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人教版2023-2024五年級下冊第二章因數與倍數2.3質因數與公因數全題型分析
引例：你能將下面的合數寫成幾個質數相乘的形式嗎？有什么好方法？
20＝□×□×□ 42＝ 50＝ 84＝
一、分解質因數
把一個合數用幾個質數相乘的形式表示出來，就叫做分解質因數。
1、其中每個質數都是這個合數的因數，這種因數就叫做質因數。
2、在分解的過程中，利用2、3、5、7等質數的整除性質。
【例1】把18進行分解質因數
解：方法一：列乘法算式。如下圖分析，可得 18＝2×3×3
方法二：“短除法”。如下圖分析，可得 18＝2×3×3
這里的2和3就是18的質因數。
練習：從下面的數中圈出合數，并用短除法將合數分解質因數
20 97 156 71
【例2】下列算式中，□里數字各不相同，將符合要求的數字填入下列方框中。
□□×□□=1995
思路分析：將1995分解質因數
1995=3×5×7×19，題目要求是將1995寫出兩個因數相乘，質因數3、5、7、19其中5×7=35,3×19=57或3×7=21,5×19=95，因此可以有35×57=1995和21×95=1995，因為要滿足數字各不相同的條件，所以取35×57或21×95。
你還可以寫出其他答案嗎？
（7的倍數特征：將數字尾數前的數字減去尾數的2倍，得到的差是7的倍數，這個數就是7的倍數。如602，60-2×2=56，56是7的倍數，故602是7的倍數）
練習：1、在下列算式的框內，各填入一個數字，使算式成立。
□×□□□=1890
2、下面四張小紙片各蓋住一個數字，如果這四個數字是連續的偶數，請寫出這個完整的算式。
□□×□□=2208
【例3-1】a=85×14×25 b=34×15×35 c=10×51×35，則答案相同的是（ ）
A、a和c B、b和c C、a和b D、無法判斷
思路分析：質數只有1和它本身兩個因數，因此一個合數的質因數是唯一的，如30=2×3×5，沒有其他的分解質因數。
a=85×14×25=5×17×2×7×5×5=2×53×7×17
=29750
b=34×15×35=2×17×3×5×5×7=2×3×52×7×17
=17850
c=10×51×35=2×5×3×17×5×7=2×3×52×7×17
=17850
我們發現b和c在分解質因數后，結果是一樣的，因此b和c答案是相同的。
我們發現：一個合數分解質因數的結果是唯一的。
【例3-2】A＝2×2×2×3，那么A=（ ）×（ ）=（ ）×（ ）=（ ）×（ ）=（ ）×（ ）
思路分析：將A表示為兩個因數相乘，這兩個因數可以不是質因數，而是“合因數”。雖然A分解質因數是唯一的，但是將這4個質因數中的一部分相乘，可以變成A的合因數。如A=（2×2×2）×3=8×3.
因此我們可以寫出所有A的因數：
A=1×（2×2×2×3）=1×24
A=2×（2×2×3）=2×12
A=(2×2)×(2×3)=4×6
A=(2×2×2)×3=8×3
總結：一個合數的質因數中，任意2個或2個以上的質因數相乘，是這個合數的合因數。
練習：1、一個數是5個2,3個3。2個5，,1個7的連乘積，這個數當然有許多因數是兩位數，這些兩位數的因數中。最大的是幾？
2、如果a是質數，那么19a的因數有（ ）個。
A、2 B、3 C、3或4 D、4
3、從以下算式中找出幾對算式，要求每一對中一個算式的得數是另一個算式的得數的倍數，你能找出幾對？說說你的方法。
35×4 3×5×7 2×7 3×8×25 3×5 22×5
【例4】用54個大小相同的小正方形拼成一個大長方形，有多少種不同的拼法？
思路分析：將小正方形拼成大長方形：
6行9列 3行18列
2行27列
54=6×9=3×18=2×27
我們發現這些長方形都是由54個小正方形組成的，且行×列=小正方形個數
因此，只要找出所有54的因數就可以。
方法一：54=1×54 方法二：54=2×33=21×33
54=2×27 54的因數有（1＋1）×（3+1）=8個
54=3×18
54=6×9
因此可以拼出4種長方形
注：因數個數的計算方法，可以用質因數的次數加1相乘。
練習：1、兩個連續奇數的乘積是675，它們的和是（ ）。
2、一個長方形的面積是72平方厘米，長方形有多少種？如果它的長和寬是兩個相鄰的自然數。這個長方形的周長是多少？
3、有195名學生排成幾隊進行花樣體操表演，表演時有不同的隊形變換，行數和列數都大于1.共有多少種隊形變換？
【例5】王老師帶領一班同學去植樹，學生恰好分成4組。如果王老師和學生每人植樹一樣多，那么他們一共植了539棵。這個班有多少個學生？每人植樹多少棵？
思路分析：根據：每人植樹棵數×人數=539棵，把539分解質因數。539=72×11。
因此539的因數個數為（2+1）×（1+1）=6個，即1、7、11、7×7、7×11、7×7×11，這些因數都可以是人數或每人植樹棵樹。
（1）如果每人植樹1棵，那么539=1×539，即每人植1棵樹，共有539個人，而539人中有王老師和他的學生，因此這個班就有539－1=538人，其中538÷4=134.5，不符合實際；
（2）如果每人植7棵，那么539=7×77，即每人植7棵樹，共有77個人，而77人中有王老師和他的學生，因此這個班就有7×11－1=76人，其中76÷4=19，說明每組19人；
（3）如果每人植樹11棵，那么539=11×49，即每人植11棵樹，共有49個人，而49人中有王老師和他的學生，因此這個班就有49－1=48人，其中48÷4=12，說明每組12人；
（4）如果每人植樹49棵，那么539=49×11，即每人植49棵樹，共有11個人，而11人中有王老師和他的學生，因此這個班就有11－1=10人，其中10÷4=2.5，不符合實際；
（5）如果每人植樹77棵，那么539=77×7，即每人植77棵樹，共有7個人，而7人中有王老師和他的學生，因此這個班就有7－16人，其中6÷4=1.5，不符合實際；
（6）如果每人植樹539棵，那么539=539×1，即每人植539棵樹，共有1個人，不符合實際。
解：539=7×77 539=11×49
這個班共有76人，每人植樹7棵，或共有48人，每人植樹11棵。
總結：已知乘積求因數，都可以使用分解質因數，且合因數是質因數的乘積。
練習：1、爺爺今年84歲了，他的3個孫子的年齡的乘積剛好是爺爺的年齡，而且兩個孫子的年齡和正好等于另一個孫子的年齡。三個孫子今年的年齡各是幾歲？
2、上小學的劉華參加數學競賽，他說：“我的成績和我的年齡以及我的名次乘起來是1869分，滿分是100分”。你知道劉華的年齡、成績和名次各是多少嗎？
3、3月12日是植樹節，李老師帶領同學們排成兩路人數相等的縱隊去植樹。已知李老師和同學們每人植樹的棵數相等，一共植了111棵樹，求有多少個學生。
課后練習一
1、用短除法分解質因數
28 54 92 132 105 351
2、已知300＝2×2×3×5×5，則300一共有多少個不同的因數？
3、27的質因數有（ ）
A、4個 B、3個 C、2個 D、1個
4、判斷：一個數是2的倍數，也是5的倍數，一定是10的倍數。（ ）
因為60﹦3×4×5，所以3、4、5都是60的質因數。 （ ）
一個自然數越大，它的因數就越多。 （ ）
5、S=2×2×3×7，那么S有（ ）個因數。
6、已知m﹦2×3×5,那么m的全部因數有（ ）。
7、a、b是不同的兩個質數，則ab的因數有（ ）個。
8、如果A=4×35×143，B=20×91×11，C=25×13×77，那么你能知道（ ）。
A、A=B B、B=C C、A=B=C
課后練習二
1、王麗參加學校六年級的數學競賽，并獲得了前三名，他高興地對同學說：“我的得分，名次與我的年齡之積恰好是2328.”你能推算出她的年齡，名次與成績么？
2、一個三角形的面積是10.5平方分米，這個三角形的底和高是兩個用分米做單位的質數，這個三角形的底和高各是多少分米？（高比底長）
3、一個盒子中有96顆棋子，如果不一次拿出，也不一個一個拿出，但每次拿出的個數相等，最后一次正好拿完，那么，共有多少種不同的拿法？
4、劉小華是一名小學生，他參加了學校的數學競賽。同學問他：“這次數學競賽你得了多少分？獲得了第幾名？”劉小華說：“我的分數、名次、年齡都是質數，它們的乘積是1358.”你知道他的分數和名次各是多少嗎？
5、有四個小朋友，他們的年齡一個比一個大1歲，四人年齡的乘積為360，他們中年齡最大是多少歲？

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