資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
第四章 圖形的性質(zhì)
第十七節(jié) 平行四邊形
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 平行四邊形的概念和性質(zhì) ☆☆ 平行四邊形知識內(nèi)容主要包括平行四邊形的性質(zhì)與判定、矩形的性質(zhì)與判定、菱形的性質(zhì)與判定、正方形的性質(zhì)與判定，作為比較重要的幾何知識，在廣東中考中占有一定的考查比重，從往年考查來看，考查的頻率還是相對較高，基礎(chǔ)知識的單獨考查一般就是選擇或填空題，若考查知識的綜合性運用則在解答題里以中等或較難的綜合題進行考查，例如和三角形全等、解直角三角形以及函數(shù)動點問題進行綜合應(yīng)用考查。平行四邊形的復(fù)習(xí)要多注重基礎(chǔ)，性質(zhì)與判定的掌握是重點，幾何思維的培養(yǎng)是難點，多進行反復(fù)練習(xí)，達到迎接中考的水準，便可顯得輕松自如。
考點2 平行四邊形的判定 ☆☆
考點3 平行四邊形的判定與性質(zhì) ☆☆
考點4矩形的性質(zhì)與判定 ☆☆
考點5菱形的性質(zhì)與判定 ☆☆
考點6正方形的性質(zhì)與判定 ☆☆
考點1平行四邊形的概念和性質(zhì)
1.平行四邊形的概念
兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。
平行四邊形用符號“□ABCD”表示，如平行四邊形ABCD記作“□ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”。
2.平行四邊形的性質(zhì)
（1）平行四邊形的鄰角互補，對角相等。
（2）平行四邊形的對邊平行且相等。
推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等。
（3）平行四邊形的對角線互相平分。
（4）若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積。
考點2 平行四邊形的判定
（1）定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形
（2）定理1：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形
（3）定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
（4）定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
（5）定理4：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
考點3 平行四邊形的性質(zhì)與判定
（1）平行四邊形的判定與性質(zhì)的作用
平行四邊形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，對角線互相平分及它的判定，是我們證明直線的平行、線段相等、角相等的重要方法，若要證明兩直線平行和兩線段相等、兩角相等，可考慮將要證的直線、線段、角、分別置于一個四邊形的對邊或?qū)堑奈恢蒙?，通過證明四邊形是平行四邊形達到上述目的．
運用定義，也可以判定某個圖形是平行四邊形，這是常用的方法，不要忘記平行四邊形的定義，有時用定義判定比用其他判定定理還簡單．
凡是可以用平行四邊形知識證明的問題，不要再回到用三角形全等證明，應(yīng)直接運用平行四邊形的性質(zhì)和判定去解決問題．
（2）兩條平行線的距離
兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線的距離。
平行線間的距離處處相等。
（3）平行四邊形的面積
S平行四邊形=底邊長×高=ah
考點4矩形的性質(zhì)與判定
1.矩形的概念
有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。
2.矩形的性質(zhì)
（1）具有平行四邊形的一切性質(zhì)
（2）矩形的四個角都是直角
（3）矩形的對角線相等
（4）矩形是軸對稱圖形
3.矩形的判定
（1）定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形
（2）定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形
（3）定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形
4.矩形的面積
S矩形=長×寬=ab
考點5 菱形的性質(zhì)與判定
1.菱形的概念
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形
2.菱形的性質(zhì)
（1）具有平行四邊形的一切性質(zhì)
（2）菱形的四條邊相等
（3）菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角
（4）菱形是軸對稱圖形
3.菱形的判定
（1）定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
（2）定理1：四邊都相等的四邊形是菱形
（3）定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
4.菱形的面積
S菱形=底邊長×高=兩條對角線乘積的一半
考點6 正方形的性質(zhì)與判定
1.正方形的概念
有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。
2.正方形的性質(zhì)
（1）具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)
（2）正方形的四個角都是直角，四條邊都相等
（3）正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角
（4）正方形是軸對稱圖形，有4條對稱軸
（5）正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形
（6）正方形的一條對角線上的一點到另一條對角線的兩端點的距離相等。
3.正方形的判定
（1）判定一個四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：
先證它是矩形，再證有一組鄰邊相等。
先證它是菱形，再證有一個角是直角。
（2）判定一個四邊形為正方形的一般順序如下：
先證明它是平行四邊形；
再證明它是菱形（或矩形）；
最后證明它是矩形（或菱形）
4.正方形的面積
設(shè)正方形邊長為a，對角線長為b
S正方形=
考點1平行四邊形的概念和性質(zhì)
◇例題
1.（2023 新會區(qū)一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AD于點E，∠BCD的平分線交AD于點F，若AB＝3，AD＝4，則EF的長是（　?。?br/>A．2 B．1 C．3 D．3.5
【答案】A
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明DF＝CD，AE＝AB，進而可得AF和ED的長，然后可得答案．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥CB，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，
∴∠DFC＝∠FCB，
又∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠FCB，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴DF＝DC＝3；
同理可得：AE＝AB＝3，
∴AF＝DE，
∵AD＝4，
∴AF＝4﹣3＝1，
∴EF＝4﹣1﹣1＝2．
故選：A．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 南海區(qū)校級三模）如圖，將 ABCD的一邊BC延長至點E，若∠A＝110°，則∠1等于（　?。?br/>A．110° B．35° C．70° D．55°
【答案】C
【分析】根據(jù)平行四邊形的對角相等求出∠BCD的度數(shù)，再根據(jù)平角等于180°列式計算即可得解．
【解答】解：∵平行四邊形ABCD的∠A＝110°，
∴∠BCD＝∠A＝110°，
∴∠1＝180°﹣∠BCD＝180°﹣110°＝70°．
故選：C．
2．（2023 佛山模擬）如圖， ABCD的對角線AC，BD相交于點O，若AC＝4，BD＝6，則AB的長可能是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得OA2，OBBD＝3，由OB﹣OA＜AB＜OB+OA，得1＜AB＜5，而1＜4＜5，可知A符合題意，于是得到問題的答案．
【解答】解：∵ ABCD的對角線AC，BD相交于點O，AC＝4，BD＝6，
∴OA＝OC4＝2，OB＝ODBD6＝3，
∴OB﹣OA＝3﹣2＝1，OB+OA＝3+2＝5，
∵OB﹣OA＜AB＜OB+OA，
∴1＜AB＜5，
∵在4，5，6，7四個數(shù)中，1＜4＜5，
∴A符合題意，
故選：A．
3．（2023 蓬江區(qū)校級三模）如圖，在平行四邊形ABCD中，若∠A+∠C＝120°，則∠D的度數(shù)為（　?。?br/>A．120° B．60° C．30° D．150°
【答案】A
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可求得∠A的度數(shù)，又由平行線的性質(zhì)，求得答案．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A＝∠C，AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
∵∠A+∠C＝120°，
∴∠A＝60°，
∴∠D＝180°﹣∠A＝120°．
故選：A．
考點2 平行四邊形的判定
◇例題
1.（2022 海珠區(qū)校級模擬）如圖，B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，連接AD．求證：四邊形ABED是平行四邊形．
【答案】證明見解析．
【分析】證出△ABC≌△DEF（ASA），得出AB＝DE，再結(jié)合AB∥DE，即可證出四邊形ABED是平行四邊形．
【解答】證明：∵AB∥DE，AC∥DF，
∴∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F．
∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
∴BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AB＝DE．
又∵AB∥DE，
∴四邊形ABED是平行四邊形．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 香洲區(qū)校級一模）下列條件中，能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（　?。?br/>A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D
C．AB＝AD，CB＝CD D．AB∥CD，AB＝CD
【答案】D
【分析】平行四邊形的五種判定方法分別是：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．根據(jù)平行四邊形的判定，逐一驗證即可得出結(jié)論．
【解答】解：如圖示，根據(jù)平行四邊形的判定方法，只有D正確．
故選：D．
2．（2023 中山市模擬）如圖，E，F(xiàn)是四邊形ABCD的對角線AC上兩點，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．
【答案】證明見解析部分．
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DFE＝∠BEF，再利用全等三角形的判定與性質(zhì)得到AD＝CB，∠DAF＝∠BCE即可解答．
【解答】證明：∵DF∥BE，
∴∠DFE＝∠BEC，
∴在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，
∴AD∥CB，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
3．（2023 豐順縣一模）如圖，點E，A，C，F(xiàn)在同一直線上，ED∥BF，AE＝CF，∠EDA＝∠FBC．
求證：（1）△ADE≌△CBF；
（2）四邊形ABCD是平行四邊形．
【答案】（1）證明見解析；
（2）證明見解析．
【分析】（1）由平行線的性質(zhì)得∠E＝∠F，再由AAS證△ADE≌△CBF即可；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得AD＝CB，∠DAE＝∠BCF，再證AD∥CB，然后由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論．
【解答】證明：（1）∵ED∥BF，
∴∠E＝∠F，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（AAS）；
（2）由（1）可知，△ADE≌△CBF，
∴AD＝CB，∠DAE＝∠BCF，
∴∠DAC＝∠BCA，
∴AD∥CB，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
考點3 平行四邊形的判定與性質(zhì)
◇例題
1.（2023 榕城區(qū)一模）如圖，將 ABCD的對角線AC向兩個方向延長，分別至點E和點F，AE＝CF．求證：四邊形DEBF是平行四邊形．
【答案】證明過程見解答．
【分析】連接BD，與AC交于點O，由平行四邊形的性質(zhì)得OA＝OC，OB＝OD，再證得OE＝OF，即可得出結(jié)論．
【解答】證明：連接BD，與AC交于點O．如圖所示：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
又∵AE＝CF，
∴OA+AE＝OC+CF，
即OE＝OF，
∵OB＝OD，
∴四邊形EBFD是平行四邊形．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 陽山縣二模）如圖1，直線l1∥l2，直線l3分別交直線l1，l2于點A，B．小嘉在圖1的基礎(chǔ)上進行尺規(guī)作圖，得到如圖2，并探究得到下面兩個結(jié)論：
①四邊形ABCD是鄰邊不相等的平行四邊形；
②四邊形ABCD是對角線互相垂直的平行四邊形．下列判斷正確的是（　?。?br/>A．①②都正確 B．①錯誤，②正確
C．①②都錯誤 D．①正確，②錯誤
【答案】B
【分析】根據(jù)作圖過程可得AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，由l1∥l2，可得∠ADB＝∠CBD，然后可以證明四邊形ABCD是菱形，進而可以解決問題．
【解答】解：根據(jù)作圖過程可知：AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，
∵l1∥l2，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴AD＝BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AB＝CB，
∴四邊形ABCD是菱形，
∴四邊形ABCD對角線互相垂直．
∴①錯誤，②正確．
故選B．
2．（2023 豐順縣一模）如圖，在 ABCD中，點E，F(xiàn)分別在AD，BC邊上，添加下列條件中的一項，不能保證四邊形AFCE是平行四邊形的是（　?。?br/>①AF＝CE；②BF＝DE；③∠AFC＝∠AEC；④∠BAF＝∠DCE
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，AD＝BC，進而利用平行四邊形的判定解答即可．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴BF＝DE，
∴AE＝CF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，故②正確；
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠EAF+∠AFC＝180°，
∵∠AFC＝∠AEC，
∴∠EAF+∠AEC＝180°，
∴AF∥CE，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，故③正確；
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠BAD＝∠DCB，
∵∠BAF＝∠DCE，
∴∠EAF＝∠FCE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AFB，
∵∠EAF＝∠FCE，
∴∠AFB＝∠FCE，
∴AF∥CE，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，故④正確；
①AF＝CE，不能得出邊形AFCE是平行四邊形，
故選：A．
3．（2023 東莞市一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分別是邊AC、AB的中點，連接CE、DE，過D點作DF∥CE交BC的延長線于F點．
（1）證明：四邊形DECF是平行四邊形；
（2）若AB＝13cm，AC＝5cm，求四邊形DECF的周長．
【答案】（1）證明過程請看解答；
（2）25．
【分析】（1）證DE是△ABC的中位線，得DE∥BC，由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；
（2）先由勾股定理得BC＝12，再由三角形中位線定理得DEBC＝6，然后由平行四邊形的性質(zhì)得DE＝CF＝6，DF＝CE，再由勾股定理得DF，即可得出答案．
【解答】（1）證明：∵D、E分別是邊AC、AB的中點，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE∥BC，
∴DE∥CF，
∵DF∥CE，
∴四邊形DECF是平行四邊形；
（2）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC12，
∵DE是△ABC的中位線，
∴DEBC12＝6，
∵四邊形DECF是平行四邊形，
∴DE＝CF＝6，DF＝CE，
∵D是邊AC的中點，
∴CDAC5，
∵∠ACB＝90°，CF是BC的延長線，
∴∠DCF＝90°，
在Rt△DCF中，由勾股定理得：DF，
∴四邊形DECF的周長＝2（DE+DF）＝2×（6）＝25．
4．（2023 封開縣二模）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于點O，且O是BD的中點
（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）若AC⊥BD，AB＝8，求四邊形ABCD的周長．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）利用全等三角形的性質(zhì)證明AB＝CD即可解決問題．
（2）證明四邊形ABCD是菱形，即可求四邊形ABCD的周長．
【解答】（1）證明：∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO，
∵OB＝OD，∠AOB＝∠COD，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴AB＝CD．
又∵AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
又∵AC⊥BD，
∴四邊形ABCD是菱形，
∴四邊形ABCD的周長＝4×AB＝32
考點4 矩形的判定與性質(zhì)
◇例題
1.（2023 越秀區(qū)模擬）如圖，要使 ABCD成為矩形，需要添加的條件是（　　）
A．∠ABC＝90° B．∠ABD＝∠CBD C．AC⊥BD D．AB＝BC
【答案】A
【分析】由矩形的判定：有一個角是直角的平行四邊形是矩形，即可判斷．
【解答】解：A、∠ABC＝90°，根據(jù)“有一個角是直角的平行四邊形是矩形”，得到 ABCD是矩形，故A符合題意；
B、∠ABD＝∠CBD，由AD∥BC得到∠ADB＝∠CBD，因此∠ABD＝∠ADB，所以AB＝AD， ABCD是菱形，故B不符合題意；
C、AC⊥BD，由平行線四邊形的性質(zhì)，得到AC垂直平分BD，因此AB＝AD， ABCD是菱形，故C不符合題意；
D、AB＝BC，此時 ABCD是菱形，故D不符合題意．
故選：A．
2.（2024 深圳模擬）如圖，點O是矩形ABCD的對角線AC上一點，過點O作EF⊥AC，交BC于點E，交AD于點F．
（1）在不添加新的點和線的前提下，請增加一個條件：　AO＝CO　，使得OE＝OF，并說明理由；
（2）若OE＝OF，AB＝6，BC＝8，求EF的長．
【答案】（1）AO＝CO；（2）EF．
【分析】（1）利用三角形全等可以說明；
（2）根據(jù)勾股定理先求出AC的長度，再根據(jù)三角形全等得出AO＝CO＝5，然后根據(jù)三角函數(shù)得出關(guān)于EO的方程，最后即可求得EF．
【解答】解：（1）AO＝CO；
理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠FAO＝∠ECO，
∵EF⊥AC，
∴∠AOF＝∠COE，
又∵AO＝CO，
∴△AOF≌COE（ASA），
∴OE＝OF．
（2）∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC10，
∵EF⊥AC，
∴∠AOF＝∠COE，
∵AD∥BC，
∴∠FAO＝∠ECO，
又∵EO＝FO，
∴△AOF≌COE（AAS），
∴AO＝CO＝5，
在Rt△COE中，tan∠OCE，
在Rt△ACB中，tan∠ACB，
∴，
∴，
∴EF．
3.（2023 榕城區(qū)二模）如圖， ABCD中，AC，BD相交于點O，E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點．
（1）求證：BE＝DF；
（2）設(shè)k，當k為何值時，四邊形DEBF是矩形？請說明理由．
【答案】2．
【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)，即可得到BO＝OD，EO＝FO，進而得出四邊形BFDE是平行四邊形，進而得到BE＝DF；
（2）先確定當OE＝OD時，四邊形DEBF是矩形，從而得k的值．
【解答】（1）證明：如圖，連接DE，BF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BO＝OD，AO＝OC，
∵E，F(xiàn)分別為AO，OC的中點，
∴EOOA，OFOC，
∴EO＝FO，
∵BO＝OD，EO＝FO，
∴四邊形BFDE是平行四邊形，
∴BE＝DF；
（2）解：當k＝2時，四邊形DEBF是矩形；理由如下：
當BD＝EF時，四邊形DEBF是矩形，
∴當OD＝OE時，四邊形DEBF是矩形，
∵AE＝OE，
∴AC＝2BD，
∴當k＝2時，四邊形DEBF是矩形．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 曲江區(qū)校級三模）如圖所示，O是矩形ABCD的對角線AC的中點，E為AD的中點．若AB＝6，BC＝8，則△BOE的周長為（　?。?br/>A．10 B．8+2 C．8+2 D．14
【答案】C
【分析】易知OE是中位線，則OECD＝3，在Rt△ABE中，利用勾股定理求得BE的長，在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC的長，根據(jù)矩形性質(zhì)可求BO，從而求出△BOE周長．
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝8，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，
∵點O是AC的中點，E為AD的中點，
∴OECD＝3，AEAD＝4，
在Rt△ABE中，AE＝4，AB＝6，
根據(jù)勾股定理得，BE，
在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得，
AC10．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵點O是AC的中點，
∴BO＝5．
∴△BOE周長為5+3+28+2．
故選：C．
2．（2023 遂溪縣一模）如圖，矩形ABCD中，AC、BD交于點O，M、N分別為BC、OC的中點．若∠ACB＝30°，AB＝8，則MN的長為（　?。?br/>A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和含30°的直角三角形的性質(zhì)得出AC＝BD＝16，進而求出BD＝2BO，再依據(jù)中位線的性質(zhì)推知MNBO．
【解答】解：如圖，∵四邊形ABCD是矩形，AC，BD交于點O，∠ACB＝30°，AB＝8，
∴BD＝AC＝2AB＝2×8＝16，
∴BD＝2BO，即2BO＝16．
∴BO＝8．
又∵M、N分別為BC、OC的中點，
∴MN是△CBO的中位線，
∴MNBO＝4．
故選：B．
3．（2023 揭陽一模）如圖，點O是矩形ABCD的對角線AC的中點，點E為AD的中點．若AB＝6，BC＝8，則△BOE的周長為（　?。?br/>A．12 B． C． D．14
【答案】C
【分析】根據(jù)題意可得OE是△ACD的中位線，則，在Rt△ABE中，利用勾股定理求得BE，在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求得BO，從而求出△BOE的周長．
【解答】解：∵點O是矩形ABCD對角線AC的中點，E點為AD中點，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，，，
在Rt△ABE中，，
在Rt△ABC中，，
∴，
則△BOE的周長為：，
故選：C．
4．（2023 東莞市校級模擬）如圖，在等腰三角形MNO中，MO＝NO，點Q是MN中點，點S是QO中點，過點O作OP∥MN交NS的延長線于點P，連接MP．
求證：四邊形OPMQ是矩形．
【答案】證明見解析．
【分析】證△OPS≌△QNS（ASA），得PS＝NS，再證四邊形OPMQ是平行四邊形，然后由等腰三角形的性質(zhì)得OQ⊥MN，則∠OQM＝90°，即可得出結(jié)論．
【解答】證明：∵OP∥MN，
∴∠POS＝∠NQS，
∵點S是QO中點，
∴OS＝QS，
在△OPS和△QNS中，
，
∴△OPS≌△QNS（ASA），
∴PS＝NS，
∴四邊形OPMQ是平行四邊形，
∵MO＝NO，點Q是MN中點，
∴OQ⊥MN，
∴∠OQM＝90°，
∴平行四邊形OPMQ是矩形．
5．（2023 東莞市校級模擬）如圖，在等腰三角形MNO中，MO＝NO，點Q是MN中點，點S是QO中點，過點O作OP∥MN交NS的延長線于點P，連接MP．
求證：四邊形OPMQ是矩形．
【答案】證明見解析．
【分析】證△OPS≌△QNS（ASA），得PS＝NS，再證四邊形OPMQ是平行四邊形，然后由等腰三角形的性質(zhì)得OQ⊥MN，則∠OQM＝90°，即可得出結(jié)論．
【解答】證明：∵OP∥MN，
∴∠POS＝∠NQS，
∵點S是QO中點，
∴OS＝QS，
在△OPS和△QNS中，
，
∴△OPS≌△QNS（ASA），
∴PS＝NS，
∴四邊形OPMQ是平行四邊形，
∵MO＝NO，點Q是MN中點，
∴OQ⊥MN，
∴∠OQM＝90°，
∴平行四邊形OPMQ是矩形．
6．（2023 榕城區(qū)二模）如圖， ABCD中，AC，BD相交于點O，E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點．
（1）求證：BE＝DF；
（2）設(shè)k，當k為何值時，四邊形DEBF是矩形？請說明理由．
【答案】2．
【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)，即可得到BO＝OD，EO＝FO，進而得出四邊形BFDE是平行四邊形，進而得到BE＝DF；
（2）先確定當OE＝OD時，四邊形DEBF是矩形，從而得k的值．
【解答】（1）證明：如圖，連接DE，BF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BO＝OD，AO＝OC，
∵E，F(xiàn)分別為AO，OC的中點，
∴EOOA，OFOC，
∴EO＝FO，
∵BO＝OD，EO＝FO，
∴四邊形BFDE是平行四邊形，
∴BE＝DF；
（2）解：當k＝2時，四邊形DEBF是矩形；理由如下：
當BD＝EF時，四邊形DEBF是矩形，
∴當OD＝OE時，四邊形DEBF是矩形，
∵AE＝OE，
∴AC＝2BD，
∴當k＝2時，四邊形DEBF是矩形．
考點5 菱形的判定與性質(zhì)
◇例題
1.（2023 潮州模擬）如圖，四邊形ABCD是菱形，AC與BD相交于點O，DH⊥AB交AO于點E，連接OH，下列結(jié)論錯誤的是（　?。?br/>A．AC OH＝AB DH B．△AEH≌△DEC
C．OB2+OC2＝AD2 D．∠DAO＝∠ODE
【答案】B
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理逐一進行判斷即可．
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴菱形ABCD的面積AC BD，
∵DH⊥AB，
∴菱形ABCD的面積＝AB DH，
∴AC BD＝AB DH，
∵∠DHB＝90°，OB＝OD，
∴OHBD，
∴BD＝2OH，
∴AC 2OH＝AB DH，
∴AC OH＝AB DH，故A正確；
根據(jù)題意不能得到△AEH≌△DEC，故B錯誤；
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AC⊥BD，
∴OB2+OC2＝BC2＝AD2，故C正確；
∵∠AOD＝∠DHB＝90°
∴∠DAO+∠ADO＝∠ODE+∠OBA＝90°，
∵AD＝AB，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴∠DAO＝∠ODE，故D正確；
綜上所述：結(jié)論錯誤的是B，
故選：B．
2.（2022 越秀區(qū)校級二模）如圖，△ABC中，D為BC上一點，DE∥AB，DF∥AC．增加下列條件能判定四邊形AFDE為菱形的是（　　）
A．點D在∠BAC的平分線上
B．AB＝AC
C．∠A＝90°
D．點D為BC的中點
【答案】A
【分析】先證四邊形AFDE是平行四邊形，然后逐一判斷即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四邊形AFDE是平行四邊形，
如圖，連接AD，
∴三角形ADE和三角形ADF的面積相等，
∴當點D在∠BAC的平分線上，點D到AE，AF的距離相等，
∴AF＝AE，
∴平行四邊形AFDE是菱形；
B，D不能得平行四邊形AFDE是菱形；
C能得平行四邊形AFDE是矩形；
故選：A．
3.（2023 新會區(qū)校級一模）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，過點D作∠ADC的角平分線交AB于點E，連接AC交DE于點O，AD∥CE．
（1）求證：四邊形AECD是菱形；
（2）若AD＝10，△ACD的周長為36，求菱形AECD的面積．
【答案】（1）證明見解析；
（2）96．
【分析】（1）證四邊形AECD是平行四邊形，∠CDE＝∠AED，再證∠AED＝∠ADE，則AD＝AE，然后由菱形的判定即可得出結(jié)論；
（2）由菱形的性質(zhì)得OA＝OC，CD＝AD＝10，OD＝OE，AC⊥DE，再求出AC＝16，則OA＝OC＝8，然后由勾股定理得OD＝6，則DE＝2OD＝12，即可解決問題．
【解答】（1）證明：∵AB∥CD，AD∥CE，
∴四邊形AECD是平行四邊形，∠CDE＝∠AED，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ADE，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AD＝AE，
∴平行四邊形AECD是菱形；
（2）解：由（1）可知，四邊形AECD是菱形，
∴OA＝OC，CD＝AD＝10，OD＝OE，AC⊥DE，
∵△ACD的周長為36，
∴AC＝36﹣AD﹣CD＝36﹣10﹣10＝16，
∴OA＝OC＝8，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD6，
∴DE＝2OD＝12，
∴菱形AECD的面積AC DE16×12＝96．
◆變式訓(xùn)練
1．（2024 深圳模擬）如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，連接AC，若AC＝6，則菱形ABCD的周長為（　　）
A．24 B．30 C． D．
【答案】A
【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)證明AB＝BC＝CD＝AD，再根據(jù)已知條件證明△ABC是等邊三角形，求出AB＝BC＝AC＝6，從而求出菱形周長即可．
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC＝AC＝6，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，
∴菱形ABCD的周長為：
AB+BC+CD+AD
＝6+6+6+6
＝24，
故選：A．
2．（2023 高要區(qū)一模）如圖，點E，F(xiàn)分別在 ABCD的邊AB，BC上，AE＝CF，連接DE，DF．若∠1＝∠2．
（1）證明：△DAE≌△DCF．
（2）證明： ABCD為菱形．
【答案】（1）見解析；
（2）見解析．
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和菱形的判定定理即可得到結(jié)論．
【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A＝∠C，
在△DAE和△DCF中，
，
∴△DAE≌△DCF（AAS），
（2）∵△DAE≌△DCF，
∴AD＝CD，
∴ ABCD為菱形．
3．（2023 南海區(qū)一模）如圖，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為D，點E、F、G分別是AB、CE、AC中點，直線DF交AC點G．
（1）求證：四邊形AEDG是菱形；
（2）若DG⊥CE，求∠BCE的度數(shù)．
【答案】（1）見解析過程；
（2）30°．
【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)可得BE＝DE＝AEAB，DG＝AGAC，可得AE＝DE＝DG＝AG，即可得結(jié)論；
（2）通過證明△BDE是等邊三角形，可得∠B＝60°，即可求解．
【解答】（1）證明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵點E、F分別是AB、CE中點，
∴BE＝DE＝AEAB，DG＝AGAC，
∴AE＝DE＝DG＝AG，
∴四邊形AEDG是菱形；
（2）解：∵四邊形AEDG是菱形，
∴AB∥DG，
∵DG⊥CE，
∴∠BEC＝90°，
又∵BD＝CD，
∴BD＝CD＝DE，
∴BD＝DE＝BE，
∴△BDE是等邊三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠BCE＝30°．
考點6 正方形的判定與性質(zhì)
◇例題
1.（2022 越秀區(qū)二模）下列命題中，真命題是（　?。?br/>A．有兩邊相等的平行四邊形是菱形
B．有一個角是直角的四邊形是直角梯形
C．四個角相等的菱形是正方形
D．兩條對角線相等的四邊形是矩形
【答案】C
【分析】做題時首先知道各種四邊形的判定方法，然后作答．
【解答】解：A、鄰邊相等的平行四邊形是菱形，有兩邊相等的平行四邊形是菱形，并沒有說明是鄰邊，故A錯誤；
B、有一個角是直角的四邊形是直角梯形，還可能是正方形或矩形，故B錯誤；
C、四個角相等的菱形是正方形，故C正確；
D、兩條對角線相等的四邊形是矩形，還可能是梯形或正方形，故D錯誤．
故選：C．
2.（2023 潮陽區(qū)一模）如圖，點E是正方形ABCD對角線BD上一點，連接AE，過點E作EF⊥AE，交BC于點F．已知DE，則CF的長為（　?。?br/>A． B．2 C． D．2
【答案】B
【分析】過點E作EH⊥BC，交AD于G，證明△DGE是等腰直角三角形，由DE，可得DG＝EG＝1．易證△AGE≌△EHF，則EG＝HF＝1，進而得出結(jié)論．
【解答】解：如圖，過點E作EH⊥BC交BC于點H，交AD于G，
在正方形ABCD中，AD∥BC，∠EBH＝∠ADB＝45°，
∴四邊形AGHB和四邊形DGHC是長方形，△DGE是等腰直角三角形，
∴AG＝BH＝EH，DG＝EG＝1，
∴CH＝DG＝1，
∵AG⊥GH，AE⊥EF，
∴∠AGE＝∠AEF＝∠FHE＝90°，
∴∠GAE+∠AEG＝∠FEH+∠AEG＝90°，
∴∠GAE＝∠FEH，
∴△AGE≌△EHF（ASA），
∴GE＝FH＝1；
∴CF＝CH+FH＝2．
故選：B．
3.（2023 東莞市校級二模）如圖，已知一個矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標系中，點A（10，0），點B（0，6），點P為BC邊上的動點，將△OBP沿OP折疊得到△OPD，連接CD、AD．則下列結(jié)論中：①當∠BOP＝45°時，四邊形OBPD為正方形；②當∠BOP＝30°時，△OAD的面積為15；③當P在運動過程中，CD的最小值為26；④當OD⊥AD時，BP＝2．其中結(jié)論正確的有（　?。?br/>A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D
【分析】①由矩形的性質(zhì)得到∠OBC＝90°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到OB＝OD，∠PDO＝∠OBP＝90°，∠BOP＝∠DOP，推出四邊形OBPD是矩形，根據(jù)正方形的判定定理即可得到四邊形OBPD為正方形；故①正確；
②過D作DH⊥OA于H，得到OA＝10，OB＝6，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DH3，根據(jù)三角形的面積公式得到△OAD的面積為OA DH3×10＝15，故②正確；
③連接OC，于是得到OD+CD≥OC，即當OD+CD＝OC時，CD取最小值，根據(jù)勾股定理得到CD的最小值為26；故③正確；
④根據(jù)已知條件推出P，D，A三點共線，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠OPB＝∠POA，等量代換得到∠OPA＝∠POA，求得AP＝OA＝10，根據(jù)勾股定理得到BP＝BC﹣CP＝10﹣8＝2，故④正確．
【解答】解：①∵四邊形OACB是矩形，
∴∠OBC＝90°，
∵將△OBP沿OP折疊得到△OPD，
∴OB＝OD，∠PDO＝∠OBP＝90°，∠BOP＝∠DOP，
∵∠BOP＝45°，
∴∠DOP＝∠BOP＝45°，
∴∠BOD＝90°，
∴∠BOD＝∠OBP＝∠ODP＝90°，
∴四邊形OBPD是矩形，
∵OB＝OD，
∴四邊形OBPD為正方形；故①正確；
②過D作DH⊥OA于H，
∵點A（10，0），點B（0，6），
∴OA＝10，OB＝6，
∴OD＝OB＝6，∠BOP＝∠DOP＝30°，
∴∠DOA＝30°，
∴DH3，
∴△OAD的面積為OA DH3×10＝15，故②正確；
③連接OC，
則OD+CD≥OC，
即當OD+CD＝OC時，CD取最小值，
∵AC＝OB＝6，OA＝10，
∴OC2，
∴CD＝OC﹣OD＝26，
即CD的最小值為26；故③正確；
④∵OD⊥AD，
∴∠ADO＝90°，
∵∠ODP＝∠OBP＝90°，
∴∠ADP＝180°，
∴P，D，A三點共線，
∵OA∥CB，
∴∠OPB＝∠POA，
∵∠OPB＝∠OPD，
∴∠OPA＝∠POA，
∴AP＝OA＝10，
∵AC＝6，
∴CP8，
∴BP＝BC﹣CP＝10﹣8＝2，故④正確；
故選：D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 南海區(qū)校級一模）給出下列判斷，正確的是（　?。?br/>A．一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形
B．對角線相等的四邊形是矩形
C．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形
D．有一條對角線平分一個內(nèi)角的平行四邊形為菱形．
【答案】D
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定，矩形、菱形、正方形的判定定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：A、一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形不一定是平行四邊形，可能是等腰梯形，故不符合題意；
B、對角線相等且平分的四邊形是矩形，故不符合題意；
C、對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，故不符合題意；
D、有一條對角線平分一個內(nèi)角的平行四邊形為菱形，故符合題意；
故選：D．
3．（2023 揭陽二模）如圖，以正方形ABCD的頂點A為圓心，以AD的長為半徑畫弧，交對角線AC于點E，再分別以D，E為圓心，以大于DE的長為半徑畫弧，兩弧交于圖中的點F處，連接AF并延長，與BC的延長線交于點P，則∠P＝（　　）
A．90° B．45° C．30° D．22.5°
【答案】D
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠DAC＝∠ACD＝45°，由作圖知，∠CAP∠DAC＝22.5°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAC＝∠ACD＝45°，
由作圖知，∠CAP∠DAC＝22.5°，
∴∠P＝180°﹣∠ACP﹣∠CAP＝22.5°，
故選：D．
4.（2022 龍崗區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分線交BC于點D，DE∥AB，DF∥AC．
（1）求證：四邊形AFDE為正方形；
（2）若AD＝2，求四邊形AFDE的面積．
【答案】（1）見解答．
（2）4．
【分析】（1）根據(jù)題目條件可得四邊形AFDE為平行四邊形，進而可通過角平分線證明其鄰邊相等，再加上一個90°角，即可說明是正方形，
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)先求出邊長，即可得面積．
【解答】（1）證明：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四邊形AFDE是平行四邊形．
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD＝∠EAD．
∵DE∥AB，
∴∠EDA＝∠FAD．
∴∠EDA＝∠EAD．
∴AE＝DE．
∴四邊形AFDE是菱形．
∵∠BAC＝90°，
∴四邊形AFDE是正方形．
（2）解：∵四邊形AFDE是正方形，AD＝2，
∴AF＝DF＝DE＝AE2．
∴四邊形AFDE的面積為2×2＝4．
5.（2022 禪城區(qū)校級二模）如圖，正方形ABCD中，AB＝4，點E是對角線AC上的一點，連接DE．過點E作EF⊥ED，交AB于點F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接AG．
（1）求證：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰為AB中點，連接DF交AC于點M，請直接寫出ME的長．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）如圖，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．只要證明△EMD≌△ENF即可解決問題；
（2）只要證明△ADG≌△CDE，可得AG＝EC即可解決問題；
（3）如圖，作EH⊥DF于H．想辦法求出EH，HM即可解決問題；
【解答】解：（1）如圖，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB，
∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，
∴EM＝EN，
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四邊形ANEM是矩形，
∵EF⊥DE，
∴∠MEN＝∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN，
∵∠EMD＝∠ENF＝90°，
∴△EMD≌△ENF，
∴ED＝EF，
∵四邊形DEFG是矩形，
∴四邊形DEFG是正方形．
（2）∵四邊形DEFG是正方形，四邊形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG＝CE，
∴AE+AG＝AE+EC＝ACAD＝4．
（3）如圖，作EH⊥DF于H．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，AB∥CD，
∵F是AB中點，
∴AF＝FB
∴DF2，
∵△DEF是等腰直角三角形，EH⊥DF，
∴DH＝HF，
∴EHDF，
∵AF∥CD，
∴AF：CD＝FM：MD＝1：2，
∴FM，
∴HM＝HF﹣FM，
在Rt△EHM中，EM．
1．（2020 廣東）若一個多邊形的內(nèi)角和是540°，則該多邊形的邊數(shù)為（　?。?br/>A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n﹣2） 180°列式進行計算即可求解．
【解答】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)是n，則
（n﹣2） 180°＝540°，
解得n＝5．
故選：B．
2．（2022 廣東）如圖，在 ABCD中，一定正確的是（　?。?br/>A．AD＝CD B．AC＝BD C．AB＝CD D．CD＝BC
【答案】C
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得出答案．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，
故選：C．
3．（2019 廣州）如圖， ABCD中，AB＝2，AD＝4，對角線AC，BD相交于點O，且E，F(xiàn)，G，H分別是AO，BO，CO，DO的中點，則下列說法正確的是（　?。?br/>A．EH＝HG
B．四邊形EFGH是平行四邊形
C．AC⊥BD
D．△ABO的面積是△EFO的面積的2倍
【答案】B
【分析】根據(jù)題意和圖形，可以判斷各個選項中的結(jié)論是否成立，本題得以解決．
【解答】解：∵E，F(xiàn)，G，H分別是AO，BO，CO，DO的中點，在 ABCD中，AB＝2，AD＝4，
∴EHAD＝2，HGAB＝1，
∴EH≠HG，故選項A錯誤；
∵E，F(xiàn)，G，H分別是AO，BO，CO，DO的中點，
∴EH，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，故選項B正確；
由題目中的條件，無法判斷AC和BD是否垂直，故選項C錯誤；
∵點E、F分別為OA和OB的中點，
∴EF，EF∥AB，
∴△OEF∽△OAB，
∴，
即△ABO的面積是△EFO的面積的4倍，故選項D錯誤，
故選：B．
4．（2022 廣州）如圖，在 ABCD中，AD＝10，對角線AC與BD相交于點O，AC+BD＝22，則△BOC的周長為 　 　．
【答案】21．
【分析】根據(jù)平行四邊形對角線互相平分，求出OC+OB的長，即可解決問題．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO＝OCAC，BO＝ODBD，AD＝BC＝10，
∵AC+BD＝22，
∴OC+BO＝11，
∴△BOC的周長＝OC+OB+BC＝11+10＝21．
故答案為：21．
1．（2019 深圳）如圖，已知菱形ABCD，E、F是動點，邊長為4，BE＝AF，∠BAD＝120°，則下列結(jié)論正確的有幾個（　　）
①△BEC≌△AFC；②△ECF為等邊三角形；③∠AGE＝∠AFC；④若AF＝1，則．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】①△BEC≌△AFC （SAS），正確；②由△BEC≌△AFC，得CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，由∠BCE+∠ECA＝∠BCA＝60°，得∠ACF+∠ECA＝60，所以△CEF是等邊三角形，正確；③因為∠AGE＝∠CAF+∠AFG＝60°+∠AFG，∠AFC＝∠CFG+∠AFG＝60°+∠AFG，所以∠AGE＝∠AFC，故③正確；④過點E作EM∥BC交AC下點M點，易證△AEM是等邊三角形，則EM＝AE＝3，由AF∥EM，則．故④正確，
【解答】解：①∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，
∴∠B+∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝120°，
∴∠B＝60°，
∴△ABC，△ACD是等邊三角形，
∴∠B＝∠CAF＝60°，
∵BE＝AF，BC＝AC，
∴△BEC≌△AFC （SAS），正確；
②∵△BEC≌△AFC，
∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，
∵∠BCE+∠ECA＝∠BCA＝60°，
∴∠ACF+∠ECA＝60°，
∴△CEF是等邊三角形，
故②正確；
③∵∠AGE＝∠CAF+∠AFG＝60°+∠AFG；
∠AFC＝∠CFG+∠AFG＝60°+∠AFG，
∴∠AGE＝∠AFC，
故③正確；
④過點E作EM∥BC交AC于點M，
易證△AEM是等邊三角形，則EM＝AE＝3，
∵AF∥EM，
∴則．
故④正確，
故①②③④都正確．
故選：D．
2．（2023 深圳）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝4，BC＝6，將線段AB水平向右平移a個單位長度得到線段EF，若四邊形ECDF為菱形時，則a的值為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】證得四邊形ECDF為平行四邊形，當CD＝CD＝4時， ECDF為菱形，此時a＝BE＝BC﹣CE＝6﹣4＝2．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，CE∥FD，CD＝AB＝4，
∵將線段AB水平向右平得到線段EF，
∴AB∥EF∥CD，
∴四邊形ECDF為平行四邊形，
當CD＝CE＝4時， ECDF為菱形，
此時a＝BE＝BC﹣CE＝6﹣4＝2．
故選：B．
3．（2021 深圳）在正方形ABCD中，AB＝2，E是BC的中點，在BC延長線上取點F使EF＝ED，過點F作FG⊥ED交ED于點M，交AB于點G，交CD于點N，以下結(jié)論中：①tan∠GFB；②NM＝NC；③；④S四邊形GBEM．正確的個數(shù)是（　?。?br/>A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】B
【分析】利用三角函數(shù)求得①正確；證明△DEC≌△FEM（AAS）得DM＝FC，再證△DMN≌△FCN，得②正確；由三角形全等，勾股定理得③錯誤；BE＝EC＝1，CF1，由三角函數(shù)，得④正確．
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵AB＝2，點E是BC邊的中點，
∴CE＝1，
∵∠DNM＝∠FNC，
∵FG⊥DE，
∴∠DMN＝90°，
∴∠DMN＝∠NCF＝90°，∠GFB＝∠EDC，
tan∠GFB＝tan∠EDC，①正確；
②∵∠DMN＝∠NCF＝90°，∠MND＝∠FNC，
∴∠MDN＝∠CFN
∵∠ECD＝∠EMF，EF＝ED，∠MDN＝∠CFN
∴△DEC≌△FEM（AAS）
∴EM＝EC，
∴DM＝FC，
∠MDN＝∠CFN，∠MND＝∠FNC，DM＝FC，
∴△DMN≌△FCN（AAS），
∴MN＝NC，故②正確；
③∵BE＝EC，ME＝EC，
∴BE＝ME，
在Rt△GBE和Rt△GME中，BE＝ME，GE＝GE，
∴Rt△GBE≌Rt△GME（HL），
∴∠BEG＝∠MEG，
∵ME＝EC，∠EMC＝∠ECM，
∵∠EMC+∠ECM＝∠BEG+∠MEG，
∴∠GEB＝∠MCE，
∴MC∥GE，
∴，
∵EF＝DE，
CF＝EF﹣EC1，
∴，故③錯誤；
④由上述可知：BE＝EC＝1，CF1，
∴BF1，
∵tanF＝tan∠EDC，
∴GBBF，
∴S四邊形GBEM．故④正確，
故選：B．
4．（2020 廣州）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，AB＝6，BC＝8，過點O作OE⊥AC，交AD于點E，過點E作EF⊥BD，垂足為F，則OE+EF的值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依據(jù)矩形的性質(zhì)即可得到△AOD的面積為12，再根據(jù)S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即可得到OE+EF的值．
【解答】解：∵AB＝6，BC＝8，
∴矩形ABCD的面積為48，AC10，
∴AO＝DOAC＝5，
∵對角線AC，BD交于點O，
∴△AOD的面積為12，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12AO×EODO×EF，
∴125×EO5×EF，
∴5（EO+EF）＝24，
∴EO+EF，
故選：C．
5．（2022 廣州）如圖，正方形ABCD的面積為3，點E在邊CD上，且CE＝1，∠ABE的平分線交AD于點F，點M，N分別是BE，BF的中點，則MN的長為（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】連接EF，由正方形ABCD的面積為3，CE＝1，可得DE1，tan∠EBC，即得∠EBC＝30°，又AF平分∠ABE，可得∠ABF∠ABE＝30°，故AF1，DF＝AD﹣AF1，可知EFDE（1），而M，N分別是BE，BF的中點，即得MNEF．
【解答】解：連接EF，如圖：
∵正方形ABCD的面積為3，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵CE＝1，
∴DE1，tan∠EBC，
∴∠EBC＝30°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝60°，
∵BF平分∠ABE，
∴∠ABF∠ABE＝30°，
在Rt△ABF中，AF1，
∴DF＝AD﹣AF1，
∴DE＝DF，△DEF是等腰直角三角形，
∴EFDE（1），
∵M，N分別是BE，BF的中點，
∴MN是△BEF的中位線，
∴MNEF．
故選：D．
6．（2022 廣東）菱形的邊長為5，則它的周長是 ?。?br/>【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)即可解決問題；
【解答】解：∵菱形的四邊相等，邊長為5，
∴菱形的周長為5×4＝20，
故答案為20．
7．（2021 廣東）如圖，在 ABCD中，AD＝5，AB＝12，sinA．過點D作DE⊥AB，垂足為E，則sin∠BCE＝　 ?。?br/>【答案】．
【分析】過點B作BF⊥EC于點F，根據(jù)DE⊥AB，AD＝5，sinA，可得DE＝4，根據(jù)勾股定理可得AE＝3，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD＝BC＝5，AB＝CD＝12，BE＝AB﹣AE＝12﹣3＝9，根據(jù)tan∠CEB＝tan∠DCE，可得EF＝3BF，再根據(jù)勾股定理可得BF的長，進而可得結(jié)果．
【解答】解：如圖，過點B作BF⊥EC于點F，
∵DE⊥AB，AD＝5，sinA，
∴DE＝4，
∴AE3，
在 ABCD中，AD＝BC＝5，AB＝CD＝12，
∴BE＝AB﹣AE＝12﹣3＝9，
∵CD∥AB，
∴∠DEA＝∠EDC＝90°，∠CEB＝∠DCE，
∴tan∠CEB＝tan∠DCE，
∴，
∴EF＝3BF，
在Rt△BEF中，根據(jù)勾股定理，得
EF2+BF2＝BE2，
∴（3BF）2+BF2＝92，
解得，BF，
∴sin∠BCE．
故答案為：．
8．（2023 廣東）綜合與實踐
主題：制作無蓋正方體形紙盒．
素材：一張正方形紙板．
步驟1：如圖1，將正方形紙板的邊長三等分，畫出九個相同的小正方形，并剪去四個角上的小正方形；
步驟2：如圖2，把剪好的紙板折成無蓋正方體形紙盒．
猜想與證明：（1）直接寫出紙板上∠ABC與紙盒上∠A1B1C1的大小關(guān)系；
（2）證明（1）中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．
【答案】（1）∠ABC＝∠A1B1C1；
（2）證明過程見解答．
【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解；
（2）根據(jù)勾股定理和勾股定理的逆定理和正方形的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：（1）∠ABC＝∠A1B1C1；
（2）∵A1B1為正方形對角線，
∴∠A1B1C1＝45°，
設(shè)每個方格的邊長為1，
則AB，
AC＝BC，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴由勾股定理的逆定理得△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ABC＝∠A1B1C1．
1．在平行四邊形ABCD中，∠A＝100°，則∠C的大小是（　?。?br/>A．40° B．50° C．80° D．100°
【答案】D
【分析】根據(jù)平行四邊形的對角相等，即可求得答案．
【解答】解：在 ABCD中，∠A＝100°，且∠A＝∠C，
∴∠C＝∠A＝100°．
故選：D．
2．如圖，平行四邊形ABCD中，AE平分∠DAB，∠B＝100°，則∠DEA等于（　?。?br/>A．100° B．80° C．60° D．40°
【答案】D
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)求解．
【解答】解：在 ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠DAB＝180°﹣∠B＝180°﹣100°＝80°．
∵AE平分∠DAB，
∴∠AED∠DAB＝40°．
故選：D．
3．如圖，△ABC是等邊三角形，P是形內(nèi)一點，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周長為18，則PD+PE+PF＝（　?。?br/>A．18 B．9
C．6 D．條件不夠，不能確定
【答案】C
【分析】因為要求證明PD+PE+PF的值，而PD、PE、PF并不在同一直線上，構(gòu)造平行四邊形，求出等于AB，根據(jù)三角形的周長求出AB即可．
【解答】解：延長EP交AB于點G，延長DP交AC與點H，
∵PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，
∴四邊形AFPH、四邊形PDBG均為平行四邊形，
∴PD＝BG，PH＝AF．
又∵△ABC為等邊三角形，
∴△FGP和△HPE也是等邊三角形，
∴PE＝PH＝AF，PF＝GF，
∴PE+PD+PF＝AF+BG+FG＝AB6，
故選：C．
4．如圖，已知平行四邊形ABCD中，∠B＝4∠A，則∠C＝（　　）
A．144° B．72° C．36° D．18°
【答案】C
【分析】由在 ABCD中，可得∠A+∠B＝180°，又由∠B＝4∠A，即可求得∠A的度數(shù)，繼而求得答案．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，∠A＝∠C，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠B＝4∠A，
∴∠C＝∠A180°＝36°．
故選：C．
5．如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在AD，AB上，滿足DE＝AF，連接CE，DF，點P，Q分別是DF，CE的中點，連接PQ．若∠ADF＝α．則∠PQE可以用α表示為（　?。?br/>A．α B．45°﹣α C． D．3α﹣45°
【答案】B
【分析】連接DQ，根據(jù)正方形的性質(zhì)先證明△ADF≌△DCE，得出∠DCE＝α，DF＝CE，進而得出DQ＝PD，∠PDQ＝90°﹣2α，根據(jù)三角形的內(nèi)角和表示出∠PQD即可求解．
【解答】解：連接DQ，如圖：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠A＝∠CDE＝90°，
∵AF＝DE，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴DF＝CE，∠ADF＝∠DCE＝α，
∵點P，Q分別是DF，CE的中點，
∴PDDF＝DQCE，
∴∠DPQ＝∠DQP，∠CDQ＝α，
∴∠PDQ＝90°﹣2α，∠DQE＝2α，
∴∠PQD45°+α，
∴∠PQE＝45°+α﹣2α＝45°﹣α，
故選：B．
6．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AB＝5，BC＝12，以點O為圓心作圓，若⊙O與直線AD相交、與直線CD相離，則⊙O的半徑r的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．r＜6
【答案】C
【分析】分別求出⊙O與直線AD、直線CD相切時的半徑即可解答．
【解答】解：當⊙O與直線AD相切時，rAB，
當⊙O與直線CD相切時，rBC＝6，
∴⊙O與直線AD相交、與直線CD相離，⊙O的半徑r的取值范圍是r＜6，
故選：C．
7．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，點D在BC邊上，以BD，BA為邊作 BAED，則DE的長度為 ．
【答案】．
【分析】利用勾股定理求出AB的長，再根據(jù)平行四邊形對邊相等即可得到答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，
∴，
∵四邊形BAED是平行四邊形，
∴，
故答案為：．
8．如圖，E是直線CD上的一點．已知 ABCD的面積為52cm2，則△ABE的面積為　 　cm2．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)平行四邊形面積的表示形式及三角形的面積表達式可得出△ABE的面積為平行四邊形的面積的一半．
【解答】解：根據(jù)圖形可得：△ABE的面積為平行四邊形的面積的一半，
又∵ ABCD的面積為52cm2，
∴△ABE的面積為26cm2．
故答案為：26．
9．在平面直角坐標系中，點A、B、C的坐標分別是A（0，2），B（1，0），C（3，2），點D在第一象限內(nèi)，若以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，那么點D的坐標是 ?。?，4）?。?br/>【答案】D（2，4）．
【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，即可得出結(jié)論．
【解答】解：由題意，畫出平行四邊形ABCD，如圖所示：
由圖可知：D（2，4）．
故答案為：D（2，4）．
10．如圖，平行四邊形ABCD中，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，求證：四邊形BEDF是平行四邊形．
【答案】證明見解答過程．
【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AD∥BC，∠ABC＝∠ADF，又由BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，可證得∠CBE＝∠CFD，即可證得BE∥DF，則可判定四邊形BEDF是平行四邊形．
【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，
∴∠EDF＝∠CFD，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴，，
∴∠CBE＝∠EDF，
∴∠CBE＝∠CFD，
∴BE∥DF，
∴四邊形BEDF是平行四邊形．
11．如圖，四邊形ABCD是正方形，E是CD邊上任意一點，連接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分別為F、G．
求證：AF＝DG
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB＝AD，再利用同角的余角相等求出∠BAF＝∠ADG，再利用“角角邊”證明△BAF和△ADG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AF＝DG，
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝90°，
∵BF⊥AE，DG⊥AE，
∴∠AFB＝∠AGD＝∠ADG+∠DAG＝90°，
∵∠DAG+∠BAF＝90°，
∴∠ADG＝∠BAF，
在△BAF和△ADG中，
∵，
∴△BAF≌△ADG（AAS），
∴AF＝DG，
12．如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點E、點F分別是對角線AC上的點，且AE＝CF，過點E作EG⊥BF，交BC于點G，平移BF，使B、F的對應(yīng)點分別是G、H，連接DH．
（1）當△ADE是以AE為腰長的等腰三角形時，求CE的長；
（2）連接BF、DE，判斷四邊形DEGH的形狀，并說明理由．
【答案】（1）CE的長為2或5；
（2）四邊形DEGH是矩形，證明見解答．
【分析】（1）運用勾股定理可得AC＝10，分兩種情況：當AE＝AD＝8時，則CE＝AC﹣AE＝10﹣8＝2；當AE＝DE時，∠EAD＝∠EDA，推出∠ECD＝∠EDC，得DE＝CE，進而得出AE＝CE，可得CE＝5；
（2）先證明△ADE≌△CBF（SAS），可得DE＝BF，∠AED＝∠CFB，即∠DEC＝∠AFB，由平行線的判定可得DE∥BF，結(jié)合平移可得DE∥GH，DE＝GH，證得四邊形DEGH是平行四邊形，再證得∠EGH＝90°，即可得出四邊形DEGH是矩形．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，BC＝AD＝8，CD＝AB＝6，
∴AC10，
當AE＝AD＝8時，
則CE＝AC﹣AE＝10﹣8＝2；
當AE＝DE時，∠EAD＝∠EDA，
∵∠EAD+∠ECD＝90°，∠EDA+∠EDC＝90°，
∴∠ECD＝∠EDC，
∴DE＝CE，
∴AE＝CE，
∴CEAC＝5；
綜上所述，當△ADE是以AE為腰長的等腰三角形時，CE的長為2或5；
（2）四邊形DEGH是矩形，理由如下：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵AE＝CF，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴DE＝BF，∠AED＝∠CFB，
∴180°﹣∠AED＝180°﹣∠CFB，
即∠DEC＝∠AFB，
∴DE∥BF，
由平移得：BF∥GH，BF＝GH，
∴DE∥GH，DE＝GH，
∴四邊形DEGH是平行四邊形，
∵EG⊥BF，
∴EG⊥GH，
∴∠EGH＝90°，
∴四邊形DEGH是矩形．
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
第四章 圖形的性質(zhì)
第十七節(jié) 平行四邊形
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 平行四邊形的概念和性質(zhì) ☆☆ 平行四邊形知識內(nèi)容主要包括平行四邊形的性質(zhì)與判定、矩形的性質(zhì)與判定、菱形的性質(zhì)與判定、正方形的性質(zhì)與判定，作為比較重要的幾何知識，在廣東中考中占有一定的考查比重，從往年考查來看，考查的頻率還是相對較高，基礎(chǔ)知識的單獨考查一般就是選擇或填空題，若考查知識的綜合性運用則在解答題里以中等或較難的綜合題進行考查，例如和三角形全等、解直角三角形以及函數(shù)動點問題進行綜合應(yīng)用考查。平行四邊形的復(fù)習(xí)要多注重基礎(chǔ)，性質(zhì)與判定的掌握是重點，幾何思維的培養(yǎng)是難點，多進行反復(fù)練習(xí)，達到迎接中考的水準，便可顯得輕松自如。
考點2 平行四邊形的判定 ☆☆
考點3 平行四邊形的判定與性質(zhì) ☆☆
考點4矩形的性質(zhì)與判定 ☆☆
考點5菱形的性質(zhì)與判定 ☆☆
考點6正方形的性質(zhì)與判定 ☆☆
考點1平行四邊形的概念和性質(zhì)
1.平行四邊形的概念
兩組對邊分別_____的四邊形叫做平行四邊形。
平行四邊形用符號“□ABCD”表示，如平行四邊形ABCD記作“□ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”。
2.平行四邊形的性質(zhì)
（1）平行四邊形的鄰角_____，對角_____。
（2）平行四邊形的對邊_____且_____。
推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等。
（3）平行四邊形的對角線互相平分。
（4）若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積。
考點2 平行四邊形的判定
（1）定義：兩組對邊分別_____的四邊形是平行四邊形
（2）定理1：兩組對角分別_____的四邊形是平行四邊形
（3）定理2：兩組對邊分別_____的四邊形是平行四邊形
（4）定理3：對角線互相_____的四邊形是平行四邊形
（5）定理4：一組對邊_____且_____的四邊形是平行四邊形
考點3 平行四邊形的性質(zhì)與判定
（1）平行四邊形的判定與性質(zhì)的作用
平行四邊形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，對角線互相平分及它的判定，是我們證明直線的平行、線段相等、角相等的重要方法，若要證明兩直線平行和兩線段相等、兩角相等，可考慮將要證的直線、線段、角、分別置于一個四邊形的對邊或?qū)堑奈恢蒙?，通過證明四邊形是平行四邊形達到上述目的．
運用定義，也可以判定某個圖形是平行四邊形，這是常用的方法，不要忘記平行四邊形的定義，有時用定義判定比用其他判定定理還簡單．
凡是可以用平行四邊形知識證明的問題，不要再回到用三角形全等證明，應(yīng)直接運用平行四邊形的性質(zhì)和判定去解決問題．
（2）兩條平行線的距離
兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線的距離。
平行線間的距離處處相等。
（3）平行四邊形的面積
S平行四邊形=底邊長×高=ah
考點4矩形的性質(zhì)與判定
1.矩形的概念
有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。
2.矩形的性質(zhì)
（1）具有平行四邊形的一切性質(zhì)
（2）矩形的四個角都是直角
（3）矩形的對角線相等
（4）矩形是軸對稱圖形
3.矩形的判定
（1）定義：有一個角是_____的平行四邊形是矩形
（2）定理1：有三個角是_____的四邊形是矩形
（3）定理2：對角線_____的平行四邊形是矩形
4.矩形的面積
S矩形=長×寬=ab
考點5 菱形的性質(zhì)與判定
1.菱形的概念
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形
2.菱形的性質(zhì)
（1）具有平行四邊形的一切性質(zhì)
（2）菱形的四條邊相等
（3）菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角
（4）菱形是軸對稱圖形
3.菱形的判定
（1）定義：有一組鄰邊_____的平行四邊形是菱形
（2）定理1：四邊都_____的四邊形是菱形
（3）定理2：對角線互相_____的平行四邊形是菱形
4.菱形的面積
S菱形=底邊長×高=兩條對角線乘積的一半
考點6 正方形的性質(zhì)與判定
1.正方形的概念
有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。
2.正方形的性質(zhì)
（1）具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)
（2）正方形的四個角都是直角，四條邊都相等
（3）正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角
（4）正方形是軸對稱圖形，有4條對稱軸
（5）正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形
（6）正方形的一條對角線上的一點到另一條對角線的兩端點的距離相等。
3.正方形的判定
（1）判定一個四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：
先證它是_____，再證有一組鄰邊相等。
先證它是_____，再證有一個角是直角。
（2）判定一個四邊形為正方形的一般順序如下：
先證明它是平行四邊形；
再證明它是菱形（或矩形）；
最后證明它是矩形（或菱形）
4.正方形的面積
設(shè)正方形邊長為a，對角線長為b
S正方形=
考點1平行四邊形的概念和性質(zhì)
◇例題
1.（2023 新會區(qū)一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AD于點E，∠BCD的平分線交AD于點F，若AB＝3，AD＝4，則EF的長是（　　）
A．2 B．1 C．3 D．3.5
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 南海區(qū)校級三模）如圖，將 ABCD的一邊BC延長至點E，若∠A＝110°，則∠1等于（　　）
A．110° B．35° C．70° D．55°
2．（2023 佛山模擬）如圖， ABCD的對角線AC，BD相交于點O，若AC＝4，BD＝6，則AB的長可能是（　?。?br/>A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2023 蓬江區(qū)校級三模）如圖，在平行四邊形ABCD中，若∠A+∠C＝120°，則∠D的度數(shù)為（　?。?br/>A．120° B．60° C．30° D．150°
考點2 平行四邊形的判定
◇例題
1.（2022 海珠區(qū)校級模擬）如圖，B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，連接AD．求證：四邊形ABED是平行四邊形．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 香洲區(qū)校級一模）下列條件中，能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（　　）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D
C．AB＝AD，CB＝CD D．AB∥CD，AB＝CD
2．（2023 中山市模擬）如圖，E，F(xiàn)是四邊形ABCD的對角線AC上兩點，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．
3．（2023 豐順縣一模）如圖，點E，A，C，F(xiàn)在同一直線上，ED∥BF，AE＝CF，∠EDA＝∠FBC．
求證：（1）△ADE≌△CBF；
（2）四邊形ABCD是平行四邊形．
考點3 平行四邊形的判定與性質(zhì)
◇例題
1.（2023 榕城區(qū)一模）如圖，將 ABCD的對角線AC向兩個方向延長，分別至點E和點F，AE＝CF．求證：四邊形DEBF是平行四邊形．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 陽山縣二模）如圖1，直線l1∥l2，直線l3分別交直線l1，l2于點A，B．小嘉在圖1的基礎(chǔ)上進行尺規(guī)作圖，得到如圖2，并探究得到下面兩個結(jié)論：
①四邊形ABCD是鄰邊不相等的平行四邊形；
②四邊形ABCD是對角線互相垂直的平行四邊形．下列判斷正確的是（　?。?br/>A．①②都正確 B．①錯誤，②正確
C．①②都錯誤 D．①正確，②錯誤
2．（2023 豐順縣一模）如圖，在 ABCD中，點E，F(xiàn)分別在AD，BC邊上，添加下列條件中的一項，不能保證四邊形AFCE是平行四邊形的是（　　）
①AF＝CE；②BF＝DE；③∠AFC＝∠AEC；④∠BAF＝∠DCE
A．① B．② C．③ D．④
3．（2023 東莞市一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分別是邊AC、AB的中點，連接CE、DE，過D點作DF∥CE交BC的延長線于F點．
（1）證明：四邊形DECF是平行四邊形；
（2）若AB＝13cm，AC＝5cm，求四邊形DECF的周長．
4．（2023 封開縣二模）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于點O，且O是BD的中點
（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）若AC⊥BD，AB＝8，求四邊形ABCD的周長．
考點4 矩形的判定與性質(zhì)
◇例題
1.（2023 越秀區(qū)模擬）如圖，要使 ABCD成為矩形，需要添加的條件是（　　）
A．∠ABC＝90° B．∠ABD＝∠CBD C．AC⊥BD D．AB＝BC
2.（2024 深圳模擬）如圖，點O是矩形ABCD的對角線AC上一點，過點O作EF⊥AC，交BC于點E，交AD于點F．
（1）在不添加新的點和線的前提下，請增加一個條件：　 　，使得OE＝OF，并說明理由；
（2）若OE＝OF，AB＝6，BC＝8，求EF的長．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 曲江區(qū)校級三模）如圖所示，O是矩形ABCD的對角線AC的中點，E為AD的中點．若AB＝6，BC＝8，則△BOE的周長為（　　）
A．10 B．8+2 C．8+2 D．14
2．（2023 遂溪縣一模）如圖，矩形ABCD中，AC、BD交于點O，M、N分別為BC、OC的中點．若∠ACB＝30°，AB＝8，則MN的長為（　?。?br/>A．2 B．4 C．8 D．16
3．（2023 揭陽一模）如圖，點O是矩形ABCD的對角線AC的中點，點E為AD的中點．若AB＝6，BC＝8，則△BOE的周長為（　?。?br/>A．12 B． C． D．14
4．（2023 東莞市校級模擬）如圖，在等腰三角形MNO中，MO＝NO，點Q是MN中點，點S是QO中點，過點O作OP∥MN交NS的延長線于點P，連接MP．
求證：四邊形OPMQ是矩形．
5．（2023 東莞市校級模擬）如圖，在等腰三角形MNO中，MO＝NO，點Q是MN中點，點S是QO中點，過點O作OP∥MN交NS的延長線于點P，連接MP．
求證：四邊形OPMQ是矩形．
6．（2023 榕城區(qū)二模）如圖， ABCD中，AC，BD相交于點O，E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點．
（1）求證：BE＝DF；
（2）設(shè)k，當k為何值時，四邊形DEBF是矩形？請說明理由．
考點5 菱形的判定與性質(zhì)
◇例題
1.（2023 潮州模擬）如圖，四邊形ABCD是菱形，AC與BD相交于點O，DH⊥AB交AO于點E，連接OH，下列結(jié)論錯誤的是（　?。?br/>A．AC OH＝AB DH B．△AEH≌△DEC
C．OB2+OC2＝AD2 D．∠DAO＝∠ODE
2.（2022 越秀區(qū)校級二模）如圖，△ABC中，D為BC上一點，DE∥AB，DF∥AC．增加下列條件能判定四邊形AFDE為菱形的是（　?。?br/>A．點D在∠BAC的平分線上
B．AB＝AC
C．∠A＝90°
D．點D為BC的中點
3.（2023 新會區(qū)校級一模）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，過點D作∠ADC的角平分線交AB于點E，連接AC交DE于點O，AD∥CE．
（1）求證：四邊形AECD是菱形；
（2）若AD＝10，△ACD的周長為36，求菱形AECD的面積．
◆變式訓(xùn)練
1．（2024 深圳模擬）如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，連接AC，若AC＝6，則菱形ABCD的周長為（　?。?br/>A．24 B．30 C． D．
2．（2023 高要區(qū)一模）如圖，點E，F(xiàn)分別在 ABCD的邊AB，BC上，AE＝CF，連接DE，DF．若∠1＝∠2．
（1）證明：△DAE≌△DCF．
（2）證明： ABCD為菱形．
3．（2023 南海區(qū)一模）如圖，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為D，點E、F、G分別是AB、CE、AC中點，直線DF交AC點G．
（1）求證：四邊形AEDG是菱形；
（2）若DG⊥CE，求∠BCE的度數(shù)．
考點6 正方形的判定與性質(zhì)
◇例題
1.（2022 越秀區(qū)二模）下列命題中，真命題是（　?。?br/>A．有兩邊相等的平行四邊形是菱形
B．有一個角是直角的四邊形是直角梯形
C．四個角相等的菱形是正方形
D．兩條對角線相等的四邊形是矩形
2.（2023 潮陽區(qū)一模）如圖，點E是正方形ABCD對角線BD上一點，連接AE，過點E作EF⊥AE，交BC于點F．已知DE，則CF的長為（　　）
A． B．2 C． D．2
3.（2023 東莞市校級二模）如圖，已知一個矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標系中，點A（10，0），點B（0，6），點P為BC邊上的動點，將△OBP沿OP折疊得到△OPD，連接CD、AD．則下列結(jié)論中：①當∠BOP＝45°時，四邊形OBPD為正方形；②當∠BOP＝30°時，△OAD的面積為15；③當P在運動過程中，CD的最小值為26；④當OD⊥AD時，BP＝2．其中結(jié)論正確的有（　?。?br/>A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 南海區(qū)校級一模）給出下列判斷，正確的是（　　）
A．一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形
B．對角線相等的四邊形是矩形
C．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形
D．有一條對角線平分一個內(nèi)角的平行四邊形為菱形．
3．（2023 揭陽二模）如圖，以正方形ABCD的頂點A為圓心，以AD的長為半徑畫弧，交對角線AC于點E，再分別以D，E為圓心，以大于DE的長為半徑畫弧，兩弧交于圖中的點F處，連接AF并延長，與BC的延長線交于點P，則∠P＝（　?。?br/>A．90° B．45° C．30° D．22.5°
4.（2022 龍崗區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分線交BC于點D，DE∥AB，DF∥AC．
（1）求證：四邊形AFDE為正方形；
（2）若AD＝2，求四邊形AFDE的面積．
5.（2022 禪城區(qū)校級二模）如圖，正方形ABCD中，AB＝4，點E是對角線AC上的一點，連接DE．過點E作EF⊥ED，交AB于點F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接AG．
（1）求證：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰為AB中點，連接DF交AC于點M，請直接寫出ME的長．
1．（2020 廣東）若一個多邊形的內(nèi)角和是540°，則該多邊形的邊數(shù)為（　?。?br/>A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2022 廣東）如圖，在 ABCD中，一定正確的是（　?。?br/>A．AD＝CD B．AC＝BD C．AB＝CD D．CD＝BC
3．（2019 廣州）如圖， ABCD中，AB＝2，AD＝4，對角線AC，BD相交于點O，且E，F(xiàn)，G，H分別是AO，BO，CO，DO的中點，則下列說法正確的是（　?。?br/>A．EH＝HG
B．四邊形EFGH是平行四邊形
C．AC⊥BD
D．△ABO的面積是△EFO的面積的2倍
4．（2022 廣州）如圖，在 ABCD中，AD＝10，對角線AC與BD相交于點O，AC+BD＝22，則△BOC的周長為 　 　．
1．（2019 深圳）如圖，已知菱形ABCD，E、F是動點，邊長為4，BE＝AF，∠BAD＝120°，則下列結(jié)論正確的有幾個（　?。?br/>①△BEC≌△AFC；②△ECF為等邊三角形；③∠AGE＝∠AFC；④若AF＝1，則．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023 深圳）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝4，BC＝6，將線段AB水平向右平移a個單位長度得到線段EF，若四邊形ECDF為菱形時，則a的值為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2021 深圳）在正方形ABCD中，AB＝2，E是BC的中點，在BC延長線上取點F使EF＝ED，過點F作FG⊥ED交ED于點M，交AB于點G，交CD于點N，以下結(jié)論中：①tan∠GFB；②NM＝NC；③；④S四邊形GBEM．正確的個數(shù)是（　?。?br/>A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
4．（2020 廣州）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，AB＝6，BC＝8，過點O作OE⊥AC，交AD于點E，過點E作EF⊥BD，垂足為F，則OE+EF的值為（　?。?br/>A． B． C． D．
5．（2022 廣州）如圖，正方形ABCD的面積為3，點E在邊CD上，且CE＝1，∠ABE的平分線交AD于點F，點M，N分別是BE，BF的中點，則MN的長為（　　）
A． B． C．2 D．
6．（2022 廣東）菱形的邊長為5，則它的周長是 ?。?br/>7．（2021 廣東）如圖，在 ABCD中，AD＝5，AB＝12，sinA．過點D作DE⊥AB，垂足為E，則sin∠BCE＝　 ?。?br/>8．（2023 廣東）綜合與實踐
主題：制作無蓋正方體形紙盒．
素材：一張正方形紙板．
步驟1：如圖1，將正方形紙板的邊長三等分，畫出九個相同的小正方形，并剪去四個角上的小正方形；
步驟2：如圖2，把剪好的紙板折成無蓋正方體形紙盒．
猜想與證明：（1）直接寫出紙板上∠ABC與紙盒上∠A1B1C1的大小關(guān)系；
（2）證明（1）中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．
1．在平行四邊形ABCD中，∠A＝100°，則∠C的大小是（　　）
A．40° B．50° C．80° D．100°
2．如圖，平行四邊形ABCD中，AE平分∠DAB，∠B＝100°，則∠DEA等于（　　）
A．100° B．80° C．60° D．40°
3．如圖，△ABC是等邊三角形，P是形內(nèi)一點，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周長為18，則PD+PE+PF＝（　?。?br/>A．18 B．9
C．6 D．條件不夠，不能確定
4．如圖，已知平行四邊形ABCD中，∠B＝4∠A，則∠C＝（　　）
A．144° B．72° C．36° D．18°
5．如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在AD，AB上，滿足DE＝AF，連接CE，DF，點P，Q分別是DF，CE的中點，連接PQ．若∠ADF＝α．則∠PQE可以用α表示為（　?。?br/>A．α B．45°﹣α C． D．3α﹣45°
6．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AB＝5，BC＝12，以點O為圓心作圓，若⊙O與直線AD相交、與直線CD相離，則⊙O的半徑r的取值范圍是（　?。?br/>A． B． C． D．r＜6
7．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，點D在BC邊上，以BD，BA為邊作 BAED，則DE的長度為 ．
8．如圖，E是直線CD上的一點．已知 ABCD的面積為52cm2，則△ABE的面積為　 　cm2．
9．在平面直角坐標系中，點A、B、C的坐標分別是A（0，2），B（1，0），C（3，2），點D在第一象限內(nèi)，若以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，那么點D的坐標是 　 　．
10．如圖，平行四邊形ABCD中，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，求證：四邊形BEDF是平行四邊形．
11．如圖，四邊形ABCD是正方形，E是CD邊上任意一點，連接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分別為F、G．
求證：AF＝DG
12．如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點E、點F分別是對角線AC上的點，且AE＝CF，過點E作EG⊥BF，交BC于點G，平移BF，使B、F的對應(yīng)點分別是G、H，連接DH．
（1）當△ADE是以AE為腰長的等腰三角形時，求CE的長；
（2）連接BF、DE，判斷四邊形DEGH的形狀，并說明理由．
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑