資源簡介

排列組合題型方法全歸納
目錄
知識點一：排列、組合的定義 1
知識點二：排列數、組合數的定義、公式、性質 1
知識點三：求解排列應用問題方法匯總 2
考點一 捆綁法模型 3
考點二 插空法模型 7
考點三 隔板法模型 11
考點四 排隊問題 （含多排問題） 16
拓展：多排問題 19
考點五 錯位排列 21
考點六 環排問題 27
考點七、特殊元素法 31
考點八、特殊位置法 32
考點九、間接法 34
考點十、定序倍縮法 36
考點十一、平均分組 37
考點十二、部分平均分組 43
考點十三、不平均分組 44
考點十四、涂色問題 45
考點十五 多面手問題 53
考點十六分解與合成模型和最短路徑問題 56
考點十七 構造法模型、遞推模型與化歸策略 62
考點十八 定序問題先選后排策略與重排問題求冪策略 68
考點十九 數字問題 71
知識點一：排列、組合的定義
排列的定義 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素 按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列
組合的定義 合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合
知識點二：排列數、組合數的定義、公式、性質
排列數 組合數
定義 從n個不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)個元素的所有不同排列的個數 從n個不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)個元素的所有不同組合的個數
公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝＝
性質 A＝n！，0！＝1 C＝1，C＝C，C＋C＝C
知識點三：求解排列應用問題方法匯總
直接法 把符合條件的排列數直接列式計算
優先法 優先安排特殊元素或特殊位置
捆綁法 把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內部排列
插空法 對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中
定序問題除法處理 對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 對于某些順序一定的元素(m個)的排列問題，可先把這些元素與其他元素一起(共n個)進行排列，然后用總排列數A除以m個順序一定的元素之間的全排列數A，即得到不同排法種＝A.
間接法 正難則反、等價轉化的方法
分組分配 平均分組、部分平均分組 1．對不同元素的分配問題 (1)對于整體均分，解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以A(n為均分的組數)，避免重復計數． (2)對于部分均分，解題時注意重復的次數是均勻分組的階乘數，即若有m組元素個數相等，則分組時應除以m！，分組過程中有幾個這樣的均勻分組，就要除以幾個這樣的全排列數． (3)對于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時任何組中元素的個數都不相等，所以不需要除以全排列數．
隔板法 將個相同元素放入個不同的盒內，且每盒不空，則不同的方法共有種。解決此類問題常用的方法是“隔板法”，因為元素相同，所以只需考慮每個盒子里所含元素個數，則可將這個元素排成一列，共有個空，使用個“擋板”進入空檔處，則可將這個元素劃分為個區域，剛好對應那個盒子
環排問題 (1) 把 個不同的元素圍成一個環狀，排法總數為 (2) 個不同的元素圍成一圈， 個元素相鄰，符合條件的排列數為 (3) 個不同的元素圍成一圈， 個元素不相鄰 ，符合條件的排列數為
涂色問題 涂色的規則是“相鄰區域涂不同的顏色”，在處理涂色問題時，可按照選擇顏色的總數進行分類討論，每減少一種顏色的使用，便意味著多出一對不相鄰的區域涂相同的顏色（還要注意兩兩不相鄰的情況），先列舉出所有不相鄰區域搭配的可能，再進行涂色即可。
考點一 捆綁法模型
【方法技巧與總結】
捆綁法：解決“相鄰”問題用“捆綁法”，就是將n個不同的元素排成一排，其中k個元素排在相鄰位置上，求不同的排法種數的步驟：①先將這k個元素“捆綁”在一起，看成一個整體；②把這個整體當作一個元素與其他元素一起排列，其排列方法有種排法；③然后“松綁”，即將“捆綁”在一起的元素內部進行排列，其排列方法有種；④根據分步乘法計數原理，符合條件的排法有種．
【典型例題】
例1．（2023秋·廣東揭陽·高三統考期末）已知甲、乙兩個家庭排成一列測核酸，甲家庭是一對夫妻帶1個小孩，乙家庭是一對夫妻帶2個小孩.現要求2位父親位于隊伍的兩端，3個小孩要排在一起，則不同的排隊方式的種數為（ ）
A．288 B．144 C．72 D．36
例2．（2023春·廣東·高三統考開學考試）某學校為了豐富同學們的寒假生活，寒假期間給同學們安排了6場線上講座，其中講座只能安排在第一或最后一場，講座和必須相鄰，問不同的安排方法共有（ ）
A．34種 B．56種 C．96種 D．144種
例3．（2023秋·重慶·高三統考學業考試）某球隊6名隊員站成一排拍照留念，要求隊員A和B不相鄰且均與隊員C相鄰，則不同的排法共有（ ）
A．12種 B．24種 C．36種 D．48種
例4．（2023·全國·高三專題練習）現有6家商戶預租賃某夜市的6個相鄰的推位，其中3家商戶開特色小吃店，2家商戶開文創產品店，一家商戶開新奇玩具店，夜市管理部門要求特色小吃店必須都相鄰，且文創產品店不相鄰，則不同的排法總數為（ ）
A．48 B．72 C．144 D．96
例5．（2023春·四川瀘州·高三四川省瀘縣第四中學校考開學考試）2022年2月4日北京冬奧會順利開幕.在開幕式當晚，周明約李亮一家一起觀看.周明一家四口相鄰而坐，李亮一家四口也相鄰而坐，已知他們兩家人的8個座位連在一起（在同一排且一人一座），且周明與李亮也相鄰而坐，則他們不同的坐法有（ ）
A．432種 B．72種 C．1152種 D．144種
例6．（2023·全國·高三專題練習）志愿服務是全員核酸檢測工作的重要基礎和保障，某核酸檢測站點需要連續六天有志愿者參加服務，每天只需要一名志愿者，現有甲、乙、丙、丁、戊、己名志愿者，計劃依次安排到該站點參加服務，要求甲不安排第一天，乙和丙在相鄰兩天參加服務，則不同的安排方案共有（ ）
A．種 B．種
C．種 D．種
例7．（2023·全國·高三專題練習）3名男生，2名女生站成一排照相，則2名女生相鄰且都不站在最左端的不同的站法共有（ ）
A．72種 B．64種 C．48種 D．36種
例8．（2023·全國·高三專題練習）“學習強國”學習平臺設有“看黨史”“聽原著”等多個欄目．假設在這些欄目中，周一“看黨史”欄目更新了3篇文章，“聽原著”欄目更新了4個音頻．一位學習者準備從更新的這7項內容中隨機選取2篇文章和2個音頻進行學習，則這2篇文章學習順序相鄰的學法有（ ）
A．216種 B．108種 C．72種 D．54種
例9．（2023春·山東煙臺·高三校考開學考試）我國古代將“禮、樂、射、御、書、數”合稱“六藝”．某校國學社團計劃開展“六藝”講座活動，要求活動當天每藝安排一節，連排節，且“數”必須排在第節，“射”和“御”相鄰，則不同的安排順序共有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
例10．（2023·全國·高三專題練習）甲、乙、丙、丁、戊五位同學站成一排照相，其中要求甲和乙必須相鄰，且丙不能排最左端，則不同的排法共有
A．12種 B．24種
C．36種 D．48種
例11．（2023·上海·高三專題練習）2014年3月8日，馬航航班客機從吉隆坡飛往北京途中失聯,隨后多國加入搜救行動，同時啟動水下黑匣子的搜尋，主要通過水機器人和娃人等手段搜尋黑匣子.現有個水下機器人，，和個蛙人，，各安排一次搜尋任務，搜尋時每次只能安排個水下機器人或個蛙人下水，其中不能安排在第一個下水， 和必須相鄰安排，則不同的搜尋方式有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
例12．（2023·甘肅·模擬預測）某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，則不同的安排方案共有
A．504種 B．960種 C．1008種 D．1108種
例13．（2023·全國·高三專題練習）中國書法一般分為篆書 隸書 行書 楷書和草書這5種字體，其中篆書分大篆和小篆，隸書分古隸和漢隸，草書分章草 今草和狂草，行書分行草和行楷，楷書分魏碑和唐楷.為了弘揚傳統文化，某書法協會采用楷書 隸書和草書3種字體書寫6個福字，其中隸書字體的福字分別用古隸和漢隸書寫，草書字體的福字分別用章草 今草和狂草書寫，楷書字體的福字用唐楷書寫.將這6個福字排成一排，要求相同類型字體的福字相鄰，則不同的排法種數為___________種.
例14．（2023秋·陜西咸陽·高三武功縣普集高級中學校考階段練習）當前新冠肺炎疫情形勢依然嚴峻，防控新冠肺炎疫情需常態化，某校從含甲、乙、丙在內的名行政人員中選取人負責每周周一至周六的疫情防控工作（周日學校放假），每人各負責天，其中甲、乙、丙人必被選中．若甲與乙需安排在相鄰的兩天，乙與丙不安排在相鄰的兩天，且丙不排周一，則不同的安排方法有___種．
例15．（2023秋·廣東江門·高三江門市棠下中學校聯考期末）有唱歌、跳舞、小品、雜技、相聲五個節目制成一個節目單，其中小品、相聲不相鄰且相聲、跳舞相鄰的節目單有______種．（結果用數字作答）
考點二 插空法模型
【方法技巧與總結】
插空法：解決不相鄰問題的方法為“插空法”，即將n個不同的元素排成一排，其中k個元素互不相鄰（）．求不同的排法種數的步驟：①先將不作不相鄰要求的元素共個排成一排，其排列方法有種；②然后將要求兩兩不相鄰的k個元素插入個空隙中，相當于從個空隙中選出k個，分別分配給兩兩不相鄰的k個元素，其排列方法有：種；③根據分步乘法計數原理，符合條件的排法有種．
【典型例題】
例1．（2023秋·甘肅慶陽·高二校考期末）五聲音階（漢族古代音律）是按五度的相生順序，從宮音開始到羽音，依次為宮，商，角，徵，羽．若將這五個音階排成一列，形成一個音序，且要求宮、羽兩音節不相鄰，可排成不同的音序的種數為（ ）
A．12種 B．48種 C．72種 D．120種
例2．（2023秋·福建龍巖·高二統考期末）為弘揚我國古代的“六藝文化”，某校計劃在社會實踐中開設“禮”、“樂”、“射”、“御”、“書”、“數”六門體驗課程，每天開設一門，連續開設6天，則（ ）
A．從六門課程中選兩門的不同選法共有30種
B．課程“書”不排在第三天的不同排法共有720種
C．課程“禮”、“數”排在不相鄰兩天的不同排法共有288種
D．課程“樂”、“射”、“御”排在不都相鄰的三天的不同排法共有576種
例3．（2023秋·北京·高二北京市十一學校校考期末）某晚會有三個唱歌節目，兩個舞蹈節目，要求舞蹈節目不能相鄰，有（ ）種排法？
A．72 B．36 C．24 D．12
例4．（2023秋·浙江·高二浙江省江山中學校聯考期末）公元五世紀，數學家祖沖之估計圓周率的范圍是：，為紀念祖沖之在圓周率方面的成就，把3.1415926稱為“祖率”，這是中國數學的偉大成就.小明是個數學迷，他在設置手機的數字密碼時，打算將圓周率的前5位數字3，1，4，1，5進行某種排列得到密碼.如果排列時要求兩個1不相鄰，那么小明可以設置的不同密碼有（ ）
A．24個 B．36個 C．72個 D．60個
例5．（2023秋·山西長治·高二長治市上黨區第一中學校校考期末）《紅樓夢》是中國古代章回體長篇小說，中國古典四大名著之一，《紅樓夢》第三十七回賈探春提議邀集大觀園中有文采的人組成海棠詩社．詩社成立目的旨在“宴集詩人於風庭月榭；醉飛吟盞於簾杏溪桃，作詩吟辭以顯大觀園眾姊妹之文采不讓桃李須眉．”詩社成員有8人：林黛玉、薛寶釵、史湘云、賈迎春、賈探春、賈惜春、賈寶玉及李紈，若這8人排成一排進人大觀園，且林黛玉、薛寶釵、賈寶玉3人不相鄰，則不同的排法種數有（ ）
A．1440 B．2400 C．14400 D．86400
例6．（2023·全國·高三專題練習）“四書” “五經”是我國部經典名著《大學》《論語》《中庸》《孟子》《周易》《尚書》《詩經》《禮記》《春秋》的合稱．為弘揚中國傳統文化，某校計劃在讀書節活動期間舉辦“四書”“五經”知識講座，每部名著安排次講座，若要求《大學》《論語》相鄰，但都不與《周易》相鄰，則排法種數為（ ）
A． B． C． D．
例7．（2023·全國·高三專題練習）A，B，C，D，E，F這6位同學站成一排照相，要求A與C相鄰且A排在C的左邊，B與D不相鄰且均不排在最右邊，則這6位同學的不同排法數為（ ）
A．72 B．48 C．36 D．24
例8．（2023秋·甘肅武威·高二天祝藏族自治縣第一中學校考期末）2022年2月4日，中國北京第24屆奧林匹克冬季運動會開幕式以二十四節氣的方式開始倒計時創意新穎，贏得了全球觀眾的好評．某中學為了弘揚我國二十四節氣文化，特制作出“立春”、“雨水”、“驚蟄”、“春分”、“清明”、“谷雨”六張知識展板分別放置在六個并排的文化櫥窗里，要求“立春”和“春分”兩塊展板相鄰，且“清明”與“驚蟄”兩塊展板不相鄰，則不同的放置方式種數有（ ）
A．24 B．48 C．144 D．240
例9．（2023·全國·高三專題練習）志愿服務是辦好2022年北京冬奧運的重要基礎和保障，現有一冬奧服務站點需要連續六天有志愿者參加志愿服務，每天只需要一名志愿者，現有6名志愿者計劃依次安排到該服務站點參加服務，要求志愿者甲不安排第一天，志愿者乙和丙不在相鄰兩天參加服務，則不同的安排方案共有（ ）
A．240種 B．408種 C．1092種 D．1120種
例10．（2023·全國·高三專題練習）第13屆冬殘奧會于3月4日在北京開幕．帶著“一起向未來”的希冀，給疫情下的世界帶來了信心．為了運動會的順利舉行，組織了一些志愿者協助運動會的工作．有來自某大學的2名男老師，2名女老師和1名學生的志愿者被組織方分配到某比賽場館參加連續5天的協助工作，每人服務1天，如果2名男老師不能安排在相鄰的兩天，2名女老師也不能安排在相鄰的兩天，那么符合條件的不同安排方案共有（ ）
A．120種 B．96種 C．48種 D．24種
例11．（2023秋·山東德州·高二德州市第一中學校考期末）某夜市的一排攤位上共有9個鋪位，現有6家小吃類店鋪，3家飲料類店鋪打算入駐，若要排出一個攤位規劃，要求飲料類店鋪不能相鄰，則可以排出的攤位規劃總個數為（ ）
A． B． C． D．
例12．（2023秋·陜西西安·高三西北工業大學附屬中學校考期末）中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數”合稱“六藝”.“禮”，主要指德育；“樂”，主要指美育；“射”和“御”，就是體育和勞動；“書”，指各種歷史文化知識；“數”，數學;某校國學社團開展“六藝”課程講座活動，每藝安排一節，連排六節，一天課程講座排課有如下要求：“禮”排第一節課，“射”和“御”兩門課程不相鄰，則“六藝”課程講座不同的排課順序共有幾種（ ）
A． B． C． D．
例13．（2023·全國·高三專題練習）2022北京冬奧會開幕式在北京鳥巢舉行，小明一家五口人觀看開幕式表演，他們一家有一排10個座位可供選擇，按防疫規定，每兩人之間必須至少有一個空位.現要求爺爺與奶奶之間有且只有一個空位，小明只能在爸爸媽媽中間且與他倆各間隔一個空位，則不同的就座方案有___________種.
例14．（2023·上海·高三專題練習）已知江大爺養了一些雞和兔子，晚上關在同一間房子里，數了一下共有7個頭，20只腳，清晨打開房門，雞和兔子隨機逐一向外走，則恰有2只兔子相鄰走出房子的情況有___________種（用數字作答）
例15．（2023·全國·高三專題練習）“學習強國”是由中宣部主管，以深入學習宣傳習近平新時代中國特色社會主義思想為主要內容，立足全體黨員、面向全社會的優質學習平臺．該平臺設有“閱讀文章”，“視聽學習”等多個欄目．假設在這些欄目中某時段更新了2篇文章和2個視頻，一位學員準備學習這2篇文章和這2個視頻，要求這2篇文章學習順序不相鄰，則不同的學法有________種．（用數字作答）
考點三 隔板法模型
【方法技巧與總結】
將個相同的元素分成份（，為正整數），每份至少一個元素，可以用塊隔板，插入個元素排成一排的個空隙中，共有種分法．
【典型例題】
例1．（2023·云南紅河·統考三模）某校將個三好學生名額分配到高三年級的個班，每班至少個名額，則共有多少種不同的分配方案（ ）
A．15 B．20 C．10 D．30
例2．（2023·全國·校聯考模擬預測）學校決定把個參觀航天博物館的名額給三（1） 三（2） 三（3） 三（4）四個班級.要求每個班分別的名額不比班級序號少，即三（1）班至少個名額，三（2）班至少個名額，……，則分配方案有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
例3．（2023·高二課時練習）現有9個相同的球要放到3個不同的盒子里，每個盒子至少一個球，各盒子中球的個數互不相同，則不同放法的種數是（ ）
A．28 B．24 C．18 D．16
例4．（2023春·江蘇蘇州·高二吳縣中學校考期中）學校有6個優秀學生名額，要求分配到高一、高二、高三，每個年級至少1個名額，則有（ ）種分配方案．
A．135 B．10 C．75 D．120
例5．（2023春·全國·高二期末）方程的正整數解共有（ ）組
A．165 B．120 C．38 D．35
例6．（2023秋·山西晉城·高三校考階段練習）有10個運動員名額分給7個班，每班至少一個名額，共有______種分配方案.
例7．（2023·全國·高三專題練習）現有15個省三好學生名額分給1、2、3、4共四個班級，其中1班至少2個名額，2班、4班每班至少3個名額，3班最多2個名額，則共有_________種不同分配方案.
例8．（2023春·廣東汕頭·高二校考期中）6個志愿者的名額分給3個班，每班至少一個名額，則有_________ 種不同的分配方法.（用數字回答）.
例9．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗縣第一中學校考階段練習）泗縣一中舉行“建黨周年朗誦比賽”，學校給了高二個文科班個參賽名額，要求每班至少一個同學參加比賽，則共有___________種不同的分配方案.
例10．（2023秋·河北滄州·高三南皮縣第一中學校聯考期中）某地舉辦高中數學競賽，已知某校有20個參賽名額，現將這20個參賽名額分配給A，B，C，D四個班，其中1個班分配4個參賽名額，剩下的3個班都有參賽名額，則不同的分配方案有______種．
例11．（2023春·安徽宣城·高二階段練習）將10個學生干部的培訓指標分配給7個不同的班級，每班至少分到一個名額，不同的分配方案共有_______種．
例12．（2023·浙江·校聯考模擬預測）將6個相同的球全部放入甲、乙、丙三個盒子里，每個盒子最多放入3個球，共有_________種不同的放法.
例13．（2023·高二單元測試）不定方程的非負整數解的個數為_______.
例14．（2023春·福建三明·高二統考期末）將個數學競賽名額分配給個不同的班級，其中甲、乙兩個班至少各有個名額，則不同的分配方案種數為__________.
例15．（2023·全國·高三專題練習）某校準備參加高中數學聯賽，把16個選手名額分配到高三年級的1～4班，每班至少一個名額.
(1)不同的分配方案共有多少種？
(2)若每班名額不少于該班的序號數，則不同的分配方案共有多少種？
例16．（2023春·河北邯鄲·高二大名縣第一中學校考階段練習）將20個完全相同的球放入編號為1，2，3，4，5的五個盒子中．
(1)若要求每個盒子至少放一個球，則一共有多少種放法？
(2)若每個盒子可放任意個球，則一共有多少種放法？
(3)若要求每個盒子放的球的個數不小于其編號數，則一共有多少種放法？
例17．（2023·全國·高三專題練習）方程（，）的正整數解有多少個？有多少個非負整數解？
考點四 排隊問題 （含多排問題）
例1．（2023·全國·高三專題練習）街頭籃球比賽后，紅、黃兩隊共名隊員（紅隊人，黃隊人）合照，要求人站成一排，紅隊人中有且只有名隊員相鄰，則不同排隊的方法共有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
例2．（2023·全國·高三專題練習）七輛汽車排成一縱隊，要求甲車、乙車、丙車均不排隊頭或隊尾且各不相鄰，則排法有（ ）
A．48種 B．72種 C．90種 D．144種
例3．（2023春·山西朔州·高二校考階段練習）名成人帶兩個小孩排隊上山，小孩不排在一起也不排在頭尾，則不同的排法種數有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
例4．（2023·全國·高三專題練習）受新冠肺炎疫情影響，某學校按上級文件指示，要求錯峰放學，錯峰有序吃飯.高三年級一層樓六個班排隊，甲班必須排在前三位，且丙班、丁班必須排在一起，則這六個班排隊吃飯的不同安排方案共有（ ）
A．240種 B．120種 C．188種 D．156種
例5．（2023·全國·高三專題練習）新冠肺炎疫情防控期間，按照宿州市疫情防控應急指揮部的要求，市教育體育局對各市直學校下發了有關疫情防控通知.某學校按市局通知要求，制定了錯峰放學，錯峰吃飯的具體防疫措施.高三年級一層樓有、、、、、六個班排隊吃飯，班必須排在第一位，且班、班不能排在一起，則這六個班排隊吃飯的不同方案共有（ ）
A．20種 B．56種 C．72種 D．40種
例6．（2023·全國·高三專題練習）六輛汽車排成一縱隊，要求甲車和乙車均不排隊頭或隊尾，且正好間隔兩輛車，則排法有（ ）
A．48 B．72 C．90 D．120
例7．（多選題）（2023·全國·高三專題練習）有四名男生，三名女生排隊照相，七個人排成一排，則下列說法正確的有（ ）
A．如果四名男生必須連排在一起，那么有種不同排法
B．如果三名女生必須連排在一起，那么有種不同排法
C．如果女生不能站在兩端，那么有種不同排法
D．如果三個女生中任何兩個均不能排在一起，那么有種不同排法
例8．（2023·全國·高二專題練習）3名男生，4名女生，按照不同的要求排隊，求不同的排隊方法數．
(1)選5名同學排成一排；
(2)全體站成一排，甲、乙不在兩端；
(3)全體站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端；
(4)全體站成一排，男生站在一起、女生站在一起；
(5)全體站成一排，男生排在一起；
(6)全體站成一排，男生彼此不相鄰；
(7)全體站成一排，男生各不相鄰、女生各不相鄰；
(8)全體站成一排，甲、乙中間有2個人；
(9)排成前后兩排，前排3人，后排4人；
(10)全體站成一排，乙不能站在甲左邊，丙不能站在乙左邊．
例9．（2023·全國·高三專題練習）1.有4個男生，3個女生按下列要求排隊拍照，各有多少種不同的排列方法？
(1)7個人排成一列，4個男生必須連排在一起；
(2)7個人排成一列，3個女生中任何兩個均不能排在一起；
(3)7個人排成一列，甲、乙、丙三人順序一定；
(4)7個人排成一列，但男生必須連排在一起，女生也必須連排在一起，且男甲與女乙不能相鄰.
例9．（2023春·江蘇蘇州·高二江蘇省蘇州實驗中學校考階段練習）若，，，，五個人按不同的要求排列隊伍，求不同的排隊方法的種數
(1)，兩人不站在一起；
(2)不站在最左邊，不站最右邊；
(3)如果又來了一位同學，六個人站一排，、站在中間，站在的右邊；
(4)若5個人站成兩排，其中一排站2個人，另一排站3個人．
拓展：多排問題
例1：6個人站成前后兩排照相，要求前排2人，后排4人，那么不同的排法共有（ ）
A．30種 B．360種 C．720種 D．1440種
例2：6個人站成前、中、后三排，每排2人，則不同的排法有 種．
例3：畢業季，6位身高全不相同的同學拍照留念，站成前后兩排各三人，要求每列后排同學比前排高的不同排法共有（ ）
A．40種 B．20種 C．180種 D．90種
例4：10名同學拍照，站成前排3人后排7人，現攝影師要從后排7人中抽2人調整到前排，若其他人的相對順序不變，則不同調整方法的總數是（ ）
A．168 B．420 C．840 D．20160
例5：某次數學獲獎的6名高矮互不相同的同學站成兩排照相，后排每個人都高于站在他前面的同學，則共有多少種站法（ ）
A．36 B．90 C．360 D．720
考點五 錯位排列
【方法技巧與總結】
錯位排列公式
【典型例題】
例1．（2023春·重慶沙坪壩·高二重慶八中校考期末）“數獨九宮格”原創者是18世紀的瑞士數學家歐拉，它的游戲規則很簡單，將1到9這九個自然數填到如圖所示的小九宮格的9個空格里，每個空格填一個數，且9個空格的數字各不相間，若中間空格已填數字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數字都是從大到小排列的，則不同的填法種數為（ ）
A．72 B．108 C．144 D．196
例2．（2023·全國·高三專題練習）編號為1、2、3、4、5的5個人分別去坐編號為1、2、3、4、5的五個座位，其中有且只有兩個人的編號與座位號一致的坐法有（ ）
A．10種 B．20種 C．30種 D．60種
例3．（2023·全國·高三專題練習）將編號為、、、、、的小球放入編號為、、、、、的六個盒子中，每盒放一球，若有且只有兩個盒子的編號與放入的小球的編號相同，則不同的放法種數為（ ）
A． B． C． D．
例4．（2023春·廣東廣州·高二廣州奧林匹克中學校考階段練習）將編號為1 2 3 4 5 6的六個小球放入編號為1 2 3 4 5 6的六個盒子里，每個盒子放一個小球，若有且只有三個盒子的編號與放入的小球編號相同，則不同的方法總數是（ ）
A．20 B．40 C．120 D．240
例5．（2023春·吉林延邊·高二校考期中）同室4人各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀卡，則4張賀卡不同分配方式有
A．8種 B．9種 C．10種 D．12種
例6．（2023·全國·高三專題練習）元旦來臨之際，某寢室四人各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀卡，則四張賀卡不同的分配方式有（ ）
A．6種 B．9種 C．11種 D．23種
例7．（2023·全國·高三專題練習）若5個人各寫一張卡片（每張卡片的形狀、大小均相同），現將這5張卡片放入一個不透明的箱子里，并攪拌均勻，再讓這5人在箱子里各摸一張，恰有1人摸到自己寫的卡片的方法數有（ ）
A．20 B．90 C．15 D．45
例8．（2023春·遼寧鞍山·高二統考期中）5個人站成一列，重新站隊時各人都不站在原來的位置上，共有種不同的站法（ ）
A．42 B．44 C．46 D．48
例9．（2023春·河北滄州·高二泊頭市第一中學校考開學考試）若5個人按原來站的位置重新站成一排，恰有1個人站在自己原來的位置，則不同的站法共有（ ）
A．45種 B．40種 C．55種 D．60種
例10．（2023秋·福建三明·高三三明一中校考階段練習）若4個人按原來站的位置重新站成一排，恰有一個人站在自己原來的位置，則共有（ ）種不同的站法.
A．4 B．8 C．12 D．24
例11．（2023春·重慶南岸·高二重慶市廣益中學校校考階段練習）個同學玩“真心話”游戲，回答抽到的問題.若個人將各自的問題寫在一張卡片上（每張卡片的形狀 大小均相同），并將這張卡片放入一個不透明的箱子里，攪拌均勻，再讓這人在箱子里各摸一張，恰有人需回答自己問題的種數為___________.
例12．（2023·全國·高二專題練習）位顧客將各自的帽子隨意放在衣帽架上，然后，每人隨意取走一頂帽子，則人拿的都不是自己的帽子方案總數為____________.（用數字作答）
例13．（2023·高一課時練習）一輛小客車上有5個座位,其座位號為1,2,3,4,5.乘客,,,,的座位號分別為1,2,3.4,5,他們按照座位號從小到大的順序先后上車乘客戶,因身體原因沒有坐自己的1號座位,這時司機要求余下的乘客按以下規則就座：如果自己的座位空著,就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座,就在這5個座位的剩余空位中任意選擇座位.
乘客
座位號 3 2 1 4 5
3 2 4 5 1
（1）若乘客坐到了3號座位,其他乘客按規則就座,則此時共有4種坐法.下表給出了其中兩種坐法,請填入余下兩種坐法(將乘客就座的座位號填入表中空格處)；
（2）若乘客坐到了2號座位,其他乘客按規則就座,求乘客坐到5號座位的概率.
例14．（2023春·江蘇鎮江·高二揚中市第二高級中學校考期中）將個編號為、、、的不同小球全部放入個編號為、、、的個不同盒子中.求：
（1）每個盒至少一個球，有多少種不同的放法？
（2）恰好有一個空盒，有多少種不同的放法？
（3）每盒放一個球，并且恰好有一個球的編號與盒子的編號相同，有多少種不同的放法？
（4）把已知中個不同的小球換成四個完全相同的小球（無編號），其余條件不變，恰有一個空盒，有多少種不同的放法？
例15．（2023·全國·高三專題練習）n個學生參加一次聚會，每人帶一張賀卡和一件禮物，會后每個人任取一張賀卡和一件禮物.問：發生下列情況時，有多少種可能？
(1)沒有任何一位學生取回他原來自己的一件物品；
(2)有人取回了他原來的物品；
(3)恰好只有一人取回他原來的物品.
例16．（2023·全國·高三專題練習）將用1～6編號的六張卡片，插入用1～6編號的六個盒子里，每只盒子插一張，求：
(1)使每一卡片的號碼與所在盒子號碼都不同的插法總數；
(2)恰好有3張卡片號碼與所在盒子號碼相同的插法總數.
考點六 環排問題
【方法技巧與總結】
在圓排列數中：
（1）個元素圍成一圈其圓排列數為
（2）在個元素中，每次取出個不同的元素進行圓排列，圓排列數為．
（3）當從個相異的元素中，每次取出顆串成一個圓環，因其正反相對的兩個圓排列在串成一個圓環時完全相同，故圓環數為．對于較復雜的問題，可適當采用分步揷人、捆綁及利用種數公式處理．
【典型例題】
例1．（2023·全國·高三專題練習）21個人按照以下規則表演節目：他們圍坐成一圈，按順序從1到3循環報數，報數字“3”的人出來表演節目，并且表演過的人不再參加報數．那么在僅剩兩個人沒有表演過節目的時候，共報數的次數為（ ）
A．19 B．38 C．51 D．57
例2．（2023·全國·高三專題練習）A，B，C，D，E，F六人圍坐在一張圓桌周圍開會，A是會議的中心發言人，必須坐最北面的椅子，B，C二人必須坐相鄰的兩把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，則不同的座次有（ ）
A．60種 B．48種 C．30種 D．24種
例3．（2023春·江蘇蘇州·高二昆山震川高級中學校考期中）現有8個人圍成一圈玩游戲，其中甲、乙、丙三人不全相鄰的排法種數為（ ）
A． B． C． D．
例4．（2023·全國·高三專題練習）現有一圓桌，周邊有標號為1，2，3，4的四個座位，甲、乙、丙、丁四位同學坐在一起探討一個數學課題，每人只能坐一個座位，甲先選座位，且甲、乙不能相鄰，則所有選座方法有（ ）．
A．6種 B．8種 C．12種 D．16種
例5．（2023春·內蒙古赤峰·高二赤峰二中校考階段練習）如圖，某傘廠生產的太陽傘的傘篷是由太陽光的七種顏色組成，七種顏色分別涂在傘篷的八個區域內，且恰有一種顏色涂在相對區域內，則不同顏色圖案的此類太陽傘最多有（ ）.
A．40320種 B．5040種 C．20160種 D．2520種
例6．（2023春·遼寧·高三校聯考階段練習）已知甲、乙、丙三位同學圍成一個圓時，其中一個排列“甲乙丙”與該排列旋轉一個或幾個位置后得到的排列“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一個排列．現有位同學，若站成一排，且甲同學在乙同學左邊的站法共有種，那么這位同學圍成一個圓時，不同的站法總數為（ ）
A． B． C． D．
例7．（2023·高二課時練習）8人圍桌而坐，共有______種坐法.
例8．（2023·全國·高三專題練習）5個女孩與6個男孩圍成一圈，任意2個女孩中間至少站1個男孩，則不同排法有______種（填數字）．
例9．（2023·高二課時練習）10位男生10位女生．男女相間隔圍成一圈，則其所有不同的排列數為__________
例10．（2023·全國·高三專題練習）4個人圍坐在如圖所示的8張椅子中的4張椅子上聚餐，其中甲、乙兩人不能相對（如1 與8 叫做相對）而坐，共有__________種不同的坐法(用數字作答)
例11．（2023·全國·高二專題練習）7顆顏色不同的珠子，可穿成________的珠子圈．
例12．（2023·全國·高三專題練習）8名學生平均分成兩組，每組都圍成一個個圓圈，有______種不同的圍法．
例13．（2023·全國·高二專題練習）一個圓桌有十二個座位，編號為1至12.現有四個學生和四個家長入座，要求學生坐在偶數位，家長與其孩子相鄰.滿足要求的坐法共有______種.
例14．（2023·江蘇·高三強基計劃）現有一圓桌，周邊有標號為1，2，3，4的四個座位，甲、乙、丙、丁四位同學坐在一起探討一個數學課題，每人只能坐一個座位，甲先選座位，且甲、乙不能相鄰，則所有選座方法有____種．（用數字作答）
例15．（2023·高二課時練習）如圖，某傘廠生產的太陽傘的傘篷是由太陽光的七種顏色組成，七種顏色分別涂在傘篷的八個區域內，且恰有一種顏色涂在相對區域內，則不同顏色圖案的此類太陽傘最多有_____________種．
例16．（2023·高二課時練習）有5對夫婦和，共12人參加一場婚宴，他們被安排在一張有12個座位的圓桌上就餐（旋轉之后算相同坐法）．
（1）若5對夫婦都相鄰而坐，，相鄰而坐，共有多少種坐法？
（2）5對夫婦都相鄰而坐，其中甲、乙二人的太太是閨蜜要相鄰而坐，，不相鄰，共有多少種坐法？
考點七、特殊元素法
例1：運輸公司從5名男司機，4名女司機中選派出3名男司機，2名女司機，到，，，，這五個不同地區執行任務，要求地只能派男司機，地只能派女司機，則不同的方案種數是（ ）
A．360 B．720 C．1080 D．2160
例2:某地區為發展，，，，五個村的經濟，引入了“林果、茶園、養殖、旅游、農業特色深加工”五個項目，不同的村安排不同的項目，且每個村只安排一個項目．由于條件限制，村無法實施“農業特色深加工”項目，村無法實施“養殖”項目，，，三個村可以實施任何項目，則符合條件的不同安排方式共有（ ）
A．60種 B．72種 C．78種 D．120種
例3：某校為深入開展勞動教育，通過學校的電子屏幕播放“我的校園我打掃”，大力宣傳勞動的價值意義，使學生樹立正確的勞動觀某日甲、乙、丙、丁四名同學值日打掃衛生，衛生區域劃分為，，，四塊，每個區域安排一個同學去打掃，其中甲不去打掃區域，乙不去打掃區域，則不同的安排方法的種數為（ ）
A． B． C． D．
例4：第屆世界大學生夏季運動會于月日至月日在成都舉辦，現在從男女共名青年志愿者中，選出男女共名志愿者，安排到編號為、、、、的個賽場，每個賽場只有一名志愿者，其中女志愿者甲不能安排在編號為、的賽場，編號為的賽場必須安排女志愿者，那么不同安排方案有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
考點八、特殊位置法
例1：有甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（ ）
A．12種 B．24種 C．36種 D．48種
例2：某餐廳并排有7個座位，甲、乙、丙三位顧客就餐，每人必須選擇且只能選擇一個座位，要求兩端座位不能坐人，并且連續空座至多有2個，則不同的坐法有（ ）
A．24種 B．36種 C．48種 D．56種
例3：包括甲、乙、丙3人的7名同學站成一排拍紀念照，其中丙站中間，甲不站在乙的左邊，且不與乙相鄰，則不同的站法有（ ）
A．240種 B．252種 C．264種 D．288種
例4：某單位安排7位員工在春節期間大年初一到初七值班，每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰的兩天，丙不排在初一，丁不排在初七，則不同的安排方案共有（ ）
A．504種 B．960種 C．1008種 D．1108種
例5:2010年廣州亞運會結束了，某運動隊的7名隊員合影留念，計劃站成一橫排，但甲不站最左端，乙不站最右端，丙不站正中間.則理論上他們的排法有( )
A．3864種 B．3216種 C．3144種 D．2952種
例6：因演出需要，身高互不相等的9名演員要排成一排成一個“波浪形”，即演員們的身高從最左邊數起：第一個到第三個依次遞增，第三個到第七個依次遞減，第七、八、九個依次遞增，則不同的排列方式有（ ）種．
A．379 B．360 C．243 D．217
考點九、間接法
例1：2022年在貴州省黔東南州臺盤鄉舉辦的貴州省“美麗鄉村”籃球聯賽，經由短視頻火爆全網，被稱為“村BA”，中國駐美大使及外交部發言人在海外媒體發文推薦．某高三班主任從網上找到6個與此相關的短視頻，，，，，，準備從這6個短視頻中再選出3個向學生推薦，則，，至少選1個的方法種數為（ ）
A．8 B．18 C．19 D．24
例2：甲乙等五名學生參加數學、物理、化學、生物這四門學科競賽，已知每人恰參加一門學科競賽，每門學科競賽都有人參加，且甲乙兩人不參加同一學科競賽，則一共有（ ）種不同的參加方法
A．72 B．144 C．216 D．240
例3：四面體的頂點和各棱的中點共10個點．在這10點中取4個不共面的點，則不同的取法種數為（ ）
A．141 B．144 C．150 D．155
例4：某校組織一次認識大自然的活動，有10名同學參加，其中有6名男生 4名女生，現要從這10名同學中隨機抽取3名同學去采集自然標本.抽取人中既有男生又有女生的抽取方法共（ ）
A．192種 B．120種 C．96種 D．24種
例5：現有16張不同的卡片，其中紅色，黃色，藍色，綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一顏色，且綠色卡片至多1張，則不同的取法種數為（ ）
A．484 B．472
C．252 D．232
例6：中國空間站（ChinaSpaceStation）的主體結構包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙.年月日分，我國將“夢天實驗艙”成功送上太空，完成了最后一個關鍵部分的發射，“夢天實驗艙”也和“天和核心艙”按照計劃成功對接，成為“”字形架構，我國成功將中國空間站建設完畢.年，中國空間站將正式進入運營階段.假設空間站要安排甲、乙等名航天員都去開展實驗，三艙中每個艙至少一人，且甲、乙兩人不同艙，則不同的安排方法有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．以上都不對
考點十、定序倍縮法
例1：將甲、乙、丙等六位同學排成一排，且甲、乙在丙的兩側，則不同的排法種數共有( )
A． B． C． D．
例2：由數字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數字的六位數，其中百位、十位、個位數字總是從小到大排列的共有（ ）
A．120個 B．100個 C．300個 D．600個
例3：在一次學校組織的研究性學習成果報告會上，有共6項成果要匯報，如果B成果不能最先匯報，而A C D按先后順序匯報（不一定相鄰），那么不同的匯報安排種數為（ ）
A．100 B．120 C．300 D．600
例4：某學校組織6×100接力跑比賽，某班級決定派出A，B，C，D，E，F等6位同學參加比賽．在安排這6人的比賽順序時要保證A要在B之前，D和F的順序不能相鄰，則符合要求的安排共有（ ）
A．240種 B．180種 C．120種 D．150種
例5：現有5名學生：甲、乙、丙、丁、戊排成一隊照相，要求甲與乙相鄰，且甲、乙、丁的左右順序固定，站法種數為（ ）
A．36 B．24 C．20 D．12
例6：《紅樓夢》四十一回中，鳳姐為劉姥姥準備了一道名為“茄鲞”的佳肴，這道菜用到了雞湯、雞脯肉、香菌、新筍、豆腐干、果干、茄子凈肉七種原料，烹飪時要求香菌、新筍、豆腐干一起下鍋，茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，雞湯最后下鍋，則烹飪“茄鲞”時不同的下鍋順序共有（ ）
A．6種 B．12種 C．36種 D．72種
例7：小武是1993年12月18日出生的，他設置家里的電子門鎖的時候打算用他的出生年、月、日中的8個數字進行排列得到一個8位數的密碼，那么小武同學可以設置的不同密碼的個數為（ ）
A．2760 B．3180 C．3200 D．3360
考點十一、平均分組
【方法技巧與總結】
分組問題（分成幾堆，無序）有等分、不等分、部分等分之別.一般地，平均分成堆（組）必須除以；如果有堆（組）元素個數相同，必須除以.
【典型例題】
例1．（2023·全國·高三專題練習）有6本不同的書，按下列方式進行分配，其中分配種數正確的是（ ）
A．分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有15種分法；
B．分給甲、乙、丙三人中，一人4本，另兩人各1本，有180種分法；
C．分給甲乙每人各2本，分給丙丁每人各1本，共有90種分法；
D．分給甲乙丙丁四人，有兩人各2本，另兩人各1本，有1080種分法；
例2．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗縣第一中學校考開學考試）將6名實習教師分配到3所學校進行培調，每名實習教師只能分配到1個學校，每個學校至少分配1名實習教師，則不同的分配方案共有（ ）
A．240種 B．360種 C．450種 D．540種
例3．（2023春·湖南長沙·高二長沙一中校考開學考試）某社區為了做好疫情防控工作，安排6名志愿者進行核酸檢測，需要完成隊伍組織 信息錄人 采集核酸三項任務，每項任務至少安排一人但至多三人，則不同的安排方法有（ ）
A．450種 B．72種 C．90種 D．360種
例4．（2023·陜西銅川·校考一模）將4名新招聘的工人分配到A，B兩個生產車間，每個車間至少安排1名工人，則不同安排方案有（ ）
A．36種 B．14種 C．22種 D．8種
例5．（2023秋·山西長治·高二長治市上黨區第一中學校校考期末）某班開展閱讀比賽，老師選擇了5本不同的課外書，要求每位同學在3天內閱讀完這5本課外書，每天至少選一本閱讀，選擇的課外書當天需閱讀完，則不同的選擇方式有（ ）
A．540種 B．300種 C．210種 D．150種
例6．（2023秋·山東濰坊·高二統考期末）某大學派遣甲、乙、丙、丁、戊、己六位同學參加A，B，C三個企業的調研工作，每個企業去2人，且甲去B企業，乙不去C企業，則不同的派遣方案共有（ ）
A．42種 B．30種 C．24種 D．18種
例7．（2023春·江蘇南京·高三南京市寧海中學校考階段練習）將5名學生志愿者分配到成語大賽、詩詞大會、青春歌會、愛心義賣4個項目參加志愿活動，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（ ）
A．60種 B．120種 C．240種 D．480種
例8．（2023·重慶·統考一模）2022年8月某市組織應急處置山火救援行動，現從組織好的5支志愿團隊中任選1支救援物資接收點服務，另外4支志愿團隊分配給“傳送物資、砍隔離帶、收撿垃圾”三個不同項目，每支志愿團隊只能分配到1個項目，且每個項目至少分配1個志愿團隊，則不同的分配方案種數為（ ）
A．36 B．81 C．120 D．180
例9．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中學校考期末）若六位老師前去某三位學生家中輔導，每一位學生至少有一位老師輔導，每一位老師都要前去輔導且僅能輔導一位同學，由于就近考慮，甲老師不去輔導同學1，則有（ ）種安排方法
A．335 B．100 C．360 D．340
例10．（2023春·湖南株洲·高三株洲二中校考階段練習）將5名女老師和5名男老師分配到三個社區，每名老師只去一個社區，若每個社區都必須要有女老師，且有男老師的社區至少有2名女老師，則不同的分配方法有（ ）
A．1880種 B．2940種 C．3740種 D．5640種
例11．（2023春·江蘇南京·高二校考開學考試）有5人參加某會議，現將參會人安排到酒店住宿，要在a、b、c三家酒店選擇一家，且每家酒店至少有一個參會人入住，則這樣的安排方法共有（ ）
A．96種 B．124種 C．150種 D．130種
例12．（2023秋·河南焦作·高二溫縣第一高級中學校考期末）某市新冠疫情封閉管理期間，為了更好的保障社區居民的日常生活，選派名志愿者到甲、乙、丙三個社區進行服務，每人只能去一個地方，每地至少派一人，則不同的選派方案共有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
例13．（2023·全國·高三專題練習）佳木斯市第一中學校為了做好疫情防控工作，組織了6名教師組成志愿服務小組，分配到東門、西門、中門3個樓門進行志愿服務.由于中門學生出入量較大，要求中門志愿者人數不少于另兩個門志愿者人數，若每個樓門至少分配1個志愿服務小組，每個志愿服務小組只能在1個樓門進行服務，則不同的分配方法種數為（ ）
A．240 B．180 C．690 D．150
例14．（2023·高三課時練習）一支醫療小隊由3名醫生和6名護士組成，將他們全部分配到三家醫院，使每家醫院分到醫生1名和護士1至3名，其中護士甲和護士乙必須分到同一家醫院，則不同的分配方法有_________種.
例15．（2023·全國·高三專題練習）A、B、C、D四人去參加數學、物理、化學三科競賽，每個同學只能參加一科競賽，若A和不參加同一科，且這三科都有人參加，則不同的選擇種數是______.（用數字作答）.
例16．（2023·全國·高三專題練習）安徽省地形具有平原、臺地（崗地）、丘陵、山地等類型，其中丘陵地區占了很大比重，因此山地較多，著名的山也有很多．某校開設了研學旅行課程，該校有6個班級分別選擇黃山、九華山、天柱山中的一座山作為研學旅行的地點，每座山至少有一個班級選擇，則恰好有2個班級選擇黃山的方案有__________種．
例17．（2023·全國·高三專題練習）按下列要求分配6本不同的書,各有多少種不同的分配方式
（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;
（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;
（3）平均分成三份,每份2本;
（4）平均分配給甲、乙、丙三人,每人2本;
（5）分成三份,1份4本,另外兩份每份1本;
（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外兩人每人得1本;
（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.
考點十二、部分平均分組
例1：將甲、乙等5名交警分配到三個不同路口疏導交通，每個路口至少一人，至多兩人，則甲乙不在同一路口的分配方案共有（ ）
A．81種 B．72種 C．63種 D．36種
例2：中國救援力量在國際自然災害中為拯救生命作出了重要貢獻，很好地展示了國際形象，增進了國際友誼．現有6支救援隊前往三個受災點執行救援任務，若每支救援隊只能去其中的一個受災點，且每個受災點至少安排1支救援隊，其中受災點至少需要2支救援隊，則不同的安排方法種數是（ ）
A．180 B．240 C．320 D．360
例3：教育扶貧是我國重點扶貧項目，為了縮小教育資源的差距，國家鼓勵教師去鄉村支教，某校選派了5名教師到A、B、C三個鄉村學校去支教，每個學校至少去1人，每名教師只能去一個學校，不同的選派方法數有（ ）種
A．25 B．60 C．90 D．150
例4：某高校大一新生中的6名同學打算參加學校組織的“雅荷文學社”、“青春風街舞社”、“羽乒協會”、“演講團”、“吉他協會”五個社團，若每名同學必須參加且只能參加1個社團且每個社團至多兩人參加，則這6個人中至多有1人參加“演講團”的不同參加方法數為
A．4680 B．4770 C．5040 D．5200
考點十三、不平均分組
例1：安排4名男生和3名女生去參加甲、乙兩個不同的社團活動，每個社團至少3人，且社團甲的男生數不少于社團乙的男生數，則不同的參加方法種數是（ ）
A．31 B．53 C．61 D．65
例2：第屆冬季奧林四克運動會（北京冬奧會）計劃于年月日開幕，共設個大項．現將甲、乙、丙名志愿者分配到個大項中參加志愿活動，每名志愿者只能參加個大項的志愿活動，則有且只有兩人被分到同一大項的情況有（ ）
種 B．種 C．種 D．種
例3：甲乙丙丁4位大學生前往，，3個工廠參觀實習，若每人只能去其中一個工廠，且每個工廠至少安排1人，其中甲只能去，兩個工廠中的一個，則不同的安排方法數是（ ）
A．36 B．12 C．24 D．18
考點十四、涂色問題
【方法技巧與總結】
涂色問題常用方法：
(1)根據分步計數原理，對各個區域分步涂色，這是處理區域染色問題的基本方法；
(2)根據共用了多少種顏色討論，分別計算出各種情形的種數，再用分類計數原理求出不同的涂色方法種數；
(3)根據某兩個不相鄰區域是否同色分類討論.從某兩個不相鄰區域同色與不同色入手，分別計算出兩種情形的種數，再用分類計數原理求出不同涂色方法總數.
種顏色圓周染色問題
如圖，把一個圓分成個扇形，每個扇形用種顏色之一染色，要求相鄰扇形不同色，有種方法.
正常著色定理
如圖，用（為正整數）種顏色給圖的個頂點著色，則正常著色的方法為：，.
【典型例題】
例1．（2023·全國·高三專題練習）如圖是某屆國際數學家大會的會標，現在有4種顏色給其中5個小區域涂色，規定每個區域只涂一種顏色，相鄰區域顏色不相同，則不同的涂色方案種數為（ ）
A．72 B．48 C．36 D．24
例2．（2023·全國·高三專題練習）如圖，湖北省分別與湖南、安徽、陜西、江西四省交界，且湘、皖、陜互不交界，在地圖上分別給各省地域涂色，要求相鄰省涂不同色，現有種不同顏色可供選用，則不同的涂色方案數為（ ）
A． B． C． D．
例3．（2023·全國·高三專題練習）給圖中A，B，C，D，E，F六個區域進行染色，每個區域只染一種顏色，且相鄰的區域不同色.若有4種顏色可供選擇，則共有（ ）種不同的染色方案.
A．96 B．144 C．240 D．360
例5．（2023·全國·高三專題練習）在一個正六邊形的六個區域涂色（如圖），要求同一區域同一種顏色，相鄰的兩塊區域（有公共邊）涂不同的顏色，現有種不同的顏色可供選擇，則不同涂色方案有（　　）
A．種 B．種 C．種 D．種
例6．（2023·全國·高三專題練習）用紅、黃、藍、綠、橙五種不同顏色給如圖所示的5塊區域、、、、涂色，要求同一區域用同一種顏色，有共公邊的區域使用不同顏色，則共有涂色方法（ ）
A．120種 B．720種 C．840種 D．960種
例7．（2023秋·重慶沙坪壩·高三重慶八中校考開學考試）用黑白兩種顏色隨機地染如圖所示表格中5個格子，每個格子染一種顏色，并且從左到右數，不管數到哪個格子，總有黑色格子不少于白色格子的染色方法種數為（ ）
A．6 B．10 C．16 D．20
例8．（2023·全國·高三專題練習）在如圖所示的5個區域內種植花卉，每個區域種植1種花卉，且相鄰區域種植的花卉不同，若有6種不同的花卉可供選擇，則不同的種植方法種數是（ ）
A．1440 B．720 C．1920 D．960
例9．（2023·全國·高三專題練習）如圖，用五種不同的顏色給圖中的O，A，B，C，D，E六個點涂色（五種顏色不一定用完），要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同的顏色，則不同的涂法種數是（ ）
A．480 B．720 C．1080 D．1200
例10．（2023·全國·高三專題練習）用五種不同顏色給三棱柱的六個頂點涂色，要求每個頂點涂一種顏色，且每條棱的兩個頂點涂不同顏色，則不同的涂法有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
例11．（2023·全國·高三專題練習）如圖，用四種不同的顏色給圖中的A，B，C，D，E，F，G七個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色，則不同的涂色方法有（ ）
A．192 B．336 C．600 D．以上答案均不對
例12．（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法種數是(　　)
A．420 B．210 C．70 D．35
例13．（2023·全國·高三專題練習）如圖，一個地區分為5個行政區域，現給地圖著色，要求相鄰區域不得使用同一種顏色，共有5種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有________種(以數字作答)．
例14．（2023·陜西寶雞·統考一模）七巧板是古代勞動人民智慧的結晶.如圖是某同學用木板制作的七巧板，它包括5個等腰直角三角形 一個正方形和一個平行四邊形.若用四種顏色給各板塊涂色，要求正方形板塊單獨一色，其余板塊兩塊一種顏色，而且有公共邊的板塊不同色，則不同的涂色方案有______種.
例15．（2023·全國·高三專題練習）用種不同的顏色給如圖所示的、、、四個區域涂色．
（1）若相鄰區域能用同一種顏色，則圖①有多少種不同的涂色方案？
（2）若相鄰區域不能用同一種顏色，當時，圖①、圖②各有多少種不同的涂色方案？
（3）若相鄰區域不能用同一種顏色，圖③有種不同的涂色方案，求的值．
考點十五 多面手問題
【方法技巧與總結】
解含有約束條件的排列組合問題，即多面手問題，可元素的性質進行分類，接事件發生的連續過程分步，做到標準明確．分步層次清楚，不重不漏，分類標準一旦確定，要貫穿于解題過程的始終．
【典型例題】
例1．（2023·全國·高三專題練習）我校去年11月份，高二年級有10人參加了赴日本交流訪問團，其中3人只會唱歌，2人只會跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．現要從中選6人上臺表演，3人唱歌，3人跳舞，有（ ）種不同的選法．
A． B． C． D．
例2．（2023·全國·高三專題練習）某國際旅行社現有11名對外翻譯人員，其中有5人只會英語，4人只會法語，2人既會英語又會法語，現從這11人中選出4人當英語翻譯，4人當法語翻譯，則共有（ ）種不同的選法
A．225 B．185 C．145 D．110
例3．（2023·全國·高三專題練習）“賽龍舟”是端午節的習俗之一，也是端午節最重要的節日民俗活動之一，在我國南方普遍存在端午節臨近，某單位龍舟隊欲參加今年端午節龍舟賽，參加訓練的8名隊員中有3人只會劃左槳，3人只會劃右槳，2人既會劃左槳又會劃右槳．現要選派劃左槳的3人、劃右槳的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（ ）
A．26種 B．30種 C．37種 D．42種
例4．（2023·全國·高三專題練習）某龍舟隊有9名隊員，其中3人只會劃左舷，4人只會劃右舷，2人既會劃左舷又會劃右舷．現要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（ ）
A．56種 B．68種
C．74種 D．92種
例5．（2023春·湖北十堰·高二統考期末）某龍舟隊有8名隊員，其中3人只會劃左槳，3人只會劃右槳，2人既會劃左槳又會劃右槳.現要選派劃左槳的3人、劃右槳的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（ ）
A．26種 B．30種 C．37種 D．42種
例6．（2023春·安徽六安·高二六安一中階段練習）在名工人中,有人只當鉗工, 人只當車工,另外人既會鉗工又會車工，現從人中選出人當鉗工, 人當車工,則共有（ ）種不同的選法.
A． B． C． D．
例7．（2023春·寧夏·高二寧夏長慶高級中學校考期中）某公園有P，Q，R三只小船，P船最多可乘3人，Q船最多可乘2人，R船只能乘1人，現有3個大人和2個小孩打算同時分乘若干只小船，規定有小孩的船必須有大人，共有不同的乘船方法為
A．36種 B．33種 C．27種 D．21種
例8．（2023秋·河南南陽·高二校考階段練習）我校去年11月份，高二年級有9人參加了赴日本交流訪問團，其中3人只會唱歌，2人只會跳舞，其余4人既能唱歌又能跳舞．現要從中選6人上臺表演，3人唱歌，3人跳舞，有______種不同的選法
例9．（2023春·上海長寧·高二上海市延安中學校考期末）“賽龍舟”是端午節的習俗之一，也是端午節最重要的節日民俗活動之一，某單位龍舟隊欲參加端午節龍舟賽，參加訓練的8名隊員中有3人只會劃左槳，3人只會劃右槳，2人既會劃左槳又會劃右槳.現要選派3人劃左槳、3人劃右槳共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有__________種.
例10．（2023春·四川廣安·高二四川省武勝烈面中學校校考期中）6名工人，其中2人只會電工，3人只會木工，還有1人既會電工又會木工，選出電工2人木工2人，共有______種不同的選法．
例11．（2023春·上海浦東新·高二上海市進才中學校考期中）在一次演唱會上共名演員，其中人能唱歌，人會跳舞，現要演出一個人唱歌人伴舞的節目，有___________種選派方法（填數字）.
例12．（2023春·上海閔行·高二閔行中學校考期中）在一次演唱會上共10 名演員（每名演員都會唱歌或跳舞），其中7人能唱歌，6人會跳舞.
（1）問既能唱歌又會跳舞的有幾人？
（2）現要選出一個2人唱歌2人伴舞的節目，有多少種選派方法？
考點十六分解與合成模型和最短路徑問題
【方法技巧與總結】
分解與合成策略是復雜的排列組合問題最基本的解題策略之一，把一個復雜問題分解成幾個小問題逐一解決，然后依據問題分解后的結構，用分類計數原理和分步計數原理將問題合成，從而得到問題的答案．
【典型例題】
例1．（2023·全國·高三專題練習）有一種走“方格迷宮”游戲，游戲規則是每次水平或豎直走動一個方格，走過的方格不能重復，只要有一個方格不同即為不同走法．現有如圖的方格迷宮，圖中的實線不能穿過，則從入口走到出口共有多少種不同走法？
A．6 B．8 C．10 D．12
例2．（2023·全國·高三專題練習）夏老師從家到學校，可以選擇走錦繡路、楊高路、張楊路或者浦東大道，由于夏老師不知道楊高路有一段在修路導致第一天上班就遲到了，所以夏老師決定以后要繞開那段維修的路，如圖，假設夏老師家在處，學校在處，段正在修路要繞開，則夏老師從家到學校的最短路徑有（ ）條．
A．23 B．24 C．25 D．26
例3．（2023秋·廣東惠州·高三校考期末）如圖，某城市的街區由12個全等的矩形組成（實線表示馬路），CD段馬路由于正在維修，暫時不通，則從A到B的最短路徑有（ ）
A．23 條 B．24 條 C．25條 D．26 條
例4．（2023·全國·高三專題練習）方形是中國古代城市建筑最基本的形態，它體現的是中國文化中以綱常倫理為代表的社會生活規則，中國古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各種方形建筑.如圖，用大小相同的竹棍構造一個大正方體（由個大小相同的小正方體構成），若一只螞蟻從點出發，沿著竹棍到達點，則螞蟻選擇的不同的最短路徑共有（ ）
A．種 B．種
C．種 D．種
例5．（2023春·江蘇揚州·高二統考期中）蜂房絕大部分是一個正六棱柱的側面，但它的底部卻是由三個菱形構成的三面角. 18世紀初，法國學者馬拉爾奇曾經專門測量過大量蜂巢的尺寸. 令人驚訝的是，這些蜂巢組成底盤的菱形的所有鈍角都是，所有的銳角都是. 后來經過法國數學家克尼格和蘇格蘭數學家馬克洛林從理論上的計算，如果要消耗最少的材料，制成最大的菱形容器正是這個角度. 從這個意義上說，蜜蜂稱得上是“天才的數學家兼設計師”. 如圖所示是一個蜂巢和部分蜂巢截面. 圖中豎直線段和斜線都表示通道，并且在交點處相遇．現在有一只蜜蜂從入口向下（只能向下，不能向上）運動，蜜蜂在每個交點處向左到達下一層或者向右到達下一層的可能性是相同的．蜜蜂到達第層（有條豎直線段）第通道（從左向右計）的不同路徑數為. 例如：，. 則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
例6．（2023春·江蘇揚州·高二統考期中）如圖，在某城市中， 兩地之間有整齊的方格形道路網，其中、、、、是道路網中的個指定交匯處. 今在道路網 處的甲 乙兩人分別要到 處，他們分別隨機地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時出發直到到達 處為止. 則下列說法正確的是（ ）
A．甲從到達處的方法有種
B．甲從必須經過到達處的方法有種
C．甲、乙兩人在處相遇的概率為
D．甲、乙兩人在道路網中個指定交匯處相遇的概率為
例7．（2023·高二課時練習）一植物園的參觀路徑如圖所示，若要全部參觀并且路線不重復，則不同的參觀路線共有（ ）
A．6種 B．8種
C．36種 D．48種
例10．（2023春·廣東惠州·高二校考期中）下圖是某項工程的網絡圖(單位:天)，則從開始節點①到終止節點⑧的路徑共有（ ）
A．14條 B．12條 C．9條 D．7條
例11．（多選題）（2023·全國·高三專題練習）如圖，在某城市中，M，N兩地之間有整齊的方格形道路網，其中是道路網中位于一條對角線上的5個交匯處，今在道路網M，N處的甲、乙兩人分別要到N，M處，他們分別隨機地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時出發，直到到達N，M處為止，則（ ）
A．甲從M到達N處的走法有70種
B．甲從M必須經過到達N處的走法有12種
C．若甲、乙兩人途中在處相遇，則共有144種走法
D．若甲、乙兩人在行走途中會相遇，則共有1810種走法
例12．（2023·高二課時練習）某城市由條東西方向的街道和條南北方向的街道組成一個矩形街道網，要從處走到處，使所走的路程最短，有多少種不同的走法？
考點十七 構造法模型、遞推模型與化歸策略
【方法技巧與總結】
化歸策略：處理復雜的排列組合問題時，可以把一個問題轉化成一個簡單的問題，通過解決這個簡單的問題，從而找到解題方法，進一步解決原來的問題．
一些不易理解的排列組合題，如果能轉化為非常熟悉的模型，如占位填空模型、排隊模型、裝盒模型等，可使問題迎刃而解．
【典型例題】
例1．（2023·重慶·校聯考一模）將方格紙中每個小方格染三種顏色之一，使得每種顏色的小方格的個數相等．若相鄰兩個小方格的顏色不同，稱他們的公共邊為“分割邊”，則分割邊條數的最小值為（ ）
A．33 B．56 C．64 D．78
例2．（2023春·北京海淀·高二北大附中校考期末）幾個孩子在一棵枯樹上玩耍，他們均不慎失足下落．已知
（）甲在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，；
（）乙在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，；
（）丙在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，；
（）丁在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，；
（）戊在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，．
倒霉的李華在下落的過程中撞到了從到的所有樹枝，根據以上信息，在李華下落的過程中，和這根樹枝不同的撞擊次序有（ ）種．
A． B． C． D．
例3．（2023·全國·高三專題練習）幾只猴子在一棵枯樹上玩耍，假設它們均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的過程中依次撞擊到樹枝A，B，C；（2）乙在下落的過程中依次撞擊到樹枝D，E，F；（3）丙在下落的過程中依次撞擊到樹枝G，A，C；（4）丁在下落的過程中依次撞擊到樹枝B，D，H；（5）戊在下落的過程中依次撞擊到樹枝I，C，E,則這九棵樹枝從高到低不同的順序共有（ ）
A．23 B．24 C．32 D．33
例4．（2023秋·天津河東·高二統考期末）九連環是一種流傳于我國民間的傳統智力玩具.它用九個圓環相連成串，以解開為勝.它在中國有近兩千年的歷史，《紅樓夢》中有林黛玉巧解九連環的記載.周邦彥也留下關于九連環的名句“縱妙手、能解連環.”九連環有多種玩法，在某種玩法中:已知解下1個圓環最少需要移動圓環1次，解下2個圓環最少需要移動圓環 2 次，記 為解下個圓環需要移動圓環的最少次數，且，則解下 8 個圓環所需要移動圓環的最 少次數為（ ）
A．30 B．90 C．170 D．341
例5．（2023秋·福建福州·高三統考期中）三名籃球運動員甲、乙、丙進行傳球訓練，由丙開始傳，經過次傳遞后，球又被傳回給丙，則不同的傳球方式共有（ ）
A．4種 B．10種
C．12種 D．22種
例6．（2023春·全國·高三專題練習）跳格游戲：如圖，人從格子外只能進入第1個格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人從格子外跳到第8個格子的方法種數為
A．8種 B．13種 C．21種 D．34種
例7．（2023春·江蘇揚州·高二統考期中）蜂房絕大部分是一個正六棱柱的側面，但它的底部卻是由三個菱形構成的三面角. 18世紀初，法國學者馬拉爾奇曾經專門測量過大量蜂巢的尺寸. 令人驚訝的是，這些蜂巢組成底盤的菱形的所有鈍角都是，所有的銳角都是. 后來經過法國數學家克尼格和蘇格蘭數學家馬克洛林從理論上的計算，如果要消耗最少的材料，制成最大的菱形容器正是這個角度. 從這個意義上說，蜜蜂稱得上是“天才的數學家兼設計師”. 如圖所示是一個蜂巢和部分蜂巢截面. 圖中豎直線段和斜線都表示通道，并且在交點處相遇．現在有一只蜜蜂從入口向下（只能向下，不能向上）運動，蜜蜂在每個交點處向左到達下一層或者向右到達下一層的可能性是相同的．蜜蜂到達第層（有條豎直線段）第通道（從左向右計）的不同路徑數為. 例如：，. 則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
例8．（多選題）（2023春·河北滄州·高二滄縣中學校考階段練習）跳格游戲：如圖，人從格子外只能進入第1個格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么下面說法正確的是（ ）
A．進入第二個格子走法有2種
B．進入第二個格子走法有1種
C．進入第三個格子走法有2種
D．進入第八個格子走法有21種
例9．（2023春·福建泉州·高二福建省永春第一中學校考階段練習）馬路上有編號為1，2，3，4，5，6，7，8，9的九盞路燈，現要關掉其中的3盞，但不能關掉相鄰的2盞，也不能關掉兩端的2盞，滿足條件的關燈方法有______種.
例10．（2023·浙江·高三競賽）馬路上有編號為1，2，，2011的2011只路燈.為節約用電，要求關閉其中的300只燈，但不能同時關閉相鄰兩只，也不能關閉兩端的路燈.則滿足條件的關燈方法共有______.（用組合數符合表示）.
例11．（2023·浙江·模擬預測）從1，2，3，…，15中選取三個不同的數組成三元數組，且滿足，，則這樣的數組共有______個.（用數字作答）
例12．（2023春·上海長寧·高三上海市延安中學校考開學考試）從集合中選出4個數組成的子集，使得這4個數中的任何兩個數的和不等于11，則這樣的子集個數是________.
例13．（2023秋·吉林四平·高三四平市第一高級中學校考階段練習）16名社區志愿者組成4行4列的方陣，現從中選出2人，要求他們既不在同一行又不在同一列，則不同的選法種數為______________.
例14．（2023春·上海楊浦·高二復旦附中校考期中）個人排成一個n行，n列的方陣，現要從中選出n個代表，要使得每一行，每一列都有代表，則有___________種不同的選法.
例15．（2023·全國·高三專題練習）某活動中，有42人排成6行7列，現從中選出3人進行禮儀表演，要求這3人中的任意2人不同行也不同列，則不同的選法種數為_____（用數字作答）．
例16．（2023·全國·高三專題練習）一只螞蟻從一個正四面體的頂點出發，每次從一個頂點爬行到另一個頂點，則螞蟻爬行五次還在點的爬行方法種數是__________．
例17．（2023·全國·高三競賽）將圓周等分于點，在以其中每三點為頂點的三角形中，含有圓心的三角形個數為__________．
例18．（2023春·江蘇常州·高二常州市第一中學校考階段練習）如圖所示是豎直平面內的一個“通道游戲”，圖中豎直線段和斜線都表示通道，并且在交點處相遇．若有一條豎直線段的為第一層，第二條豎直線段的為第二層，以此類推，現有一顆小球從第一層的通道向下運動，在通道的交叉處，小球可以落入左右兩個通道中的任意一個，記小球落入第層的第個豎直通道（從左向右計）的不同路徑數為．
（1）求，，的值；
（2）猜想的表達式（不必證明），并求不等式的解集．
考點十八 定序問題先選后排策略與重排問題求冪策略
【方法技巧與總結】
定序問題可以用倍縮法，還可以轉化為占位插空模型處理．
允許重復的排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個元素的位置．一般地，個不同的元素沒有限制地安排在個位置上的排列方法有種．
【典型例題】
例1．（2023·全國·高三專題練習）滿足，且的有序數組共有（ ）個.
A． B． C． D．
例2．（2023·高二課時練習）已知，則滿足的有序數組共有（ ）個
A． B． C． D．
例3．（2023·全國·高三專題練習）DNA是形成所有生物體中染色體的一種雙股螺旋線分子，由稱為堿基的化學成分組成它看上去就像是兩條長長的平行螺旋狀鏈，兩條鏈上的堿基之間由氫鍵相結合．在DNA中只有4種類型的堿基，分別用A、C、G和T表示，DNA中的堿基能夠以任意順序出現兩條鏈之間能形成氫鍵的堿基或者是A-T，或者是C-G，不會出現其他的聯系因此，如果我們知道了兩條鏈中一條鏈上堿基的順序，那么我們也就知道了另一條鏈上堿基的順序．如圖所示為一條DNA單鏈模型示意圖，現在某同學想在堿基T和堿基C之間插入3個堿基A，2個堿基C和1個堿基T，則不同的插入方式的種數為（ ）
A．20 B．40 C．60 D．120
例4．（2023春·甘肅張掖·高二甘肅省民樂縣第一中學校考期中）習近平總書記在全國教育大會上發表重要講話，稱教育是國之大計，黨之大計．瑞金二中落實講話內容，組織研究性學習．在研究性學習成果報告會上，有A、B、C、D、E、F、G共7項成果要匯報，如果B成果不能最先匯報，而A、C、D按先后順序匯報(不一定相鄰)，那么不同的匯報安排種數為( )．
A．840 B．800 C．720 D．680
例5．（2023春·黑龍江哈爾濱·高二尚志市尚志中學校考期中）習近平總書記在全國教育大會上發表重要講話，稱教育是國之大計，黨之大計．哈九中落實講話內容，組織研究性學習．在研究性學習成果報告會上，有A、B、C、D、E、F共6項成果要匯報，如果B成果不能最先匯報，而A、C、D按先后順序匯報（不一定相鄰），那么不同的匯報安排種數為（ ）
A．100 B．120 C．300 D．600
例6．（2023春·江西宜春·高二上高二中校考階段練習）在一次學校組織的研究性學習成果報告會上，有共6項成果要匯報，如果B成果不能最先匯報，而A C D按先后順序匯報（不一定相鄰），那么不同的匯報安排種數為（ ）
A．100 B．120 C．300 D．600
例7．（2023·全國·高三專題練習）花燈，又名“彩燈”“燈籠”，是中國傳統農業時代的文化產物，兼具生活功能與藝術特色.如圖，現有懸掛著的8盞不同的花燈需要取下，每次取1盞，則不同取法總數為 （ ）
A．2520 B．5040 C．7560 D．10080
例8．（2023秋·遼寧鐵嶺·高二昌圖縣第一高級中學校考階段練習）元宵節燈展后，懸掛有8盞不同的花燈需要取下，如圖所示，每次取1盞，則不同的取法共有（ ）．
A．32種 B．70種 C．90種 D．280種
例9．（2023春·河南鶴壁·高三鶴壁高中校考階段練習）講桌上放有兩摞書，每摞本，現要把本不同的書發給位學生，每位一本書，每次發書只能從其中一摞取最上面的一本書，則有不同取法的種數是______.（用數字作答）
例10．（2023·全國·高三專題練習）某公司在元宵節組織了一次猜燈謎活動，主持人事先將10條不同燈謎分別裝在了如圖所示的10個燈籠中，猜燈謎的職員每次只能任選每列最下面的一個燈籠中的謎語來猜（無論猜中與否，選中的燈籠就拿掉），則這10條燈謎依次被選中的所有不同順序方法數為____________.（用數字作答）
例11．（2023秋·江西·高二校聯考階段練習）現有學號分別為號、號、號、、號的位同學依次站成一排，老師請他們從號同學開始依次從如圖所示的裝有標號為至號球的三個圓柱形容器中隨意選擇一個有球的容器并取出最上面的一個球，再根據自己手中所拿球的號碼，按照球號從小到大的順序從左到右重新站成一排，則所有可能的不同站法有____________種（用數字作答）．
考點十九 數字問題
【方法總結】
某個或某幾個元素要或不要排在指定位置，可先排這個或這幾個元素，再排其他的元素（元素代先法）；也可針對特殊元素，先把指定位置安排好元素，再排其他的元素（位置化先法）．
【典型例題】
例1．（2023·全國·高三專題練習）用0，1，2，3，4可以組成沒有重復數字的四位偶數的個數為（ ）
A．36 B．48 C．60 D．72
例2．（2023·全國·高二專題練習）用數字、、組成五位數，且數字、、至少都出現一次，這樣的五位數共有（ ）個
A． B． C． D．
例3．（2023·全國·高二專題練習）羅馬數字是歐洲在阿拉伯數字傳入之前使用的一種數碼，它的產生標志著一種古代文明的進步.羅馬數字的表示法如下：
數字 1 2 3 4 5 6 7 8 9
形式 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ
其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”與“X”需要2根火柴，若為0，則用空位表示. （如123表示為，405表示為）如果把6根火柴以適當的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的不同的三位數的個數為（ ）
A．87 B．95 C．100 D．103
例4．（2023·全國·高二專題練習）我國古代數學名著《續古摘奇算法》（楊輝）一書中有關于三階幻方的問題：將1，2，3，4，5，6，7，8，9分別填入的方格中，使得每一行，每一列及對角線上的三個數的和都相等（如圖所示），我們規定：只要兩個幻方的對應位置（如每行第一列的方格）中的數字不全相同，就稱為不同的幻方，那么所有不同的三階幻方的個數是（ ）
A．9 B．8 C．6 D．4
例5．（2023·全國·高二專題練習）用數字、、、、、組成沒有重復數字的四位數，則下列說法正確的是（ ）
A．可組成個不重復的四位數
B．可組成個不重復的四位偶數
C．可組成個能被整除的不重復四位數
D．若將組成的不重復的四位數按從小到大的順序排成一個數列，則第個數字為
例6．（2023秋·北京·高二北京八中校考期末）用三個數字組成一個四位數，要求每個數字至少出現一次，共可組成個不同的四位數__________（用數字作答）.
例7．（2023·全國·高三專題練習）用數字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數字的四位數，其中個位 十位和百位上的數字之和為偶數的四位數共有___________.個（用數字作答）.
例8．（2023·全國·高三專題練習）用數字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復數字，且至多有一個數字是奇數的四位數，這樣的四位數一共有___________個．（用數字作答）
例9．（2023·全國·高三專題練習）用數字組成沒有重復數字的五位數，其中奇數的個數為____ ．
例11．（2023·高二課時練習）用0、1、2，3、4、5組成無重復數字的四位數，求分別滿足下列條件的四位數的個數．
(1)能被25整除的數；
(2)十位數字比個位數字大的數．
例12．（2023·高二課時練習）從1，3，5，7，9中任取2個數字，從0，2，4，6中任取2個數字，一共可以組成多少個沒有重復數字的四位數？
例13．（2023·高二課時練習）（1）用0、1、2、3、4、5這六個數字，可以組成多少個無重復數字的三位數？
（2）用0、1、2、3、4、5這六個數字，可以組成多少個三位數？
（3）用0、1、2、3、4、5這六個數字，可以組成多少個數字允許重復的三位數？
（4）用0、1、2、3、4、5這六個數字，可以組成多少個無重復數字的三位奇數？
（5）用1、1、1、2、3、4這六個數字各一次，可以組成多少個六位數？
例14．（2023·全國·高二專題練習）由1，2，3，4，5，6，7，8，9可以組成多少個無重復數字的三位偶數與三位奇數？排列組合題型方法全歸納
目錄
知識點一：排列、組合的定義 1
知識點二：排列數、組合數的定義、公式、性質 1
知識點三：求解排列應用問題方法匯總 2
考點一 捆綁法模型 3
考點二 插空法模型 7
考點三 隔板法模型 11
考點四 排隊問題 （含多排問題） 16
拓展：多排問題 19
考點五 錯位排列 21
考點六 環排問題 27
考點七、特殊元素法 31
考點八、特殊位置法 32
考點九、間接法 34
考點十、定序倍縮法 36
考點十一、平均分組 37
考點十二、部分平均分組 43
考點十三、不平均分組 44
考點十四、涂色問題 45
考點十五 多面手問題 53
考點十六分解與合成模型和最短路徑問題 56
考點十七 構造法模型、遞推模型與化歸策略 62
考點十八 定序問題先選后排策略與重排問題求冪策略 68
考點十九 數字問題 71
知識點一：排列、組合的定義
排列的定義 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素 按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列
組合的定義 合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合
知識點二：排列數、組合數的定義、公式、性質
排列數 組合數
定義 從n個不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)個元素的所有不同排列的個數 從n個不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)個元素的所有不同組合的個數
公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝＝
性質 A＝n！，0！＝1 C＝1，C＝C，C＋C＝C
知識點三：求解排列應用問題方法匯總
直接法 把符合條件的排列數直接列式計算
優先法 優先安排特殊元素或特殊位置
捆綁法 把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內部排列
插空法 對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中
定序問題除法處理 對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 對于某些順序一定的元素(m個)的排列問題，可先把這些元素與其他元素一起(共n個)進行排列，然后用總排列數A除以m個順序一定的元素之間的全排列數A，即得到不同排法種＝A.
間接法 正難則反、等價轉化的方法
分組分配 平均分組、部分平均分組 1．對不同元素的分配問題 (1)對于整體均分，解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以A(n為均分的組數)，避免重復計數． (2)對于部分均分，解題時注意重復的次數是均勻分組的階乘數，即若有m組元素個數相等，則分組時應除以m！，分組過程中有幾個這樣的均勻分組，就要除以幾個這樣的全排列數． (3)對于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時任何組中元素的個數都不相等，所以不需要除以全排列數．
隔板法 將個相同元素放入個不同的盒內，且每盒不空，則不同的方法共有種。解決此類問題常用的方法是“隔板法”，因為元素相同，所以只需考慮每個盒子里所含元素個數，則可將這個元素排成一列，共有個空，使用個“擋板”進入空檔處，則可將這個元素劃分為個區域，剛好對應那個盒子
環排問題 (1) 把 個不同的元素圍成一個環狀，排法總數為 (2) 個不同的元素圍成一圈， 個元素相鄰，符合條件的排列數為 (3) 個不同的元素圍成一圈， 個元素不相鄰 ，符合條件的排列數為
涂色問題 涂色的規則是“相鄰區域涂不同的顏色”，在處理涂色問題時，可按照選擇顏色的總數進行分類討論，每減少一種顏色的使用，便意味著多出一對不相鄰的區域涂相同的顏色（還要注意兩兩不相鄰的情況），先列舉出所有不相鄰區域搭配的可能，再進行涂色即可。
考點一 捆綁法模型
【方法技巧與總結】
捆綁法：解決“相鄰”問題用“捆綁法”，就是將n個不同的元素排成一排，其中k個元素排在相鄰位置上，求不同的排法種數的步驟：①先將這k個元素“捆綁”在一起，看成一個整體；②把這個整體當作一個元素與其他元素一起排列，其排列方法有種排法；③然后“松綁”，即將“捆綁”在一起的元素內部進行排列，其排列方法有種；④根據分步乘法計數原理，符合條件的排法有種．
【典型例題】
例1．（2023秋·廣東揭陽·高三統考期末）已知甲、乙兩個家庭排成一列測核酸，甲家庭是一對夫妻帶1個小孩，乙家庭是一對夫妻帶2個小孩.現要求2位父親位于隊伍的兩端，3個小孩要排在一起，則不同的排隊方式的種數為（ ）
A．288 B．144 C．72 D．36
【答案】C【解析】方法1：2位父親的排隊方式種數為，2位母親的排隊方式種數為，3個小孩的排隊方式種數為，將3個小孩當成一個整體，放進父母的中間共有種排隊方式，所以不同的排隊方式種數為.方法2：2位父親的排隊方式種數為，將3個小孩當成一個整體與2位母親的排隊方式種數為，3個小孩的排隊方式種數為，所以不同的排隊方式種數為.
例2．（2023春·廣東·高三統考開學考試）某學校為了豐富同學們的寒假生活，寒假期間給同學們安排了6場線上講座，其中講座只能安排在第一或最后一場，講座和必須相鄰，問不同的安排方法共有（ ）
A．34種 B．56種 C．96種 D．144種
【答案】C【解析】由題意知講座只能安排在第一或最后一場，有種結果，
講座和必須相鄰，共有種結果，根據分步計數原理知共有種結果.
例3．（2023秋·重慶·高三統考學業考試）某球隊6名隊員站成一排拍照留念，要求隊員A和B不相鄰且均與隊員C相鄰，則不同的排法共有（ ）
A．12種 B．24種 C．36種 D．48種
【答案】D【解析】因為隊員A和B不相鄰且均與隊員C相鄰，所以隊員C站在隊員A和B的中間，故將隊員看作個整體，其內部共有種排法，而這個整體與其他3名隊員進行排列，則有種排法，所以不同的排法共有種.
例4．（2023·全國·高三專題練習）現有6家商戶預租賃某夜市的6個相鄰的推位，其中3家商戶開特色小吃店，2家商戶開文創產品店，一家商戶開新奇玩具店，夜市管理部門要求特色小吃店必須都相鄰，且文創產品店不相鄰，則不同的排法總數為（ ）
A．48 B．72 C．144 D．96
【答案】B【解析】先把3家小吃店捆綁全排共有種排法，再把小吃店與玩具店全排共有種排法，
然后把2家文創店插空全排共有種排法，所以共有6×2×6＝72種
例5．（2023春·四川瀘州·高三四川省瀘縣第四中學校考開學考試）2022年2月4日北京冬奧會順利開幕.在開幕式當晚，周明約李亮一家一起觀看.周明一家四口相鄰而坐，李亮一家四口也相鄰而坐，已知他們兩家人的8個座位連在一起（在同一排且一人一座），且周明與李亮也相鄰而坐，則他們不同的坐法有（ ）
A．432種 B．72種 C．1152種 D．144種
【答案】B【解析】依題意周明與李亮坐中間兩個位置，則有種坐法，此時周明家其余人有種坐法，同理李亮家其余人有種坐法，所以他們不同的坐法有種.
例6．（2023·全國·高三專題練習）志愿服務是全員核酸檢測工作的重要基礎和保障，某核酸檢測站點需要連續六天有志愿者參加服務，每天只需要一名志愿者，現有甲、乙、丙、丁、戊、己名志愿者，計劃依次安排到該站點參加服務，要求甲不安排第一天，乙和丙在相鄰兩天參加服務，則不同的安排方案共有（ ）
A．種 B．種
C．種 D．種
【答案】D【解析】若乙和丙在相鄰兩天參加服務，不同的排法種數為，若乙和丙在相鄰兩天且甲安排在第一天參加服務，不同的排法種數為，由間接法可知，滿足條件的排法種數為種.
例7．（2023·全國·高三專題練習）3名男生，2名女生站成一排照相，則2名女生相鄰且都不站在最左端的不同的站法共有（ ）
A．72種 B．64種 C．48種 D．36種
【答案】D【解析】將2名女生捆綁在一起，故2名女生相鄰有種站法，又2名女生都不站在最左端，故有種站法，剩下3個位置，站3名男生有種站法，故不同的站法共有種.
例8．（2023·全國·高三專題練習）“學習強國”學習平臺設有“看黨史”“聽原著”等多個欄目．假設在這些欄目中，周一“看黨史”欄目更新了3篇文章，“聽原著”欄目更新了4個音頻．一位學習者準備從更新的這7項內容中隨機選取2篇文章和2個音頻進行學習，則這2篇文章學習順序相鄰的學法有（ ）
A．216種 B．108種 C．72種 D．54種
【答案】A【解析】第一步從3篇文章中選2篇全排列，共有種方法，第二步從4個音頻中選2個，共有種方法，第三步將2篇文章捆綁，再與已選取的2個音頻進行全排列，共種方法，故所求的總方法數為（種）.
例9．（2023春·山東煙臺·高三校考開學考試）我國古代將“禮、樂、射、御、書、數”合稱“六藝”．某校國學社團計劃開展“六藝”講座活動，要求活動當天每藝安排一節，連排節，且“數”必須排在第節，“射”和“御”相鄰，則不同的安排順序共有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】C【解析】分析可知“數”排在第節，且“射”和“御”相鄰時，有種排法，再將“禮”、“樂”、“書”安排在剩下的節，有種排法，所以不同的安排順序共有（種）．
例10．（2023·全國·高三專題練習）甲、乙、丙、丁、戊五位同學站成一排照相，其中要求甲和乙必須相鄰，且丙不能排最左端，則不同的排法共有
A．12種 B．24種
C．36種 D．48種
【答案】C解析】由題意，把甲乙看成一個元素，甲乙、丁，戊的排列共有種不同的排法，又由丙不能排最左端，利用“插空法”可得丙只有3種方式，由分步計數原理可得，不同的排法共有種，故選C．
例11．（2023·上海·高三專題練習）2014年3月8日，馬航航班客機從吉隆坡飛往北京途中失聯,隨后多國加入搜救行動，同時啟動水下黑匣子的搜尋，主要通過水機器人和娃人等手段搜尋黑匣子.現有個水下機器人，，和個蛙人，，各安排一次搜尋任務，搜尋時每次只能安排個水下機器人或個蛙人下水，其中不能安排在第一個下水， 和必須相鄰安排，則不同的搜尋方式有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】B【解析】和捆綁，相當于個，先排第一位，則方法數有種，
例12．（2023·甘肅·模擬預測）某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，則不同的安排方案共有
A．504種 B．960種 C．1008種 D．1108種
【答案】C【解析】若丙排月日，共有，若丁排月日，共有，若丙排日且丁排日共有，若不考慮丙，丁的條件限制，共有，∴共有(種）．
例13．（2023·全國·高三專題練習）中國書法一般分為篆書 隸書 行書 楷書和草書這5種字體，其中篆書分大篆和小篆，隸書分古隸和漢隸，草書分章草 今草和狂草，行書分行草和行楷，楷書分魏碑和唐楷.為了弘揚傳統文化，某書法協會采用楷書 隸書和草書3種字體書寫6個福字，其中隸書字體的福字分別用古隸和漢隸書寫，草書字體的福字分別用章草 今草和狂草書寫，楷書字體的福字用唐楷書寫.將這6個福字排成一排，要求相同類型字體的福字相鄰，則不同的排法種數為___________種.
【答案】72【解析】分別將隸書 草書 楷書當作整體，排法總數為，隸書內部順序，草書內部順序，
故方法總數為種.
例14．（2023秋·陜西咸陽·高三武功縣普集高級中學校考階段練習）當前新冠肺炎疫情形勢依然嚴峻，防控新冠肺炎疫情需常態化，某校從含甲、乙、丙在內的名行政人員中選取人負責每周周一至周六的疫情防控工作（周日學校放假），每人各負責天，其中甲、乙、丙人必被選中．若甲與乙需安排在相鄰的兩天，乙與丙不安排在相鄰的兩天，且丙不排周一，則不同的安排方法有___種．
【答案】【解析】以全集表示“甲與乙需安排在相鄰的兩天”，集合表示“乙與丙安排在相鄰的兩天”，
集合表示“丙安排在周一”，如下圖所示：
要選人負責每周周一至周六的疫情防控工作，則只需從除甲、乙、丙以外的人中再抽取人，全集表示的排法中，將甲、乙兩人捆綁，則，集合表示的排法中，將甲、乙、丙三人捆綁，且乙在中間，則，集合表示的排法中，丙排在周一，將甲、乙兩人捆綁，則，
集合表示的排法中，丙排在周一，且將甲、乙、丙三人捆綁，且乙在中間，則，
因此，滿足條件的排法種數為.
例15．（2023秋·廣東江門·高三江門市棠下中學校聯考期末）有唱歌、跳舞、小品、雜技、相聲五個節目制成一個節目單，其中小品、相聲不相鄰且相聲、跳舞相鄰的節目單有______種．（結果用數字作答）
【答案】【解析】先考慮相聲、跳舞相鄰的情況，只需將相聲、跳舞這兩個節目進行捆綁，形成一個大元素，
然后再將這個“大元素”與其它三個節目進行排序，共有種排法.接下來考慮相聲節目與小品、跳舞都相鄰的情形，需將相聲與小品、跳舞這三個節目進行捆綁，其中相聲節目位于中間，然后將這個“大元素”與其它兩個節目進行排序，此時共有種排法.綜上所述，由間接法可知，共有種不同的排法.
故答案為：.
考點二 插空法模型
【方法技巧與總結】
插空法：解決不相鄰問題的方法為“插空法”，即將n個不同的元素排成一排，其中k個元素互不相鄰（）．求不同的排法種數的步驟：①先將不作不相鄰要求的元素共個排成一排，其排列方法有種；②然后將要求兩兩不相鄰的k個元素插入個空隙中，相當于從個空隙中選出k個，分別分配給兩兩不相鄰的k個元素，其排列方法有：種；③根據分步乘法計數原理，符合條件的排法有種．
【典型例題】
例1．（2023秋·甘肅慶陽·高二校考期末）五聲音階（漢族古代音律）是按五度的相生順序，從宮音開始到羽音，依次為宮，商，角，徵，羽．若將這五個音階排成一列，形成一個音序，且要求宮、羽兩音節不相鄰，可排成不同的音序的種數為（ ）
A．12種 B．48種 C．72種 D．120種
【答案】C【解析】先排其它三個，然后在空檔插入宮、羽兩音節，方法數為.
例2．（2023秋·福建龍巖·高二統考期末）為弘揚我國古代的“六藝文化”，某校計劃在社會實踐中開設“禮”、“樂”、“射”、“御”、“書”、“數”六門體驗課程，每天開設一門，連續開設6天，則（ ）
A．從六門課程中選兩門的不同選法共有30種
B．課程“書”不排在第三天的不同排法共有720種
C．課程“禮”、“數”排在不相鄰兩天的不同排法共有288種
D．課程“樂”、“射”、“御”排在不都相鄰的三天的不同排法共有576種
【答案】D【解析】對于A，從六門課程中選兩門的不同選法有(種)，A選項不正確；
對于B，除第三天外的5天中任取1天排“書”，再排其他五門體驗課程共有(種)，B選項不正確；
對于C，“禮”“數”排在不相鄰兩天，先排其余四門課程，再用插空法排入“禮”“數”
則不同排法共有(種)，C選項不正確；對于D，六門課程的全排列有(種)，“樂”、“射”、“御”排在都相鄰的三天的不同排法有(種)，則“樂”、“射”、“御”排在不都相鄰的三天的不同排法共有(種)，D選項正確.
例3．（2023秋·北京·高二北京市十一學校校考期末）某晚會有三個唱歌節目，兩個舞蹈節目，要求舞蹈節目不能相鄰，有（ ）種排法？
A．72 B．36 C．24 D．12
【答案】A【解析】先排三個唱歌節目這有：種情況，然后四個空排兩個舞蹈節目這有：種情況，
所以舞蹈節目不能相鄰的情況有：情況.
例4．（2023秋·浙江·高二浙江省江山中學校聯考期末）公元五世紀，數學家祖沖之估計圓周率的范圍是：，為紀念祖沖之在圓周率方面的成就，把3.1415926稱為“祖率”，這是中國數學的偉大成就.小明是個數學迷，他在設置手機的數字密碼時，打算將圓周率的前5位數字3，1，4，1，5進行某種排列得到密碼.如果排列時要求兩個1不相鄰，那么小明可以設置的不同密碼有（ ）
A．24個 B．36個 C．72個 D．60個
【答案】B【解析】分兩步：第一步：先對除1以外的3位數字進行全排列，有種方法；
第二步：將兩個1選兩個空插進去有，由分步計數原理可得：小明可以設置的不同密碼有種，
例5．（2023秋·山西長治·高二長治市上黨區第一中學校校考期末）《紅樓夢》是中國古代章回體長篇小說，中國古典四大名著之一，《紅樓夢》第三十七回賈探春提議邀集大觀園中有文采的人組成海棠詩社．詩社成立目的旨在“宴集詩人於風庭月榭；醉飛吟盞於簾杏溪桃，作詩吟辭以顯大觀園眾姊妹之文采不讓桃李須眉．”詩社成員有8人：林黛玉、薛寶釵、史湘云、賈迎春、賈探春、賈惜春、賈寶玉及李紈，若這8人排成一排進人大觀園，且林黛玉、薛寶釵、賈寶玉3人不相鄰，則不同的排法種數有（ ）
A．1440 B．2400 C．14400 D．86400
【答案】C【解析】不相鄰問題用插空法，先將其他5人排好，有種不同的排法，再將林黛玉、薛寶釵、賈寶玉3人排入其他5人隔開的6個空中，有種不同的排法，所以有（種）不同的排法.
例6．（2023·全國·高三專題練習）“四書” “五經”是我國部經典名著《大學》《論語》《中庸》《孟子》《周易》《尚書》《詩經》《禮記》《春秋》的合稱．為弘揚中國傳統文化，某校計劃在讀書節活動期間舉辦“四書”“五經”知識講座，每部名著安排次講座，若要求《大學》《論語》相鄰，但都不與《周易》相鄰，則排法種數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】先排除去《大學》《論語》《周易》之外的6部經典名著的講座，共有種排法，將《大學》《論語》看作一個元素，二者內部全排列有種排法，排完的6部經典名著的講座后可以認為它們之間包括兩頭有7個空位，從7個空位中選2個，排《大學》《論語》捆綁成的一個元素和《周易》的講座，有種排法，
故總共有種排法，
例7．（2023·全國·高三專題練習）A，B，C，D，E，F這6位同學站成一排照相，要求A與C相鄰且A排在C的左邊，B與D不相鄰且均不排在最右邊，則這6位同學的不同排法數為（ ）
A．72 B．48 C．36 D．24
【答案】C【解析】首先將A與C捆綁到一起，與除B、D以外的其他2位同學共3個元素進行排列，有種排法，再將B、D插空到除最右邊的3個位置中，有 種排法，因此共有種排法，
例8．（2023秋·甘肅武威·高二天祝藏族自治縣第一中學校考期末）2022年2月4日，中國北京第24屆奧林匹克冬季運動會開幕式以二十四節氣的方式開始倒計時創意新穎，贏得了全球觀眾的好評．某中學為了弘揚我國二十四節氣文化，特制作出“立春”、“雨水”、“驚蟄”、“春分”、“清明”、“谷雨”六張知識展板分別放置在六個并排的文化櫥窗里，要求“立春”和“春分”兩塊展板相鄰，且“清明”與“驚蟄”兩塊展板不相鄰，則不同的放置方式種數有（ ）
A．24 B．48 C．144 D．240
【答案】C【解析】將“立春”和“春分”兩塊展板捆綁，與“雨水”、 “谷雨”一起排列，然后將“清明”與“驚蟄”兩塊展板插空，所以不同的放置方式種數有種.
例9．（2023·全國·高三專題練習）志愿服務是辦好2022年北京冬奧運的重要基礎和保障，現有一冬奧服務站點需要連續六天有志愿者參加志愿服務，每天只需要一名志愿者，現有6名志愿者計劃依次安排到該服務站點參加服務，要求志愿者甲不安排第一天，志愿者乙和丙不在相鄰兩天參加服務，則不同的安排方案共有（ ）
A．240種 B．408種 C．1092種 D．1120種
【答案】B【解析】1、將安排除甲、乙、丙外其它3名志愿者，有種，再分兩類討論：
第一類：2、安排不相鄰的乙丙，相當于將2個球在3個球所形成的4個空中任選2個插入有種，
3、安排不在第一天的甲，相當于5個球所成的后5個空中任選一個插入，有種，
第二類：2、將甲安排在乙丙中間有種，3、把甲乙丙作為整體安排，相當于將1個球插入3個球所形成的4個空中有種，所以不同的方案有(種.
例10．（2023·全國·高三專題練習）第13屆冬殘奧會于3月4日在北京開幕．帶著“一起向未來”的希冀，給疫情下的世界帶來了信心．為了運動會的順利舉行，組織了一些志愿者協助運動會的工作．有來自某大學的2名男老師，2名女老師和1名學生的志愿者被組織方分配到某比賽場館參加連續5天的協助工作，每人服務1天，如果2名男老師不能安排在相鄰的兩天，2名女老師也不能安排在相鄰的兩天，那么符合條件的不同安排方案共有（ ）
A．120種 B．96種 C．48種 D．24種
【答案】C【解析】若將2名男老師安排在相鄰兩天，由捆綁法知有種安排方案，同理將2名女老師安排在相鄰兩天，有種安排方案，2名男老師安排在相鄰兩天且2名女老師也安排在相鄰兩天，有種安排方案，所以符合條件的安排方案共有.
例11．（2023秋·山東德州·高二德州市第一中學校考期末）某夜市的一排攤位上共有9個鋪位，現有6家小吃類店鋪，3家飲料類店鋪打算入駐，若要排出一個攤位規劃，要求飲料類店鋪不能相鄰，則可以排出的攤位規劃總個數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】先將6個小吃類店鋪進行全排列，有種排法，再從這6個小吃類店鋪形成的7個空中選3個進行排列，有種排法，故排出的攤位規劃總個數為．
例12．（2023秋·陜西西安·高三西北工業大學附屬中學校考期末）中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數”合稱“六藝”.“禮”，主要指德育；“樂”，主要指美育；“射”和“御”，就是體育和勞動；“書”，指各種歷史文化知識；“數”，數學;某校國學社團開展“六藝”課程講座活動，每藝安排一節，連排六節，一天課程講座排課有如下要求：“禮”排第一節課，“射”和“御”兩門課程不相鄰，則“六藝”課程講座不同的排課順序共有幾種（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】由題意，“禮”排在第一節，1種排法，“射”和“御”兩門課程不相鄰，可先排“樂”、“書”、“數”三門課程，有種排法，再由“射”和“御”插空排序，有種排法，
所以“六藝”課程講座不同的排課順序共有種不同的排法.
例13．（2023·全國·高三專題練習）2022北京冬奧會開幕式在北京鳥巢舉行，小明一家五口人觀看開幕式表演，他們一家有一排10個座位可供選擇，按防疫規定，每兩人之間必須至少有一個空位.現要求爺爺與奶奶之間有且只有一個空位，小明只能在爸爸媽媽中間且與他倆各間隔一個空位，則不同的就座方案有___________種.
【答案】24【解析】根據題意，進行以下分類：爺爺或奶奶，排首位或排末位，這時候爸爸或媽媽只能排第五個或第六個位置，此時，就座方案為：種；爺爺或奶奶，排第二位或排倒數第二位，這時候爸爸或媽媽只能排第六個位置，此時，就座方案為：；種；故不同的就座方案共有24種.故答案為：24.
例14．（2023·上海·高三專題練習）已知江大爺養了一些雞和兔子，晚上關在同一間房子里，數了一下共有7個頭，20只腳，清晨打開房門，雞和兔子隨機逐一向外走，則恰有2只兔子相鄰走出房子的情況有___________種（用數字作答）
【答案】2880【解析】設雞的個數為,兔子的個數為，則，解得：，
故共有雞只，兔子只，故只雞， 只兔子走出房門，恰有2只兔子相鄰走出房子共有：
種.
例15．（2023·全國·高三專題練習）“學習強國”是由中宣部主管，以深入學習宣傳習近平新時代中國特色社會主義思想為主要內容，立足全體黨員、面向全社會的優質學習平臺．該平臺設有“閱讀文章”，“視聽學習”等多個欄目．假設在這些欄目中某時段更新了2篇文章和2個視頻，一位學員準備學習這2篇文章和這2個視頻，要求這2篇文章學習順序不相鄰，則不同的學法有________種．（用數字作答）
【答案】12【解析】先將個視頻進行排序，再將2篇文章進行插空，則共有種排法.故答案為：.
考點三 隔板法模型
【方法技巧與總結】
將個相同的元素分成份（，為正整數），每份至少一個元素，可以用塊隔板，插入個元素排成一排的個空隙中，共有種分法．
【典型例題】
例1．（2023·云南紅河·統考三模）某校將個三好學生名額分配到高三年級的個班，每班至少個名額，則共有多少種不同的分配方案（ ）
A．15 B．20 C．10 D．30
【答案】C【解析】采用“隔板法”，6個名額之間有5個空，隔2塊板就可以分成3份，每份至少一個名額，故共有種方案.
例2．（2023·全國·校聯考模擬預測）學校決定把個參觀航天博物館的名額給三（1） 三（2） 三（3） 三（4）四個班級.要求每個班分別的名額不比班級序號少，即三（1）班至少個名額，三（2）班至少個名額，……，則分配方案有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】B【解析】根據題意，先在編號為 的個班級中分別分配 個名額，編號為的班級里不分配；再將剩下的個名額分配個班級里，每個班級里至少一個，由隔板法可得共種放法，即可得符合題目要求的方法共種.
例3．（2023·高二課時練習）現有9個相同的球要放到3個不同的盒子里，每個盒子至少一個球，各盒子中球的個數互不相同，則不同放法的種數是（ ）
A．28 B．24 C．18 D．16
【答案】C【解析】把9個球分成3組，每組個數不相同，分法（按球的個數）為：126，135，234共三種，然后每組球放到3個盒子中有種方法，方法數為．
例4．（2023春·江蘇蘇州·高二吳縣中學校考期中）學校有6個優秀學生名額，要求分配到高一、高二、高三，每個年級至少1個名額，則有（ ）種分配方案．
A．135 B．10 C．75 D．120
【答案】B【解析】“學生名額”是相同元素，故相同元素分配分組問題，用“隔板法”，故有，
例5．（2023春·全國·高二期末）方程的正整數解共有（ ）組
A．165 B．120 C．38 D．35
【答案】A【解析】如圖，將12個完全相同的球排成一列，
在它們之間形成的11個空隙中任選三個插入三塊隔板，把球分成四組，每一種分法所得球的數目依次是、、、，顯然滿足，故是方程的一組解，反之，方程的每一組解都對應著一種在12個球中插入隔板的方式，
例6．（2023秋·山西晉城·高三校考階段練習）有10個運動員名額分給7個班，每班至少一個名額，共有______種分配方案.
【答案】84【解析】10個名額沒有差別，把它們看成是10個圓圈排成一排，相鄰圓圈之間形成9個空隙.
在9個空隙中選6個空隙放入6個隔板，即可把圓圈（名額）分成7份，對應分給7個班級，即可達到題意要求.
每一種插板的放置方法對應一種分法，共有種分法.
例7．（2023·全國·高三專題練習）現有15個省三好學生名額分給1、2、3、4共四個班級，其中1班至少2個名額，2班、4班每班至少3個名額，3班最多2個名額，則共有_________種不同分配方案.
【答案】85【解析】由3班最多2個名額，3班有2、或1個，或0個名額三種情況.
（1）、當3班有2個名額時，先給1班1個名額，2班、4班各2個名額，然后將剩下的8個名額分給1班、2班和4班，每個班至少一個名額.相當于將8個元素排成一排，在中間加入2個隔板將他們分成3組，1班、2班和4班分別得到一組，有種分法.
（2）、當3班有1個名額時，先給1班1個名額，2班、4班各2個名額，然后將剩下的9個名額分給1班、2班和4班，每個班至少一個名額.相當于將9個元素排成一排，在中間加入2個隔板將他們分成3組，1班、2班和4班分別得到一組，有種分法.
（3）、當3班沒有分得名額時，先給1班1個名額，2班、4班各2個名額，然后將剩下的10個名額分給1班、2班和4班，每個班至少一個名額.
相當于將10個元素排成一排，在中間加入2個隔板將他們分成3組，1班、2班和4班分別得到一組，有種分法.所以一共有種不同的分配方案.
例8．（2023春·廣東汕頭·高二校考期中）6個志愿者的名額分給3個班，每班至少一個名額，則有_________ 種不同的分配方法.（用數字回答）.
【答案】10【解析】6個志愿者的名額分配給3個班，每班至少一個名額，采用隔板法可知，即從5個空中插入2個隔板，共有種不同分法．
例9．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗縣第一中學校考階段練習）泗縣一中舉行“建黨周年朗誦比賽”，學校給了高二個文科班個參賽名額，要求每班至少一個同學參加比賽，則共有___________種不同的分配方案.
【答案】【解析】問題等價于將個相同的小球放入個盒子，每個盒子至少一球，由隔板法可知，只需在中間個空中插入塊板即可，因此，不同的方案種數為種.
例10．（2023秋·河北滄州·高三南皮縣第一中學校聯考期中）某地舉辦高中數學競賽，已知某校有20個參賽名額，現將這20個參賽名額分配給A，B，C，D四個班，其中1個班分配4個參賽名額，剩下的3個班都有參賽名額，則不同的分配方案有______種．
【答案】【解析】第一步，確定分配有4個名額的班，共有4種，第二步，利用隔板法，剩余16個參賽名額的分配方式有種則不同的分配方案有
例11．（2023春·安徽宣城·高二階段練習）將10個學生干部的培訓指標分配給7個不同的班級，每班至少分到一個名額，不同的分配方案共有_______種．
【答案】84【解析】因為個班級干部沒有差別，把他們排成一排．相鄰名額之間形成個空隙．在個空檔中選個位置插個隔板，把班級干部分成份，對應地分給七個班級，每一種隔板方法對應一種分法，則有有種分法．
例12．（2023·浙江·校聯考模擬預測）將6個相同的球全部放入甲、乙、丙三個盒子里，每個盒子最多放入3個球，共有_________種不同的放法.
【答案】10【解析】將6個相同的球全部放入甲、乙、丙三個盒子里，每個盒子最多放入3個球，可分為以下三種情況：①其中有兩個盒子各放入3個小球，共有種不同放法；②三個盒子中均放入2個小球，共有1種不同放法；③一個盒子放入3個小球，一個盒子放入2個小球，最后一個盒子放入1個小球，共有種放法；
所以不同的放法共有種.
故答案為：10
例13．（2023·高二單元測試）不定方程的非負整數解的個數為_______.
【答案】
【解析】根據已知條件
，且、、，
，，，當，確定后值也確定，其中
列出所有的可能：
當時，，則可以取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12共13種情況；
當時，，可以取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11共12種情況；
當時，，可以取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，共11種情況；
當時，，可以取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，共10種情況；
當時，，可以取0，1，2，3，4，5，6，7，8，共9種情況；
當時，，可以取0，1，2，3，4，5，6，7，共8種情況；
當時，，可以取0，1，2，3，4，5，6，共7種情況；
當時，，可以取0，1，2，3，4，5，共6種情況；
當時，，可以取0，1，2，3，4共5種情況；
當時，，可以取0，1，2，3，共4種情況；
當時，，可以取0，1，2，共3種情況；
當時，，可以取0，1，共2種情況；
當時，，可以取0，共1種情況；
所以共有組．
故答案為：91
例14．（2023春·福建三明·高二統考期末）將個數學競賽名額分配給個不同的班級，其中甲、乙兩個班至少各有個名額，則不同的分配方案種數為__________.
【答案】【解析】原問題等價于：將個數學競賽名額分配給個不同的班級，每個班至少一個名額，
也可等價于：將個完全相同的小球分為組，每組至少一個，相當于在個小球在中間形成的個空中插入塊板，所以，共有種不同的分配方案.故答案為：.
例15．（2023·全國·高三專題練習）某校準備參加高中數學聯賽，把16個選手名額分配到高三年級的1～4班，每班至少一個名額.
(1)不同的分配方案共有多少種？
(2)若每班名額不少于該班的序號數，則不同的分配方案共有多少種？
【解析】（1）問題等價于將16個小球串成一串，插入3塊隔板，截為4段，16個小球間有15個空隙，
從中選3個插入隔板，插法種數為.
故不同的分配方案共有455種.
（2）問題等價于先給2班1個小球，3班2個小球，4班3個小球，
再把余下的10個相同的小球放入4個盒子里，求每個盒子至少有1個小球的分配方法數.
將10個小球串成一串，截成4段，截法種數為，
因此不同的分配方案共有84種.
例16．（2023春·河北邯鄲·高二大名縣第一中學校考階段練習）將20個完全相同的球放入編號為1，2，3，4，5的五個盒子中．
(1)若要求每個盒子至少放一個球，則一共有多少種放法？
(2)若每個盒子可放任意個球，則一共有多少種放法？
(3)若要求每個盒子放的球的個數不小于其編號數，則一共有多少種放法？
【解析】(1)把20個球擺好，在中間19個空隙中選擇放4個板子，所以一共有種；
(2)由題意可知，可以出現空盒子，所以把20個球和5個虛擬的球擺好，在中間24個空隙中選擇放4個板子，所以一共有種；
(3)先在編號為1，2，3，4，5的五個盒子中依次放入0，1，2，3，4個球，再只要保證余下的10個球每個盒子至少放一個，把10個球擺好，在中間9個空隙中選擇放4個板子，所以一共有種.
例17．（2023·全國·高三專題練習）方程（，）的正整數解有多少個？有多少個非負整數解？
【解析】將正整數看成個1的和，將這個1排成一排.
在這個1中間插入個“|”，把這個1分成組,共有 種不同的方法
被分成的組中，每一組中所包含的1的個數就對應一組方程的解.
所以正整數解有個.
由
設
即求的正整數的組數.
將正整數看成個1的和，將這個1排成一排.
在這個1中間插入個“|”，把這個1分成組,共有 種不同的方法
被分成的組中，每一組中所包含的1的個數就對應一組方程的解.
所以的正整數的個數為.
即非正整數解有個.
考點四 排隊問題 （含多排問題）
例1．（2023·全國·高三專題練習）街頭籃球比賽后，紅、黃兩隊共名隊員（紅隊人，黃隊人）合照，要求人站成一排，紅隊人中有且只有名隊員相鄰，則不同排隊的方法共有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】A【解析】由題意，分三步進行分析：
①將名紅隊隊員分成組，有種分組方法，將人的一組看成一個元素，考慮人之間的順序，有種情況；②將黃隊的人全排列，有種排法，排好后，有個空位；③在個空位中任選個，安排名紅隊隊員分成的兩個組，有種方法，則人站成一排照相，名紅隊隊員中有且只有兩人相鄰的站法有種，
例2．（2023·全國·高三專題練習）七輛汽車排成一縱隊，要求甲車、乙車、丙車均不排隊頭或隊尾且各不相鄰，則排法有（ ）
A．48種 B．72種 C．90種 D．144種
【答案】D【解析】由題意得，甲車，乙車、丙車均不排隊頭或隊尾，且各不相鄰，所以甲、乙、丙只能在第二位、第四位、第六位，共有種排法，其他車輛任意排列，所以總排法有種．
例3．（2023春·山西朔州·高二校考階段練習）名成人帶兩個小孩排隊上山，小孩不排在一起也不排在頭尾，則不同的排法種數有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】A【解析】首先5名大人先排隊，共有種，然后把兩個小孩插進中間的4個空中，共有種排法，根據乘法原理，共有種，故選A.
例4．（2023·全國·高三專題練習）受新冠肺炎疫情影響，某學校按上級文件指示，要求錯峰放學，錯峰有序吃飯.高三年級一層樓六個班排隊，甲班必須排在前三位，且丙班、丁班必須排在一起，則這六個班排隊吃飯的不同安排方案共有（ ）
A．240種 B．120種 C．188種 D．156種
【答案】B【解析】根據題意，按甲班位置分3 種情況討論：
（1）甲班排在第一位，丙班和丁班排在一起的情況有種，將剩余的三個班全排列，安排到剩下的3個位置，有種情況，此時有種安排方案；
（2）甲班排在第二位，丙班和丁班在一起的情況有種，將剩下的三個班全排列，安排到剩下的三個位置，有種情況，此時有種安排方案；
（3）甲班排在第三位，丙班和丁班排在一起的情況有種，將剩下的三個班全排列，安排到剩下的三個位置，有種情況，此時有種安排方案；由加法計數原理可知共有種方案，
例5．（2023·全國·高三專題練習）新冠肺炎疫情防控期間，按照宿州市疫情防控應急指揮部的要求，市教育體育局對各市直學校下發了有關疫情防控通知.某學校按市局通知要求，制定了錯峰放學，錯峰吃飯的具體防疫措施.高三年級一層樓有、、、、、六個班排隊吃飯，班必須排在第一位，且班、班不能排在一起，則這六個班排隊吃飯的不同方案共有（ ）
A．20種 B．56種 C．72種 D．40種
【答案】C【解析】因為A班必須排在第一位，剩下5個班級安排在后面的5個位置，所以先將BCF三個班級全排列,排好后有4個空位，有中排法，再在4個空位中選出2個，安排D班、E班，有中排法，
則有種排法.
例6．（2023·全國·高三專題練習）六輛汽車排成一縱隊，要求甲車和乙車均不排隊頭或隊尾，且正好間隔兩輛車，則排法有（ ）
A．48 B．72 C．90 D．120
【答案】A【解析】由題意得，甲車和乙車均不排隊頭或隊尾，且正好間隔兩輛車，所以甲、乙只能在第二位和第五位，共有種排法，其他車輛任意排列，所以總排法有種.
例7．（多選題）（2023·全國·高三專題練習）有四名男生，三名女生排隊照相，七個人排成一排，則下列說法正確的有（ ）
A．如果四名男生必須連排在一起，那么有種不同排法
B．如果三名女生必須連排在一起，那么有種不同排法
C．如果女生不能站在兩端，那么有種不同排法
D．如果三個女生中任何兩個均不能排在一起，那么有種不同排法
【答案】CD【解析】A中，如果四名男生必須連排在一起，將這四名男生捆綁，形成一個“大元素”，此時，共有種不同的排法，A選項錯誤；B中，如果三名女生必須連排在一起，將這三名女生捆綁，形成一個“大元素”，此時，共有種不同的排法種數，B選項錯誤；C中，如果女生不能站在兩端，則兩端安排男生，其他位置的安排沒有限制，此時，共有種不同的排法種數，C選項正確；
D中，如果三個女生中任何兩個均不能排在一起，將女生插入四名男生所形成的個空中，此時，共有種不同的排法種數，D選項正確.
例8．（2023·全國·高二專題練習）3名男生，4名女生，按照不同的要求排隊，求不同的排隊方法數．
(1)選5名同學排成一排；
(2)全體站成一排，甲、乙不在兩端；
(3)全體站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端；
(4)全體站成一排，男生站在一起、女生站在一起；
(5)全體站成一排，男生排在一起；
(6)全體站成一排，男生彼此不相鄰；
(7)全體站成一排，男生各不相鄰、女生各不相鄰；
(8)全體站成一排，甲、乙中間有2個人；
(9)排成前后兩排，前排3人，后排4人；
(10)全體站成一排，乙不能站在甲左邊，丙不能站在乙左邊．
【解析】（1）無條件的排列問題，排法有種；
（2）先安排甲乙在中間有 種，再安排余下的5人有 種，共有排法有種；
（3）排法有種，其中是甲在左端或乙在右端的排法，是甲在左端且乙在右端的排法；
（4）把男生看成一個整體共有 種，再把女生看成一個整體有 種，再把這兩個整體全排列，共有種排法；
（5）即把所有男生視為一個整體，與4名女生組成五個元素全排列，共有種排法；
（6）即不相鄰問題（插空法）：先排女生共種排法，男生在五個空中安插，有種排法，故共有種排法；
（7）對比（6），讓女生插空，共有種排法；
（8）（捆綁法）任取2人與甲、乙組成一個整體，與余下3個元素全排列，故共有種排法；
（9）分步完成共有種排法；
（10）由于乙不能站在甲左邊，丙不能站在乙左邊，故3人只能按甲、乙、丙這一種順序排列，
7人的全排列共有種，甲、乙、丙3人全排列有種，而3人按甲、乙、丙順序排列是全排列中的一種，所以共有種排法.
例9．（2023·全國·高三專題練習）1.有4個男生，3個女生按下列要求排隊拍照，各有多少種不同的排列方法？
(1)7個人排成一列，4個男生必須連排在一起；
(2)7個人排成一列，3個女生中任何兩個均不能排在一起；
(3)7個人排成一列，甲、乙、丙三人順序一定；
(4)7個人排成一列，但男生必須連排在一起，女生也必須連排在一起，且男甲與女乙不能相鄰.
【解析】（1）不妨先將4個男生看作一個整體，有種排法，連同三個女生共4個元素進行排列，有種排法，共有＝576（種）.
（2）先排男生，有種排法，再在他們之間和左右兩端共5個空位中插入3個女生，有種排法，故共有＝1 440（種）.（3）先不考慮三人的順序，任意排列有種，其中每種有且只有1種符合甲、乙、丙三人順序一定，∴共有（種）.（4）先將男生和女生看作兩個整體，男生、女生分別全排列，有種排法，再考慮男甲與女乙相鄰，有種，故有 （種）.
例9．（2023春·江蘇蘇州·高二江蘇省蘇州實驗中學校考階段練習）若，，，，五個人按不同的要求排列隊伍，求不同的排隊方法的種數
(1)，兩人不站在一起；
(2)不站在最左邊，不站最右邊；
(3)如果又來了一位同學，六個人站一排，、站在中間，站在的右邊；
(4)若5個人站成兩排，其中一排站2個人，另一排站3個人．
【解析】(1)采用插空法，，兩人不站在一起有種方法；
(2)當站在最右端，則有種方法，當不站在最右端，有種方法，所以共有種方法；
(3)六個人站一排，、站在中間，站在的右邊，有種方法；(4)若前排2人，后排3人，共有種方法，若前排3人，后排2人也是120種方法，所以共有240種方法.
拓展：多排問題
例1：6個人站成前后兩排照相，要求前排2人，后排4人，那么不同的排法共有（ ）
A．30種 B．360種 C．720種 D．1440種
【答案】C【詳解】 6個人站成前后兩排照相，要求前排2人，后排4人
不同的排法共有：種故選：C.
例2：6個人站成前、中、后三排，每排2人，則不同的排法有 種．
【答案】720【分析】可以分三步：前、中、后三排分別站2人即可得，也只可以相當于6人全排列．
【詳解】6個人站成前、中、后三排，每排2人，分3步完成，不同的排法有（種）．
例3：畢業季，6位身高全不相同的同學拍照留念，站成前后兩排各三人，要求每列后排同學比前排高的不同排法共有（ ）
A．40種 B．20種 C．180種 D．90種
【答案】D【詳解】按列選取，相當于6位同學分成3組，只要選出來了，讓高的同學站在后排即可，故種，
例4：10名同學拍照，站成前排3人后排7人，現攝影師要從后排7人中抽2人調整到前排，若其他人的相對順序不變，則不同調整方法的總數是（ ）
A．168 B．420 C．840 D．20160
【答案】B【詳解】從后排7人中抽2人有種方法；將抽出的2人調整到前排，前排3人的相對順序不變有種，由分步乘法計數原理可得：共有種，
例5：某次數學獲獎的6名高矮互不相同的同學站成兩排照相，后排每個人都高于站在他前面的同學，則共有多少種站法（ ）
A．36 B．90 C．360 D．720
【答案】B【詳解】解：6個高矮互不相同的人站成兩排，后排每個人都高于站在他前面的同學的站法數為，
考點五 錯位排列
【方法技巧與總結】
錯位排列公式
【典型例題】
例1．（2023春·重慶沙坪壩·高二重慶八中校考期末）“數獨九宮格”原創者是18世紀的瑞士數學家歐拉，它的游戲規則很簡單，將1到9這九個自然數填到如圖所示的小九宮格的9個空格里，每個空格填一個數，且9個空格的數字各不相間，若中間空格已填數字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數字都是從大到小排列的，則不同的填法種數為（ ）
A．72 B．108 C．144 D．196
【答案】C【解析】按題意5的上方和左邊只能從1，2，3，4中選取，5的下方和右邊只能從6，7，8，9中選取．因此填法總數為．
例2．（2023·全國·高三專題練習）編號為1、2、3、4、5的5個人分別去坐編號為1、2、3、4、5的五個座位，其中有且只有兩個人的編號與座位號一致的坐法有（ ）
A．10種 B．20種 C．30種 D．60種
【答案】B【解析】先選擇兩個編號與座位號一致的人，方法數有，另外三個人編號與座位號不一致，方法數有，所以不同的坐法有種.
例3．（2023·全國·高三專題練習）將編號為、、、、、的小球放入編號為、、、、、的六個盒子中，每盒放一球，若有且只有兩個盒子的編號與放入的小球的編號相同，則不同的放法種數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】根據題意，分以下兩步進行：（1）在個小球中任選個放入相同編號的盒子里，有種選法，假設選出的個小球的編號為、；（2）剩下的個小球要放入與其編號不一致的盒子里，
對于編號為的小球，有個盒子可以放入，假設放入的是號盒子.則對于編號為的小球，有個盒子可以放入，
對于編號為、的小球，只有種放法.綜上所述，由分步乘法計數原理可知，不同的放法種數為種.
例4．（2023春·廣東廣州·高二廣州奧林匹克中學校考階段練習）將編號為1 2 3 4 5 6的六個小球放入編號為1 2 3 4 5 6的六個盒子里，每個盒子放一個小球，若有且只有三個盒子的編號與放入的小球編號相同，則不同的方法總數是（ ）
A．20 B．40 C．120 D．240
【答案】B【解析】第一步，先選取3個盒子，放入編號相同的3個球，方法數為，第二步剩下的3個盒子放入編號不同的小球，有2種方法，所以總方法數為．
例5．（2023春·吉林延邊·高二校考期中）同室4人各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀卡，則4張賀卡不同分配方式有
A．8種 B．9種 C．10種 D．12種
【答案】B【解析】方法一： 設四人分別為a，b，c，d，寫的卡片分別為A，B，C，D， 由于每個人都要拿別人寫的，即不能拿自己寫的，故a有三種分配， 不妨設a拿了B，則b可以拿剩下三張中的任一張，也有三種拿法，c和d只能有一種分配， 所以共有3×3×1×1=9種分配方式;方法二： 根據題意，列舉出所有的結果:
1、甲乙互換，丙丁互換； 2、甲丙互換，乙丁互換； 3、甲丁互換，乙丙互換；
4、甲要乙的 乙要丙的 丙要丁的 丁要甲的； 5、甲要乙的 乙要丁的 丙要甲的 丁要丙的；
6、甲要丙的 丙要乙的 乙要丁的 丁要甲的； 7、甲要丙的 丙要丁的 乙要丁的 丁要甲的；
8、甲要丁的 丁要乙的 乙要丙的 丙要甲的； 9、甲要丁的 丁要丙的 乙要甲的 丙要乙的．
通過列舉可以得到共有9種結果．
例6．（2023·全國·高三專題練習）元旦來臨之際，某寢室四人各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀卡，則四張賀卡不同的分配方式有（ ）
A．6種 B．9種 C．11種 D．23種
【答案】B【解析】解法1：設四人A、B、C、D寫的賀卡分別是a、b、c、d，
當A拿賀卡b，則B可拿a、c、d中的任何一張，即B拿a，C拿d，D拿c，或B拿c，D拿a，C拿d，或B拿d，C拿a，D拿c，所以A拿b時有三種不同的分配方式；同理，A拿c，d時也各有三種不同的分配方式，
由分類加法計數原理，四張賀卡共有（種）分配方式；解法2：讓四人A、B、C、D依次拿一張別人送出的賀卡，如果A先拿，有3種，此時被A拿走的那張賀卡的人也有3種不同的取法，接下來，剩下的兩個人都各只有1種取法，由分步乘法計數原理，四張賀卡不同的分配方式有（種）．
例7．（2023·全國·高三專題練習）若5個人各寫一張卡片（每張卡片的形狀、大小均相同），現將這5張卡片放入一個不透明的箱子里，并攪拌均勻，再讓這5人在箱子里各摸一張，恰有1人摸到自己寫的卡片的方法數有（ ）
A．20 B．90 C．15 D．45
【答案】D【解析】根據題意，分2步分析：①先從5個人里選1人，恰好摸到自己寫的卡片，有種選法，
②對于剩余的4人，因為每個人都不能拿自己寫的卡片，因此第一個人有3種拿法，被拿了自己卡片的那個人也有3種拿法，剩下的2人拿法唯一，所以不同的拿卡片的方法有種.
例8．（2023春·遼寧鞍山·高二統考期中）5個人站成一列，重新站隊時各人都不站在原來的位置上，共有種不同的站法（ ）
A．42 B．44 C．46 D．48
【答案】B【解析】由題意，設五人分別為，重新站隊時，可從開始，其中有種不同的選擇，比如占據了的位置，可再由選取位置，可分為兩類，1類：占據了的位置，則后面的重站，共有種站法；2類：沒有占據的位置，則有種站法，后面的重站，共有種站法，所以共有種不同的站法.
例9．（2023春·河北滄州·高二泊頭市第一中學校考開學考試）若5個人按原來站的位置重新站成一排，恰有1個人站在自己原來的位置，則不同的站法共有（ ）
A．45種 B．40種 C．55種 D．60種
【答案】A【解析】先從5個人中選出站在自己原來的位置的有種選法
設剩下的4個人為.則他們都不站自己原來的位置，分下列幾步完成:
(1)假設先安排，則有種選法.(2)當站好后，站的位置原來站的是誰，接下來就安排這個人來選位置，有種選法.(3)接下來，剩下的兩個人和兩個位置中,至少有1人，他原來站的位置留下來了，都不站原來的位置，則只有1種站法.所以共有種選法.
例10．（2023秋·福建三明·高三三明一中校考階段練習）若4個人按原來站的位置重新站成一排，恰有一個人站在自己原來的位置，則共有（ ）種不同的站法.
A．4 B．8 C．12 D．24
【答案】B【解析】根據題意，分2步分析：①先從4個人里選1人，其位置不變，其他三人的都不在自己原來的位置，有種選法；②對于剩余的三人，因為每個人都不能站在原來的位置上，因此第一個人有兩種站法，被站了自己位置的那個人只能站在第三個人的位置上，因此三個人調換有2種調換方法．故不同的調換方法有，
例11．（2023春·重慶南岸·高二重慶市廣益中學校校考階段練習）個同學玩“真心話”游戲，回答抽到的問題.若個人將各自的問題寫在一張卡片上（每張卡片的形狀 大小均相同），并將這張卡片放入一個不透明的箱子里，攪拌均勻，再讓這人在箱子里各摸一張，恰有人需回答自己問題的種數為___________.
【答案】【解析】根據題意，分步：第一步，先從個人里選1人恰好摸到自己寫的卡片，有種選法，
第二步，對于剩余的人，因為每個人都不能選自己寫的卡片，所以第一個人有種選法，卡片被選走的那個人也有種選法，剩下的人選法唯一，所以不同的選法有種.
例12．（2023·全國·高二專題練習）位顧客將各自的帽子隨意放在衣帽架上，然后，每人隨意取走一頂帽子，則人拿的都不是自己的帽子方案總數為____________.（用數字作答）
【答案】【解析】記位顧客分別為甲、乙、丙、丁. 假設甲拿了乙的帽子，則乙拿了甲的帽子，丙拿了丁的帽子，丁拿了丙的帽子；或乙拿丙的帽子，丙拿了丁的帽子，丁拿了甲的帽子；或乙拿了丁的帽子，丙拿了甲的帽子，丁拿了丙的帽子.若甲拿了丙或丁的帽子，同理可知，符合條件的方案數均為種.綜上所述，人拿的都不是自己的帽子方案總數為.
例13．（2023·高一課時練習）一輛小客車上有5個座位,其座位號為1,2,3,4,5.乘客,,,,的座位號分別為1,2,3.4,5,他們按照座位號從小到大的順序先后上車乘客戶,因身體原因沒有坐自己的1號座位,這時司機要求余下的乘客按以下規則就座：如果自己的座位空著,就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座,就在這5個座位的剩余空位中任意選擇座位.
乘客
座位號 3 2 1 4 5
3 2 4 5 1
（1）若乘客坐到了3號座位,其他乘客按規則就座,則此時共有4種坐法.下表給出了其中兩種坐法,請填入余下兩種坐法(將乘客就座的座位號填入表中空格處)；
（2）若乘客坐到了2號座位,其他乘客按規則就座,求乘客坐到5號座位的概率.
【解析】（1）余下兩種坐法如下表所示：
乘客
座位號 3 2 4 1 5
3 2 5 4 1
(2)若成客坐到了2號座位,其他乘客按規則就座,則所有可能的坐法可用下表表示為：
乘客
座位號 2 1 3 4 5
2 3 1 4 5
2 3 4 1 5
2 3 4 5 1
2 3 5 4 1
2 4 3 1 5
2 4 3 5 1
2 5 3 4 1
于是,所有可能的坐法共8種.設“乘客坐到5號座位”為事件A,則事件A中的基本事件的個數為4.所以.即乘客坐到5號座位的概率是.
例14．（2023春·江蘇鎮江·高二揚中市第二高級中學校考期中）將個編號為、、、的不同小球全部放入個編號為、、、的個不同盒子中.求：
（1）每個盒至少一個球，有多少種不同的放法？
（2）恰好有一個空盒，有多少種不同的放法？
（3）每盒放一個球，并且恰好有一個球的編號與盒子的編號相同，有多少種不同的放法？
（4）把已知中個不同的小球換成四個完全相同的小球（無編號），其余條件不變，恰有一個空盒，有多少種不同的放法？
【解析】（1）根據題意知，每個盒子里有且只有一個小球，所求放法種數為（種）；
（2）先將個小球分為組，各組的球數分別為、、，然后分配給個盒子中的個盒子，由分步乘法計數原理可知，所求的放法種數為（種）；（3）考查編號為的盒子中放入編號為的小球，則其它個球均未放入相應編號的盒子，那么編號為、、的盒子中放入的小球編號可以依次為、、或、、，
因此，所求放法種數為（種）；（4）按兩步進行，空盒編號有種情況，然后將個完全相同的小球放入其它個盒子，沒有空盒，則只需在個完全相同的小球所形成的個空（不包括兩端）中插入塊板，
由分步乘法計數原理可知，所求的放法種數為（種）.
例15．（2023·全國·高三專題練習）n個學生參加一次聚會，每人帶一張賀卡和一件禮物，會后每個人任取一張賀卡和一件禮物.問：發生下列情況時，有多少種可能？
(1)沒有任何一位學生取回他原來自己的一件物品；
(2)有人取回了他原來的物品；
(3)恰好只有一人取回他原來的物品.
【解析】(1)（1）設沒有任何一位學生取回他原來自己的一件物品，可以先取賀卡，n個同學均沒有取回他原來的賀卡（即n個元素排列有n個動點）有種.同理，再去取禮物，也有種，
由錯排公式，共有 種.(2)（2）n個同學每人取回一張賀卡、一件禮物，共有種,故有人取回他原來物品的取法有種.
(3)（3）根據表示n個元素有k個組合不動點的排列個數，那么用表示n個人中有一個人取回他原來的物品的可能數，因此恰好只有一人取回他原來的物品，有三種可能，即取對賀卡、而拿錯禮物；取錯賀卡而拿對禮物；還有就是賀卡、禮物全取對了.前二種情況各有種，后一種情況有種，
取法總數為:
.
例16．（2023·全國·高三專題練習）將用1～6編號的六張卡片，插入用1～6編號的六個盒子里，每只盒子插一張，求：
(1)使每一卡片的號碼與所在盒子號碼都不同的插法總數；
(2)恰好有3張卡片號碼與所在盒子號碼相同的插法總數.
【解析】(1)全部無限制排列有種.如果有5個或6個卡片號碼和盒子的號碼對應相同，只有1種；
如果有4個卡片號碼和盒子的號碼對應相同，首先，確定哪4個號碼相同，有種，剩下的兩個號碼只有一種插法，所以共有種；
如果有3個卡片號碼和盒子的號碼對應相同，首先，確定哪3個號碼相同，有種，剩下的三個號碼有2種插法，所以共有種；
如果有2個卡片號碼和盒子的號碼對應相同，首先，確定哪2個號碼相同，有種，剩下的4個號碼有9種插法，所以共有種；
如果有1個卡片號碼和盒子的號碼相同，首先，確定哪1個號碼相同，有種，剩下的5個號碼，先選1個號碼放在最前面，有4種插法，剩下的4個號碼有11種插法，所以共有種.
所以共有種.
(2)先選擇3張卡片號碼與所在盒子號碼相同，有種方法；再把剩下的3張卡片放在剩下的盒子里，要保證號碼不同，只有2種方法，所以共有種方法.
考點六 環排問題
【方法技巧與總結】
在圓排列數中：
（1）個元素圍成一圈其圓排列數為
（2）在個元素中，每次取出個不同的元素進行圓排列，圓排列數為．
（3）當從個相異的元素中，每次取出顆串成一個圓環，因其正反相對的兩個圓排列在串成一個圓環時完全相同，故圓環數為．對于較復雜的問題，可適當采用分步揷人、捆綁及利用種數公式處理．
【典型例題】
例1．（2023·全國·高三專題練習）21個人按照以下規則表演節目：他們圍坐成一圈，按順序從1到3循環報數，報數字“3”的人出來表演節目，并且表演過的人不再參加報數．那么在僅剩兩個人沒有表演過節目的時候，共報數的次數為（ ）
A．19 B．38 C．51 D．57
【答案】D【解析】當倒數第個人出來表演節目時，一共報數了次.
例2．（2023·全國·高三專題練習）A，B，C，D，E，F六人圍坐在一張圓桌周圍開會，A是會議的中心發言人，必須坐最北面的椅子，B，C二人必須坐相鄰的兩把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，則不同的座次有（ ）
A．60種 B．48種 C．30種 D．24種
【答案】B【解析】首先，A是會議的中心發言人，必須坐最北面的椅子，
考慮B、C兩人的情況，只能選擇相鄰的兩個座位，位置可以互換，根據排列數的計算公式，得到，，接下來，考慮其余三人的情況，其余位置可以互換，可得種，最后根據分步計數原理，得到種，
例3．（2023春·江蘇蘇州·高二昆山震川高級中學校考期中）現有8個人圍成一圈玩游戲，其中甲、乙、丙三人不全相鄰的排法種數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】8個人圍成一圈,有種.其中甲、乙、丙三人相鄰，看做一個整體，由.
所以甲、乙、丙三人不全相鄰的排法種數為.
例4．（2023·全國·高三專題練習）現有一圓桌，周邊有標號為1，2，3，4的四個座位，甲、乙、丙、丁四位同學坐在一起探討一個數學課題，每人只能坐一個座位，甲先選座位，且甲、乙不能相鄰，則所有選座方法有（ ）．
A．6種 B．8種 C．12種 D．16種
【答案】B【解析】先安排甲，其選座方法有種，由于甲、乙不能相鄰，所以乙只能坐甲對面，而丙、丁兩位同學坐另兩個位置的坐法有種，所以共有坐法種數為種．
例5．（2023春·內蒙古赤峰·高二赤峰二中校考階段練習）如圖，某傘廠生產的太陽傘的傘篷是由太陽光的七種顏色組成，七種顏色分別涂在傘篷的八個區域內，且恰有一種顏色涂在相對區域內，則不同顏色圖案的此類太陽傘最多有（ ）.
A．40320種 B．5040種 C．20160種 D．2520種
【答案】D【解析】先從7種顏色中任意選擇一種，涂在相對的區域內，有種方法，
再將剩余的6種顏色全部涂在剩余的6個區域內，共有種方法，由于圖形是軸對稱圖形，所以上述方法正好重復一次，所以不同的涂色方法，共有種不同的涂法.
例6．（2023春·遼寧·高三校聯考階段練習）已知甲、乙、丙三位同學圍成一個圓時，其中一個排列“甲乙丙”與該排列旋轉一個或幾個位置后得到的排列“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一個排列．現有位同學，若站成一排，且甲同學在乙同學左邊的站法共有種，那么這位同學圍成一個圓時，不同的站法總數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】因站成一排時甲在乙左與甲在乙右的站法數相同，而m位同學站成一排有，則，解得，甲、乙、丙三位同學圍成一個圓，“甲乙丙”、“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一排列，
其中每一個排列可以拆成以任意一個人為排首的直線排列3個，3人圍成一個圓的排列數為，
由此可得n個人圍成一個圓的排列數為，5位同學圍成一個圓的排列數為.
例7．（2023·高二課時練習）8人圍桌而坐，共有______種坐法.
【答案】5040【解析】圍桌而坐與坐成一排不同，圍桌而坐沒有首尾之分，因此固定一人并從此位置把圓形展成直線，則其余7人共有 （種）排法.
例8．（2023·全國·高三專題練習）5個女孩與6個男孩圍成一圈，任意2個女孩中間至少站1個男孩，則不同排法有______種（填數字）．
【答案】86400【解析】因為任意2個女孩中間至少站1個男孩，則有且僅有2個男孩站在一起，
先把5個女孩排成一個圈，這是個圓形排列，因此排法共有(種)，把6個男孩按2，1，1，1，1分成5組有種分法，最后把5組男孩放入5個女孩構成圓排列的5個間隔中有種方法，而站在一起的兩個男孩有順序性，有2種站法，所以，由分步乘法計數原理得，不同的排法共有(種).
例9．（2023·高二課時練習）10位男生10位女生．男女相間隔圍成一圈，則其所有不同的排列數為__________
【答案】【解析】因為10位男生全排列有種排法，因為是圍成一圈，所以不分頭尾，
所以10位男生圍成一圈有種，再把10位女生插入男生間的空隙中共有種方法，
所以10位男生10位女生．男女相間隔圍成一圈，不同的排列數為.
例10．（2023·全國·高三專題練習）4個人圍坐在如圖所示的8張椅子中的4張椅子上聚餐，其中甲、乙兩人不能相對（如1 與8 叫做相對）而坐，共有__________種不同的坐法(用數字作答)
【答案】1440【解析】因為甲、乙兩人不能相對（如1 與8 叫做相對）而坐，
則甲、乙兩人不能同時坐在1 與8位置或2 與7位置或3 與6位置或4 與5，所以共有種不同的作法.
例11．（2023·全國·高二專題練習）7顆顏色不同的珠子，可穿成________的珠子圈．
【答案】360【解析】由于環狀排列沒有首尾之分，將個元素圍成的環狀排列剪開，可看成個元素排成一排，即共有種排法．由于個元素共有種不同的剪法，則環狀排列共有種排法，而珠子圈沒有反正，故7顆顏色不同的珠子，可穿成（順時針、逆時針兩種情況）種不同的珠子圈．
例12．（2023·全國·高三專題練習）8名學生平均分成兩組，每組都圍成一個個圓圈，有______種不同的圍法．
【答案】1260或【解析】8名學生平均分成兩組，有種分組法，每組都圍成一個圈，兩個組有種圍法，所以共有種不同的圍法．故答案為：1260或.
例13．（2023·全國·高二專題練習）一個圓桌有十二個座位，編號為1至12.現有四個學生和四個家長入座，要求學生坐在偶數位，家長與其孩子相鄰.滿足要求的坐法共有______種.
【答案】【解析】當學生選擇相鄰的四個偶數有，，，，，有種，以學生選為例，家長的排法有 ，，，有種，同理可得：每一種學生的坐法，家長都有種坐法，所以有種，
當學生選擇三個相鄰的偶數，一個學生坐對面有，，，，，有種，
以學生選擇為例，家長的坐法有，，，，，，，，共種，
同理可得：每一種學生的坐法，家長都有種坐法，所以有種，
當四個學生每兩個學生選擇相鄰偶數時，學生有，，有種，
以學生選擇為例，家長坐法有：，，，，，，，，有種，
同理可得：每一種學生的坐法，家長都有種坐法，所以有種，
綜上所述：滿足要求的坐法共有種，
故答案為：.
例14．（2023·江蘇·高三強基計劃）現有一圓桌，周邊有標號為1，2，3，4的四個座位，甲、乙、丙、丁四位同學坐在一起探討一個數學課題，每人只能坐一個座位，甲先選座位，且甲、乙不能相鄰，則所有選座方法有____種．（用數字作答）
【答案】8【解析】先按排甲，其選座方法有種，由于甲、乙不能相鄰，
所以乙只能坐甲對
故答案為8．
例15．（2023·高二課時練習）如圖，某傘廠生產的太陽傘的傘篷是由太陽光的七種顏色組成，七種顏色分別涂在傘篷的八個區域內，且恰有一種顏色涂在相對區域內，則不同顏色圖案的此類太陽傘最多有_____________種．
【答案】2520【解析】先從七種顏色中任意選擇一種，涂在相對的區域內，有種方法，
再將剩余的六種顏色全部涂在剩余的6個區域內，共有種方法，由于圖形是軸對稱圖形，∴上述方法正好重復一次，∴不同的涂色方法共有(種)．
例16．（2023·高二課時練習）有5對夫婦和，共12人參加一場婚宴，他們被安排在一張有12個座位的圓桌上就餐（旋轉之后算相同坐法）．
（1）若5對夫婦都相鄰而坐，，相鄰而坐，共有多少種坐法？
（2）5對夫婦都相鄰而坐，其中甲、乙二人的太太是閨蜜要相鄰而坐，，不相鄰，共有多少種坐法？
【解析】（1）若5對夫婦都相鄰，，相鄰，可將每對夫婦劃分為1組，，劃分為1組，再將這6組人圍坐成一圈，共有種坐法，
由于每一組內兩人還有順序問題，所以共有種坐法；
（2）分成三步來完成第一步，排甲、乙二人的太太的座位，有2種坐法，甲、乙二人的座位也隨之確定，
第二步，排其余3對夫婦的座位，有種坐法，
第三步，排，二人的座位，有種坐法，
根據分步乘法計數原理，共有種坐法
考點七、特殊元素法
例1：運輸公司從5名男司機，4名女司機中選派出3名男司機，2名女司機，到，，，，這五個不同地區執行任務，要求地只能派男司機，地只能派女司機，則不同的方案種數是（ ）
A．360 B．720 C．1080 D．2160
【答案】D【分析】根據分步乘法，先抽取司機，再分配去不同地方，有限制條件的先排.
【詳解】第一步，先從5名男司機，4名女司機中選派出3名男司機，2名女司機，共有種方法，
第二步，從抽取到的司機中，派1名男司機去地，派一名女司機去地，共有種方法，
第三步，剩下3名司機隨機去，，三地，共有種方法，故不同方案種數為，
例2:某地區為發展，，，，五個村的經濟，引入了“林果、茶園、養殖、旅游、農業特色深加工”五個項目，不同的村安排不同的項目，且每個村只安排一個項目．由于條件限制，村無法實施“農業特色深加工”項目，村無法實施“養殖”項目，，，三個村可以實施任何項目，則符合條件的不同安排方式共有（ ）
A．60種 B．72種 C．78種 D．120種
【答案】C【詳解】解：依題意，①若村實施“農業特色深加工”項目，則其余個村莊無限制，則有種安排方法；②若村不實施“農業特色深加工”項目，則從剩下的個村莊選一個實施“農業特色深加工”項目，有種方法，再從除村以外的個村莊選擇一個實施“養殖”項目，有種方法，剩下個村莊與項目全排列即可，有種方法，按照分步計數原理可得有種方法，綜上可得一共有種方法；
例3：某校為深入開展勞動教育，通過學校的電子屏幕播放“我的校園我打掃”，大力宣傳勞動的價值意義，使學生樹立正確的勞動觀某日甲、乙、丙、丁四名同學值日打掃衛生，衛生區域劃分為，，，四塊，每個區域安排一個同學去打掃，其中甲不去打掃區域，乙不去打掃區域，則不同的安排方法的種數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【詳解】因為甲不去打掃區域，所以可以安排甲去打掃中的一個區域，
若甲去打掃區域，則甲的安排方法只有一種，再安排乙，丙，丁三人共種安排方法，由分步乘法計數原理可得有種安排方法，若甲去打掃區域或區域，則甲的安排方法只有兩種，再安排乙，由于乙不能去打掃區域，故乙的安排方法有兩種，再安排丙，丁兩人，共種安排方法，由分步乘法計數原理可得有種安排方法，由分類加法計數原理可得共有種安排方法.
例4：第屆世界大學生夏季運動會于月日至月日在成都舉辦，現在從男女共名青年志愿者中，選出男女共名志愿者，安排到編號為、、、、的個賽場，每個賽場只有一名志愿者，其中女志愿者甲不能安排在編號為、的賽場，編號為的賽場必須安排女志愿者，那么不同安排方案有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】D①女志愿者甲被選中，則還需從剩余的人中選出男女，選法種數為，
則女志愿者甲可安排在號或號或號賽場，另一位女志愿者安排在號賽場，余下個男志愿者隨意安排，此時，不同的安排種數為；②女志愿者甲沒被選中，則還需從剩余人中選出男女，選法種數為，編號為的賽場必須安排女志愿者，只需從名女志愿者中抽人安排在號賽場，
余下人可隨意安排，此時，不同的安排方法種數為.
由分類加法計數原理可知，不同的安排方法種數為種.
考點八、特殊位置法
例1：有甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（ ）
A．12種 B．24種 C．36種 D．48種
【答案】B【詳解】因為丙丁要在一起，先把丙丁捆綁，看做一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學共有：種不同的排列方式，
例2：某餐廳并排有7個座位，甲、乙、丙三位顧客就餐，每人必須選擇且只能選擇一個座位，要求兩端座位不能坐人，并且連續空座至多有2個，則不同的坐法有（ ）
A．24種 B．36種 C．48種 D．56種
【答案】C【詳解】因為7個座位兩端座位不能坐人，所以甲、乙、丙可以在剩余的個位子有順序的就坐，坐法有種，因為連續空座至多有個，所以出現連續個空座的情況為最左端的個為空座，
甲、乙、丙三人坐在第、、個位子上，第個位子是最右端，只能空著，則這種情況為，
同理，連續個空座的情況為最右端的個為空座，這種情況為，所以，滿足要求的坐法有種.
例3：包括甲、乙、丙3人的7名同學站成一排拍紀念照，其中丙站中間，甲不站在乙的左邊，且不與乙相鄰，則不同的站法有（ ）
A．240種 B．252種 C．264種 D．288種
【答案】C【詳解】先排甲、乙、丙外的4人，有種排法，再排甲、乙2人，有兩類方法：
一類是甲、乙2人插空，又甲排在乙的左邊，然后丙排在中間，故有種不同的站法；
另一類是把甲、乙、丙按乙、丙、甲的順序插入中間，有種不同的站法，所以共有264種不同的站法.
例4：某單位安排7位員工在春節期間大年初一到初七值班，每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰的兩天，丙不排在初一，丁不排在初七，則不同的安排方案共有（ ）
A．504種 B．960種 C．1008種 D．1108種
【答案】C【詳解】根據題意，用間接法分析：甲乙相鄰，即甲乙排在相鄰的兩天，有＝1440種情況，
其中，甲乙相鄰且丙排在初一的排法有＝240種，甲乙相鄰且丁排在初七排法有＝240種，甲乙相鄰且丙排在初一同時丁排在初七排法有＝48種，則不同的安排方案共有1440－240－240＋48＝1008種，
例5:2010年廣州亞運會結束了，某運動隊的7名隊員合影留念，計劃站成一橫排，但甲不站最左端，乙不站最右端，丙不站正中間.則理論上他們的排法有( )
A．3864種 B．3216種 C．3144種 D．2952種
【答案】B【詳解】根據題意，分3種情況討論：
①、甲在右端，若乙在中間，則丙有5個位置可選，再將剩余的4個人全排列，安排在其余的4個位置，有種情況；甲在右端，若乙不在中間，則乙還有5個位置可選，此時丙還有4個位置可選，再將剩余的4個人全排列，安排在其余的4個位置， 有種情況；兩種情況合并，共有種情況；
②、若甲在中間，分丙在右端與丙不在右端兩種，情況同①. 共有種情況；
③、若甲不在中間也不在右端，先排甲，有4種方法，再排乙，乙若在中間，則丙有5種排法；乙若不在中間，則乙有4種排法，此時丙有4種排法；最后，將剩余的4個人全排列，安排在其余的4個位置，共有種情況；綜上，則共有種不同的站法．
例6：因演出需要，身高互不相等的9名演員要排成一排成一個“波浪形”，即演員們的身高從最左邊數起：第一個到第三個依次遞增，第三個到第七個依次遞減，第七、八、九個依次遞增，則不同的排列方式有（ ）種．
A．379 B．360 C．243 D．217
【答案】A
【分析】依題意，重點要先排好7號位和3號位，余下的按部就班即可.
【詳解】依題意作圖如下：
上面的數字表示排列的位置，必須按照上圖的方式排列，其中3號位必須比124567要高，
1，7兩處是排列里最低的，3，9兩處是最高點，
設9個演員按照從矮到高的順序依次編號為1，2，3，4，5，6，7，8，9，則 3號位最少是7，最大是9，下面分類討論：第3個位置選7號：先從1，2，3，4，5，6號中選兩個放入前兩個位置，
余下的4個號中最小的放入7號位置，剩下的三個放入中間三個位置，
8，9號放入最后兩個位置，即；第3個位置選8號：先從1，2，3，4，5，6，7號中選兩個放入前兩個位置，余下的5個號中最小的放入7號位置，剩下4個選3個放入中間三個位置，
余下的號和9號放入最后兩個位置，即；第3個位置選9號：先從1，2，3，4，5，6，7，8號中選兩個放入前兩個位置，余下的6個號中最小的放入7號位置，剩下5個選3個放入中間三個位置，
余下的2個號放入最后兩個位置，即；由分類計數原理可得共有種排列方式；
考點九、間接法
例1：2022年在貴州省黔東南州臺盤鄉舉辦的貴州省“美麗鄉村”籃球聯賽，經由短視頻火爆全網，被稱為“村BA”，中國駐美大使及外交部發言人在海外媒體發文推薦．某高三班主任從網上找到6個與此相關的短視頻，，，，，，準備從這6個短視頻中再選出3個向學生推薦，則，，至少選1個的方法種數為（ ）
A．8 B．18 C．19 D．24
【答案】C【詳解】不同選法種數為.
例2：甲乙等五名學生參加數學、物理、化學、生物這四門學科競賽，已知每人恰參加一門學科競賽，每門學科競賽都有人參加，且甲乙兩人不參加同一學科競賽，則一共有（ ）種不同的參加方法
A．72 B．144 C．216 D．240
【答案】C【詳解】依題意將名同學分成、、、四組，再分配到四門學科中有種，
其中甲乙兩人恰好參加同一學科競賽的有種，所以不同的參加方法有種.
例3：四面體的頂點和各棱的中點共10個點．在這10點中取4個不共面的點，則不同的取法種數為（ ）
A．141 B．144 C．150 D．155
【答案】A【詳解】從10個點中任取4個點有種取法，其中4點共面的情況有三類．第一類，取出的4個點位于四面體的同一個面上，有種；第二類，取任一條棱上的3個點及該棱所對棱的中點，這4點共面，有6種；
第三類，由中位線構成的平行四邊形（其兩組對邊分別平行于四面體相對的兩條棱），它的4頂點共面，有3種．
以上三類情況不合要求應減掉，∴不同的取法共有種．
例4：某校組織一次認識大自然的活動，有10名同學參加，其中有6名男生 4名女生，現要從這10名同學中隨機抽取3名同學去采集自然標本.抽取人中既有男生又有女生的抽取方法共（ ）
A．192種 B．120種 C．96種 D．24種
【答案】C【詳解】從10名同學中隨機抽取3名同學有種方法，抽取的人全是男生的有種，全是女生的有種，所以抽取人中既有男生又有女生的抽取方法共（種）.
例5：現有16張不同的卡片，其中紅色，黃色，藍色，綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一顏色，且綠色卡片至多1張，則不同的取法種數為（ ）
A．484 B．472
C．252 D．232
【答案】B【詳解】根據題意，不考慮限制，從16張卡片中任取3張，共有種取法，如果取出的3張為同一種顏色，則有種情況，如果取出的3張有2張綠色卡片，則有種情況，故所求的取法共有種.
例6：中國空間站（ChinaSpaceStation）的主體結構包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙.年月日分，我國將“夢天實驗艙”成功送上太空，完成了最后一個關鍵部分的發射，“夢天實驗艙”也和“天和核心艙”按照計劃成功對接，成為“”字形架構，我國成功將中國空間站建設完畢.年，中國空間站將正式進入運營階段.假設空間站要安排甲、乙等名航天員都去開展實驗，三艙中每個艙至少一人，且甲、乙兩人不同艙，則不同的安排方法有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．以上都不對
【答案】B【詳解】利用間接法：先考慮將四人分為三組，每組人數分別為、、，再將這三組人分配給三個艙，
不同的分配方法種數為；然后考慮甲、乙兩人在同一艙的情形，只需將另外兩人分成兩組，每組一人，再將這三組人分配給三個艙，此時，不同的分配方法種數為種.綜上所述，甲、乙兩人不同艙，則不同的安排方法種數為種.
考點十、定序倍縮法
例1：將甲、乙、丙等六位同學排成一排，且甲、乙在丙的兩側，則不同的排法種數共有( )
A． B． C． D．
【答案】D【詳解】將甲、乙、丙等六位同學進行全排可得種，
甲、乙、丙的排列為種，因為甲、乙在丙的兩側，所以可能為甲丙乙或乙丙甲，所以不同的排法種數共有種．
例2：由數字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數字的六位數，其中百位、十位、個位數字總是從小到大排列的共有（ ）
A．120個 B．100個 C．300個 D．600個
【答案】B【詳解】數字0,1,2, 3,4,5可組成個沒有重復數字的六位數，又因為對特定的3個數字排到百十個位，共種情況，從小到大排列只有1種情況，故共有個.
例3：在一次學校組織的研究性學習成果報告會上，有共6項成果要匯報，如果B成果不能最先匯報，而A C D按先后順序匯報（不一定相鄰），那么不同的匯報安排種數為（ ）
A．100 B．120 C．300 D．600
【答案】A【詳解】不考慮限制條件共有種，最先匯報共有種，如果不能最先匯報，而 C D按先后順序匯報（不一定相鄰）有.
例4：某學校組織6×100接力跑比賽，某班級決定派出A，B，C，D，E，F等6位同學參加比賽．在安排這6人的比賽順序時要保證A要在B之前，D和F的順序不能相鄰，則符合要求的安排共有（ ）
A．240種 B．180種 C．120種 D．150種
【答案】A【詳解】解：6位同學參加接力賽跑，先考慮D和F的順序不能相鄰，其他四人的順序數為
種，D和F進行插空共有種，在所有符合條件的排序中，A要安排在B之前與A要安排在B之后的數量一樣多，所以，符合要求的順序有＝240種．
例5：現有5名學生：甲、乙、丙、丁、戊排成一隊照相，要求甲與乙相鄰，且甲、乙、丁的左右順序固定，站法種數為（ ）
A．36 B．24 C．20 D．12
【答案】D【詳解】因為甲與乙相鄰，且甲、乙、丁的左右順序固定，
所以可將甲和乙看作一個整體，共有1種站法，再與其余三人進行排列，共有種站法.
例6：《紅樓夢》四十一回中，鳳姐為劉姥姥準備了一道名為“茄鲞”的佳肴，這道菜用到了雞湯、雞脯肉、香菌、新筍、豆腐干、果干、茄子凈肉七種原料，烹飪時要求香菌、新筍、豆腐干一起下鍋，茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，雞湯最后下鍋，則烹飪“茄鲞”時不同的下鍋順序共有（ ）
A．6種 B．12種 C．36種 D．72種
【答案】B【詳解】因為香菌、新筍、豆腐干一起下鍋，把它們捆綁在一起，看作一個元素，
此時共有5個元素，其中雞湯最后下鍋，放在最后一個位置，茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，定序問題用倍縮法，共有種不同的排列方式.
例7：小武是1993年12月18日出生的，他設置家里的電子門鎖的時候打算用他的出生年、月、日中的8個數字進行排列得到一個8位數的密碼，那么小武同學可以設置的不同密碼的個數為（ ）
A．2760 B．3180 C．3200 D．3360
【答案】D【詳解】先將這8個數字進行全排列，有種情況，而這8個數字中有三個1和兩個9，可將這三個1和兩個9看作是順序固定的排列方法，所以一共可以組成個六位數，即可以設置的不同密碼的個數為．
考點十一、平均分組
【方法技巧與總結】
分組問題（分成幾堆，無序）有等分、不等分、部分等分之別.一般地，平均分成堆（組）必須除以；如果有堆（組）元素個數相同，必須除以.
【典型例題】
例1．（2023·全國·高三專題練習）有6本不同的書，按下列方式進行分配，其中分配種數正確的是（ ）
A．分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有15種分法；
B．分給甲、乙、丙三人中，一人4本，另兩人各1本，有180種分法；
C．分給甲乙每人各2本，分給丙丁每人各1本，共有90種分法；
D．分給甲乙丙丁四人，有兩人各2本，另兩人各1本，有1080種分法；
【答案】D
【解析】選項A，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有種分配方法，故該選項錯誤；
選項B，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，一人4本，另兩人各1本，先將6本書分成4-1-1的3組，再將三組分給甲乙丙三人，有種分配方法，故該選項錯誤；
選項C，6本不同的書分給甲乙每人各2本，有種方法，其余分給丙丁每人各1本，有種方法，所以不同的分配方法有種，故該選項錯誤；選項D，先將6本書分為2-2-1-1的4組，再將4組分給甲乙丙丁4人，有種方法，故該選項正確.
例2．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗縣第一中學校考開學考試）將6名實習教師分配到3所學校進行培調，每名實習教師只能分配到1個學校，每個學校至少分配1名實習教師，則不同的分配方案共有（ ）
A．240種 B．360種 C．450種 D．540種
【答案】D【解析】由題知，6名教師分3組，有3種分法，即1，2，3；1，1，4；2，2，2，
共有種分法，再分配給3所學校，可得種.
例3．（2023春·湖南長沙·高二長沙一中校考開學考試）某社區為了做好疫情防控工作，安排6名志愿者進行核酸檢測，需要完成隊伍組織 信息錄人 采集核酸三項任務，每項任務至少安排一人但至多三人，則不同的安排方法有（ ）
A．450種 B．72種 C．90種 D．360種
【答案】A【解析】6名志愿者分成三組，每組至少一人至多三人，
可分兩種情況考慮：第一種：人數為的三組，共有種；
第二種：人數為的三組，共有種.所以不同的安排方法共有種，
例4．（2023·陜西銅川·校考一模）將4名新招聘的工人分配到A，B兩個生產車間，每個車間至少安排1名工人，則不同安排方案有（ ）
A．36種 B．14種 C．22種 D．8種
【答案】B【解析】將4名工人，安排到兩個車間：分為其中一個車間安排1名工人，另一車間安排3名工人和兩個車間都安排兩名工人，兩種情況.其中一個車間安排1名工人，另一車間安排3名工人的方案有：；
兩個車間都安排兩名工人的方案有：.所以，不同的安排方案有.
例5．（2023秋·山西長治·高二長治市上黨區第一中學校校考期末）某班開展閱讀比賽，老師選擇了5本不同的課外書，要求每位同學在3天內閱讀完這5本課外書，每天至少選一本閱讀，選擇的課外書當天需閱讀完，則不同的選擇方式有（ ）
A．540種 B．300種 C．210種 D．150種
【答案】D【解析】先將每天讀書的本數分組，有和兩種分組方案，當按分組時，有種方法，當按按分組時，有種方法，所以不同的選擇方式有種.
例6．（2023秋·山東濰坊·高二統考期末）某大學派遣甲、乙、丙、丁、戊、己六位同學參加A，B，C三個企業的調研工作，每個企業去2人，且甲去B企業，乙不去C企業，則不同的派遣方案共有（ ）
A．42種 B．30種 C．24種 D．18種
【答案】D【解析】若甲乙去同一企業，則甲乙只能去B企業，剩下的4人平均分去兩個企業，共有種；若甲乙不去同一企業，分兩步，第一步：先給甲乙兩人選同伴，有種，第二步：將這三組分去三個企業，因為甲去B企業，乙不去C企業，所以共有1種分法，由分步乘法計數原理可得：共有種；
所以不同的派遣方案共有種，
例7．（2023春·江蘇南京·高三南京市寧海中學校考階段練習）將5名學生志愿者分配到成語大賽、詩詞大會、青春歌會、愛心義賣4個項目參加志愿活動，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（ ）
A．60種 B．120種 C．240種 D．480種
【答案】C【解析】根據題意，分2步進行分析：①將5名大學生分為4組，有種分組方法，
②將分好的4組安排參加4個項目參加志愿活動，有種情況，則有種分配方案；
例8．（2023·重慶·統考一模）2022年8月某市組織應急處置山火救援行動，現從組織好的5支志愿團隊中任選1支救援物資接收點服務，另外4支志愿團隊分配給“傳送物資、砍隔離帶、收撿垃圾”三個不同項目，每支志愿團隊只能分配到1個項目，且每個項目至少分配1個志愿團隊，則不同的分配方案種數為（ ）
A．36 B．81 C．120 D．180
【答案】D【解析】先從5支志愿團隊中任選1支救援物資接收點服務，有種不同的選派方案，
再將剩下的4支志愿團隊分配給“傳送物資、砍隔離帶、收撿垃圾”三個不同項目，有種不同的選派方案，所以，根據分步乘法原理，不同的安排方案有種.
例9．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中學校考期末）若六位老師前去某三位學生家中輔導，每一位學生至少有一位老師輔導，每一位老師都要前去輔導且僅能輔導一位同學，由于就近考慮，甲老師不去輔導同學1，則有（ ）種安排方法
A．335 B．100 C．360 D．340
【答案】C【解析】把6位老師按照4，1，1或3，2，1或2，2，2人數分為三組；
①把6為老師平均分為3組的不同的安排方法數有
在把這三組老師安排給三位不同學生輔導的不同安排方案數為：，
根據分步計數原理可得共有不同安排方案為：
如果把甲老師安排去輔導同學1的方法數為：
所以把6位老師平均安排給三位學生輔導且甲老師不安排去輔導同學1的方法數為
②把6位老師按照4，1，1分為3組給三位學生輔導的方法數為：
若1同學只安排了一位輔導老師則
若1同學安排了四位輔導老師則
所以把6位老師按照4，1，1分為3組給三位學生輔導，
甲老師不安排去輔導同學1的方法數為
③把6位老師按照3，2，1分為3組給三位學生輔導的方法數為；
若1同學只安排了一位輔導老師則
若1同學只安排了兩位輔導老師則
若1同學只安排了三位輔導老師則
所以把6位老師按照3，2，1分為3組給三位學生輔導，
甲老師不安排去輔導同學1的方法數為
綜上把6位老師安排給三位學生輔導，甲老師不安排去輔導同學1的方法數為
故選：C
例10．（2023春·湖南株洲·高三株洲二中校考階段練習）將5名女老師和5名男老師分配到三個社區，每名老師只去一個社區，若每個社區都必須要有女老師，且有男老師的社區至少有2名女老師，則不同的分配方法有（ ）
A．1880種 B．2940種 C．3740種 D．5640種
【答案】B【解析】5名女老師分配到三個社區，分配的方案有型與型，
對于型，女老師的分配情況有，其中只有一個社區女老師

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