白球”，
事件 ，則事件為“一個紅球和一個白球”，
，
依次分析選項:
對于，事件 : “一個紅球和一個白球”，事件可能同時發生，
故事件不是互斥事件，正確；
對于，
由于，事件不相互獨立，錯誤；
對于錯誤；
對于，同理: ，
故有正確.
故選: .
【題型3】 全概率公式的運用
【典題1】 設為兩個事件，已知，則 )
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6
解析 由，得，
由，即，
.
故選: C.
【典題2】在一個抽獎游戲中，主持人從編號為的四個外觀相同的空箱子中隨機選擇一個，放入一件獎品，再將四個箱子關閉. 主持人知道獎品在哪個箱子里. 游戲規則是主持人請抽獎人在這四個箱子中選擇一個，若獎品在此箱子里，則獎品由獲獎人獲得. 現有抽獎人甲選擇了 2 號箱，在打開 2 號箱之前，主持人先打開了另外三個箱子中的一個空箱子. 按游戲規則，主持人將隨機打開甲的選擇之外的一個空箱子.
(1)計算主持人打開 4 號箱的概率；
(2)當主持人打開 4 號箱后，現在給抽獎人甲一次重新選擇的機會，請問他是堅持選 2 號箱，還是改選 1 號或 3 號箱？(以獲得獎品的概率最大為決策依據)
解析 設 分別表示 號箱子里有獎品，
設 分別表示主持人打開 號箱子，
則，且兩兩互斥，
由題意可知，事件，
，，
(1) 由全概率公式，得主持人打開 4 號箱的概率
.
(2)由題意得，
，
，
，
通過概率大小比較，甲應該改選 1 號或 3 號箱.
【鞏固練習】
1.(★) 已知為兩個隨機事件，，則
A. 0.1 B. C. 0.33 D.
答案 B
解析 由全概率公式得，，
，
.
故選: .
2.(★) 某人周一至周五每天 至 出發去上班，其中在 至 出發的概率為0.4 ，在該時間段出發上班遲到的概率為0.1 ；在 至 出發的概率為0.6 ，在該時間段出發上班遲到的概率為0.2 ，則小王某天在 至 6:50 出發上班遲到的概率為( )
A. 0.3 B. 0.17 C. 0.16 D. 0.13
答案 C
解析 由題意可知：小王某天在 6:30 至 6:50 出發上班遲到的概率為:
，
故選: .
3.(★★)已知某公路上經過的貨車與客車的數量之比為，貨車和客車中途停車修理的概率分別為0.03 和 0.01 ，則一輛汽車中途停車修理的概率為( )
A. 1 B. C. D.
答案 C
解析 事件表示一輛汽車中途停車修理，事件表示該汽車是貨車，事件表示該汽車是客車，
則，
則
.
故選: C.
4.(★★★)某卡車為鄉村小學運送書籍，共裝運 10 箱，其中 5 箱英語書、 2 箱數學書、 3 箱語文書. 到目的地時發現丟失一箱，但不知丟失了哪一箱. 現從剩下的 9 箱中任意打開 2 箱，結果都是英語書，則丟失的一箱也是英語書的概率為( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 用表示丟失一箱后現從剩下的 9 箱中任意打開 2 箱，結果都是英語書，
用表示丟失的一箱為 分別表示英語書，數學書，語文書，
由全概率公式得從剩下的 9 箱中任意打開 2 箱，結果都是英語書的概率為:
，
丟失的一箱也是英語書的概率為:
.
故選: .
5.(★★★)甲罐中有5 個紅球，2 個白球和 3 個黑球，乙罐中有4 個紅球，3 個白球和 3 個黑球(球除顏色外，大小質地均相同). 先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以 和 表示由甲罐中取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以表示由乙罐中取出的球是紅球的事件. 下列結論正確的個數是( )
(1)事件相互獨立；(2) 是兩兩互斥的事件；
(3) ；(4) ；(5)
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
答案 C
解析 顯然，是兩兩互斥的事件，
且，
而 ，(1)錯誤，(2)正確；
，
所以，(3)正確；
，(4)正確；
，(5)錯誤，綜上: 結論正確個數為3.
故選: .
6.(★★★)甲、乙、丙為完全相同的三個不透明盒子，盒內均裝有除顏色外完全相同的球。甲盒裝有4 個白球，8 個黑球，乙盒裝有1 個白球，5 個黑球，丙盒裝有3 個白球，3 個黑球.
(1)隨機抽取一個盒子，再從該盒子中隨機摸出 1 個球，求摸出的球是黑球的概率；
(2)已知(1)中摸出的球是黑球，求此球屬于乙箱子的概率.
答案 (1) ；(2) .
解析 (1)記取到甲盒子為事件，取到乙盒子為事件為，取到丙盒子為事件，取到黑球為事件，
由全概率公式得摸出黑球的概率為:
.
(2)摸出的球是黑球，則由條件概率得此球屬于乙箱子的概率為:
.
7.(★★★★)某城市有甲、乙兩個網約車公司，相關部門為了更好地監管和服務，通過問卷調查的方式，統計當地網約車用戶(后面簡稱用戶，并假設每位用戶只選擇其中一家公司的網約車出行)對甲，乙兩個公司的乘車費用，等待時間，乘車舒適度等因素的評價，得到如下統計結果：
①用戶選擇甲公司的頻率為0.32 ，選擇乙公司的頻率為0.68 ；
②選擇甲公司的用戶對等待時間滿意的頻率為0.62 ，選擇乙公司的用戶對等待時間滿意的頻率為0.78 ；
③選擇甲公司的用戶對乘車舒適度滿意的頻率為0.68 ，選擇乙公司的用戶對乘車舒適度滿意的頻率為0.61 ；
④選擇甲公司的用戶對乘車費用滿意的頻率為0.21 ，選擇乙公司的用戶對乘車費用滿意的頻率為0.32 .
將上述隨機事件發生的頻率視為其發生的概率.
(1)分別求出網約車用戶對等待時間滿意、乘車舒適度滿意、乘車費用滿意的概率，并比較用戶對哪個因素滿意的概率最大，對哪個因素滿意的概率最小.
(2)若已知某位用戶對乘車舒適度滿意，則該用戶更可能選擇哪個公司的網約車出行 并說明理由。
答案 (1)用戶對等待時間滿意的概率最大，對乘車費用滿意的概率最小 ；
(2) 該用戶選擇乙公司出行的概率更大.
解析 (1)解：設事件 ：用戶選擇甲公司的網約車出行，事件 ：用戶對等待時間滿意，事件 ：用戶對乘車舒適度滿意，事件 ：用戶對乘車費用滿意.
則
，
所以，用戶對等待時間滿意的概率最大，對乘車費用滿意的概率最小.
(2) 解: 由題知，，
，
所以，，故該用戶選擇乙公司出行的概率更大.
【題型4】 貝葉斯公式的運用
【典題1】 已知12 件產品中有4 件次品，在先取 1 件的情況下，任取 2 件產品皆為正品，則先取 1 件為次品的概率為 .
解析 設事件表示先取 1 件為次品，則 這完備事件組，
，
令事件為后取的 2 件皆為正品，
則，
由貝斯葉公式得后取 2 件產品皆為正品，則先取 1 件為次品的概率為:
.
故答案為: .
【典題2】設甲、乙、丙三個地區爆發了某種流行病，三個地區的總人數比為，而三個地區感染此病的比例分別為. 現從這三個地區任意抽取一個人. 求:
(1)此人感染此病的概率；
(2)若此人感染此病，此人選自甲地區的概率為多少.
解析 (1)設表示 “此人感染此病”，
表示此人選自甲、乙、丙三個地區，
由題意得，
，
由全概率公式得:
此人感染此病的概率:
.
(2)由貝葉斯公式得若此人感染此病，此人選自甲地區的概率為:
.
【鞏固練習】
1.(★★) 甲口袋中有3 個紅球，2 個白球，乙口袋中有4 個紅球，3 個白球，先從甲口袋中隨機取出 1 球放入乙口袋，分別以表示從甲口袋取出的球是紅球、白球的事件；再從乙口袋中隨機取出 1 球，以表示從乙口袋取出的球是紅球的事件，則
A. B. C. D.
答案 A
解析 ，
，
.
故選: A.
2.(★★) 設5 支槍中有2 支未經過試射校正，3 支已經過試射校正. 一射手用校正過的槍射擊中靶的概率是0.9 ，用未經過校正的槍射擊中靶概率是0.4 . 今任取 1 支槍射靶，結果未中靶，則此槍為未經校正過的概率為( )
A. 0.5 B. 0.6 C. 0.8 D. 0.4
答案 C
解析 記 為“校正過的槍支”，為“射擊中靶”，
則，
故，
.
故選: C.
3.(★★★)現有兩臺車床加工同一型號的零件，第 1 臺車床加工的零件次品率為，第 2 臺車床加工的零件次品率為，加工出來的零件混放在一起. 已知第 1 臺車床加工的零件數與第 2 臺車床加工的零件數之比為，從這些零件中任取一個.
(1)求這個零件是次品的概率；
(2)已知這個零件是次品，求它是第一臺車床加工的概率.
答案 (1) ；(2) .
解析 (1)根據題意，記事件為“車床加工的零件為次品”，事件為“該零件由第 臺車床加工的零件”，，
則，
已知第 1 臺車床加工的零件數與第 2 臺車床加工的零件數之比為，
則，，
故 ；
(2)根據題意，由貝葉斯公式.
4.(★★★)現有甲、乙兩個袋子，其中甲袋中有6 個紅球和 2 個白球，乙袋中有3 個紅球和 5 個白球，兩袋子中小球形狀和大小完全相同. 從這兩個袋子中選擇一個袋子，再從該袋子中一次摸出兩個球，稱為一次試驗. 已知選擇甲袋子的概率為，選擇乙袋子的概率為. 擬進行多次重復試驗，直到摸出的兩個球均為紅球，不再試驗.
(1)求第一次試驗摸出兩個紅球的概率；
(2)已知需進行第二次試驗，計算第一次試驗摸出的兩個球來自甲袋的概率.
答案 (1) ；(2) .
解析 (1)設試驗一次，“選擇甲袋”為事件，“選擇乙袋”為事件，
“摸出的兩個球均為紅球”為事件，
，
即第一次試驗摸出兩個紅球的概率為；
(2) ，
，
所以已知需進行第二次試驗，第一次試驗摸出的兩個球來自甲袋的概率為.
1.(★★)已知為某隨機試驗的兩個事件，為事件的對立事件. 若，則
A. B. C. D.
答案 A
解析 由概率性質可知，，
即 ，
由，可得，
所以.
故選: A.
2.(★★) “狼來了”的故事大家小時候應該都聽說過: 小孩第一次喊 “狼來了”，大家信了，但去了之后發現沒有狼；第二次喊 “狼來了”，大家又信了，但去了之后又發現沒有狼；第三次狼真的來了，但是這個小孩再喊狼來了就沒人信了. 從數學的角度解釋這一變化，假設小孩是誠實的，則他出于某種特殊的原因說謊的概率為0.1 ；小孩是不誠實的，則他說謊的概率是0.5. 最初人們不知道這個小孩誠實與否，所以在大家心目中每個小孩是誠實的概率是0.9 . 已知第一次他說謊了，那么他是誠實的小孩的概率是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 設事件表示 “小孩誠實”，事件表示 “小孩說謊”，
則，
則，
，
故，
故.
故選: D.
3.(★★)某批麥種中，一等麥種占 ，二等麥種占 等麥種種植后所結麥含有50 粒以上麥粒的概率分別為，則這批麥種種植后所結麥穗含有50 粒以上麥粒的概率為( )
A. 0.48 B. 0.52 C. 0.56 D. 0.65
答案 B
解析 種植一等麥種和二等麥種的事件分別為，所結麥穗含有50 粒以上麥粒為事件，
依題意，，
由全概率公式得，
.
故選: .
4.(★★★)已知甲袋中有6 只紅球，4 只白球，乙袋中有8 只紅球，6 只白球，隨機取一只袋，再從袋中任取一球，發現是紅球，則此球來自甲袋的概率為( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 設事件為取出的球是紅球，事件為該球來自甲袋，事件為該球來自乙袋，
則由題意知: ，
由全概率公式可得： ，
所以.
故答案為: .
5.(★★★)甲罐中有5 個紅球，2 個白球和 3 個黑球，乙罐中有4 個紅球，3 個白球和 3 個黑球(球除顏色外，大小質地均相同). 先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以 和 表示由甲罐中取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以表示由乙罐中取出的球是紅球的事件. 下列結論正確的個數是( )
(1)事件相互獨立 (2)
(3) (4)
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
答案 C
解析 由題意得，是兩兩互斥的事件，
且，
而 ，(1)錯誤；
，所以，(2)正確；
，(3)正確；
，(4)錯誤，
綜上: 結論正確的個數為2 .
故選: C.
6.(★★)偉大出自平凡，英雄來自人民. 在疫情防控一線，北京某大學學生會自發從學生會 6 名男生和 8 名女生骨干成員中選出 2 人作為隊長率領他們加入武漢社區服務隊，用 表示事件“抽到的 2 名隊長性別相同”，表示事件“抽到的 2 名隊長都是男生”，則 .
答案
解析 設事件為“抽到的 2 名隊長性別相同”，事件為“抽到的 2 名隊長都是男生”，
由已知得，
則.
故答案為: .
7.(★★)設某芯片制造廠有甲、乙、丙三條生產線，生產 規格的芯片，現有20 塊該規格的芯片，其中甲、乙、丙生產的芯片分別為6 塊、 6 塊、 8 塊，且甲、乙、丙生產該芯片的次品率依次為. 現從這 20 塊芯片中任取 1 塊芯片，若取到的芯片是次品，則該芯片是甲廠生產的概率為 .
答案
解析 設取到次品為事件，甲廠生產的芯片為事件，
則，，
則取到的芯片是次品，則該芯片是甲廠生產的概率為.
故答案為: .
8.(★★★)甲乙兩人射擊，甲射擊兩次，乙射擊一次. 甲每次射擊命中的概率是，乙命中的概率是 ，兩人每次射擊是否命中都互不影響，則甲乙二人全部命中的概率為 ；在兩人至少命中兩次的條件下，甲恰好命中兩次的概率為 .
答案
解析 根據題意，設 “甲恰好命中 1 次”， “甲命中 2 次”， “乙命中 1 次”， “兩人至少命中兩次”，
若甲乙二人全部命中，即事件，則；
而 ，
則，
若甲恰好命中兩次，即事件 ，
故在兩人至少命中兩次的條件下，
甲恰好命中兩次的概率.
故答案為: .
9.(★★★)第三次人工智能浪潮滾滾而來，以ChatGPT發布為里程碑，開辟了人機自然交流的新紀
元. ChatGPT 所用到的數學知識并非都是遙不可及的高深理論，概率就被廣泛應用于ChatGPT 中. 某學習小組設計了如下問題進行探究: 甲和乙兩個箱子中各裝有5 個大小相同的小球，其中甲箱中有3 個紅球、 2 個白球，乙箱中有4 個紅球、 1 個白球.
(1)從甲箱中隨機抽出 2 個球，在已知抽到紅球的條件下，求 2 個球都是紅球的概率；
(2)鄭一枚質地均勻的骰子，如果點數小于等于4 ，從甲箱子隨機抽出 1 個球；如果點數大于等于5 ，從乙箱子中隨機抽出 1 個球. 若抽到的是紅球，求它是來自乙箱的概率.
答案 (1) ；(2) .
解析 (1)記事件表示 “抽出的 2 個球中有紅球”，事件表示 “兩個球都是紅球”，
則 ，
故.
(2)設事件表示 “從乙箱中抽球”，則事件表示 “從甲箱中抽球”，事件表示 “抽到紅球”，
，
，
故.
10.(★★★★)如圖，有三個外形相同的箱子，分別編號為，其中 1 號箱裝有1 個黑球和 3 個白球，2 號箱裝有2 個黑球和 2 個白球，3 號箱裝有3 個黑球，這些球除顏色外完全相同. 小明先從三個箱子中任取一箱，再從取出的箱中任意摸出一球，記事件表示 “球取自第 號箱”，事件表示 “取得黑球”.
(1)求 的值；
(2)若小明取出的球是黑球，判斷該黑球來自幾號箱的概率最大？請說明理由.
答案 (1) ；(2) 該黑球來自 3 號箱的概率最大..
解析 (1)由已知得:
，
而
.
由全概率公式可得: .
(2)因 “小明取出的球是黑球，該黑球來自 1 號箱”可表示為: ，
其概率為，
“小明取出的球是黑球，該黑球來自 2 號箱”可表示為: ，
其概率為，
“小明取出的球是黑球，該黑球來自 3 號箱”可表示為: ，
其概率為.
綜上， 最大，即若小明取出的球是黑球，可判斷該黑球來自 3 號箱的概率最大.

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