資源簡介

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二項式定理知識點及題型分類（含解析）
1、排列數公式
A＝＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，且m≤n)．
2、組合數公式
C＝＝(n，m∈N*，且m≤n)．
3、二項式展開式：
4、二項展開式的通項公式：
5、二項式系數表(楊輝三角)：展開式的二項式系數，當依次取時，二項式系數表，表中每行兩端都是1，除1以外的每一個數都等于它肩上兩個數的和 .
6、二項式系數的性質
(1)對稱性：
與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等．直線是圖象的對稱軸．
(2)增減性與最大值：
當是偶數時，中間一項取得最大值；當是奇數時，中間兩項 ，取得最大值．
二項式系數和：
①C＝C，C＝C，…，C＝C； ②C＋C＋C＋…＋C＝2n；
③C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. ④，
奇數項的系數等于偶數項的系數等于，
奇數項的系數等于偶數項的系數等于.
特別提醒
1. 在運用二項式定理時一定要牢記通項公式.另外二項展開式的二項式系數與該項的(字母)系數是兩個不同的概念，前者只是指，而后者是指字母外的部分.
2．在使用通項公式時，要注意通項公式是表示第項，而不是第項.
專題訓練
一、二項式展開式
1．二項式的展開式的常數項是（　?。?br/>A．5 B．7 C．4 D．6
2．已知展開式中的第三項的系數為45，則（　?。?br/>A． B．展開式中所有系數和為
C．二項式系數最大的項為中間項 D．含的項是第7項
3．關于的展開式，下列結論正確的是（　?。?br/>A．二項式系數和為1028 B．所有項的系數之和為
C．第6項的二項式系數最大 D．項的系數為360
4．在的二項式中，所有的二項式系數之和為256，則常數項等于　 　．
5． 的二項展開式中的常數項為　 　.(用數字作答)
6．在的展開式中，各項系數和與二項式系數和的比值為，則二項展開式中的常數項為　 ?。?br/>二、兩個二項式相乘
7．的展開式中的系數為（　?。?br/>A． B． C． D．
8．已知的展開式中所有項的系數之和為64，則展開式中含的項的系數為（　?。?br/>A．20 B．25 C．30 D．35
9．若的展開式中常數項是10，則m＝（　?。?br/>A．－2 B．－1 C．1 D．2
10．已知的展開式中的系數為，則實數（　?。?br/>A．2 B． C．1 D．
11．的展開式中的系數為（　?。?br/>A． B． C．672 D．112
12．若的展開式中二項式系數之和為，則的展開式中的系數為　 　．
三、多項式展開式
13．的展開式中的系數為（　?。?br/>A．200 B．210 C．220 D．240
14．(2x +x-y)5的展開式中x y 的系數為　 　(用數字作答).
15．展開式中含項的系數為　 　．
16．的展開式中，的系數為　 　．
17．已知，則　 ?。?br/>18．已知二項式的常數項為 ，則　 　.
四、系數問題
19．已知，則=（　?。?br/>A．15 B．16 C．7 D．8
20．若，則（　?。?br/>A．1 B．-1 C．15 D．-15
21．已知，則（　?。?br/>A．
B．
C．
D．
22．已知(1-x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，則（　　）
A．a0=1 B．a1+a2+a3+…+a9=0
C．a1+a3+a5+a7+a9=-256 D．2a1+22a2+23a3+…+29a9=-2
23．已知，則　 　.
24．已知，則　 　.
五、二項式整除問題
25．除以5的余數是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
26．已知，則被10除所得的余數為（　?。?br/>A．9 B．3 C．1 D．0
27．除以所得的余數為　 　.
28．已知，若，則被6除所得的余數為　 　.
29．（1）求除以15的余數；
（2）若，求的值；
（3）求展開式中系數最大的項．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：的展開式通項為，令得，展開式的常數項是.
故答案為：B.
【分析】先求出的展開式通項，令的指數為0，即可求展開式的常數項.
2．【答案】B,C,D
【解析】【解答】A、 展開式的第三項為，第三項的系數為，解得，A錯誤；
B、令得到展開式中所有系數和為，B正確 ；
C、由知展開式有11項，二項式系數最大的項為中間項 ，C正確 ；
D、 展開式 的通項為，令，解得，含的項是第7項 ，D正確。
故答案為：BCD
【分析】由二項式定理寫出展開式的第三項求出n進而判斷選項。
3．【答案】B,C
【解析】【解答】對A：的的展開式二項式系數和為，故A錯誤；
對B：令，可得中所有項的系數之和為，故B正確；
對C：因為10為偶數，所以的展開式中第項的二項式系數最大，故C正確；
對D：的展開式的通項為，
令得，此時，
所以項的系數為180，故D錯誤．
故答案為：BC.
【分析】對A：由題意得二項式系數和公式求解進行判斷，對B：令可求得結果，對C：由二項式系數的性質進行判斷，對D：求出二項式展開式的通項公式，令x的次數為，求出k，然后代入通項公式可求得結果.
4．【答案】252
5．【答案】160
【解析】【解答】由題得 ，
令 .
所以二項展開式的常數項為 .
故答案為：160.
【分析】先求出 ，再令 求出 即得解.
6．【答案】240
【解析】【解答】解：在的展開式中，二項式系數和為令可得的展開式中，各項系數和為因為 在的展開式中，各項系數和與二項式系數和的比值為 ，則解得：故展開式的通項為：則當即時，此時展開式為常數項為：
故答案為：.
【分析】根據二次項展開式二項式系數和為各項系數和為結合題意可求得：然后在根據展開式通項公式求出常數項即可求解.
7．【答案】A
【解析】【解答】的展開式的通項公式為
所以的展開式中的系數為.
故答案為：A.
【分析】利用已知條件結合二項式定理求出展開式中的通項公式，再結合分類討論的方法得出的展開式中的系數.
8．【答案】B
【解析】【解答】所有項的系數之和為64，∴，∴
，展開式第項，
時，，，
時，，，，
故答案為：B．
【分析】根據所有項的系數之和求出，寫出的展開式，求與二項式中含的項相乘所得的項，-1與二項式中含的項相乘所得的項，兩項相加，即為的展開式中含的項.
9．【答案】D
【解析】【解答】解：若的通項為，
所以展開式的常數項為，
解得m=2.
故答案為：D.
【分析】先求出的通項，而展開式的常數項是x與展開式中的項的乘積加上與展開式中的項的乘積.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：由于展開式的通項為，故的展開式中的系數為，所以實數.
故答案為：C.
【分析】根據題意，利用二項式展開式的通項公式求解實數a即可.
11．【答案】A
【解析】【解答】解：因為的展開式的通項為，
且，所以的系數為.
故答案為：A.
【分析】由題意可得，再結合的二項展開式的通項公式運算求解即可.
12．【答案】-15
【解析】【解答】∵的展開式中二項式系數之和為，
∴，
，
系數的系數為正：，
系數的系數為負：，
∴的系數為，
故答案為：-15.
【分析】根據二次項系數的性質求出n，再利用二項式的通項公式求出二項式系數.
13．【答案】B
【解析】【解答】因為，
則其展開式為，
令，可得，
所以的系數為210.
故答案為：210.
【分析】根據題意可得，結合二項展開式的通項公式運算求解.
14．【答案】120
【解析】【解答】解：(2x +x-y)5是5個2x +x-y相乘，
若展開式中出現x y ，則首先在這5個2x +x-y中的2個中取-y，然后在剩下的3個2x +x-y中的2個中取，最后在余下的一個2x +x-y中取x，即
所以(2x +x-y)5的展開式中x y 的系數為120。
故答案為：120.
【分析】利用已知條件結合分步乘法計數原理和組合數公式，進而得出(2x +x-y)5的展開式中x y 的系數。
15．【答案】-60
【解析】【解答】，
，
，
故答案為：.
【分析】根據二項式定理求出即可.
16．【答案】-40
【解析】【解答】解： 的通項公式為，
的通項公式為，
則 的通項公式為，
由題意得，
的展開式中，的系數為.
故答案為：-40
【分析】根據題意，寫出通項公式，再列出方程組求解得r=3，k=1，從而得答案.
17．【答案】30
【解析】【解答】解：因為 ，
所以a3是含x3項的系數，
若從10個(1+x-x2)式子中取出7個1，3個x，0個(-x2)，可得到，
若從10個(1+x-x2)式子中取出8個1，1個x，1個(-x2)，可得到，
若從10個(1+x-x2)式子中取出大于或等于2個(-x2)，則無法得到含x3的項，
所以含x3的項為120x3-90x3=30x3，即含x3項的系數為30，
所以，故答案是：30.
【分析】利用二項式定理的原理和組合的意義求解即可.
18．【答案】-2
【解析】【解答】由題意可知，
則其通項為，
而的通項為，
令，
當時，；當時，；當時，，不合題意，
由二項式的常數項為，可得，
即，解得，
故答案為：-2
【分析】利用已知條件結合二項式定理求出展開式中的通項公式，再結合通項公式和求和法得出二項式中的常數項，進而得出實數a的值。
19．【答案】A
【解析】【解答】解：因為 ，可得，
則 ，所以 .
故答案為：A.
【分析】由二項式定理可知，，結合題意運算求解.
20．【答案】A
【解析】【解答】解：由已知，令，可得.
故答案為：A.
【分析】利用賦值法，令，計算求解即可.
21．【答案】A,C,D
【解析】【解答】對于A：令，可得 ，故A正確；
對于B：令，可得 ，
所以 ， 故B錯誤；
對于C：令，可得 ，
可得 ，所以 ，故C正確；
對于D：令，可得 ，
可得 ，故D正確；
故答案為：ACD.
【分析】對A：令即可得結果；對B：令結合 運算求解；對于C：令，結合選項B運用求解；對D：令結合運算求解.
22．【答案】A,C,D
【解析】【解答】對A，令，可得，故A正確；
對B，令，可得，
所以，故B錯誤；
對C，令，可得，
所以 ，故C正確；
對D，令，可得，
所以，故D正確；
故答案為：ACD.
【分析】根據題意利用賦值法運算求解.
23．【答案】129
24．【答案】243
【解析】【解答】解：令，代入
可得，
，
等式兩邊同時乘以，
，
∴，
故答案為：243.
【分析】利用特殊值法，令代入，再等式兩邊同時乘以，即可求出．
25．【答案】D
【解析】【解答】由題意可知，，
由此可知除以5的余數，即為除以的余數，故所求余數為4.
故答案為：D.
【分析】利用二項式定理即可求解即可.
26．【答案】C
【解析】【解答】，
，又，都是10的倍數，
被10除所得的余數為1.
故答案為：C
【分析】利用已知條件結合二項式定理得出 被10除所得的余數 。
27．【答案】8
【解析】【解答】因為，則
，
因為能被17整除，
因此，除以17所得的余數為8.
故答案為：8.
【分析】根據余數定理的性質，可求出答案.
28．【答案】5
【解析】【解答】解：令，則，即，而，因為可以被6整數，所以余數為，即被6除所得的余數為5.
故答案為：5.
【分析】令，求得，改寫為，再應用二項式定理展開接口求得余數.
29．【答案】（1）解：
，
除以15的余數為4.
（2）解：由已知得，
令，得，①
令，得，②
聯立①②得，
令，得，所以
（3）解：的展開式通項為，
由不等式組，解得，
因為，所以，，
因此，展開式中系數最大的項為
【解析】【分析】（1）利用已知條件結合二項式定理和求余的方法，進而得出除以15的余數.
（2）利用已知條件結合二項式定理和賦值法和聯立方程求解的方法，進而得出的值.
（3）利用已知條件結合二項式定理求出展開式中的通項公式，再結合單調性得出k的取值范圍，進而得出滿足要求的k的值，從而得出展開式中系數最大的項.
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