資源簡(jiǎn)介

等差數(shù)列及等比數(shù)列的“遺傳”與“變異”
１．遺傳
若數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，則由此構(gòu)造出的以下數(shù)列是等差數(shù)列．如：
去掉前面幾項(xiàng)后余下項(xiàng)組成的仍為公差為的等差數(shù)列．
（２）所有的奇數(shù)項(xiàng)組成的是公差為的等差數(shù)列；
　　　所有的偶數(shù)項(xiàng)組成的是公差為的等差數(shù)列；
形如（其中是常數(shù)，且）的數(shù)列都是等差數(shù)列．
由此可得到的一般性結(jié)論是：凡是項(xiàng)的序號(hào)成等差數(shù)列（公差為）的項(xiàng)依次組成的數(shù)列一定是等差數(shù)列，公差為．
（３）數(shù)列（其中是任一個(gè)常數(shù)）是公差為的等差數(shù)列．
數(shù)列（其中是任一個(gè)常數(shù)）是公差為的等差數(shù)列．
（５）數(shù)列（其中是常數(shù)，且）是公差為的等差數(shù)列．
（６）若是公差為等差數(shù)列，且為常數(shù)，則數(shù)列一定是公差為的等差數(shù)列．
（７）等差數(shù)列中，任意連續(xù)項(xiàng)的和是它前面連續(xù)項(xiàng)的和與它后面連續(xù)項(xiàng)的和的等差中項(xiàng)，也就是說這些連續(xù)項(xiàng)的和也構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列．
若是公比為的等比數(shù)列，則由此構(gòu)造出的以下數(shù)列是等比數(shù)列．如：
去掉前面幾項(xiàng)后余下項(xiàng)組成的仍是公比為的等比數(shù)列．
（２）項(xiàng)的序號(hào)成等差數(shù)列（公差為）的項(xiàng)依次取出并組成的數(shù)列一定是等比數(shù)列，公比為．
（３）數(shù)列是公比為的等比數(shù)列．
（４）數(shù)列（是任一常數(shù)且）是等比數(shù)列，公比仍為．
（５）（是常數(shù)，且）是公比為的等比數(shù)列．
特殊地：若數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列時(shí)，且是任一個(gè)實(shí)常數(shù)，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列．
（其中是常數(shù)，且）是公比為的等比數(shù)列．
（７）若是公比為的等比數(shù)列，，則是公比為的等比數(shù)列．
（８）等比數(shù)列中，若任意連續(xù)項(xiàng)的和不為，則任意連續(xù)項(xiàng)的和是它前面連續(xù)項(xiàng)的和與它后面連續(xù)項(xiàng)的和的等比中項(xiàng)，也就是說這些連續(xù)項(xiàng)的和也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列．
２．變異
　　若數(shù)列，均為不是常數(shù)列的等差數(shù)列時(shí)，則有：
當(dāng)數(shù)列中的項(xiàng)不同號(hào)時(shí)，則數(shù)列一定不是等差數(shù)列．
數(shù)列不是等差數(shù)列
（是常數(shù)，且，，）不是等差數(shù)列．
數(shù)列不是等差數(shù)列．
　　若數(shù)列為不是常數(shù)列的等比數(shù)列時(shí)，則有：
數(shù)列（其中是任一個(gè)不為０的常數(shù)，）不是等比數(shù)列．
數(shù)列不一定是等比數(shù)列．如時(shí)，則，所以不是等比數(shù)列．
數(shù)列不一定是等比數(shù)列．
３．突變
若數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，則（其中是正常數(shù)）一定是公比為的等比數(shù)列．
若是公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列，則（其中是不等于１的正常數(shù)）是公差為的等差數(shù)列．
數(shù)列通項(xiàng)公式的求法
幾種常見的數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法
觀察法
例1：根據(jù)數(shù)列的前4項(xiàng)，寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式：
（1）9，99，999，9999，…（2）（3）（4）
解：（1）變形為：101－1，102―1，103―1，104―1，…… ∴通項(xiàng)公式為：
（2） （3） （4）.點(diǎn)評(píng)：關(guān)鍵是找出各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系。
二、公式法
例2： 已知數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是公比為q的(q∈R且q≠1)的等比數(shù)列，若函數(shù)f (x) = (x－1)2，且a1 = f (d－1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q－1)，(1)求數(shù)列{ a n }和{ b n }的通項(xiàng)公式；
解：(1)∵a 1=f (d－1) = (d－2)2，a 3 = f (d+1)= d 2，∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d，
∴d=2，∴an=a1+(n－1)d = 2(n－1)；又b1= f (q+1)= q2，b3 =f (q－1)=(q－2)2，
∴=q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2，∴bn=b·qn－1=4·(－2)n－1
例1. 等差數(shù)列是遞減數(shù)列，且=48，=12，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是（ ）
(A) (B) (C) (D)
解析：設(shè)等差數(shù)列的公差位d，由已知，
解得，又是遞減數(shù)列， ∴ ，，∴ ，故選(D)。
例2. 已知等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比，設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。
解析：由題意，，又是等比數(shù)列，公比為
∴，故數(shù)列是等比數(shù)列，，∴
點(diǎn)評(píng)：當(dāng)已知數(shù)列為等差或等比數(shù)列時(shí)，可直接利用等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，只需求得首項(xiàng)及公差公比。
三、??????疊加法
例3：已知數(shù)列6，9，14，21，30，…求此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)。
解 易知∵ ……
各式相加得∴
點(diǎn)評(píng)：一般地，對(duì)于型如類的通項(xiàng)公式，只要能進(jìn)行求和，則宜采用此方法求解。
例4. 若在數(shù)列中，，，求通項(xiàng)。
解析：由得，所以，，…，，
將以上各式相加得：，又所以 =
四、疊乘法
例4：在數(shù)列｛｝中， =1, (n+1)·=n·，求的表達(dá)式。
解：由(n+1)·=n·得，=··…= 所以
例4. 已知數(shù)列中，，前項(xiàng)和與的關(guān)系是 ，試求通項(xiàng)公式。
解析：首先由易求的遞推公式：
將上面n—1個(gè)等式相乘得：
點(diǎn)評(píng)：一般地，對(duì)于型如=(n)·類的通項(xiàng)公式，當(dāng)?shù)闹悼梢郧蟮脮r(shí)，宜采用此方法。
五、Sn法利用 (≥2)
例5：已知下列兩數(shù)列的前n項(xiàng)和sn的公式，求的通項(xiàng)公式。（1）。 （2）
解： （1）===3
此時(shí)，。∴=3為所求數(shù)列的通項(xiàng)公式。
（2），當(dāng)時(shí)
由于不適合于此等式 。 ∴
點(diǎn)評(píng)：要先分n=1和兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一。
六、待定系數(shù)法：
例6：設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通項(xiàng)公式cn
解：設(shè)
例6. 已知數(shù)列中，，，
其中b是與n無關(guān)的常數(shù)，且。求出用n和b表示的an的關(guān)系式。
解析：遞推公式一定可表示為
的形式。由待定系數(shù)法知：

故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故
點(diǎn)評(píng)：用待定系數(shù)法解題時(shí)，常先假定通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式為某一多項(xiàng)式，一般地，若數(shù)列為等差數(shù)列：則，（b、ｃ為常數(shù)），若數(shù)列為等比數(shù)列，則，。
七、輔助數(shù)列法
例7：已知數(shù)的遞推關(guān)系為，且求通項(xiàng)。
解：∵ ∴令則輔助數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列
∴即 ∴
在數(shù)列中，，，，求。
解析：在兩邊減去，得
∴ 是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，∴，由累加法得
= =…===
例8： 已知數(shù)列｛｝中且（），，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。
解：∵∴ ， 設(shè)，則
故｛｝是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列 ∴ ∴
點(diǎn)評(píng)：這種方法類似于換元法, 主要用于已知遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式。
趣談數(shù)列的通項(xiàng)問題及其思維方式
1．遞推關(guān)系的形成：直接給出，函數(shù)給出，解析幾何給出，應(yīng)用問題給出，方程給出。
2．給出遞推關(guān)系求通項(xiàng)，有時(shí)可以用歸納，猜想，證明的思路；而證明型的問題用數(shù)學(xué)歸納法往往是一種比較簡(jiǎn)單的方法；而給出鋪墊（轉(zhuǎn)化后的數(shù)列）的問題常常可以用證明（變換，待定系數(shù)法等）處理，一般難度不大。
3．給定初始條件和遞推關(guān)系往往可以用演繹（推導(dǎo)）的方法求出它的通項(xiàng)公式，其最主要的思想方法是生成、轉(zhuǎn)化、疊代。
4．給定初始條件和遞推關(guān)系，有時(shí)不一定能求出通項(xiàng)，卻也可以研究它的其他性質(zhì)。（如取值范圍，比較大小，其他等價(jià)關(guān)系等，無非等與不等兩類），這類問題往往有一定的難度。
本文主要采用風(fēng)趣的“樓層式”講解，更易于理解數(shù)列中求通項(xiàng)的問題。將喻為樓的第一層，喻為樓的第二層，喻為樓的第三層，則數(shù)列中之間的關(guān)系式可理解為這三層之間的走動(dòng)關(guān)系，那么我們可以用爬樓層的方式理解之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系-----我親切地稱它為“樓層式”的轉(zhuǎn)化方式。
一、“二層”之間的關(guān)系式，即型
若數(shù)列的連續(xù)若干項(xiàng)之間滿足關(guān)系，由這個(gè)遞推關(guān)系及n個(gè)初始值確定的數(shù)列，叫做遞推數(shù)列。它主要給出的是“二層”中連續(xù)幾項(xiàng)之間的遞推關(guān)系式（如：、?、、、、、、、、等類型），這是數(shù)列的重點(diǎn)、難點(diǎn)問題。求遞推數(shù)列通項(xiàng)的方法較多，也比較靈活，基本方法如：迭加法、迭乘法、轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求通項(xiàng)法、歸納——猜想——證明法等，其中主要的思路是通過轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列來解決問題。
（一）由等差、等比演化而來的“差型”、“商型”遞推關(guān)系
（1）由等差數(shù)列演化為“差型”，如：
生成：，，…，，
累加：=，于是只要可以求和就行。
（2）由等比數(shù)列演化為“商型”，如：
生成：，，…，，
累乘：，于是只要可以求積就行。
例題1：已知數(shù)列滿足：
求證：① ②是偶數(shù) （《數(shù)學(xué)通訊》2004年17期P44）
證明：由已知可得：
又=
而=
所以，而為偶數(shù)
（二）由“差型”、“商型”類比出“和型”、“積型”：即
例題2：數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)、是方程的兩根，已知
求的值。
分析：由題意：+-----① ， 生成： +-----②
由②－①得：
所以該數(shù)列的所有的奇數(shù)項(xiàng)成等差，所有的偶數(shù)項(xiàng)也成等差。其基本思路是：生成、相減；與“差型”的生成、相加的思路剛好相呼應(yīng)。到這里本題的解決就不在話下了。
特例：若+，則，即該數(shù)列的所有的奇數(shù)項(xiàng)均相等，所有的偶數(shù)項(xiàng)也相等。
若------① ， 則 -------②
由②÷①得：
所以該數(shù)列的所有的奇數(shù)項(xiàng)成等比，所有的偶數(shù)項(xiàng)也成等比。其基本思路是：生成、相除；與“商型”的生成、相乘的思路剛好相呼應(yīng)。
特例：若，則，即該數(shù)列的所有的奇數(shù)項(xiàng)均相等，所有的偶數(shù)項(xiàng)也相等。
（三）可以一次變形后轉(zhuǎn)化為“差型”、“商型”。如：、、等類型。
例題3：設(shè)是常數(shù)，且，
證明：（2003年新課程理科，22題）
分析：這道題目是證明型的，最簡(jiǎn)單的方法當(dāng)然要數(shù)數(shù)學(xué)歸納法，現(xiàn)在我們考慮用推導(dǎo)的方法來處理的三種方法：
方法（1）：構(gòu)造公比為－2的等比數(shù)列，用待定系數(shù)法可知
方法（2）：構(gòu)造差型數(shù)列，即兩邊同時(shí)除以 得：，從而可以用累加的方法處理。
方法（3）：直接用疊代的方法處理：

說明：①當(dāng)時(shí)，上述三種方法都可以用；②當(dāng)時(shí)，若用方法1，構(gòu)造的等比數(shù)列應(yīng)該是 而用其它兩種方法做則都比較難；③用疊代法關(guān)鍵是找出規(guī)律，除含外的其它式子，常常是一個(gè)等比數(shù)列的求和問題。
（四）數(shù)學(xué)歸納法：
例題4：已知數(shù)列中，，求通項(xiàng)公式
解析：利用歸納、猜想、數(shù)學(xué)歸納法證明方法也可求得通項(xiàng)公式。
即


…

再利用數(shù)學(xué)歸納方法證明最后的結(jié)論：
①當(dāng)時(shí)，顯然成立；
②假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，
由題設(shè)知
即當(dāng)時(shí)，成立
根據(jù)①②，當(dāng)時(shí)，然后利用等比數(shù)列求和公式來化簡(jiǎn)這個(gè)通項(xiàng)。
二、“三層”之間的關(guān)系式，即型
若數(shù)列滿足關(guān)系，由這個(gè)關(guān)系式及初始值確定的數(shù)列，也可理解為遞推數(shù)列。它主要給出的是“三層”中連續(xù)幾項(xiàng)之間的遞推關(guān)系式，解決途徑是利用將“三層”問題全部走下“二層”，回到型或直接能求出，以下過程依同上述。
例題5：已知數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和滿足關(guān)系式（t為常數(shù)且）
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列； （2）設(shè)數(shù)列的公比為，作數(shù)列，使，，求
解析：（1）由，，得,
∴，又，
得，得
∴是一個(gè)首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列。
（2）由，有
∴是一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，∴。
類比例題：已知數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式。
解析：記
∴
∴ ∴。
三、“一層”與“三層”的關(guān)系式，即型
可利用公式： 直接求出通項(xiàng)。
例題6：已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為① ②， 分別求數(shù)列的通項(xiàng)公式。
解析：①當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
經(jīng)檢驗(yàn) 時(shí) 也適合 ∴
②當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
經(jīng)檢驗(yàn) 時(shí) 不適合 ∴
四、“二層”與“三層”的關(guān)系式，即型
若數(shù)列滿足關(guān)系，由這個(gè)遞推關(guān)系及初始值確定的數(shù)列，也是遞推數(shù)列。它主要給出的是“二層”與“三層”之間的遞推關(guān)系式，解決途徑是利用轉(zhuǎn)化為純粹的“二層”或“三層”問題，即型或型（也就是將混合型的轉(zhuǎn)化為純粹型的）
例題7：已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足
(Ⅰ)寫出數(shù)列的前3項(xiàng)； (Ⅱ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式。
解析：(Ⅰ) ---------------①
由得----------------②
由得，得--------------③
由得，得---------④
(Ⅱ)∵---------------①
∴用代得 -----------⑤
由①－⑤得：
即----------------------------⑥
由疊代法得

---------------------------⑦
例題8：數(shù)列的前n項(xiàng)和記為Sn，已知
證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2004全國(guó)卷（二）理科19題）
方法（1）∵
∴ 整理得
所以 ， 故是以2為公比的等比數(shù)列.
方法（2）：事實(shí)上，我們也可以轉(zhuǎn)化為，為一個(gè)商型的遞推關(guān)系，
由=
得 ， 下面易求證。
當(dāng)然，還有一些轉(zhuǎn)化的方法和技巧，如基本式的變換，象因式分解，取倒數(shù)等還是要求掌握的。
五、二個(gè)（或多個(gè)）“樓層”（即數(shù)列）之間的遞推關(guān)系
除以上的轉(zhuǎn)化方式外，還會(huì)出現(xiàn)多棟樓之間的聯(lián)系，即不同數(shù)列之間的遞推關(guān)系，對(duì)于該類問題，要整體考慮，根據(jù)所給數(shù)列遞推公式的關(guān)系，靈活采用累加、累乘、化歸等方法求解。
例題9：甲、乙兩容器中分別盛有濃度為10%、20%的某種溶液500ml，同時(shí)從甲乙兩個(gè)容器中取出100ml溶液，將近倒入對(duì)方的容器攪勻，這稱為是一次調(diào)和，記a1=10%,b1=20%,經(jīng)（n-1）次調(diào)和后甲、乙兩個(gè)容器的溶液濃度為an、bn，
（1）試用an-1、bn-1表示an、bn；
（2）求證數(shù)列 {an-bn}是等比數(shù)列，并求出an、bn的通項(xiàng)。
分析：該問題屬于數(shù)列應(yīng)用題，涉及到兩個(gè)不同的數(shù)列an和bn，且這兩者相互之間又有制約關(guān)系，所以不能單獨(dú)地考慮某一個(gè)數(shù)列，而應(yīng)該把兩個(gè)數(shù)列相互聯(lián)系起來。
解析：（1）由題意
；
（2）an-bn==（）（n≥2）， ∴{an-bn}是等比數(shù)列。
又a1-b1=-10% ∴an-bn=-10%(n-1 ………（1）
又∵==…= a1+b1=30% ………（2）
聯(lián)立（1）、（2）得=-(n-1·5%+15%；=(n-1·5%+15%。
綜而言之，等差、等比數(shù)列是兩類最基本的數(shù)列，是數(shù)列部分的重點(diǎn)，自然也是高考考查的熱點(diǎn)，而考查的目的在于測(cè)試靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，這個(gè)“靈活”往往集中在“轉(zhuǎn)化”的水平上；以上介紹的僅是常見可求通項(xiàng)的遞推數(shù)列的五種轉(zhuǎn)化思路----“樓層式”的轉(zhuǎn)化方式，同樣采用相應(yīng)的、風(fēng)趣的教學(xué)形式，更易于學(xué)生接收新知識(shí)，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓數(shù)學(xué)課堂生動(dòng)活潑風(fēng)趣起來。這正順應(yīng)了當(dāng)前“新課程理念”的大趨勢(shì)。
利用遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)的九種類型及解法
1.形如型
（1）若f(n)為常數(shù),即：,此時(shí)數(shù)列為等差數(shù)列，則=.
（2）若f(n)為n的函數(shù)時(shí)，用累加法.
方法如下： 由 得：
時(shí)，，
，
所以各式相加得
即：.
為了書寫方便，也可用橫式來寫：
時(shí)，，
=.
例 1. （2003天津文） 已知數(shù)列｛an｝滿足,
證明
證明：由已知得：
= .
例2.已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，且寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式. 答案：
例3.已知數(shù)列滿足，，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式. 答案：
評(píng)注：已知,，其中f(n)可以是關(guān)于n的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求通項(xiàng).
①若f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和;
②若f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和;
③若f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;
④若f(n)是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和。
例4.已知數(shù)列中, 且,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
解:由已知得,
化簡(jiǎn)有,由類型(1)有,
又得,所以,又,,
則
此題也可以用數(shù)學(xué)歸納法來求解.
2.形如型
（1）當(dāng)f(n)為常數(shù)，即：（其中q是不為0的常數(shù)），此時(shí)數(shù)列為等比數(shù)列，=.
（2）當(dāng)f(n)為n的函數(shù)時(shí),用累乘法.
由得 時(shí)，，
=f(n)f(n-1).
例1.設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（=1，2， 3，…），則它的通項(xiàng)公式是=________.
解：已知等式可化為：
()(n+1), 即
時(shí)，
==.
評(píng)注：本題是關(guān)于和的二次齊次式，可以通過因式分解（一般情況時(shí)用求根公式）得到與的更為明顯的關(guān)系式，從而求出.
例2.已知,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
解：因?yàn)樗?br/>故又因?yàn)?即，
所以由上式可知,所以,故由累乘法得
=
所以-1.
評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把原來的遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為
若令,則問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為形式，進(jìn)而應(yīng)用累乘法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.
3.形如型
（1）若（d為常數(shù)），則數(shù)列{}為“等和數(shù)列”，它是一個(gè)周期數(shù)列，周期為2，其通項(xiàng)分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)來討論;
（2）若f(n)為n的函數(shù)（非常數(shù)）時(shí)，可通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為型，通過累加來求出通項(xiàng);或用逐差法(兩式相減)得，，分奇偶項(xiàng)來分求通項(xiàng).
例1. 數(shù)列{}滿足,,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
分析 1：構(gòu)造 轉(zhuǎn)化為型
解法1：令
則.
時(shí),
各式相加:
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，.
此時(shí)
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
此時(shí),所以.
故
解法2：
時(shí)，，
兩式相減得：.
構(gòu)成以,為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列;
構(gòu)成以,為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列
.

評(píng)注：結(jié)果要還原成n的表達(dá)式.
例2.（2005江西卷）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足
Sn－Sn－2=3求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
解：方法一：因?yàn)?br/> 以下同例1，略
答案
4.形如型
（1）若(p為常數(shù))，則數(shù)列{}為“等積數(shù)列”，它是一個(gè)周期數(shù)列，周期為2，其通項(xiàng)分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)來討論;
（2）若f(n)為n的函數(shù)（非常數(shù)）時(shí)，可通過逐差法得，兩式相除后，分奇偶項(xiàng)來分求通項(xiàng).
例1. 已知數(shù)列,求此數(shù)列的通項(xiàng)公式.
注：同上例類似，略.
5．形如,其中)型
（1）若c=1時(shí)，數(shù)列{}為等差數(shù)列;
（2）若d=0時(shí)，數(shù)列{}為等比數(shù)列;
（3）若時(shí)，數(shù)列{}為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列來求.
方法如下：設(shè),
得,與題設(shè)比較系數(shù)得
,所以
所以有：
因此數(shù)列構(gòu)成以為首項(xiàng)，以c為公比的等比數(shù)列，
所以
即：.
規(guī)律：將遞推關(guān)系化為,構(gòu)造成公比為c的等比數(shù)列從而求得通項(xiàng)公式
有時(shí)我們從遞推關(guān)系中把n換成n-1有,兩式相減有從而化為公比為c的等比數(shù)列,進(jìn)而求得通項(xiàng)公式. ,再利用類型(1)即可求得通項(xiàng)公式.我們看到此方法比較復(fù)雜.
例1．已知數(shù)列中，求通項(xiàng).
分析：兩邊直接加上,構(gòu)造新的等比數(shù)列。
解：由得,
所以數(shù)列構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列
所以,即 .
方法二：由
時(shí)，
兩式相減得
,
數(shù)列是以=為首項(xiàng)，以c為公比的等比數(shù)列.
=( .
方法三：迭代法
由 遞推式
直接迭代得
==
=.
方法四：歸納、猜想、證明.
先計(jì)算出,再猜想出通項(xiàng),最后用數(shù)學(xué)歸納法證明.
注：請(qǐng)用這三種方法來解例題，體會(huì)并比較它們的不同.
6.形如型
.(1)若(其中k,b是常數(shù)，且)
方法：相減法
在數(shù)列中，求通項(xiàng).
解：， ①
時(shí)，，
兩式相減得
.令,則
利用類型5的方法知
即 ②
再由累加法可得.
亦可聯(lián)立 ① ②解出.
例2. 在數(shù)列中，,求通項(xiàng).
解：原遞推式可化為
比較系數(shù)可得：x=-6,y=9,上式即為
所以是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng),公比為.
即：
故.
(2)若(其中q是常數(shù)，且n0,1)
①若p=1時(shí)，即：，累加即可.
②若時(shí)，即：，
求通項(xiàng)方法有以下三種方向：i. 兩邊同除以.
即： ,令，則,
然后類型1，累加求通項(xiàng).
ii.兩邊同除以 . 即： ,
令,則可化為.然后轉(zhuǎn)化為類型5來解，
iii.待定系數(shù)法：
設(shè).通過比較系數(shù)，求出，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項(xiàng).
例1.（2003天津理）
設(shè)為常數(shù)，且．
證明對(duì)任意≥1，；
證法1：兩邊同除以（-2）,得
令,則
=
=
=
.
證法2：由得 .
設(shè)，則b. 即：,
所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.
則=,
即：,
故 .
評(píng)注：本題的關(guān)鍵是兩邊同除以3，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為類型5，構(gòu)造出新的等比數(shù)列，從而將求一般數(shù)列的通項(xiàng)問題轉(zhuǎn)化為求等比數(shù)列的通項(xiàng)問題.
證法3：用待定系數(shù)法
設(shè), 即:,
比較系數(shù)得：,所以 所以,
所以數(shù)列是公比為－2，首項(xiàng)為的等比數(shù)列.
即 .
方法4：本題也可用數(shù)學(xué)歸納法證.
（i）當(dāng)n=1時(shí)，由已知a1=1－2a0，等式成立；
( ii)假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）等式成立，則
那么

也就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立. 根據(jù)（i）和（ii），可知等式對(duì)任何n∈N，成立.
規(guī)律： 類型共同的規(guī)律為：兩邊同除以，累加求和，只是求和的方法不同.
7.形如型
（1）即 取倒數(shù)法.
例1. 已知數(shù)列中，，，求通項(xiàng)公式。
解：取倒數(shù)：

例2.（湖北卷）已知不等式為大于2的整數(shù)，表示不超過的最大整數(shù). 設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)為正，且滿足
（Ⅰ）證明
分析：本題看似是不等式問題，實(shí)質(zhì)就是求通項(xiàng)問題.
證：∵當(dāng)
即 于是有
所有不等式兩邊相加可得
由已知不等式知，當(dāng)n≥3時(shí)有，
∵
評(píng)注：本題結(jié)合不等式的性質(zhì)，從兩邊取倒數(shù)入手，再通過裂項(xiàng)求和即可證得.
2.形如型
方法：不動(dòng)點(diǎn)法:
我們?cè)O(shè),由方程求得二根x,y,由有
同理,兩式相除有,從而得,再解出即可.
例1. 設(shè)數(shù)列｛an｝滿足,求｛an｝的通項(xiàng)公式.
分析：此類問題常用參數(shù)法化等比數(shù)列求解.
解：對(duì)等式兩端同時(shí)加參數(shù)t,得：
,
令, 解之得t=1,-2 代入得
,,
相除得,即{}是首項(xiàng)為，
公比為的等比數(shù)列, =, 解得.
方法2：
，
兩邊取倒數(shù)得，
令b，則b,轉(zhuǎn)化為類型5來求.
8.形如(其中p,q為常數(shù))型
（1）當(dāng)p+q=1時(shí) 用轉(zhuǎn)化法
例1.數(shù)列中，若,且滿足,求.
解：把變形為.
則數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，則
利用類型6的方法可得 .
（2）當(dāng)時(shí) 用待定系數(shù)法.
例2. 已知數(shù)列滿足，且,且滿足,求.
解：令,即,與已知
比較，則有,故或
下面我們?nèi)∑渲幸唤M來運(yùn)算，即有,
則數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，故
,即,利用類型 的方法，可得
.
評(píng)注：形如的遞推數(shù)列,我們通常采用兩次類型(5)的方法來求解,但這種方法比較復(fù)雜,我們采用特征根的方法:設(shè)方程的二根為,設(shè),再利用的值求得p,q的值即可.
9. 形如(其中p,r為常數(shù))型
（1）p>0， 用對(duì)數(shù)法.
例1. 設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足，（n≥2）.求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
解：兩邊取對(duì)數(shù)得：，，設(shè)，則 是以2為公比的等比數(shù)列， ，，，∴
練習(xí) 數(shù)列中，，（n≥2），求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 答案：
（2）p<0時(shí) 用迭代法.
例1.（2005江西卷）
已知數(shù)列，
（1）證明 （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.
解：（1）略
（2）
所以
又bn=－1，所以.
方法2：本題用歸納-猜想-證明，也很簡(jiǎn)捷，請(qǐng)?jiān)囈辉?
解法3：設(shè)c，則c,轉(zhuǎn)化為上面類型（1）來解.

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