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中考“數(shù)與代數(shù)”的基本考法和應(yīng)解策略
海口十中：吳坤雄
“數(shù)與式”是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，不僅在中考試卷中占有相當(dāng)比重，更重要的是它體現(xiàn)融合在諸多知識(shí)運(yùn)用之中，這幾年在中考試題中對(duì)于“數(shù)與式”的考查主要有以下幾個(gè)層面。
一、考查“數(shù)與式”的相關(guān)概念和運(yùn)算
全國(guó)各地中考試卷中，均把對(duì)數(shù)與式相關(guān)概念和運(yùn)算的直接考查做為必考內(nèi)容，主要是對(duì)有理數(shù)、倒數(shù)、相反數(shù)、絕對(duì)值、科學(xué)記數(shù)法等概念的考查。
例1.在0，-2，1，這四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是（ ）
A. 0 B. -2 C. 1 D.
【2008年海南中考試題】
例2.若向南走記作，則向北走記作 ．
【2008年白銀中考試題】
例3. 2的倒數(shù)是 ．
【2008年重慶中考試題】
例4. 的相反數(shù)是 ．
【2008年烏魯木齊中考試題】
例5. 的絕對(duì)值是（ ）
A． 　　B． 　　C． 　　D．
【2008年南京中考試題】
例6. 數(shù)據(jù)26000用科學(xué)記數(shù)法表示為2.6×10n，則n的值是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【2008年海南中考試題】
例7.（07揚(yáng)州）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)可能是（　　 ）
A. B. C. D.
【2008年揚(yáng)州中考試題】
例8. 如圖，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)所表示的兩數(shù)的（ ）
A. 和為正數(shù) B. 和為負(fù)數(shù) C. 積為正數(shù) D. 積為負(fù)數(shù)
【2008年湘潭中考試題】
【考法評(píng)析】例7、例8是將有理數(shù)的運(yùn)算和對(duì)數(shù)軸的理解巧妙結(jié)合在一起，呈現(xiàn)方式新穎別致，有利于改變學(xué)生死記硬背的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，較好體現(xiàn)了課標(biāo)的基本理念.
【應(yīng)考的策略】“數(shù)與式”的有關(guān)概念類的題目，主要是要全面掌握其概念，理解概念的內(nèi)含和外延，靈活把握概念的不同表達(dá)形式，做到“準(zhǔn)確”和“靈活”。
二、考查“數(shù)與式”的運(yùn)算和變形
考查“數(shù)與式”的運(yùn)算和變形，主要體現(xiàn)在對(duì)有理數(shù)、實(shí)數(shù)的簡(jiǎn)單運(yùn)算和對(duì)整式、分式簡(jiǎn)單的恒等變形和化簡(jiǎn)的考查，
1．有理數(shù)、實(shí)數(shù)的簡(jiǎn)單運(yùn)算
例1. 計(jì)算2-3的結(jié)果是
A．5 B．-5 C．1 D．-1
【2006年海南中考試題】
例2. 計(jì)算的結(jié)果是（　　）
Ａ.2 Ｂ．±2 Ｃ．-2 Ｄ．4．
【2008年湖北武漢中考試題】
例3． 的立方是（ ）
A． B． C． D．
【2008年江蘇鹽城中考試題】
例4．下列運(yùn)算，正確的是（ ）
A. B. C. D.
【2008年海南中考試題】
【考法評(píng)析】例1、2、3、4是對(duì)有理數(shù)、實(shí)數(shù)的簡(jiǎn)單運(yùn)算的考查，主要考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，基本技能的運(yùn)用。
2．代數(shù)式化簡(jiǎn)
除了傳統(tǒng)、規(guī)范的代數(shù)式求值題目外，還以代數(shù)式化簡(jiǎn)作為本質(zhì)問(wèn)題，設(shè)計(jì)出形式新穎的問(wèn)題，豐富了代數(shù)式化簡(jiǎn)的考查內(nèi)容。即有創(chuàng)新性。
例5．按下列程序計(jì)算，把答案寫在表格內(nèi)：
（1）填寫表格：
輸入
3
……
輸出答案
1
1
（2）請(qǐng)將題中計(jì)算程序用代數(shù)式表達(dá)出來(lái)，并給予化簡(jiǎn)．
【2006年廣東省中考題】
【考法評(píng)析】　本題變換了呆板的運(yùn)算題的呈現(xiàn)方式，使學(xué)生以不同方式體會(huì)到代數(shù)式求值時(shí)，按照“先化簡(jiǎn)，再求值”的過(guò)程進(jìn)行，是可以簡(jiǎn)化運(yùn)算的．這種呈現(xiàn)方式在使試題具有一定的趣味性和挑戰(zhàn)性的同時(shí)，大大提升了它們自身的效度，對(duì)學(xué)習(xí)方式和教學(xué)方式的改變都具有較好的導(dǎo)向作用．
例6．題目1：先化簡(jiǎn)代數(shù)式÷，然后選取一個(gè)合適的a值，代入求值．
【2008年廣東省深圳市中考試題】
題目2：請(qǐng)從下列三個(gè)代數(shù)式中任選兩個(gè)構(gòu)成一個(gè)分式，并化簡(jiǎn)該分式。
x2-4xy+4y2 x2-4y2 x-2y
【2008年湖北省恩施自治州中考題】
【考法評(píng)析】本例一改化簡(jiǎn)求值問(wèn)題的傳統(tǒng)呈現(xiàn)方式，使其由封閉成為開(kāi)放．此題不僅考查了學(xué)生化簡(jiǎn)求值的運(yùn)算技能，而且還考查了學(xué)生對(duì)分式意義的理解程度，同時(shí)，開(kāi)放的形式還為學(xué)生提供了展示的平臺(tái)，給考生實(shí)施解答留有一定的選擇余地，根據(jù)考生解答這些問(wèn)題的結(jié)果，基本能推斷其對(duì)分式概念的理解及分式化簡(jiǎn)技能的掌握情況。
例7．題目1： 課堂上，李老師出了這樣一道題：已知，求代數(shù)式的值．小明覺(jué)得直接代入計(jì)算太繁了，請(qǐng)你來(lái)幫他解決，并寫出具體過(guò)程．
【2008年江蘇省揚(yáng)州市中考試題】
題目2：在解題目：“當(dāng)時(shí)，求代數(shù)式的值”時(shí)，聰聰認(rèn)為只要任取一個(gè)使原式有意義的值代入都有相同結(jié)果．你認(rèn)為他說(shuō)的有理嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【2008年四川省巴中市中考試題】
【考法評(píng)析】本例所例舉兩道題目雖然沒(méi)有明確要求利用代數(shù)式化簡(jiǎn)求值，但均較為明顯地暗示了用代數(shù)式化簡(jiǎn)后求值是解決問(wèn)題的合理方法。兩道題目將運(yùn)算技能的考查蘊(yùn)含于具體問(wèn)題的解決中，其解題過(guò)程涉及到對(duì)“數(shù)與式”概念理解、算理的理解及運(yùn)算法則、運(yùn)算律運(yùn)用情況，考生解決這類問(wèn)題一般是先化簡(jiǎn)再求值，并通過(guò)檢驗(yàn)對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行合理的解釋。因此，這類題目所考查具體技能性目標(biāo)和能力目標(biāo)的要求，在一定程度上可以抽象到《課程標(biāo)準(zhǔn)》該技能和能力的基本要求。
3．分解因式
各地較為注意對(duì)因式分解的考查，有的地區(qū)在設(shè)計(jì)因式分解題目時(shí)還給考生留出了選擇問(wèn)題的余地，增強(qiáng)了考試結(jié)果的可推廣性。
例8. 題目1：現(xiàn)有三個(gè)多項(xiàng)式：，，，請(qǐng)你選擇其中兩個(gè)進(jìn)行加法運(yùn)算，并把結(jié)果因式分解．
【2008年貴州省遵義市中考試題】
題目2：給出三個(gè)多項(xiàng)式X =2a2＋3ab＋b2，Y =3a2＋3ab，Z = a2＋ab，請(qǐng)你任選兩個(gè)進(jìn)行加（或減）法運(yùn)算，再將結(jié)果分解因式．
【2008年湖北省荊門市中考試題】
【考法評(píng)析】?jī)傻李}目均只給出了問(wèn)題的內(nèi)在要求和構(gòu)造問(wèn)題所需要的要素，而沒(méi)有給出明確、確定的因式分解問(wèn)題，給考生預(yù)留了構(gòu)造具體問(wèn)題的空間。由于解決這個(gè)問(wèn)題的重點(diǎn)在于運(yùn)算及代數(shù)式的恒等變形方面，根據(jù)考生的解答情況能較好地推斷考生掌握因式分解的情況。
三、考查“數(shù)與式”的列式能力
列出代數(shù)式表達(dá)各種情境中的數(shù)量及數(shù)量關(guān)系，是學(xué)習(xí)“數(shù)與式”極為重要的目的，這樣的試題針對(duì)性強(qiáng)，突出了列代數(shù)式的重要性。
例1．表2是從表1中截取的一部分，則 ．
【2008年山東省煙臺(tái)市中考試題】
例2．對(duì)單項(xiàng)式“”，我們可以這樣解釋：香蕉每千克5元，某人買了千克，共付款元．請(qǐng)你對(duì)“”再給出另一個(gè)實(shí)際生活方面的合理解釋： ．
【2008年青海省中考試題】
例3．將一個(gè)正三角形紙片剪成四個(gè)全等的小正三角形，再將其中的一個(gè)按同樣的方法剪成四個(gè)更小的正三角形，……如此繼續(xù)下去，結(jié)果如下表：
所剪次數(shù)
1
2
3
4
…
n
正三角形個(gè)數(shù)
4
7
10
13
…
an
則an＝ （用含n的代數(shù)式表示）．
【2008年山東省中考試題】
例4．一個(gè)正方體的表面展開(kāi)圖如圖所示，每一個(gè)面上都寫有一個(gè)整數(shù)，并且相對(duì)兩個(gè)面上所寫的兩個(gè)整數(shù)之和都相等，那么
A．a(chǎn)=1，b=5 B．a(chǎn)=5，b=1 C．a(chǎn)=11，b=5 D．a(chǎn)=5，b=11
【2008年棗莊市中考試題】
例5．觀察下列等式:
1．32-12=4×2；
2．42-22=4×3；
3．52-32=4×4；
（ ）2-（ ）2=（ ）×（ ）；
……
則第4個(gè)等式為_(kāi)______． 第個(gè)等式為_(kāi)____．（是正整數(shù)）
例6．觀察表一，尋找規(guī)律．表二、表三分別是從表一中選取的一部分，則a+b的值為　　　　．
11
14
a
0
1
2
3
…
1
3
5
7
…
2
5
8
11
…
3
7
11
15
…
…
…
…
…
…
11
13
17
b
表一 表二 表三
【2008年深圳市中考試題】
四、將圖形與式結(jié)合，考查數(shù)形結(jié)合的思考能力
將圖形與式結(jié)合，以式的建立和表達(dá)為基礎(chǔ)，把圖形直觀的數(shù)量關(guān)系與式樣的表達(dá)式有機(jī)結(jié)合起來(lái)，考查學(xué)生運(yùn)用代數(shù)與幾何的相關(guān)知識(shí)，既突出了對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的考查，又突出了對(duì)分析問(wèn)題與解決能力的考查。
例1．如圖1所示，在長(zhǎng)和寬分別是、的矩形紙片的四個(gè)角都剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形．
用，，表示紙片剩余部分的面積；
當(dāng)=6，=4，且剪去部分的面積等于剩余部分的
面積時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng)．
【2008年梅州市中考試題】
例2．如圖2，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)作，，連接．已知，，，設(shè)．
（1）用含的代數(shù)式表示的長(zhǎng)；
（2）請(qǐng)問(wèn)點(diǎn)滿足什么條件時(shí)，的值最小？
（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律和結(jié)論，請(qǐng)構(gòu)圖求出代數(shù)式的最小值．
【2008年湖北省恩施自治州中考試題】
五、借助問(wèn)題的規(guī)律，考查歸納思考能力
借助問(wèn)題的操作與歸納思考，用代數(shù)式表示出情境所蘊(yùn)含的規(guī)律，考查合情推理能力，
例1． 如圖1所示，已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為，按圖中所示的規(guī)律，用個(gè)這樣的三角形鑲嵌而成的四邊形的周長(zhǎng)是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
【2008年湛江市中考試題】
例2．如圖①是一塊瓷磚的圖案，用這種瓷磚來(lái)鋪設(shè)地面．如果鋪成一個(gè)的正方形圖案（如圖②），其中完整的圓共有5個(gè)，如果鋪成一個(gè)的正方形圖案（如圖③），其中完整的圓共有13個(gè)，如果鋪成一個(gè)的正方形圖案（如圖④），其中完整的圓共有25個(gè)．若這樣鋪成一個(gè)的正方形圖案，則其中完整的圓共有 個(gè)．
【2008年重慶市中考試題】
【考法評(píng)析】 本題以瓷磚來(lái)鋪設(shè)地面為背景,讓學(xué)生經(jīng)過(guò)觀察圖形,尋找其變化規(guī)律,進(jìn)而得出猜想的一般結(jié)論,從而培養(yǎng)學(xué)生觀察,分析,歸納,總結(jié)的能力.通過(guò)這種典型問(wèn)題的考查抽象到培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí).把學(xué)好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和培養(yǎng)數(shù)學(xué)基本技能有效地結(jié)合在一起。
例3．1766年德國(guó)人提丟斯發(fā)現(xiàn)，太陽(yáng)系中的行星到太陽(yáng)的距離遵循下表所示的規(guī)律：
顆次
1
2
3
4
5
6
行星名稱
水星
金星
地球
火星
谷神星
木星
距離/天文單位
0.4
0.7
1
1.6
2.8
5.2
根據(jù)表格，第7顆行星到太陽(yáng)的距離是 天文單位．
【2008年山東省濟(jì)寧市中考試題】
例4．用同樣大小的黑色棋子按下圖所示的方式擺圖形，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第n個(gè)圖形需棋子 枚（用含n的代數(shù)式表示）.

【2008年海南省中考試題】
例5．觀察下列圖形：
它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第20個(gè)圖形共有 個(gè)★．
【2008年黑龍江省哈爾濱市中考試題】
例6．如圖所示，①中多邊形（邊數(shù)為12）是由正三角形“擴(kuò)展”而來(lái)的，②中多邊形是由正方形“擴(kuò)展”而來(lái)的，，依此類推，則由正邊形“擴(kuò)展”而來(lái)的多邊形的邊數(shù)為 ．

【2008年江蘇省連云港市中考試題】
總之對(duì)于數(shù)與式的學(xué)習(xí)的根本的目的在于能更好地從數(shù)量和數(shù)量關(guān)系的角度來(lái)認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界，描述現(xiàn)實(shí)世界，把握現(xiàn)實(shí)世界，而學(xué)習(xí)好數(shù)與代數(shù)主要體現(xiàn)在能理解相關(guān)概念，掌握相關(guān)技能，并能運(yùn)用這些知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。
參考文獻(xiàn) [1]《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》
[2]2008年全國(guó)中考數(shù)學(xué)考次評(píng)價(jià)報(bào)告? 華東師范大學(xué)出版社 ?
[3]中考數(shù)學(xué)高分十八個(gè)關(guān)節(jié)能 河北教育出版社

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