資源簡介

2.4 第1課時 線段的垂直平分線的性質
素養目標
1.經歷探究垂直平分線的過程,理解垂直平分線的性質定理.
2.知道垂直平分線性質的逆定理,能判定一個點是否在線段的垂直平分線上.
3.能畫出等腰三角形底邊的垂直平分線,解決簡單幾何問題.
◎重點:線段的垂直平分線的性質.
預習導學
知識點一 線段垂直平分線的性質1
閱讀課本本課時“動腦筋”之前的內容,解決下列問題.
1.(1)課本“觀察”中的“人”字形屋頂是一個　 　三角形,CD　 　AA'.
(2)揭示概念:我們把垂直且平分一條線段的　 　叫作這條線段的　 　線.線段是　 　圖形,線段的　 　是它的對稱軸.
2.(1)猜想:如圖,在線段AB的垂直平分線CD上任意取一點P,由于PD是線段AB的對稱軸,PA=PB嗎
(2)如何證明PA=PB
已知CD是線段AB的垂直平分線,設O是垂足.
則有,
所以△AOP≌　 　,可得PA=　 　.
歸納總結　線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離　 　.
【答案】1.(1)等腰　垂直且平分
(2)直線　垂直平分　軸對稱　垂直平分線
2.(1)相等.
(2)BO　∠BOP　PO　△BOP　PB
歸納總結　相等
知識點二 線段垂直平分線的性質2
閱讀課本本課時“動腦筋”至“例題”的內容,解決下列問題.
1.回憶:寫出線段的垂直平分線的性質的逆命題.
2.思考:線段的垂直平分線的性質的逆命題是真命題嗎 如果是,如何證明
如圖,PA=PB,過P作PC⊥AB,垂足是C,則可證明△APC≌　 　,從而可得PC　 　AB.
歸納總結　到線段兩端點距離相等的點在線段的　 　上.
3.討論:通過課本“例題”的學習,三角形兩邊垂直平分線的交點一定在第三邊的垂直平分線上嗎 這個點到三角形三個頂點的距離相等嗎
歸納總結　三角形三邊的垂直平分線相交于一點,這點到三角形三個　 　的距離　 　.
【答案】1.到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上.
2.△BPC　垂直平分
歸納總結　垂直平分線
3.在,相等.
歸納總結　頂點　相等
合作探究
任務驅動一 (方法指導:已知線段垂直平分線上的點,就看有沒有和線段兩個端點相連,只有連接了,才能使用線段垂直平分線的性質) 1.如圖,在△ABC中,DE垂直平分線段AB于點D,交AC于點E.則下面結論正確的是 ( )
A.AB=AC　　　　　B.AC>BC
C.AC=BC D.AC變式演練　如圖,在△ABC中,AB=AC,DE是AB的垂直平分線,△BCE的周長為13,BC=6,則AB的長為　 　.
【答案】1.B
變式演練　7
任務驅動二 2.如圖,AC=AD,BC=BD,那么 ( )
A.CD垂直平分AB
B.AB垂直平分CD
C.CD與AB互相垂直平分
D.∠ACD>∠ADC
【答案】2.B
任務驅動三 3.如圖,AF平分∠BAC,P是AF上任一點,過點P分別向AB,AC作垂線PD,PE.D,E分別為垂足,連接DE.
求證:AF垂直平分DE.
　　
方法歸納交流　在證明某直線是一條線段的垂直平分線時,可根據定義證明該直線垂直平分這條線段,也可證直線上有不同的兩點與這條線段兩端距離分別相等.
【答案】3.證明:∵AF平分∠BAC,∴∠1=∠2.
∵PE⊥AC于點E,PD⊥AB于點D,
∴∠AEP=∠ADP=90°.
又∵AP=AP,∴△APE≌△APD(AAS).
∴AE=AD,PE=PD,
∴P,A兩點都在DE的垂直平分線上,∴AF垂直平分DE.
任務驅動四 4.如圖,在△ABC中,AD是高,在線段DC上取一點E,使BD=DE,已知AB+BD=DC.
求證:E點在線段AC的垂直平分線上.
【答案】4.證明:∵AD是高,∴AD⊥BC,
又∵BD=DE,
∴AD所在的直線是線段BE的垂直平分線,
∴AB=AE,
∴AB+BD=AE+DE,
又∵AB+BD=DC,
∴DC=AE+DE,
∴DE+EC=AE+DE,
∴EC=AE,
∴點E在線段AC的垂直平分線上.
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