資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第四章 圖形的性質
第十六節 直角三角形
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 直角三角形的性質與判定 ☆☆ 廣東數學中考中，直角三角形相關知識是解決幾何題的重要工具，一般在較為綜合的試題中體現，考查難度有簡單，也有中等偏上難度的題，?？贾R有：直角三角形的相關性質定理、勾股定理及其逆定理等，像含30°、45°這些特殊角的直角三角形，更加是熱門出題方向。結合近些年的中考情況，在復習這一板塊的知識時，需要熟練掌握直角三角形的各種性質與判定方法，同時學會構造含特殊角的直角三角形解決問題。
考點2 含30度角的直角三角形 ☆☆
考點3 直角三角形斜邊上的中線 ☆☆
考點4 勾股定理及其應用 ☆☆
考點5 等腰直角三角形 ☆☆
考點1 直角三角形的性質與判定
性質 直角三角形的兩個銳角_____
直角三角形斜邊上的中線等于斜邊長的_____
在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于_____的一半
判定 有一個角是_____的三角形是直角三角形
有兩個角_____的三角形是直角三角形
考點2 含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性質：
在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．
（2）此結論是由等邊三角形的性質推出，體現了直角三角形的性質，它在解直角三角形的相關問題中常用來求邊的長度和角的度數．
（3）注意：①該性質是直角三角形中含有特殊度數的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應用；
②應用時，要注意找準30°的角所對的直角邊，點明斜邊．
考點3 直角三角形斜邊上的中線
（1）性質：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的_____．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點）
（2）定理：一個三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形．
該定理可以用來判定直角三角形．
考點4 勾股定理及其應用
1.勾股定理
（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于_____的平方．
如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理應用的前提條件是在_____中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的變形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．
2.勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．
說明：
①勾股定理的逆定理驗證利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理將數轉化為形，作用是判斷一個三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．
（2）運用勾股定理的逆定理解決問題的實質就是判斷一個角是不是直角．然后進一步結合其他已知條件來解決問題．
注意：要判斷一個角是不是直角，先要構造出三角形，然后知道三條邊的_____，用_____的兩條邊的平方和與_____的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．
3.勾股定理的應用
（1）在不規則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．
（2）在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數學模型，畫出準確的示意圖．領會數形結合的思想的應用．
（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關線段的長度．
②由勾股定理演變的結論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和．
③勾股定理在實際問題中的應用：運用勾股定理的數學模型解決現實世界的實際問題．
④勾股定理在數軸上表示無理數的應用：利用勾股定理把一個無理數表示成直角邊是兩個正整數的直角三角形的斜邊．
考點5 等腰直角三角形
（1）兩條_____相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質．即：兩個銳角都是45°，斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內切圓的直徑（因為等腰直角三角形的兩個小角均為45°，高又垂直于斜邊，所以兩個小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等）；
（3）若設等腰直角三角形內切圓的半徑r＝1，則外接圓的半徑R1，所以r：R＝1：1．
考點1 直角三角形的性質與判定
◇例題
1.（2023 惠州校級模擬）如圖，直線a∥b，Rt△ABC的直角頂點C在直線b上，若∠1＝40°，則∠2的度數為 　 　．
◆變式訓練1．（2023 曲江區校級三模）如圖，直線a∥b，Rt△ABC的直角頂點A落在直線a上，點B落在直線b上，若∠1＝15°，∠2＝25°，則∠ABC的大小為（　　）
A．40° B．45° C．50° D．55°
2．（2023 麻章區二模）直角三角形兩銳角的平分線所夾的鈍角的度數為（　?。?br/>A．100度 B．120度 C．135度 D．140度
3．（2023 大埔縣一模）如圖，已知l∥AB，CD⊥l于點D，若∠C＝40°，則∠1的度數是（　?。?br/>A．30° B．40° C．50° D．60°
4．（2023 羅湖區校級自主招生）如圖，已知Rt△ABC中，∠B＝30°，BE＝AC，求AB+DE＝480時，DE的長度為 　 　．
考點2 含30度角的直角三角形
◇例題
1.（2023 海珠區校級二模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于點E，BE＝4，則AC＝　 ?。?br/>◆變式訓練
1．（2023 香洲區校級一模）如圖，三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，AB＝8，則BD的長為（　?。?br/>A．1 B．2 C．2.5 D．3
2．（2023 高州市二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥AB交BC于點D，∠BAC＝120°，AD＝5，則BC的長為（　?。?br/>A．7.5 B．10 C．15 D．20
3．（2023 龍崗區校級一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝16，點P是斜邊AB上一點，過點P作PQ⊥AB，垂足為P，交邊AC（或邊CB）于點Q，設AP＝x，當△APQ的面積為時，x的值為 ?。?br/>4．（2023 海珠區校級二模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，邊AB的垂直平分線交BC于點D，交AB于點E，連接AD．若BD＝6，則AC＝　 　．
考點3 直角三角形斜邊上的中線
◇例題
1.（2023 中山市校級一模）如圖，在Rt△ABC中∠ABC＝90°，∠C＝60°，點D為邊AC的中點，BD＝2，則AB的長為（　　）
A． B． C．2 D．4
◆變式訓練
1．（2023 開平市二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AF⊥BC于 F，BE⊥AC于E，且點D是AB的中點，若△DEF的周長是11，則AF＝ ?。?br/>2．（2023 深圳模擬）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB的中點，過點B作BD⊥AB，交CE的延長線于點D，若BD＝4，CD＝8，則AC＝　 ．
3．（2023 江門二模）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，線段DE的兩個端點D，E分別在邊AC，BC上滑動，且DE＝6，若點M，N分別是DE，AB的中點，則MN的最小值為 　 ．
考點4 勾股定理及其應用
◇例題
1.（2023 潮陽區一模）如圖，以直角三角形的三邊為邊向外作正方形，根據圖中數據，可得出正方形A的面積是（　?。?br/>A．12 B．24 C．30 D．10
2.（2022 禪城區校級模擬）如圖所示的網格是正方形網格，則∠PAB+∠PBA＝　 　°（點A，B，P是網格線交點）．
3.（2023 南山區一模）紫砂壺是我國特有的手工制造陶土工藝品，其制作過程需要幾十種不同的工具，其中有一種工具名為“帶刻度嘴巴架”，其形狀及使用方法如圖1．當制壺藝人把“帶刻度嘴巴架”上圓弧部分恰好貼在壺口邊界時，就可以保證要粘貼的壺嘴、壺把、壺口中心在一條直線上．圖2是正確使用該工具時的示意圖．如圖3，⊙O為某紫砂壺的壺口，已知A，B兩點在⊙O上，直線l過點O，且l⊥AB于點D，交⊙O于點C．若AB＝30mm，CD＝5mm，則這個紫砂壺的壺口半徑r的長為 　 　mm．
◆變式訓練
1.（2023 潮南區一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為中線，延長CB至點E，使BE＝BC，連接DE，F為DE的中點，連接BF，若AC＝8，BC＝6，則BF的長為（　?。?br/>A．2 B．2.5 C．3 D．4
2．（2023 惠城區一模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，以點B為圓心，BC長為半徑畫弧，交線段AB于點D；以點A為圓心，AD長為半徑畫弧，交線段AC于點E．若AE＝2EC，則（　　）
A． B． C． D．
3．（2023 越秀區一模）如圖，四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點E，且AC⊥BD，AC＝AD，∠CBD＝∠CAD，CB＝5，，則AD的長是（　?。?br/>A．9 B．10 C． D．
4．（2023 東莞市校級一模）下列長度的三條線段不能組成直角三角形的是（　　）
A．3cm，4cm，5cm B．4cm，3cm，
C．6cm，8cm，9cm D．1cm，，
5．（2022 南海區校級三模）如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5．將△ABC沿著點A到點C的方向平移到△DEF的位置，圖中陰影部分面積為4，則平移的距離為（　?。?br/>A．3 B． C．3 D．2
6．（2022 廣東三模）在四邊形ACBD中，AC⊥BC且BC＝2，AD＝3，AB＝4，BD＝5，則∠CAD＝　 　．
7．（2023 龍崗區校級一模）如圖，一根樹在離地面3米處斷裂，樹的頂部落在離底部4米處，樹折斷之前有　 　米．
8．（2023 潮州模擬）如圖，一根長為18cm的牙刷置于底面直徑為5cm、高為12cm的圓柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的長度h cm，則h的取值范圍是 　 ?。?br/>3．（2023 中山市三模）某高鐵站入口的雙翼閘機如圖所示，它的雙翼展開時，雙翼邊緣的端點A與B之間的距離為10cm．雙翼的邊緣AC＝BD＝54cm，且與閘機側立面夾角∠ACP＝∠BDQ＝30°．一名旅客攜帶一件長方體行李箱進站，行李箱規格為60×80×100（長×寬×高，單位：cm）．當雙翼收回進閘機箱內時，該旅客的行李箱是否可以通過閘機？請說明理由．
考點5 等腰直角三角形
◇例題
（2023 中山市二模）如圖，△ABC與△BDE均為等腰直角三角形，點A，B，E在同一直線上，BD⊥AE，垂足為點B，點C在BD上，AB＝4，BE＝10．將△ABC沿BE方向平移，當這兩個三角形重疊部分的面積等于△ABC面積的一半時，△ABC平移的距離為 　．
◆變式訓練
1.（2023 深圳一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝10，用尺規作圖的方法作線段AD和線段DE，保留作圖痕跡如圖所示，認真觀察作圖痕跡，則△BDE的周長是（　?。?br/>A．8 B．5 C． D．10
2．（2023 廣東模擬）如圖，直線l與m平行，將等腰直角三角板ABC的直角頂點C放在直線m上，若∠2＝20°，則∠1的度數為（　?。?br/>A．20° B．25° C．30° D．35°
3．（2023 深圳模擬）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D是BC上的一點，AC＝DC，AB⊥AE，且AE＝AB，連接DE交AC的延長線于點F，，則　 ．
1．（2021 廣州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，線段AB的垂直平分線分別交AC、AB于點D、E，連接BD．若CD＝1，則AD的長為 ．
2．（2021 深圳）如圖，已知∠BAC＝60°，AD是角平分線且AD＝10，作AD的垂直平分線交AC于點F，作DE⊥AC，則△DEF周長為 　 　．
1．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點D在邊BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于點E．若AC＝12，BC＝16，則AE的長為（　?。?br/>A．6 B．8 C．10 D．12
2．如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝30°，CD⊥AC交AB于點D，CD＝1，則AB的長是（　?。?br/>A．3 B． C．4 D．
3．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分線交BC于點D．若BD＝6，則AC的長為（　?。?br/>A．3 B．4 C．5 D．6
4．下列四組數，是勾股數的是（　　）
A．0.3，0.4，0.5 B．30，40，50
C．6，7，8 D．32，42，52
5．下列條件中，不能判斷△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝1：1：2 B．a：b：c＝3：4：5
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a：b：c＝1：2：
6．12世紀，印度一位著名數學家婆什迦羅在他的名著《麗羅娃提》中記載了一個有趣的問題：“平平湖水清可鑒，面上半尺生紅蓮；出泥不染亭亭立，忽被強風吹一邊；漁人觀看忙向前，花離原位二尺遠；能算諸君請解題，湖水如何知深淺？”
這首詩的大意是：在平靜的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一陣強風吹來把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．此時，捕魚的人發現，花在水平方向上離開原來的位置2尺遠，由此可知湖水的深度是（　　）
A．4.25尺 B．3.75尺 C．2.25尺 D．2尺
7．下列給出的四組數中，不能構成直角三角形三邊的一組是（　?。?br/>A．1，2， B．2，3，4 C．3，4，5 D．5，12，13
8．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，D為邊AB的中點，則∠BCD＝　　°．
9．在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，若AB＝8，則CD的長是 　?。?br/>10．如圖是單位長度為1的正方形網格，格點上A、B兩點間的距離為 　?。?br/>11．已知直角三角形三邊長分別是a+1，a+2，a+3，則a的值為 　?。?br/>12．如圖，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝120°，AB的垂直平分線MN交AC于點D，AD＝3cm，則CD的長是 　　cm．
13．某校秉承“學會生活，學會學習，學會做人”的辦學理念，將本校的辦學理念做成宣傳牌（AB），放置在教室的黑板上面（如圖所示）．在三月雷鋒活動中小明搬來一架梯子（AE＝5米）靠在宣傳牌（AB）A處，底端落在地板E處，然后移動的梯子使頂端落在宣傳牌（AB）的B處，而底端E向外移到了1米到C處（CE＝1米）．測量得BM＝4米．求宣傳牌（AB）的高度（結果用根號表示）．
14．如圖，在△ABC中，D是BC上一點，若AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17．
（1）求∠ADB的度數；
（2）求BC的長．
15．為了綠化環境，我縣某中學有一塊空地，如圖所示，學校計劃在空地上種植草皮，經測量AD＝8m，CD＝6m，∠D＝90°，AB＝26m，BC＝24m．求出該空地的面積．
16．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4．動點P從點A出發，沿AB以每秒2個單位長度的速度向終點B運動．過點P作PD⊥AC于點D（點P不與點A、B重合），作∠DPQ＝60°，邊PQ交射線DC于點Q．設點P的運動時間為t秒．
（1）用含t的代數式表示線段DC的長；
（2）當點Q與點C重合時，求t的值．
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第四章 圖形的性質
第十六節 直角三角形
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 直角三角形的性質與判定 ☆☆☆ 廣東數學中考中，直角三角形相關知識是解決幾何題的重要工具，一般在較為綜合的試題中體現，考查難度有簡單，也有中等偏上難度的題，?？贾R有：直角三角形的相關性質定理、勾股定理及其逆定理等，像含30°、45°這些特殊角的直角三角形，更加是熱門出題方向。結合近些年的中考情況，在復習這一板塊的知識時，需要熟練掌握直角三角形的各種性質與判定方法，同時學會構造含特殊角的直角三角形解決問題。
考點2 含30度角的直角三角形 ☆☆
考點3 直角三角形斜邊上的中線 ☆☆
考點4 勾股定理及其應用 ☆☆
考點5 等腰直角三角形 ☆☆
考點1 直角三角形的性質與判定
性質 直角三角形的兩個銳角互余
直角三角形斜邊上的中線等于斜邊長的一半
在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊長的一半
判定 有一個角是90°的三角形時直角三角形
有兩個角互余的三角形是直角三角形
考點2 含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性質：
在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．
（2）此結論是由等邊三角形的性質推出，體現了直角三角形的性質，它在解直角三角形的相關問題中常用來求邊的長度和角的度數．
（3）注意：①該性質是直角三角形中含有特殊度數的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應用；
②應用時，要注意找準30°的角所對的直角邊，點明斜邊．
考點3 直角三角形斜邊上的中線
（1）性質：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點）
（2）定理：一個三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形．
該定理可以用來判定直角三角形．
考點4 勾股定理及其應用
1.勾股定理
（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．
如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的變形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．
2.勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．
說明：
①勾股定理的逆定理驗證利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理將數轉化為形，作用是判斷一個三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．
（2）運用勾股定理的逆定理解決問題的實質就是判斷一個角是不是直角．然后進一步結合其他已知條件來解決問題．
注意：要判斷一個角是不是直角，先要構造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．
3.勾股定理的應用
（1）在不規則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．
（2）在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數學模型，畫出準確的示意圖．領會數形結合的思想的應用．
（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關線段的長度．
②由勾股定理演變的結論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和．
③勾股定理在實際問題中的應用：運用勾股定理的數學模型解決現實世界的實際問題．
④勾股定理在數軸上表示無理數的應用：利用勾股定理把一個無理數表示成直角邊是兩個正整數的直角三角形的斜邊．
考點5 等腰直角三角形
（1）兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質．即：兩個銳角都是45°，斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內切圓的直徑（因為等腰直角三角形的兩個小角均為45°，高又垂直于斜邊，所以兩個小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等）；
（3）若設等腰直角三角形內切圓的半徑r＝1，則外接圓的半徑R1，所以r：R＝1：1．
考點1 直角三角形的性質與判定
◇例題
1.（2023 惠州校級模擬）如圖，直線a∥b，Rt△ABC的直角頂點C在直線b上，若∠1＝40°，則∠2的度數為 　 ?。?br/>【答案】50°．
【分析】由平行線的性質可得∠3＝∠1＝40°，然后根據平角的性質可得∠3+∠2+90°＝180°即可求得∠2．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠3＝∠1＝40°，
∵∠3+∠2+90°＝180°，
∴∠2＝50°．
故答案為：50°．
◆變式訓練
1．（2023 曲江區校級三模）如圖，直線a∥b，Rt△ABC的直角頂點A落在直線a上，點B落在直線b上，若∠1＝15°，∠2＝25°，則∠ABC的大小為（　?。?br/>A．40° B．45° C．50° D．55°
【答案】C
【分析】如圖，作CK∥a利用平行線的性質可得∠ACB＝∠1+∠2＝40°，再利用直角三角形的性質即可解決問題．
【解答】解：如圖，作CK∥a．
∵a∥b，CK∥a，
∴CK∥b，
∴∠1＝∠3＝15°，∠4＝∠2＝25°，
∴∠ACB＝∠1+∠2＝15°+25°＝40°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣40°＝50°，
故選：C．
2．（2023 麻章區二模）直角三角形兩銳角的平分線所夾的鈍角的度數為（　?。?br/>A．100度 B．120度 C．135度 D．140度
【答案】C
【分析】作出圖形，根據直角三角形兩銳角互余可得∠BAC+∠ABC＝90°，再根據角平分線的定義可得∠OAB+∠OBA＝45°，然后根據三角形的內角和定理列式計算即可得解．
【解答】解：如圖，∵∠C＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣90°＝90°，
∵AD、BE分別是∠BAC和∠ABC的平分線，
∴∠OAB+∠OBA90°＝45°，
∴∠AOB＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）＝180°﹣45°＝135°．
故選：C．
3．（2023 大埔縣一模）如圖，已知l∥AB，CD⊥l于點D，若∠C＝40°，則∠1的度數是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【分析】根據直角三角形的性質求出∠CED，再根據平行線的性質解答即可．
【解答】解：在Rt△CDE中，∠CDE＝90°，∠DCE＝40°，
則∠CED＝90°﹣40°＝50°，
∵l∥AB，
∴∠1＝∠CED＝50°，
故選：C．
4．（2023 羅湖區校級自主招生）如圖，已知Rt△ABC中，∠B＝30°，BE＝AC，求AB+DE＝480時，DE的長度為 　 ?。?br/>【答案】120．
【分析】根據30°角正切值可求得 ，結合AB+DE＝480，即可列方程，求解即可得出答案．
【解答】解：∵∠B＝30°，，
在Rt△BDE 中，，即，
∴，
在Rt△ABC中，，即，
故AB+DE＝3DE+DE＝4DE＝480，
∴DE＝120．
故答案為：120．
考點2 含30度角的直角三角形
◇例題
1.（2023 海珠區校級二模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于點E，BE＝4，則AC＝　2?。?br/>【答案】2．
【分析】根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AE＝BE，再根據等邊對等角可得∠BAE＝∠B，然后根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠AEC＝30°，再根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，可得AC的長．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE＝4，
∴∠BAE＝∠B＝15°，
∴∠AEC＝∠BAE+∠B＝15°+15°＝30°，
∵∠C＝90°，
∴ACAE4＝2．
故答案為：2．
◆變式訓練
1．（2023 香洲區校級一模）如圖，三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，AB＝8，則BD的長為（　　）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
【答案】B
【分析】根據含30°角的直角三角形的性質可得BC的長，再據含30°角的直角三角形的性質可得BD的長．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，
∴BCAB＝4，∠B＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BCD＝30°，
∴BDBC＝2，
故選：B．
2．（2023 高州市二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥AB交BC于點D，∠BAC＝120°，AD＝5，則BC的長為（　　）
A．7.5 B．10 C．15 D．20
【答案】C
【分析】先利用等腰三角形的性質和三角形內角和定理可得∠B＝∠C＝30°，再根據垂直定義可得∠DAB＝90°，從而在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性質BD＝2AD＝10，然后利用角的和差關系求出∠CAD＝30°，從而可得∠C＝∠CAD＝30°，再利用等角對等邊可得CD＝AD＝5，最后進行計算即可解答．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C（180°﹣∠BAC）＝30°，
∵AD⊥AB，
∴∠DAB＝90°，
∴BD＝2AD＝10，∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝30°，
∴∠C＝∠CAD＝30°，
∴CD＝AD＝5，
∴BC＝BD+CD＝10+5＝15，
故選：C．
3．（2023 龍崗區校級一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝16，點P是斜邊AB上一點，過點P作PQ⊥AB，垂足為P，交邊AC（或邊CB）于點Q，設AP＝x，當△APQ的面積為時，x的值為 　．
【答案】2或14．
【分析】分點Q在AC上和BC上兩種情況進行討論，表示出三角形的面積，根據已知的三角形面積的值得到一元二次方程，求解后根據實際意義取值即可．
【解答】解：當點Q在AC上時，
∵PQ⊥AB，∠A＝30°，AP＝x，
∴PQx，
∴△APQ的面積 AP PQ x x，
∵△APQ的面積為，
∴ x x，
解得：x1＝2，x2＝﹣2（舍去），
當點Q在BC上時，
∵AP＝x，AB＝16，
∴BP＝16﹣x，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∵PQ⊥AB，
∴∠PQB＝30°，
∴PQ（16﹣x），
∴△APQ的面積 AP PQ x （16﹣x），
∵△APQ的面積為，
∴ x （16﹣x），
解得：x1＝14，x2＝2（舍去），
故答案為：2或14．
4．（2023 海珠區校級二模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，邊AB的垂直平分線交BC于點D，交AB于點E，連接AD．若BD＝6，則AC＝　 ?。?br/>【答案】3．
【分析】根據線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得BD＝AD，根據等邊對等角可得∠B＝∠BAD＝15°，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠ADC＝30°，然后根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得ACAD．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分線，
∴BD＝AD＝6，
∴∠B＝∠BAD＝15°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝30°，
又∵∠C＝90°，
∴ACAD＝3，
故答案為：3．
考點3 直角三角形斜邊上的中線
◇例題
1.（2023 中山市校級一模）如圖，在Rt△ABC中∠ABC＝90°，∠C＝60°，點D為邊AC的中點，BD＝2，則AB的長為（　?。?br/>A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】根據直角三角形斜邊上的中線性質可得BD＝DC，從而可得△BCD是等邊三角形；然后利用等邊三角形的性質即可求得BC的長度；最后由勾股定理求得線段AB的長度即可．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，點D為邊AC的中點，
∴BD＝DCAC，
∵∠C＝60°，
∴△BCD是等邊三角形，
∴BC＝BD＝2，
∴AB2．
故選：B．
◆變式訓練
1．（2023 開平市二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AF⊥BC于 F，BE⊥AC于E，且點D是AB的中點，若△DEF的周長是11，則AF＝ ?。?br/>【答案】．
【分析】根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DE＝DFAB，EFBC，然后代入數據計算即可得解．
【解答】解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中點，
∴DE＝DFAB，
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴點F是BC的中點，
∴BF＝FC＝3，
∵BE⊥AC，
∴EFBC＝3，
∴△DEF的周長＝DE+DF+EF＝AB+3＝11，
∴AB＝8，
由勾股定理知 AF，
故答案為：．
2．（2023 深圳模擬）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB的中點，過點B作BD⊥AB，交CE的延長線于點D，若BD＝4，CD＝8，則AC＝　 ．
【答案】．
【分析】先根據題意作出輔助線，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出AE＝BE＝CE＝x，利用勾股定理推出BE2+BD2＝DE2，即x2+42＝（8﹣x）2，解出x的值，推出AE、BE、CE和DE的長，根據∠CFE＝∠EBD和∠CEF＝∠DEB推出△CFE∽△DBE，可求出EF和CF的長，再求出AF的長，利用勾股定理即可求出AC的長．
【解答】解：如圖所示，過點C作CF⊥AB于點F，
設CE＝x，則DE＝CD﹣CE＝8﹣x，
∵在Rt△ABC中，點E為AB的中點，
∴AE＝BE＝CE＝x，
∵BD⊥AB，
∴∠EBD＝90°，
∴BE2+BD2＝DE2，即x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
∴AE＝BE＝CE＝3，DE＝8﹣3＝5，
∵CF⊥AB，
∴∠CFE＝∠CFA＝90°，
∴∠CFE＝∠EBD，
又∵∠CEF＝∠DEB，
∴△CFE∽△DBE，
∴，即，
解得：EF，CF，
∴AF＝AE﹣EF，
∵∠CFA＝90°，
∴AC；
故答案為：．
3．（2023 江門二模）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，線段DE的兩個端點D，E分別在邊AC，BC上滑動，且DE＝6，若點M，N分別是DE，AB的中點，則MN的最小值為 　 ．
【答案】．
【分析】根據三角形斜邊中線的性質求得CN，CM3，由當C、M、N在同一直線上時，MN取最小值，即可求得MN的最小值為：．
【解答】解：如圖，連接CM、CN，
△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，
∴AB，
∵DE＝6，點M、N分別是DE、AB的中點，
∴CN，CM3，
當C、M、N在同一直線上時，MN取最小值，
∴MN的最小值為：．
故答案為：．
考點4 勾股定理及其應用
◇例題
1.（2023 潮陽區一模）如圖，以直角三角形的三邊為邊向外作正方形，根據圖中數據，可得出正方形A的面積是（　　）
A．12 B．24 C．30 D．10
【答案】B
【分析】利用勾股定理，進行計算即可解答．
【解答】解：由勾股定理可得：
直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，
∴正方形A的邊長的平方＝18+6＝24，
∴正方形A的面積＝24，
故選：B．
2.（2022 禪城區校級模擬）如圖所示的網格是正方形網格，則∠PAB+∠PBA＝　 　°（點A，B，P是網格線交點）．
【答案】見試題解答內容
【分析】延長AP交格點于D，連接BD，根據勾股定理得到PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，求得PD2+DB2＝PB2，于是得到∠PDB＝90°，根據三角形外角的性質即可得到結論．
【解答】解：延長AP交格點于D，連接BD，
則PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，
∴PD2+DB2＝PB2，
∴∠PDB＝90°，
∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，
故答案為：45．
3.（2023 南山區一模）紫砂壺是我國特有的手工制造陶土工藝品，其制作過程需要幾十種不同的工具，其中有一種工具名為“帶刻度嘴巴架”，其形狀及使用方法如圖1．當制壺藝人把“帶刻度嘴巴架”上圓弧部分恰好貼在壺口邊界時，就可以保證要粘貼的壺嘴、壺把、壺口中心在一條直線上．圖2是正確使用該工具時的示意圖．如圖3，⊙O為某紫砂壺的壺口，已知A，B兩點在⊙O上，直線l過點O，且l⊥AB于點D，交⊙O于點C．若AB＝30mm，CD＝5mm，則這個紫砂壺的壺口半徑r的長為 　 　mm．
【答案】25mm．
【分析】根據題意，得到OD＝（r﹣5）mm，BDAB＝15mm，OB＝r mm利用勾股定理計算即可．
【解答】解：∵AB＝30mm，CD＝5mm，半徑r mm，l⊥AB，
∴OD＝（r﹣5）mm，BDAB＝15mm，OB＝r mm，
根據勾股定理，得（r﹣5）2+152＝r2，
解得r＝25．
故答案為：25mm．
◆變式訓練
1.（2023 潮南區一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為中線，延長CB至點E，使BE＝BC，連接DE，F為DE的中點，連接BF，若AC＝8，BC＝6，則BF的長為（　?。?br/>A．2 B．2.5 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用勾股定理求得AB＝10；然后由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得CD的長度；結合題意知線段BF是△CDE的中位線，則BFCD．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB10．
又∵CD為中線，
∴CDAB＝5．
∵F為DE中點，BE＝BC即點B是EC的中點，
∴BF是△CDE的中位線，則BFCD＝2.5．
故選：B．
2．（2023 惠城區一模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，以點B為圓心，BC長為半徑畫弧，交線段AB于點D；以點A為圓心，AD長為半徑畫弧，交線段AC于點E．若AE＝2EC，則（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設BC＝a，AC＝b，根據已知可得AEb，根據題意可得：AD＝AEb，BC＝BD＝a，從而可得ABb+a，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理進行計算即可解答．
【解答】解：設BC＝a，AC＝b，
∵AE＝2EC，
∴AEACb，
由題意得：AD＝AEb，BC＝BD＝a，
∴AB＝AD+BDb+a，
∵∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴b2+a2＝（b+a）2，
解得：ab，
∴，
故選：D．
3．（2023 越秀區一模）如圖，四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點E，且AC⊥BD，AC＝AD，∠CBD＝∠CAD，CB＝5，，則AD的長是（　?。?br/>A．9 B．10 C． D．
【答案】B
【分析】設CE＝x，AE＝y，分別用x，y表示出sin∠CBD和sin∠CAD，由sin∠CBD＝sin∠CAD，列出方程關于x，y的方程，再根據勾股定理DE2＝CD2﹣CE2＝AD2﹣AE2，列出方程關于x，y的方程，兩方程聯立解出x，y的值，從而得到AD的長度．
【解答】解：設CE＝x，AE＝y，
則AC＝AD＝x+y，
∵AC⊥DB，
∴sin∠CBD，
sin∠CAD，
∵∠CBD＝∠CAD，
∴sin∠CBD＝sin∠CAD，
∴，
整理得，x4+2x3y+x2y2+25x2＝2000①，
在Rt△CED和Rt△AED中，
DE2＝CD2﹣CE2＝AD2﹣AE2，
∴（4）2﹣x2＝（x+y）2﹣y2，
∴y②，
把②代入①式并整理得，
25x2＝400，
∴x＝4，
∴y6，
∴AD＝x+y＝4+6＝10．
故選：B．
4．（2023 東莞市校級一模）下列長度的三條線段不能組成直角三角形的是（　?。?br/>A．3cm，4cm，5cm B．4cm，3cm，
C．6cm，8cm，9cm D．1cm，，
【答案】C
【分析】根據勾股定理的逆定理，判斷較小兩邊的平方和是否等于第三邊的平方，則可以判斷各個選項的三條線段能否構成直角三角形，本題得以解決．
【解答】解：A、32+42＝52，故選項A中的三條線段能構成直角三角形；
B、32+（）2＝42，故選項B中的三條線段能構成直角三角形；
C、62+82≠92，故選項C中的三條線段不能構成直角三角形；
D、12+（）2＝（）2，故選項D中的三條線段能構成直角三角形．
故選：C．
5．（2022 南海區校級三模）如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5．將△ABC沿著點A到點C的方向平移到△DEF的位置，圖中陰影部分面積為4，則平移的距離為（　?。?br/>A．3 B． C．3 D．2
【答案】A
【分析】根據勾股定理的逆定理求出△ABC是直角三角形，求出△ABC的面積，根據平移的性質得出AC＝DF＝3，△DEF的面積＝△ABC的面積＝6，再根據面積比等于相似比的平方得出即可．
【解答】解：∵AB＝4，AC＝3，BC＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠A＝90°，
∵將△ABC沿著點A到點C的方向平移到△DEF的位置，
∴△DEF的面積＝△ABC的面積6，DF＝AC＝3，
∵圖中陰影部分面積為4，
∴，
∴，
解得：DC，
即平移的距離是CF＝AC﹣DC＝3，
故選：A．
6．（2022 廣東三模）在四邊形ACBD中，AC⊥BC且BC＝2，AD＝3，AB＝4，BD＝5，則∠CAD＝　 ?。?br/>【答案】120°．
【分析】根據勾股定理的逆定理得出△ABD是直角三角形，進而利用三角形的度數解答即可．
【解答】解：∵AD＝3，AB＝4，BD＝5，
∴BD2＝AD2+AB2，
∴△ABD是直角三角形，
∴∠DAB＝90°，
∵AC⊥BC，BC＝2，AB＝4，
∴∠BAC＝30°，
∴∠CAD＝∠DAB+∠BAC＝90°+30°＝120°，
故答案為：120°．
7．（2023 龍崗區校級一模）如圖，一根樹在離地面3米處斷裂，樹的頂部落在離底部4米處，樹折斷之前有　 　米．
【答案】見試題解答內容
【分析】圖中為一個直角三角形，根據勾股定理兩個直角邊的平方和等于斜邊的平方．此題要求斜邊和直角邊的長度，解直角三角形即可．
【解答】解：∵32+42＝25，5，5+3＝8m，
∴樹折斷之前的高度為8米．
故答案為：8．
8．（2023 潮州模擬）如圖，一根長為18cm的牙刷置于底面直徑為5cm、高為12cm的圓柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的長度h cm，則h的取值范圍是 　 ?。?br/>【答案】5≤h≤6．
【分析】根據杯子內牙刷的長度取值范圍得出杯子外面長度的取值范圍，即可得出答案．
【解答】解：當牙刷與杯底垂直時h最大，h最大＝18﹣12＝6（cm）．
當牙刷與杯底及杯高構成直角三角形時h最小，
如圖，此時，AB13（cm），
則h＝18﹣13＝5（cm）．
∴h的取值范圍是5≤h≤6．
故答案為：5≤h≤6．
3．（2023 中山市三模）某高鐵站入口的雙翼閘機如圖所示，它的雙翼展開時，雙翼邊緣的端點A與B之間的距離為10cm．雙翼的邊緣AC＝BD＝54cm，且與閘機側立面夾角∠ACP＝∠BDQ＝30°．一名旅客攜帶一件長方體行李箱進站，行李箱規格為60×80×100（長×寬×高，單位：cm）．當雙翼收回進閘機箱內時，該旅客的行李箱是否可以通過閘機？請說明理由．
【答案】可以通過，見解析．
【分析】過點A作AE垂直PC于點E，過點B作BF垂直QD于點F，則可得AE和BF的長，依據端點A與B之間的距離為10cm，即可得到可以通過閘機的物體的最大寬度．
【解答】解：如圖1，過點A作AE垂直PC于點E，過點B作BF垂直QD于點F．
∵∠ACE＝30°，∠BDF＝30°，
∴，．
當雙翼收回進閘機箱內時，閘機入口寬度PQ＝AE+AB+BF＝27+10+27＝64（cm）．
∵長方體行李箱長為60cm，且60cm＜64cm，
∴當雙翼收回進閘機箱內時，該旅客的行李箱可以通過閘機．
考點5 等腰直角三角形
◇例題
（2023 中山市二模）如圖，△ABC與△BDE均為等腰直角三角形，點A，B，E在同一直線上，BD⊥AE，垂足為點B，點C在BD上，AB＝4，BE＝10．將△ABC沿BE方向平移，當這兩個三角形重疊部分的面積等于△ABC面積的一半時，△ABC平移的距離為 　．
【答案】4﹣2或10．
【分析】根據平移的性質和等腰直角三角形的性質解答即可．
【解答】解：∵△ABC與△BDE均為等腰直角三角形，
∴AB＝BC＝4，DB＝BE＝10，
∴△ABC的面積AB BC4×4＝8，
當這兩個三角形重疊部分的面積等于△ABC面積的一半時，
∴△A'BE的面積4，
∴A'B＝2，
∴AA'＝AB﹣A'B＝4﹣2，
即平移的距離為4﹣2，
當點B平移到與點E重合時，也滿足，此時平移的距離為：10，
故答案為：4﹣2或10．
◆變式訓練
1.（2023 深圳一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝10，用尺規作圖的方法作線段AD和線段DE，保留作圖痕跡如圖所示，認真觀察作圖痕跡，則△BDE的周長是（　　）
A．8 B．5 C． D．10
【答案】D
【分析】根據等腰直角三角形的性質得到∠B＝45°，根據尺規作圖可知AD平分∠CAB，根據角平分線的性質定理解答即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠B＝45°，
由尺規作圖可知，AD平分∠CAB，DE⊥AB又，∠ACB＝90°，
∴DE＝DC，又∠B＝45°，
∴DE＝BE，
∴△BDE的周長＝BD+BE+DE＝BD+CD+BE＝BC+BE＝AC+BE＝AE+BE＝AB＝10，
故選：D．
2．（2023 廣東模擬）如圖，直線l與m平行，將等腰直角三角板ABC的直角頂點C放在直線m上，若∠2＝20°，則∠1的度數為（　?。?br/>A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】B
【分析】過點B作BD∥l，然后根據平行公理可得BD∥l∥m，再根據兩直線平行，內錯角相等可得∠3＝∠1，然后求出∠4，再根據兩直線平行，內錯角相等可得∠2＝∠4，即可得解．
【解答】解：如圖，過點B作BD∥l，
∵直線l∥m，
∴BD∥l∥m，
∴∠2＝∠ABD＝20°，
∵△ABC是有一個角是45°的直角三角板，
∴∠CBD＝45°﹣∠ABD＝45°﹣20°＝25°，
∴∠1＝∠CBD＝25°．
故選：B．
3．（2023 深圳模擬）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D是BC上的一點，AC＝DC，AB⊥AE，且AE＝AB，連接DE交AC的延長線于點F，，則　 ．
【答案】．
【分析】在DC上截取CG＝CF，連接AG，設AC＝3x，CF＝2x，先證明△ACG≌△DCF（SAS），再證明△EAF≌△ABG（AAS），從而推出BD＝4x，即可求解．
【解答】解：在DC上截取CG＝CF，連接AG，
∵，
設AC＝3x，CF＝2x，
∵AC＝DC，
∴CD＝3x，
∵CG＝CF，
∴CG＝2x，
∵∠ACB＝90°，
在Rt△ACG和Rt△DCF中，
，
∴△ACG≌△DCF（SAS），
∴∠CAG＝∠CDF，
∵∠AGB＝∠CAG+90°，∠EFA＝90°+∠CDF，
∴∠AGB＝∠EFA，
∵AB⊥AE，
∴∠EAB＝90°，
∵∠ACD＝90°，AC＝CD，
∴∠CAD＝45°，
∴∠EAF+∠BAD＝45°，
∵∠ADC＝45°＝∠ABC+∠BAD，
∴∠EAF＝∠ABC，
在△EAF和△ABG中，
，
∴△EAF≌△ABG（AAS），
∴BG＝AF＝5x，
∵GD＝3x﹣2x＝x，
∴BD＝4x，
∴；
1．（2021 廣州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，線段AB的垂直平分線分別交AC、AB于點D、E，連接BD．若CD＝1，則AD的長為 ．
【答案】2．
【分析】由線段垂直平分線的性質可得AD＝BD，利用含30°角的直角三角形的性質可求解BD的長，進而求解．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∵∠A＝30°，
∴∠ABD＝30°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝30°+30°＝60°，
∵∠C＝90°，
∴∠CBD＝30°，
∵CD＝1，
∴BD＝2CD＝2，
∴AD＝2．
故答案為2．
2．（2021 深圳）如圖，已知∠BAC＝60°，AD是角平分線且AD＝10，作AD的垂直平分線交AC于點F，作DE⊥AC，則△DEF周長為 　 　．
【答案】5+5．
【分析】根據線段垂直平分線的性質得到FA＝FD，根據直角三角形的性質求出DE，根據勾股定理求出AE，根據三角形的周長公式計算，得到答案．
【解答】解：∵AD的垂直平分線交AC于點F，
∴FA＝FD，
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠DAE＝30°，
∴DEAD＝5，
∴AE5，
∴△DEF周長＝DE+DF+EF＝DE+FA+EF＝DE+AE＝5+5，
故答案為：5+5．
1．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點D在邊BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于點E．若AC＝12，BC＝16，則AE的長為（　?。?br/>A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】首先根據勾股定理求得斜邊AB的長度，然后結合等腰三角形的性質來求AE的長度．
【解答】解：如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，
由勾股定理知：AB20．
∵AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于點E．
∴AE＝BEAB＝10．
故選：C．
2．如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝30°，CD⊥AC交AB于點D，CD＝1，則AB的長是（　?。?br/>A．3 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】由等腰三角形的性質推出∠A＝∠B＝30°，求出∠ACB＝120°，由垂直的定義得到∠ACD＝90°，由含30度角的直角三角形的性質推出AD＝2CD＝2×1＝2，求出∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝30°，得到∠BCD＝∠B，因此BD＝CD＝1，于是得到AB＝AD+BD＝2+1＝3．
【解答】解：∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵CD⊥AC，
∴∠ACD＝90°，
∴AD＝2CD＝2×1＝2，
∵∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝120°﹣90°＝30°，
∴∠BCD＝∠B，
∴BD＝CD＝1，
∴AB＝AD+BD＝2+1＝3．
故選：A．
3．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分線交BC于點D．若BD＝6，則AC的長為（　?。?br/>A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】由線段垂直平分線的性質推出DA＝DB＝6，由等腰三角形的性質得到∠DAB＝∠B＝15°，由三角形外角的性質得到∠ADC＝∠B+∠DAB＝30°，由含30度角的直角三角形的性質推出ACDA＝3．
【解答】解：∵AB的垂直平分線交BC于點D，
∴DA＝DB＝6，
∴∠DAB＝∠B＝15°，
∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝30°，
∵∠C＝90°，
∴ACDA＝3．
∴故選：A．
4．下列四組數，是勾股數的是（　　）
A．0.3，0.4，0.5 B．30，40，50
C．6，7，8 D．32，42，52
【答案】B
【分析】根據勾股數的定義：有a、b、c三個正整數，滿足a2+b2＝c2，稱為勾股數．由此判定即可．
【解答】解：A．∵0.3，0.4，0.5不是整數，
∴不是勾股數，不符合題意；
B．∵302+402＝502，
∴是勾股數，符合題意；
C．∵62+72≠82，
∴不是勾股數，不符合題意；
D．∵（32）2+（42）2≠（52）2，
∴不是勾股數，不符合題意．
故選：B．
5．下列條件中，不能判斷△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝1：1：2 B．a：b：c＝3：4：5
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a：b：c＝1：2：
【答案】C
【分析】根據三角形內角和定理，以及勾股定理逆定理分別進行分析可得答案．
【解答】解：A、根據三角形內角和定理可以計算出∠A＝45°，∠B＝45°，∠C＝90°，可判定△ABC是直角三角形，故此選項不符合題意；
B、32+42＝52，根據勾股定理的逆定理可判斷△ABC是直角三角形，故此選項不合題意；
C、根據三角形內角和定理可以計算出∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，可判定△ABC不是直角三角形，故此選項符合題意；
D、可利用勾股定理逆定理判定△ABC為直角三角形，故此選項不合題意；
故選：C．
6．12世紀，印度一位著名數學家婆什迦羅在他的名著《麗羅娃提》中記載了一個有趣的問題：“平平湖水清可鑒，面上半尺生紅蓮；出泥不染亭亭立，忽被強風吹一邊；漁人觀看忙向前，花離原位二尺遠；能算諸君請解題，湖水如何知深淺？”
這首詩的大意是：在平靜的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一陣強風吹來把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．此時，捕魚的人發現，花在水平方向上離開原來的位置2尺遠，由此可知湖水的深度是（　　）
A．4.25尺 B．3.75尺 C．2.25尺 D．2尺
【答案】B
【分析】設湖水的深度為x尺，則AD＝BD＝（x+0.5）尺，在Rt△BCD中，由勾股定理得出方程求解即可．
【解答】解：由題意可知，AC＝0.5尺，BC＝2尺，
設湖水的深度為x尺，則AD＝BD＝（x+0.5）尺，
在Rt△BCD中，由勾股定理得，
BD2＝CD2+BC2，
即（x+0.5）2＝x2+22，
解得x＝3.75，
即湖水的深度為3.75尺，
故選：B．
7．下列給出的四組數中，不能構成直角三角形三邊的一組是（　　）
A．1，2， B．2，3，4 C．3，4，5 D．5，12，13
【答案】B
【分析】先分別求出兩小邊的平方和，再求出最長邊的平方，再看看是否相等即可．
【解答】解：A．∵12+22＝1+4＝5，（）2＝5，
∴12+22＝（）2，
∴以1，2，為邊能組成直角三角形，故本選項不符合題意；
B．∵22+32＝4+9＝13，42＝16，
∴22+32≠42，
∴以2，3，4為邊不能組成直角三角形，故本選項符合題意；
C．∵32+42＝9+16＝25，52＝25，
∴32+42＝52，
∴以3，4，5為邊能組成直角三角形，故本選項不符合題意；
D．∵52+122＝25+144＝169，132＝169，
∴52+122＝132，
∴以5，12，13為邊能組成直角三角形，故本選項不符合題意．
故選：B．
8．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，D為邊AB的中點，則∠BCD＝　　°．
【答案】40．
【分析】由“直角三角形的兩個銳角互余”得到∠B＝40°，根據“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”得到CD＝BD，則等邊對等角，即∠BCD＝∠B＝40°．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠B＝40°，
∵D為線段AB的中點，
∴CD＝BD，
∴∠BCD＝∠B＝40°．
故答案為：40．
9．在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，若AB＝8，則CD的長是 　　．
【答案】4．
【分析】根據直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半求解即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，
∴CDAB，
∵AB＝8，
∴CD8＝4．
故答案為：4．
10．如圖是單位長度為1的正方形網格，格點上A、B兩點間的距離為 　?。?br/>【答案】5．
【分析】利用網格根據勾股定理即可求出A、B兩點間的距離．
【解答】解：根據網格可知：A、B兩點間的距離5．
故答案為：5．
11．已知直角三角形三邊長分別是a+1，a+2，a+3，則a的值為 　?。?br/>【答案】2．
【分析】直接根據勾股定理列出關于a的方程，求出a的值即可．
【解答】解：∵△ABC的三邊長分別為a+1，a+2，a+3，△ABC是直角三角形，
∴（a+3）2＝（a+1）2+（a+2）2，
解得a＝2或a＝﹣2（舍去）．
∴a＝2．
故答案為：2．
12．如圖，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝120°，AB的垂直平分線MN交AC于點D，AD＝3cm，則CD的長是 　　cm．
【答案】6．
【分析】根據等腰三角形的性質及三角形內角和定理求出∠A＝30°，根據線段垂直平分線的性質得出AD＝BD，根據等腰三角形的性質求出∠A＝∠ABD＝30°，根據角的和差求出∠CBD＝90°，根據含30°角的直角三角形的性質求解即可．
【解答】解：連接BD．
∵BA＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C（180°﹣120°）＝30°，
∵AB的垂直平分線MN交AC于點D，
∴AD＝BD＝3cm，
∴∠A＝∠ABD＝30°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝90°，
∴CD＝2AD＝6（cm），
故答案為：6．
13．某校秉承“學會生活，學會學習，學會做人”的辦學理念，將本校的辦學理念做成宣傳牌（AB），放置在教室的黑板上面（如圖所示）．在三月雷鋒活動中小明搬來一架梯子（AE＝5米）靠在宣傳牌（AB）A處，底端落在地板E處，然后移動的梯子使頂端落在宣傳牌（AB）的B處，而底端E向外移到了1米到C處（CE＝1米）．測量得BM＝4米．求宣傳牌（AB）的高度（結果用根號表示）．
【答案】宣傳牌（AB）的高度為（4）米．
【分析】直接利用勾股定理得出EM，AM的長，進而得出答案．
【解答】解：由題意可得：AE＝BC＝5米，BM＝4米，EC＝1米，
在Rt△MBC中，MC3（米），
則EM＝3﹣1＝2（米），
在Rt△AEM中，AM（米），
故AB＝AM﹣BM＝（4）米，
答：宣傳牌（AB）的高度為（4）米．
14．如圖，在△ABC中，D是BC上一點，若AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17．
（1）求∠ADB的度數；
（2）求BC的長．
【答案】（1）90°；
（2）21．
【分析】（1）根據AB＝10，BD＝6，AD＝8，利用勾股定理的逆定理證明△ABD是直角三角形，即可求解；
（2）在Rt△ACD中利用勾股定理即可求出CD的長，進而可得出結論．
【解答】解：（1）∵BD2+AD2＝62+82＝102＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，
∴∠ADB＝90°；
（2）在Rt△ACD中，
∵∠ADC＝90°，
∴CD15，
∴BC＝BD+CD＝6+15＝21．
15．為了綠化環境，我縣某中學有一塊空地，如圖所示，學校計劃在空地上種植草皮，經測量AD＝8m，CD＝6m，∠D＝90°，AB＝26m，BC＝24m．求出該空地的面積．
【答案】見試題解答內容
【分析】連接AC，在直角三角形ACD中可求得AC的長，由AC、AB、BC的長度關系可得三角形ABC為一直角三角形，AB為斜邊；由此看，四邊形ABCD的面積等于Rt△ABC面積減Rt△ACD的面積解答即可．
【解答】解：連接AC，
在Rt△ACD中，AC2＝CD2+AD2＝62+82＝102，
在△ABC中，AB2＝262，BC2＝242，
而102+242＝262，
即AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
S四邊形ABCD＝S△ACB﹣S△ACD AC BCAD CD，
10×248×6＝96m2，
答：該空地的面積為96m2．
16．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4．動點P從點A出發，沿AB以每秒2個單位長度的速度向終點B運動．過點P作PD⊥AC于點D（點P不與點A、B重合），作∠DPQ＝60°，邊PQ交射線DC于點Q．設點P的運動時間為t秒．
（1）用含t的代數式表示線段DC的長；
（2）當點Q與點C重合時，求t的值．
【答案】（1）2t．
（2）t＝1．
【分析】（1）通過∠A＝30°，AP＝2t可得ADt，再由DC＝AC﹣AD求解．
（2）由∠DPQ＝60°，PD⊥AC，∠A＝30°可得△APQ是等腰三角形，進而求解．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，
∴．
在Rt△APD中，∠ADP＝90°，∠A＝30°，AP＝2t，
∴．
∴（0＜t＜2）．
（2）如圖，在Rt△PDQ中，∠DPQ＝60°，
∴∠PQD＝30°＝∠A，
∴PA＝PQ，
∴△APQ是等腰三角形．
∵PD⊥AC，
∴AD＝DQ．
∵點Q與點C重合，
∴AD+DQ＝AC，
∴2AD＝AC．
即．
解得t＝1．
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