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2009年江蘇省高考數學重點內容分類精析
一．集合（集合及其表示A；子集B，交集、并集、補集B）
滿足，且的集合的個數是 2
設是一個數集，且至少含有兩個數，若對任意都有（除數），則稱P是一個數域，例如有理數Q是數域。有下列命題：①數域必含有0，1兩個數；②整數集是數域；③若有理數，則數集必為數域；④數域必為無限集。
其正確的命題的序號是 ①④ （把你認為正確的命題的序號都填上）
二．函數概念與基本初等函數Ⅰ（函數的概念B；函數的基本性質B）
若函數的定義域是，則函數的定義域是 [0，1]
定義在R上的函數滿足，，則等于
6
設函數，則的值為
三．函數概念與基本初等函數Ⅰ（指數與對數B；指數與對數的圖象和性質B；對數函數的圖象和性質B；冪函數A；函數與方程A；函數模型及其應用B））
6．則下列四個結論正確的是 ③ （填正確序號）
① ② ③； ④
7．已知函數為常當選），函數的定義為：對每一個給定的實數，
求對所有實數成立的充分必要條件（用表示）
設是兩個實數，滿足且，若，求證：函數在區間上的單調增區間的長度之和為（閉區間的長度定義為）
解：（1）由的定義可知，（對所有實數）等價于
（對所有實數）這又等價于，即
對所有實數均成立. （*）
由于的最大值為，
故（*）等價于，即，這就是所求的充分必要條件
（2）分兩種情形討論
（i）當時，由（1）知（對所有實數）
則由及易知，
再由的單調性可知，
函數在區間上的單調增區間的長度
為（參見示意圖1）
（ii）時，不妨設，則，于是
當時，有，從而；
當時，有
從而 ；
當時，，及，由方程
解得圖象交點的橫坐標為
⑴
顯然，
這表明在與之間。由⑴易知

綜上可知，在區間上， （參見示意圖2）
故由函數及的單調性可知，在區間上的單調增區間的長度之和為，由于，即，得
⑵
故由⑴、⑵得
綜合（i）（ii）可知，在區間上的單調增區間的長度和為。
已知二次函數
若函數在區間上存在零點，求實數的取值范圍；
問：是否存在常數當時，的值域為區間D，且D的長度為
9．水庫的蓄水量隨時間而變化，現用表示時間，以月為單位，年初為起點，根據歷年數據，某水庫的蓄水量（單位：億立方米）關于的近似函數關系式為
（Ⅰ）該水庫的蓄求量小于50的時期稱為枯水期.以表示第1月份（）,問一年內哪幾個月份是枯水期？
（Ⅱ）求一年內該水庫的最大蓄水量（取計算）.
解：本小題主要考查函數、導數和不等式等基本知識，考查用導數求最值和綜合運用數學知識解決實際問題能力.
（Ⅰ）①當時，，化簡得,
解得，或，又，故.
②當時，，化簡得,
解得，又,故.
綜合得,或；
故知枯水期為1月，2月，3月，11月，12月共5個月.
(Ⅱ)(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在（4，10）內達到.
由V′（t）=
令V′(t)=0,解得t=8(t=-2舍去).
當t變化時，V′(t) 與V (t)的變化情況如下表：
t
(4,8)
8
(8,10)
V′(t)
+
0
-
V(t)
極大值
由上表，V(t)在t＝8時取得最大值V(8)＝8e2+50-108.52(億立方米).
故知一年內該水庫的最大蓄水量是108.32億立方米
四．函數概念與基本初等函數Ⅱ（三角函數的有關概念B；同角三角函數的基本關系式B；正弦、余弦的誘導公式B；正弦函數、余弦函數、正切函數的圖象和性質B；函數的圖象和性質A；兩角和（差）的正弦、余弦、和正切C；二倍角的正弦、余弦和正切B；積化和差、和差化積、半角公式A）
10．函數的最小值和最大值分別為
11．已知函數（，）為偶函數，且函數圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）將函數的圖象向右平移個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，求的單調遞減區間．
解：（Ⅰ）
．
因為為偶函數，所以對，恒成立，
因此．
即，
整理得．因為，且，所以．
又因為，故．所以．
由題意得，所以．故．因此．
（Ⅱ）將的圖象向右平移個單位后，得到的圖象，
所以．
當（），
即（）時，單調遞減，
因此的單調遞減區間為（）．
12．如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的兩個頂點A，B及CD的中點P處．AB＝20km，BC＝10km．為了處理這三家工廠的污水，現要在該矩形區域上（含邊界）且與A，B等距的一點O處，建造一個污水處理廠，并鋪設三條排污管道AO，BO，PO．記鋪設管道的總長度為ykm．
（1）按下列要求建立函數關系式：
（Ⅰ）設（rad），將表示成的函數；
（Ⅱ）設（km），將表示成的函數；
請你選用（1）中的一個函數關系確定污水處理廠的位置，使鋪設的污水管道的總長度最短。
函數概念與基本初等函數Ⅱ（兩角和（差）的正弦、余弦和正切；二倍角的正弦、余弦和正切；幾個三角不等式）
解：（Ⅰ）①由條件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，則,
故，又OP＝，
所以，
所求函數關系式為
②若OP=(km) ，則OQ＝10－，所以OA =OB=
所求函數關系式為
（Ⅱ）選擇函數模型①，
令0 得sin ，因為，所以=，
當時， ，是的減函數；
當時， ，是的增函數，所以當=時，。
這時點P 位于線段AB 的中垂線上，在矩形區域內且距離AB 邊km處。
13．已知函數的最大值是1，其圖象經過點M（，
（1）求的解析式；（2）已知，且，求的值。
解析：（1）依題意有，則，將點代入得，
而，，，故；
（2）依題意有，而，
，
。
五．解三角形（正弦定理、余弦定理及其應用B）
14．滿足條件的三角形的面積的最大值
15．的三內角的對邊邊長分別為，若，則
16．如圖，△ACD是等邊三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2。
（1）求cos∠CBE的值；（2）求AE。
解：(1) 因為
所以，
(2)在中，，故由正弦定理得
,故
17．已知函數 在單調增加，在單調減少，則
六．平面向量（平面向量的有關概念B；平面向量的加法、減法和數乘運算B；平面向量的坐標表示B；平面向量的數量積C；平面向量的平行與垂直B；平面向量的應用A）
18．已知四邊形的三個頂點，，，且，
則頂點的坐標為
19．已知平面向量，，且//，則＝
20．已知為的三個內角的對邊，向量
．若，且，
則角的大小分別為
21．設平面向量，若存在實數和角使向量且
（1）求的關系式；（2）若，求的最小值，并求出此時的值。
七．數列（數列的有關概念A；等差數列C；等比數列C）
22．將全體正整數排成一個三角形數陣：
按照以上排列的規律，第行（）從左向右的第3個數為
23．將數列中的所有項按每一行比上一行多一項的規則排成如下數表：



……
記表中的第一列數構成的數列為，．為數列的前項和，且滿足．
（Ⅰ）證明數列成等差數列，并求數列的通項公式；
（Ⅱ）上表中，若從第三行起，第一行中的數按從左到右的順序均構成等比數列，且公比為同一個正數．當時，求上表中第行所有項的和．
解：（Ⅰ）證明：由已知，當時，，又，
所以，
又．所以數列是首項為1，公差為的等差數列．
由上可知，．
所以當時，．
因此
（Ⅱ）解：設上表中從第三行起，每行的公比都為，且．
因為，
所以表中第1行至第12行共含有數列的前78項，故在表中第31行第三列，
因此．又，所以．
記表中第行所有項的和為，
則．
24．（1）設是各項均不為零的（）項等差數列，且公差，若將此數列刪去某一項后得到的數列（按原來的順序）是等比數列．
（i）當時，求的數值；
（ii）求的所有可能值．
（2）求證：對于給定的正整數()，存在一個各項及公差均不為零的等差數列
，其中任意三項（按原來的順序）都不能組成等比數列．
解：（1）①當n=4時, 中不可能刪去首項或末項，否則等差數列中連續三項成等比數列，則推出d=0。
若刪去，則，即化簡得，得
若刪去，則，即化簡得，得
綜上，得或。
②當n=5時, 中同樣不可能刪去，否則出現連續三項。
若刪去，則，即化簡得，因為，所以不能刪去；
當n≥6時，不存在這樣的等差數列。事實上，在數列中，由于不能刪去首項或末項，若刪去，則必有，這與矛盾；同樣若刪去也有，這與矛盾；若刪去中任意一個，則必有，這與矛盾。(或者說：當n≥6時，無論刪去哪一項，剩余的項中必有連續的三項)
綜上所述，。
（2）假設對于某個正整數n，存在一個公差為d的n項等差數列，
其中（）為任意三項成等比數列，則，
即，化簡得 （*）
由知，與同時為0或同時不為0
當與同時為0時，有與題設矛盾。
故與同時不為0，所以由（*）得
因為，且x、y、z為整數，所以上式右邊為有理數，從而為有理數。
于是，對于任意的正整數，只要為無理數，相應的數列就是滿足題意要求的數列。
例如n項數列1，，，……，滿足要求。
八．不等式（基本不等式C；一元二次不等式C；線性規劃A）
25．已知函數，則不等式的解集是
26．若為不等式組表示的平面區域，則當從－2連續變化到1時，動直線 掃過中的那部分區域的面積為
27．設函數為實數。
（Ⅰ）已知函數在處取得極值，求的值；
（Ⅱ）已知不等式對任意都成立，求實數的取值范圍。
28．設為正實數，滿足，則的最小值是 3
九．復數（復數的有關概念B；復數的四則運算B；復數的幾何意義A）
29．復數
30．若將復數表示為是虛數單位）的形式，則　　1　　．
31．已知，復數的實部為，虛部為1，則的取值范圍是
32．已知，其中是虛數單位，那么實數
33．若復數是純虛數，則實數a的值為
34．復數等于
35．設，且為正實數，則
36．若復數z滿足z＝i(2-z)（i是虛數單位），則z＝ 　　　　　　　 .
十．導數及其應用（導數的概念A；導數的幾何意義B；導數的運算B；利用導數研究函數的單調性和極大（?。┲礏；導數在實際問題中的應用B）
37．設曲線在點處的切線與直線垂直，則
38．設直線是曲線的一條切線，則實數的值是
39．設函數，曲線在點處的切線方程為y=3．
（Ⅰ）求的解析式：
（Ⅱ）證明：函數的圖像是一個中心對稱圖形，并求其對稱中心；
（Ⅲ）證明：曲線上任一點的切線與直線x=1和直線y=x所圍三角形的面積為定值，并求出此定值．
解：（Ⅰ），
于是解得或
因，故．
（Ⅱ）證明：已知函數，都是奇函數．
所以函數也是奇函數，其圖像是以原點為中心的中心對稱圖形．而．可知，函數的圖像按向量平移，即得到函數的圖像，故函數的圖像是以點為中心的中心對稱圖形．
（Ⅲ）證明：在曲線上任取一點．
由知，過此點的切線方程為
．
令得，切線與直線交點為．
令得，切線與直線交點為．
直線與直線的交點為．
從而所圍三角形的面積為．
所以，所圍三角形的面積為定值．
十一。算法初步（算法的有關概念A；流程圖A；基本算法語句A）
40．閱讀圖3的程序框圖，若輸入，，則輸出 ，
（注：框圖中的賦值符號“”也可以寫成“”或“”）
解析：要結束程序的運算，就必須通過整除的條件運算，
而同時也整除，那么的最小值應為和的最小公倍
數12，即此時有。
41．執行右邊的程序框圖，若，則輸出的 ．
解：，因此輸出
十二.常用邏輯用語（命題的四則運算法則A；必要條件、充分條件、
充要條件B；簡單的邏輯聯結詞A；全稱量詞與存在量詞A）
42．命題“若函數在其定義域內是減函數，
則”的逆否命題是 ② （填序號）
①若，則函數在其定義域內不是減函數
②若，則函數在其定義域內不是減函數
③若，則函數在其定義域內是減函數
④若，則函數在其定義域內是減函數
43．已知命題所有有理數都是實數，命題正數的對數都是負數，則下列命題中為真命題的是（ D ）
A． B． C． D．
解析：不難判斷命題為真命題，命題為假命題，從而上述敘述中只有 為真命題
十三、推理與證明（合情推理與演繹推理B；分析法和綜合法A；反證法A）
44．已知數列，，，．
記．．
求證：當時，
（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）。
（Ⅰ）證明：用數學歸納法證明．
①當時，因為是方程的正根，所以．
②假設當時，，
因為
，
所以．
即當時，也成立．
根據①和②，可知對任何都成立．
（Ⅱ）證明：由，（），
得．
因為，所以．
由及得，
所以．
（Ⅲ）證明：由，得
所以，
于是，
故當時，，
又因為，
所以．
十四、概率統計（抽樣方法A；總體分布的估計A；總體特征數的估計B；變量的相關性A）
概率、統計（隨機事件與概率A；古典概型B；幾何概型A；互斥事件及其發生的概率A；統計案例A）
45．在某地的奧運火炬傳遞活動中，有編號為的18名火炬手．若從中任選3人，則選出的火炬手的編號能組成以3為公差的等差數列的概率為
解：古典概型問題，基本事件總數為。能組成以3為公差的等差數列有（1，4，7），（2，5，8），，（12，15，18）共12組，因此概率
46．甲、乙兩個籃球運動員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與，且乙投球2次均未命中的概率為.
（Ⅰ）求乙投球的命中率；
（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，兩人共命中的次數記為，求的分布列和數學期望.
解：（Ⅰ）設“甲投球一次命中”為事件A，“乙投球一次命中”為事件B
由題意得
解得或（舍去），所以乙投球的命中率為
（Ⅱ）由題設和（Ⅰ）知
可能的取值為0，1，2，3，故
的分布列為
0
1
2
3
的數學期望
47．在平面直角坐標系中，設是橫坐標與縱坐標的絕對值均不大于2的點構成的區域，是到原點的距離不大于1的點構成的區域，向中隨機投一點，則所投點在中的概率是　 　　
本小題考查古典概型．如圖：區域D 表示邊長為4 的正方形的內部（含邊界），區域E 表示單位圓及其內部，因此．
十五?？臻g幾何體（柱、錐、臺、球及其簡單組合體A；三視圖與直觀圖A；柱、錐、臺、球的表面積和體積A）
48．將正三棱柱截去三個角（如圖1所示分別是三邊的中點）得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側視圖（或稱左視圖）為

解析：解題時在圖2的右邊放扇墻(心中有墻),可得答案①
49．右圖是一個幾何體的三視圖，根據圖中數據，可得該幾何體的表面積是
解：從三視圖可以看出該幾何體是由一個球和一個圓柱組合而成的，其表面及為
十六。點、線、面之間的位置關系（平面及及基本性質A；直線與平面平行、垂直的判定與性質B；兩平面平行、垂直的判定與性質B）
50．如圖，在四面體中，，點分別是的中點．
求證：（1）直線面；（2）平面面．
證： （1）∵E,F分別是的中點．
∴EF是△ABD的中位線，∴EF∥AD，
∵EF∥面ACD，AD面ACD，∴直線EF∥面ACD；
（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，
∵CB=CD，F是ＢＤ的中點，∴CF⊥BD
又EF∩CF=F, ∴BD⊥面EFC，∵BD面BCD，∴面面
51．如圖，在四棱錐中，平面平面，，是等邊三角形，已知，．
（Ⅰ）設是上的一點，證明：平面平面；
（Ⅱ）求四棱錐的體積．
解：（Ⅰ）證明：在中，
由于，，，
所以．故．
又平面平面，平面平面，
平面，
所以平面，
又平面，
故平面平面．
（Ⅱ）解：過作交于，
由于平面平面，
所以平面．因此為四棱錐的高，
又是邊長為4的等邊三角形．因此．
在底面四邊形中，，，
所以四邊形是梯形，在中，斜邊邊上的高為，
此即為梯形的高，所以四邊形的面積為．
故．
十七。平面解析幾何初步（直線的斜率和傾斜角B；直線方程C；直線的平行關系與垂直關系B；兩條直線的交點B；兩點間的距離，點到直線的距離B；圓的標準方程和一般方程C；直線和圓、圓和圓、的位置關系B）
52．在平面直角坐標系中，記二次函數（）與兩坐標軸有
三個交點．經過三個交點的圓記為．
（1）求實數b的取值范圍；
（2）求圓的方程；
（3）問圓是否經過定點（其坐標與的無關）？請證明你的結論．
十八、圓錐曲線與方程（中心在坐標原點的橢圓的標準方程與幾何性質B；中心在坐標原點的雙曲線的標準方程與幾何性質A；頂點在坐標原點的拋物線的標準方程與幾何性質A）
53．過橢圓的右焦點作一條斜率為2的直線與橢圓交于A、B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為______________
解：將橢圓與直線方程聯立：，得交點；
故
54．如圖所示，“嫦娥一號”探月衛星沿地月轉移軌道飛向月球，在月球附近一點軌進入以月球球心為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛星在點第二次變軌進入仍以為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，最終衛星在點第三次變軌進入以為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月飛行，若用和分別表示橢軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸的長，給出下列式子：
①; ②; ③; ④＜.
其中正確式子的序號是
解：由焦點到頂點的距離可知②正確，由橢圓的離心率知③正確，故應選Ｂ．
55．設，橢圓方程為，拋物線方程為．如圖所示，過點作軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為，已知拋物線在點的切線經過橢圓的右焦點．
（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；
（2）設分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點，使得為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標）．
解析：（1）由得，
當得，G點的坐標為，
，，
過點G的切線方程為即，
令得，點的坐標為，由橢圓方程得點的坐標為，
即，即橢圓和拋物線的方程分別為和；
（2）過作軸的垂線與拋物線只有一個交點,以為直角的只有一個，
同理 以為直角的只有一個；
若以為直角，則點在以為直徑的圓上，而以為直徑的圓與拋物線有兩個交點。
所以以為直角的有兩個；
因此拋物線上存在四個點使得為直角三角形。

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