資源簡介

第四周 數 圖 形
專題簡析：
小朋友，你想學會數圖形的方法嗎？要想不重復也不遺漏地數出線段、角、三角形……那就必須要有次序、有條理地數，從中發現規律，以便得到正確的結果。要正確數出圖形的個數，關鍵是要從基本圖形入手。首先要弄清圖形中包含的基本圖形是什么，有多少個，然后再數出由基本圖形組成的新的圖形，并求出它們的和。
例題1 數出下面圖中有多少條線段？
思路導航：我們可以采用以線段左端點分數數的方法。
以A點為左端點的線段有：AB、AC、AD共3條；
以B點為左端點的線段有：BC、BD共2條；
以C點為左端點的線段有：CD共1條。
所以，圖中共有線段3＋2＋1=6條。
我們還可以這樣想：把圖中線段AB、BC、CD看作基本線段來數，那么：
由1條基本線段構成的線段：AB、BC、CD共3條；
由2條基本線段構成的線段：AC、BD共2條；
由3條基本線段構成的線段：AD只1條。
所以，圖中共有3＋2＋1=6條線段。
練 習 一
1，數出下圖中各有多少條線段？


2，數出下圖中有幾個角。

例題2 數出下圖中有幾個角。

思路導航：數角的個數可以采用與數線段相同的方法來數。
以AO為一邊的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD三個；
以BO為一邊的角有：∠BOC、∠BOD兩個；
以CO為一邊的角有：∠COD一個。
所以圖中共有3＋2＋1=6個角。
小朋友，如果把圖中∠AOB、∠BOC、∠COD看作基本角，那應該怎樣數呢？動動腦筋。
練 習 二
1，數出下圖中有幾個角？

2，數出下圖中有幾個三角形？

例題3 數出下面圖中共有多少個三角形。

思路導航：數三角形的個數也可以采用按邊分類的方法來數。
以AB為邊的三角形有：△ABC、△ABD、△ABE三個；
以AC為邊的三角形有：△ACD、△ACE二個；
以AD為邊的三角形有：△ADE一個。
所以圖中共有三角形3＋2＋1=6個。
我們還發現，要數出圖中三角形的個數，只需數出△ABE的底邊中包含幾條線段就可以了，即3＋2＋1=6條。所以圖中共有6個三角形。
練 習 三
1，數出下面圖中共有多少個三角形。

2，數出下面圖中共有多少個三角形。

例題4 數出下圖中有多少個長方形。

思路導航：數圖形中有多少個長方形和數三角形的方法一樣，長方形是由長寬兩對線段圍成，線段CD上有3＋2＋1=6條線段，其中每一條與AC中一條線段對應，分別作為長方形的長和寬，這里共有6×1=6個長方形；而AC上共2＋1=3條線段也就有6×3=18個長方形。它的計算公式為：
長方形的總數=長邊線段的總數×寬邊線段的總數
練 習 四
1，數出下圖中有多少個長方形。

2，數出下圖中有多少個正方形。

例題5 有10個小朋友，每2個人照一張合影，一共要照多少張照片？
思路導航：這道題可以用數線段的方法來解答。
根據題意，畫出線段圖，每一個點代表一個小朋友：
從圖上可以看出，第1個小朋友要與其余9個小朋友合影，要照9張照片；第2個小朋友還要與其余8個小朋友合影，再照8張照片……以此類推，第9個小朋友只要再與1個小朋友合影，再照1張照片。所以，一共要照9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1=45張照片。
練 習 五
1，三年級有6個班，每兩個班要比賽拔河一次，這樣一共要組織多少場比賽？
2，有紅、黃、藍、白四只氣球，如果每兩只氣球扎成一束，共有多少種不同的扎法？
3，有1——6六個數字，能組成多少個不同的兩位數？
第七周 填數游戲
專題簡析：
小朋友都喜愛做游戲。填數游戲不但非常有趣，而且能促使你積極地思考問題、分析問題、發展能力。但有時也有一定的難度，不過，只要你掌握了填寫方法，填起來就很輕松了。
填數時，要仔細觀察圖形，確定圖形中關鍵的位置應填幾，一般是圖形的頂點及中間位置。另外，要將所填的空與所提供的數字聯系起來，一般要先計算所填數的總和與所提供數字的和之差，從而確定關鍵位置應填幾。關鍵位置的數確定好了，其他問題就迎刃而解了。
例題1 在下圖中分別填入1——9，使兩條直線上五個數的和相等，和是多少呢？

思路導航：我們可以這樣想，把1——9中間的5填到中心的○內，剩下八個數，一大一小，搭配成和都是10的四組，這樣兩條直線上五個數的和都是5＋10×2=25。

如果把1填在中心的○內，這樣剩下的八個數可以一大一小搭配成和都是11的四組，這時兩條直線上五個數的和是1＋11×2=23。
想想：兩條直線上五個數的和還可以是多少？
練 習 一
1，在下圖中填入2——10，使橫行、豎行中的五個數的和相同。和是多少呢？

2，把1、4、7、10、13、16、19七個數填入圖中7朵花里，使每條直線上三個數的和相等。

3，把6、8、10、12、14、16、18七個數填在下圖的○中，使每排三個數及外圓上三個數的和都是32。

例題2 把數字1——8分別填入下圖的小圓圈內，使每個五邊形上5個數的和都等于20。

思路導航：題目中所給8個數字的和是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8=36，題中要使每個五邊形上五個數的和等于20，那么兩個五邊形上數字的總和是20×2=40。兩個五邊形上的數字總和比8個數的和多40－36=4，多4的原因是圖中中間兩個圓圈的數字算了兩次，多算了一次。1——8中只有1和3的和為4，所以先確定關鍵的中間兩個圓圈中，一個填1，一個填3。20－（1＋3）=16，16可以分成2＋6＋8和4＋5＋7，所以本題應該這樣填：
練 習 二
1，將數字1——6填入下圖中的小圓圈內，使每個大圓上4個數的和都是15。

2，把5、6、7、8、9、10這六個數填入下圖三角形三條邊的○內，使得每條邊上的三個數的和是21。

3，把1——8這八個數，分別填入下圖的各個□內，使得每一橫行、每一豎行的三個數的和是13。

例題3 在圖中填入2——9，使每邊3個數的和等于15。

思路導航：解這題的關鍵是填出圖中的4個頂點，因為求和時這4個頂點各算了兩次，多算了一次，所以4邊數的和是15×4=60，所給的數的和是2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=44，所以4個頂點數的和是60－44=16。
我們可選出3＋7＋4＋2=16填入4個頂點。

想一想，有沒有其他填法？
練 習 三
1，把1——8填入下圖中，使每邊3個數的和等于13。

2，將1——9這九個數填入下圖中，使三角形每條邊上四個數的和等于19，且有一個頂點的數字為1。

3，把1——10這十個數填入下圖中，使每個正方形頂點圓圈內四個數之和都相等，而且最大。這個和是多少？

例題4 把1——8填入下圖○內，使每邊上三個數的和最大。求最大的和是多少？

思路導航：要使每邊上三個數之和最大，容易想到把8、7、6、5填在四角，因為四個角上的數在求和時各用了兩次，其他數各用了一次。由此我們可以列出求和的算式為：
[（8＋7＋6＋5）×2＋4＋3＋2＋1]÷4=62÷4
和不是整數，說明四條邊上的總和要減少2才行，這只要將填在角上的5換成3即可。所以，最大的和為：
（62－2）÷4=15
練 習 四
1，把3——10填入下圖○中，使每邊上三個數的和最大，求最大的和是多少？

2，把1——8填入下圖○中，使每邊上三個數的和最小。最小的和是多少？

3，將數字1——8填入下圖中，使橫行□中的數之和等于豎行□中的數之和，這個和可以是多少？

例題5 在下圖各圓空余部分填上3、5、7、8，使每個圓的4個數的和都是21。

思路導航：這題的關鍵是找出中間部分填什么，因為所給的3個數都是雙數，恰好每個圓內有兩個雙數，它們的和也是雙數，再填入兩個數后，使每個圓的4個數的和是21，21是單數，也就是每個圓內填入的兩個數的和為單數，而3、5、7、8中3、5、7都是單數，要使和為單數，8要填入中間部分，即：

練 習 五
1，在圖中各圓的空余部分分別填上1、2、4、6，使每個圓中4個數的和是15。

2，在圖中各圓空余部分分別填上4、5、7、9，使每個圓中4個數的和是27。

3，在圖中各圓空余部分分別填上6、8、10、11，使每個圓中4個數的和是33。

第三十一周 用假設法解題
專題簡析：
假設是數學中思考問題的一常見的方法，有些應用題乍看很難求出答案，但是如果我們合理地進行假設，往往會使問題得到解決。所謂假設法就是依照已知條件進行推算，根據數量上出現的矛盾，作適當的調整，從而找到正確答案。我國古代趣題“雞兔同籠”就是運用假設法解決問題的一個范例。
解答“雞兔同籠”問題的基本關系式是：
兔數=（總腳數－每只雞腳數×雞兔總數）÷（每只兔子腳數－每只雞腳數）
用假設法解答類似“雞兔同籠”的問題時，可以根據題意假設幾個量相同，然后進行推算，所得結果與題中對應的數量不符合時，要能夠正確地運用別的量加以調整，從而找到正確的答案。
例題1 雞、兔共30只，共有腳84只。雞、兔各有多少只？
思路導航：
假設全是雞，共有腳：30×2=60只；
比實際少：84－60=24只；
這是因為把4只腳的兔子都按2只腳的雞計算了。
每把一只兔子算作一只雞，少算：4－2=2只腳，現在共少算了24只腳，說明把：24÷2=12只兔子按雞算了。
所以，共有兔子12只，有雞30－12=18只。
練 習 一
1，雞、兔共100只，共有腳280只。雞、兔各多少只？
2，雞、兔共50只，共有腳160只。雞、兔各幾只？
3，雞、兔共45只，雞的腳比兔的腳多60只。雞、兔各多少只？
例題2 雞、兔共籠，雞比兔多30只，一共有腳168只，雞、兔各多少只？
思路導航：因為雞比兔多30只，則可以把30只雞的腳從總數中去掉，剩下的雞兔就同樣多了。每一對雞和兔共4＋2=6只腳，用6去除剩下的雞兔總腳數，就可求出兔的只數。
兔的只數：（168－2×30）÷（4＋2）=18只；
雞的只數：18＋30=48只。
練 習 二
1，雞兔共籠，雞比兔多25只，一共有腳170只。雞、兔各幾只？
2，買甲、乙兩種戲票，甲種票每張4元，乙種票每張3元，乙種票比甲種票多買了9張，一共用去97元。兩種票各買了幾張？
3，雞兔共有腳48只，如果將雞的只數與兔的只數互換則共有腳42只。雞、兔各幾只？
例題3 某學校舉行數學競賽，每做對一題得9分，做錯一題倒扣3分。共有12道題，王剛得了84分。王剛做錯了幾題？
思路導航：這類題實與雞兔同籠同類，還用假設法進行思考。
若全做對，應得9×12=108分，現在少了108－84=24分。為什么會少24分，因為做錯一題，不但得不到9分，反而需要倒扣3分，里外少了12分，所以錯了24÷12=2題。
練 習 三
1，某小學進行英語競賽，每答對一題得10分，答錯一題倒扣4分，共15題，小華得了102分。小華答對幾題？
2，運輸襯衫400箱，規定每箱運費30元，若損失一箱，不但不給運費，并要賠償100元。運后運費為8880元，損失了幾箱？
3，某車間生產一批服裝共250件，生產1件可得25元，如果有1件不符合要求，則倒扣20元。生產后得到費用5350元，有幾件不符合要求？
例題4 水果糖的塊數是巧克力糖的3倍，如果小紅每天吃2塊水果糖，1塊巧克力糖，若干天后，水果糖還剩下7塊，巧克力糖正好吃完。原來水果糖有幾塊？
思路導航：水果糖的塊數是巧克力糖的3倍，如果小紅每天吃1塊巧克力糖，3塊水果糖，那若干天后，兩種糖正好同時吃完。現在小紅每天吃2塊水果糖，少吃3－2=1塊，結果若干天后水果糖還剩下7塊。所以共吃了7÷1=7天，水果糖有2×7＋7=21塊。
練 習 四
1，小英家有些梨和蘋果，蘋果的個數是梨的3倍，爸爸和小英每天各吃1個蘋果，媽媽每天吃1個梨。若干天后，蘋果還剩9個，而梨恰巧吃完。原來蘋果有多少個？
2，某商店有些紅氣球和黃氣球，紅氣球的只數是黃氣球的4倍。每天賣出2只紅氣球和1只黃氣球，若干天后，紅氣球剩下12只，黃氣球剛好賣完。紅氣球原來有多少只？
3，四（3）班有彩色粉筆和白粉筆若干盒，白粉筆是彩色粉筆的7倍。每天用去2盒白粉筆和1盒彩色粉筆，當彩色粉筆全部用完時，白色粉筆還剩10盒。原來白色粉筆有多少盒？
例題5 學校買來8張辦公桌和6把椅子，共花去1650元。每張辦公桌的價錢是每把椅子的2倍，每張辦公桌和每把椅子各多少元？
思路導航：假設學校買的全部是辦公桌，根據“每張辦公桌的價錢是每把椅子的2倍”，則買6把椅子的價錢只能買6÷2=3張辦公桌，那么1650元就相當于8＋3=11張辦公桌的價錢。
所以，每張辦公桌：1650÷11=150元
每把椅子：150÷2=75元。
練 習 五
1，買4張辦公桌9把椅子共用252元，1張桌子和3把椅子的價錢正好相等。桌、椅單價各多少元？
2，學校買來4個籃球和5個排球，共用了185元。已知1個籃球比1個排球貴8元，那么籃球每個多少元？排球每個多少元？
3，小明買2個乒乓球和4個皮球共用去52元，6個乒乓球的價錢相當于1個皮球的價錢。乒乓球、皮球的單位各多少元？
第三十七周 面積計算
專題簡析：
我們已經學會了計算長方形、正方形的面積，知道長方形的面積=長×寬，正方形的面積=邊長×邊長。利用這些知識我們能解決許多有關面積的問題。
在解答比較復雜的關于長方形、正方形的面積計算的問題時，生搬硬套公式往往不能奏效，可以添加輔助線或運用割補、轉化等解題技巧。因此，敏銳的觀察力和靈活的思維在解題中十分重要。
例題1 把一張長為4米，寬為3米的長方形木板，剪成一個面積最大的正方形。這個正方形木板的面積是多少平方米？
思路導航：要使剪成的正方形面積最大，就要使它的邊長最長（如圖），那么只能選原來的長方形寬為邊長，即正方形的邊長是3米。
正方形的面積：3×3=9米。
練 習 一
1，把一張長6厘米，寬4厘米的長方形紙剪成一個面積最大的正方形，這張正方形紙的面積是多少平方厘米？
2，把一塊長2米、寬6分米的長方形鐵板切割成一個面積最大的正方形，這個正方形鐵板的面積是多少？
3，將一張長10厘米、寬8厘米的長方形紙片剪成一個面積最大的正方形，那么剪下的另一個小長方形的面積是多少？
例題2 學校里有一個正方形花壇，四周種了一圈綠籬，綠籬總長20米。花壇的面積是多少平方米？
思路導航：要求正方形花壇的面積，必須知道花壇的邊長是多少。根據綠籬總長是20米，可求出花壇的邊長為20÷4=5米，所以花壇的面積是：5×5=25平方米。
練 習 二
1，一個正方形的周長為36厘米，那么這個正方形的面積是多少平方厘米？
2，運動場有一個正方形的游泳池，在游泳池四周粘上瓷磚，瓷磚總長400米，求游泳池的面積是多少平方米。
3，在公園里有兩個花圃，它們的周長相等。其中長方形花圃長40米，寬20米，求另一個正方形花圃的面積。
例題3 求下面圖形的面積。（單位：厘米）
思路導航：這個圖形無法直接求出它的面積，我們可以畫一條輔助線，將這個圖形分割成兩個長方形。如下圖：
從圖上可以看出，左邊長方形的長為4厘米，寬為2厘米，面積為4×2=8平方厘米；右邊長方形的長為3厘米，寬為1厘米，面積為3×1=3平方厘米。
所以，這個圖形的面積為：8＋3=11平方厘米。
想一想：這道題還可以怎樣畫輔助線，分割后求面積呢？
練 習 三
計算下面圖形的面積。（單位：厘米）
例題4 有兩個相同的長方形，長是8厘米，寬是3厘米。如果把它們按下圖疊放，這個圖形的面積是多少？
思路導航：如果兩個長方形沒有疊放，那么它們的面積就是8×3×2=48平方厘米，現在兩個長方形重疊了一部分，重疊部分是個邊長3厘米的正方形，面積是3×3=9平方厘米，因此，這個圖形的面積是48－9=39平方厘米。
練 習 四
1，兩張邊長8厘米的正方形紙，一部分疊在一起放在桌上（如下圖），桌面被蓋住的面積是多少？
2，求下圖中陰影部分的面積。（單位：分米）
3，一個長方形與一個正方形部分重合（如下圖），求沒有重合的陰影部分面積相差多少？（單位：厘米）
例題5 一個長方形若長增加2厘米，面積就增加10平方厘米，若寬減少3厘米，面積就減少18平方厘米。求原來長方形的面積。
從圖上可以看出，長增加2厘米，面積就增加10平方厘米，說明原來長方形的寬是10÷2=5厘為；寬減少3厘米，面積就減少18平方厘米，說明原來長方形的長是18÷3=6厘米。所以，原來長方形的面積是：6×5=30平方厘米。
練 習 五
1，一個長方形，若長減少5厘米，面積就減少50平方厘米，若寬增加7厘米，面積就增加28平方厘米。原來長方形的面積是多少平方厘米？
2，一個正方形若邊長都增加4厘米，面積就增加56平方厘米。原來正方形的面積是多少平方厘米？
3，一個長方形，若寬增加6分米就是一個正方形，面積就增加了66平方分米，求原來長方形的面積。
第三十三周 平均數問題（二）
專題簡析：
前面我們已經向同學們介紹了用基本數量關系式來求平均數的方法了，如果題目中沒有直接告訴我們總數量以及總份數，那又該怎么辦呢？這類題可以拓寬同學們的解題思路，從而提高解題的能力。
解答平均數問題的關鍵是要找準問題與條件，條件與條件之間相對應的關系，通常要先確定總數量以及與總數量相對應的總份數，再求平均數。
例題1 華華3次數學測驗的平均成績是89分，4次數學測驗的平均成績是90分。第4次測驗多少分？
思路導航：根據3次數學測驗平均成績是89分，可求出3次測驗的總成績是89×3=267分；根據4次數學測驗平均成績是90分，可以求出4次測驗的總成績是90×4=360分，最后求出第4次測驗成績是：360－267=93分。
也可以這樣想：4次測驗的平均成績比3次的平均成績多了90－89=1分，4次共多出了1×4=4分，那么第4次的測驗成績就是89＋4=93分。
練 習 一
1，有4個采茶小隊，甲、乙、丙三個小隊平均每隊采20千克，甲、乙、丙、丁四個隊平均每隊采22千克。丁隊采了多少千克？
2，期中考試后，王英的語文、數學平均成績是92分，加上英語后，三門的平均成績是93分。英語考了多少分？
3，明明、紅紅兩人的平均體重是32千克，加上英英的體重后，他們的平均體重就上升了1千克。英英重多少千克？
例題2 寧寧期中考試語文、數學、自然的平均分是91分，英語成績公布后，他的平均分提高了2分。寧寧英語考了多少分？
思路導航：寧寧語文、數學、自然的平均分是91分，可以求出三門功課的總分為91×3=273分；英語成績公布后，四門功課的平均分為91＋2=93分，總分為93×4=372分，所以，英語成績為372－273=99分。
練 習 二
1，小英4次數學測驗的平均分是92分，5次數學測驗的平均分比4次的平均分提高1分。小英第5次測驗得多少分？
2，小王、小張、小劉三人體育測試平均成績是82分，如果加上小顧，四人平均成績就提高了4分。小顧體育測試分數是多少？
3，一個同學讀一本書，共10天讀完，平均每天讀8頁。前5天他平均每天讀6頁，后4天這個同學平均每天讀多少頁？
例題3 有7個數的平均數為8，如果把其中一個數改為1，這時7個數的平均數是7。這個被改動的數原來是幾？
思路導航：改動前，7個數的平均數為8，這7個數的總和是8×7=56；改動后7個數的平均數是7，這時7個數的總和是7×7=49，改動前后總和相差了56＋49=7，這說明原數比1多了7，因而原數為1＋7=8。
練 習 三
1，有5個數的平均數是5，如果把其中一個數改為2，這5個數的平均數是4。這個被改動的數原來是幾？
2，期中考試中小明4門功課的平均分是94分，由于老師批改的錯誤，其中有一門功課的成績被改為87分，這時4門功課的平均分是92分。這個被改動的成績原來是多少？
3，有3個數的平均數是3，如果把其中一個數改為10，那么這3個數的平均數是5。這個被改動的數原來是多少？
例題4 有4個數，這4個數的平均數是21，其中前兩個數的平均數是15，后3個數的平均數是26。第二個數是多少？
思路導航：根據“4個數的平均數是15”可以得出4個數的總數就是21×4=84；又根據“前2個數的平均數是15，后3個數的平均數是26”可以得出它們的總數為15×2＋26×3=108，其中第二個數被重復算了一次，所以總數就多出了108－84=24，這多出的24就是第二個數。
練 習 四
1，有4個數，它們的平均數是34，其中前3個數的平均數是30，后2個數的平均數是36。第三個數是多少？
2，有4個數，平均數是100，前兩個數的平均數是95，后3個數的平均數是98。第二個數是多少？
3，小林的語文、數學、英語、社會4門測試的平均分是89，前3門的平均分為92，后兩門的平均分為88。小林英語測試多少分？
例題5 甲地到乙地相距30千米，爸爸騎自行車從甲地到乙地每小時行15千米，從乙地到甲地每小時行10千米。求爸爸往返的平均速度。
思路導航：求爸爸往返的平均速度，必須知道總路程和總時間，總路程是兩個全程，即30×2=60千米；總時間是去的時間與返回的時間的和，即30÷15＋30÷10=5小時。所以，爸爸往返的平均速度是：60÷5=12（千米/小時）。
練 習 五
1，摩托車駕駛員以每小時20千米的速度行了60千米，返回時每小時行30千米。往返全程的平均速度是多少千米？
2，一輛汽車以每小時20千米的速度上坡，行了120千米，然后用每小時30千米的速度返回。求這輛汽車全程的平均速度。
3，某生產小組一天的工作任務都是生產300個零件。第一天以每小時30個的速度完成任務，第二天以每小時生產60個的速度完成任務。在這兩天的工作時間內，平均每小時生產多少個？
第三十九周 抽屜原理
專題簡析：
把12個蘋果放到11個抽屜中去，那么，至少有一個抽屜中放有兩個蘋果，這個事實的正確性是非常明顯的。把它進一步推廣，就可以得到數學里重要的抽屜原理。
用抽屜原理解決問題，小朋友一定要注意哪些是“抽屜”，哪些是“蘋果”，并且要應用所學的數學知識制造抽屜，巧妙地加以應用，這樣看上去十分復雜，甚至無從下手的題目才能順利地解答。
例題1 敬老院買來許多蘋果、橘子和梨，每位老人任意選兩個，那么，至少應有幾位老人才能保證必有兩位或兩位以上老人所選的水果相同？
思路導航：根據抽屜原理，要保證必有兩個或兩個以上的蘋果放在同一抽屜中，蘋果總數至少要比抽屜數多1。這里，我們可以馬敬老院老人人數看作抽屜原理中的蘋果數，關鍵是看抽屜數了。
因為三種水果任選兩個的搭配有：蘋果——蘋果；蘋果——橘子；蘋果——梨；橘子——橘子；橘子——梨；梨——梨共6種，所以，既然有6個抽屜，必須至少有7個蘋果才能保證兩個或兩個以上的蘋果放在同一抽屜里，即至少要7位老人。
練 習 一
1，學校圖書室買來許多故事書、科技書和連環畫，每個同學任意選兩本。那么，至少應有幾個同學，才能保證有兩個或兩個以上同學所選的書相同？
2，布袋中有紅、黃、橙三種顏色的木塊若干塊，每個小朋友任意摸兩塊木塊。那么，至少有多少個小朋友，才能保證有兩個或兩個以上小朋友所選的木塊相同？
3，一個袋子里有紅、黃、橙、紫四種顏色的小球，每人任意摸三個球，那么至少有幾人才能保證有兩個或兩個以上的人所選的小球相同？
例題2 幼兒園大班有41個小朋友，老師至少拿幾件玩具隨便分給大家，才能保證至少有一個小朋友能得兩件玩具？
思路導航：41個小朋友相當于41個抽屜，玩具的件數相當于蘋果。根據抽屜原理，玩具的件數應比41多1，所以至少要拿42件玩具。
練 習 二
1，小明家有5口人，小明媽媽至少要買幾個蘋果分給大家，才能保證至少有一人能得兩個蘋果？
2，某學校共有15個班級，體育室至少要買幾個排球分給各班，才能保證至少有一個班能得兩個排球？
3，某校有370名1992年出生的學生，那么，至少有幾個學生的生日是同一天？
例題3 盒子里混裝著5個白色球和4個紅色球，要想保證一次能拿出兩個同顏色的球，至少要拿出多少個球？
思路導航：如果每次拿2個球會有三種情況：（1）一個白球，一個紅球；（2）兩個白球；（3）兩個紅球。不能保證一次能拿出兩個同顏色的球。
如果每次拿3個球會有四種情況：（1）一個白球，兩個紅球；（2）一個紅球，兩個白球；（3）三個白球；（4）三個紅球。這樣每次都能保證拿出兩個同顏色的球，所以至少要拿出3個球。
練 習 三
1，箱子里裝著6個蘋果和8個梨，要保證一次能拿出兩個同樣的水果，至少要拿出多少個水果？
2，書箱里混裝著3本故事書和5本科技書，要保證一次能拿出兩本同樣的書，至少要拿出多少本書？
3，書箱里混裝著3本故事書和5本科技書，要保證一次一定能拿出2本故事書，至少要拿出多少本書？
例題4 一個布袋里裝有紅、黃、藍襪子各5只，問一次至少取出多少只，才能保證每種顏色至少有一只？
思路導航：我們從最不利的情況著手，如果先取5只全是紅的，那么只了再取5只；如果5只又全是黃的，這時，再取1只一定是藍的了，這樣取5×2＋1=11只才能保證每種顏色至少有1只。
練 習 四
1，抽屜里放著紅、綠、黃三種顏色的球各3只，一次至少摸出多少只才能保證每種顏色至少有一只？
2，書箱里放著4本故事書，3本連環畫，2本文藝書。一次至少取出多少本書，才能保證每種書至少有一本？
3，盒子里放有3枝綠鉛筆，3枝紅鉛筆和5枝藍鉛筆，如果閉上眼睛摸一次，必須摸幾枝才能保證至少有1枝藍鉛筆？
例題5 三（2）班有50個同學，在學雷鋒活動中，每人單獨做了些好事，他們共做好事155件。問：是否有人單獨做了4件或4件以上的好事？
思路導航：根據條件可知：三（2）班有50個同學，假如每個同學做3件好事，那就做了3×50=150件好事，而他們做的好事是155件，就多做了155－150=5件，所以完全可能有一個同學做了4件或4件以上好事。
練 習 五
1，幼兒園小班共有30個小朋友，他們每人自己都有一些玩具，他們共有玩具92件。問：是否有人單獨有4件或4件以上玩具？
2，童星幼兒園有6個班，他們在植樹節中每班都種了一些樹，他們共種了14棵樹，問：是否有班級種了3棵或3棵以上的樹？
3，明明、華華、穎穎三人各有一些鉛筆，他們共有鉛筆14枝。問：是否有人有5枝或5枝以上的鉛筆？
第三十二周 平均數問題
專題簡析：
在日常生活中，我們會遇到下面的問題：有幾個杯子，里面的水有多有少，為了使杯中水一樣多，就將水多的杯子里的水倒進水少的杯子里，反復幾次，直到幾個杯子里的水一樣多。這就是我們所講的“移多補少”，通常稱之為平均數問題。
解答平均數應用題關鍵是要求出總數量和總份數，然后再根據“總數量÷總份數=平均數”這個數量關系式來解答。
例題1 用4個同樣的杯了裝水，水面的高度分別是8厘米、5厘米、4厘米、3厘米。這4個杯子里水面的平均高度是多少厘米？
思路導航：根據已知條件，先求出4個杯子里水的總厘米數，再用總厘米數除以杯子的個數就可以求出平均每個杯子里水面的高度。
（8＋5＋4＋3）÷3=5厘米
練 習 一
1，小華期末測試語文、數學、英語、社會分別得了90分、96分、92分、98分，這四門的平均分是多少？
2，某校1——4年級分別有260人、300人、280人、312人，平均每個年級有多少人？
3，甲筐有梨32千克，乙筐有梨38千克，丙、丁筐共有梨50千克，平均每筐多少千克？
例題2 幼兒園小朋友做紅花，小華做了7朵，小方做了9朵，小林和小寧合做了12朵。平均每個小朋友做了多少朵？
思路導航：根據已知條件，先求出做花的總朵數，再用花的總朵數除以人數就可求出平均每人做花的朵數。
（7＋9＋12）÷4=7朵
練 習 二
1，一個書架上第一層放書52本，第二層和第三層共放70本，第四層放了46本，平均每層放書多少本？
2，某工廠第一、二車間共有工人180人，第三車間有103人，第四車間有81人。平均每個車間多少人？
3，商店有藍色氣球和紅色氣球共43只，黃氣球有20只，綠氣球有33只。平均每種氣球多少只？
例題3 植樹小組植一批樹，3天完成。前2天共植113棵，第3天植了55棵。植樹小組平均每天植樹多少棵？
思路導航：要求植樹小組平均每天植樹的棵數，必須知道植樹的總棵數和植樹的天數，植樹的總棵數用前2天植的113棵加上第3天植的55棵：113＋55=168棵，植樹的天數為3天。所以，平均每天植樹：168÷3=56棵。
練 習 三
1，小佳期中考試語文、數學總分為197分，外語考了91分，小佳三門功課的平均成績是多少分？
2，小紅、小青的平均身高是103厘米，小軍的身高是115厘米，三個人的平均身高是多少厘米？
3，一個同學讀一本故事書，前4天每天讀25頁，以后每天讀40頁，又讀了6天正好讀完。這個同學平均每天讀多少頁？
例題4 一輛摩托車從甲地開往乙地，前2小時每小時行駛60千米，后3小時每小時行駛70千米。平均每小時行駛多少千米？
思路導航：根據已知條件，先求這輛摩托車行駛的總路程：60×2＋70×3=330千米，再求行駛的總時間：2＋3=5小時。所以，平均每小時行駛：330÷5=66千米。
練 習 四
1，小華家先后買了兩批小雞，第一批的20只每只重60克，第二批的30只每只重70克。小華家的小雞平均多重？
2，少先隊員為飼養場割草，第一組7人，平均每人割草13千克，第二組5人，平均每人割25千克。平均每人割草多少千克？
3，一小組同學量身高，其中2人都是124厘米，另外4人都是130厘米。這組同學的平均身高是多少？
例題5 數學測試中，一組學生的最高分是98分，最低分是86分，其余5名學生的平均分為92分。這一組學生的平均分是多少分？
思路導航：要求平均分，應用總分數÷總人數=平均分，依題意，總分數為：98＋86＋92×5=644分，總人數為：1＋1＋5=7人。
所以，這組學生的平均分為：644÷7=92分。
練 習 五
1，一組同學進行立定跳遠，最遠的跳了152厘米，最近的跳了144厘米，其余6名同學都跳了148厘米。這一組同學的平均跳遠成績是多少？
2，一組學生測量身高，最高的是150厘米，最矮的是136厘米，其余4名同學都是143厘米。這組同學的平均身高是多少？
3，音樂考試中，一組學生中有2人得了最高分90分，1人得了最低分70分，其余5名同學都得了78分。這組學生的平均成績是多少？
第三十五周 巧求周長（一）
專題簡析：
一個圖形的周長是指圍成它的所有線段的長度和。我們已經學會了求長方形、正方形這些標準圖形的周長，那么怎樣運用長方形、正方形的周長計算公式，巧妙地求一些復雜圖形的周長呢？
對于一些不規則的比較復雜的幾何圖形，要求它們的周長，我們可以運用平移的方法，把它轉化為標準的長方形或正方形，然后再利用周長公式進行計算。
將一個大長方形或正方形分割成若干個長方形和正方形，那么圖形周長就會增加幾個長或寬；反之，將若干個小長方形或正方形合成一個大長方形或正方形，圖形周長就會減少幾個長或寬。
例題1 下圖是一個樓梯的側面圖，求此圖形的周長。
思路導航：如果把每層臺階的寬度向上移到和最上層臺階同樣高的地方，把每層臺階的高度向右移到和最下層的臺階長度一致的地方（如下圖），這樣樓梯側面圖就轉化為一個長方形，然后我們利用長方形周長計算公式求出此圖形的周長。
（2＋3）×2=10米。
練 習 一
1，下圖是一個樓梯的側面，如果在階梯上鋪地毯，要計算地毯的長度，可以怎樣測量？
2，如下圖所示，小明和小玲同時從學校到少兒書店，小明沿A路線行走，小玲沿B路線行走。如果兩人速度一樣，誰先到少兒書店？為什么？
3，下圖是一個“凹”字形的花園，求花園的周長。（單位：米）
例題2 下圖是由6個邊長2厘米的正方形拼成的，這個圖形的周長是多少厘米？
思路導航：這題我們可以用平移的方法將它轉化為一個長方形，如下圖：
這個長方形的長含有4個小正方形的邊長，長為2×4=8厘米；寬含有2個小正方形的邊長，寬為2×2=4厘米。這個長方形的周長為：（2×4＋2×2）×2=24厘米。
練 習 二
1，下圖是由5個邊長為3厘為的正方形組成的圖形，求此圖形的周長。
2，下圖是由6個邊長為2厘米的正方形組成的，求此圖形的周長。
3，用24個邊長是1厘米的正方形拼成一個長方形，這個長方形的周長是多少厘米？
例題3 兩個大小相同的正方形拼成一個長方形后，周長比原來兩個正方形周長的和減少了6厘米。原來一個正方形的周長是多少厘米？
思路導航：根據題意，畫出下圖。
當兩個正方形拼成一個長方形時，組成兩個正方形的8條邊就減少了2條，而已知兩條邊的和是6厘米，那么一條邊長就是6÷2=3厘米。所以，原來正方形的周長是：3×4=12厘米。
練 習 三
1，把兩個大小相同的正方形拼成一個長方形后，周長比原來兩個正方形的周長和減少10厘米。原來一個正方形的周長是多少？
2，把一個正方形剪成兩個大小相同的長方形后，兩個長方形的周長和比原來正方形的周長增加28分米。原來正方形的周長是多少？
3，把邊長是48厘米的正方形剪成三個同樣大小的長方形，算一算，每個長方形的周長是多少厘米？
例題4 一個正方形，邊長是5厘為，將9個這樣的正方形如下圖一樣拼成一個大正方形，問：拼成的大正方形的周長是多少？
思路導航：從圖上可以看出，9個小正方形拼成的大正方形共有3排，每排由3個小正方形組成。已知小正方形的邊長是5厘米，所以大正方形的邊長就是5×3=15厘米，大正方形的周長就是15×4=60厘米。
練 習 四
1，把16個邊長為3厘米的小正方形拼成一個大正方形，這個大正方形的周長是多少厘米？
2，把6個邊長為4厘米的小正方形如下圖拼成一個長方形，這個長方形的周長為多少厘米？
3，把6個長為3厘米、寬為2厘米的小長方形如下圖拼成一個大長方形，這個大長方形的周長是多少？
例題5 將一張邊長為36厘米的正方形紙，剪成4個完全一樣的小正方形紙片，這4個小正方形周長的和比原來的正方形周長增加了多少厘米？
思路導航：將邊長36厘米的正方形，沿豎直方向剪一刀，周長的和就比原來大正方形周長增加2個邊長；再沿水平方向剪一刀，又增加2個邊長，一共增加2×2個邊長。所以這4個小正方形周長的和比原來的正方形周長增加了36×4=144厘米。
練 習 五
1，將一張邊長為12厘米的正方形紙，剪成4個完全一樣的小正方形，那么這4個小正方形周長之和比原來的大正方形的周長增加了多少厘米？
2，把一個邊長為20厘米的正方形，如下圖剪成6個完全一樣的小長方形，這6個小長方形周長的和與原來的正方形相比，增加了多少厘米？
3，將一個長為8分米，寬為6分米的長方形如下圖剪成6個完全一樣的小長方形，這6個小長方形周長之和比原來的正方形周長增加了多少分米？
第三十八周 最佳安排
專題簡析：
我們每天的生活、學習都離不開時間，但是你知道時間有大學問嗎？合理地安排時間，往往會達到事半功倍的效果。科學地安排時間的方法，就叫做最佳安排。
小朋友在進行最佳安排時，要考慮以下幾個問題：（1）要做哪幾件事：（2）做每件事需要的時間；（3）要弄清所做事的程序，即先做什么，后做什么，哪些事可以同時做。
在學習、生產和工作中，只有盡可能地節省時間、人力和物力，才能發揮出更大的效率。
例題1 明明早晨起來要完成以下幾件事情：洗水壺1分鐘，燒開水12分鐘，把水灌入水瓶要2分鐘，吃早點要8分鐘，整理書包2分鐘。應該怎樣安排時間最少？最少要幾分鐘？
思路導航：經驗表明：能同時做的事盡量要同時去做，這樣節省時間。
水壺不洗，不能燒開水，因而洗水壺不能和燒開水同時進行；而吃早點和整理書包可以和燒開水同時進行。這一過程可用方框圖表示：
從圖上可以看出，洗水壺要1分鐘，接著燒開水要12分鐘，在等水開的同時吃早點、整理書包，水開了就灌入水瓶，共需15分鐘。
練 習 一
1，紅紅早晨起來刷牙洗臉要4分鐘，讀書要8分鐘，燒開水要10分鐘，沖牛奶1分鐘，吃早飯5分鐘。紅紅應怎樣合理安排？起床多少分鐘就能上學了？
2，玲玲想給客人燒水沏茶。洗水壺要2分鐘，燒開水要12分鐘，買茶葉5分鐘，洗茶杯要1分鐘，沖茶要1分鐘。要讓客人盡早喝上茶，你認為最合理的安排需要多少分鐘客人就能喝上茶了？
3，小李阿姨要出門，出門之前她要完成以下幾件事：整理房間5分鐘，把衣服和水放入洗衣機要1分鐘，洗衣服自動洗滌要12分鐘，擦鞋要3分鐘。怎樣合理安排，小李阿姨在多少分鐘后就可以出發了？
例題2 貼燒餅的時候，第一面需要烘3分鐘，第二面需要烘2分鐘，而貼燒餅的架子上一次最多只能放2個燒餅。要貼3個燒餅至少需要幾分鐘？
思路導航：先放第一、二兩個燒餅貼第一面，過3分鐘后，拿下第一個，并把第二個翻過去，并放上第三個燒餅；過2分鐘拿下第二個，并放第一個燒餅，過1分鐘把第三個燒餅翻過來；再過1分鐘取下第一個燒餅，再過1分鐘三個燒餅全貼完了，只用了8分鐘。
3＋2＋1＋1＋1=8分鐘
練 習 二
1，用一個平底鍋烙餅，鍋上只能同時放兩個餅。烙第一面需要2分鐘，烙第二面需要1分鐘。現在在烙三個餅，最少需要多少分鐘？
2，烤面包的架子上一次最多只能放兩個面包，烤一個面包每面需要2分鐘，那么烤三個面包最少需要多少分鐘？
3，小紅媽媽要小紅用平底鍋烙餅，鍋中每次最多放4個餅。烙一個餅一面要2分鐘，另一面要1分鐘，可小紅烙6個餅只用了5分鐘，她是怎么做的？
例題3 甲、乙、丙、丁四人各有一塊麥地，他們同時用一臺收割機進行收割，甲的麥地需要收割4小時，乙的麥地需要收割1小時，丙的麥地需要收割3小時，丁的麥地需要收割2小時。怎樣安排四人的順序，他們花的總時間最少？最少時間是多少？
思路導航：所用的時間是指他們四個各自收割時間與等的時間的總和，因為各自收割的時間不變，所以在安排收割的順序時，應該使等的時間盡可能少，即應該安排收割時間少的人先用，順序是：乙、丁、丙、甲，過程可用下表表示：
從表中可以看出，四人收割的時間為：1＋2＋3＋4=10小時，三人等的時間為：1×3＋2×2＋3=10小時，所以，最少時間為10＋10=20小時。
練 習 三
1，甲、乙、丙三人都要到同一水龍頭下取水，甲需要用2分鐘，乙需要用4分鐘，丙需要用1分鐘。怎樣安排，他們花的總時間最少？最少時間是多少？
2，衛生室里有四名同學等候醫生治病，甲打針要3分鐘，乙換紗布需要4分鐘，丙涂紅藥水需要2分鐘，丁點眼藥水需要1分鐘。怎樣安排，他們在醫院等候的時間和最少？最少是多少分？
3，三個顧客到同一個柜臺去買東西，甲需要用4分鐘，乙需要用6分鐘，丙需要用2分鐘。怎樣安排他們購買的順序，使他們所花的總時間最少？最少是多少？
例題4 在一條公路上每隔50千米有一個糧庫，共4個糧庫。甲糧庫存有10噸糧食，乙糧庫存有20噸糧食，丁糧庫存有50噸糧食，還有一個糧庫是空的。現在想把所存的糧食集中放在一個糧庫中，如果每噸糧食運1千米要1元的運費，那么最少要花多少運費才行？
思路導航：這種運輸問題，運的貨物越重路程越遠，花費就越多。反之，如果移動的貨物重量小路程近，花費的費用就少。在本題中，各糧庫之間的距離相等都是50千米，一般原則是“少往多處靠”。集中存在糧食較多的庫房比較節約，甲、乙兩倉庫糧食合起來是30噸，還不如丁糧庫的糧食多，所以應將甲、乙糧庫的糧食集中放在丁糧庫。甲糧庫需用1×10×50×3=1500元，乙糧庫需要1×20×50×20=2000元，共用1500＋2000=3500元。
練 習 四
1，一條公路上每隔20千米有1個倉庫，共有5個倉庫。1號倉庫存有20噸貨物，2號倉庫存有30噸貨物，5號倉庫存有70噸貨物，其余兩個倉庫是空的。現在要把所存的貨物集中在一個倉庫中，如果每噸貨物運1千米要1元運費，那么最少要花多少運費？
2，一條公路有四個儲油站，它們之間都相隔100千米。甲儲油站有50噸油，乙儲油站儲有10噸油，丙儲油站有20噸油，丁儲油站是空的。現在如果想把所存的油集中于一個儲油站，每噸油運1千米要2元運費，那么最少要花多少運費？
3，一條公路有三所小學分別為A、B、C，在什么地方設一個汽車站，才能使用三個學校的學生上學放學所行的總路程最少？
例題5 小明騎在馬背上趕馬過河，共有甲、乙、丙、丁四匹馬，甲馬過河需2分鐘，乙馬過河需3分鐘，丙馬過河需6分鐘，丁馬過河需7分鐘。每次只趕兩匹馬過河，要把4匹馬都趕到對岸去，最少要幾分鐘？
思路導航：要使過河時間最少，應抓住以下兩點：（1）同時過河的兩匹馬相差時間盡可能小些，才能使花時間少的馬在過河時少浪費時間；（2）過河后應騎時間少的那匹馬回來。因此，趕馬的順序是：小明先騎甲馬趕乙馬一起過河，再騎甲馬返回，共需3＋2=5分鐘；然后騎丙馬趕丁馬一起過河后，再騎乙馬返回，7＋3=10分鐘；最后騎在甲馬背上趕乙馬一起過河，不再回來，共需3分鐘。所以，4匹馬都趕到對岸去最少時間是5＋10＋3=18分鐘。
練 習 五
1，明明騎在牛背上趕牛過河，共有甲、乙、丙、丁4頭牛，甲牛過河需1分鐘，乙牛過河需2分鐘，丙牛過河需5分鐘，丁牛過河需6分鐘。每次只能趕兩頭牛過河，要把4頭占都趕到對岸去，最少要多少分鐘？
2，小剛騎在馬背上過河，共有甲、乙、丙、丁4匹馬，甲馬過河需7分鐘，乙馬過河要2分鐘，丙馬過河要3分鐘，丁馬過河要8分鐘。每次只能兩匹馬過河，要把4匹馬都趕到對岸去，最少要多少分鐘？
3，小強騎在牛背上過河，共有甲、乙、丙、丁、戊、己六頭牛，甲牛過河要1分鐘，乙牛過河要2分鐘，丙牛過河要3分鐘，丁牛過河要4分鐘，戊牛過河要5分鐘，己牛過河要6分鐘。每次只能三頭牛過河，要把6頭牛都趕到對岸去，最少要幾分鐘？
第三十六周 巧求周長（二）
專題簡析：
在解答比較復雜的關于長方形、正方形周長計算的問題時，生搬硬套公式往往行不通，這時靈活地運用所學知識在解題中顯得相當的重要。
解答稍復雜的有關長方形、正方形周長的問題，首先要仔細觀察，認真思考，想想已知條件和要求問題之間有什么聯系，應該先求什么，再求什么，然后靈活運用長方形、正方形周長公式進行計算。
例題1 把長130厘米的鐵絲圍成一個長方形，接頭處重合2厘米，要使長比寬多18厘米，長和寬各是多少厘米？
思路導航：把長130厘米的鐵絲圍成一個長方形，去掉接頭處重合的2厘米，可知圍成的長方形的周長為130－2=128厘米。因為長方形的周長=（長＋寬）×2，所以長與寬的和為128÷2=64厘米。又因為題目中還告訴長與寬的差為18厘米，因此這道題可以轉化為和差應用題來解。
13-2=128厘米
128÷2=64厘米
長：（64＋18）÷2=41厘米
寬：（64－18）÷2=23厘米
練 習 一
1，如圖：已知這個長方形的周長為38厘米，陰影部分為正方形，求長方形的長和寬。
2，小華家給長方形的院子裝上了籬笆墻，由于門寬2米，所以籬笆墻共長16米，而這個長方形的寬是長的一半。長和寬各是多少米？
3，一個周長為20厘米的正方形，從中間剪開成為兩個大小相等的長方形。這兩個長方形周長共多少厘米？
例題2 一根鐵絲長80厘米，圍成一個邊長為8厘米的正方形，余下的鐵絲圍成一個長為14厘米的長方形。這個長方形的寬是多少厘米？
思路導航：要求長方形的寬是多少，必須先求出這個長方形的周長是多少，也就是這根鐵絲余下的長度。
（1）正方形的周長：8×4=32厘米
（2）長方形的周長：80－32=48厘米
（3）長方形的寬：48÷2－14=10厘米
練 習 二
1，一根鐵絲長100厘米，圍成一個邊長為10厘米的正方形，余下的鐵絲圍成一個寬為10厘米的長方形。這個長方形的長是多少厘米？
2，一根繩子長78厘米，圍成一個長12厘米，寬9厘米的長方形，余下的圍成一個正方形。這個正方形的邊長是多少厘米？
3，一根鐵絲圍成一個邊長為7厘米的正方形，余下的正好圍成一個長為12厘米、寬為10厘米的長方形。這根鐵絲長多少厘米？
例題3 一個長方形的周長是正方形的2倍，正方形的邊長與長方形的寬都是4厘米。長方形的長是多少厘米？
思路導航：根據長方形的周長是正方形的2倍，我們就應先求出正方形的周長，然后根據它們之間的關系，求出長方形的周長，再求出長方形的長。
（1）正方形的周長：4×4=16厘米
（2）長方形的周長：16×2=32厘米
（3）長方形的長：32÷2－4=12厘米。
練 習 三
1，一個長方形的周長是正方形的4倍，正方形邊長與長方形的寬為6厘米。長方形長多少厘米？
2，一個長方形的周長是正方形的2倍，正方形的邊長與長方形的寬為10厘米。長方形的長是多少厘米？
3，一張長方形紙，長28厘米，寬15厘米，剪下一個最大的正方形后，余下的長方形紙周長是多少？
例題4 三個同樣大小的長方形正好拼成一個正方形，正方形的周長是48厘米，求每個長方形的周長。
思路導航：要求每個長方形的周長必須先求出每個長方形的長和寬，長方形的長正好是正方形的邊長，寬是把正方形的邊長平均分成3份，其中的1份，根據正方形的周長是48厘米，可求出它的邊長為48÷4=12厘米，那么長方形的周長是（12＋4）×2=32厘米。
練 習 四
1，四個同樣大小的長方形正好拼成一個正方形，正方形的周長為64厘米，長方形周長是多少？
2，六個同樣大小的長方形正好拼成一個如下圖的正方形，正方形周長為48厘米，每個長方形周長是多少？
3，明明用學具盒里的三個同樣大小的長方形拼成了一個大長方形，已知大長方形的周長是60厘米，長是寬的4倍，求小長方形的周長。
例題5 一張長方形的紙，長是28厘米，寬是15厘米，先剪下一個最大的正方形，再從余下的紙片中，再剪下一個最大的正方形。最后余下的長方形周長是多少？
思路導航：根據題中的要求，我們可以畫出一張示意圖。
觀察圖形，我們發現：第一次剪下的以寬為標準的邊長為15厘米的正方形，這時長邊還剩下28－15=13厘米；第二次剪下的以長邊剩下的13厘米為邊長的正方形，這時最后剩下的長方形寬是15－13=2厘米，長為13厘米，即周長是：（13＋2）×2=30厘米。
練 習 五
1，一張長為25厘米，寬為10厘米的長方形，先剪下一個最大的正方形，余下的長方形的周長是多少？
2，一張長方形紙，長為32厘米，寬為15厘米，先剪下一個最大的正方形，再從余下的紙片中，又剪下一個最大的正方形，最后余下的長方形周長是多少？
3，下圖甲、乙兩圖形，哪個圖形的周長長些？
第三十周 用還原法解題
專題簡析：
“一個數加上3，乘3，再減去3，最后除以3，結果還是3，這個數是幾？”像這樣已知一個數的變化過程和最后的結果，求原來的數，我們通常把它叫做“還原問題”。解答還原問題，一般采用倒推法，簡單說，就是倒過來想。
解答還原問題，我們可以根據題意，從結果出發，按它變化的相反方向一步步倒著推想，直到問題解決。同時，可利用線段圖表格幫助理解題意。
例題1 一個減24加上15，再乘8得432，求這個數。
思路導航：我們可以從最后的結果432出發倒著推想。最后是乘8得432，如果不乘8，那應該是432÷8=54；如果不加上15，應該是54－15=39；如果不減去24，那應該是39＋24=63。
因此，這個數是63。
練 習 一
1，一個數加上3，乘3，再減去3，最后除以3，結果還是3。這個數是幾？
2，一個數的4倍加上6減去10，再乘2得88，求這個數。
3，一個數縮小2倍，再縮小2倍得80，求這個數。
例題2 一段布，第一次剪去一半，第二次又剪去余下的一半，還剩8米。這段布原來長多少米？
思路導航：根據題意，畫出線段圖。
從上面的線段圖可以看出：剩下的8米和余下的一半同樣多，那么原長的一半是：8×2=16米，原來長：16×2=32米。
練 習 二
1，某水果店賣西瓜，第一次賣掉總數的一半，第二次賣掉剩下的一半，這時還剩10只西瓜。原有西瓜多少只？
2，某人乘船從甲地到乙地，行了全程的一半時開始睡覺，當他睡醒時發現船又行了睡前剩下的一半，這時離乙地還有40千米。甲、乙兩地相距多少千米？
3，有一箱蘋果，第一次取出全部的一半多1個，第二次取出余下的一半多1個，箱里還剩下10個。箱里原有多少個蘋果？
例題3 甲、乙、丙三人各有一些連環畫，甲給乙3本，乙給丙5本后，三人的本數同樣多。乙原來比丙多多少本？
思路導航：因為乙給丙5本后，兩人同樣多，可知乙比丙多5×2=10本，而這10本中又有3本是甲給的，所以原來乙比丙多10－3=7本。
練 習 三
1，小松、小明、小航各有玻璃球若干個，如果小松給小明10個，小明給小航6個后，三人的個數同樣多。
2，甲、乙、丙三個組各有一些圖書，如果甲組借給乙組13本后，乙組又送給丙組6本，這時三個組的圖書本數同樣多。原來乙組和丙組哪組的圖書多，多幾本？
3，甲、乙、丙三個小朋友各有年歷卡若干張，如果甲給乙13張，乙給丙23張，丙給甲3張，那么他們每人各有30張。原來3人各有年歷卡多少張？
例題4 李奶奶賣雞蛋，她上午賣出總數的一半多10個，下午又賣出剩下的一半多10個，最后還剩65個雞蛋沒有賣出。李奶奶原來有多少個雞蛋？
思路導航：根據題意，畫出線段圖。
從圖上可以看出，最后剩下的65個雞蛋加上10個正好是余下的一半，余下的一半為65+10=75個，所以上午賣出后余下75×2=150個；150個加上10個就是總數的一半，所以總數的一半是150+10=160個，總數為：160×2=320個。
練習四
1，竹籃內有若干個李子，取它的一半又1枚給第一人，再取余下的一半又2枚給第二人，還剩6枚。竹籃內原有李子多少枚？
2，王叔叔拿工資若干元，從工資中拿出一半多10元存入銀行，又拿出余下的一半多5元買米、米，剩下80元買菜。王叔叔拿工資多少元？
3，媽媽買來一些橘子，小明第一天吃了一半多2個，第二天吃了剩下的一半少2個，還剩下5個。媽媽買了多少個橘子？
例題5 小紅、小青、小寧都喜愛畫片，如果小紅給小青11張畫片，小青給小寧20張畫片，小寧給小紅5張畫片，那么他們三人的畫片張數同樣多。已知他們共有畫片150張，他們三人原來各有畫片多少張？
思路導航：三人畫片進行交換，其總張數是不會改變的。交換以后三人張數相等，那每人應有：150÷3=50張。再對照題中條件，把各人的畫片還原，便可得到他們三人原來畫片的張數。
小紅：50＋11=61張；
小青：50－11＋20=59張；
小寧：50－20＋5=35張。
練 習 五
1，三筐蘋果共放90千克，如果從甲筐取出15千克放入乙筐，從乙筐取出20千克放入丙筐，從丙筐取出17千克放入甲筐，這時三筐蘋果就同樣重。甲、乙、丙筐原來各有蘋果多少千克？
2，三年級三個班共有學生156人，若從一班調5人到二班，從二班調8人到三班，從三班調4人到一班，這時每個班的人數正好相同。三個班原來各有學生多少人？
3，小林、小方、軍軍、小敏四個好朋友都愛看書，如果小林給小方10本書，小方給軍軍12本書，軍軍給小敏20本，小敏再給小林14本，四個人書的本數同樣多。已知他們共有112本書，他們4人原來各有多少本書？
第三十四周 簡單推理（二）
專題簡析：
小文比小林高，小林比小佳高，那我們可以推斷，小文一定比小佳長得高，這也是一種推理。與前面推理題不同的是，這種推理解答時不需要或很少用到計算，而要求我們根據題目中給出的已知條件，通過分析和判斷，得出正確合理的結論。
做推理題時，要根據已知條件認真分析，為了找到突破口，有時先假設一個結論是正確的，然后驗證它是不是符合所給的一切條件，若沒有矛盾，說明推理正確，否則再換個結論來驗證。
例題1 紅紅、聰聰和穎穎都戴著太陽帽去參加野炊活動，她們戴的帽子一個是紅的，一個是黃的，一個藍的。只知道紅紅沒有戴黃帽子，聰聰既不載黃帽子，也不戴藍帽子。請你判斷紅紅、聰聰和穎穎分別戴的是什么顏色的帽子？
思路導航：從已知條件中可知，“聰聰既不戴黃帽子，也不載藍帽子”是個關鍵條件，因為3個人戴的帽子只有紅、黃、藍三種顏色，因此排除黃、藍兩種顏色，聰聰只能戴紅帽子；又根據“紅紅沒戴黃帽子”可知紅紅戴藍帽子，因此穎穎只能戴黃帽子。
練 習 一
1，爸爸買回3雙襪子，其中2雙是花襪子，1雙是紅襪子，爸爸塞了一雙花襪子給妹妹，又塞了一雙紅襪子給哥哥，把剩下的1雙藏在自己手中，讓兄妹倆猜是什么顏色的，誰猜對就把襪子給誰。你們說，誰肯定會猜對？
2，黃穎、李紅和馬娜都穿著新衣服，她們穿的衣服一個是花的，一個是粉紅的，一個是藍的。已知黃穎穿的不是花衣服，李紅既不穿藍衣服，也不穿花衣服。她們分別穿什么顏色的衣服？
3，某班學生中，如果有紅色鉛筆的人就沒有黃色鉛筆，沒有紅色鉛筆的人有藍色鉛筆，那有黃色鉛筆的人，一定有藍鉛筆嗎？
例題2 一個正方體有六個面，每個面分別涂有紅、綠、黃、白、藍、黑六種顏色，你能根據這個正方體的三種不同的擺法，判斷出這個正方體每一種顏色對面各是什么顏色嗎？
思路導航：如果直接思考某種顏色對面是什么顏色比較困難，可以換一種思維方式，想想某種顏色對面不應該是哪種顏色。
從圖（1）中可看出紅色的對面肯定不是黑色和白色；從圖（2）可看出紅色對面肯定不是黃色和綠色，所以紅色的對面是藍色。
從圖（2）可看出黃色對面肯定不是綠色和紅色；從圖（3）可以看出黃色對面肯定不是藍色和白色，所以黃色對面是黑色。剩下的白色的對面肯定是綠色。
練 習 二
1，有一個正方體，每個面上分別寫著1、2、3、4、5、6，有三個人從不同的角度觀察，結果如下：
這個正方體每個數的對面是什么數？
2，一個正方體，每個面上分別寫有A、B、C、D、E、F，根據它三種不同的擺法，判斷這個正方體每個字母的對面是什么？
3，把一個正方體的六個面分別編上1——6六個數字，現在用這樣的四個小正方體拼成一個長方體，相對兩個面分別是幾和幾？
 例題3 已知某月中，星期二的天數比星期一的天數多，而星期三的天數比星期四的天數多。那么這個月最后一天是星期幾？
思路導航：我們可以這樣想：一周有7天，一個月最多有31天，31÷7=4周……3天，這說明一個月中，無論是星期幾，最少有4個，最多有5個。這樣問題可以轉化為：某月星期二和星期三都是5個，而星期一和星期四都是4個。根據轉化的條件，我們可畫出下面的月歷表：
不難看出，這個月是小月，最后一天是星期三。
練 習 三
1，某年二月，星期日的天數最多，那么這個月最后一天是星期幾？
2，某月中，星期日的天數比星期六的天數多，而星期四的天數比星期三的天數多。那么這個月最后一天是星期幾？
3，某月中，星期四的天數比星期五的天數多，星期二的天數比星期一的天數多。這個月的第一天是星期幾？
例題4 王帆、李昊、吳一凡三人中，有一人看了《地球奧秘》這部科技片。當老師問他們三個誰看了這部科技片時：
王帆說：“李昊看了。”
李昊說：“我沒有看。”
吳一凡說：“我沒有看。”
如果知道他們三人中有兩人說了假話，有一人說的是真話，你能判斷誰看了這部影片嗎？
思路導航：我們可以這樣想：假設是王帆看了這部影片，那么王帆說的是假話，李昊和吳一凡說的是真話，這樣與三人中有兩人說了假話、一人說了真話不符，因而王帆沒看這部影片；
假設是李昊看了這部影片，那么王帆和吳一凡說了真話，李昊說了假話，這與兩人說了假話、一人說了真話不符，因而李昊沒看這部影片；
假設吳一凡看了這部影片，那么王帆和吳一凡說了假話，只有李昊一人說了真話，因而我們可以斷定是吳一凡看了這部影片。
練 習 四
1，王峰、朱紅、王藝三人中，有一人打碎了玻璃，當老師問誰打碎玻璃時：
王峰說：“朱紅打碎的。”
朱紅說：“我沒打碎。”
王藝說：“我沒打碎。”
他們三人中有兩人說了假話，有一人說的是真話。你能判斷是誰打碎了玻璃嗎？
2，小張、小王、小李三人參加宴會，他們分別喝了一杯酒、兩杯酒、三杯酒，當小吳問他們各喝了幾杯時：
小張說：“我喝了兩杯。”
小李說：“我喝得最少。”
小王說：“我喝的杯數不是偶數。”
他們三人只有一人講得不對，他們各喝了幾杯？
3，運動場上，有1、2、3、4四個班正在進行接力賽對于比賽勝負，在一旁的張明、王浩、李哲進行猜測。
張明說：“我看一班只能得第三，冠軍肯定是三班。”
王浩說：“三班只能得第二，至于第三名，我看是二班。”
李哲說：“肯定四班第二，一班第一。”
而真正的結果，他們每人的預測只對了一半。請你根據他們的猜測，推出比賽結果。
例題5 張老師、王老師和李老師三位老師，其中一位老師教美術，一位老師教音樂，一位老師教書法。已知：
（1）張老師比教音樂的老師年齡大；
（2）王老師比教美術的老師年齡小；
（3）教美術的老師比李老師年齡小。
問：三位老師各教什么課？
思路導航：我們可畫出一張空白表，用“√”表示是，用“×”表示不是：
根據（2）王老師比教美術的老師年齡小，（3）教美術的老師比李老師年齡小，我們可以判斷：
再根據張老師（教美術的）比教音樂的老師年齡大，和教美術的老師比李老師年齡小，可以得到李老師不教音樂。
可以得到的結果是：張老師教美術，王老師教音樂，李老師教書法。
練 習 五
1，小王、小李和小徐三人中，一位是教師，一位是工人，一位是工程師。現在知道：
（1）小徐比工人年齡大；
（2）小王和教師不同歲；
（3）教師比小李年齡小。
請問：小王、小李和小徐各自做什么工作？
2，劉藝、王天、張明三個男孩都有一個妹妹，六個人在一起打羽毛球，舉行男女混合雙打。事先規定：兄妹倆不可搭伴；第一盤由劉藝和小紅對張明和小英；第二盤中由張明和小平對王天和劉藝的妹妹。小紅、小英、小平各是誰的妹妹？
3，甲、乙、丙三位老師分別教語文、數學、英語課。
（1）甲上課全用漢語；
（2）英語老師是一位學生的哥哥；
（3）丙是一位女教師，她比數學老師潑。
請問：三位老師各教什么課？
第三周 加 減 巧 算
專題簡析：
在進行加減運算時，為了又快又好，除了要熟練地掌握計算法則外，還需要掌握一些巧算的方法。加減法的巧算主要是運用“湊整”的方法，把接近整十、整百、整千的數看作所接近的數進行簡算。
進行加減巧算時，湊整之后，對于原數與整十、整百、整千…相差的數，要根據“多加要減去，少加要再加，多減要加上，少減要再減”的原則進行處理。
另外，可以結合加法交換律、結合律以及減法的性質進行湊整，從而達到簡算的目的。
例題1 計算下面各題。
（1）396＋55 （2）427＋1008
（3）456－298 （4）582－305
思路導航：（1）中396接近于400，396＋55可以看成400＋55，多加了4，所以還要減4；
（2）中1008接近于1000，427＋1008變成427＋1000，少加了8，所以還要加8；
（3）中298接近于300，456－298變成了456－300，多減了2，所以還要加2；
（4）中305接近于300，582－305變成了582－300，少減了5，所以還要減5。
練 習 一
1，速算。
（1）497＋28 （2）750＋1002
（3）598＋231 （4）2004＋271
2，計算，并想想它的解題思路。
（1）574－397 （2）472―203
（3）8732―2008 （4）487―298
3，計算：402＋307―297―99
例題2 你有好辦法迅速計算出結果嗎？
（1）502＋799―298―97 （2）9999＋999＋99＋9
思路導航：（1）是一道加減混合運算，每個數都接近于整百數，計算時可先把這些數拆成兩部分，再把整百數與整百數相加減，“零頭數”與“零頭數”相加減，最后把兩個部分數合起來；
（2）這四個數都分別接近于整萬、整千、整百、整十數，我們可以把9999看作10000，999看作1000，99看作100，9看作10，這樣每個數都多了1，最后再從它們的和中減去4個1，即可得出結果。
練 習 二
1，計算。
（1）307＋201―398―99 （2）208＋494―498―95
2，你會迅速寫出結果嗎？
（1）99999＋9999＋999＋99＋9 （2）1999＋199＋19
3，計算（說說計算思路）：
375＋283＋225＋17
 例題3 計算：
（1）487＋321＋113＋479 （2）723－251＋177
（3）872＋284―272 （4）537―142―58
思路導航：（1）487和113，321和479，分別可以湊成整百數，我們可以通過交換位置的方法，487＋113得到600，321＋479得到800，然后600＋800=1400。
（2）723與177可湊成整百數，因而用723＋177得到900，900再減251，得數是649。
（3）可以先用872減272得到整百數是600，再用600加上284得數是884。
（4）537連續減142和58，而142和58正好可以湊成整百數200，再用537減去200，得到337。
練 習 三
1，直接寫出得數。
（1）321＋127＋79＋73 （2）89＋123＋11＋177
（3）235－125＋65
2，計算。
（1）483＋254－183 （2）271＋97―171
（3）425―172―28
3，想想怎樣算方便。
（1）237＋（163－28） （2）487＋（213－92）
例題4 計算下面各題：
（1）321＋（279―155）
（2）372―（54＋72）
（3）432―（154―68）
思路導航：（1）321加上279與155的差，可去括號轉化為321＋279－155，這里321和279可湊成整百數600，再用600－155得到445。
（2）372減54與72的和，利用減法的性質可以轉化為372連續減54和72，即372－54－72，而372減72可得到整百數，因而先用372－72得到300，再減54得到246。
（3）中432減154與68的差，可去括號轉化為432－154＋68，因為432與68可湊成整百數，因而先用432＋68=500，再用500－154=346。
練 習 四
1，計算。
（1）421＋（179－125） （2）375＋（125－47）
（3）812＋（188－123）
2，計算并說說思路。
（1）523－（175＋123） （2）785－（231＋285）
（3）328―（184―172）
3，計算。
1000―90―10―80―20―70―30―60―40―50―50
例題5 計算：1000―81―19―82―18―83―17―84―16―85―15―86―14―87―13―88―12―89―11
思路導航：這道題看似復雜，但仔細觀察便可發現，用湊整的方法進行計算就比較方便，這里18個減數可兩兩湊成100，合起來為9個100，然后再用1000減去900得100。
練 習 五
速算：
1，500―99―1―98―2―97―3―96―4
2，1000―90―80―70―60―50―40―30―20―10
3，1000―91―1―92―2―93―3―94―4―95―5―96―6―97―7―98―8―99―9
第九周 周期問題
專題簡析：
在日常生活中，有一些按照一定的規律不斷重復的現象，如：人的十二生肖，一年有春夏秋冬四個季節，一個星期七天等等。像這樣日常生活中常碰到的有一定周期的問題，我們稱為簡單周期問題。這類問題一般要利用余數的知識來解答。
在研究這些簡單周期問題時，我們首先要仔細審題，判斷其不斷重復出現的規律，也就是找出循環的固定數，然后利用除法算式求出余數，最后根據余數得出正確的結果。
例題1 小丁把同樣大小的紅、白、黑珠子按先2個紅的、后1個白的、再3個黑的的規律排列（如下圖），請你算一算，第32個珠子是什么顏色？
從上圖可以看出，珠子是按“兩紅一白三黑”的規律重復排列，即6個珠子為一周期。32÷6=5（組）……2（個），32個珠子中含有5個周期多2個，所以第32個珠子就是重復5個周期后的第2個珠子，應為紅色。
練 習 一
1，如圖，算出第20個圖形是什么？
○△△□□□○△△□□□○△△……
2，“數學趣味題數學趣味題……”依次重復排列，第2001個字是什么？
3，把38面小三角旗按下圖排列，其中有多少面白旗？

例題2 2001年10月1日是星期一，問：10月25日是星期幾？
思路導航：我們知道，每星期有7天，也就是說以7天為一個周期不斷地重復。從10月1日到10月25日經過25－1=24天，24÷7=3（星期）……3（天），說明24天中包括3個星期還多3天。所以從10月1日開始過3個星期，最后一天還是星期一，從這最后一天起再過3天就應是星期四。
練 習 二
1，2001年5月3日是星期四，5月20日是星期幾？
2，2001年8月1日是星期三，8月28日是星期幾？
3，2001年6月1日是星期五，9月1日是星期幾？
例題3 100個3相乘，積的個位數字是幾？
思路導航：這道題我們只考慮積的個位數字的排列規律。1個3，積的個位是3；2個3相乘積的個位數字是9；3個3相乘積的個位數字是7；4個3相乘積的個位數字是1；5個3相乘積的個位數字是3……可以發現，積的個位數字分別以3、9、7、1不斷重復出現，即每4個3積的個位數字為一周期。100÷4=25（個），因此100個3相乘積的個位數字是第25個周期中的最后一個，即是1。
練 習 三
1，23個3相乘，積的個位數字是幾？
2，100個2相乘，積的個位數字是幾？
3，50個7相乘，積的個位數字是幾？
例題4 有一列數按“432791864327918643279186……”排列，那么前54個數字之和是多少？
思路導航：上面一列數中，從第1個數字開始重復出現的部分是“43279186”，周期數是8。要求出這列數字的和，就要先求出這列數里共有多少組“43279186”。
54÷8=6（組）……6（個）
因此，前6組數字和是（4＋3＋2＋7＋9＋1＋8＋6）×6=240，余下6個數字之和是4＋3＋2＋7＋9＋1=26。所以，這列數中前54個數字之和是240＋26=266。
練 習 四
1，一列數按“294736294736294……”排列，那么前40個數字之和是多少？
2，有一列數按“9453672945367294……”排列，那么前50個數字之和是多少？
3，有一列數“7231652316523165……”，請問從左起第2個數字到第25個數字之間（含第2個與第25個數字）所有數字的和是多少？
例題5 小紅買了一本童話書，每兩頁文字之間有3頁插圖，也就是說3頁插圖前后各有1頁文字。如果這本書有128頁，而第1頁是文字，這本童話書共有插圖多少頁？
思路導航：已知這本童話書3頁插圖前后各有1頁文字，也就是說這本書是按“1頁文字3頁插圖“的規律重復排列的，把“1頁文字3頁插圖”看作一周期，128頁中含有128÷（1＋3）=32個周期，所以這本童話書共有插圖3×32=96頁。
練 習 五
1，校門口擺了一排花，每兩盆菊花之間擺3盆月季，共擺了112盆花。如果第一盆花是菊花，那么共擺了多少盆月季花？
2，同學們做早操，36個同學排成一列，每兩個女生中間是兩個男生，第一個是女生，這列隊伍中男生有多少人？
3，一個圓形花輔周圍長30米，沿周圍每隔3米插一面紅旗，每兩面紅旗中間插兩面黃旗。花輔周圍共插了多少面黃旗？
第二十一講 錯中求解
專題簡析：
在進行加、減、乘、除運算時，要認真審題，不能抄錯題目，不能漏掉數字。計算時要仔細小心，不能絲毫馬虎，否則就會造成錯誤。
解答這類題，往往要采用倒推的方法，從錯誤的結果入手分析錯誤的原因，最后利用和差的變化求出加數或被減數、減數，利用積、商的變化求出因數或被除數、除數。
例題1 小馬虎在做一道加法題時，把一個加數十位的5錯看成2，另一個加數個位上的4錯看成1，結果計算的和為241。正確的和是多少？
思路導航：把一個加數十位上的5看成2，少了3個10，這樣和就減少了30；把另一個加數個位上的4看作1，少了3個1，這樣和就少了3。小馬虎算出的和比原來的和少了30＋3=33，所以正確的和是241＋33=274。
練 習 一
1，小明在做一道加法時，把一個加數個位上的2看作了4，另一個加數個位上的7看作9，結果計算的和為215。正確的和為多少？
2，小馬虎在做一道加法題時，把一個加數個位上的3看作了5，十位上的4看作7，得到結果為376。正確的和是多少？
3，小粗心在計算一道加法題時，把一個加數個位上的7看作1，十位上的3看作8，結果為342。正確的和是多少？
例題2 小馬虎在做一道減法時，把減數十位上的2看作了5，結果得到的差是342，正確的差是多少？
思路導航：十位上的2表示2個十，十位上的5表示5個十，把十位上的2看作5，就是把20看作50，減數從20變為50，增加了30，所得的差減少了30，應在342中增加30，才是正確的差。
340＋30=372
練 習 二
1，小馬虎在做減法題時，把被減數十位上的3錯寫成8，結果得到的差是284。正確的差是多少？
2，在減法算式中，錯把減數個位上的3寫成了5，結果得到的差是254。正確的差是多少？
3，小麗在做一道減法時，錯把被減數十位上的2看作7，減數個位上的5看作8，結果得到的差是592。正確的差是多少？
例題3 小馬虎在計算一道題目時，把某數乘3加20，誤看成某數除以3減20，得數是72。某數是多少？正確的得數是多少？
思路導航：小馬虎計算得到72，是先除再減得到的，我們可以根據逆運算的順序把72先加后乘，求出某數為（72＋20）×3=276，然后再按題目要求，按運算順序求出正確的數276×3＋20=848。
練 習 三
1，小麗在計算一道題時，把某數乘4加20，誤看成除以4減20，得數為35。某數是多少？正確的結果是多少？
2，小粗心在計算時，把一個數除以2減4，誤看成乘2加上4，得數是36。正確結果是多少？
3，小華在計算一道題時，把一個數加上4乘2看作了乘2加上4，得數為40。正確的得數是多少？
例題4 小馬虎在做兩位數乘兩位數的題時，把乘數的個位上的5看作2，乘得的結果是550，實際應為625。這兩個兩位數各是多少？
思路導航：我們可以用豎式來幫助分析：
乘數個位上的5看作2，結果比原來少了5－2=3個被乘數，實際的結果與錯誤的結果相差625－550=75；75正好是被乘數的3倍，被乘數是75÷3=25，乘數是625÷25=25。
練 習 四
1，一位學生在做兩位數乘法時，把乘數個位上的8錯寫成4，乘得的結果是1080，實際應為1260。這兩個兩位數分別為多少？
2，小華在做一道兩位數乘法時，把乘數個位上的3錯寫成5，乘得的結果是875，正確的結果是805。這兩個兩位數分別是多少？
3，小芳在計算一道題時，把5×（△＋7）錯寫成5×△＋7，她得到的結果與正確答案相差多少？
例題5 小林在計算有余數除法時，把被除數137當作173，結果商比正確結果大了4，但余數恰好相同。正確的除法算式應是什么？
思路導航：把被除數137當作173，被除數就多了173－137=36，因此商比正確結果大4，但余數相同，說明除數的4倍就是36。所以除數為36÷4=9，正確的除法算式為137÷9=15……2。
練 習 五
1，小紅在計算有余數除法時，把被除數113錯寫成131，這樣商比原來多2，但余數恰好相同。正確的除數和余數是多少？
2，王剛在計算有余數除法時，把被除數171錯寫成117，結果商比原來少9，但余數恰好相同。正確的除法算式是怎樣的？
3，小明在計算除法時，把被除數末尾的0漏寫而成18，結果得到的商比正確的商少54。正確的除法算式是什么？
第二十七周 差倍問題（二）
專題簡析：
有些差倍問題比較復雜，不能直接利用公式進行解答，這時需要我們小朋友仔細審題，尤其注意一些隱含條件，同時借助線段圖幫助理解題意，從而找到解題方法。
較復雜的差倍應用題，數量關系比較隱蔽。先依題意畫出線段圖，數量關系就會比較清晰地展現出來，然后借助線段圖找出兩個數的差以及所對應的倍數，再利用公式進行解答。
例題1 有兩袋玉米，大袋比小袋多56千克，如果將小袋的玉米吃掉4千克，這時大袋的玉米重量是小袋的4倍。兩袋玉米原來各重量多少千克？
思路導航：根據題意，畫出線段圖。
從圖上可以看出，小袋玉為吃掉4千克后，大袋里的玉米就比小袋現有玉米重4+56=60千克；又根據“這時大袋的玉米重量是小袋的4倍”，可知把小袋現有的玉米重量看作1倍數，大袋比小袋多的60千克正好相當于現有小袋的4－1=3倍，所以小袋現有玉米60÷3=20千克，原有重量20+4=24千克，大袋原有20×4=80千克。
練 習 一
1，有兩箱玩具，第一盒比第二盒多60只。如果從第二盒中取出3只，這時第一盒的只數是第二盒的8倍。求兩箱玩具原來各有多少只？
2，一個書架上放著一些書，第二層比第一層多12本。如果從第一層中拿走6本，這時第二層的本數是第一層的4倍。求第一、第二層原來各有多少本書？
3，甲、乙兩桶油各有油若干千克，甲桶的油比乙桶少20千克，如果從甲桶倒出5千克放入5千克，這時乙桶內油的重量是甲桶的4倍。甲、乙兩桶原來各有油多少千克？
例題2 有甲、乙兩桶色拉油，如果向甲桶中倒入8千克，則兩桶色拉油就一樣重；如果向乙桶中倒入12千克，乙桶的色拉油就是甲桶的5倍。甲、乙兩桶原來各有色拉油多少千克？
思路導航：根據題意，畫出線段圖。
從線段圖上可以看出：如果向甲桶倒入8千克，兩桶油重量相等，說明乙桶油比甲桶油多8千克；如果向乙桶倒入12千克，乙桶油就比甲桶油多8+12=20千克，與20千克相對應的倍數差是5－1=4倍。所以，甲桶原有：（8+12）÷（5－1）=5千克，乙桶原有5+8=13千克。
練 習 二
1，有甲、乙兩桶水，如果向甲桶中倒入10千克水，兩桶水就一樣多；如果向乙桶中倒入4千克水，乙桶的水就是甲桶的3倍。原來甲、乙兩桶各有多少千克水？
2，三（1）班同學參加英語比賽，如果男生少去1人，男、女參賽人數相等；如果女生少去1人，男生參賽人數是女生的2倍。三（1）班參加英語比賽的男、女生各幾人？
3，小敏和小文每人都有一些玻璃球，如果小敏給小文3粒，兩人的玻璃球數就一樣多；如果小文給小敏1粒，小敏的玻璃球數就是小文的5倍。小敏、小文原有玻璃球各幾粒？
例題3 甲的錢數是乙的3倍，甲買一套180元的《百科大全》，乙買一套30元的故事書后，兩人余下的錢一樣多。甲原來有多少錢？
思路導航：根據題意，畫出線段圖。
把乙原有的錢看作1份，甲原有的錢不是3份；甲買書用去180元，乙買書用去30元，甲比乙多用去180－30=150元。從圖上可以看出，這多出的150元正好相當于乙原有錢數的3－1=2倍，所以乙原有錢：150÷2=75元，甲原有錢75×3=225元。
練 習 三
1，甲的錢數是乙的4倍，甲買了一只30元的書包，乙買了一枝6元的鋼筆后，兩人余下的錢一樣多。甲原來有多少錢？
2，丹丹的錢數是小敏的5倍，丹丹買了一套115元的衣服，小敏買了一雙15元的鞋子后，兩人余下的錢一樣多。丹丹原來有多少錢？
3，云云的錢是小月的4倍，云云買了一套水彩筆用了19元錢，小月買了一塊1元錢的橡皮后，兩人剩下的錢一樣多。云云原來有多少錢？
例題4 學校里白粉筆的盒數是彩色粉筆的4倍，如果白粉筆和彩色粉筆各購進12盒，那么白粉筆的盒數是彩色粉筆的3倍。原來白粉筆和彩色粉筆各有多少盒？
思路導航：根據題意，如果彩色粉筆購進12盒，而白粉筆購進12×4=48盒，那么現在白粉筆的盒數仍是彩色粉筆的4倍，可見48－12=36盒就是彩色粉筆現有盒數的4－3=1倍，所以彩色粉筆現有36÷1=36盒，原來有36－12=24盒，白粉筆原有24×4=96盒。
練 習 四
1，有甲、乙兩筐蘋果，甲筐蘋果的千克數是乙筐的3倍，如果兩筐蘋果各增加8千克，那么甲筐蘋果的千克數就是乙筐的2倍。甲、乙兩筐原來各有多少千克蘋果？
2，小明和聰聰各有一些彩色筆，小明彩色筆的枝數是聰聰的5倍。如果每人再買4枝彩色筆，那么小明的枝數就是聰聰的4倍。小明和聰聰原來各有彩色筆多少枝？
3，有甲、乙兩桶油，甲桶油的重量是乙桶油的5倍。如果每桶分別倒入8千克的油，那么甲桶油的重量是乙桶油的3倍。甲、乙兩桶原來各有多少千克油？
例題5 天天小學買來了一批籃球和足球，籃球的個數比足球的4倍多5個，籃球比足球多26個。籃球和足球各多少個？
思路導航：根據題意，畫出線段圖。
從圖上可以看出，如果把足球的個數看作1倍數，那么籃球減少5個就是足球個數的4倍，所以足球有（26－5）÷（4－1）=7個，籃球有7×4＋5=33個。
練 習 五
1，商店里有一些紅皮球和白皮球，紅皮球的個數比白皮球的3倍多2個，紅皮球比白皮球多24個。紅、白皮球各有多少個？
2，有兩袋面粉，甲袋面粉比乙袋面粉的5倍多12千克，乙袋比甲袋少132千克。甲、乙兩袋面粉各多少千克？
3，圖書室里有一些故事書和連環畫，故事書的本數比連環畫的4倍少8本，故事書比連環畫多28本。圖書室里有故事書和連環畫各多少本？
第二十三周 盈虧問題
專題簡析：
把一定數量的物品，平均分給一定數量的人，每人少分，則物品有余（盈）；每人多分，則物品不足（虧）。已知所盈和所虧的數量，求物品數量和人數的應用題叫盈虧問題。
盈虧問題的基本解法是：
份數=（盈＋虧）÷兩次分配數的差，物品數可由其中一種分法的份和盈虧數求出。
解答盈虧問題的關鍵是要求出總差額和兩次分配的數量差，然后利用基本公式求出分配者人數，進而求出物品的數量。
例題1 小明的媽媽買回一籃梨，分給全家。如果每人分5個，就多出10個；如果每人分6個，就少2個。小明全家有多少人？這籃梨有多少個？
思路導航：根據題目中的條件，我們可知：
第一種分法：每人分5個，多10個；
第二種分法：每人分6個，少2個。
這說明全家人數為：10＋2=12人，也就是說：
不足的個數＋多余的個數=全家的人數
這籃梨的個數是：5×12＋10=70個；
練 習 一
1，幼兒園阿姨把一袋糖分給小朋友們，如果每人分10粒糖，則多了8粒糖；如果每人分11粒糖，則少了16粒糖。一共有多少個小朋友？這袋糖有多少粒？
2，有一根繩子繞樹4圈，余2米；如果繞樹5圈，則差6米。樹周長是多少米？繩子長多少米？
3，一些同學去劃船，如果每條船坐5人，則多出3個位置；如果每條船坐4人，則有3個人沒有位置。一共有多少條船？一共有多少個同學？
例題2 幼兒園買來一些玩具，如果每班分8個玩具，則多出2個玩具；如果每班分10個玩具，則少12個玩具。幼兒園有幾個班？這批玩具有多少個？
思路導航：根據題目中的條件，我們可知：
第一種分法：每班分8個，多2個；
第二種分法：每班分10個，少12個。
從上面的條件中，我們可看出：第二種分法比第一種分法每班多分10－8=2個，所以，所需的玩具總個數從多2個變成了少12個，也就是說在多2個的基礎上再加12個，才能保證每班分10個；第二種分法所需的玩具個數比第一種多12＋2=14個，那是因為每班多分了2個。根據這一對應關系，即可求出班級的個數為：14÷2=7個，玩具的總個數為8×7＋2=58個。
練 習 二
1，小明帶了一些錢去買蘋果，如果買3千克，則多出2元；如果買6千克，則少了4元。蘋果每千克多少元？小明帶了多少錢？
2，一個小組去山坡植樹，如果每人栽4棵，還剩12棵；如果每人栽8棵，則缺4棵。這個小組有幾人？一共有多少棵樹苗？
3，一組學生去搬書，如果每人搬2本，還剩下12本；如果每人搬3本，還剩下6本。這組學生有幾人？這批書有幾本？
例題3 老師買來一些練習本分給優秀少先隊員，如果每人分5本，則多了14本；如果每人分7本，則多了2本。優秀少先隊員有幾人？買來多少本練習本？
思路導航：根據題目中的條件，我們可知：
第一種分法：每人5本，多了14本；
第二種分法：每人7本，多了2本。
從上面可知第二種分法比第一種分法每人多分了7－5=2本，這樣就從原來的多14本變為多2本，兩種分配方法的結果相差了14－2=12本，每人多分了2本，多少人會多分了12本呢？根據這一對應關系，可求出優秀少先隊員的人數為12÷2=6人，練習本的本數為：5×6＋14=44本。
練 習 三
1，把一袋糖分給小朋友們，如果每人分4粒，則多了12粒；如果每人分6粒，則多了2粒。有小朋友幾人？有多少粒糖？
2，媽媽買來一些蘋果分給全家人，如果每人分6個，則多了12個；如果每人分7個，則多了6個。全家有幾人？媽媽共買回多少個蘋果？
3，某學校有一些學生住校，每間宿舍住8人，則空出床位24張；如果每間宿舍住10人，則空出床位2張。學校共有幾間宿舍？住宿學生有幾人？
例題4 學校派一些學生去搬一批樹苗，如果每人搬6棵，則差4棵；如果每人搬8棵，則差18棵。學生有幾人？這批樹苗有多少棵？
思路導航：根據題意，我們可知搬樹苗的兩種方案：
第一種方案：每人搬6棵，差4棵；
第二種方案：每人搬8棵，差18棵。
比較兩種方案，每人多搬了8－6=2棵樹苗，所需的樹苗就從差4棵變為差18棵，結果相差了18－4=14棵，每人多搬了2棵，多少人會多搬了14棵呢？根據這一對應關系，可以求出學生人數為：14÷2=7人，樹苗的棵數為：6×7－4=38棵。
練 習 四
1，自然課上，老師發給學生一些樹葉。如果每人分5片葉子，則差3片葉子；如果每人分7片葉子，則差25片樹葉。學生有幾人？一共有樹葉多少片？
2，數學興趣小組的同學做數學題，如果每人做6道，則少4道；如果每人做8道，則少16道。有幾個學生？多少道數學題？
3，學校排練節目，如果每行排8人，則有一行少2人；如果每行排9人，則有一行少7人。一共要排幾行？一共有多少人？
例題5 三（1）班學生去公園劃船，如果每條船坐4人，則少一條船；如果每條船坐6人，則多出4條船。公園里有多少條船？三（1）班有多少學生？
為了幫助理解，我們可以將題目中的條件進行轉化。
將條件“如果每條船坐4人，則少一條船”轉化為：“如果每條船坐4人，則多出4人”；再將條件“如果每條船坐6人，則多出4條船”轉化為：“如果每條船坐6人，則差6×4=24人”。
這樣兩種分配方法就相差了24＋4=28人，這是因為每條船多坐了6－4=2人。根據這一關系，可求出船的條數：28÷2=14條，學生人數：4×（14＋1）=60人。
練 習 五
1，學校給新生分配宿舍，如果每間住8人，則少2間房；如果每間住10人，則多出2間房。共有幾間房？新生有多少人？
2，同學們去劃船，如果每條船坐5人，則少2條船；如果每船坐7人，則多出2條船。共有幾條船？有多少個同學？
3，小明從家到學校，如果每分鐘走40米，則要遲到2分鐘；如果每分鐘走50米，則早到4分鐘。小明家到學校有多遠？
第二十九周 年齡問題
專題簡析：
年齡問題可以說是前面所講的和差問題及差倍問題的綜合，要正確解答這類題，首先要弄清：兩個不同年齡的人，年齡之差始終不變，但兩個人年齡的倍數關系卻在不斷地變化。
年齡問題的主要特征是：大小年齡差是一個不變的量。我們可以抓住差不變這個特點，利用和差、差倍等知識來分析解答這類應用題。
例題1 三年前爸爸年齡是女兒的4倍，爸爸今年43歲，女兒今年多少歲？
思路導航：由題意可知爸爸今年43歲，則三年前爸爸的年齡是43－3=40歲，40歲正好是女兒年齡的4倍，女兒三年前的年齡是40÷4=10歲，今年女兒的年齡是10＋3=13歲。
練 習 一
1，四年前小林年齡是小麗的2倍，小林今年12歲，小麗今年多少歲？
2，五年前爺爺年齡是孫子的7倍，孫子今年14歲，爺爺今年多少歲？
3，兒子今年10歲，爸爸今年34歲。幾年前，爸爸的年齡是兒子的4倍？
例題2 明明4歲時，媽媽年齡是明明的8倍。今年明明12歲，媽媽今年多少歲？
思路導航：媽媽的年齡是明明的8倍，那么媽媽與明明的年齡相差4×8－4=28歲。媽媽與明明的年齡差是不變的，今年明明12歲，那么媽媽的年齡是12＋28=40歲。
練 習 二
1，玲玲7歲時，爸爸年齡是玲玲的5倍。今年爸爸40歲，玲玲今年多少歲？
2，爺爺63歲時，他的年齡是小青的9倍。今年小青12歲，爺爺今年多少歲？
3，兩年前媽媽年齡是兒子的5倍，兒子今年9歲，媽媽今年多少歲？
例題3 女兒今年3歲，媽媽今年33歲。幾年后，媽媽的年齡是女兒的7倍？
思路導航：女兒今年3歲，媽媽今年33歲，她們的年齡差是33－3=30歲。她們年齡差不變，幾年后，媽媽的年齡是女兒的3倍，把女兒的年齡看作1份，媽媽的年齡就有7份，相差7－1=6份，6份是30歲，所以幾年后女兒的年齡是30÷6=5歲。也就是說，5－3=2年后，媽媽的年齡是女兒的7倍。
練 習 三
1，小明今年7歲，爺爺今年62歲。幾年前，爺爺的年齡是小明的12倍？
2，兒子今年2歲，爸爸今年的年齡是兒子的16倍。幾年后，爸爸的年齡是兒子的7倍？
3，媽媽今年26歲，是小玲年齡的13倍。幾年后，媽媽的年齡是小玲的7倍？
例題4 4年前，媽媽的年齡是女兒的3倍，4年后，母女年齡和是56歲。媽媽今年多少歲？
思路導航：4年后，母子的年齡和是56歲，可求出今年母子年齡和是56－4×2=48歲。4年前母子年齡和是48－4×2=40歲。又根據4年前，媽媽年齡是女兒的3倍，把女兒年齡看作1份，媽媽的年齡就有這樣的3份，共有3＋1=4份。所以4年前女兒的年齡是40÷4=10歲，媽媽今年的年齡是10×3＋4=34歲。
練 習 四
1，3年前，哥哥的年齡是弟弟的2倍。3年后，哥弟倆的年齡和是30歲。哥哥今年多少歲？
2，5年前，小明的年齡是小紅的3倍。5年后，小明和小紅年齡和是44歲。今年小明多少歲？
3，7年前，姐姐的年齡是妹妹的4倍。7年后，姐妹倆的年齡和是48歲。姐姐今年多少歲？
例題5 明明今年12歲，強強今年7歲，當兩人的年齡和是45歲時，兩人各多少歲？
思路導航：明明和強強的年齡差為12－7=5歲，這是一個不變量。當兩人的年齡和是45歲時，明明比強強還是大5歲，如果從兩人的年齡和45歲里減去兩人的年齡差5歲，得到的就是兩個強強的年齡。所以，強強的年齡是（45－5）÷2=20歲，明明的年齡是20＋5=25歲。
練 習 五
1，小紅今年4歲，小平今年10歲，當兩人的年齡和是30歲時，兩人各多少歲？
2，聰聰今年2歲，媽媽今年28歲。當母子倆的年齡和是42歲時，兩人各多少歲？
3，蘭蘭今年12歲，婷婷今年14歲，當兩人的年齡和是40歲時，兩人各多少歲？
第二十二周 用對應法解題
專題簡析：
小朋友在解答應用題時，經常會碰到這樣一類題，給定的數量和所對應的數量關系是在變化的。為了使變化的數量看得更清楚，可以把已知條件按照它們之間的對應關系排列出來，進行觀察和分析，從而找到答案。這種解題的思維方法叫對應法。
在用對應法解題時，通常先把題目中的數量關系轉化為等式，并把這些等式按順序編號，然后認真觀察，比較對應關系的變化，以便尋找解題的突破口。
例題1 奶奶去買水果，如果她買4千克梨和5千克荔枝，需花58元；如果她買6千克梨和5千克荔枝，那么需花62元。問1千克梨和1千克荔枝各多少元？
思路導航：我們可以把兩次買的情況摘錄下來進行比較：
4千克梨＋5千克荔枝=58元 （1）
6千克梨＋5千克荔枝=62元 （2）
比較（1）和（2）式，發現兩式中荔枝的千克數相等，（2）式比（1）式多了6－4=2千克梨，也就是多了62－58=4元，說明1千克梨的價錢為4÷2=2元，那么1千克荔枝的價錢就是（58－2×4）÷5=10元。
練 習 一
1，3筐蘋果和5筐橘子共重270千克，3筐蘋果和7筐橘子共重342千克。一筐蘋果和一筐橘子各重多少千克？
2，張老師為圖書室買書，如果他買6本童話書和7本故事書需要144元；如果買9本童話書和7本故事書，需要174元。現在張老師買7本童話書和6本故事書，共需多少元？
3，糧店運來一批糧食，4袋大米和5袋面粉共重600千克，2袋大米和3袋面粉共重340千克。一袋大米和一袋面粉各重多少千克？
例題2 學校買足球和排球，買3個足球和4個排球共需要190元，如果買6個足球和2個排球需要230元。一個足球和一個排球各多少元？
思路導航：我們可以把兩次買的情況摘錄下來進行比較：
3個足球＋4個排球=190元 （1）
6個足球＋2個排球=230元 （2）
我們把（1）、（2）兩式進行比較，發現兩組條件相加還是相減，都不可能求出足球和排球的單價，因為這里沒有一個相同的條件可減去。再觀察我們可以發現：如果把（1）式同時擴大2倍，得到6個足球和8個排球共380元，然后再與（2）式進行比較，發現足球個數相同，而排球多了6個，也就多了380－230=150元，也就是6個排球是150元，一個排球為150÷6=25元，那么一個足球是（190－25×4）÷3=30元。
練 習 二
1，5筐番茄和2筐黃瓜共重330千克，3筐番茄和4筐黃瓜共重310千克。一筐番茄和一筐黃瓜各重多少千克？
2，4本練習本和5枝圓株筆共14元，2本練習本和4枝圓珠筆共10元。一本練習本和一枝圓珠筆各多少元？
3，2件上衣和3條褲子共480元，4件上衣和2條褲子共640地。一件上衣和一條褲子各多少元？
例題3 商店里有一些氣球，其中紅氣球和藍氣球共21只，藍氣球和黃氣球共28只，黃氣球和紅氣球共29只。紅氣球、藍氣球和黃氣球各有多少只？
思路導航：根據題意，我們可以列出下列關系式：
紅氣球的個數＋藍氣球的個數=21 （1）
藍氣球的個數＋黃氣球的個數=28 （2）
黃氣球的個數＋紅氣球的個數=29 （3）
我們可將（1）＋（2）＋（3），即21＋28＋29=78只，這里包含有2倍紅氣球的個數、2倍藍氣球的個數和2倍黃氣球的個數，由此，可得出三種氣球的總只數：78÷2=39只。然后再根據紅氣球和藍氣球共21只，可求出黃氣球的只數：39－21=18只；同理可求出紅氣球的個數是39×28=11只，藍氣球的個數是39－29=19只。
練 習 三
1，小明和小紅共12歲，小紅和小麗共17歲，小麗和小明共13歲。三人各多少歲？
2，新華書店有批書，故事書和連環畫共70本，連環畫和科技書共82本，科技書和故事書共76本。三種書各多少本？
3，公園開菊花展，白菊花和黃菊花共152盆，黃菊花和紅菊花共128盆，紅菊花和白菊花共168盆。三種菊花各幾盆？
例題4 三年級三個班種了一片小樹林，其中72棵不是一班種的，75棵不是二班種的，73棵不是三班種的。三個班各種了多少棵？
思路導航：“72棵不是一班種的”，說明二班和三班共種樹72棵；“75棵不是二班種的”，說明一班和三班共種75棵，“73棵不是三班種的”，說明一班和二班共種73棵。這樣，我們就可以求出三個班共種多少棵樹：（72＋75＋73）÷2=110棵。用110－72=38棵就是一班種的棵數，110－75=35棵就是二班種的棵數，110－73=37棵就是三班種的棵數。
練 習 四
1，百貨商店運來三種鞋子，其中37雙不是皮鞋，54雙不是運動鞋，51雙不是布鞋。三種鞋各運來多少雙？
2，一個班同學在做作業，班主任問后得知：全班同學都只做完了語文、數學英語作業其中的一種。有23人沒有做完數學作業，有19人沒有做完語文作業，有16人沒有做完英語作業。做完三種作業的各多少人？
3，學校買四種顏色的氣球，其中有93個不是紅氣球，有95個不是黃氣球，有98個不是藍氣球，紫氣球有10個。學校共買了多少個氣球？
例題5 已知13個李子的重量等于2個蘋果和1個桃子的重量，而4個李子和1個蘋果的重量等于1個桃子的重量。問多少個李子的重量等于1個桃子的重量？
思路導航：根據題意列出等式：
13李=2蘋＋1桃 （1）
4李＋1蘋=1桃 （2）
把（2）式代入（1）式得：13李=2蘋＋4李＋1蘋
即9李=3蘋，即3李=1蘋 （3）
把（3）式代入（2）式得：4李＋3李=1桃
即：7李=1桃
練 習 五
1，3個菠蘿的重量等于1個梨和1個西瓜的重量，而1個菠蘿和3個梨的重量等于1個西瓜的重量。問多少個梨的重量等于1個西瓜的重量？
2，2個蘋果的重量等于3個橘子和3個荔枝的重量，1個蘋果和2個荔枝的重量等于3個橘子的重量。問3個橘子的重量等于多少個荔枝的重量？
3，三個好朋友去文具店買東西，一人買了4枝圓珠筆，一個買了2枝鋼筆，還有一個買了1枝鋼筆1枝圓珠筆和4枝鉛筆，三個人用掉的錢相等。那么1枝鋼筆的價錢相當于幾枝鉛筆的價錢？
第二十五周 和倍問題
專題簡析：
已知兩個數的和與兩個數間的倍數關系，求這兩個數分別是多少，像這樣的應用題，通常叫做和倍問題。要想順利地解答和倍應用題，最好的方法就是根據題意，畫出線段圖，使數量關系一目了然，從而正確列式解答。
解答和倍應用題，關鍵是要找出兩數的和以及與其對應的倍數和，從而先求出1倍數，再求出幾倍數。數量關系可以這樣表示：
兩數和÷（倍數＋1）=小數（1倍數）
小數×倍數=大數（幾倍數）
兩數和－小數=大數
例題1 學校將360本圖書分給二、三兩個年級，已知三年級所分得的本數是二年級的2倍，問二、三兩個年級各分得多少本圖書？
思路導航：將二年級所得圖書的本數看作1倍數，則三年級所得本數是這樣的2倍。如圖所示：
由圖可知，二、三年級所得圖書本數的和360本相當于二年級的（1＋2）倍，則二年級所得圖書本數的360÷（1＋2）=120本，三年級為120×2=240本。
練 習 一
1，小紅和小明共有壓歲錢800元，小紅的錢數是小明的3倍。小紅和小明各有壓歲錢多少元？
2，學校將360本圖書分給二、三年級，已知三年級所得本數比二年級的2倍還多60本。二、三年級各得圖書多少本？
3，甲桶有油25千克，乙桶有油17千克，乙桶倒入多少千克油給甲桶后，甲桶油是乙桶的5倍？
例題2 小寧有圓珠筆芯30枝，小青有圓珠筆芯15枝，問小青給小寧多少枝后，小寧的圓珠筆芯枝數是小青的8倍？
思路導航：我們把變化后小青的圓珠筆芯枝數看作1倍數，那么小寧與小青圓珠筆芯的枝數和相當于變化后小青枝數的9倍，所以變化后小青的枝數為（30＋15）÷（1＋8）=5枝，再用15－5=10枝，則表示小青給小寧的枝數。
練 習 二
1，紅紅有郵票80張，佳佳有郵票60張，要使紅紅的郵票張數是佳佳的4倍，那么佳佳必須給紅紅多少張郵票？
2，甲水池有水69噸，乙水池有水36噸，如果甲水池中的水以每分鐘2噸的速度流入乙水池，那么多少分鐘后，乙水池的水是甲水池的2倍？
3，甲書架有圖書18本，乙書架有圖書8本，班圖書管理員又買來圖書16本，怎樣分配才能使甲書架圖書的本數是乙書架的2倍？
例題3 被除數與除數的和為320，商是7，被除數和除數各是多少？
思路導航：由商是7可知，被除數是除數的7倍，把除數看作1份數，被除數就有這樣的7份，一共7＋1=8份。
除數：320÷8=40
被除數：40×7=280
練 習 三
1，被除數和除數和為120，商是7，被除數和除數各是多少？
2，被除數、除數、商的和為79，商是4，被除數、除數各是多少？
3，兩個整數相除商是21，余數為1，已知被除數、除數、商、余數的和一共是441。被除數、除數各是多少？
例題4 兩數相除商為17余6，被除數、除數、商和余數的和是479。被除數和除數分別為多少？
思路導航：被除數、除數、商和余數的和是479，減去商17和余數6，得到被除數與除數的和為479－17－6=456；又因為被除數比除數的17倍多6，所以456－6=450就相當于除數的（17＋1）倍，因此除數為450÷（17＋1）=25，被除數為25×17＋6=431。
練 習 四
1，兩個整數相除商14余2，被除數、除數、商和余數的和是243，被除數比除數大多少？
2，在一個減法算式里，被減數、減數與差的和等于240，而減數是差的5倍。差是多少？
3，學校買來83本書，其中科技書是故事書的2倍，故事書比文藝書多5本，這三種書各多少本？
例題5 兩個數之和是792，其中一個數的最后一位數數字是0，如果把0去掉，就與另一個數相同。這兩個數分別是多少？
思路導航：把一個數的最后一位數字0去掉，就與另一個數相同，說明這兩個數中大數是小數的10倍。又已知兩個數之和是792，那我們就可以求出這兩個數分別是多少了。
小數：792÷（10＋1）=72
大數：72×10=720
練 習 五
1，兩個數之和是253，其中一個數的最后一位數字是0，如果把0去掉，就與另一個數相同。這兩個數分別是多少？
2，師徒兩人加工一批零件共693個，師傅加工零件個數的末位數字是0，如果去掉這個0，加工的個數就與徒弟一樣多。師徒二人分別加工零件多少個？
3，甲、乙兩數的和是209，甲數縮小10倍就和乙數同樣大，甲、乙兩數分別是多少？
第二十八周 和差問題
專題簡析：
已知大小兩個數的和及它們的差，求這兩個數各是多少，這類問題我們稱為和差問題。掌握了和差問題的特征和規律，我們解答起來就很方便了。
解答和差問題通常用假設法，同時結合線段圖進行分析。可以假設小數增加到與大數同樣多，先求大數，再求小數；也可以假設大數減少到與小數同樣多，先求小數，再求大數。
用數量關系表示：
（和＋差）÷2=大數
（和－差）÷2=小數
例題1 期中考試王平和李楊語文成績的總和是188分，李楊比王平少4分。兩人各考了多少分？
思路導航：根據題意畫出線段圖。
我們可以用假設法來分析。假設李楊的分數和王平一樣多，則總分就增加4分，變為188+4=192分，這就表示王平的2倍，所以王平考了：192÷2=96分，李楊考了96－4=92分。
練 習 一
1，兩筐水果共重124千克，第一筐比第二筐多8千克。兩筐水果各重多少千克？
2，小寧與小慧的身高總和是264厘米，又已知小寧比小慧矮8厘米。兩人分別高多少厘米？
3，三（1）班和三（2）班共有學生124人，如果從三（2）班調2人到三（1）班，兩班學生同樣多。三（1）班、三（2）班原來各有學生多少人？
例題2 某機床廠第一、二兩個車間共有車床96部，如果第一車間撥給第二車間8部，那么兩個車間車床數相等。兩個車間各有車床多少部？
思路導航：用線段圖表示題意。
已知第一、二兩個車間共有車床96部，又根據“如果第一車間撥給第二車間8部，兩個車間車床數相等”，從線段圖上我們可以看出第一車間原來比第二車間多8×2=16部車床。所以，第一車間原有：（96+8×2）÷2=56部，第二車間原有56－8×2=40部。
練 習 二
1，紅星小學一年級新108人，分成甲、乙兩個班。如果從甲班轉3個學生到乙班去，兩班學生就一樣多。甲、乙兩班各有學生多少人？
2，甲、乙兩筐共有水果80千克，若從甲箱取出6千克放到乙箱中，這時兩箱水果同樣多。兩箱原來各有水果多少千克？
3，有三只船共運木板9800塊，第一只船比其余兩船共運的少1400塊，第二只船比第三只船少運200塊。三只船各運木板多少塊？
例題3 哥弟倆共有郵票70張，如果哥哥給弟弟4張郵票，這時哥哥還比弟弟多2張。哥哥和弟弟原來各有郵票多少張？
思路導航：我們可以這樣想，哥弟倆共有郵票70張，根據“如果哥哥給弟弟4張，還比弟弟多2張”，說明原來哥哥比弟弟多4×2＋2=10張郵票。所以，弟弟有郵票：（70－10）÷2=30張，哥哥有郵票30+10=40張。
練 習 三
1，一只兩層書架共放書72本，若從上層中拿出9本給下層，上層比下層多4本。上、下層各放書多少本？
2，姐姐和妹妹共有糖果39塊，如果姐姐給妹妹7塊，就比妹妹少3塊。那么姐姐和妹妹原來各有糖果多少塊？
3，兩籠兔子共16只，若甲籠再放入4只，乙籠取出2只，這時兩籠兔子只數就同樣多。甲、乙兩籠原來各有兔子多少只？
例題4 把一條100米長的繩子剪成三段，要求第二段比第一段多16米，第三段比第一段少18米。三段繩子各長多少米？
思路導航：用線段圖來表示題意。
可以這樣想：把第一段繩子的長度當作標準，假設第二、第三段繩子都和第一段同樣長，那么總長就變為100－16＋18=102米。
第一段繩子長：102÷3=34米
第二段繩子長：34+16=50米
第三段繩子長：34－18=16米
練 習 四
1，某工廠第一、二、三車間共有工人280人，第一車間比第二車間多10人，第二車間比第三車間多15人。三個車間各有工人多少人？
2，某工廠將857元獎金分給有創造發明的三名優秀工人，第一名比第二名多得250元，第二名比第三名多得125元。三名優秀工人各得多少元？
3，小明期終考試的語文、數學和英語的平均分是95分，數學比語文多6分，英語比語文多9分。小明期終考試三門功課各多少分？
例題5 四個人年齡之和是88歲，最小的3歲，他與最大的年齡之和比另外兩個人年齡之和大8歲。最大的年齡是多少歲？
思路導航：我們可以這樣思考，將最大、最小兩個人年齡的和與另外兩人年齡和分別看作大數與小數，根據四個人的年齡和是88歲，年齡差是8歲，即可求出大數與小數。
大數：（88+8）÷2=48歲
最大的年齡：48－3=45歲
練 習 五
1，小軍一家四口年齡之和是129歲，小軍7歲，媽媽30歲，小軍與爺爺年齡這和比他父母年齡之和大5歲。爺爺和爸爸的年齡各是多少歲？
2，某校四個年齡共有438名學生，其中一年級119人，四年級101人，一、二年級的總人數比三、四年級的總人數多52人。二、三年級各有多少人？
3，某校四個年級共有138名學生參加數學競賽，其中一、二年級共70名，一、三年級共65名，二、三年級共59名。四年級有多少名？
第二十六周 差倍問題（一）
專題簡析：
前面我們已經初步掌握了“和倍問題”的特征和解題方法。如果知道了兩個數的差與兩個數間的倍數關系，要求兩個數各是多少，這一類題，我們則把它稱為“差倍問題”。小朋友，你們有沒有想到用解答和倍問題的類似方法解答差倍問題呢？
解答差倍問題與解答和倍問題相類似，要先找出差所對應的倍數，先求1倍數，再求出幾倍數。此外，還要充分利用線段圖幫助分析數量關系。
用關系式可以這樣表示：
兩數差÷（倍數－1）=較小的數（1倍數）
較小的數×倍數=較大的數（幾倍數）
例題1 小明到市場去買水果，他買的蘋果個數是梨的3倍，蘋果比梨多18個。小明買蘋果和梨各多少個？
思路導航：將梨的個數看作1倍數，則蘋果的個數是這樣的3倍。如下圖：
從線段圖上可以看出，蘋果的個數比梨多了3－1=2倍，梨的2倍是18個，所以梨有18÷2=9個，蘋果有：9×3=27個。
練 習 一
1，學校合唱組，女同學人數是男同學的4倍，女同學比男同學多42人。合唱組有男、女同學各多少人？
2，一件皮衣價錢是一件羽絨服價錢的5倍，又已知一件皮衣比一件羽絨服貴960元。皮衣與羽絨服各多少元？
3，甲筐蘋果是乙筐蘋果的3倍，如果從甲筐取出60千克放入乙筐，那么兩筐蘋果重量就相等。兩筐原來各有蘋果多少千克？
例題2 被除數比除數大252，商是7，被除數、除數各是多少？
思路導航：根據“商是7”可知，被除數是除數的7倍，把除數看作1倍數，被除數就是這樣的7份，比除數多6份。
所以除數是：252÷（7－1）=42
被除數是：42＋252=294
練 習 二
1，被除數比除數大168，商是22，被除數、除數各是多少？
2，除數比被除數小212，商是5，被除數、除數各是多少？
3，被除數比商大144，除數是7，被除數、商各是多少？
例題3 水果店有兩筐橘子，第一筐橘子的重量是第二筐的5倍，如果從第一筐中取出300個放入第二筐，那么第一筐橘子還比第二筐多60個。原來兩筐橘子各有多少個？
思路導航：根據“如果從第一筐中取出300個放入第二筐，那么第一筐橘子還比第二筐多60個”，說明原來第一筐比第二筐橘子多300×2＋60=660個。把第二筐的橘子重量看作1倍數，第一筐橘子是這樣的5倍，比第二筐多4倍，第二筐橘子的4倍正好是660個，所以第二筐原有橘子：660÷4=165個，第一筐橘子原來有：165×5=825個。
練 習 三
1，同學們捐助殘，六年級捐款錢數是三年級的3倍。如果從六年級捐款錢數中取出160元放入三年級，那么六年級捐款的錢數還比三年級多40元。兩個年級分別捐款多少元？
2，人民公園的杜鵑花盆數是長春園的4倍，如果從人民公園搬出188盆杜鵑花放入長春園，則人民公園的杜鵑花盆數就比長春園的少25盆。原來兩個公園各有杜鵑花多少盆？
3，兩堆煤重量相等，現從甲堆中運走24噸到乙堆，而乙堆煤中又運入8噸，這時乙堆煤的重量正好是甲堆煤重量的3倍。問兩堆煤原來各有多少噸？
例題4 甲、乙兩個數，如果甲數加上280就等于乙數，如果乙數加上320就等于甲數的3倍。兩個數各是多少？
思路導航：根據題意，畫出線段圖：
“甲數加上280就等于乙數”，說明乙數比甲數大280；如果乙數再加上320，甲、乙就相差320+280=600，把甲數看作1倍數，從圖上可以看出，600就相當于甲數的3－1=2倍。所以，甲數為600÷2=300，乙數為300＋280=580。
練 習 四
1，甲、乙兩人的存款相等，甲取出60元，乙存入20元后，乙的存款是甲的3倍。甲、乙兩人原有存款各多少元？
2，小明和小華的連環畫本數相等，若小明借給小華6本，小華的本數是小明的4倍。原來兩人各有連環畫多少本？
3，兩筐千克數相同的蘋果，甲筐賣出7千克，乙筐賣出19千克后，甲筐余下的蘋果是乙筐的3倍。兩筐蘋果原來各有多少千克？
例題5 兩個書架所存書的本數相等，如果從第一個書架里取出200本書，而第二個書架再放入40本書，那么第二個書架的本數是第一個書架的3倍。問兩個書架原來各存書多少本？
思路導航：根據題意，畫出線段圖。
從線段圖上可以看出，第一個書架取出200本，第二個書架放進40本書后，兩個書架就相差200+40=240本，把變化后的第一個書架看作1倍數，兩個書架相差的240本就相當于變化后第一個書架的（3－1）倍。所以，變化后第一個書架有書：
（200＋40）÷（3－1）=120本
兩個書架原來各有：120＋200=320本。
練 習 五
1，兩個倉庫所存糧食重量相等，如果從第一個倉庫里取出2000千克，而第二個倉庫再存入400千克，那么第二個倉庫的糧食重量就是第一個倉庫的7倍。兩個倉庫原來各存糧食多少千克？
2，小紅和小明的鉛筆枝數相等，如果奶奶再給小紅16枝鉛筆，給小明2枝鉛筆，那么小紅的鉛筆枝數就是小明的3倍。原來小紅和小明各有鉛筆多少枝？
3，商店有數量相等的英語本和算術本，英語本賣出160本，算術本賣出420本后，余下的英語本數是算術本的3倍。兩種本子原來各有多少本？
第二十講 等量代換
專題簡析：
等量代換是解數學題時常用的一種思考方法，即兩個相等的量，可以互相代換。當年曹沖稱象時，就是運用了這種方法。因為只有當大象與一船石重量相等時，兩次船下沉后被水面所淹沒的深度才一樣，所以稱大象的體重只要稱出一船石的重量就可以了。
在有些問題中，存在著兩個相等的量，我們可以根據已知條件與未知數量之間的關系，用一個未知數量代替另一個未知數量，從而找出解題的方法，這就是等量代換的基本方法。
例題1 1個梨的重量等于2個蘋果的重量，1個蘋果的重量等于3個桃子的重量。想一想，1個梨的重量等于幾個桃子的重量？
思路導航：根據“1個蘋果重=3個桃子重”，可得出2個蘋果重=6個桃子重；又因為“1個梨重=2個蘋果重”，所以1個梨重=6個桃子重。
練 習 一
2，1個菠蘿的重量等于6個蘋果的重量，2根香蕉的重量等于1個菠蘿的重量。1根重蕉的重量等于幾個蘋果的重量？
例題2 1個足球的重量等于2個排球的重量，1個排球的重量等于6只乒乓球的重量。如果1只乒乓球重8克，那么1只足球重多少克？
思路導航：根據“1只排球=6只乒乓球的重量”可知“2只排球=12只乒乓球的重量”，又因為“1只足球=2只排球的重量”，所以1只足球=12只乒乓球的重量。所以1只足球重：
8×（6×2）=96克。
練 習 二
1，1個菠蘿的重量等于2個梨的重量，1個梨的重量等于2個蘋果的重量。1個蘋果重100克，1個菠蘿重多少克？
2，1只猴子的重量=2只兔子的重量
1只兔子的重量=3只小雞的重量。
已知1只小雞重量200克，1只猴子重多少克？
3，1只排球重100克，1只乒乓球重多少克？
例題3 想一想，1只白皮球的重量等于幾只黑皮球的重量？
思路導航：根據“2只花皮球的重量=4只黑皮球的重量”可知1只花皮球的重量=2只黑皮球的重量；再根據“1只白皮球的重量+1只花皮球的重量=5只黑皮球的重量”可推出1只白皮球的重量=3只黑皮球的重量。
練 習 三
1，1個菠蘿加1個梨的重量等于7個桃子的重量，2個梨的重量等于4個桃子的重量。那么，1個菠蘿的重量等于幾個桃子的重量？
2，1只兔子的重量＋1只猴子的重量=8只雞的重量
3只兔子的重量=9只雞的重量
1只猴的重量=？只雞的重量
3，1只松鼠的重量＋1只兔子的重量=5只鴨的重量
2只松鼠的重量=6只鴨的重量
1只兔子的重量=幾只鴨的重量
 例題4
思路導航：由圖我們可知每種水果在圖中都出現了3次，那可求4種水果各3個的總重量：630＋730＋330＋800=2490克；
再求4種水果各1個的重：2490÷3=830克。
然后根據圖1可求出1個梨的重量：830－630=200克；
根據圖2求出1個蘋果的重量：830－730=100克；
根據圖3求出1個菠蘿的重量：830－330=500克；
根據圖4求出1個桃子的重量：830－800=30克。
練 習 四
1，已知：1只雞的重量＋1只猴的重量=1500克
1只猴的重量＋1只鴨的重量=1800克
1只雞的重量＋1只鴨的重量=1300克
求：三種動物每只各重多少克？
2，已知：1筐蘋果的重量＋1筐橘子的重量=90千克
1筐橘子的重量＋1筐香蕉的重量=140千克
1筐香蕉的重量＋1筐蘋果的重量=150千克
求：三種水果每筐各多少千克？
3，已知：紅氣球個數＋藍氣球個數＋綠氣球個數=35個
藍氣球個數＋綠氣球個數＋白氣球個數=43個
綠氣球個數＋白氣球個數＋紅氣球個數=33個
紅氣球個數＋藍氣球個數＋白氣球個數=48個
求：紅、藍、綠、白四種顏色的氣球各多少個？
例題5 用3個鵝蛋能換9個雞蛋，2個雞蛋能換4個鴿子蛋，用5個鵝蛋能換多少個鴿子蛋？
思路導航：用3個鵝蛋能換9個雞蛋，說明1個鵝蛋能換9÷3=3個雞蛋；2個雞蛋能換4個鴿子蛋，說明1個雞蛋能換4÷2=2個鴿子蛋。那么1個鵝蛋就能換2×3=6個鴿子蛋，所以5個鵝蛋能換6×5=30個鴿子蛋。
練 習 五
1，20只桃子可換2只香瓜，9只香瓜可換3只西瓜，8只西瓜可換多少只桃子？
2，2頭豬可換4只羊，3只羊可換6只兔子，3頭豬可換幾只兔子？
3，○=△△，○○○=□，□=（ ）個△
第二十四周 簡單推理（一）
專題簡析：
數學課上，老師布置了一道題：
□＋△=28 □=△＋△＋△
□=（ ） △=（ ）
要得出正確的結論，就要進行分析、推理。學會了推理，能使你變得更聰明，頭腦更靈活。數學上有許多重大的發現和疑難問題的解決都離不開推理。
解答這類推理題時，要求小朋友仔細觀察，認真分析等式中幾個圖形之間的關系，尋找解題的突破口，然后再利用等量代換、消去等方法來進行解答。
例題1 下圖中，□和△各代表幾？
□＋△=28 □=△＋△＋△
□=（ ） △=（ ）
思路導航：根據□＋△=28，我們可以得出□=28－△；由□=△＋△＋△得到28=△＋△＋△＋△，4個△等于28，一個△等于28÷4=7；由□=△＋△＋△可求出□=7＋7＋7=21。
練習一
1，☆＋○=18 ☆=○＋○
☆=（ ） ○=（ ）
2，△＋○=25 △=○＋○＋○＋○
△=（ ） ○=（ ）
3，○＋□=36 ○=□＋□＋□＋□＋□
○=（ ） □=（ ）
例題2 下圖中□和△各代表幾？
□×△=36 □÷△=4
□=（ ） △=（ ）
思路導航：根據□÷△=4可知△為一份，□是這樣的4份，即□=4△；又根據□×△=36，可以得到4△×△=36，即△×△=9，進一步得到△=3，□=4△=4×3=12。
練 習 二
1，○和□各表示幾？
○×□=16 □÷○=4
○=（ ） □=（ ）
2，想想，填填。
○×△=20 ○=△＋△＋△＋△＋△
○=（ ） △=（ ）
3，□和○各代表幾？
□=○＋○＋○＋○ ○×□=16
□=（ ） ○=（ ）
例題3 下圖中，□和△各代表幾？
□＋□＋△=16 □＋△＋△=14
□=（ ） △=（ ）
思路導航：16里面有2個□，1個△；14里面有1個□，2個△，16減去14等于2，即□－△=2，那么如果把△換成了□，則16需要加上2，即□＋□＋□=16＋2，那么□=（16＋2）÷3=6，△=16－6×2=4。
練 習 三
1，□＋□＋○＋○=38
□＋□＋○=22
□=（ ） ○=（ ）
2，□＋□＋□＋△＋△=52
□＋□＋△＋△＋△=48
□=（ ） △=（ ）
3，○＋△＋□＋□=10
△＋□＋△＋□=12
△＋○＋□＋○=12
○=（ ） □=（ ） △=（ ）
例題4 下圖中，□和○各代表幾？
□＋□＋○＋○＋○=34
○＋○＋○＋○＋□＋□＋□=48
□=（ ） ○=（ ）
思路導航：34里面有2個□、3個○，48里面有3個□、4個○，用48減去34得到□＋○=14，34中有2個（□＋○）及1個○。所以，○=34－14×2=6，□=（34－6×3）÷2=8。
練 習 四
1，☆＋☆＋△＋△＋△=24
△＋△＋△＋△＋☆＋☆＋☆=36
☆=（ ） △=（ ）
2，○＋○＋○＋△＋△=54
△＋△＋△＋○＋○＋○＋○=76
○=（ ） △=（ ）
3，□＋□＋□＋△＋△＋△＋△=96
△＋△＋△＋△＋△＋□＋□＋□＋□=123
□=（ ） △=（ ）
例題5 下圖中□、☆和△各代表幾？
☆＋☆=□＋□＋□
□＋□＋□=△＋△＋△＋△
☆＋□＋△＋△=80
☆=（ ） □=（ ） △=（ ）
思路導航：因為2個☆等于3個□，3個□又等于4個△，所以2個☆等于4個△，那么1個☆等于2個△。在☆＋□＋△＋△=80中，2個△可以用1個☆替代，就變為☆＋□＋☆=80，而2個☆又可以用3個□替代，也就是□＋□＋□＋□=80，所以□=20，☆=20×3÷2=30，△=20×3÷4=15。
練 習 五
1，△＋△=○＋○＋○
○＋○＋○=□＋□＋□
○＋□＋△＋△=100
○=（ ） □=（ ） △=（ ）
2，○＋○=□＋□＋□
□＋□＋□=△＋△
△＋□＋○=40
△=（ ） □=（ ） ○=（ ）
3，□＋□=○＋○＋○
○＋○＋○=☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆
□＋○＋☆＋☆＋☆＋☆=320
○=（ ） □=（ ） ☆=（ ）
第二周 找 規 律
專題簡析：
按照一定次序排列起來的一列數，叫做數列。如自然數列：1、2、3、4……；雙數列：2、4、6、8……。我們研究數列，目的就是為了發現數列中數排列的規律，并依據這個規律來填寫空缺的數。
按照一定的順序排列的一列數，只要從連續的幾個數中找到規律，那么就可以知道其余所有的數。尋找數列的排列規律，除了從相鄰兩數的和、差考慮，有時還要從積、商考慮。善于發現數列的規律是填數的關鍵。
例題1 在括號內填上合適的數。
（1）3，6，9，12，（ ），（ ）
（2）1，2，4，7，11，（ ），（ ）
（3）2，6，18，54，（ ），（ ）
思路導航：（1）在數列3，6，9，12，（ ），（ ）中，前一個數加上3就等于后一個數，相鄰兩個數的差都是3，根據這一規律，可以確定（ ）里分別填15和18；
（2）在數列1，2，4，7，11，（ ），（ ）中，第一個數增加1等于第二個數，第二個數增加2等于第三個數，也就是相鄰兩個數的差依次是1，2，3，4……這樣下一個數應為11增加5，所以應填16；再下一個數應比16大6，填22。
（3）在數列2，6，18，54，（ ），（ ）中，后一個數是前一個數的3倍，根據這一規律可知道（ ）里應分別填162和486。
練 習 一
1，在括號里填數。
（1）2，4，6，8，10，（ ），（ ）；
（2）1，2，5，10，17，（ ），（ ）；
2，按規律填數。
（1）2，8，32，128，（ ），（ ）；
（2）1，5，25，125，（ ），（ ）；
3，先找規律再填數。
12，1，10，1，8，1，（ ），（ ）
 例題2 先找出規律，再在括號里填上合適的數。
（1）15，2，12，2，9，2，（ ），（ ）；
（2）21，4，18，5，15，6，（ ），（ ）；
思路導航：（1）在15，2，12，2，9，2，（ ），（ ）中隔著看，第一個數減3是第三個數，第三個數減3是第五個數，第二、四、六的數不變。根據這一規律，可以確定括號里分別應填6、2；
（2）在21，4，18，5，15，6，（ ），（ ）中，隔著看第一個數減3為第三個數，第三個數減3為第五個數。第二個數增加1為第四個數，第四個數增加1是第六個數。根據這一規律，可以確定括號里分別應填12和7。
練 習 二
1，按規律填數。
（1）2，1，4，1，6，1，（ ），（ ）；
（2）3，2，9，2，27，2，（ ），（ ）；
2，在括號里填數。
（1）18，3，15，4，12，5，（ ），（ ）；
（2）1，15，3，13，5，11，（ ），（ ）；
3，找規律填數。
1，2，5，14，（ ），（ ）
例題3 先找出規律，再在括號里填上合適的數。
（1）2，5，14，41，（ ）；
（2）252，124，60，28，（ ）；
（3）1，2，5，13，34，（ ）；
（4）1，4，9，16，25，36，（ ）；
思路導航：（1）在數列2，5，14，41，（ ）中，第一個數2×3－1=5是第二個數，第二個數5×3－1=14是第三個數。依此類推，相鄰兩個數，前一個數乘3減1等于后一個數，所以括號里應填122。
（2）在數列252，124，60，28，（ ）中，相鄰的兩個數，前一個數除以2的商減2等于后一個數，所以括號里應填12。
（3）在數列1，2，5，13，34，（ ）中，可以發現2×3=1＋5，5×3=2＋13，13×3=5＋34，也就是從第二項開始，每一項乘3等于它前后相鄰兩數的和，因而括號里應填89。
（4）這列數比較特別，第一個數1×1=1，第二個數2×2=4，第三個數3×3=9，可以看出它們分別為1，2，3，4，5，6…這些數自己與自己的乘積，因而第七個數為7×7=49。
練 習 三
1，按規律填數。
（1）2，3，5，9，17，（ ）；
（2）2，4，10，28，82，（ ），（ ）；
2，按規律填數。
94，46，22，10，（ ），（ ）
3，在括號里按規律填數。
2，3，7，18，47，（ ），（ ）。
例題4 根據前面圖形里的數的排列規律，填入適當的數。
思路導航：（1）橫著看，右邊的比左邊的數多5，豎著看，下面的數比上面的數多4。根據這一規律，方格里填18；
（2）通過觀察可以發現，前兩個圖形三個數之間有這樣的關系：4×8÷2=16，7×8÷4=14，也就是說中心數是上面的數與左下方數的乘積除以右下方的數。根據這個規律，第三個圖形空格中的數為9×4÷3=12；
（3）橫著看，第一行和第二行中，第一個數除以3等于第二個數，第一個數乘3等于第三個數。根據這一規律，36×3=108就是空格中的數。
練 習 四
找出排列規律，在空缺處填上適當的數。
例題5 按規律填數。
（1）187，286，385，（ ），（ ）；
思路導航：（1）在187，286，385，（ ），（ ）中，十位上的數字8不變，百位上的數字是1，2，3…依次增加1，個位上的數字是7，6，5…依次減少1，并且百位上的數字與個位上的數字的和為8。根據這一規律，括號里應填484，583；
（2）通過觀察可以發現，前兩個圖形之間有一定聯系：左上數十位上的數字和右上數個位上的數字分別與下面數的千位、個位上的數字相同；左上數與右上數十位上的數字之和為下面數的百位上的數字，左上數與右上數個位上的數字之和為下面數的十位上的數字。根據這一規律，空格內應填3594。
練 習 五
根據規律，在空格內填數。
（1）198，297，396，（ ），（ ）；
第五周 算 式 謎
專題簡析：
小朋友都喜歡猜謎語，你們知道數學中也有一種有趣的謎嗎？一個完整的算式，缺少幾個數字，那就成了一道算式謎。算式謎又被稱為“蟲食算”，意思是說算式中的一些數字像是被蟲子咬去了。
算式謎，就是要將算式中缺少的數字補齊，使它成為一道完整的算式。
解算式謎的思考方法是推理加上嘗試，首先要仔細觀察算式特征，由推理能確定的數先填上；不能確定的，要分幾種情況，逐一嘗試。分析時要認真分析已知數字與所缺數字的關系，抓準解題的突破口。
例題1 在下面算式的□內，填上適當的數字，使算式成立。


思路導航：已知被乘數個位是8，積的個位是2，可推出乘數可能是4或9，但積的百位上是7，因而乘數只能是4，被乘數百位上是1，那么十位上只能是9。所以算式是：198×4=792。
練習一：在□里填上適當的數，使算式成立。
例題2 □里填哪些數字，可使這道除法算式成為一道完整的算式？

思路導航：已知除數和商的某些位上的數，求被除數，可從商的末位上的數與除數相乘的積想起，5×6=30，可知這個被除數個位為0；再想商十位上的數與6的乘積為一位數，這個數只能為1，這樣確定商十位上為1，最后被除數十位上的數為3＋6=9。
練習二：在□里填上適當的數，使等式成立。
例題3 在下面豎式的□里，各填入一個合適的數字，使算式成立。
思路導航：要求□里填哪些數，我們可以先想商的個位上是多少，商個位上的數與除數7相乘積是兩位數的有14、21、28、35、42、49、56、63，由此可確定被除數個位與商個位有八種情況：

商個位上的數確定后，再想被除數十位上是多少，被除數十位上的數是商十位上的數乘除數加上第一次除后所得的余數。我們可以發現，商為15、16、17、18、19時，被除數十位上的數不是一位數，而是兩位數，不合要求，所以這題有三種填法：
練習三：□里可填哪些數字？
例題4 在下面豎式的□里，填入合適的數字，使算式成立。

思路導航：這道題我們可以從商百位上的4與除數8的乘積來考慮，4×8=32，由此可確定被除數千位和百位上的數；再想商十位上的數與8相乘接近61，而小于61，7×8=56可得商十位上為7。最后想，幾與8相乘得五十幾，7×8=56，這樣全題可填出。
練習四：在□里填上合適的數，使豎式成立。
例題5 在下面□中填入適當的數，使算式成立。

思路導航：通過觀察我們可以發現，商的個位數字是9與除數的乘積為657，由此可以求出除數為657÷9=73；再根據商十位數字是5，可求出除數與商十位數字積為73×5=365，也就可求出被除數前三位是365＋65=430，個位是7。
練習五：□里應填幾才能使算式成立？

第八周 有余除法
專題簡析：
把一些書平均分給幾個小朋友，要使每個小朋友分得的本數最多，這些書分到最后會出現什么情況呢？一種是全部分完，還有一種是有剩余，并且剩余的本數必須比小朋友的人數少，否則還可以繼續分下去。每次除得的余數必須比除數小，這是有余數除法計算中特別要注意的。
解這類題的關鍵是要先確定余數，如果余數已知，就可以確定除數，然后再根據被除數與除數、商和余數的關系求出被除數。
在有余數的除法中，要記住：
（1）余數必須小于除數；
（2）被除數=商×除數＋余數。
例題1 □÷6=8……□，根據余數寫出被除數最大是幾？最小是幾？
思路導航：除數是6，根據余數比除數小，余數可填1、2、3、4、5，根據除數×商＋余數=被除數又已知商、除數、余數，可求出最大的被除數為6×8＋5=53，最小的被除數為6×8＋1=49。
練習一
1，下面題中被除數最大可填幾，最小可填幾？
□÷8=3……□
2，你能寫出最大的被除數和最小的被除數嗎？
□÷4=7……□
3，下題中要使除數最小，被除數應為幾？
□÷□=12……4
例題2 □÷□=8……15，要使除數最小，被除數應為幾？
思路導航：題中余數是15，除數應比余數就是比15大，比15大的有很多，但其中最小的應該是16。16是最小的除數，根據商×除數＋余數=被除數，就可以求出被除數了。所以應是：
8×16＋15=143
練習二
1，下面算式中，要使除數最小，被除數應是幾？
□÷□=12……10
2，除數最小時，被除數是幾？
□÷□=10……7
3，你能寫出下面的除數和商嗎？
41÷□=□……1
例題3 算式28÷（ ）=（ ）……4中，除數和商各是多少？
思路導航：根據“被除數=商×除數＋余數”，可以得知“除數×商=被除數－余數”，所以本題中商×除數=28－4=24。這兩個數可能是1和24，2和12，3和8，4和6，又因為余數為4，因此除數可以是24、12、8、6，商分別為1、2、3、4。
練習三
1，下列算式中，除數和商各是幾？
（1）22÷（ ）=（ ）……4
（2）65÷（ ）=（ ）……2
（3）37÷（ ）=（ ）……7
（4）48÷（ ）=（ ）……6
2，149除以一個兩位數，余數是5，請寫出所有這樣的兩位數。
例題4 算式（ ）÷7=（ ）……（ ）中，商和余數相等，被除數可以是哪些數？
思路導航：題目中告訴我們除數是7，商和余數相等，因為余數必須比除數小，所以余數和商可為1、2、3、4、5、6，這樣被除就可以求得了。
練習四
1，下列算式中，商和余數相同，被除數是哪些數？
（1）（ ）÷6=（ ）……（ ）
（2）（ ）÷5=（ ）……（ ）
（3）（ ）÷4=（ ）……（ ）
（4）（ ）÷3=（ ）……（ ）
2，一個三位數除以15，商和余數相等，請你寫出五個這樣的除法算式。
例題5 算式（ ）÷（ ）=（ ）……4中，除數和商相等，被除數最小是幾？
思路導航：題目中告訴我們余數是4，除數和商相等，因為余數必須比除數小，所以除數必須比4大，但其中要求最小的被除數，因而除數應填5，商也是5。5×5＋4=29，所以被除數最小是29。
練習五
1，下面算式中，除數和商相等，被除數最小是幾？
（ ）÷（ ）=（ ）……6
（ ）÷（ ）=（ ）……8
（ ）÷（ ）=（ ）……3
2，有一個除法算式，它的余數是9，除數和商相等，被除數最小是幾？
第六周 文字算式謎
專題簡析：
一般說來，算式都是由一些數字和運算符號組成的，可有些算式卻由漢字或英文字母組成，我們稱它為文字算式。
文字算式是一種數字謎，解答時要注意在同一道題中，相同的文字或英文字母應表示相同的數字，不同的文字或英文字母應表示不同的數字。
通過本周的學習，我們可以發現解文字算式謎與添運算符號、填豎式的步驟與方法基本是一樣的，都要仔細觀察算式的特征，認真分析，正確選擇解題的突破口，最后通過嘗試找尋正確答案。
例題1 下式中，每個字各代表一個不同的數字，其中“心”代表9，請問其他漢字分別代表哪個數字？

思路導航：乘數個位與被乘數個位相乘，“心”ד心”=9×9=81，所以“少”=1，乘積就是111111111。根據積，用乘數“心”去逐一乘被乘數，9ד中”的積個位數應該是3，所以“中”=7，往前一位進7；9ד樂”的積的個位數應是4，“樂”=6，往前一位進6；9ד俱”的積個位數應是5，“俱”=5，往前一位進5；9ד球”積個位數字應是6，“球”=4，往前一位進4；9ד足”的積個位數是7，所以“足”=3，往前一位進3；9ד年”的積的個位數是8，“年”=2，往前一位進2；9×1＋2=11，即：
12345679×9=111111111
練 習 一
1，下面每個字代表不同的數字，這些漢字分別代表幾？

2，如果A、B滿足下面算式，它們各代表幾？

3，下面各個漢字分別代表幾？

例題2 下面不同的漢字代表不同的數字，相同的漢字代表相同的數字。它們各表示幾？

思路導航：由積的個位是2，乘數是3，可推出被乘數個位上“學”是4，4×3=12，在積的個位上寫2，向十位進1；因為積的十位上“學”為4，所以“數”×3應為3，推出“數”為1；因為“數”為1，百位上“庚”×3末位應為1，因而“庚”為7，千位上5×3＋2=17，在千位上寫7，向萬位進1，因而“羅”為5，萬位上8×3＋1=25，在千位上寫5，向前一位進2，因而“華”為8。
練習二：下面各個豎式中的漢字分別代表幾？

例3 在下面的豎式中，a、b、c、d各代表什么數字？

思路導航：仔細審題發現千位a×9的結果是一位數，于是就可以確定a只能是1。接著思考個位d×9=1是不可能的，所以應該是d×9等于幾十一，于是確定d=9。或者想千位上1×9=9，所以d一定是9。最后確定剩下的c為8。只有8×9=72，72＋8=80，積中才會有0。
練 習 三
1，下面豎式中的字母各代表幾？

2，
A＋B＋C=（ ）
例題4 下面算式里，相同的漢字代表同一個數字，不同的漢字代表不同的數字。如果以下3個等式成立：
小小×朋朋=友小小友
愛愛×科科=愛學學愛
朋朋×朋朋=小小學學
那么，小=（ ） 朋=（ ） 友=（ ）
愛=（ ） 科=（ ） 學=（ ）
思路導航：通過觀察，我們發現第三個等式最特殊，它是相同的兩位數相乘得到千位和百位、十位和個位分別相同的積，逐步試驗，11×11，22×22得不到四位數，然后從33×33試，我們發現88×88=7744，這樣可以得出：朋=8，小=7，學=4。將朋=8、小=7代入第一個算式中得出77×88=6776，確定友=6。這樣，0——9中，只剩下9，5，3，2，1，0這幾個數字，其中0、1不考慮，試后發現55×99=5445，所以愛=5，科=9。
練 習 四
例題5 下面算式中四個字分別代表四個數，你能求出來嗎？

新=（ ） 年=（ ） 快=（ ） 樂=（ ）
思路導航：從千位上看，千位上得數是2，假設新=2，那么百位上，“新＋年”不可能等于0，因而“新”不可能是2，只能是“新=1”。從百位上看，新＋年＋進來的數=10，我們可判斷“年”=7或8。而“新＋年=8”，即使個位進來2，十位上也不可能向百位進2，因而“年”=8，十位上“新＋年”=1＋8=9，而個位上已向十位進了1，因而“快”=0，最后從“新＋年＋快＋樂”=11中可推出“樂”=1。即：
新=（ 1 ） 年=（ 8 ） 快=（ 0 ） 樂=（ 1 ）
練 習 五
1，下面算式中相同的漢字代表相同的數字，不同的漢字代表不同的數字，請問這些漢字各代表幾？

2，下面各字母分別代表幾？

3，下面豎式中每個字母代表不同的數字，想想下面的算式怎樣寫？

第十一周 配對求和
專題簡析：
被人稱為“數學王子”的高斯在年僅8歲時，就以一種非常巧妙的方法又快又好地算出了1＋2＋3＋4＋…＋99＋100的結果。小高斯是用什么辦法算得這么快的呢？原來，他用了一種簡便的方法：先配對再求和。
數列的第一項叫首項，最后一項叫末項。如果一個數列從第二項起，每一項與前一項的差是一個不變的數，這樣的數列叫做等差數列，這個不變的數則稱為這個數列的公差。
計算等差數列的和，可以用以下關系式：
等差數列的和=（首項＋末項）×項數÷2
末項=首項＋公差×（項數－1）
項數=（末項－首項）÷公差＋1
例題1 你有好辦法算一算嗎？
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10=（ ）
思路導航：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10共10個數，我們可以把10個數分成5組：1＋10，2＋9，3＋8，……，每組兩個數的和是11，它們的和就有5個11即11×5=55。
練 習 一
1，計算：
1＋2＋3＋4＋…＋20；
2，你能迅速算出結果嗎？
1＋2＋3＋4＋…＋100；
3，想一想，該怎樣計算方便？
21＋22＋23＋24＋…＋50。
例題2 你能迅速算出下列算式的結果嗎？
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=（ ）
思路導航：1、2、3、4、5、6、7、8、9一共9個數，如果我們還像例1那樣兩個數組成一組，就有一個數多出來，那怎樣做呢？我們可以這樣想：

9個10是90，90是兩組1加到9的和，它的一半是90÷2=45。當加數個數成單時，我們可以用第一個數與最后一個數相加，乘這組數的個數，再除以2，其實這種方法也適用于加數個數成雙的求和。
練 習 二
用簡單方法迅速算出下面的題。
1，1＋2＋3＋4＋…＋55；
2，1＋2＋3＋4＋…＋99；
3，56＋57＋58＋…＋76。
例題3 計算：
（1）32＋34＋36＋38＋40＋42
（2）203＋207＋211＋215＋219
思路導航：（1）32、34、36、38、40、42共6個數相加，后一個數與前一個數相差都是2，我們可以把它們分為3組，每組的和都是74，那么幾個數的和就是3個74即74×3=222；
（2）203＋207＋211＋215＋219共5個數相加，后一個數與前一個數相差都是4，我們也可以仿照例2的方法進行計算，用第一個數和最后一個數相加203＋219=422，乘上數的個數5，即422×5=2110，再除以2得到2110÷2=1055。
練 習 三
計算：
1，48＋50＋52＋54；
2，128＋138＋148＋158＋168；
3，72＋75＋78＋81＋84。
例題4 計算：
993＋994＋995＋996＋997＋998＋999
思路導航：這題求幾個連續自然數的和，它們都接近于1000，我們可以看作7個1000相加，這樣就多加了7＋6＋5＋4＋3＋2＋1，就用7000－（7＋6＋5＋4＋3＋2＋1）=6072。
練 習 四
1，計算：
（1）97＋98＋99；
（2）1997＋1998＋1999。
2，你能迅速算出下題嗎？
9995＋9996＋9997＋9998＋9999
例題5 計算：
1000―81―19―82―18―83―17―84―16―85―15―86―14―87―13―88―12―89―11
思路導航：通過觀察，我們可以發現每兩個減數相加的和是100，我們可以把81和19，82和18，83和17，84和16，85和15，86和14，87和13，88和12，89和11這幾組數先加起來，和為9個100即900，然后再從1000中減900得100。
練 習 五
1，計算：
（1）1000―1―9―2―8―3―7―4―6―5―5―6―4―7―3―8―2―9―1
（2）1000―71―29―72―28―73―27―74―26―75―25―76―24―77―23―78―22―79―21
2，計算：
1000―91―1―92―2―93―3―94―4―95―5－96―6―97―7―98―8―99―9
第十七周 數字趣談
專題簡析：
在日常生活中，0、1、2、3、、4、5、6、7、8、9是我們最常見、最熟悉的數，由這些數字構成的自然數列中也有很多有趣的計數問題，動動腦筋，你就會找到答案。本周的習題，大都是關于自然數列方面的計數問題，解題的方法一般是采用嘗試探索法和分類統計法，相信你們能很好地掌握它。
例題1 在10和40之間有多少個數是3的倍數？
思路導航：由嘗試法可求出答案：
3×4=12 3×5=15 3×6=18 3×7=21 3×8=24
3×9=27 3×10=30 3×11=33 3×12=36 3×13=39
練習一
1，在20和50之間有多少個數是6的倍數？
2，在15和70之間有多少個數是8的倍數？
3，兩個整數之積為144，差為10，求這兩個數。
例題2 在10和1000之間有多少個數是3的倍數？
思路導航：求10和1000之間有多少個數是3的倍數，用一一列舉的方法顯得很麻煩。可以這樣思考：
10÷3=3……1 說明10以內有3個數是3的倍數；
1000÷3=333……1 說明1000以內有333個數是3的倍數。
333－3=330 說明10——1000之間有330個數是3的倍數。
練 習 二
1，在1到1000之間有多少個數是4的倍數？
2，在10到1000之間有多少個數是7的倍數？
3，在100到1000之間有多少個數是3的倍數？
例題3 從1——9九個數中選取，將11寫成兩個不同的自然數之和，有多少種不同的寫法？
思路導航：將1——9的九個自然數從小到大排成一列：
1，2，3，4，5，6，7，8，9
先看最小的1和最大的9相加之和為10不符合要求，但用第二小的2和最大的9相加，和為11符合要求，得11=2＋9。依次做下去，可得11=3＋8，11=4＋7，11=5＋6。
共有4種不同的寫法。
練習三
1，從1——9九個數中選取，將13寫成兩個不同的自然數之和，有多少種不同的寫法？
2，將15分拆成不大于9的兩個整數之和，有多少種不同的分拆方法，請列出來。
3，將12分拆成3個不同的自然數相加之和，共有多少種不同的分拆方法？
例題4 2000年2月的一天，有三批同學去植樹，每批的人數不相等，沒有一個人單獨去的，三批人數的乘積正好等于這一天的日期。想一想，這三批學生各有幾人？
思路導航：2000年2月有29天，三批同學人數的乘積不能大于29，我們可以先用最小的幾個數試乘（1除外）：2×3×4=24，24＜29；2×3×5=30，30＞29，不合題意。所以，這三批學生的人數是2，3，4人。
練 習 四
1，2001年5月的一天，有三批學生去參加助殘活動，每批人數不相等，三批人數的乘積正好等于這一天的日期。想一想，這三批學生最多各有多少人？
2，學校進行運動會比賽，三（2）班參加其中三項體育比賽的人數各不相同，而且這三項參賽人數之積在35到45之間。那么三（2）班最少各有多少人參加這三項比賽？
3，小明家有四種水果，每種水果的千克數不相等，這四種水果的千克數的乘積在200到250之間，那么這些水果最少共有多少千克？
例題5 一本連環畫共100頁，排頁碼時一個鉛字只能排一位數字。請你算一下，排這本書的頁碼共要用多少個鉛字？
思路導航：這道題可以分類計算：
從第1頁到第9頁，共9頁，每頁用1個鉛字，共用1×9=9個；
從第10頁到第99頁，共90頁，每頁用2個鉛字，共用2×90=180個；
第100頁，只有1頁共用3個鉛字。
所以這本書的頁碼共用9＋180＋3=192個鉛字。
練 習 五
1，一本書共200頁，排版時一個鉛字只能排一位數字，那么排這本書的頁碼共用了多少個鉛字？
2，《宇宙歷險記》這本書共214頁，編排這本書時共用多少個數碼？
3，編排《兒童漫畫》的頁碼時共用了51個數碼，這本書共多少頁？
第十三周 乘除巧算
專題簡析：
前面我們已給同學們介紹了加、減法中的巧算，大家學會了運用“湊整”的方法進行巧算，實際上這種湊整的方法也同樣可以運用在乘除計算中。為了更好地湊整，同學們要牢記以下幾個計算結果：2×5=10，4×25=100，8×125=1000。
提高計算能力，除了加、減、乘、除基本運算要熟練之外，還要掌握一定的運算技巧。巧算中，經常要用到一些運算定律，例如乘法交換律、乘法結合律、乘法分配律等等，善于運用運算定律，是提高巧算能力的關鍵。
例題1 你有好辦法算出下面各題的結果嗎？
（1）25×17×4 （2）8×18×125
（3）8×25×4×125 （4）125×2×8×5
思路導航：（1）我們知道25×4=100，因而我們要盡量把25與4放在一塊計算，這樣比較簡便。所以我們先算25×4=100，再與17相乘即100×17=1700；
（2）因為8×125=1000，因而我們先把8與125放在一塊計算，8×125=1000，再乘18：1000×18=18000；
（3）已知25×4=100、125×8=1000，因此這道題我們要通過移位的方法把25與4相乘，125與8相乘，然后再把1000與100相乘，1000×100=100000；
（4）因為125×8=1000，2×5=10，因而這道題也要移一移，先計算125×8=1000和2×5=10，再計算1000×10=10000。
練 習 一
1，計算：（1）25×23×4 （2）125×27×8
2，計算：
（1）5×25×2×4 （2）125×4×8×25（3）2×125×8×5
3，想一想，怎樣算比較簡便？ 125×16
例題2 你有好辦法計算下面各題嗎？
（1）25×8 （2）16×125
（3）16×25×25 （4）125×32×25
思路導航：（1）已知25×4=100，因為8=2×4，所以我們可以把25×8轉化為25×4×2，然后先算25×4=100，再算出100×2=200。
（2）125×8=1000，16=8×2，因而我們可以把16×125轉化為2×（8×125），然后算出8×125=1000，再乘2得到2000；
（3）因為25×4×100，16=4×4，這樣可以將兩個4分別與兩個25相乘，所以原式就轉化為（4×25）×（4×25），再分別計算，得到結果100×100=10000；
（4）因為125×8=1000，25×4=100，我們又發現32=4×8，所以可將4和8分別與25、125相乘，得到（125×8）×（25×4），再分別算出結果為1000×100=100000。
練 習 二
1，（1）25×12 （2）125×32 （3）48×125
2，（1）125×16×5 （2）25×8×5
3，（1）125×64×25 （2）32×25×25
例題3 你能很快算出它們的結果嗎？
（1）82×88 （2）51×59
思路導航：通過觀察，我們可以發現這兩題都是兩位數乘兩位數，被乘數和乘數十位上的數字相同，個位數字和是10，像這樣的題目，我們可以將首位數字加1再乘首位數字，得數作為積的前兩位數字；將兩個末位數字相乘，得數作為積的末位兩個數字，如果末位數字相乘的積是一位數，要在前面被一個0。
（1）82×88先用首位數字加1再乘首位數字，即（8＋1）×8=72作為積的前兩位數字，再用兩個末位數字相乘2×8=16作為積的末位兩個數字，所以82×88=7216；
（2）51×59先用首位數字加1乘首位數字，即（5＋1）×5=30作為積的前兩位數字，再用兩個末位數字相乘1×9=9，它們的積是一位數，要前9前面被一個0，作為積的末兩個數字，所以，51×59=3009。
練習三
計算：1，（1）72×78 （2）45×45
2，（1）81×89 （2）91×99
3，（1）42×48 （2）61×69
例題4 簡便運算：
（1）130÷5 （2）4200÷25 （3）34000÷125
思路導航：這里可以運用商不變的性質，即被除數和除數同時擴大或縮小相同的倍數（0除外），商不變，因而：
（1）130÷5可將130和5同時乘2，使除除變為10，然后再用260÷10=26；
（2）4200÷25可以將4200和25同時乘4，使除數變為100，然后再用16800÷100=168；
（3）34000÷125可以將34000和125同時乘8，使除數變為1000，然后再用272000÷1000=272。
練習三
1，你能迅速算出結果嗎？
（1）170÷5 （2）3270÷5 （3）2340÷5
2，計算：
（1）7200÷25 （2）3600÷25 （3）56÷25
3，你有好辦法計算下面各題嗎？
（1）32000÷125 （2）78000÷125 （3）43000÷125
 例題5 計算：31×25
思路導航：題中31不能被4整除，但31可拆成4×7＋3，這樣就得到（4×7＋3）×25，或者把25看作100÷4也可求出得數。
（1）31×25 （2）31×25
=（4×7＋3）×25 =31×（100÷4）
=4×7×25＋3×25 =31×100÷4
=775 =775
練 習 五
計算：
（1）29×25 （2）17×25
（3）221×25 （4）322×25
（5）2561×25 （6）3753×25
第十九周 簡單枚舉
專題簡析：
枚舉是一種常見的分析問題、解決問題的方法。一般地，要根據問題要求，一一列舉問題解答。運用枚舉法解應用題時，必須注意無重復、無遺漏，因此必須有次序、有規律地進行枚舉。
運用枚舉法解題的關鍵是要正確分類，要注意以下兩點：一是分類要全，不能造成遺漏；二是枚舉要清，要將每一個符合條件的對象都列舉出來。
例題1 從小華家到學校有3條路可走，從學校到文峰公園有4條路可走。從小華家到文峰公園，有幾種不同的走法？
為了幫助理解題意，我們可以畫出如上示意圖。
我們把小華的不同走法一一列舉如下：
根據列舉可知，從小明家經學校到文峰公園，走①路有4種不同走法，走②路有4種不同走法，走③路也有4種不同走法，共有4×3=12種不同走法。
練 習 一
1，從甲地到乙地，有3條公路直達，從乙地到丙地有2條鐵路直達。從甲地到丙地有多少種不同走法？
2，新華書店有3種不同的英語書，4種不同的數學讀物銷售。小明想買一種英語書和一種數學讀物，共有多少種不同買法？
3，明明有2件不同的上衣，3條不同的褲子，4雙不同的鞋子。最多可搭配成多少種不同的裝束？
例題2 用紅、綠、黃三種信號燈組成一種信號，可以組成多少種不同的信號？
思路導航：要使信號不同，要求每一種信號顏色的順序不同，我們可以把這些信號進行列舉：
從上面可以看出，紅色信號燈排在第一個位置時，有兩種不同的信號，綠色信號燈排在第一個位置時，也有兩種不同的信號，黃色信號燈排在第一個位置時，也有兩種不同的信號，因而共有3個2種不同排列方法，即2×3=6種。
練 習 二
1，用紅、黃、藍三種顏色涂圓圈，每個圓圈涂一種顏色，一共有多少種不同的涂法？
○○○
2，用數字1、2、3，可以組成多少個不同的三位數？分別是哪幾個數？
3，用2、3、5、7四個數字，可以組成多少個不同的四位數？
例題3 一個長方形的周長是22米，如果它的長和寬都是整米數，那么這個長方形的面積有多少種可能？
思路導航：由于長方形的周長是22米，可知它的長與寬之和為11米。下面列舉出符合這個條件的各種長方形：
練 習 三
1，一個長方形的周長是30厘米，如果它的長和寬都是整厘米數，那么這個長方形的面積有多少種可能值？
2，把15個玻璃球分成數量不同的4堆，共有多少種不同的分法？
3，3個自然數的乘積是18，問由這樣的3個數所組成的數組有多少個？如（1，2，9）就是其中的一個，而且數組中數字相同但順序不同的算作同一數組，如（1，2，9）和（2，9，1）是同一數組。
例題4 有4位小朋友，寒假中互相通一次電話，他們一共打了多少次電話？
思路導航：把4個小朋友分別編號：A、B、C、D，A與其他小朋友打電話，應該打3次，同樣B小朋友也應打3次電話，同樣C、D應該各打3次電話。4個小朋友，共打了3×4=12次。但題目要求兩個小朋友之間只要通一次電話，那么A打電話給B時，A、B兩人已經通過話了，所以B沒有必要再打電話給A，照這樣計算，12次電話中，有一半是重復計算的，所以實際打電話的次數是3×4÷2=6次。
練 習 四
1，6個小隊進行排球比賽，每兩隊比賽一場，共要進行多少次比賽？
2，有8位小朋友，要互通一次電話，他們一共打了多少次電話？
3，小芳出席由19人參加的聯歡會，散會后，每兩人都要握一次手，他們一共握了多少次手？
例題5 一條鐵路，共有10個車站，如果每個起點站到終點站只用一種車票（中間至少相隔5個車站），那么這樣的車票共有多少種？
我們可以利用列舉的方法：
如果起點站是1，那么終點站只能是7、8、9或10；
如果起站站是2，那么終點站只能是8、9或10；
如果起點站是3，那么終點站只能是9或10；
如果起點站是4，終點站只能是10；
如果起點站是5、6時，就找不到與它至少相隔5站的終點站了；
如果起點站是7，終點站只能是1；
如果起點站是8，那么終點站是2或1；
如果起點站是9，那么終點站是3、2或1；
如果起點站是10，那么終點站是4、3、2或1。所以，起點到終點至少相隔5個車站的車票有：
4＋3＋2＋1＋0＋0＋1＋2＋3＋4=20種。
練 習 五
1，上海、北京、天津三個城市分別設有一個飛機場，它們之間通航一共需要多少種不同的機票？
2，一條公路上，共有8個站點。如果每個起點到終點只用一種車票（中間至少相隔3個車站），那么共有多少種不同的車票？
3，在長江的某一航線上共有6個碼頭，如果每個起點終點只許用一種船票（中間至少要相隔2個碼頭），那么這樣的船票共有多少種？
第十二周 乘法速算
專題簡析：
我們已經學會了整數乘法的計算方法，但計算多位數乘法要一位一位地乘，運算起來比較麻煩。其實，多位數與一些特殊的數相乘，也可以用簡便的方法來計算。
計算乘法時，如果一個因數是25，另一個因數考慮可拆成4×幾，這樣可“先拆數再擴整”。兩位數、三位數乘11，可采用“兩頭一拉，中間相加”的辦法。但要注意頭尾相加作積的中間數時，哪一位上滿10要向前一位進一。
例題1 你能很快算出432×5的結果嗎？
思路導航：一個數與5相乘，因為10÷2=5，因而可以在這個數末尾添上一個0，然后再除以2，所得的結果就是這個數與5的積。所以，我們在432的末尾添上一個零，然后再除以2就可得出結果。
練習一
很快算出下面各題的結果：
1，321×5 25×5 41×5
2，470×5 629×5 546×5
3，1032×5 4832×5 7326×5
例題2 試著計算下列各題，你發現了什么規律？
（1）18×11 （2）38×11 （3）432×11
思路導航：通過計算、觀察可以發現，一個數與11相乘，所得的結果就是將這個數的首位與末位拉開分別作為積的最高位和最低位，再依次將這個數相鄰兩位由個位起加起，和寫在十位、百位……，哪一位上滿十就向前一位進一。
（1）18×11，就把8寫在個位上，8與1的和9寫在十位上，1寫在百位上，得18×11=198；
（2）38×11，把8寫在個位上，3與8的和為11，把1寫在十位上，同時向百位進1，百位上3加1為4，得38×11=418；
（3）432×11，把2寫在個位上，2與3的和5寫在十位上，3與的和7寫在百位上，千位上寫4，得432×11=4752。
練習二：很快算出下面各題的結果。
1，12×11 23×11 45×11 35×11
2，47×11 11×65 11×96 87×11
3，135×11 60311 32911 87211
例題3 你能迅速算出下面各題嗎？
（1）24×15 （2）248×15 （3）3456×15
思路導航：一個因數乘15，因為15=10＋5，那么24×15就可以寫成24×（10＋5），也就是用24加上它的一半再乘10，24＋12=36，再用36×10=360；
248×15就用248加上124得到372，再乘10為3720；
3456×15就用3456加上1728得到5184，再乘10為51840。
一個因數乘15，也就是用這個數加上它的一半再乘10。
練習三：速算
1，32×15 74×15 28×15
2，438×15 284×15 672×15
3，8762×15 4956×15 7948×15
例題4 下面的乘法有規律嗎？
（1）24×25 （2）21×25 （3）25×427 （4）25×1923
思路導航：因為25×4×100，因此一個數與25相乘，我們就看這個數里有幾個4，有幾個4就有幾個100，余1就加25，余2就加50，余3加75。
（1）24中有6個4，所以積是6個100；
（2）21中有5個4余1，所以積是5個100加25；
（3）427中有106個4余3，所以積是106個100加75；
（4）1923中有480個4余3，所以積是480個100加75。
練習四：速算
1，32×25 40×25 28×25
2，81×25 33×25 25×27
3，473×25 25×2562 25×377
例題5 你能迅速算出下面的結果嗎？
（1）15×9 （2）38×9 （3）72×99 （4）874×99
思路導航：（1）我們可以先用15×10=150，這樣就多加了1個15，因此我們還要從150中減去1個15，即150－15=135；
（2）我們可以先用38×10=380，這樣就多加了1個38，因此我們還要從380中減去1個38，即380－38=342；
（3）我們可以先用72×100=7200，這樣就多加了1個72，因此我們還要從7200中減去1個72，即7200－72=7128；
（4）我們可以先用874×100=87400，這樣就多加了1個874，因此要從87400中減去1個874，即87400－874=86526。
從上面幾題可以看出，一個數與9相乘，就用這個數乘10，再減這個數；一個數與99相乘，就用這個數乘100，再減這個數。
練習五：計算
1，52×9 432×9 1321×9
2，72×99 321×99 7231×99
3，78×9 142×99 1564×9 172399
第十五周 應用題（二）
專題簡析：
一般應用題的條件和問題變換的形式多，數量關系也比較復雜，但只要善于分析，善于思考，善于抓住關鍵，不管什么問題都能迎刃而解。
解答一般應用題的關鍵是要掌握數量關系，了解應用題中條件和條件、條件和問題之間的聯系，找出解題方法，靈活解題。
例題1 一列火車早上5時從甲地開往乙地，按原計劃每小時行駛120千米，下午3時到達乙地，但實際到達時間是下午5時整，晚點2小時。問火車實際每小時行駛多少千米？
思路導航：由“這列火車早上5時出發，計劃下午3時到達”可知，這列火車原計劃行駛12＋3－5=10小時，用原計劃每小時行駛120千米×計劃行駛的10小時，便可得到甲地到乙地的距離為120×10=1200千米；火車晚點2小時，說明火車實際行駛了10＋2=12小時，用1200÷12=100千米就可得到火車實際每小時行的千米數。
練 習 一
1，一輛汽車早上8點從甲地開往乙地，按原計劃每小時行駛60千米，下午4時到達乙地。但實際晚點2小時到達，這輛汽車實際每小時行駛多少千米？
2，一列火車早上6時從甲城開往乙城，計劃每小時行駛100千米，下午6時到達乙城。但實際到達時間是下午4時，提前2小時。問火車實際每小時行駛多少千米？
3，王叔叔駕駛一輛摩托車，上午11時從城開到城西，計劃每小時行駛60千米，下午2時到達城西，實際到達時間是下午3時，晚到1小時。問實際每小時比計劃少行多少千米？
例題2 小寧、小紅、小佳去買鉛筆，小寧買了7枝，小紅買了5枝，小佳沒有買。回家后，三個人平均分鉛筆，小佳拿出8角錢，小佳應給寧多少錢？給小紅多少錢？
思路導航：小寧和小紅一共買了7＋5=12枝鉛筆，三個人平均分，每人應得12÷3=4枝，所以小佳拿出的8角錢就相當于4枝鉛筆的價錢，那么每枝鉛筆的價錢應是8÷4=2角。小佳應給小寧2×（7－4）=6角錢，應給小紅2×（5－4）=2角錢。
練 習 二
1，三個好朋友去買飲料，小亮了5瓶，小華買了4瓶，陽陽沒有買。到家后，三個人平均喝完飲料，陽陽拿出6元錢，他應給小亮多少錢？給小華多少錢？
2，甲、乙、丙3人一起買了6個面包分著吃，甲、乙各拿出3個面包的錢，丙沒有帶錢。那么吃完后，丙應拿出4元8角錢，他應分別給甲、乙多少錢？
3，張、王、李三家合用一個爐灶，他們燒的柴同樣多，張家出了4擔柴，李家出了5擔柴，王家因無柴付18元。張、李家各得多少錢？
例題3 用一個杯子向空瓶里倒牛奶，如果倒進去2杯牛奶，連瓶共重450克；如果倒進去5杯牛奶，連瓶共重750克。一杯牛奶和一個空瓶各重多少克？
思路導航：根據題目的條件，我們可以寫出兩個關系式：
2杯牛奶重量＋1個空瓶重量=450克 （1）
5杯牛奶重量＋1個空瓶重量=750克 （2）
比較（1）、（2）兩個式子，可發現用（2）－（1）可消去空瓶重量，并可得到5－2=3瓶牛奶重量是750－450=300克，那么1瓶牛奶重量是300÷3=100克，然后可求出空瓶重量是450－100×2=250克。
練 習 三
1，有12筐蘋果，它們重量相等，我們把它們裝入一個大箱子里，如果裝進2筐蘋果，連箱共重量220千克；如果裝進5筐蘋果，連箱共重520千克。1筐蘋果和大箱子各重多少千克？
2，有一個木桶向一個水缸中倒水，如果倒進4桶水，連缸共重240千克；如果倒進7桶水，連缸共重390千克。一桶水和一個水缸各重多少千克？
3，有一瓶水，向幾個相同的杯子里注水，如果注滿3杯水，連瓶重550克；如果注滿6杯水，連瓶共重250克。一杯水多重？
例題4 一共有紅、黃、綠三種顏色的珠子120粒。如果把紅色珠子分放在9個盒子里，把黃色珠子分放在6個盒子里，把綠色珠子分放在5個盒子里，那么每個盒子里的珠子粒數相等。三種顏色的珠子各多少粒？
思路導航：把120粒珠子分放到盒子里以后，每個盒子里的珠子粒數相等，那么就可以120÷（6＋9＋5）=6粒，求出每個盒子里珠子的粒數，然后再求三種顏色的珠子各幾粒。
紅色珠子：6×9=54粒；
黃色珠子：6×6=36粒；
綠色珠子：6×5=30粒。
練 習 四
1，一共有蘋果、梨、橘子共105個，如果把蘋果分放到4個盤中，把梨分放到5個盤中，把橘子分放到6個盤中，那么每個盤子的水果個數相等。三種水果各多少個？
2，一共有白兔、灰兔、黑兔共250只，如果把白兔分放到5個籠中，把灰兔分放到11個籠中，把黑兔分放到9個籠中，這樣每個籠中的兔子的只數相等。三種兔子各多少只？
3，共有科技書、文藝書和故事書共360本，若把科技書分放到2個書架上，把文藝書分放到3個書架上，把故事書分放到4個書架上，則每個書架上的本數相等。三種書各有多少本？
例題5 在6個筐里放著同樣多的雞蛋，如果從每個筐里拿出50個雞蛋，則6個筐里剩下的雞蛋個數的總和等于原來兩個筐里雞蛋個數的總和。原來每個筐里有雞蛋多少個？
思路導航：根據“6個筐里剩下的雞蛋個數的總和等于原來5個筐里雞蛋個數的總和”，說明6個筐里取出的雞蛋個數的總和等于原來（6－2）=4個筐里雞蛋的總和，用取出的50×6=300個雞蛋除以4就可求出原來每個筐里的雞蛋個數：300÷4=75個。
練 習 五
1，在6個紙箱中放著同樣多的蘋果。如果從每個紙箱里拿出50個蘋果，則6個箱里剩下的蘋果個數的總和等于原來2個箱子的蘋果個數的總和。原來每個箱里有多少個蘋果？
2，某商店有5箱皮球，如果從每箱里取出15個，那么5個箱里剩下皮球的個數正好等于原來2箱皮球的個數。原來每箱裝了多少個皮球？
3，有3個水桶，如果從每桶中倒出4千克水，那么3桶里剩下的水的重量正好等于原來1桶的重量。原來每桶裝多少千克水？
第十八周 重疊問題
專題簡析：
三（1）班準備給參加班級繪畫比賽的16位同學和參加朗讀比賽的12位同學每人發一份紀念品，當中隊長玲玲將28份紀念品發下去時，卻多出5份，這是怎么回事？對了，因為有5位同學既參加了繪畫比賽，又參加了朗讀比賽，所以獎品就多出了5份。數學中，我們將這樣的問題稱為重疊問題。
解答重疊問題要用到數學中的一個重要原理——包含與排除原理，即當兩個計數部分有重復包含時，為了不重復計數，應從它們的和中排除重復部分。
解答重疊問題的應用題，必須從條件入手進行認真的分析，有時還要畫出圖示，借助圖形進行思考，找出哪些是重復的，重復了幾次？明確求的是哪一部分，從而找出解答方法。
例題1 六一兒童節，學校門口掛了一行彩旗。小張從前數起，紅旗是第8面；從后數起，紅旗是第10面。這行彩旗共多少面？
思路導航：根據題意，畫出下圖：
從圖上可以看出，從前數起紅旗是第8面，從后數起是第10面，這樣紅旗就數了兩次，重復了一次，所以這行彩旗共有8＋10－1=17面。
練 習 一
1，小朋友排隊做操，小明從前數起排在第4個，從后數起排在第7個。這隊小朋友共有多少人？
2，學校組織看文藝演出，冬冬的座位從左數起是第12個，從右數起是第21個。這一行座位有多少個？
3，同學們排隊去參觀展覽，無論從前數還是從后起起，李華都排在第8個。這一排共有多少個同學？
例題2 同學們排隊做操，每行人數同樣多。小明的位置從左數起是第4個，從右數起是第3個，從前數起是第5個，從后數起是第6個。做操的同學共有多少個？
思路導航：根據題意，畫出下圖：
由圖可看出：小明的位置從左數第4個，右數第3個，說明橫行有4＋3－1=6個人；從前數第5個，從后數第6個，說明豎行有5＋6－1=10人，所以做操的同學共有：6×10=60人。
練 習 二
1，同學們排隊跳舞，每行、每列人數同樣多。小紅的位置無論從前數從后數，從左數還是從右數起都是第4個。跳舞的共有多少人？
2，為慶祝“六一”，同學們排成每行人數相同的鮮花隊，小華的位置從左數第2個，從右數第4個；從前數第3個，從后數第5個。鮮花隊共多少人？
3，三（4）班排成每行人數相同的隊伍入場參加校運動會，梅梅的位置從前數是第6個，從后數是第5個；從左數、從右數都是第3個。三（4）班共有學生多少人？
例題3 把兩塊一樣長的木板像下圖這樣釘在一起成了一塊木板。如果這塊釘在一起的木板長120厘米，中間重疊部分是16厘米，這兩塊木板各長多少厘米？
思路導航：把等長的兩塊木板的一端釘起來，釘在一起的長度就是重疊部分，重疊的部分是16厘米，所以這兩塊木板的總長度是120＋16=136厘米，每塊木板的長度是136÷2=68厘米。
練 習 三
1，把兩段一樣長的紙條粘合在一起，形成一段更長的紙條。這段更長的紙條長30厘米，中間重疊部分是6厘米，原來兩段紙條各長多少厘米？
2，把兩塊一樣長的木板釘在一起，釘成一塊長35厘米的木板。中間重合部分長11厘米，這兩塊木板各長多少厘米？
3，兩根木棍放在一起（如圖），從頭到尾共長66厘米，其中一根木棍長48厘米，中間重疊部分長12厘米。另一根木棍長多少厘米？

例題4 一次數學測試，全班36人中，做對第一道聰明題的有21人，做對第二道聰明題的有18人，每人至少做對一道。問兩道聰明題都做對的有幾人？
思路導航：根據題意，畫出下圖：

圖中間重疊部分表示兩道題都做對的人數，把做第一道題和做對第二道題的人數加起來得21＋18=39人，這39人比全班總人數36多出了39－36=3人，這多出的3人既在做對第一題的人數中算過，也在做對第二道題的人數中算過，即表示兩道題都做對的人數。
練 習 四
1，三（1）班有學生55人，每人至少參加賽跑和跳繩比賽中的一種。已知參加賽跑的有36人，參加跳繩的有38人。兩項比賽都參加的有幾人？
2，兩塊木板各長75厘米，像下圖這樣釘成一塊長130厘米的木板，中間重合部分是多少厘米？

3，三（5）班有42名同學，會下象棋的有21名同學，會下圍棋的有17名，兩種棋都不會的有10名。兩種棋都會下的有多少名？
例題5 三（1）班訂《數學報》的有32人，訂《閱讀報》的有30人，兩份報紙都訂的有10人，全班每人至少訂一種報紙。三（1）班有學生多少人？
思路導航：根據題意，畫出下圖：
從上圖可以看出，中間重疊部分表示兩份報紙都訂的10人，這10人既被包括在訂《數學報》的32人內，又被包括在訂《閱讀報》的30人內，重復算了一次，所以要算出全班人數，必須從32＋30=62人中去掉被重復算過的10人。所以全班人數應是62－10=52人。
練 習 五
1，三（4）班做完語文作業的有37人，做完數學作業的有42人，兩種作業都完成的有31人，每人至少完成一種作業。三（4）班共有學生多少人？
2，兩塊木板各長90厘米，像下圖這樣釘成一塊木板，中間重合部分是15厘米，這塊釘在一起的木板總長多少厘米？
3，三年級有107個小朋友去春游，帶礦泉水的有78人，帶水果的有77人，每人至少帶一種。三年級既帶礦泉水又帶水果的小朋友有多少人？
第十六周 植樹問題
專題簡析：
爸爸給晶晶出了一道題：“小朋友在路的一邊植樹，先植一棵樹，以后每隔3米植一棵，已經植了9棵，問第一棵和第九棵樹相距多少米？”晶晶一看，隨口答道：“27米。”小朋友，晶晶答得對嗎？
這一類應用題我們通常稱為“植樹問題”。解答這類問題的關鍵是要弄清總距離、間隔長和棵樹三者之間的關系。解答植樹問題要考慮植樹的方式，一般在不封閉的線路上植樹，棵數=總距離÷間隔長＋1；在封閉的線路上植樹，棵數=總距離÷間隔長。
另外，生活中還有一些問題，可以用植樹問題的方法來解答，比如鋸木頭、爬樓梯問題等等，這里解題的關鍵是要將題目中的條件與問題與植樹問題中的總距離、間隔長、棵數對應起來。
例題1 小朋友們植樹，先植一棵樹，以后每隔3米植一棵，已經植了9棵，第一棵和第九棵相距多少米？
思路導航：要得出正確的結果，我們可以畫出如下的示意圖：
根據“已經植了9棵”，從圖中我們可以看出，第一棵樹和第九棵樹之間的間隔是9－1=8個，每個間隔是3米，所以第一棵和第九棵相距3×8=24米。
練 習 一
1，在路的一側插彩旗，每隔5米插一面，從起點到終點共插了10面。這條道路有多長？
2，在學校的走廊兩邊，每隔4米放一盆菊花，從起點到終點一共放了18盆。這條走廊長多少米？
3，在一條20米長的繩子上掛氣球，從一端起，每隔5米掛一個氣球，一共可以掛多少個氣球？
例題2 在一條長40米的大路兩側栽樹，從起點到終點一共栽了22棵。已知相鄰兩棵樹之間的距離都相等，問相鄰兩棵樹之間的距離是多少米？
思路導航：根據“在路的兩側共栽22棵樹”這個條件，我們可先求出一側栽了22÷2=11棵樹，那么從第1棵樹到第11棵樹之間的間隔是11－1=10個。40米長的大路平均分成10段，每段是40÷10=4米。
練 習 二
1，在一條長32米的公路一側插彩旗，從起點到終點共插了5面，相鄰兩面旗之間距離相等，相鄰兩面旗之間相距多少米？
2，在公園一條長25米的路的兩側放椅子，從起點到終點共放了12把椅子，相鄰兩把椅子距離相等。相鄰兩把椅子之間相距多少米？
3，有一根木頭，要鋸成8段，每鋸開一段需要2分鐘，全部鋸完需要多少分鐘？
例題3 把一根鋼管鋸成小段，一共花了28分鐘。已知每鋸開一段需要4分鐘，這根鋼管被鋸成了多少段？
要求鋼管被鋸的段數，必須首先求出鋼管被鋸開幾處。
思路導航：從圖中我們可以看出鋼管有28÷4=7處被鋸開，因而鋸開的段數有7＋1=8段。
練 習 三
1，一根木料，要鋸成4段，每鋸開一處要5分鐘，全部鋸完要多少分鐘？
2，一根圓木鋸成2米長的小段，一共花了15分鐘。已知每鋸下一段要3分鐘，這根圓木長多少米？
3，小明爬樓梯，每上一層要走12級臺階，一級臺階需走2秒。小明從一樓到四樓共要走多少時間？
例題4 在一個周長是48米的池塘周圍種樹，每隔6米種一棵樹，一共種了多少棵？
思路導航：無論這個池塘是什么形狀，種的樹都可圍成一個封閉路線，有下面幾種情況可看出，封閉線路中有幾個間隔，就能種幾棵樹。
已知池塘周長為48米，間隔長是6米，所以要種48÷6=8棵。
練 習 四
1，在一個周長是42米的長方形花園周圍，每隔2米放一盆花，一共可放多少盆花？
2，要在一個水池周圍種樹，已知這個水池周長為245米，計劃要栽49棵樹，相鄰兩樹之間距離相等。相鄰兩樹之間相距多少米？
3，在一個邊長為12米的正方形四周圍籬笆，每隔4米打1根木樁，一共要準備多少根木樁？
例題5 甲、乙兩人比賽爬樓梯，甲跑到5樓時，乙恰好跑到3樓。照這樣計劃，甲跑到17樓時，乙跑到多少層？
思路導航：解答爬樓梯問題，不能以樓層進行計算，而要用樓梯段數進行計算。因為第一層樓是不用爬的，（樓層數－1）才是要走的樓梯段數。
根據題意“甲跑到5樓時，乙恰好跑到3樓”，實際是說甲跑（5－1）段樓梯，與乙跑（3－1）段樓梯時間相同，照這樣計算，甲跑到17樓，也就是跑了（17－1）段樓梯，應是跑（5－1）段樓梯所用時間的4倍，在同一時間時乙跑的樓梯段數也是他跑（3－1）段樓梯的4倍，也就是這時他跑了8段樓梯，即他跑到了第8＋1=9層樓。
練習五
1，
第十周 數學趣題
專題簡析：
在日常生活中，常有一些妙趣橫生、帶有智力測試性質的問題，如：3個小朋友同時唱一首歌要3分鐘，100個小朋友同時唱這首歌要幾分鐘？類似這樣的問題一般不需要較復雜的計算，也不能用常規方法來解決，而常常需要用小朋友的靈感、技巧和機智獲得答案。
對于趣味問題，首先要讀懂題意，然后要經過充分的分析和思考，運用基礎知識以及自己的聰明才智巧妙地解決。
例題1 如果每人步行的速度相同，2個人一起從學校到兒童樂園要3小時，那么6個人一起從學校到兒童樂園要多少小時？
思路導航：2個人一起從學校到兒童樂園要3小時，也就是1個人從學校到兒童樂園要3小時；6個人一起從學校到兒童樂園所用的時間與一個人所用的時間相等，所以6個人一起從學校到兒童樂園還是用3小時。
練 習 一
1，3個人同時唱3首歌用9分鐘，9個人同時唱同樣的3首歌用幾分鐘？
2，5只貓5天能捉5只老鼠，照這樣計算，要在100天里捉100只老鼠要多少只貓？
3，6個人從甲地到乙地用4小時，如果每人的步行速度相同，那么3個人從甲地到乙地要用幾小時？
例題2 一條毛毛早由幼蟲長成成蟲，每天長大一倍，30天能長到20厘米。問長到5厘米時要用多少天？
思路導航：毛毛蟲每天長大一倍，說明第二天的身長是第一天身長的2倍。這條毛毛蟲在第30天時，身長為20厘米，那么在第29天時，這條毛毛蟲的身長為20÷2=10厘米；在第28天時，這條蟲的身長為10÷2=5厘米。
練 習 二
1，有一個池塘中的睡蓮，每天長大一倍，經過10天可以把整個池塘全部遮住。問睡蓮要遮住半個池塘需要多少天？
2，一條小青蟲由幼蟲長成成蟲，每天長大一倍，20天能長到36厘米。問長到9厘米時要用幾天？
3，一條毛毛蟲由幼蟲長成成蟲，每天長大一倍，15天能長到4厘米。問要長到32厘米共要多少天？
例題3 小貓要把15條魚分成數量不相等的4堆，問最多的一堆中最多可放幾條魚？
思路導航：小貓要把15條魚分成數量各不相等的4堆，要讓最多的一堆中小魚條數盡量多，那么其余三堆小魚的條數就要盡量少。所以，小貓可以在第一堆中放1條，在第二堆中放2條魚，在第三堆中放3條魚，這樣第四堆就可放：
15－（1＋2＋3）=9條。
練 習 三
1，小明要把20顆珠子分成數量不等的5堆，問最多的一堆中最多可放幾顆珠子？
2，老師為共有18人的舞蹈隊設計隊形，要求分成人數不等的5隊，問最多的一隊最多可排幾人？
3，兔媽媽拿來1盤蘿卜共25個，分給4只小兔，要使每只小兔分得的個數都不同。問分得最多的一只小兔至多分得幾只？
例題4 把100只桃子分裝在7個籃子里，要求每個籃子里裝的桃子的只數都帶有6字。想一想，該怎樣分？
思路導航：因為6×6=36只，這樣就可以在每個籃子里裝6只桃，共裝6個籃子，還有一個籃子里裝100－36=64只桃。64這個數，正好也含有數字6，符號題目要求。
練 習 四
1，把100個雞蛋分裝在6個盒里，要求每個盒里裝的雞蛋的數目都帶有6字，想想看，應該怎樣分？
2，有人認為8是個吉祥數字，他們得到的東西的數量都要含有數字8。現在有200塊糖要分給一些人，請你幫助設計一個吉祥的分糖方案。
3，7只箱子分別放有1只、2只、4只、8只、16只、32只、64只蘋果，現在要從這7只箱子里取出87只蘋果，但每只箱子內的蘋果要么全部取走，要么不取。你看該怎么取？
例題5 舒舒和思思到書店去買書，兩人都想買《動腦筋》這本書，但錢都不夠。舒舒缺2元8角，思思缺1分錢，用兩個人合起來的兒買一本，仍然不夠。這本書多少錢？
思路導航：思思買這本書缺1分錢，兩個人合起來的錢買一本書仍然不夠，這說明舒舒根本沒有錢，所以這本書的價錢是2元8角。
練 習 五
1，小華和娟娟到商店買文具盒，兩人看中同一個文具盒，但錢都不夠。小華缺9元4角，娟娟缺1分，兩人合起來買一個仍然不夠。這個文具盒多少錢？
2，李華和張潔到商店買同一種練本，但發現錢都沒帶夠，李華缺6角，張潔缺2分錢，但兩人合起來買一本仍不夠。這種本子一本多少錢？
3，王阿姨和李阿姨到商場買電視機，兩人都看中同一種電視機，但王阿姨缺600元，李阿姨缺900元，用兩人帶的錢合起來買這一臺電視機正好。這臺電視機多少錢？
第十四周 應用題（一）
專題簡析：
應用題是小學數學中非常重要的一部分內容，它需要我們小朋友用學到的數學知識來解決生產、生活中的一些實際問題。學好應用題的關鍵在于認真分析題意，掌握數量關系，找到問題的突破口。
在分析應用題的數量關系時，我們可以從條件出發，逐步推出所求的問題；也可以從問題出發，找到必須的兩個條件。在實際解答時，我們可以根據題目中的數量關系，靈活運用這兩種方法。有時，借助線段圖來分析應用題的數量關系，解答就更容易了。
例題1 學校里有排球24只，足球的只數比排球的2倍少5只，學校有排球、足球共多少只？
思路導航：根據題意畫出線段圖

從上圖可以看出，把24只排球看作1倍數，足球的只數比這樣的2倍還少5只，用24×2－5=43（只）可以求出足球的只數，再用43＋24=67只可以求出兩種球的總只數。
練 習 一
1，小紅每分鐘跳繩25下，小軍每分鐘跳的下數比小紅的3倍少16下，小軍每分鐘比小紅多跳幾下？
2，王奶奶家養雞12只，養鵝的只數比雞的只數的4倍還多7只。王奶奶家共養雞、鵝多少只？
3，少先隊員種柳樹30棵，種的楊樹的棵數比柳樹棵數的3倍多14棵。少先隊員種的楊樹、柳樹共多少棵？
例題2 人民廣場花圃中有180盆郁金香，比月季花盆數的3倍少15盆。月季花有多少盆？
思路導航：從上圖可以看出，把月季花的盆數看作1倍數，郁金香的盆數是這樣的3倍少15盆。如果郁金香再增加15盆，就正好是月季花盆數的3倍。因此用（180＋15）÷3=65（盆）就可求出月季花的盆數。
練 習 二
1，小明的父親每月工資1000元，比小明母親每月工資的2倍少200元。小明母親每月工資多少元？
2，飼養場養母鴨400只，比公鴨只數的7倍還多36只。飼養場養公鴨多少只？
3，水果店賣出9筐水果，平均每筐重45千克。賣出水果的千克數比剩下的3倍還多27千克，還剩多少千克水果？
例題3 小林家養了一些雞，黃雞比黑雞多13只，白雞比黃雞多12只，白雞的只數正好是黑雞的2倍。白雞、黃雞、黑雞各多少只？
思路導航：根據“黃雞比黑雞多13只，白雞比黃雞多12只”，從線段圖上我們可以看出白雞比黑雞多13＋12=25只，這相當于黑雞的2－1=1倍，這樣也就求出黑雞的只數為25÷1=25只，黃雞的只數是25＋13=38只，白雞的只數是25×2=50只。
練習三
1，商店里有紅、白、藍三種圍巾，其中紅圍巾比白圍巾多12條，藍圍巾比紅圍巾多20條，藍圍巾的條數正好是白圍巾的5倍。紅圍巾、白圍巾、藍圍巾各多少條？
2，有甲、乙、丙三筐蘋果，甲筐比乙筐多12只蘋果，丙筐比甲筐多15只蘋果，丙筐蘋果個數是乙筐的4倍。甲、乙、丙筐各有多少只蘋果？
3，男女學生參加小組交流會，如果少去1名女生，男女生人數相等；如果少去一名男生，女生人數是男生的2倍。參加交流會的男女生各多少人？
例題4 用一批紙裝訂同樣大小的練習本，如果每本16頁，可裝訂400本。如果每本20頁，可以少裝訂多少本？
思路導航：根據“如果每本16頁，可裝訂400本”，可得這批紙的總頁數16×400=6400頁；再用總頁數6400÷20=320本求出如果每本20頁可裝訂的本數，400－320=80本則表示少裝訂的本數。
練 習 四
1，水果市場要將一些水果裝箱，如果每箱10千克，可裝30箱。如果每箱15千克，可少裝多少箱？
2，服裝廠有一些布料加工窗簾，如果把窗簾做成3米長，可做140幅。如果每幅窗簾做成2米長，則可多做多少幅？
3，同一批紙裝訂同樣大小的練習本，如果每本16頁，可裝訂400本。如果每本多裝訂9頁，則少裝訂多少本？
例題5 李師傅原計劃6小時加工零件480個，實際2小時加工192個。照這樣的效率，可以提前幾小時完成？
思路導航：根據“實際2小時加工192個”，可以求出李師傅的實際工作效率為192÷2=96（個/小時），再用要加工的零件總數除以實際工作效率，即480÷96=5小時，求出實際完成的時間。6－5=1小時，則表示提前完成的時間。
練 習 五
1，王奶奶計劃10小時做紙盒400個，實際3小時已加工150個。照這樣的效率，可以提前幾小時完成？
2，暑假中，小寧30天共要寫大字600個，實際12天已寫大字360個。照這樣的速度，小寧可以提前幾天寫完同樣多的字？
3，自行車制造廠四月份（30天）共生產自行車3600輛，五月份改進技術后9天已生產自行車1350輛。照這樣的效率，可以提前幾天完成四月份的任務？
第四十周 一題多解
專題簡析：
一題多解是指從不同角度，運用不同的思維方式來解答同一道題的思考方法，經常進行一題多解的訓練，可以鍛煉我們的思維，使頭腦更靈活。
在進行一題多解的練習時，要根據題目的具體情況，首先確定思維的起點，然后沿著不同的思考方向，就能找到不同的解題方法。在尋求一題多解時，還應該特別選擇解決問題的簡便方法和最佳途徑。
例題1 有一個正方形池塘，四周種樹，每邊種8棵，每個頂點種一棵，每兩棵樹之間距離都相等。四周一共種了多少棵樹？
思路導航：
方法一：根據條件可知，每邊種8棵，4邊就是8×4=32棵，但每邊起點一棵算了兩次，一共多算了4棵，所以四周一共種了32－4=28棵樹。
方法二：我們可以先數正方形的一組對邊，包括兩個頂點的，每邊種8棵；再數另一組對邊的，不數兩個頂點的，每邊種8－2=6棵。所以，一共有：8×2＋6×2=28棵。
方法三：把正方形四邊拉直，每邊種8棵，就是把每邊分成了7等份，4邊共分成了28等份，每一等份對應一棵樹，所以共有28棵樹。
練 習 一
1，在一個正方形的菜地四周圍籬笆，每個頂點插一根，每兩根籬笆之間的距離相等，每邊有12根籬笆，四周一共圍了多少根籬笆？
2，有一個三角形花圃周圍種松樹，每個頂點種一棵，每邊種10棵，每兩棵之間距離相等，四周一共種了多少棵？
3，少先隊員表演節目，圍成一個正方形，每個頂點站1人，已知每邊站6人，一共站了多少人？
例題2 一瓶花生油連瓶一共重800克，吃掉一半油，連瓶一起稱，還剩550克。瓶里原有多少克油？空瓶重多少克？
思路導航：
方法一：根據條件可知，花生油和瓶的重量油800克變為550克，是因為吃掉了一半油，半瓶油的重量是800－550=250克，一瓶油的重量是250×2=500克，油瓶的重量是800－500=300克。
方法二：根據條件可知，半瓶油連瓶重550克，從550克中減去半瓶油的重量800－550=250克，550－250=300克即為瓶的重量，油的重量為：800－300=500克。
方法三：根據“并瓶油連瓶共重550克”可求出一瓶油和兩個瓶共重550×2=1100克，所以瓶重：1100－800=300克，油重800－300=500克。
練 習 二
1，一袋大米，連袋共重50千克。吃掉一半后，連袋剩下27千克。大米重多少千克？袋重多少千克？
2，一筐蘋果連筐共重85千克，倒去一半后，連筐共重45千克。蘋果和筐各重多少千克？
3，一筐橘子，連筐共重45千克。先拿一半送給幼兒園，再拿出剩下的一半給敬老院的老人，余下的橘子連筐重15千克。橘子和筐各重多少千克？
例題3 甲班有42人，乙班有35人，開學時來了25位新同學，怎樣分才能使兩班學生人數相等？
思路導航：
方法一：根據已知條件，我們可求出轉來了25位同學后的總人數為：42＋35＋25=102人，再求出平均每班為102÷2=51人，再根據甲班乙班原有的人數分別求出甲班分了：51－42=9人，乙班分了：51－35=16人。
方法二：根據已知條件，我們可先求出乙班比甲班少42－35=7人，那么25位新同學中我們可先分7人給乙班，使乙班和甲班一樣多，這樣就剩下25－7=18人。剩下的18人，我們再平均分給兩班，每班各分18÷2=9人。
所以，甲班共分了9人，乙班共分了9＋7=16人。
練 習 三
1，小明有18枝鉛筆，小紅有15枝鉛筆，媽媽又買來13枝鉛筆，怎樣分，才能使兩人鉛筆一樣多？
2，甲倉庫有糧食420噸，乙倉庫有糧食370噸，又運來糧食180噸，怎樣分，才能使兩倉庫糧食一樣多？
3，有甲、乙兩筐蘋果，甲筐有蘋果25千克，乙筐有蘋果18千克，又買來13千克蘋果，怎樣分才能使兩筐蘋果一樣多？
例題4 從小青家經小紅和小強家到學校有450米，從小青家到小強家有390米，從學校到小紅家有320米。從小紅家到小強家有多少米？
思路導航：根據題意，畫出線段圖。
方法一：從小青家到學校有450米，到小強家有390米，說明小強家到學校有450－390=60米，又因為小紅家到學校有320米，所以小紅家到小強家有320－60=260米。
方法二：根據上面線段圖和已知條件可知：
從小青家到學校有450米，從學校到小紅家有320米，說明小青家到小紅家有450－320=130米。又因為小青家到小強家有390米，所以小紅家到小強家有390－320=260米。
方法三：根據上面線段圖和已知條件可知：
從小青家到小強家有390米，從學校到小紅家有320米。我們可求出小青家到學校與小紅家到小強家的距離為390＋320=710米，從中減去小青家到學校的距離450米，就是小紅家到小強家的距離：710－450=260米。
練 習 四
1，亮亮經過小明、小丹家到電影院共500米，從亮亮家到小丹家是270米，從小明家到電影院是410米。從小明家到小丹家多少米？
2，小敏外出旅游乘車回家，從汽車站經醫院、商店到家共1000米，從汽車站到商店是620米，從醫院到家是690米。那么醫院到商店多少米？
3，有兩塊木板，一塊長70厘米，另一塊長80厘米。如果把兩塊木板重疊后釘成一塊木板，全長130厘米。重疊部分長多少厘米？
例題5 小青以均勻的速度在公路上散步，從第1根電線桿走到第10根電線桿共用了12分鐘，如果她走24分鐘，應走到第幾根電線桿？
思路導航：
方法一：根據題意，畫出線段圖。
從圖上可以看出，由于每個間隔所用的時間無法直接求出，因而只有從時間關系上加以考慮，24分鐘正好是12分鐘的2倍，就相當于小青先走12分鐘，又繼續走12分鐘。注意第10根（圖中A處）既是前12分鐘的終點，又是后12分鐘的起點，顯然被重復算了一次。因此，小紅如果走24分鐘，應走到10×2－1=19根電線桿處。
方法二：根據題意，畫出線段圖。
由圖可知，12分鐘走到第10根電線桿，共走了10－1=9個間隔，24分鐘正好是12分鐘的2倍，那么24分鐘就走了9×2=18個間隔。
要求應走到第幾根電線桿，我們要加上起點B點那根電線桿，因而應走到第18＋1=19根電線桿。
練 習 五
1，玲玲上樓，從一樓到三樓用6分鐘，如果她走12分鐘，應走到幾樓？
2，路的一旁插著彩旗，如果從第一面旗走到第4面旗要用12分鐘，那么走24分鐘能從第一面走到第幾面？
3，小芳和媽媽用均勻的速度在馬路上散步，他們從第1根電線桿走到第12根電線桿，整整用了8分鐘。仍用這樣的速度，再走8分鐘，他們會走到第幾根電線桿？
第四周 添運算符號
專題簡析：
根據題目給定的條件和要求，添運算符號和括號，使等式成立，這是一種很有趣的游戲。這種游戲需要動腦筋找規律，講究方法，一旦掌握方法，就有取得成功的把握。
添運算符號問題，通常采用嘗試探索法。主要嘗試方法有兩種：
1，如果題目中的數字比較簡單，可以從等式的結果入手，推想哪些算式能得到這個結果，然后拼湊出所求的式子；
2，如果題目中的數字多，結果也較大，可以考慮先用幾個數字湊出比較接近于等式結果的數，然后再進行調整，使等式成立。
通常情況下，要根據題目的特點，選擇方法，有時將以上兩種方法組合起來使用，更有助于問題的解決。
例題1 在4個4之間添上＋、－、×、÷或括號，使組成的得數是8。
4 4 4 4 = 8
思路導航：這類問題，我們可以用倒推方法來分析。這道題最后得數是8，而最后一個數是4，我們可以想□＋4=8，□－4=8，□×4=8，□÷4=8，然后再進行解答。
（1）從□＋4=8考慮，□=4，前面3個4必須組成得數是4的算式有：
4＋4－4＋4=8 4－4＋4＋4=8 4－（4－4）＋4=8
（2）從□－4=8考慮，□=12，前3個4必須組成得數是12的算式有：
4＋4＋4－4=8 4×4－4－4=8
（3）從□×4=8考慮，□=2，前面3個4必須組成得數是2的算式有：
（4＋4）÷4×4=8
（4）從□÷4=8考慮，□=32，前3個4必須組成得數是32的算式有：
（4＋4）×4÷4=8 4×（4＋4）÷4=8
練 習 一
1，你能在下面數中填上＋、－、×、÷，使結果等于已知數嗎？
（1）9 9 9 9 = 18 （2）5 5 5 5 = 10
2，在下面數中填上＋、－、×、÷或（ ），使算式成立。
（1）4 4 4 4 4 = 8 （2）3 3 3 3 3 = 9
3，在下面幾個數中填上＋、－、×、÷或（ ），使等式成立。
（1）2 3 5 6 = 6 （2）2 3 5 6 = 6
例題2 在下面各題中添上＋、－、×、÷、（ ），使等式成立。
1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10
1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10
思路導航：對于這種問題，我們也可以用倒推法來分析。
從結果10想起，最后一個數是5，可以從下面幾種情況中想：
□＋5=10，□－5=10，□×5=10，□÷5=10
（1）從□＋5=10考慮，□=5，前4個數必須組成得數是5的算式有：
（1＋2）÷3＋4＋5=10 （1＋2）×3－4＋5=10
（2）從□－5=10考慮，□=15，前4個數必須組成得數是15的算式有：
1＋2＋3×4－5=10
（3）從□×5=10考慮，□=2，前4個數必須組成得數是2的算式有：
（1×2×3－4）×5=10 （1＋2＋3－4）×5=10
（4）從□÷5=10考慮，□=50，前面4個數必須組成得數是50的算式，而前面4個數無法組成得數是50的算式。
練 習 二
1，你能在下面的各數中添上運算符號，使算式成立嗎？
（1）4 1 2 5 = 10
（2）4 1 2 5 = 10
2，在下面各數中添上適當的運算符號，使等式成立。
（1）3 4 5 6 8 = 8
（2）（1）3 4 5 6 8 = 8
3，巧添運算符號，使等式成立。
（1）3 3 3 3 =1
（2）3 3 3 3 =2
（3）3 3 3 3 =3
例題3 拿出都是8的四張牌，添上＋、－、×、÷或（ ），使等式成立。你能試一試嗎？
8 8 8 8 = 0 8 8 8 8 = 1
8 8 8 8 = 2 8 8 8 8 = 3
思路導航：這道題除了可以用倒推法來分析，還可以這樣想：
（1）等于0的思考方法：假設最后一步運算是減法，那么這四個數可以分成兩組，這兩組的和、差、積、商應該相等，有：
8＋8－（8＋8）=0 8×8－8×8=0
8－8－（8－8）=0 8÷8－8÷8=0
（2）等于1的思考方法：假設最后一步是除法，那么四個數分成兩組，這兩組的和、積、商分別相等，相同的數相除也可得到1，有：（8＋8）÷（8＋8）=1 8×8÷（8×8）=1
8÷8÷（8÷8）=1 8×8÷8÷8=1
8÷8×8÷8=1 8÷（8×8÷8）=1
（3）等于2的思考方法：假設最后一步是加法，那么兩組數各為1，有：8÷8＋8÷8=2
（4）等于3的思考方法：假設最后一步是除法，那么前三個數湊為3個8，有：
（8＋8＋8）÷8=3
練 習 三
1，在各數中添上＋、－、×、÷或（ ），使算式相等。
4 4 4 4 = 0 4 4 4 4 = 1
4 4 4 4 = 2 4 4 4 4 = 3
4 4 4 4 = 4 4 4 4 4 = 5
2，巧添各種運算符號和括號，使等式成立。
5 5 5 5 5 = 0 5 5 5 5 5 = 1
5 5 5 5 5 = 2 5 5 5 5 5 =3
3，用8個8組成5個數，再添上適當的運算符號，使它們的和是1000。
8 8 8 8 8 8 8 8 = 1000
例題4 在下面12個5之間添上＋、－、×、÷，使算式成立。
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 = 1000
思路導航：這道題的結果比較大，那我們就要盡量想出一些大的數來，使它與1000比較接近，如：555＋555=1110這個數比1000大了110，然后我們在剩下的6個5中湊出110減掉就可以了。
555＋555－55－55＋5－5=1000
練 習 四
1，用12個3組成8個數，它們的結果等于2000。
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 = 2000
2，在9個2之間添上運算符號，使結果等于1000。
2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 1000
3，用7個6組成4個數，使下面的算式成立。
6 6 6 6 6 6 6 = 600
例題5 在下面式子中適當的地方添上＋、－號，使等式成立。
9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 21
思路導航：這題左邊的數字比較多，等號右邊的得數是21，可以考慮在等號左邊最后兩個數字2、1前添＋，這時我們必須使前面幾個數字的結果為0，然后再用倒推的方法可以得出：
9－8＋7－6＋5－4－3=0
9－8＋7－6＋5－4－3＋21=21
練 習 五
1，在下面算式中適當的地方添上＋、－號，使等式成立。
9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 23
2，在下面式子的適當地方添上＋、－、×號，使等式成立。
1 2 3 4 5 6 7 8 = 1
3，在下面算式中適當的地方添上＋、－號，使等式成立。
1 2 3 4 5 6 7 8 = 14

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