資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第四章 圖形的性質
第十五節 等腰三角形
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1等腰三角形的性質 ☆☆☆ 等腰三角形的相關知識內容是初中幾何中的重要知識點之一，很多幾何模型都與其有關，像經典的“手拉手”模型，半角、二倍角三角函數等都與等腰三角形緊密聯系。在廣東的中考中，等腰三角形相關知識單獨出題的可能性較小，多以綜合形式出現，由于等腰三角形可以放在很多模型中，所以等腰三角形結合其他考點出成題的幾率特別大，分值占比也是比較多的，作為常出現在中等偏上難度試題中的知識內容，在復習時要多注意其中的基本圖形理解和輔助線添法。
考點2 等腰三角形的判定 ☆☆
考點3 等邊三角形的性質 ☆☆☆
考點4 等邊三角形的判定 ☆☆
考點5 三角形的中位線 ☆☆
考點1等腰三角形的性質
1.等腰三角形的性質
（1）等腰三角形的性質定理及推論：
定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）
推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合，即“三線合一”。
推論2：等邊三角形的各個角都相等，并且每個角都等于60°。
（2）等腰三角形的其他性質：
①等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°
②等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）。
③等腰三角形的三邊關系：設腰長為a，底邊長為b，則④等腰三角形的三角關系：設頂角為∠A，底角為∠B、∠C，則∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=
考點2 等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理及推論：
定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）。這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等。
推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形
推論2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。
推論3：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。
等腰三角形的性質與判定
等腰三角形性質 等腰三角形判定
中線 1、等腰三角形底邊上的中線垂直底邊，平分頂角； 2、等腰三角形兩腰上的中線相等，并且它們的交點與底邊兩端點距離相等。 1、兩邊上中線相等的三角形是等腰三角形； 2、如果一個三角形的一邊中線垂直這條邊（平分這個邊的對角），那么這個三角形是等腰三角形
角平分線 1、等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊； 2、等腰三角形兩底角平分線相等，并且它們的交點到底邊兩端點的距離相等。 1、如果三角形的頂角平分線垂直于這個角的對邊（平分對邊），那么這個三角形是等腰三角形； 2、三角形中兩個角的平分線相等，那么這個三角形是等腰三角形。
高線 1、等腰三角形底邊上的高平分頂角、平分底邊； 2、等腰三角形兩腰上的高相等，并且它們的交點和底邊兩端點距離相等。 1、如果一個三角形一邊上的高平分這條邊（平分這條邊的對角），那么這個三角形是等腰三角形； 2、有兩條高相等的三角形是等腰三角形。
角 等邊對等角 等角對等邊
邊 底的一半<腰長<周長的一半 兩邊相等的三角形是等腰三角形
考點3 等邊三角形的性質
（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；
②可以得到它與等腰三角形的關系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對而言的．
（2）等邊三角形的性質：等邊三角形的三個內角都相等，且都等于60°．
等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線是對稱軸．
考點4 等邊三角形的判定
（1）等邊三角形是一個非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關角的計算奠定了基礎，它的邊角性質為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質，解題時要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應用．
（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的直角三角形、連接三邊中點可以把等邊三角形分成四個全等的小等邊三角形等．
（3）等邊三角形判定最復雜，在應用時要抓住已知條件的特點，選取恰當的判定方法，一般地，若從一般三角形出發可以通過三條邊相等判定、通過三個角相等判定；若從等腰三角形出發，則想法獲取一個60°的角判定．
考點5 三角形中的中位線
連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。
（1）三角形共有三條中位線，并且它們又重新構成一個新的三角形。
（2）要會區別三角形中線與中位線。
三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。
三角形中位線定理的作用：
位置關系：可以證明兩條直線平行。
數量關系：可以證明線段的倍分關系。
常用結論：任一個三角形都有三條中位線，由此有：
結論1：三條中位線組成一個三角形，其周長為原三角形周長的一半。
結論2：三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形。
結論3：三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形。
結論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。
結論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等。
考點1 等腰三角形的性質
◇例題
1.（2023 順德區模擬）如圖，AE是△ABC的外角∠CAD的平分線，且AB＝AC，∠ABC＝65°，則∠DAE＝　 　°．
【答案】65
【分析】先由等邊對等角可得∠B＝∠C，根據三角形的外角性質及角平分線定義可得∠DAE＝∠ABC，則可得結果．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AE平分∠CAD，
∴∠DAE＝∠CAE，
∵∠CAD＝∠B+∠C＝∠DAE+∠CAE，
∴∠DAE＝∠ABC＝65°．
故答案為：65．
◆變式訓練
1．（2023 香洲區一模）如圖，在等腰△ABC中，∠B＝∠C＝65°，DE垂直平分AC，則∠BCD的度數等于（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【答案】B
【分析】首先利用線段垂直平分線的性質推出∠DAC＝∠DCA，根據等腰三角形的性質可求出∠ABC＝∠ACB，易求∠BCD的度數．
【解答】解：∵∠ABC＝∠ACB＝65°．
∴∠A＝50°，
∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD＝50°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝15°．
故選：B．
2．（2023 江門三模）已知直線MN∥PQ，將一塊含45°角的直角三角板ABC按如圖方式放置，其中直角頂點A在直線MN上，斜邊BC與直線PQ交于BC的中點D，連接AD．若∠1＝20°，則∠NAD的度數為（　　）
A．70° B．65° C．45° D．75°
【答案】A
【分析】利用等腰三角形的性質可得AD⊥BC，從而可得∠ADB＝90°，然后利用角的和差關系可得∠ADP＝70°，再利用平行線的性質即可解答．
【解答】解：∵AB＝AC，點D是BC的中點，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠1＝20°，
∴∠ADP＝∠ADB﹣∠1＝70°，
∵MN∥PQ，
∴∠NAD＝∠ADP＝70°，
故選：A．
3．（2023 南海區校級三模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，CE平分△ABC的外角∠ACD，則∠1＝　 　．
【答案】57.5°．
【分析】根據等腰三角形的性質推出∠B＝∠ACB＝70°，根據三角形外角性質得到∠ACD＝110°，根據角平分線定義求解即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠B＝∠ACB（180°﹣50°）＝65°，
∴∠ACD＝∠B+∠A＝115°，
∵CE平分△ABC的外角∠ACD，
∴∠1∠ACD＝57.5°，
故答案為：57.5°．
4．（2023 花都區一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在BC邊上，DA＝DB，BE⊥AD，垂足為E，若，則線段BC的長為 　 　．
【答案】．
【分析】作AF⊥BC，判斷出△ABF≌△BAE（AAS），得出BF＝AE即可．
【解答】解：如圖，
作AF⊥BC，
∵AD＝BD，
∴∠DAB＝∠ABD，
∵BE⊥AD，
∴∠AFB＝∠BEA，
在△ABF和△BAE中，
，
∴△ABF≌△BAE（AAS），
∴BF＝AE，
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BFBC，
∴BC＝2AE．
故答案為：．
考點2 等腰三角形的判定
◇例題
1.（2023 龍川縣三模）正方形網格中，網格線的交點稱為格點．如圖，已知A、B是兩格點，使得△ABC為等腰三角形的格點C的個數是（　　）
A．4個 B．5個 C．6個 D．8個
【答案】C
【分析】分三種情況：當AB＝AC時，當BA＝BC時，當CA＝CB時，即可解答．
【解答】解：如圖：
分三種情況：
當AB＝AC時，以點A為圓心，以AB長為半徑作圓，則點C1即為所求；
當BA＝BC時，以點B為圓心，以BA長為半徑作圓，則點C2即為所求；
當CA＝CB時，作AB的垂直平分線，則點C3，C4，C5，C6A即為所求；
綜上所述，使得△ABC為等腰三角形的格點C的個數是6個，
故選：C．
2.（2023 霞山區校級一模）如圖，在△ABC中，AB＝7，AC＝5，BC＝6，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點D，過點D作BC的平行線交AB于點E，交AC于點F．則△AEF的周長為（　　）
A．9 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【分析】根據∠ABC和∠ACB的平分線相交于點D，過點D作BC的平行線交AB于點E，求證∠EDB＝∠EBD，可得BE＝ED，DF＝FC，然后利用AB+AC即可求出△AEF的周長．
【解答】解：∵BD是∠ABC的平分線，
∴∠EBD＝∠DBC，
∵過點D作BC的平行線交AB于點E，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴BE＝ED，
∴∠EDB＝∠EBD，
同理可得DF＝FC，
∴△AEF的周長即為AB+AC＝7+5＝12．
故選：C．
◆變式訓練
1.（2023 廣東模擬）如圖，在△ABC中，點E在BC上，點D在AE上，且∠ABD＝∠ACD，若補充一個條件，可以使BE＝CE，則可以補充的條件為 　 　．（填寫“E為BC中點”不得分）
【答案】AE是∠BAC的平分線（答案不唯一）．
【分析】要使BE＝CE，則要判斷AE是∠BAC的平分線，△ABC是等腰三角形，據此進行分析即可．
【解答】解：①當補充條件是：AE是∠BAC的平分線，
∵AE是∠BAC的平分線，
∴∠BAE＝∠CAE，
在△ABD與△ACD中，
，
∴△ABD與≌△ACD（AAS），
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴AE是BC邊上的中線，
∴BE＝CE；
②當補充條件是：∠BDE＝∠CDE，
可得∠BAE＝∠CAE，
∴AE是∠BAC的平分線，
同①可得BE＝CE；
故答案為：AE是∠BAC的平分線（答案不唯一）．
2．（2023 福田區校級三模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，邊AC上有一點D，使CD＝BC，點E是線段AB的延長線上的一點，連接BD，CE，且∠AEC＝45°，若AB＝5，AD，則CE的長為 　2　．
【答案】2．
【分析】過D作DM∥BC交AB于M，設CD＝x，則BC＝x，AC＝x，由勾股定理得到：x2＝52，即可求出BC的長，由等腰直角三角形的性質求出BD的長，由
平行線等分線段定理得到MB的長，由△ECB∽△DBM，得到EC：BD＝BC：BM，代入有關數據即可求出CE的長．
【解答】解：過D作DM∥BC交AB于M，
設CD＝x，則BC＝x，AC＝x，
∵∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴x2＝52，
∴x（舍去負值），
∴BC＝CD，
∴CD＝AD，
∵DM∥BC，
∴AM＝MBAB，
∵∠BCA＝90°，BC＝CD，
∴△CBD是等腰直角三角形，
∴∠CBD＝45°，BDBC，
∴∠E＝∠CBD＝45°，
∵DM∥BC，
∴∠EBC＝∠BMD，∠BDM＝∠CBD，
∴∠E＝∠BDM，
∴△ECB∽△DBM，
∴EC：BD＝BC：BM，
∴CE：：，
∴CE＝2．
故答案為：2．
3.（2023 潮南區模擬）如圖，在Rt△ABC中，D為斜邊AC的中點，E為BD上一點，F為CE中點．若AE＝AD，DF＝2，則BD的長為（　　）
A．2 B．3 C．2 D．4
【答案】D
【分析】根據三角形中位線可以求得AE的長，再根據AE＝AD，可以得到AD的長，然后根據直角三角形斜邊上的中線和斜邊的關系，可以求得BD的長．
【解答】解：∵D為斜邊AC的中點，F為CE中點，DF＝2，
∴AE＝2DF＝4，
∵AE＝AD，
∴AD＝4，
在Rt△ABC中，D為斜邊AC的中點，
∴BDAC＝AD＝4，
故選：D．
4．（2023 雷州市一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，則下列結論中不正確的是（　　）
A．AD＝AE B．DB＝EC C．∠ADE＝∠C D．DEBC
【答案】D
【分析】由DE與BC平行，得到三角形ADE與三角形ABC相似，由相似得比例，根據AB＝AC，得到AD＝AE，進而確定出DB＝EC，再由兩直線平行同位角相等，以及等腰三角形的底角相等，等量代換得到∠ADE＝∠C，而DE不一定為中位線，即DE不一定為BC的一半，即可得到正確選項．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，∠ADE＝∠B，
∵AB＝AC，
∴AD＝AE，DB＝EC，∠B＝∠C，
∴∠ADE＝∠C，
而DE不一定等于BC，
故選：D．
5．（2022 濠江區一模）如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，過點O的直線DE∥BC，分別交AB、AC于點D、E．
（1）求證：DE＝BD+CE．
（2）若AD＝3，BD＝CE＝2，求BC的值．
【答案】（1）證明見解析；
（2）．
【分析】（1）根據角平分線的定義和平行線的性質可得DO＝DB，EO＝EC，進一步即可得證；
（2）先求出DE和AB的長，根據平行線的性質，可證△ADE∽△ABC，根據相似三角形的性質可得AD：AB＝DE：BC，進一步即可求出BC的長．
【解答】（1）證明：∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，
∴∠DBO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO，
∵DE∥BC，
∴∠DOB＝∠CBO，∠EOC＝∠BCO，
∴∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠ACO，
∴DO＝DB，EO＝EC，
∴DE＝DB+CE；
（2）解：∵BD＝CE＝2，AD＝3，
∴DE＝4，AB＝AD+DB＝5，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴AD：AB＝DE：BC，
即3：5＝4：BC，
∴BC．
考點3 等邊三角形的性質
◇例題
1.（2023 南山區模擬）如圖，直線a∥b，等邊△ABC的頂點C在直線b上，若∠1＝42°，則∠2的度數為（　　）
A．92° B．102° C．112° D．114°
【答案】B
【分析】根據等邊三角形性質求出∠A＝∠ACB＝60°，根據平行線的性質求出∠2的度數．
【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A＝∠ACB＝60°，
∵∠1＝42°，
∴∠ADE＝42°，
∴∠AED＝180°﹣60°﹣42°＝78°，
∴∠AEF＝180°﹣∠AED＝180°﹣78°＝102°，
∵直線a∥直線b，
∴∠2＝∠AEF，
∴∠2＝102°，
故選：B．
◆變式訓練
1．（2023 深圳三模）如圖，△ABC是等邊三角形，以點B為圓心，任意長為半徑畫弧，交AC于點E、F．再分別以E、F為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點D．連接BD交AC于點G，∠ABG度數為（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】D
【分析】由作圖方法可知，BD是EF的垂直平分線，則根據等邊三角形的性質可得．
【解答】解：由作圖方法可知，BD是EF的垂直平分線，
∴BG⊥AC，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴，
故選：D．
2．（2023 南山區校級三模）如圖，直線l1∥l2，△ABC是等邊三角形，∠1＝50°，則∠2的大小為（　　）
A．60° B．80° C．70° D．100°
【答案】C
【分析】根據平行線性質及三角形內角和定理及等邊三角形性質即可求出∠2對頂角的度數，即可得到答案．
【解答】解：
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A＝60°，
∵l1∥l2，∠1＝50°，
∴∠1＝∠3＝50°，
∴∠4＝180°﹣∠3﹣∠A＝70°，
∴∠2＝70°．
故選：C．
3．（2023 越秀區一模）在“玩轉數學”活動中，小林剪掉等邊三角形紙片的一角，如圖所示，發現得到的∠1與∠2的和總是一個定值．則∠1+∠2＝　 度．
【答案】240．
【分析】由三角形外角的性質得到∠1+∠2＝∠A+∠A+∠AED+∠ADE，由三角形內角和定理，即可得到答案．
【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠1＝∠A+∠AED，∠2＝∠A+∠ADE，
∴∠1+∠2＝∠A+∠A+∠AED+∠ADE＝60°+180°＝240°．
故答案為：240．
考點4 等邊三角形的判定
◇例題
（2022 惠城區一模）將兩個直角三角板如圖放置，其中AB＝AC，∠BAC＝∠ECD＝90°，∠D＝60°．如果點A是DE的中點，CE與AB交于點F，則∠BFC的度數為 　 　°．
【答案】120．
【分析】先根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出AC＝AD＝AE，由∠D＝60°，得到△ACD是等邊三角形，那么∠ACD＝60°，∠ACF＝30°，再根據三角形外角的性質可得出答案．
【解答】解；∵∠DCE＝90°，點A是DE的中點，
∴AC＝AD＝AE，
∵∠D＝60°，
∴△ACD是等邊三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴∠ACF＝∠DCE﹣∠ACD＝30°，
∵∠FAC＝90°，
∴∠BFC＝∠FAC+∠ACF＝90°+30°＝120°，
故答案為：120．
◆變式訓練
1．（2023 深圳三模）古代大型武器投石機，是利用杠桿原理將載體以不同的拋物線投射出去的裝置．圖是圖投石機的側面示意圖．AB為炮架的炮梢兩頂點，已知A、B兩點到炮軸O的距離分別為1米和8米，當炮索自然垂落垂直于地面時，落在地面上的繩索還有5米．如圖，拉動炮索，炮梢繞炮軸O旋轉，點A的對應點為A′，點B的對應點為B′．當炮索的頂端在地面且與炮軸在同一直線上時，若AA′垂直地面，∠BOB′＝60°，此時，B′到水平地面的距離是（　　）
A．12 B． C． D．21
【答案】C
【分析】如圖所示，延長AA′交地面于C，延長BB′交地面于D，設此時炮索的位置為E，證明△BOB′、△AOA′都是等邊三角形，得到AA′＝OA＝OA′＝1m，∠B′＝∠AA′O＝60°，再證明AA′∥BB′得到BB′⊥DE，則∠E＝30°，即可得到，，設A′C＝xm，則A′E＝（x+6）m，求出A′E＝12m，即可求出．
【解答】解：如圖所示，延長AA′交地面于C，延長BB′交地面于D，設此時炮索的位置為E，
∵OB＝OB′，OA＝OA′，∠BOB′＝∠AOA′＝60°，
∴△BOB′、△AOA′都是等邊三角形，
∴AA′＝OA＝OA′＝1m，∠B′＝∠AA′O＝60°，
∴AA′∥BB′，
∵AA′⊥DE，
∴BB′⊥DE，
∴∠E＝30°，
∴，，
設A′C＝xm，則炮索的長為x+1+5＝（x+6）m，
∴A′E＝（x+6）m，
∴2x＝x+6，
∴x＝6，
∴A′E＝12m，
∴B′E＝B′O+OA′+A′E＝21m，
∴，
∴B′到水平地面的距離是，
故選：C．
2．（2023 中山市模擬）如圖，在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝45°，在△ABC的外側作等邊△BCD，則AD的長的最大值是 　．
【答案】．
【分析】作△ABC的外接圓⊙E，則三角形ABE是等腰直角三角形，將BE順時針旋轉60°，得到線段BG，連接AG、CE、BG、GD，作BH⊥AG于H，當A、G、D三點共線時，AD最大，利用勾股定理即可解決問題．
【解答】解：作△ABC的外接圓⊙E，∵∠ACB＝45°，則三角形ABE是等腰直角三角形，將BE順時針旋轉60°，得到線段BG，連接AG、CE、BG、GD，作BH⊥AG于H，當A、G、D三點共線時，AD最大，
∵AB＝2，
∴BE＝CEAB，
∵BE＝BG，BC＝BD，∠EBG＝∠CBD＝60°，
∴∠EBC＝∠GBD，
∴△CEB≌△DGB，
∴CE＝DG＝BG，
∵∠AGB＝∠ACB＝45°，
∵BH⊥AG于H，
∴BH＝HG＝1，，
AG+GD≥AD，
故答案為：．
3．（2023 南山區模擬）如圖，等邊三角形ABC邊長為2，點D在BC邊上，且BD＜CD，點E在AB邊上且AE＝BD，連接AD，CE交于點F，在線段FC上截取FG＝FA，連接BG，則線段BG的最小值是 　 　．
【答案】22．
【分析】如圖所示，連接CH，取AC的中點N，連接BN，由全等三角形的性質得到FH＝MH，即點H為MF的中點，則∠ACH＝90°，推出點H在以AC為直徑的圓上運動，故當B、H、N三點共線時，BH有最小值，求出BN，則BH最小1．
【解答】解：如圖所示，連接CH，取AC的中點N，連接BN，延長AD到M，使得FM＝FC，則△FCM是等邊三角形，
∵∠ACB＝∠FCM，
∴∠ACF＝∠BCM，
∵CA＝CB，CF＝CM，
∴△BHM≌△GHF（SAS），
∴FH＝MH，即點H為MF的中點，
∵△FMC 是等邊三角形，
∴CH⊥MF，即∠AHC＝90°，
∴點H在以AC為直徑的圓上運動，
∴當B、H、N三點共線時，BH有最小值，
∴△ABC是等邊三角形，N是AC的中點，
∴BN⊥AC，CNAC＝1，
∴BN，
∴BH最小1．
∵BG＝2BH＝22．
故答案為：22．
考點5三角形的中位線
◇例題
1.（2023 東莞市校級一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分線，且AD＝8，BC＝12，點E為AC中點，則DE的值為（　　）
A．5 B．5.8 C．6 D．6.5
【答案】A
【分析】根據等腰三角形“三線合一”的性質可得，AD⊥BC，根據勾股定理求出AC的長度，最后根據直角三角形斜邊上是中線等于斜邊的一半，即可求解．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是角平分線，
∴，AD⊥BC，
根據勾股定理可得：，
∵點E為AC中點，
∴，
故選：A．
◆變式訓練
1．（2023 南海區模擬）如圖，BD是Rt△ABC斜邊AC的中線，E，F分別是BD，CD的中點，連接EF．若∠A＝60°，AD＝4，則EF的長為 （　　）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】先根據含30度直角三角形的性質和勾股定理求出BC，再根據三角形中位線定理即可求出EF．
【解答】解：∵E，F分別是BD，CD的中點，AD＝4，
∴AC＝8，EF是△BCD的中位線，
∴EFBC，
在Rt△ABC中，∠A＝60°，
∴∠C＝30°，
∴ABAC＝4，
∴BC4，
∴EF42．
故選：B．
2．（2023 雷州市一模）如圖，在△ABC中，點D、點E分別是AB，AC的中點，點F是DE上一點，且∠AFC＝90°，若BC＝12，AC＝8，則DF的長為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根據三角形中位線定理求出DE，根據直角三角形的性質求出FE，計算即可．
【解答】解：∵點D、點E分別是AB，AC的中點，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DEBC，
∵BC＝12，
∴DE＝6，
在Rt△AFC中，∠AFC＝90°，點E是AC的中點，AC＝8，
∴FEAC＝4，
∴DF＝DE﹣FE＝6﹣4＝2，
故選：B．
3．（2023 南海區校級三模）如圖，在四邊形ABCD中，點P是邊CD上的動點，點Q是邊BC上的定點，連接AP，PQ，E，F分別是AP，PQ的中點，連接EF．點P在由C到D運動過程中，線段EF的長度（　　）
A．保持不變 B．逐漸變小
C．先變大，再變小 D．逐漸變大
【答案】A
【分析】連接AQ，根據三角形中位線定理解答即可．
【解答】解：連接AQ，
∵點Q是邊BC上的定點，
∴AQ的大小不變，
∵E，F分別是AP，PQ的中點，
∴EFAQ，
∴線段EF的長度保持不變，
故選：A．
4．（2023 龍崗區校級一模）如圖，AB、CD相交于點O，OC＝2，OD＝3，AC∥BD，EF是△ODB的中位線，且EF＝2，則AC的長為（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出DB，再根據相似三角形對應邊成比例列式計算即可得解．
【解答】解：∵EF是△ODB的中位線，
∴DB＝2EF＝2×2＝4，
∵AC∥BD，
∴△AOC∽△BOD，
∴AC：BD＝OC：OD，
即，
解得AC．
故選：A．
1．（2022 廣東）如圖，在△ABC中，BC＝4，點D，E分別為AB，AC的中點，則DE＝（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】由題意可得DE是△ABC的中位線，再根據三角形中位線的性質即可求出DE的長度．
【解答】解：∵點D，E分別為AB，AC的中點，BC＝4，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DEBC4＝2，
故選：D．
2．（2020 廣州）△ABC中，點D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點，連接DE．若∠C＝68°，則∠AED＝（　　）
A．22° B．68° C．96° D．112°
【答案】B
【分析】根據三角形的中位線定理得到DE∥BC，根據平行線的性質即可求得∠AED＝∠C＝68°．
【解答】解：∵點D、E分別是△ABC的邊AB、AC的中點，
∴DE∥BC，
∴∠AED＝∠C，
∵∠C＝68°，
∴∠AED＝∠C＝68°．
故選：B．
3．（2020 廣東）已知△ABC的周長為16，點D，E，F分別為△ABC三條邊的中點，則△DEF的周長為（　　）
A．8 B．2 C．16 D．4
【答案】A
【分析】根據中位線定理可得DFAC，DEBC，EFAC，繼而結合△ABC的周長為16，可得出△DEF的周長．
【解答】解：∵D、E、F分別為△ABC三邊的中點，
∴DE、DF、EF都是△ABC的中位線，
∴DFAC，DEBC，EFAC，
故△DEF的周長＝DE+DF+EF（BC+AB+AC）16＝8．
故選：A．
4．（2023 廣州）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，點M是邊AC上一動點，點D，E分別是AB，MB的中點，當AM＝2.4時，DE的長是 　 .若點N在邊BC上，且CN＝AM，點F，G分別是MN，AN的中點，當AM＞2.4時，四邊形DEFG面積S的取值范圍是 　 　．
【答案】1.2；3＜S≤4．
【分析】依據題意，根據三角形中位線定理可得DEAM＝1.2；設AM＝x，從而DEx，由DE∥AM，且DEAM，又FG∥AM，FGAM，進而DE∥FG，DE＝FG，從而四邊形DEFG是平行四邊形，結合題意可得DE邊上的高為（4x），故四邊形DEFG面積S＝4xx2，進而利用二次函數的性質可得S的取值范圍．
【解答】解：由題意，點D，E分別是AB，MB的中點，
∴DE是三角形ABM的中位線．
∴DEAM＝1.2．
如圖，
設AM＝x，
∴DEAMx．
由題意得，DE∥AM，且DEAM，
又FG∥AM，FGAM，
∴DE∥FG，DE＝FG．
∴四邊形DEFG是平行四邊形．
由題意，GF到AC的距離是x，BC8，
∴DE邊上的高為（4x）．
∴四邊形DEFG面積S＝2xx2，（x﹣4）2+4．
∵2.4＜x≤6，
∴3≤S≤4．
故答案為：1.2；3≤S≤4．
1．已知等腰三角形一邊長等于4，一邊長等于9，它的周長是（　　）
A．17或22 B．22 C．17 D．13
【答案】B
【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為4和9，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形．
【解答】解：分兩種情況：
當腰為4時，4+4＜9，所以不能構成三角形；
當腰為9時，9+9＞4，9﹣9＜4，所以能構成三角形，周長是：9+9+4＝22．
故選：B．
2．等腰三角形一腰上的高與另一腰上的夾角為30°，則頂角的度數為（　　）
A．60° B．150° C．60°或120° D．60°或150°
【答案】C
【分析】分別從△ABC是銳角三角形與鈍角三角形去分析求解即可求得答案．
【解答】解：如圖（1），
∵AB＝AC，BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝30°，
∴∠A＝60°；
如圖（2），
∵AB＝AC，BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∵∠ABD＝30°，
∴∠BAD＝60°，
∴∠BAC＝120°；
綜上所述，它的頂角度數為：60°或120°．
故選：C．
3．如圖，在△ABC中，AC＝18cm，BC＝20cm，點M從點A出發以每秒2cm的速度向點C運動，點N從點C出發以每秒1.6cm的速度向點B運動，其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動，當△CMN是以MN為底的等腰三角形時，則這時等腰三角形的腰長是（　　）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
【答案】D
【分析】設運動的時間為x秒，則AM＝2x，AN＝18﹣3x，當AMN是等腰三角形時，AM＝AN，則18﹣3x＝2x，解得x即可．
【解答】解：設運動的時間為x秒，
在△ABC中，BC＝20cm，AC＝18cm，
點M從點A出發以每秒2cm的速度向點C運動，點N從點C出發以每秒1.6cm的速度向點B運動，
當△CMN是等腰三角形時，CM＝CN，
CM＝18﹣2x，CN＝1.6x
即18﹣2x＝1.6x，
解得x＝5．
∴CM＝CN＝8（cm），
故選：D．
4．如圖，l1∥l2，點B在直線l1上，點A在直線l2上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°，則∠2的度數是（　　）
A．70° B．65° C．60° D．55°
【答案】A
【分析】利用等腰三角形的性質得到∠C＝∠BAC＝25°，利用平行線的性質得到∠BEA＝95°，再根據三角形外角的性質即可求解．
【解答】解：如圖，
∵AB＝BC，∠C＝25°，
∴∠C＝∠BAC＝25°，
∵l1∥l2，∠1＝60°，
∴∠BEA＝180°﹣60°﹣25°＝95°，
∵∠BEA＝∠C+∠2，
∴∠2＝95°﹣25°＝70°．
故選：A．
5．如圖所示的正方形網格中，網格線的交點稱為格點．已知A、B是兩格點，如果C也是圖中的格點，且使得△ABC為等腰三角形，則點C的個數是（　　）
A．6個 B．7個 C．8個 D．9個
【答案】C
【分析】當AB是腰長時，根據網格結構，找出一個小正方形與A、B頂點相對的頂點，連接即可得到等腰三角形；當AB是底邊時，根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，AB垂直平分線上的格點都可以作為點C，然后相加即可得解．
【解答】解：如圖，分情況討論：
①AB為等腰△ABC的底邊時，符合條件的C點有4個；
②AB為等腰△ABC其中的一條腰時，符合條件的C點有4個．
故選：C．
6．如圖，△ABC的面積為9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，連接PC，則△PBC的面積為（　　）
A．3cm2 B．4cm2 C．4.5cm2 D．5cm2
【答案】C
【分析】根據已知條件證得△ABP≌△EBP，根據全等三角形的性質得到AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出S△PBCS△ABC，代入求出即可．
【解答】解：延長AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝∠EPB＝90°，
在△ABP和△EBP中，，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝PE，
∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，
∴S△PBCS△ABC9cm2＝4.5cm2，
故選：C．
7．如圖，AD、BE分別是△ABC的中線和角平分線，AD⊥BE，AD＝BE＝6，則AC的長為（　　）
A．3 B． C．9 D．
【答案】D
【分析】取CE的中點F，連接DF，根據三角形中位線定理得到DFBE＝3，DF∥BE，根據勾股定理求出AF，進而求出AC．
【解答】解：如圖，取CE的中點F，連接DF，
∵BD＝DC，EF＝FC，
∴DF是△CEB的中位線，
∴DFBE＝3，DF∥BE，
∵AD⊥BE，
∴AD⊥DF，
∴AF3，
∵BE是△ABC的角平分線，AD⊥BE，
∴AH＝HD，
∵DF∥HE，
∴AE＝EF，
∴AC，
故選：D．
8．如圖，等邊三角形ABC中，AD是BC上的高，AB＝2，則BD＝　 　．
【答案】1．
【分析】根據等邊三角形的性質得BC＝AB＝2，進而再根據AD是BC上的高可得出BD的長．
【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，AB＝2，
∴AB＝BC＝2，
∵AD是BC上的高，
∴BD＝CDBC＝1，
故答案為：1．
9．如圖，△ABC為等邊三角形，∠2＝∠3，則∠BEC的度數是 　．
【答案】120°．
【分析】先根據等邊三角形的性質得∠BCA＝60°，再根據∠2＝∠3可得∠BCE＝∠BCA﹣∠3＝60°﹣∠2，由此得∠2+∠BCE＝∠2+60°﹣∠2＝60°，然后再由三角形的內角和定理可得出∠BEC的度數．
【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠BCA＝60°，
又∵∠2＝∠3，
∴∠BCE＝∠BCA﹣∠3＝60°﹣∠2，
∴∠2+∠BCE＝∠2+60°﹣∠2＝60°，
∴∠BEC＝180°﹣（∠2+∠BCE）＝180°﹣60°＝120°．
故答案為：120°
10．如圖所示，某居民小區為了美化居住環境，要在一塊三角形ABC空地上圍一個四邊形花壇BCFE，已知點E、F分別是邊AB、AC的中點，量得BC＝16米，則EF的長是 　 米．
【答案】8．
【分析】根據三角形的中位線定理計算即可．
【解答】解：∵點E、F分別是邊AB、AC的中點，
∴EF是△ABC的中位線，
∴，
∵BC＝16米，
∴EF＝8米，
故答案為：8．
11．等邊△ABC的邊長6cm．則其面積為　 　．
【答案】見試題解答內容
【分析】根據題意畫出圖形，根據等邊三角形的性質得出AB＝AC＝C，∠B＝60°，由銳角三角函數的定義求出AD的長，根據三角形的面積公式即可得出結論．
【解答】解：如圖所示：
∵△ABC是等邊三角形，AB＝6cm，
∴AB＝AC＝C，∠B＝60°，
∴AD＝AB sin60°＝63，
∴S△ABCBC AD3×3cm2，
故答案為：cm2．
12．已知等腰△ABC的周長是32，且腰長比底邊長的2倍少4，求等腰△ABC的三條邊的長．
【答案】12，12，8．
【分析】利用等腰三角形的性質，設出未知數，列方程組即可求解；
【解答】解：設等腰△ABC的腰長為x，底邊長為y，
根據題意得，，
解得，，
∴等腰△ABC的三邊的長為12，12，8．
13．如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，E，F，G，H分別是AB，CD，AC，EF的中點，求證：GH⊥EF．
【答案】見試題解答內容
【分析】根據三角形中位線的性質得到FGAD，EGBC，由AD＝BC，于是得到FG＝GE，根據等腰三角形的性質即可得到結論．
【解答】證明：∵E，F，G分別是AB，CD，AC的中點，
∴FGAD，EGBC，
∵AD＝BC，
∴FG＝GE，
∵H是EF的中點，
∴GH⊥EF．
14．如圖，已知D為BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，點E，F為垂足，且BE＝CF，∠BDE＝30°，求證：△ABC是等邊三角形．
【答案】見試題解答內容
【分析】利用“HL”證明△BED和△CFD全等，再根據全等三角形對應角相等可得∠B＝∠C，然后根據等角對等邊得到AB＝AC，再求得∠B＝60°，即可解答．
【解答】證明：∵D是BC的中點，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BED和△CFD都是直角三角形，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC（等角對等邊）．
∵∠BDE＝30°，DE⊥AB，
∴∠B＝60°，
∴△ABC是等邊三角形．
15．如圖1，已知CA平分∠MCN，AB∥CN．
（1）求證：AB＝CB；
（2）作∠ABC的平分線，分別交AC，CN于E，D兩點（如圖2），若∠MCN＝60°，AB＝2，求CE的長．
【答案】（1）見解析；
（2）．
【分析】（1）根據平行線的性質和角平分線的定義證明∠MCA＝∠BAC，根據等角對等邊即可得出答案；
（2）先求出，根據等腰三角形的性質得出BE⊥AC，根據直角三角形的性質求出1，最后根據勾股定理求出結果即可．
【解答】（1）證明：∵AB∥CN，
∴∠BAC＝∠ACN，
∵CA平分∠MCN，
∴∠MCA＝∠ACN，
∴∠MCA＝∠BAC，
∴BA＝BC．
（2）解：∵∠MCN＝60°，CA平分∠MCN，
∴，
∵BA＝BC，BD平分∠CBA，
∴BE⊥AC
∵BA＝BC＝2
∴1，
∴．
16．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為CA延長線上一點，DE⊥BC于點E，交AB于點F，若AF＝BF．
求證：（1）△ADF是等腰三角形．
（2）DF＝2EF．
【答案】（1）見解答；
（2）見解答．
【分析】（1）由等腰三角形的性質和余角的性質可證得∠D＝∠DFA，根據等腰三角形的判定即可證得結論；
（2）過A作AH⊥DE于H，由等腰三角形的性質可得DH＝FH，根據全等三角形的判定證得△AFH≌△BFE，得到DH＝FH＝EF，即可求出DF＝2EF．
【解答】證明：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠B+∠BFE＝∠C+∠D＝90°，
∴∠D＝∠BFE，
∵∠BFE＝∠DFA，
∴∠D＝∠DFA，
∴AD＝AF，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）過A作AH⊥DE于H，
∵DE⊥BC，
∴∠AHF＝∠BEF＝90°，
由（1）知，AD＝AF，
∴DH＝FH，
在△AFH和△BFE中，
，
∴△AFH≌△BFE（AAS），
∴FH＝EF，
∴DH＝FH＝EF，
∴DF＝2EF．
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第四章 圖形的性質
第十五節 等腰三角形
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1等腰三角形的性質 ☆☆☆ 等腰三角形的相關知識內容是初中幾何中的重要知識點之一，很多幾何模型都與其有關，像經典的“手拉手”模型，半角、二倍角三角函數等都與等腰三角形緊密聯系。在廣東的中考中，等腰三角形相關知識單獨出題的可能性較小，多以綜合形式出現，由于等腰三角形可以放在很多模型中，所以等腰三角形結合其他考點出成題的幾率特別大，分值占比也是比較多的，作為常出現在中等偏上難度試題中的知識內容，在復習時要多注意其中的基本圖形理解和輔助線添法。
考點2 等腰三角形的判定 ☆☆
考點3 等邊三角形的性質 ☆☆☆
考點4 等邊三角形的判定 ☆☆
考點5 三角形的中位線 ☆☆
考點1等腰三角形的性質
1.等腰三角形的性質
（1）等腰三角形的性質定理及推論：
定理：等腰三角形的兩個_____相等（簡稱：等邊對等角）
推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合，即“三線合_____”。
推論2：等邊三角形的各個角都相等，并且每個角都等于60°。
（2）等腰三角形的其他性質：
①等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°
②等腰三角形的底角只能為_____，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）。
③等腰三角形的三邊關系：設腰長為a，底邊長為b，則④等腰三角形的三角關系：設頂角為∠A，底角為∠B、∠C，則∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=
考點2 等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理及推論：
定理：如果一個三角形有兩個角_____，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）。這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等。
推論1：三個角都_____的三角形是等邊三角形
推論2：有一個角是_____的等腰三角形是等邊三角形。
推論3：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的_____。
等腰三角形的性質與判定
等腰三角形性質 等腰三角形判定
中線 1、等腰三角形底邊上的中線垂直底邊，平分頂角； 2、等腰三角形兩腰上的中線相等，并且它們的交點與底邊兩端點距離相等。 1、兩邊上中線相等的三角形是等腰三角形； 2、如果一個三角形的一邊中線垂直這條邊（平分這個邊的對角），那么這個三角形是等腰三角形
角平分線 1、等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊； 2、等腰三角形兩底角平分線相等，并且它們的交點到底邊兩端點的距離相等。 1、如果三角形的頂角平分線垂直于這個角的對邊（平分對邊），那么這個三角形是等腰三角形； 2、三角形中兩個角的平分線相等，那么這個三角形是等腰三角形。
高線 1、等腰三角形底邊上的高平分頂角、平分底邊； 2、等腰三角形兩腰上的高相等，并且它們的交點和底邊兩端點距離相等。 1、如果一個三角形一邊上的高平分這條邊（平分這條邊的對角），那么這個三角形是等腰三角形； 2、有兩條高相等的三角形是等腰三角形。
角 等邊對等角 等角對等邊
邊 底的一半<腰長<周長的一半 兩邊相等的三角形是等腰三角形
考點3 等邊三角形的性質
（1）等邊三角形的定義：三條邊都_____的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的_____三角形．
①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；
②可以得到它與等腰三角形的關系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對而言的．
（2）等邊三角形的性質：等邊三角形的三個內角都相等，且都等于60°．
等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線是對稱軸．
考點4 等邊三角形的判定
（1）等邊三角形是一個非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關角的計算奠定了基礎，它的邊角性質為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質，解題時要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應用．
（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的直角三角形、連接三邊中點可以把等邊三角形分成四個全等的小等邊三角形等．
（3）等邊三角形判定最復雜，在應用時要抓住已知條件的特點，選取恰當的判定方法，一般地，若從一般三角形出發可以通過三條邊相等判定、通過三個角相等判定；若從等腰三角形出發，則想法獲取一個60°的角判定．
考點5 三角形中的中位線
連接三角形兩邊_____的線段叫做三角形的中位線。
（1）三角形共有三條中位線，并且它們又重新構成一個新的三角形。
（2）要會區別三角形中線與中位線。
三角形中位線定理：三角形的中位線_____于第三邊，并且等于它的_____。
三角形中位線定理的作用：
位置關系：可以證明兩條直線平行。
數量關系：可以證明線段的倍分關系。
常用結論：任一個三角形都有三條中位線，由此有：
結論1：三條中位線組成一個三角形，其周長為原三角形周長的一半。
結論2：三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形。
結論3：三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形。
結論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。
結論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等。
考點1 等腰三角形的性質
◇例題
1.（2023 順德區模擬）如圖，AE是△ABC的外角∠CAD的平分線，且AB＝AC，∠ABC＝65°，則∠DAE＝　 　°．
◆變式訓練
1．（2023 香洲區一模）如圖，在等腰△ABC中，∠B＝∠C＝65°，DE垂直平分AC，則∠BCD的度數等于（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
2．（2023 江門三模）已知直線MN∥PQ，將一塊含45°角的直角三角板ABC按如圖方式放置，其中直角頂點A在直線MN上，斜邊BC與直線PQ交于BC的中點D，連接AD．若∠1＝20°，則∠NAD的度數為（　　）
A．70° B．65° C．45° D．75°
3．（2023 南海區校級三模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，CE平分△ABC的外角∠ACD，則∠1＝　 　．
4．（2023 花都區一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在BC邊上，DA＝DB，BE⊥AD，垂足為E，若，則線段BC的長為 　 　．
考點2 等腰三角形的判定
◇例題
1.（2023 龍川縣三模）正方形網格中，網格線的交點稱為格點．如圖，已知A、B是兩格點，使得△ABC為等腰三角形的格點C的個數是（　　）
A．4個 B．5個 C．6個 D．8個
2.（2023 霞山區校級一模）如圖，在△ABC中，AB＝7，AC＝5，BC＝6，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點D，過點D作BC的平行線交AB于點E，交AC于點F．則△AEF的周長為（　　）
A．9 B．11 C．12 D．13
◆變式訓練
1.（2023 廣東模擬）如圖，在△ABC中，點E在BC上，點D在AE上，且∠ABD＝∠ACD，若補充一個條件，可以使BE＝CE，則可以補充的條件為 　 　．（填寫“E為BC中點”不得分）
2．（2023 福田區校級三模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，邊AC上有一點D，使CD＝BC，點E是線段AB的延長線上的一點，連接BD，CE，且∠AEC＝45°，若AB＝5，AD，則CE的長為 　 　．
3.（2023 潮南區模擬）如圖，在Rt△ABC中，D為斜邊AC的中點，E為BD上一點，F為CE中點．若AE＝AD，DF＝2，則BD的長為（　　）
A．2 B．3 C．2 D．4
4．（2023 雷州市一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，則下列結論中不正確的是（　　）
A．AD＝AE B．DB＝EC C．∠ADE＝∠C D．DEBC
5．（2022 濠江區一模）如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，過點O的直線DE∥BC，分別交AB、AC于點D、E．
（1）求證：DE＝BD+CE．
（2）若AD＝3，BD＝CE＝2，求BC的值．
考點3 等邊三角形的性質
◇例題
1.（2023 南山區模擬）如圖，直線a∥b，等邊△ABC的頂點C在直線b上，若∠1＝42°，則∠2的度數為（　　）
A．92° B．102° C．112° D．114°
◆變式訓練
1．（2023 深圳三模）如圖，△ABC是等邊三角形，以點B為圓心，任意長為半徑畫弧，交AC于點E、F．再分別以E、F為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點D．連接BD交AC于點G，∠ABG度數為（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
2．（2023 南山區校級三模）如圖，直線l1∥l2，△ABC是等邊三角形，∠1＝50°，則∠2的大小為（　　）
A．60° B．80° C．70° D．100°
3．（2023 越秀區一模）在“玩轉數學”活動中，小林剪掉等邊三角形紙片的一角，如圖所示，發現得到的∠1與∠2的和總是一個定值．則∠1+∠2＝　 度．
考點4 等邊三角形的判定
◇例題
（2022 惠城區一模）將兩個直角三角板如圖放置，其中AB＝AC，∠BAC＝∠ECD＝90°，∠D＝60°．如果點A是DE的中點，CE與AB交于點F，則∠BFC的度數為 　 　°．
◆變式訓練
1．（2023 深圳三模）古代大型武器投石機，是利用杠桿原理將載體以不同的拋物線投射出去的裝置．圖是圖投石機的側面示意圖．AB為炮架的炮梢兩頂點，已知A、B兩點到炮軸O的距離分別為1米和8米，當炮索自然垂落垂直于地面時，落在地面上的繩索還有5米．如圖，拉動炮索，炮梢繞炮軸O旋轉，點A的對應點為A′，點B的對應點為B′．當炮索的頂端在地面且與炮軸在同一直線上時，若AA′垂直地面，∠BOB′＝60°，此時，B′到水平地面的距離是（　　）
A．12 B． C． D．21
2．（2023 中山市模擬）如圖，在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝45°，在△ABC的外側作等邊△BCD，則AD的長的最大值是 　．
3．（2023 南山區模擬）如圖，等邊三角形ABC邊長為2，點D在BC邊上，且BD＜CD，點E在AB邊上且AE＝BD，連接AD，CE交于點F，在線段FC上截取FG＝FA，連接BG，則線段BG的最小值是 　 　．
考點5三角形的中位線
◇例題
1.（2023 東莞市校級一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分線，且AD＝8，BC＝12，點E為AC中點，則DE的值為（　　）
A．5 B．5.8 C．6 D．6.5
◆變式訓練
1．（2023 南海區模擬）如圖，BD是Rt△ABC斜邊AC的中線，E，F分別是BD，CD的中點，連接EF．若∠A＝60°，AD＝4，則EF的長為 （　　）
A．3 B． C． D．
2．（2023 雷州市一模）如圖，在△ABC中，點D、點E分別是AB，AC的中點，點F是DE上一點，且∠AFC＝90°，若BC＝12，AC＝8，則DF的長為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023 南海區校級三模）如圖，在四邊形ABCD中，點P是邊CD上的動點，點Q是邊BC上的定點，連接AP，PQ，E，F分別是AP，PQ的中點，連接EF．點P在由C到D運動過程中，線段EF的長度（　　）
A．保持不變 B．逐漸變小
C．先變大，再變小 D．逐漸變大
4．（2023 龍崗區校級一模）如圖，AB、CD相交于點O，OC＝2，OD＝3，AC∥BD，EF是△ODB的中位線，且EF＝2，則AC的長為（　　）
A． B． C．2 D．
1．（2022 廣東）如圖，在△ABC中，BC＝4，點D，E分別為AB，AC的中點，則DE＝（　　）
A． B． C．1 D．2
2．（2020 廣州）△ABC中，點D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點，連接DE．若∠C＝68°，則∠AED＝（　　）
A．22° B．68° C．96° D．112°
3．（2020 廣東）已知△ABC的周長為16，點D，E，F分別為△ABC三條邊的中點，則△DEF的周長為（　　）
A．8 B．2 C．16 D．4
4．（2023 廣州）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，點M是邊AC上一動點，點D，E分別是AB，MB的中點，當AM＝2.4時，DE的長是 　 .若點N在邊BC上，且CN＝AM，點F，G分別是MN，AN的中點，當AM＞2.4時，四邊形DEFG面積S的取值范圍是 　 　．
1．已知等腰三角形一邊長等于4，一邊長等于9，它的周長是（　　）
A．17或22 B．22 C．17 D．13
2．等腰三角形一腰上的高與另一腰上的夾角為30°，則頂角的度數為（　　）
A．60° B．150° C．60°或120° D．60°或150°
3．如圖，在△ABC中，AC＝18cm，BC＝20cm，點M從點A出發以每秒2cm的速度向點C運動，點N從點C出發以每秒1.6cm的速度向點B運動，其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動，當△CMN是以MN為底的等腰三角形時，則這時等腰三角形的腰長是（　　）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
4．如圖，l1∥l2，點B在直線l1上，點A在直線l2上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°，則∠2的度數是（　　）
A．70° B．65° C．60° D．55°
5．如圖所示的正方形網格中，網格線的交點稱為格點．已知A、B是兩格點，如果C也是圖中的格點，且使得△ABC為等腰三角形，則點C的個數是（　　）
A．6個 B．7個 C．8個 D．9個
6．如圖，△ABC的面積為9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，連接PC，則△PBC的面積為（　　）
A．3cm2 B．4cm2 C．4.5cm2 D．5cm2
7．如圖，AD、BE分別是△ABC的中線和角平分線，AD⊥BE，AD＝BE＝6，則AC的長為（　　）
A．3 B． C．9 D．
8．如圖，等邊三角形ABC中，AD是BC上的高，AB＝2，則BD＝　 　．
9．如圖，△ABC為等邊三角形，∠2＝∠3，則∠BEC的度數是 　．
10．如圖所示，某居民小區為了美化居住環境，要在一塊三角形ABC空地上圍一個四邊形花壇BCFE，已知點E、F分別是邊AB、AC的中點，量得BC＝16米，則EF的長是 　 米．
11．等邊△ABC的邊長6cm．則其面積為　 　．
12．已知等腰△ABC的周長是32，且腰長比底邊長的2倍少4，求等腰△ABC的三條邊的長．
13．如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，E，F，G，H分別是AB，CD，AC，EF的中點，求證：GH⊥EF．
14．如圖，已知D為BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，點E，F為垂足，且BE＝CF，∠BDE＝30°，求證：△ABC是等邊三角形．
15．如圖1，已知CA平分∠MCN，AB∥CN．
（1）求證：AB＝CB；
（2）作∠ABC的平分線，分別交AC，CN于E，D兩點（如圖2），若∠MCN＝60°，AB＝2，求CE的長．
16．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為CA延長線上一點，DE⊥BC于點E，交AB于點F，若AF＝BF．
求證：（1）△ADF是等腰三角形．
（2）DF＝2EF．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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