資源簡介

2.2 第3課時 幾何初步證明
素養目標
1.經歷用實際操作探索三角形外角和為360°的過程,體會證明的必要性.
2.會對一個證明題進行分析,找到已知與求證之間的聯系.
3.掌握幾何語言書寫證明過程的基本步驟與要求,增強推理論證意識,培養邏輯推理能力.
◎重點:會用幾何語言清楚地表述命題的證明過程.
預習導學
知識點一 證明的必要性
閱讀課本本課時“動腦筋”之前的內容,解決下列問題.
1.課堂活動:在一張紙上,任意畫出一個三角形,并延長各邊得到三角形的三個外角,將三個外角剪下,拼接在一起,能否得到一個周角 能猜想一個什么結論
2.思考:猜想的結論不一定是正確的,是否計算每一個三角形的外角和,都要用剪切和拼接的方式呢 如何說明猜想的結論的正確性
3.揭示概念:從命題的　 　出發,運用　 　,通過一步步的　 　,最后證實一個命題的正確性.證明的每一步都必須要有　 　.
【答案】1.能得到一個周角,三角形的外角和等于360°.
2.不是.可以通過證明,從命題的條件來說明命題的正確性.
3.條件　定義、基本事實、定理、推論　推理　根據
知識點二 證明與推理
閱讀課本本課時“動腦筋”至“例2”的內容,解決下列問題.
1.思考:證明三角形的外角和等于360°的主要思路是找外角與內角的關系運用了　 　,運用等量代換計算三角形的外角和運用了　 　.
2.討論:證明命題一般有哪些主要步驟
(1)審清題意,找出命題的　 　,　 　;
(2)根據題意畫出　 　,圖形要具有一般性,不能畫特殊圖形;
(3)結合圖形,用數學語言寫出　 　;
(4)尋求證明思路,寫出證明過程,每一步都要有理有據;
(5)審查表達過程是否正確、完整.
3.證明的書寫過程中,　 　表示因為,　 　表示所以.用幾何語言書寫證明過程,整個過程的推理都是由　 　關系構成的,每一步都要在括號中寫出　 　.
【答案】1.三角形外角定理　三角形的內角和定理
2.(1)條件　結論
(2)圖形
(3)“已知”“求證”
3.∵　∴　因果　依據
對點自測
如圖,AD⊥BC于點D,EG⊥BC于點G,∠1=∠E.
求證:AD為∠BAC的平分線,填寫分析和證明中的空白.
分析:要證AD為∠BAC的平分線,即證　 　=　 　,由AD⊥BC,EG⊥BC,可推得　 　∥　 　,有∠2=∠1,∠3=∠E,又已知∠1=∠E,由等量代換就可以證得　 　=　 　.
證明:∵AD⊥BC,EG⊥BC(已知),
∴　 　∥　 　( 　),
∴　 　=　 　(兩直線平行,內錯角相等),
　 　=　 　(兩直線平行,同位角相等).
又∵　 　=　 　(已知),
∴　 　=　 　(等量代換),
∴AD是∠BAC的平分線( 　).
學法指導　1.證明是由條件(已知)出發,經過一步步的推理,最后推出結論(求證)正確的過程.
2.一個量用與它相等的量去代替叫作等量代換.
【答案】分析:要證AD為∠BAC的平分線,即證∠2=∠3,由AD⊥BC,EG⊥BC,可推得AD∥EG,有∠2=∠1,∠3=∠E,又已知∠1=∠E,由等量代換就可以證得∠2=∠3.
證明:∵AD⊥BC,EG⊥BC(已知),
∴AD∥EG(平面內垂直于同一直線的兩直線平行),
∴∠1=∠2(兩直線平行,內錯角相等),
∠3=∠E(兩直線平行,同位角相等).
又∵∠1=∠E(已知),
∴∠2=∠3(等量代換),
∴AD是∠BAC的平分線(角的平分線定義).
合作探究
任務驅動一 1.如圖,直線AB、CD被EF所截,EH平分∠BEF,∠1+∠BEF=180°,求證: ∠2=∠HEF.
證明:①∵∠1+∠BEF=180°(已知),
②∴AB∥CD(兩直線平行,同旁內角互補),
③∴∠2=∠BEH(內錯角相等,兩直線平行).
④∵EH平分∠BEF(已知),
⑤ ∴∠HEF=∠BEH(角平分線定義),
⑥∴∠2=∠HEF.
仔細觀察上面證明的書寫過程,你發現哪些步驟填寫的推理依據有錯誤,請指出,并將其改正.
【答案】1.解:②、③有誤,正確的理由分別是同旁內角互補,兩直線平行;兩直線平行,內錯角相等.
任務驅動二 2.如圖,∠A=∠F,∠C=∠D,求證:BD∥CE.
證明:∵∠A=∠F(已知),
∴　 　∥　 　(內錯角相等,兩直線平行),
∴∠C=∠CEF(兩直線平行,內錯角相等).
又∵　 　=　 　(已知),
∴∠D=∠CEF(等量代換),
∴　 　∥　 　(同位角相等,兩直線平行).
【答案】2.AC　DF　∠D　∠C　BD　CE
任務驅動三 3.證明:鄰補角的平分線互相垂直.
如圖,∠AOB+∠BOC=180°,OE平分∠AOB,OF平分∠BOC.求證:OE⊥OF.
【答案】3.證明:∵OE平分∠AOB,
∴∠1=∠AOB,同理∠2=∠BOC,
∴∠1+∠2=(∠AOB+∠BOC)=∠AOC=90°,
∴OE⊥OF(垂直定義).
任務驅動四 4.如圖,∠1=∠2,BD平分∠ABC.求證:AD∥BC.
歸納總結　證明的格式一般都是:“∵…,∴…”,可以由許多這樣的語句組成,因為前面是
　 　或已證明的結果,所以后面就是從已知要得到的　 　,經過一步一步這樣的推理后得到最后的結果.
【答案】4.
證明:如圖,∵BD平分∠ABC(已知),
∴∠2=∠3(角平分線定義),
∵∠1=∠2(已知),∴∠3=∠1(等量代換),
∴AD∥BC(內錯角相等,兩直線平行).
歸納總結　已知條件　結論
·方法點撥·
證明的常用方法
(1)綜合法:綜合法就是從已知條件入手去探明解題途徑.概括地說,就是“從已知,看可知,逐步推向所求”.
我們知道,圖形中有些條件是顯露的,而有些條件是比較隱蔽的,我們從已知條件入手,努力挖掘題目中的隱含條件,設法尋求已知和所求之間的關系,從而找到解題途徑.
(2)分析法:分析法就是從結論入手逆求使它成立的條件,直到和已知條件溝通為止,從而找出解題途徑.概括地說,就是“從所求,看需知,逐步靠攏已知”.
在選用分析法時,需積累一些解題經驗,總結一些常規思路,這樣可以克服無目的地亂碰,從而加強針對性,較快地探明解題途徑.
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