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第五章：數列章末重點題型復習（1）
題型一 等差數列的基本量
【例1】（2024上·廣東深圳·高二校考期末）
1．已知數列中，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2024上·廣東江門·高二統考期末）
2．已知等差數列的前項和為-196，則的值為（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【變式1-2】（2024上·四川成都·高三石室中學校考期末）
3．設等差數列的前項和為，且 ，則的值為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【變式1-3】（2024上·廣西·高二南寧三中校聯考期末）
4．已知等差數列的前5項之和為25，，則公差為（ ）
A．6 B．3 C．4 D．5
【變式1-4】（2024·上海·高二專題練習）
5．已知等差數列滿足，則 .
題型二 等差數列單調性
【例2】（2022·廣東惠州·統考一模）
6．設等差數列的公差為d，若，則“”是“（）”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式2-1】（2024上·北京·高一北京市十一學校校考期末）
7．已知無窮等差數列的公差為，則“”是“存在無限項滿足”（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式2-2】（多選）（2022·高二課時練習）
8．（多選）已知數列的通項公式為（a，b為常數），則下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【變式2-3】（2023下·山東德州·高二統考期中）
9．寫出一個同時具有下列性質①②的數列的通項公式： ．
①；②單調遞增．
【變式2-4】（2023上·高二課時練習）
10．已知，是等差數列的圖象上的兩點．
(1)求數列的通項公式；
(2)畫出數列的圖象；
(3)判斷數列的單調性．
題型三 等差數列片段和
【例3】（2024上·廣東深圳·高二深圳市高級中學校考期末）
11．已知等差數列的前項和為，，，則（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【變式3-1】（2024上·河北·高三雄縣第一高級中學校聯考期末）
12．設是等差數列的前項和，若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2024上·重慶九龍坡·高二統考期末）
13．已知等差數列的前項和為，若，則（ ）
A．30 B．26 C．56 D．42
【變式3-3】（2024上·天津·高二統考期末）
14．設為等差數列的前項和，且，，則 .
【變式3-4】（2023上·高二課前預習）
15．在等差數列中，若，求.
題型四 兩個等差數列比值問題
【例4】（2023上·陜西咸陽·高二校考階段練習）
16．設等差數列，的前項和分別為，，，都有，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2024上·黑龍江牡丹江·高二牡丹江一中校考期末）
17．已知等差數列，的前項和分別為，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2023上·貴州黔東南·高二統考期末）
18．設兩個等差數列和的前項和分別為和，且，則 .
【變式4-3】（2023上·河南洛陽·高二校聯考階段練習）
19．已知兩個等差數列和的前n項和分別為和，且，則使得為整數的正整數n的集合是 .
【變式4-4】（2023·海南·校聯考模擬預測）
20．等差數列前項和分別為，且，則 .
題型五 等差數列前n項和最值問題
【例5】（2024上·河南周口·高二西華縣第一高級中學校聯考階段練習）
21．已知等差數列的公差，，，記該數列的前n項和為，則的最大值為（ ）
A．20 B．24 C．36 D．40
【變式5-1】（2024上·廣東東莞·高二統考期末）
22．已知數列的前n項和，則下列說法正確的是（ ）
A．的最大值為 B．是等差數列
C．是遞減數列 D．
【變式5-2】（2024上·廣東深圳·高二校考期末）
23．首項為正數，公差的等差數列，其前項和為，則下列命題中正確的有（ ）
A．若，則，
B．若，，則中最大
C．若，則使的最大的n為21
D．若（為常數），則
【變式5-3】（2024上·廣東深圳·高二統考期末）
24．已知等差數列的前n項和為，若，則（ ）
A． B．
C．的最小值為 D．的最小值為
【變式5-4】（2023上·海南省直轄縣級單位·高二校考期末）
25．在等差數列中，已知：，.
(1)求數列的公差及通項公式；
(2)求數列的前項和的最小值，并指出此時正整數的值.
題型六 等差數列含絕對值前n項和問題
【例6】（2024上·吉林長春·高二校考期末）
26．已知為等差數列,,.
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和.
【變式6-1】（2023上·陜西榆林·高二校聯考階段練習）
27．已知各項都為正數的數列 的前 項和為 , 且滿足 .
(1)求數列的通項公式;
(2)若，求數列的前項和.
【變式6-2】（2023上·福建三明·高二校考階段練習）
28．已知為等差數列的前n項和，若.
(1)求數列的通項公式與；
(2)求數列的前50項和.
【變式6-3】（2023上·河南·高三校聯考期中）
29．已知等差數列的公差為整數，，設其前n項和為，且是公差為的等差數列．
(1)求的通項公式；
(2)若，求數列的前n項和．
【變式6-4】（2023上·湖北·高三鄂南高中校聯考期中）
30．已知為等差數列的前項和，若，.
(1)求數列的通項公式；
(2)求數列的前項和.
題型七 等差數列奇偶項和
【例7】（2023上·陜西榆林·高二校聯考階段練習）
31．已知等差數列的項數為其中奇數項之和為 偶數項之和為 則( )
A． B． C． D．
【變式7-1】（2023上·甘肅定西·高二甘肅省臨洮中學校考階段練習）
32．已知等差數列共有21項，若奇數項的和為110，則偶數項的和為（ ）
A．100 B．105 C．90 D．95
【變式7-2】（2023·陜西寶雞·校考模擬預測）
33．已知首項為2的等差數列，的前30項中奇數項的和為A，偶數項的和為B，且，則（ ）
A． B． C． D．
【變式7-3】（2023上·江蘇·高二專題練習）
34．已知數列是項數為偶數的等差數列，它的奇數項的和是50，偶數項的和為34，若它的末項比首項小28，則該數列的公差是 ．
【變式7-4】（2024上·黑龍江哈爾濱·高二黑龍江省哈爾濱市雙城區兆麟中學校聯考期末）
35．已知等差數列的項數為，其中奇數項之和為140，偶數項之和為120，則數列的項數是 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】以條件可知為等差數列，求得通項公式后，進一步計算即可.
【詳解】因為，且，
所以是以1為首項，為公差的等差數列，
故，
則，
故，
故選：B.
2．B
【分析】利用等差數列前項和公式求解.
【詳解】依題意，等差數列首項為-1，公差為-2，由前項和，
解得.
故選：B
3．A
【分析】先求得，再利用求解即可.
【詳解】由，可得，
則.
故選：A.
4．A
【分析】由等差數列的性質，，得，則公差，求解即可.
【詳解】在等差數列中，，所以，所以公差.
故選：A.
5．
【分析】由是等差數列可得，從而即可求出結果.
【詳解】解：由是等差數列，得，又，
所以.
故答案為：.
6．C
【分析】利用指數函數的單調性、數列增減性的定義以及等差數列的定義，結合充分、必要性定義判斷即可.
【詳解】充分性：若，則，即，∴，即，所以充分性成立；必要性：若，即，∴，則，必要性成立.因此，“”是“”的充要條件.
故選：C.
7．C
【分析】根據題意，結合等差數列的單調性，結合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.
【詳解】由等差數列的公差為，則數列為遞增數列，
所以存在無限項滿足成立，即充分性成立；
反之：由等差數列的公差為，在數列為單調數列，
若存在無限項滿足成立，則數列為遞增數列，則，即必要性成立，
所以“”是“存在無限項滿足”充要條件.
故選：C.
8．ABC
【分析】根據等差數列的通項性質可判斷是等差數列，根據等差數列的單調性即可逐一判斷.
【詳解】由,知，故數列是等差數列，且公差為．
由等差數列的單調性可得，若，則公差，所以數列是遞增數列，故A，B一定成立；
若，則，所以數列是遞增數列，所以，故C一定成立；當時，不成立，故D不一定成立．
故選：ABC．
9．（符合此種形式即可）
【分析】先猜想數列是一個等差數列，進而根據性質①得到首項與公差的關系，然后根據性質②得到答案.
【詳解】假設數列為等差數列，設其公差為d，首項為，由性質①可得： ，
即，
再根據②可知，公差，顯然（）滿足題意.
故答案為：（符合此種形式即可）
10．(1)
(2)答案見解析
(3)為遞減數列．
【分析】（1）根據已知的兩點，列出關于數列基本量的方程組，解出首項、公差d；
（2）函數圖像是在解析式對應直線方程上的離散的點，再坐標系中描出這些點；
（3）直接根據公差的正負判斷數列的單調性.
【詳解】（1）設等差數列的首項為，公差為d．
因為，是等差數列的圖象上的兩點，
所以，，即，解得．
因此，．
（2）等差數列的圖象是均勻分布在直線上的一系列離散的點，如下圖所示：

（3）因為公差，所以等差數列為遞減數列．
11．C
【分析】根據等差數列中成等差數列求解即可.
【詳解】在等差數列中，
，，所以，
故構成公差為的等差數列，
所以，
即.
故選：C
12．B
【分析】根據等差數列片段和性質及已知，設，求得，即可得結果.
【詳解】由等差數列片段和性質知：是等差數列.
由，可設，則，于是依次為，
所以，所以.
故選：B
13．D
【分析】先通過求出，再利用求解即可.
【詳解】設等差數列的公差為
由已知，
則
，
得，
.
故選：D.
14．39
【分析】由題意成等差數列，結合，即可求解.
【詳解】由題意為等差數列的前項和，且，，
所以，
而成等差數列，
所以.
故答案為：39.
15．
【分析】根據等差數列構造和數列仍成等差數列的性質可得.
【詳解】是等差數列，
成等差數列，
∴，
16．D
【分析】利用等差數列的性質與前項和公式即可得解.
【詳解】因為等差數列，的前項和分別為，且，
所以.
故選：D.
17．A
【分析】根據，結合等差數列的前項和公式，構造出符合題意的一組與的通項公式，再進行計算即可．
【詳解】根據題意，數列、都是等差數列，顯然兩個數列都不是常數列，
，
因為等差數列前項和公式為，
所以不妨令為常數，且，
所以時，，．
，，，.
故選：A
18．
【分析】設，則，可求得、的值，即可得解.
【詳解】設，則，
則，，則.
故答案為：.
19．
【分析】將等差數列之比轉換為它的前n項和的比即可得解.
【詳解】由
，
因為為整數且，所以.
故答案為：.
20．##
【分析】通過等差數列性質其前項和，結合已知可得，即可解出答案.
【詳解】由等差數列性質可得，解得，
故答案為：.
21．C
【分析】根據給定條件，結合等差數列性質求出及通項公式，再確定所有非負數項即可得解.
【詳解】等差數列中，公差，即數列是遞減等差數列，
顯然，而，且，解得，則，
，由，得，因此數列前9項均為非負數，從第10項起均為負數，
所以的最大值為.
故選：C.
22．BC
【分析】對于A，結合二次函數圖象的對稱軸即可求解判斷；對于B，根據等差數列的定義即可判定；對于C，利用求得后，結合函數性質即可判定；對于D，根據等差數列的性質及通項公式即可求解判斷.
【詳解】對于A，根據函數，其圖象對稱軸為，
所以，當或時，有最大值20，故A錯誤；
對于B，因為，所以，
則是等差數列，故B正確；
對于C，當時，，
又符合上式，所以，結合一次函數的性質知，是遞減數列，故C正確；
對于D，，故D錯誤.
故選：BC.
23．AC
【分析】選項A，由等差數列前項和公式得關系及符號，再結合通項公式判斷符號即可；選項B，先由等差數列前項和公式及性質得到數列項的正負界，再結合數列單調性分析最值可得；選項C，利用與的關系，得及，結合等差數列前項和公式及性質找到數列的正負界分析可得；選項D，利用特值取，可推出矛盾.
【詳解】選項A，由，得，
由題意得，則，
所以，
，故A正確；
選項B，由，得，
，則；
，則；
所以，則等差數列首項，公差，
即數列為遞減數列，當時，；當時，.
則中最大，故B錯誤；
選項C，由，
知且，故，
故等差數列首項，公差，
即數列為遞減數列，當時，；當時，.
，，
且當時，，
故使的最大的n為21，故C項正確；
選項D，當時，，
則，不滿足，故D錯誤.
故選：AC.
24．ACD
【分析】由、知、，即可判斷AB；根據數列的單調性即可判斷CD.
【詳解】由，得，即，
由，得，即，所以.
A：由，可知，故A正確；
B：由，可知數列的公差，故B錯誤；
C：，由知隨的增大而增大，
則，所以的最小值為，故C正確；
D：當時，；當時，；
當時，；當時，，
所以當時，；當時，；當時，，
又，，
所以，，
所以，即，
所以的最小值為，故D正確；
故選：ACD
25．(1)公差為2，
(2)的最小值為，此時的值為2
【分析】（1）設出公差，利用等差數列通項公式基本量計算出公差，得到通項公式；
（2）計算出，得到最小值及此時的的值.
【詳解】（1）設等差數列的公差為，
由，
，
，
所以等差數列的公差為，通項公式.
（2）因為，
所以，
當時，有最小值，此時正整數的值為.
26．(1)
(2)
【分析】（1）根據等差數列基本量關系求解即可；
（2）設的前n項和為的前n項和為，再根據的正負，利用表示即可.
【詳解】（1）因為，，所以，；
所以，，.
（2）設的前n項和為的前n項和為.
因為；
令，得，
所以當時，，當時，,
故當時，;
當時，
故.
27．(1)；
(2).
【分析】（1）根據給定條件，利用變形給定的遞推公式，再利用等差數列求解即得.
（2）由（1）的信息求出數列的前項和，并確定其正數項、負數項，再分段求解即得.
【詳解】（1）數列中，，當時，，由兩式相減，
得，即，
又數列的各項都為正數，則，當時，，解得，
因此數列是首項為3，公差為3的等差數列，
所以.
（2）由（1）得，，，即，
設的前項和為，則，
當時，，當時，，
于是當時，；
當時，，
所以數列的前項和.
28．(1)，.
(2)
【分析】（1）設數列的首項為，公差為，根據題意列出方程組，求得，結合得出數列的通項公式和求和公式，即可求解；
（2）由，解得，得到，集合，代入即可求解.
【詳解】（1）解：設數列的首項為，公差為，
由，可得，
又由，聯立方程組，解得，
所以，.
（2）解：由，解得，所以，
則.
29．(1)
(2)
【分析】（1）根據等差數列的性質即可求解公差，進而可求解，
（2）分情況，即可根據等差數列求和公式求解.
【詳解】（1）設的公差為d，依題意得，
所以，即，
化簡得，解得或（舍去），
故，
（2）依題意，．
當時，，故；
當時，，
故．
故
30．(1)
(2)
【分析】（1）根據等差數列的通項公式列方程，解方程即可；
（2）分和兩種情況求和.
【詳解】（1）設的公差為，則：，
.
（2），
令，
當時，，
，
當時，，
綜上所述：.
31．A
【分析】根據等差數列的性質，知等差數列的奇數項、偶數項分別成等差數列，故奇數項、偶數項的和直接代入等差數列的前項和公式，結合等差中項的性質化簡即可.
【詳解】項數為的中奇數項共有項,
其和為
項數為的中偶數項共有項, 其和為
所以解得
故選: A.
32．A
【分析】等差數列前n項和公式的應用
【詳解】由，有，偶數項的和為100．
故選：A
33．B
【分析】求出該等差數列的公差，即可得出該數列的通項公式.
【詳解】由題意，，
在等差數列中，首項，
設公差為 ,前 30 項中奇數項的和為 , 偶數項的和為 , 且 ,
∴，解得：，
∴，
即，
故選：B.
34．－4
【分析】根據等差數列前項和的性質求解即可.
【詳解】設等差數列的項數為2m，
∵末項與首項的差為－28，∴，①
∵，
∴，②
由①②得，
故答案為：.
35．
【分析】根據等差數列的前項和公式，結合等差數列奇數項與偶數項之間的關系進行求解即可.
【詳解】設等差數列的公差為，
因為等差數列的項奇數項之和為140，偶數項之和為120，
所以有，
故答案為：
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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