資源簡介

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導數運算及切線方程求法（含解析）
知識點：
1、平均變化率：一般地，函數f(x)在區間上的平均變化率為：
2、求導數的方法：求導數值的一般步驟：
求函數的增量：；
求平均變化率：；
求極限，得導數：。
3、基本初等函數的導數公式
4、導數運算法則
(1)；
拓展：；
記憶：函數的和差的導數等于函數導數的和差；
(2)；
特別：，為常數；
記憶：兩函數積的導數等于“前導后不導＋后導前不導”；
(3).
記憶：兩函數商的導數等于“分母平分，分子導分母不導－分母導分子不導”.
5、復合函數的導數
對于兩個函數和，若通過變量可以表示成的函數，則稱這個函數為函數和的復合函數，記作．
復合函數的導數與函數 的導數間的關系是
Eg若，設，，
則.
題型分類專練
一、導數概念
1．若可導函數 的圖象過原點，且滿足 ，則 （　　）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
2．函數f(x)在x＝x0處的導數可表示為（　　）
A．f′(x0)＝ B．f′(x0)＝
C．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0) D．f′(x0)＝
3．已知，在R上連續且可導，且，下列關于導數與極限的說法中正確的是（　　）
A． B．
C． D．
4．設 ，則曲線 在點 處的切線的傾斜角是　 　．
二、導數四則運算
5．已知函數（是的導函數），則（　　）
A． B． C． D．
6．以下函數求導正確的是（　　）
A．若 ，則
B．若 ，則
C．若 ，則
D．若 ，則
7．函數 的導數為（　　）
A．
B．
C．
D．
8．求下列函數的導數：
（1）； （2） ； （3）．
三、切線方程求法（過切點）
9．曲線在點處的切線的斜率（　　）
A．5 B．4 C．-1 D．-2
10．曲線在點處的切線方程是（　　）
A． B． C． D．
11．曲線在處的切線方程為　 　.
四、切線方程求法（知斜率）
12．曲線在點處的切線與直線平行，則（　　）
A． B． C．1 D．2
13． 設函數在處的切線與直線平行，則（　　）
A． B．2 C． D．1
14．已知曲線 在點 處切線的斜率為8，則 （　　）
A．9 B．6 C．-9 D．-6
15．曲線 在 處的切線平行于直線 ，則 點的坐標為（　　）
A．(1, 0) B．(2, 8)
C．(1, 0)和(-1, -4) D．(2, 8)和(-1, -4)
16．已知曲線 在點P處的切線平行于直線 ，那么點P的坐標為（　　）
A． B． C． D．
17．已知直線與曲線相切，則的值為　 　.
五、切線方程求法（過定點）
18．若經過點P(2，8)作曲線 的切線，則切線方程為（　　）
A． B．
C． 或 D． 或
19．曲線 在 處的切線 過原點，則 的方程是（　　）
A． B． C． D．
20．若曲線 的一條切線經過點 ，則此切線的斜率為（　　）
A． B． C． 或 D． 或
21．過點作曲線的切線，所得切線斜率為（　　）
A．－3 B．0或3 C．－3或24 D．0
22．若曲線在處的切線經過點，則實數　 　．
六、切線方程求法（公切線）
23．已知函數，若總存在兩條不同的直線與函數，圖象均相切，則實數的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
24．若直線 是曲線 的切線，也是曲線 的切線，則 　 　．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】 的圖象過原點， ，
故答案為：B
【分析】利用函數圖象過原點結合代入法，從而結合導數與極限的關系式，進而求出導函數的值。
2．【答案】A
【解析】【解答】B中f′(x0)＝ ，右邊的式子表示函數值的變化量的極限，趨近于0；C中f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，右邊的式子表示函數值的變化量；D中f′(x0)＝ ，右邊的式子表示函數的平均變化率．
故答案為：A
【分析】根據題意由導數的定義即可求出f’(x)=由此判斷出選項A正確。
3．【答案】B,C,D
4．【答案】
【解析】【解答】因為
= ，
所以 ，
則曲線 在點 處的切線斜率為 ，即 ，
又
所以所求切線的傾斜角 為 ．
故答案為：
【分析】利用導數的定義，化簡整理，可得，根據導數的幾何意義即可求得答案。
5．【答案】D
【解析】【解答】，，
，，
故答案為：D.
【分析】利用導數的運算進行求解，即可得出答案。
6．【答案】A,C
【解析】【解答】對A， ，A符合題意
對B， ，B不符合題意
對C，
所以C符合題意
對D， ，D不符合題意
故答案為：AC
【分析】利用已知條件結合導數的運算法則結合復合函數求導的運算法則，進而找出函數求導正確的選項。
7．【答案】B
【解析】【解答】 ，
。
故答案為：B
【分析】利用已知條件結合導數的運算法則和復合函數導數求解公式，進而求出函數 的導數 。
8．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：.
【解析】【分析】（1）利用已知條件結合導數的加法運算法則得出導函數。
（2）利用已知條件結合導數的乘法運算法則得出導函數。
（3）利用已知條件結合導數的乘法運算法則和復合函數的導數運算法則，進而得出導函數。
9．【答案】C
10．【答案】A
【解析】【解答】解：因為所以，所以 ，代入點斜式得y-1=3(x-1)，
即3x-y-2=0 ，所以切線方程是3x-y-2=0.
故答案為：A.
【分析】先求導，將x=1代入求得切線方程的斜率，利用點斜式即可求得.
11．【答案】
【解析】【解答】解：由題意知：，所以，
所以直線的斜率，又因為切點為，
所以切線方程為：.
故答案為：.
【分析】利用導數求出處的直線斜率，然后利用直線的點斜式知識即可求解.
12．【答案】C
【解析】【解答】解：因為,
所以,解得a=1,
故答案為：C.
【分析】直接對函數 求導，再根據函數f(x)在（0,1)處的切線與y=2x平行即可求解.
13．【答案】D
【解析】解：由函數，可得，所以，
又因為函數在處的切線與直線平行，可得，
解得.
故答案為：D.
【分析】求得，得到，結合題意，列出方程，即可求解.
14．【答案】D
【解析】【解答】 ，由導數的幾何意義知在點 處的切線的斜率為 ，解得 。
故答案為：D
【分析】利用導數的幾何意義求出曲線在切點處的切線的斜率，再結合已知條件曲線 在點 處切線的斜率為8，從而求出實數a的值。
15．【答案】C
【解析】【解答】依題意,令 ，解得
故 點的坐標為(1, 0)和(-1, -4)，
故答案為：C
【分析】根據題意求出函數的導函數再把數值代入計算出結果即可求出點P的坐標。
16．【答案】B,C
【解析】【解答】設 ，
則
，
令 ，即 ，解得 ，
又 ，
所以P點坐標為 或 ．
故答案為：BC．
【分析】首先根據題意求出函數的導數，再由直線平行的性質計算出x的值由此得出點P的坐標即可。
17．【答案】3
【解析】【解答】解：因為 ，可得，
設切點坐標為，則切線斜率為，
由題意可得，解得，
即 的值為 3.
故答案為：3.
【分析】求導，切點坐標為，可知切線斜率為，結合題意列式求解即可.
18．【答案】D
【解析】【解答】解：①易知P點在曲線上，當P點為切點時，y=3x2，k=12，12x-y-16=0 .
②當P點不是切點時，設切點為A(x0，y0) ，由定義可求得切線的斜率為 .
∵A在曲線上，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
解得x0=-1或x0=2(舍去)，
∴ y0=-1，k=3，
此時切線方程為y+1=3(x+1)，
即3x-y+2=0 .
故經過點P的曲線的切線有兩條，方程為12x-y-16=0或3x-y+2=0 .
故選：D
【分析】因為P點在曲線上，所以需要分兩種情況討論，P點為切點和P點不為切點，分別根據導數的幾何意義求解切線方程即可.
19．【答案】A
【解析】【解答】解：曲線 ， ，切點為 ，
所以切線 的斜率 ，
又直線 過原點，所以 ，
得 ， ．所以 ，故切線 的方程為 即 ．
故答案為：A．
【分析】根據題意首先對函數求導再結合導函數與切線斜率的關系即可求出直線的斜率，再由點斜式求出直線的方程即可。
20．【答案】C
【解析】【解答】由題意，可設切點坐標為 ，由 ，則 ，切線斜率 ，由點斜式可得切線方程為 ，又切線過點 ，所以 ，整理得 ，解得 或 ，所以切線斜 或 .
故答案為：C.
【分析】將此冪函數求導后假設切點坐標，根據導數的定義和切線經過的點的坐標建立等量關系，從而可得到該切點坐標，從而得到切線的斜率.
21．【答案】C
【解析】【解答】由已知可得，點不在曲線上，設切點為
因為，根據導數的幾何意義可得，切線斜率，
又切線過點，所以，
所以，整理可得.
又，所以有，
即，解得或.
當時，；當時，.
所以切線斜率為－3或24.
故答案為：C.
【分析】利用已知條件結合導數的幾何意義得出曲線的切線的斜率與切點橫坐標的關系式，再結合兩點求斜率公式和代入法，進而得出切點的橫坐標，從而得出切線的斜率。
22．【答案】
【解析】【解答】因為，則，
即切線斜率為，切點為，則切線方程為，
由題意可得：，解得.
故答案為： .
【分析】根據導數的幾何意義求切線方程為，進而代入 點運算求解即可.
23．【答案】A
24．【答案】1-ln2
【解析】【解答】對函數 求導得 ，對 求導得 ，設直線 與曲線 相切于點 ，與曲線 相切于點 ，則 ，由點 在切線上得 ，由點 在切線上得 ，這兩條直線表示同一條直線，所以 ，解得 。
【分析】利用求導的方法求出曲線在切點處的切線斜率，再利用點斜式求出曲線在切點處的切線方程，結合直線 是曲線 的切線，也是曲線 的切線，從而求出b的值。
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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