資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第四章 圖形的性質
第十八節 圓
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1：圓的有關概念與性質 ☆☆☆ 圓的知識內容在全國各地的中考均屬于必考知識，其中主要包括：圓的有關概念、圓的對稱性、圓周角及圓心角、直線與圓的位置關系、扇形弧長及面積、圓錐側面積的計算等內容，廣東中考每年涉及到圓的考查有15分上下，比重是比較大的，多以中等難度的選擇、填空題以及中等較偏難的綜合性解答題考查為主，再選擇題或者填空考查對于大多數考生來說屬于較易拿分題，在解答題中，證切線是比較有機會考查且拿分的，一輪復習的時候務必掌握好相關基礎知識，力爭把非難題的分值拿下來，平時多加練習，萬變不離其宗，回歸知識本身，合理運用知識解答。
考點2：點與圓、直線與圓的位置關系 ☆☆☆
考點3：與圓有關的計算 ☆☆☆
考點1：圓的有關概念與性質
1．與圓有關的概念和性質
圓：平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形．
弦與直徑：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，過圓心的弦叫做直徑，直徑是圓內最長的弦．
?。簣A上任意兩點間的部分叫做弧，小于半圓的弧叫做劣弧，大于半圓的弧叫做優?。?br/>圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角．
圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都與圓還有一個交點的角叫做圓周角．
弦心距：圓心到弦的距離．
2．圓的對稱性
圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸，圓有無數條對稱軸；
圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形；
圓具有旋轉不變性．
3．圓的確定：不在同一直線上的三個點確定一個圓（圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大?。?br/>4．垂直于弦的直徑
垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?br/>推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．
垂徑定理及其推論可概括為：
過圓心
垂直于弦
直徑 平分弦 知二推三
平分弦所對的優弧
平分弦所對的劣弧
5．圓心角、弧、弦之間的關系
定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．
推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量也相等．
6．圓周角
圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
推論1：在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等．
推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑．
考點2：點與圓、直線與圓的位置關系
1．點和圓的位置關系
設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：
點P在圓外d＞r；
點P在圓上d＝r；
點P在圓內d＜r．
2.圓的確定：
①過一點的圓有無數個；
②過兩點的圓有無數個；
③經過在同一直線上的三點不能作圓；
④不在同一直線上的三點確定一個圓。
3．直線和圓的位置關系
位置關系 相離 相切 相交
圖形
公共點個數 0個 1個 2個
數量關系 d>r d=r d（1）切線的判定
切線的判定定理 經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．(會過圓上一點畫圓的切線)
（2）切線的性質：切線的性質定理 圓的切線垂直于過切點的半徑．
（3）切線長和切線長定理
切線長：經過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長．
切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角．
4．三角形的外接圓相關概念
經過三角形各頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做圓的內接三角形．外心是三角形三條垂直平分線的交點，它到三角形的三個頂點的距離相等．
5．三角形的內切圓
與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形．內心是三角形三條角平分線的交點，它到三角形的三條邊的距離相等．
考點3：與圓有關的計算
1.正多邊形的有關概念：
(1) 正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形.
(2)正多邊形的中心——正多邊形的外接圓的圓心.
(3)正多邊形的半徑——正多邊形的外接圓的半徑.
(4)正多邊形的邊心距——正多邊形中心到正多邊形各邊的距離.（正多邊形內切圓的半徑）
(5)正多邊形的中心角——正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角.
2.正多邊形與圓的關系：
(1)將一個圓n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次連結各等分點所得的多邊形是這個圓的內接正多邊形.
(2)這個圓是這個正多邊形的外接圓.
（3）把圓分成n(n≥3)等分，經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形.這個圓叫做正n邊形的內切圓.
（4）任何正n邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓.
3.正多邊形性質：
(1)任何正多邊形都有一個外接圓.
(2) 正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心．當邊數是偶數時，它又是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.
(3)邊數相同的正多邊形相似.它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．
（4）任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓.
（5）正n邊形的有n個相等的外角，而正n邊形的外角和為360度，所以正n邊形每個外角的度數是；所以正n邊形的中心角等于它的外角.
（6）邊數相同的正多邊形相似.周長的比等于它們邊長（或半徑、邊心距）的比.面積比等于它們邊長（或半徑、邊心距）平方的比.
4．弧長和扇形面積的計算：扇形的弧長l=；扇形的面積S==．
5．圓錐與側面展開圖
（1）圓錐側面展開圖是一個扇形，扇形的半徑等于圓錐的母線，扇形的弧長等于圓錐的底面周長．
（2）若圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則這個扇形的半徑為l，扇形的弧長為2πr，
6．圓錐的側面積為S圓錐側=．
圓錐的表面積：S圓錐表=S圓錐側+S圓錐底=πrl+πr2=πr·（l+r）．
在求不規則圖形的面積時，注意利用割補法與等積變化方法歸為規則圖形，再利用規則圖形的公式求解．
考點1：圓的有關概念與性質
◇例題
1.（2022 南山區校級模擬）數學知識在生產和生活中被廣泛應用，下列實例所應用的最主要的幾何知識，說法正確的是（　?。?br/>A．學校門口的伸縮門由菱形而不是其他四邊形組成，應用了“菱形的對角線互相垂直平分”
B．車輪做成圓形，應用了“圓是中心對稱圖形”
C．射擊時，瞄準具的缺口、準星和射擊目標在同一直線上，應用了“兩點確定一條直線”
D．地板磚可以做成矩形，應用了“矩形對邊相等”
【答案】C
【分析】根據兩點確定一條直線，圓的認識，菱形的性質以及矩形的性質進行判斷即可．
【解答】解：A．學校門口的伸縮門由菱形而不是其他四邊形組成，應用了“四邊形的不穩定性”，故本選項錯誤，不合題意；
B．車輪做成圓形，應用了“圓上各點到圓心的距離相等”，故本選項錯誤，不合題意；
C．射擊時，瞄準具的缺口、準星和射擊目標在同一直線上，應用了“兩點確定一條直線”，故本選項正確，符合題意
D．地板磚可以做成矩形，應用了“矩形四個內角都是直角”的性質，故本選項錯誤，不合題意．
故選：C．
2.（2023 陸豐市二模）如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝130°，OA＝3，若弦BC∥AO，則的長為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】C
【分析】連接OC，如圖，利用等腰三角形的性質和平行線的性質可計算出∠AOC＝50°，然后根據弧長公式計算的長．
【解答】解：連接OC，如圖，
∵BC∥OA，
∴∠AOB+∠OBC＝180°，∠C＝∠AOC，
∵∠AOB＝130°，
∴∠OBC＝50°，
∵OB＝OC，
∴∠C＝∠OBC＝50°，
∴∠AOC＝50°，
∴的長．
故選：C．
3.（2023 東莞市校級模擬）如圖，在半徑為13的⊙O中，M為弦AB的中點，若OM＝12，則AB的長為 ?。?br/>【答案】10．
【分析】連接OM，OA，根據垂徑定理得出OM⊥AB，根據勾股定理求出AM，再求出AB即可．
【解答】解：連接OM，OA，
∵M為AB的中點，O過圓心O，
∴OM⊥AB，AM＝BM，
∴∠OMA＝90°，
由勾股定理得：BM＝AM5，
∴AB＝AM+BM＝10，
故答案為：10．
4.（2023 龍崗區校級一模）“圓”是中國文化的一個重要精神元素，在中式建筑中有著廣泛的應用．例如古典園林中的門洞．如圖，某地園林中的一個圓弧形門洞的高為2.5m，地面入口寬為1m，則該門洞的半徑為 　 　m．
【答案】1.3．
【分析】設半徑為r m，根據垂徑定理可以列方程求解即可．
【解答】解：設圓的半徑為r m，
由題意可知，DFCDm，EF＝2.5m，
Rt△OFD中，OF，r+OF＝2.5，
所以r＝2.5，
解得r＝1.3．
故答案為：1.3．
5.（2023 東莞市一模）如圖，AB是⊙O的弦，C是的中點，OC交AB于點D，若AB＝8cm，CD＝2cm，求⊙O的半徑．
【答案】⊙O的半徑為5cm．
【分析】先根據圓心角、弧、弦的關系和垂徑定理得出各線段之間的關系，再利用勾股定理求解出半徑即可．
【解答】解：如圖，連接OA，
∵C是的中點，
∴D是弦AB的中點，
∴OC⊥AB，AD＝BD＝4cm，
∵OD＝3cm，
在Rt△OAD中，
OA2＝AD2+OD2，即OA2＝42+（OA﹣2）2，
∴OA＝5m．
即⊙O的半徑為5cm．
◆變式訓練
1．（2022 潮安區模擬）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以點C為圓心，CA長為半徑的圓恰好經過AB的中點D，則⊙C的半徑為（　?。?br/>A． B．8 C．6 D．5
【答案】D
【分析】連結CD，根據直角三角形斜邊中線定理求解即可．
【解答】解：如圖，連結CD，
∵CD是直角三角形斜邊上的中線，
∴CDAB10＝5．
故選：D．
2．（2023 福田區校級三模）如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足為C，OD∥AB，OCOD，則∠ABD的度數為（　?。?br/>A．90° B．95° C．100° D．105°
【答案】D
【分析】連接OB，則OCOB，由OC⊥AB，則∠OBC＝30°，再由OD∥AB，即可求出答案．
【解答】解：如圖：
連接OB，則OB＝OD，
∵OCOD，
∴OCOB，
∵OC⊥AB，
∴∠OBC＝30°，
∵OD∥AB，
∴∠BOD＝∠OBC＝30°，
∴∠OBD＝∠ODB＝75°，
∠ABD＝30°+75°＝105°．
故選：D．
3．（2023 荔灣區校級二模）下列語句中，正確的有（　　）
①相等的圓心角所對的弧相等；
②平分弦的直徑垂直于弦；
③長度相等的兩條弧是等??；
④經過圓心的每一條直線都是圓的對稱軸．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】A
【分析】根據圓心角、弧、弦的關系以及垂徑定理等對每一項進行分析即可求出正確答案．
【解答】解：①同圓或等圓中相等的圓心角所對的弧相等，故本選項錯誤；
②平分弦的直徑垂直于弦，被平分的弦不能是直徑，故此選項錯誤；
③能重合的弧是等弧，而長度相等的弧不一定能夠重合，故此選項錯誤；
④經過圓心的每一條直線都是圓的對稱軸，此選項正確；
故正確的有1個，
故選：A．
4．（2022 龍崗區模擬）如圖，△ABC的頂點A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，則∠OAC的大小是（　?。?br/>A．25° B．50° C．65° D．75°
【答案】C
【分析】根據圓周角定理得出∠AOC＝2∠ABC，求出∠AOC＝50°，再根據等腰三角形的性質和進行內角和定理求出即可．
【解答】解：∵根據圓周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，
∵∠ABC+∠AOC＝75°，
∴∠AOC75°＝50°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA（180°﹣∠AOC）＝65°，
故選：C．
5．（2023 封開縣一模）已知：如圖OA，OB是⊙O的兩條半徑，且OA⊥OB，點C在⊙O上，則∠ACB的度數為（　?。?br/>A．45° B．40° C．35° D．50°
【答案】A
【分析】判斷出∠AOB＝90°，再利用圓周角定理求解．
【解答】解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠ACB∠AOB＝45°．
故選：A．
6．（2023 佛山一模）如圖，在⊙O中，∠O＝50°，則∠A的度數是（　?。?br/>A．25° B．30° C．50° D．100°
【答案】A
【分析】直接利用圓周角定理求解．
【解答】解：如圖，在⊙O中，∠O＝50°，∠A∠O，則∠A＝25°．
故選：A．
7．（2023 南海區校級模擬）如圖，線段CD是⊙O的直徑，CD⊥AB于點E，若AB長為16，OE長為6，則⊙O半徑是（　?。?br/>A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【分析】連接OA，如圖，先根據垂徑定理得到AE＝BE＝8，然后利用勾股定理計算出OA即可．
【解答】解：連接OA，如圖，
∵CD⊥AB，
∴AE＝BEAB16＝8，
在Rt△OAE中，OA10，
即⊙O半徑為10．
故選：D．
8．（2023 荔灣區校級二模）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點F，OE⊥AC于點E，若OE＝3，OB＝5，則CD的長度是 　?。?br/>【答案】．
【分析】根據垂徑定理得到AE＝EC，根據勾股定理求出AC，證明△AEO∽△AFC，根據相似三角形的性質計算即可．
【解答】解：∵OE⊥AC，
∴AE＝EC，
∵AB⊥CD，
∴∠AFC＝∠AEO＝90°，
∵OE＝3，OB＝5，
∴AE4，
∴AC＝8，
∵∠A＝∠A，∠AEO＝∠AFC，
∴△AEO∽△AFC，
∴，即，
解得：FC，
∵CD⊥AB，
∴CD＝2CF，
故答案為：．
9．（2023 東莞市校級一模）如圖，某同學準備用一根內半徑為5cm的塑料管裁一個引水槽，使槽口寬度AB為8cm，則槽的深度CD為 　2　cm．
【答案】2．
【分析】根據垂徑定理得到，再利用勾股定理即可求出答案．
【解答】解：如圖，由題意可知，OA＝5cm，OC⊥AB，則cm，
在Rt△ADO中，由勾股定理得，
OD3（cm），
∴CD＝OC﹣OD
＝5﹣3
＝2（cm）．
故答案為2．
考點2：點與圓、直線與圓的位置關系
◇例題
1.（2023 南海區校級模擬）已知在平面直角坐標系中，P點坐標為（3，4），若以原點O為圓心，半徑為5畫圓，則點P與⊙O的位置關系是（　?。?br/>A．點在圓內 B．點在圓上 C．點在圓外 D．不能確定
【分析】先計算出OP的長，然后根據點與圓的位置關系的判定方法求解．
【解答】解：∵點P的坐標是（3，4），
∴OP＝＝5，
而⊙O的半徑為5，
∴OP等于圓的半徑，
∴點P在⊙O上．
故選：B．
2.（2022 潮南區模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點E是BC的中點，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，連接DE．
（1）判斷直線DE與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若CD＝6，DE＝5，求⊙O的直徑．
【答案】（1）直線DE與⊙O相切，理由見解析；
（2）．
【分析】（1）連接DO，如圖，根據直角三角形斜邊上的中線性質，由∠BDC＝90°，E為BC的中點得到DE＝CE＝BE，則利用等腰三角形的性質得∠EDC＝∠ECD，∠ODC＝∠OCD，由于∠OCD+∠DCE＝∠ACB＝90°，所以∠EDC+∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，于是根據切線的判定定理即可得到DE與⊙O相切；
（2）根據勾股定理和相似三角形的判定與性質即可得到結論．
【解答】解：（1）直線DE與⊙O相切，
理由：連接DO，如圖，
∵∠BDC＝90°，E為BC的中點，
∴DE＝CE＝BE，
∴∠EDC＝∠ECD，
又∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
而∠OCD+∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠EDC+∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半徑，
∴DE與⊙O相切；
（2）由（1）得，∠CDB＝90°，
∵CE＝EB，
∴DEBC，
∴BC＝10，
∴BD8，
∵∠BCA＝∠BDC＝90°，∠B＝∠B，
∴△BCA∽△BDC，
∴，
∴，
∴，
∴⊙O直徑的長為．
◆變式訓練
1.（2023 斗門區一模）已知的⊙O半徑為3cm，點P到圓心O的距離OP＝2cm，則點P（　?。?br/>A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O內 D．無法確定
【分析】根據點到圓心的距離d和圓的半徑r之間的大小關系，即可判斷；
【解答】解：∵⊙O的半徑為r＝3cm，點P到圓心的距離OP＝d＝2cm，
∴d＜r，
∴點P在圓內，
故選：C．
2．（2022 金平區校級模擬）在平面直角坐標系中，⊙A的圓心坐標為（3，5），半徑為方程x2﹣2x﹣15＝0的一個根，那么⊙A與x軸的位置關系是 　 ．
【答案】相切．
【分析】解方程x2﹣2x﹣15＝0得到⊙A的半徑為5，于是得到⊙A的半徑＝圓心A到x軸的距離，即可得到結論．
【解答】解：解方程x2﹣2x﹣15＝0得，x1＝5，x2＝﹣3，
∴⊙A的半徑為5，
∵⊙A的圓心坐標為（3，5），
∴點A到x軸的距離為5，
∴⊙A的半徑＝圓心A到x軸的距離，
∴⊙A與x軸的位置關系是相切，
故答案為：相切．
3．（2023 茂南區二模）如圖，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一點，OC⊥OA，CO交AB于點P，交⊙O于點D，且CP＝CB．
（1）判斷直線BC與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若∠A＝30°，OP＝2，求圖中陰影部分的面積．
【答案】（1）見解析；
（2）2π．
【分析】（1）根據等邊對等角得∠CPB＝∠CBP，根據垂直的定義得∠OBC＝90°，即OB⊥CB，則CB與⊙O相切；
（2）根據三角形的內角和定理得到∠APO＝60°，推出△PBD是等邊三角形，得到∠PCB＝∠CBP＝60°，求得BC＝2，根據勾股定理得到OB2，根據三角形和扇形的面積公式即可得到結論．
【解答】解：（1）CB與⊙O相切，
理由：連接OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵CP＝CB，
∴∠CPB＝∠CBP，
∵∠CPB＝∠APO，
∴∠CBP＝∠APO，
在Rt△AOP中，
∵∠A+∠APO＝90°，
∴∠OBA+∠CBP＝90°，
即：∠OBC＝90°，
∴OB⊥CB，
又∵OB是半徑，
∴CB與⊙O相切；
（2）∵∠A＝30°，∠AOP＝90°，OP＝2，
∴∠APO＝60°，AP＝2OP＝4，
∴AO＝BO2，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠A＝30°，
∴∠BOP＝∠APO﹣∠OBA＝30°＝∠OBP，
∴OP＝PB＝2，
∵∠BPD＝∠APO＝60°，PC＝CB，
∴△PBC是等邊三角形，
∴∠PCB＝∠CBP＝60°，
∴BC＝PB＝2，
∴圖中陰影部分的面積＝S△OBC﹣S扇形OBD2×22π．
4．（2022 香洲區校級三模）如圖，已知△ABC，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，點E為的中點，連接CE交AB于點F，且AF＝AC．
（1）判斷直線AC與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若⊙O的半徑為2，sinA，求CE的長．
【答案】（1）見解答；
（2）CE．
【分析】（1）連接BE，求出∠EBD+∠BFE＝90°，推出∠ACE＝∠AFC，∠EBD＝∠BCE，求出∠ACE+∠BCE＝90°，根據切線的判定推出即可．
（2）根據BC＝4，sinA，求出AB＝5，AC＝3，AF＝3，BF＝2，根據∠EBD＝∠BCE，∠E＝∠E證△BEF∽△CEB，推出EC＝2EB，設EB＝x，EC＝2x，由勾股定理得出x2+4x2＝16，求出即可．
【解答】（1）AC與⊙O相切，
證明：連接BE，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠E＝90°，
∴∠EBD+∠BFE＝90°，
∵AF＝AC，
∴∠ACE＝∠AFC，
∵E為弧BD中點，
∴∠EBD＝∠BCE，
∴∠ACE+∠BCE＝90°，
∴AC⊥BC，
∵BC為直徑，
∴AC是⊙O的切線．
（2）解：∵⊙O的半為2
∴BC＝4，
在Rt△ABC中，sinA，
∴AB＝5，
∴AC3，
∵AF＝AC，
∴AF＝3，BF＝5﹣3＝2，
∵∠EBD＝∠BCE，∠E＝∠E，
∴△BEF∽△CEB，
∴，
∴EC＝2EB，
設EB＝x，EC＝2x，
由勾股定理得：x2+4x2＝16，
∴x（負數舍去），
即CE．
考點3：與圓有關的計算
◇例題
1．（2023 德慶縣二模）若扇形的半徑是12cm弧長是20πcm，則扇形的面積為（　?。?br/>A．120πcm2 B．240πcm2 C．360πcm2 D．60πcm2
【答案】A
【分析】根據扇形的面積公式，計算即可．
【解答】解：該扇形的面積為：（cm2）．
故選：A．
2.（2023 南海區模擬）如圖，已知圓O的內接正六邊形的邊長為4，H為邊AF的中點，則圖中陰影部分的面積是 　 ．
【答案】4．
【分析】根據圓內接正六邊形的性質得出∠COD＝60°，OC＝OD＝CD＝4，CD∥AF，由S△HCD＝2S△COD，得出S陰影部分＝S扇形COD+S△COD，根據扇形面積、正三角形面積的計算方法進行計算即可．
【解答】解：如圖，連接OC、OD，
∵六邊形ABCDEF是⊙O內接正六邊形，
∴∠COD，OC＝OD＝CD＝4，CD∥AF，
∴S△HCD＝2S△COD，
∴S陰影部分＝S扇形COD+S△COD
4×（4）
4，
故答案為：4．
3．（2023 東莞市校級模擬）如圖，扇形AOB中，∠AOB＝90°，點C，D分別在OA，上，連接BC，CD，點D，O關于直線BC對稱，的長為π，則圖中陰影部分的面積為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】A
【分析】連接BD、OD，交BC與E，根據對稱求出BD＝OB，求出△DOB是等邊三角形，求出∠DOB＝60°，求出∠AOD＝30°根據弧長公式求出OB＝6，根據陰影部分的面積＝S扇形BOD+S△COE﹣S△BOE求得即可．
【解答】解：連接BD、OD，交BC與E，
由題意可知，BD＝BO，
∵OD＝OB，
∴OD＝OB＝DB，
∴∠BOD＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOD＝30°，
∵的長為π，
∴，
∴r＝6，
∴OB＝6，
∴OE3，BEOB＝3，
∴CEOE，
∴陰影部分的面積＝S扇形BOD+S△COE﹣S△BOE6π﹣3．
故選：A．
◆變式訓練
1．（2023 南山區二模）劉徽在《九章算術注》中首創“割圓術”，利用圓的內接正多邊形來確定圓周率，開創了中國數學發展史上圓周率研究的新紀元．某同學在學習“割圓術”的過程 中，作了一個如圖所示的圓內接正八邊形．若⊙O的半徑為1，則這個圓內接正八邊形的面積為（　?。?br/>A．π B．2π C． D．
【答案】D
【分析】如圖，過A作AC⊥OB于C，得到圓的內接正八邊形的圓心角為45°，根據三角形的面積公式即可得到結論．
【解答】解：如圖，過A作AC⊥OB于C，
∵圓的內接正八邊形的圓心角為45°，OA＝1，
∴AC＝OC，
∴S△OAB1，
∴這個圓的內接正八邊形的面積為82，
故選：D．
2．（2023 東莞市一模）如圖，“凸輪”的外圍由以正三角形的頂點為圓心，以正三角形的邊長為半徑的三段等弧組成．已知正三角形的邊長為1，則凸輪的周長等于（　　）
A． B． C．π D．2π
【答案】C
【分析】由“凸輪”的外圍是以正三角形的頂點為圓心，以正三角形的邊長為半徑的三段等弧組成，得到∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝1，然后根據弧長公式計算出三段弧長，三段弧長之和即為凸輪的周長．
【解答】
解：∵△ABC為正三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝1，
∴，
根據題意可知凸輪的周長為三個弧長的和，
即凸輪的周長3π．
故選：C．
3．（2023 蕉嶺縣一模）如圖，在半徑為6cm的⊙O中，點A是劣弧的中點，點D是優弧上一點，且∠D＝30°，下列四個結論：①OA⊥BC；②BC＝3cm；③扇形OCAB的面積為12π；④四邊形ABOC是菱形．其中正確結論的序號是（　　）
A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【分析】利用垂徑定理可對①進行判斷；根據圓周角定理得到∠AOC＝2∠D＝60°，則△OAC為等邊三角形，根據等邊三角形的性質和垂徑定理可計算出BC＝6cm，則可對②進行判斷；通過判斷△AOB為等邊三角形，再根據扇形的面積公式可對③進行判斷；利用AB＝AC＝OA＝OC＝OB可對④進行判斷．
【解答】解：∵點A是劣弧的中點，
∴OA⊥BC，所以①正確；
∵∠AOC＝2∠D＝60°，OA＝OC，
∴△OAC為等邊三角形，
∴BC＝2×66，所以②錯誤；
同理可得△AOB為等邊三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∴扇形OCAB的面積為12π，所以③正確；
∵AB＝AC＝OA＝OC＝OB，
∴四邊形ABOC是菱形，所以④正確．
故選：D．
1．（2023 廣東）如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC＝50°，則∠D＝（　?。?br/>A．20° B．40° C．50° D．80°
【答案】B
【分析】由AB是⊙O的直徑，得∠ACB＝90°，而∠BAC＝50°，即得∠ABC＝40°，故∠D＝∠ABC＝40°，
【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∵∠BAC＝50°，
∴∠ABC＝40°，
∵，
∴∠D＝∠ABC＝40°，
故選：B．
2．（2023 廣州）如圖，△ABC的內切圓⊙I與BC，CA，AB分別相切于點D，E，F，若⊙I的半徑為r，∠A＝α，則（BF+CE﹣BC）的值和∠FDE的大小分別為（　?。?br/>A．2r，90°﹣α B．0，90°﹣α C．2r， D．0，
【答案】D
【分析】如圖，連接IF，IE．利用切線長定理，圓周角定理，切線的性質解決問題即可．
【解答】解：如圖，連接IF，IE．
∵△ABC的內切圓⊙I與BC，CA，AB分別相切于點D，E，F，
∴BF＝BD，CD＝CE，IF⊥AB，IE⊥AC，
∴BF+CE﹣BC＝BD+CD﹣BC＝BC﹣BC＝0，∠AFI＝∠AEI＝90°，
∴∠EIF＝180°﹣α，
∴∠EDF∠EIF＝90°α．
故選：D．
3．（2022 深圳）已知三角形ABE為直角三角形，∠ABE＝90°，DE為圓的直徑，BC為圓O切線，C為切點，CA＝CD，則△ABC和△CDE面積之比為（　?。?br/>A．1：3 B．1：2 C．：2 D．（1）：1
【答案】B
【分析】根據圓周角定理，切線的性質以及等腰三角形的判定和性質，可以先證明△ABC和△COD，再由∴S△COD＝S△COES△DCE，進而得出S△ABCS△DCE，即△ABC和△CDE面積之比為1：2．
【解答】解：解法一：如圖，連接OC，
∵BC是⊙O的切線，OC為半徑，
∴OC⊥BC，
即∠OCB＝90°，
∴∠COD+∠OBC＝90°，
又∵∠ABE＝90°，即∠ABC+∠OBC＝90°，
∴∠ABC＝∠COD，
∵DE是⊙O的直徑，
∴∠DCE＝90°，即∠OCE+∠OCD＝90°，
又∠A+∠E＝90°，而∠E＝∠OCE，
∴∠A＝∠OCD，
在△ABC和△COD中，
，
∴△ABC≌△COD（AAS），
又∵EO＝DO，
∴S△COD＝S△COES△DCE，
∴S△ABCS△DCE，
即△ABC和△CDE面積之比為1：2；
解法二：如圖，連接OC，過點B作BF⊥AC，
∵BC是⊙O的切線，OC為半徑，
∴OC⊥BC，
即∠OCB＝90°，
∴∠COD+∠BCD＝90°，
又∵∠ABE＝90°，即∠ABC+∠BCD＝90°，
∴∠ACB＝∠COD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
又∵∠A+∠E＝90°＝∠ODC+∠E，
∴∠A＝∠ACB，
∴AB＝BC，
∴AFACCD，
∵△ABF∽△DEC，
∴，
∴△ABC和△CDE面積之比（AC BF）：（CD EC）
＝BF：EC
＝1：2．
故選：B．
4．（2022 深圳）下列說法錯誤的是（　　）
A．對角線垂直且互相平分的四邊形是菱形
B．同圓或等圓中，同弧對應的圓周角相等
C．對角線相等的四邊形是矩形
D．對角線垂直且相等的平行四邊形是正方形
【答案】C
【分析】A．應用菱形的判定方法進行判定即可得出答案；
B．應用圓周角定理進行判定即可得出答案；
C．應用矩形的判定方法進行判定即可得出答案；
D．應用正方形的判定方法進行判定即可得出答案．
【解答】解：A．對角線垂直且互相平分的四邊形是菱形，所以A選項說法正確，故A選項不符合題意；
B．同圓或等圓中，同弧對應的圓周角相等，所以B選項說法正確，故B選項不符合題意；
C．對角線相等的四邊形是不一定是矩形，所以C選項說法不正確，故C選項符合題意；
D．對角線垂直且相等的平行四邊形是正方形，所以D選項說法正確，故D選項不符合題意．
故選：C．
5．（2021 廣州）一根鋼管放在V形架內，其橫截面如圖所示，鋼管的半徑是24cm，若∠ACB＝60°，則劣弧AB的長是（　?。?br/>A．8πcm B．16πcm C．32πcm D．192πcm
【答案】B
【分析】首先利用相切的定義得到∠OAC＝∠OBC＝90°，然后根據∠ACB＝60°求得∠AOB＝120°，從而利用弧長公式求得答案即可．
【解答】解：由題意得：CA和CB分別與⊙O相切于點A和點B，
∴OA⊥CA，OB⊥CB，
∴∠OAC＝∠OBC＝90°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴16π（cm），
故選：B．
6．（2023 深圳）如圖，在⊙O中，AB為直徑，C為圓上一點，∠BAC的角平分線與⊙O交于點D，若∠ADC＝20°，則∠BAD＝ 　°．
【答案】35．
【分析】先根據直徑所對的圓周角是直角可得∠ACB＝90°，再利用圓周角定理可得∠ADC＝∠ABC＝20°，然后利用直角三角形的兩個銳角互余可得∠BAC＝70°，從而利用角平分線的定義進行計算，即可解答．
【解答】解：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ADC＝20°，
∴∠ADC＝∠ABC＝20°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD∠BAC＝35°，
故答案為：35．
7．（2022 廣東）扇形的半徑為2，圓心角為90°，則該扇形的面積（結果保留π）為 　 　．
【答案】π．
【分析】應用扇形面積計算公式進行計算即可得出答案．
【解答】解：Sπ．
故答案為：π．
8．（2022 廣州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點O在邊AC上，以O為圓心，4為半徑的圓恰好過點C，且與邊AB相切于點D，交BC于點E，則劣弧的長是 　 　．（結果保留π）
【答案】2π．
【分析】連接OD，OE，根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理可得∠A＝∠COE，再根據切線的性質和平角的定義可得∠DOE＝90°，然后利用弧長公式進行計算即可解答．
【解答】解：如圖，連接OD，OE，
∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠OEC，
∴AB∥OE，
∴∠BDO+∠DOE＝180°，
∵AB是切線，
∴∠BDO＝90°，
∴∠DOE＝180°﹣∠BDO＝90°，
∴劣弧的長是2π．
故答案為：2π．
9．（2021 廣東）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3．點D為平面上一個動點，∠ADB＝45°，則線段CD長度的最小值為 　?。?br/>【答案】．
【分析】根據∠ADB＝45°，AB＝2，作△ABD的外接圓O，連接OC，當O、D、C三點共線時，CD的值最小．將問題轉化為點圓最值．可證得△AOB為等腰直角三角形，OB＝OA，同樣可證△OBE也為等腰直角三角形，OE＝BE＝1，由勾股定理可求得OC的長為，最后CD最小值為OC﹣OD．
【解答】解：如圖所示．
∵∠ADB＝45°，AB＝2，作△ABD的外接圓O（因求CD最小值，故圓心O在AB的右側），連接OC，
當O、D、C三點共線時，CD的值最?。?br/>∵∠ADB＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∴△AOB為等腰直角三角形，
∴AO＝BO＝sin45°×AB．
∵∠OBA＝45°，∠ABC＝90°，
∴∠OBE＝45°，作OE⊥BC于點E，
∴△OBE為等腰直角三角形．
∴OE＝BE＝sin45° OB＝1，
∴CE＝BC﹣BE＝3﹣1＝2，
在Rt△OEC中，
OC．
當O、D、C三點共線時，
CD最小為CD＝OC﹣OD．
故答案為：．
10．（2021 廣東）如圖，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4．分別以點B、點C為圓心，線段BC長的一半為半徑作圓弧，交AB、BC、AC于點D、E、F，則圖中陰影部分的面積為 　　．
【答案】4﹣π．
【分析】陰影部分的面積等于△ABC的面積減去空白處的面積即可得出答案．
【解答】解：等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴AB＝ACBC＝2
∵BE＝CEBC＝2，
∴陰影部分的面積S＝S△ABC﹣S扇形BDE﹣S扇形CEF22＝4﹣π，
故答案為4﹣π．
11．（2023 廣州）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（﹣2，0），B（0，2），所在圓的圓心為O．將向右平移5個單位，得到（點A平移后的對應點為C）．
（1）點D的坐標是 　 　，所在圓的圓心坐標是 　 ??；
（2）在圖中畫出，并連接AC，BD；
（3）求由，BD，，CA首尾依次相接所圍成的封閉圖形的周長．（結果保留π）
【答案】（1）（5，2）、（5，0）；
（2）見解答；
（3）2π+10．
【分析】（1）由平移的性質知即可求解；
（2）在圖中畫出，并連接AC，BD即可；
（3）由封閉圖形的周長2BD，即可求解．
【解答】解：（1）如下圖，由平移的性質知，點D（5，2），所在圓的圓心坐標是（5，0），
故答案為：（5，2）、（5，0）；
（2）在圖中畫出，并連接AC，BD，見下圖；
（3）和長度相等，均為2πr2＝π，
而BD＝AC＝5，
則封閉圖形的周長2BD＝2π+10．
12．（2023 廣東）綜合探究
如圖1，在矩形ABCD中（AB＞AD），對角線AC，BD相交于點O，點A關于BD的對稱點為A′．連接AA′交BD于點E，連接CA′．
（1）求證：AA'⊥CA'；
（2）以點O為圓心，OE為半徑作圓．
①如圖2，⊙O與CD相切，求證：；
②如圖3，⊙O與CA′相切，AD＝1，求⊙O的面積．
【答案】（1）證明過程詳見解答；
（2）①證明過程詳見解答；
②．
【分析】（1）根據軸對稱的性質可得AE＝A′E，AA′⊥BD，根據四邊形ABCD是矩形，得出OA＝OC，從而OE∥A′C，從而得出AA′⊥CA′；
（2）①設CD⊙O與CD切于點F，連接OF，并延長交AB于點G，可證得OG＝OF＝OE，從而得出∠EAO＝∠GAO＝∠GBO，進而得出∠EAO＝30°，從而；
②設⊙O切CA′于點H，連接OH，可推出AA′＝2OH，CA′＝2OE，從而AA′＝CA′，進而得出∠A′AC＝∠A′CA＝45°，∠AOE＝∠ACA′＝45°，從而得出AE＝OE，OD＝OAAE，設OA＝OE＝x，則OD＝OA，在Rt△ADE中，由勾股定理得出1，從而求得x2，進而得出⊙O的面積．
【解答】（1）證明：∵點A關于BD的對稱點為A′，
∴AE＝A′E，AA′⊥BD，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，
∴OE∥A′C，
∴AA′⊥CA′；
（2）①證明：如圖2，
設CD⊙O與CD切于點F，連接OF，并延長交AB于點G，
∴OF⊥CD，OF＝OE，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OB＝ODBD，AB∥CD，AC＝BD，OAAC，
∴OG⊥AB，∠FDO＝∠GBO，OA＝OB，
∴∠GAO＝∠GBO，
∵∠DOF＝∠BOG，
∴△DOF≌△BOG（ASA），
∴OG＝OF，
∴OG＝OE，
由（1）知：AA′⊥BD，
∴∠EAO＝∠GAO，
∵∠EAB+∠GBO＝90°，
∴∠EAO+∠GAO+∠GBO＝90°，
∴3∠EAO＝90°，
∴∠EAO＝30°，
由（1）知：AA′⊥CA′，
∴tan∠EAO，
∴tan30°，
∴；
②解：如圖3，
設⊙O切CA′于點H，連接OH，
∴OH⊥CA′，
由（1）知：AA′⊥CA′，AA′⊥BD，OA＝OC，
∴OH∥AA′，OE∥CA′，
∴△COH∽△CAA′，△AOE∽△ACA′，
∴，
∴AA′＝2OH，CA′＝2OE，
∴AA′＝CA′，
∴∠A′AC＝∠A′CA＝45°，
∴∠AOE＝∠ACA′＝45°，
∴AE＝OE，OD＝OAAE，
設AE＝OE＝x，則OD＝OA，
∴DE＝OD﹣OE＝（）x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得，
1，
∴x2，
∴S⊙O＝π OE2．
13．（2022 廣東）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AC為⊙O的直徑，∠ADB＝∠CDB．
（1）試判斷△ABC的形狀，并給出證明；
（2）若AB，AD＝1，求CD的長度．
【答案】（1）等腰直角三角形，證明見解答過程；
（2）．
【分析】（1）根據圓周角定理，等腰直角三角形的判定定理解答即可；
（2）根據勾股定理解答即可．
【解答】解：（1）△ABC是等腰直角三角形，證明過程如下：
∵AC為⊙O的直徑，
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
∵∠ADB＝∠CDB，
∴，
∴AB＝BC，
又∵∠ABC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
（2）在Rt△ABC中，AB＝BC，
∴AC＝2，
在Rt△ADC中，AD＝1，AC＝2，
∴CD．
即CD的長為：．
14．（2022 深圳）一個玻璃球體近似半圓O，AB為直徑．半圓O上點C處有個吊燈EF，EF∥AB，CO⊥AB，EF的中點為D，OA＝4．
（1）如圖①，CM為一條拉線，M在OB上，OM＝1.6，DF＝0.8，求CD的長度．
（2）如圖②，一個玻璃鏡與圓O相切，H為切點，M為OB上一點，MH為入射光線，NH為反射光線，∠OHM＝∠OHN＝45°，tan∠COH，求ON的長度．
（3）如圖③，M是線段OB上的動點，MH為入射光線，∠HOM＝50°，HN為反射光線并與半圓O交于點N，在M從O運動到B的過程中，求N點的運動路徑長．
【答案】（1）2；（2）；（3）4π．
【分析】（1）根據題意得出DF是△COM的中位線，即點D是OC的中點，據此求解即可；
（2）過點N作ND⊥OH于點D，根據題意得到△NHD是等腰直角三角形，則ND＝HD，根據銳角三角函數求出ND，OD，再根據勾股定理求解即可；
（3）如圖，當點M與點O重合時，點N也與點O重合，當點M運動至點B時，點N運動至點T，故點N的運動路徑長為OA的長，據此求解即可．
【解答】解：（1）∵OM＝1.6，DF＝0.8，EF∥AB，
∴DF是△COM的中位線，
∴點D是OC的中點，
∵OC＝OA＝4，
∴CD＝2；
（2）如圖②，過點N作ND⊥OH于點D，
∵∠OHN＝45°，
∴△NHD是等腰直角三角形，
∴ND＝HD，
∵tan∠COH，∠NDO＝90°，
∴，
設ND＝3x＝HD，則OD＝4x，
∵OH＝OA＝4，
∴OH＝3x+4x＝4，
∴x，
∴ND3，OD4，
∴ON；
（3）如圖，當點M與點O重合時，點N也與點O重合，當點M運動至點B時，點N運動至點T，故點N的運動路徑長為OA的長，
∵∠HOM＝50°，OH＝OB，
∴∠OHB＝∠OBH＝65°，
∵∠OHM＝∠OHT，OH＝OT，
∴∠OTH＝∠OHT＝65°，
∴∠TOH＝50°，
∴∠AOT＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴的長π，
∴點N的運動路徑長＝4π．
15．（2021 深圳）如圖，AB為⊙O的弦，D，C為的三等分點，延長DC至點E，AC∥BE．
（1）求證：∠A＝∠E；
（2）若BC＝3，BE＝5，求CE的長．
【答案】（1）見解析；
（2）．
【分析】（1）根據平行線的性質及圓周角定理求得角之間的關系即可；
（2）根據圓周角定理推出各個角之間的關系、各邊之間的關系，再結合圖形利用相似三角形的性質得出對應線段成比例，列出方程求解即可．
【解答】（1）證明：
∵AC∥BE，
∴∠E＝∠ACD，
∵D，C為的三等分點，
∴，
∴∠ACD＝∠A，
∴∠E＝∠A，
（2）解：由（1）知，
∴∠D＝∠CBD＝∠A＝∠E，
∴BE＝BD＝5，BC＝CD＝3，△CBD∽△BED，
∴，即，
解得DE，
∴CE＝DE﹣CD3．
16．（2021 廣東）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，∠ABC＝90°，點E、F分別在線段BC、AD上，且EF∥CD，AB＝AF，CD＝DF．
（1）求證：CF⊥FB；
（2）求證：以AD為直徑的圓與BC相切；
（3）若EF＝2，∠DFE＝120°，求△ADE的面積．
【答案】（1）（2）證明見解答；（3）
【分析】（1）先判斷出∠DFE＝2∠EFC，同理判斷出∠AFE＝2∠BFE，進而判斷出2∠BFE+2∠EFC＝180°，即可得出結論；
（2）取AD的中點O，過點O作OH⊥BC于H，先判斷出OH（AB+CD），進而判斷出OHAD，即可得出結論；
（3）先求出∠CFE＝60°，CE＝2，再判斷出四邊形CEMD是矩形，得出DM＝2，過點A作AN⊥EF于N，同理求出AN，即可得出結論．
【解答】（1）證明：∵CD＝DF，
∴∠DCF＝∠DFC，
∵EF∥CD，
∴∠DCF＝∠EFC，
∴∠DFC＝∠EFC，
∴∠DFE＝2∠EFC，
∵AB＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∵CD∥EF，CD∥AB，
∴AB∥EF，
∴∠EFB＝∠AFB，
∴∠AFE＝2∠BFE，
∵∠AFE+∠DFE＝180°，
∴2∠BFE+2∠EFC＝180°，
∴∠BFE+∠EFC＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴CF⊥BF；
（2）證明：如圖1，取AD的中點O，過點O作OH⊥BC于H，
∴∠OHC＝90°＝∠ABC，
∴OH∥AB，
∵AB∥CD，
∴OH∥AB∥CD，
∵AB∥CD，AB≠CD，
∴四邊形ABCD是梯形，
∴點H是BC的中點，
∴OH（AB+CD），
連接CO并延長交BA的延長線于G，
∴∠G＝∠DCO，
在△AOG和△DOC中，
，
∴△AOG≌△DOC（AAS），
∴AG＝CD，OC＝OG，
∴OH是△BCG的中位線，
∴OHBG（AB+AG）（AF+DF）AD，
∵OH⊥BC，
∴以AD為直徑的圓與BC相切；
（3）如圖2，
由（1）知，∠DFE＝2∠EFC，
∵∠DFE＝120°，
∴∠CFE＝60°，
在Rt△CEF中，EF＝2，∠ECF＝90°﹣∠CFE＝30°，
∴CF＝2EF＝4，
∴CE2，
∵AB∥EF∥CD，∠ABC＝90°，
∴∠ECD＝∠CEF＝90°，
過點D作DM⊥EF，交EF的延長線于M，
∴∠M＝90°，
∴∠M＝∠ECD＝∠CEF＝90°，
∴四邊形CEMD是矩形，
∴DM＝CE＝2，
過點A作AN⊥EF于N，
∴四邊形ABEN是矩形，
∴AN＝BE，
由（1）知，∠CFB＝90°，
∵∠CFE＝60°，
∴∠BFE＝30°，
在Rt△BEF中，EF＝2，
∴BE＝EF tan30°，
∴AN，
∴S△ADE＝S△AEF+S△DEF
EF ANEF DM
EF（AN+DM）
2×（2）
．
17．（2021 廣州）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l：yx+4分別與x軸，y軸相交于A、B兩點，點P（x，y）為直線l在第二象限的點．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）設△PAO的面積為S，求S關于x的函數解析式，并寫出x的取值范圍；
（3）作△PAO的外接圓⊙C，延長PC交⊙C于點Q，當△POQ的面積最小時，求⊙C的半徑．
【答案】（1）A（﹣8，0），B（0，4）；（2）S＝2x+16（﹣8＜x＜0）；（3）4．
【分析】（1）根據直線yx+4分別與x軸，y軸相交于A、B兩點，令x＝0，則y＝4；令y＝0，則x＝﹣8，即得A，B的坐標；
（2）設P（x，），根據三角形面積公式，表示出S關于x的函數解析式，根據P在線段AB上得出x的取值范圍；
（3）將S△POQ表示為OP2，從而當△POQ的面積最小時，此時OP最小，而OP⊥AB時，OP最小，借助三角函數求出此時的直徑即可解決問題．
【解答】解：（1）∵直線yx+4分別與x軸，y軸相交于A、B兩點，
∴當x＝0時，y＝4；
當y＝0時，x＝﹣8，
∴A（﹣8，0），B（0，4）；
（2）∵點P（x，y）為直線l在第二象限的點，
∴P（x，），
∴S△APO2x+16（﹣8＜x＜0）；
∴S＝2x+16（﹣8＜x＜0）；
（3）∵A（﹣8，0），B（0，4），
∴OA＝8，OB＝4，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
AB，
在⊙C中，∵PQ是直徑，
∴∠POQ＝90°，
∵∠BAO＝∠Q，
∴tanQ＝tan∠BAO，
∴，
∴OQ＝2OP，
∴S△POQ，
∴當S△POQ最小時，則OP最小，
∵點P在線段AB上運動，
∴當OP⊥AB時，OP最小，
∴S△AOB，
∴，
∵sinQ＝sin∠BAO，
∴，
∴，
∴PQ＝8，
∴⊙C半徑為4．
1．如圖，點A，B，C均在⊙O上，∠BOC＝100°，則∠BAC的度數為（　?。?br/>A．70° B．60° C．50° D．40°
【答案】C
【分析】直接利用圓周角定理求解．
【解答】解：∵∠BAC為所對的圓周角，∠BOC為所對的圓心角，
∴∠BAC∠BOC100°＝50°．
故選：C．
2．如圖，△ABC內接于⊙O，CD是⊙O的直徑，∠BCD＝54°，則∠A的度數是（　?。?br/>A．36° B．33° C．30° D．27°
【答案】A
【分析】首先連接BD，由CD是⊙O的直徑，根據直徑所對的圓周角是直角，即可求得∠CBD的度數，繼而求得∠D的度數，然后由圓周角定理，求得∠A的度數．
【解答】解：連接BD，
∵CD是⊙O的直徑，
∴∠CBD＝90°，
∵∠BCD＝54°，
∴∠D＝90°﹣∠BCD＝36°，
∴∠A＝∠D＝36°．
故選：A．
3．如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，連接AC，BC．若∠A＝70°，則∠B的度數是（　　）
A．50° B．40° C．35° D．20°
【答案】D
【分析】先根據圓周角定理得到∠BAC＝90°，然后利用直角三角形的兩銳角互余計算∠B的度數．
【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠BAC＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A＝70°，
∴∠B＝20°．
故選：D．
4．已知點A是⊙O外一點，且⊙O的半徑為6，則OA的長可能為（　?。?br/>A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】根據點在圓外，點到圓心的距離大于圓的半徑6可對各選項進行判斷．
【解答】解：∵點A是⊙O外一點，
∴OA＞6，
∴OA的長可能為8．
故選：D．
5．如圖，圓上依次有A，B，C，D四個點，AC，BD交于點P，連接AD，AB，BC，則圖中一定等于∠C的角是（　?。?br/>A．∠CAD B．∠CBD C．∠ABD D．∠D
【答案】D
【分析】根據，可得∠D＝∠C，即可求解．
【解答】解：∵，
∴∠D＝∠C，
故選：D．
6．杭州亞運會開幕式出現一座古今交匯拱底橋，橋面呈拱形．該橋的中間拱洞可以看成一種特殊的圓拱橋，此圓拱橋的跨徑（橋拱圓弧所對的弦的長）約為3.2m，拱高（橋拱圓弧的中點到弦的距離）約為2m，則此橋拱的半徑是（　?。?br/>A．1.62m B．1.64m C．1.14m D．3.56m
【答案】B
【分析】設圓心為O，作OD⊥AB于點D，DO的延長線交圓弧為點C，設半徑為Rm，根據垂徑定理得AD＝BD＝1.6m，OD＝（2﹣R）m，由勾股定理得：R2＝1.62+（2﹣R）2，即可求出答案．
【解答】解：如圖，設圓心為O，作OD⊥AB于點D，DO的延長線交圓弧為點C，則C為優弧AB的中點，設半徑為R m，
∴AD＝BDAB＝1.6m，CD＝2m，
∴OD＝（2﹣R）m，
由勾股定理得：OA2＝OD2+AD2，
∴R2＝1.62+（2﹣R）2，
解得：R＝1.64，
故選：B．
7．如圖，AB為⊙O的弦，半徑OC⊥AB，垂足為點D．如果AB＝10cm，CD＝3cm，那么⊙O的半徑是 cm．
【答案】．
【分析】連接OA，先由垂徑定理得AD＝BD＝4（cm），設⊙O的半徑為r cm，則OD＝（r﹣2）cm，然后在Rt△AOD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：連接OA，如圖所示：
∵半徑OC⊥AB，AB＝10cm，
∴AD＝BDAB＝5（cm），
設⊙O的半徑為r cm，則OD＝（r﹣3）cm，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：52+（r﹣3）2＝r2，
解得：r，
即⊙O的半徑為cm，
故答案為：．
8．長方形ABCD中，以點A為圓心AD的長為半徑畫弧交AB于點E，以DC為直徑的半圓與AB相切，切點為E，已知AB＝4，則圖中陰影部分的面積為 　 　.（結果保留π）
【答案】2π﹣4．
【分析】取CD中點O，連接OE，由切線的性質得到OE⊥AB，由矩形的性質推出∠A＝∠ADC＝90°，又OD＝OE，推出四邊形ADOE是正方形，得到陰影的面積＝扇形ODE的面積+扇形ADE的面積﹣正方形ADOE的面積，即可求出陰影的面積2﹣2×2＝2π﹣4．
【解答】解：取CD中點O，連接OE，
∵AB與半圓相切于E，
∴OE⊥AB，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，
∴四邊形ADOE是矩形，
∵OD＝OE，
∴四邊形ADOE是正方形，
∴陰影的面積＝扇形ODE的面積+扇形ADE的面積﹣正方形ADOE的面積，
∵AB＝4，
∴正方形ADOE的邊長是2，
∴陰影的面積2﹣2×2＝2π﹣4．
故答案為：2π﹣4．
9．如圖，AB是⊙O的直徑，，∠COD＝50°，求∠AOD的度數．
【答案】80°．
【分析】根據圓的性質進行計算即可得．
【解答】解：在⊙O中，AB是⊙O的直徑，
∴∠AOB＝180°，
又∵，
∴∠BOC＝∠COD＝50°，
∴∠AOD＝180°﹣50°﹣50°＝80°．
10．如圖，已知AB是⊙O的直徑，射線BC交⊙O于點D，∠ABD的平分線交⊙O于點E，過點E作EF⊥BC于點F，延長FE與BA的延長線交于點G．
（1）求證：GF是⊙O的切線；
（2）若AG＝3，，求⊙O的半徑．
【答案】（1）證明見解答過程；
（2）．
【分析】（1）連接OE，由∠ABD的平分線交⊙O于點E，知∠1＝∠2，由∠2＝∠3可證OE∥BF，根據BF⊥GF得OE⊥GF，得證；
（2）設OA＝OE＝r，在Rt△GOE中由勾股定理求得r．
【解答】（1）證明：如圖，連接OE，
∵∠ABD的平分線交⊙O于點E，
∴∠1＝∠2，
∵∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴OE∥BF，
∵BF⊥GF，
∴OE⊥GF，
∴GF是⊙O的切線；
（2）解：設OA＝OE＝r，
在Rt△GOE中，AG＝3，GE＝4，
由OG2＝GE2+OE2得：（3+r）2＝（4）2+r2，
解得：r，
故⊙O的半徑為．
11．如圖，AB為⊙O直徑，C為⊙O上一點，過點C作⊙O的切線，與AB的延長線交于點D．
（1）求證：∠BCD＝∠A；
（2）若BD＝2，CD＝4，求sin∠ABC的值．
【答案】（1）見解答；
（2）．
【分析】（1）連接OC，如圖，先利用圓周角定理得到∠ACB＝90°，利用切線的性質得到∠OCD＝90°，再根據等角的余角相等證明∠OCA＝∠BCD，然后利用∠OCA＝∠A得到結論；
（2）設⊙O的半徑為r，則OC＝OB＝r，證明△DBC∽△DCA得到，則設BC＝x，則AC＝2x，所以ABx，然后根據正弦的定義求解．
【解答】（1）證明：連接OC，如圖，
∵AB為⊙O直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵CD為⊙O的切線，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∵∠OCA+∠OCB＝90°，∠BCD+∠OCB＝90°，
∴∠OCA＝∠BCD，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A，
∴∠A＝∠BCD；
（2）解：∵∠BCD＝∠A，∠BDC＝∠CDA，
∴△DBC∽△DCA，
∴，
設BC＝x，則AC＝2x，
∴ABx，
在Rt△ABC中，sin∠ABC．
12．如圖，AB為⊙O的直徑，OC⊥AB交⊙O于點C，D為OB上一點，延長CD交⊙O于點E，延長OB至F，使DF＝FE，連接EF．
（1）求證：EF為⊙O的切線；
（2）若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半徑．
【答案】（1）見解析；
（2）3．
【分析】（1）連接OE，根據等邊對等角結合對等角相等即可推出結論；
（2）設⊙O的半徑EO＝BO＝r，則BD＝BF＝r﹣1，FE＝2BD＝2（r﹣1），在Rt△FEO中，由勾股定理得出方程求解即可．
【解答】解：（1）證明：如圖，連接OE，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE，
∵DF＝FE，
∴∠FED＝∠FDE，
∵∠FDE＝∠CDO，∠CDO+∠OCD＝90°，
∴∠FED+∠OEC＝90°，
即∠FEO＝90°，
∴OE⊥FE，
∵OE是半徑，
∴EF為⊙O的切線；
（2）解：設⊙O的半徑EO＝BO＝r，則BD＝BF＝r﹣1，
∴FE＝2BD＝2（r﹣1），
在Rt△FEO中，由勾股定理得，
FE2+OE2＝OF2，
∴（2r﹣2）2+r2＝（2r﹣1）2，
解得r＝3，或r＝1（舍去），
∴⊙O的半徑為3．
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第四章 圖形的性質
第十八節 圓
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1：圓的有關概念與性質 ☆☆☆ 圓的知識內容在全國各地的中考均屬于必考知識，其中主要包括：圓的有關概念、圓的對稱性、圓周角及圓心角、直線與圓的位置關系、扇形弧長及面積、圓錐側面積的計算等內容，廣東中考每年涉及到圓的考查有15分上下，比重是比較大的，多以中等難度的選擇、填空題以及中等較偏難的綜合性解答題考查為主，再選擇題或者填空考查對于大多數考生來說屬于較易拿分題，在解答題中，證切線是比較有機會考查且拿分的，一輪復習的時候務必掌握好相關基礎知識，力爭把非難題的分值拿下來，平時多加練習，萬變不離其宗，回歸知識本身，合理運用知識解答。
考點2：點與圓、直線與圓的位置關系 ☆☆☆
考點3：與圓有關的計算 ☆☆☆
考點1：圓的有關概念與性質
1．與圓有關的概念和性質
圓：平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形．
弦與直徑：連接_____任意兩點的線段叫做弦，過圓心的弦叫做直徑，_____是圓內最長的弦．
?。簣A上任意兩點間的部分叫做弧，小于_____的弧叫做劣弧，大于_____的弧叫做優?。?br/>圓心角：頂點在_____的角叫做圓心角．
圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都與圓還有一個交點的角叫做圓周角．
弦心距：_____到弦的距離．
2．圓的對稱性
圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸，圓有無數條對稱軸；
圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形；
圓具有旋轉不變性．
3．圓的確定：不在同一直線上的三個點確定一個圓（圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大?。?br/>4．垂直于弦的直徑
垂徑定理：垂直于弦的直徑_____這條弦，并且_____弦所對的兩條?。?br/>推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?br/>垂徑定理及其推論可概括為：
過圓心
垂直于弦
直徑 平分弦 知二推三
平分弦所對的優弧
平分弦所對的劣弧
5．圓心角、弧、弦之間的關系
定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧_____，所對的弦也_____．
推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量_____，那么它們所對應的其余各組量也_____．
6．圓周角
圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的_____．
推論1：在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等．
推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑．
考點2：點與圓、直線與圓的位置關系
1．點和圓的位置關系
設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：
點P在圓_____d＞r；
點P在圓_____d＝r；
點P在圓_____d＜r．
2.圓的確定：
①過一點的圓有無數個；
②過兩點的圓有無數個；
③經過在同一直線上的三點不能作圓；
④不在同一直線上的三點確定一個圓。
3．直線和圓的位置關系
位置關系 相離 相切 相交
圖形
公共點個數 0個 1個 2個
數量關系 d>r d=r d（1）切線的判定
切線的判定定理 經過半徑的外端并且_____于這條半徑的直線是圓的切線．(會過圓上一點畫圓的切線)
（2）切線的性質：切線的性質定理 圓的切線垂直于過切點的半徑．
（3）切線長和切線長定理
切線長：經過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長．
切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角．
4．三角形的外接圓相關概念
經過三角形各頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做圓的內接三角形．外心是三角形三條垂直平分線的交點，它到三角形的三個頂點的距離相等．
5．三角形的內切圓
與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形．內心是三角形三條角平分線的交點，它到三角形的三條邊的距離相等．
考點3：與圓有關的計算
1.正多邊形的有關概念：
(1) 正多邊形：各邊_____，各角也_____的多邊形叫做正多邊形.
(2)正多邊形的中心——正多邊形的外接圓的圓心.
(3)正多邊形的半徑——正多邊形的外接圓的半徑.
(4)正多邊形的邊心距——正多邊形中心到正多邊形各邊的距離.（正多邊形內切圓的半徑）
(5)正多邊形的中心角——正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角.
2.正多邊形與圓的關系：
(1)將一個圓n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次連結各等分點所得的多邊形是這個圓的內接正多邊形.
(2)這個圓是這個正多邊形的外接圓.
（3）把圓分成n(n≥3)等分，經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形.這個圓叫做正n邊形的內切圓.
（4）任何正n邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓.
3.正多邊形性質：
(1)任何正多邊形都有一個外接圓.
(2) 正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心．當邊數是偶數時，它又是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.
(3)邊數相同的正多邊形相似.它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．
（4）任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓.
（5）正n邊形的有n個相等的外角，而正n邊形的外角和為360度，所以正n邊形每個外角的度數是；所以正n邊形的中心角等于它的外角.
（6）邊數相同的正多邊形相似.周長的比等于它們邊長（或半徑、邊心距）的比.面積比等于它們邊長（或半徑、邊心距）平方的比.
4．弧長和扇形面積的計算：扇形的弧長l=；扇形的面積S==．
5．圓錐與側面展開圖
（1）圓錐側面展開圖是一個扇形，扇形的半徑等于圓錐的_____，扇形的弧長等于圓錐的底面_____．
（2）若圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則這個扇形的半徑為l，扇形的弧長為2πr，
6．圓錐的側面積為S圓錐側=．
圓錐的表面積：S圓錐表=S圓錐側+S圓錐底=πrl+πr2=πr·（l+r）．
在求不規則圖形的面積時，注意利用割補法與等積變化方法歸為規則圖形，再利用規則圖形的公式求解．
考點1：圓的有關概念與性質
◇例題
1.（2022 南山區校級模擬）數學知識在生產和生活中被廣泛應用，下列實例所應用的最主要的幾何知識，說法正確的是（　　）
A．學校門口的伸縮門由菱形而不是其他四邊形組成，應用了“菱形的對角線互相垂直平分”
B．車輪做成圓形，應用了“圓是中心對稱圖形”
C．射擊時，瞄準具的缺口、準星和射擊目標在同一直線上，應用了“兩點確定一條直線”
D．地板磚可以做成矩形，應用了“矩形對邊相等”
2.（2023 陸豐市二模）如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝130°，OA＝3，若弦BC∥AO，則的長為（　?。?br/>A． B． C． D．
3.（2023 東莞市校級模擬）如圖，在半徑為13的⊙O中，M為弦AB的中點，若OM＝12，則AB的長為 ?。?br/>4.（2023 龍崗區校級一模）“圓”是中國文化的一個重要精神元素，在中式建筑中有著廣泛的應用．例如古典園林中的門洞．如圖，某地園林中的一個圓弧形門洞的高為2.5m，地面入口寬為1m，則該門洞的半徑為 　 　m．
5.（2023 東莞市一模）如圖，AB是⊙O的弦，C是的中點，OC交AB于點D，若AB＝8cm，CD＝2cm，求⊙O的半徑．
◆變式訓練
1．（2022 潮安區模擬）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以點C為圓心，CA長為半徑的圓恰好經過AB的中點D，則⊙C的半徑為（　　）
A． B．8 C．6 D．5
2．（2023 福田區校級三模）如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足為C，OD∥AB，OCOD，則∠ABD的度數為（　　）
A．90° B．95° C．100° D．105°
3．（2023 荔灣區校級二模）下列語句中，正確的有（　?。?br/>①相等的圓心角所對的弧相等；
②平分弦的直徑垂直于弦；
③長度相等的兩條弧是等??；
④經過圓心的每一條直線都是圓的對稱軸．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
4．（2022 龍崗區模擬）如圖，△ABC的頂點A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，則∠OAC的大小是（　　）
A．25° B．50° C．65° D．75°
5．（2023 封開縣一模）已知：如圖OA，OB是⊙O的兩條半徑，且OA⊥OB，點C在⊙O上，則∠ACB的度數為（　　）
A．45° B．40° C．35° D．50°
6．（2023 佛山一模）如圖，在⊙O中，∠O＝50°，則∠A的度數是（　?。?br/>A．25° B．30° C．50° D．100°
7．（2023 南海區校級模擬）如圖，線段CD是⊙O的直徑，CD⊥AB于點E，若AB長為16，OE長為6，則⊙O半徑是（　?。?br/>A．5 B．6 C．8 D．10
8．（2023 荔灣區校級二模）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點F，OE⊥AC于點E，若OE＝3，OB＝5，則CD的長度是 ．
9．（2023 東莞市校級一模）如圖，某同學準備用一根內半徑為5cm的塑料管裁一個引水槽，使槽口寬度AB為8cm，則槽的深度CD為 　 　cm．
考點2：點與圓、直線與圓的位置關系
◇例題
1.（2023 南海區校級模擬）已知在平面直角坐標系中，P點坐標為（3，4），若以原點O為圓心，半徑為5畫圓，則點P與⊙O的位置關系是（　?。?br/>A．點在圓內 B．點在圓上 C．點在圓外 D．不能確定
2.（2022 潮南區模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點E是BC的中點，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，連接DE．
（1）判斷直線DE與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若CD＝6，DE＝5，求⊙O的直徑．
◆變式訓練
1.（2023 斗門區一模）已知的⊙O半徑為3cm，點P到圓心O的距離OP＝2cm，則點P（　?。?br/>A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O內 D．無法確定
2．（2022 金平區校級模擬）在平面直角坐標系中，⊙A的圓心坐標為（3，5），半徑為方程x2﹣2x﹣15＝0的一個根，那么⊙A與x軸的位置關系是 　 ．
3．（2023 茂南區二模）如圖，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一點，OC⊥OA，CO交AB于點P，交⊙O于點D，且CP＝CB．
（1）判斷直線BC與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若∠A＝30°，OP＝2，求圖中陰影部分的面積．
4．（2022 香洲區校級三模）如圖，已知△ABC，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，點E為的中點，連接CE交AB于點F，且AF＝AC．
（1）判斷直線AC與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若⊙O的半徑為2，sinA，求CE的長．
考點3：與圓有關的計算
◇例題
1．（2023 德慶縣二模）若扇形的半徑是12cm弧長是20πcm，則扇形的面積為（　　）
A．120πcm2 B．240πcm2 C．360πcm2 D．60πcm2
2（2023 南海區模擬）如圖，已知圓O的內接正六邊形的邊長為4，H為邊AF的中點，則圖中陰影部分的面積是 　 ．
3．（2023 東莞市校級模擬）如圖，扇形AOB中，∠AOB＝90°，點C，D分別在OA，上，連接BC，CD，點D，O關于直線BC對稱，的長為π，則圖中陰影部分的面積為（　　）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2023 南山區二模）劉徽在《九章算術注》中首創“割圓術”，利用圓的內接正多邊形來確定圓周率，開創了中國數學發展史上圓周率研究的新紀元．某同學在學習“割圓術”的過程 中，作了一個如圖所示的圓內接正八邊形．若⊙O的半徑為1，則這個圓內接正八邊形的面積為（　?。?br/>A．π B．2π C． D．
2．（2023 東莞市一模）如圖，“凸輪”的外圍由以正三角形的頂點為圓心，以正三角形的邊長為半徑的三段等弧組成．已知正三角形的邊長為1，則凸輪的周長等于（　?。?br/>A． B． C．π D．2π
3．（2023 蕉嶺縣一模）如圖，在半徑為6cm的⊙O中，點A是劣弧的中點，點D是優弧上一點，且∠D＝30°，下列四個結論：①OA⊥BC；②BC＝3cm；③扇形OCAB的面積為12π；④四邊形ABOC是菱形．其中正確結論的序號是（　?。?br/>A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④
1．（2023 廣東）如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC＝50°，則∠D＝（　?。?br/>A．20° B．40° C．50° D．80°
2．（2023 廣州）如圖，△ABC的內切圓⊙I與BC，CA，AB分別相切于點D，E，F，若⊙I的半徑為r，∠A＝α，則（BF+CE﹣BC）的值和∠FDE的大小分別為（　?。?br/>A．2r，90°﹣α B．0，90°﹣α C．2r， D．0，
3．（2022 深圳）已知三角形ABE為直角三角形，∠ABE＝90°，DE為圓的直徑，BC為圓O切線，C為切點，CA＝CD，則△ABC和△CDE面積之比為（　　）
A．1：3 B．1：2 C．：2 D．（1）：1
4．（2022 深圳）下列說法錯誤的是（　?。?br/>A．對角線垂直且互相平分的四邊形是菱形
B．同圓或等圓中，同弧對應的圓周角相等
C．對角線相等的四邊形是矩形
D．對角線垂直且相等的平行四邊形是正方形
5．（2021 廣州）一根鋼管放在V形架內，其橫截面如圖所示，鋼管的半徑是24cm，若∠ACB＝60°，則劣弧AB的長是（　　）
A．8πcm B．16πcm C．32πcm D．192πcm
6．（2023 深圳）如圖，在⊙O中，AB為直徑，C為圓上一點，∠BAC的角平分線與⊙O交于點D，若∠ADC＝20°，則∠BAD＝ 　°．
7．（2022 廣東）扇形的半徑為2，圓心角為90°，則該扇形的面積（結果保留π）為 　 ?。?br/>8．（2022 廣州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點O在邊AC上，以O為圓心，4為半徑的圓恰好過點C，且與邊AB相切于點D，交BC于點E，則劣弧的長是 　 ?。ńY果保留π）
9．（2021 廣東）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3．點D為平面上一個動點，∠ADB＝45°，則線段CD長度的最小值為 　 ．
10．（2021 廣東）如圖，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4．分別以點B、點C為圓心，線段BC長的一半為半徑作圓弧，交AB、BC、AC于點D、E、F，則圖中陰影部分的面積為 　　．
11．（2023 廣州）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（﹣2，0），B（0，2），所在圓的圓心為O．將向右平移5個單位，得到（點A平移后的對應點為C）．
（1）點D的坐標是 　 　，所在圓的圓心坐標是 　 　；
（2）在圖中畫出，并連接AC，BD；
（3）求由，BD，，CA首尾依次相接所圍成的封閉圖形的周長．（結果保留π）
12．（2023 廣東）綜合探究
如圖1，在矩形ABCD中（AB＞AD），對角線AC，BD相交于點O，點A關于BD的對稱點為A′．連接AA′交BD于點E，連接CA′．
（1）求證：AA'⊥CA'；
（2）以點O為圓心，OE為半徑作圓．
①如圖2，⊙O與CD相切，求證：；
②如圖3，⊙O與CA′相切，AD＝1，求⊙O的面積．
13．（2022 廣東）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AC為⊙O的直徑，∠ADB＝∠CDB．
（1）試判斷△ABC的形狀，并給出證明；
（2）若AB，AD＝1，求CD的長度．
14．（2022 深圳）一個玻璃球體近似半圓O，AB為直徑．半圓O上點C處有個吊燈EF，EF∥AB，CO⊥AB，EF的中點為D，OA＝4．
（1）如圖①，CM為一條拉線，M在OB上，OM＝1.6，DF＝0.8，求CD的長度．
（2）如圖②，一個玻璃鏡與圓O相切，H為切點，M為OB上一點，MH為入射光線，NH為反射光線，∠OHM＝∠OHN＝45°，tan∠COH，求ON的長度．
（3）如圖③，M是線段OB上的動點，MH為入射光線，∠HOM＝50°，HN為反射光線并與半圓O交于點N，在M從O運動到B的過程中，求N點的運動路徑長．
15．（2021 深圳）如圖，AB為⊙O的弦，D，C為的三等分點，延長DC至點E，AC∥BE．
（1）求證：∠A＝∠E；
（2）若BC＝3，BE＝5，求CE的長．
16．（2021 廣東）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，∠ABC＝90°，點E、F分別在線段BC、AD上，且EF∥CD，AB＝AF，CD＝DF．
（1）求證：CF⊥FB；
（2）求證：以AD為直徑的圓與BC相切；
（3）若EF＝2，∠DFE＝120°，求△ADE的面積．
17．（2021 廣州）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l：yx+4分別與x軸，y軸相交于A、B兩點，點P（x，y）為直線l在第二象限的點．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）設△PAO的面積為S，求S關于x的函數解析式，并寫出x的取值范圍；
（3）作△PAO的外接圓⊙C，延長PC交⊙C于點Q，當△POQ的面積最小時，求⊙C的半徑．
1．如圖，點A，B，C均在⊙O上，∠BOC＝100°，則∠BAC的度數為（　?。?br/>A．70° B．60° C．50° D．40°
2．如圖，△ABC內接于⊙O，CD是⊙O的直徑，∠BCD＝54°，則∠A的度數是（　　）
A．36° B．33° C．30° D．27°
3．如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，連接AC，BC．若∠A＝70°，則∠B的度數是（　　）
A．50° B．40° C．35° D．20°
4．已知點A是⊙O外一點，且⊙O的半徑為6，則OA的長可能為（　?。?br/>A．2 B．4 C．6 D．8
5．如圖，圓上依次有A，B，C，D四個點，AC，BD交于點P，連接AD，AB，BC，則圖中一定等于∠C的角是（　?。?br/>A．∠CAD B．∠CBD C．∠ABD D．∠D
6．杭州亞運會開幕式出現一座古今交匯拱底橋，橋面呈拱形．該橋的中間拱洞可以看成一種特殊的圓拱橋，此圓拱橋的跨徑（橋拱圓弧所對的弦的長）約為3.2m，拱高（橋拱圓弧的中點到弦的距離）約為2m，則此橋拱的半徑是（　　）
A．1.62m B．1.64m C．1.14m D．3.56m
7．如圖，AB為⊙O的弦，半徑OC⊥AB，垂足為點D．如果AB＝10cm，CD＝3cm，那么⊙O的半徑是 cm．
8．長方形ABCD中，以點A為圓心AD的長為半徑畫弧交AB于點E，以DC為直徑的半圓與AB相切，切點為E，已知AB＝4，則圖中陰影部分的面積為 　 　.（結果保留π）
9．如圖，AB是⊙O的直徑，，∠COD＝50°，求∠AOD的度數．
10．如圖，已知AB是⊙O的直徑，射線BC交⊙O于點D，∠ABD的平分線交⊙O于點E，過點E作EF⊥BC于點F，延長FE與BA的延長線交于點G．
（1）求證：GF是⊙O的切線；
（2）若AG＝3，，求⊙O的半徑．
11．如圖，AB為⊙O直徑，C為⊙O上一點，過點C作⊙O的切線，與AB的延長線交于點D．
（1）求證：∠BCD＝∠A；
（2）若BD＝2，CD＝4，求sin∠ABC的值．
12．如圖，AB為⊙O的直徑，OC⊥AB交⊙O于點C，D為OB上一點，延長CD交⊙O于點E，延長OB至F，使DF＝FE，連接EF．
（1）求證：EF為⊙O的切線；
（2）若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半徑．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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