資源簡介

第二章 復習課
復習目標
1.理解三角形的基本概念與邊、角關系.
2.知道證明命題的依據,能用幾何語言寫出一個命題的證明過程.
3.知道等腰三角形、垂直平分線的性質,會用尺規作圖.
4.知道全等圖形的性質,會用幾種不同的方法判定兩個三角形全等.
◎重點:證明兩個三角形全等,解決相關幾何問題.
預習導學
體系建構
核心梳理
　　1.由不在　 　的三條線段　 　相連接所組成的圖形叫作三角形.
2.三角形的三邊關系:三角形任意兩邊之和　 　第三邊,任意兩邊之差　 　第三邊(填“大于”或“小于” ).
　　3.　 　的命題叫真命題,　 　的命題叫假命題;假命題可以通過舉　 　說明.
4.每個命題都由　 　和　 　兩部分組成,若將兩者交換位置,得到的新命題就是原命題的　 　.
5.三角形的內角和等于　 　,三角形的一個外角等于　 　,三角形的一個外角　 　與它不相鄰的任何一個內角.
6.能完全重合的兩個圖形叫作　 　,全等圖形的對應邊　 　,對應角　 　.
7.判定兩個三角形全等的方法有　 　,　 　無法判定兩個三角形全等.
【答案】1.同一條直線上　首尾順次
2.大于　小于
3.正確　錯誤　反例
4.題設　結論　逆命題
5.180°　與它不相鄰的兩個內角的和　大于
6.全等圖形　相等　相等
7.SAS、ASA、AAS、SSS　SSA、AAA
合作探究
專題一 三角形的邊角關系
1.在三角形中,最多有　 　個銳角,至少有　 　個銳角,最多有　 　個鈍角(或直角).
2.已知一個三角形兩邊長分別為2 cm和6 cm,則第三邊的長可以是　 　 cm.(寫出一個符合條件的答案)
方法歸納交流　已知三角形的兩邊,已知兩邊的　 　<三角形的第三邊<已知兩邊的　 　.
【答案】1.3　2　1
2.答案不唯一,如5、6等
方法歸納交流　差　和
專題二 三角形的角平分線、中線和高
3.如圖,AD為△ABC的中線,BE為△ABD的中線.
(1)∠ABE=15°,∠BAD=35°,求∠BED的度數;
(2)在△BED中作BD邊上的高;
(3)若△ABC的面積為60,BD=5,則點E到BC邊的距離為多少
【答案】3.解:(1)∵∠BED是△ABE的一個外角,
∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15°+35°=50°.
(2)如圖,EF即△BED中BD邊上的高.
(3)∵AD為△ABC的中線,BE為△ABD的中線,
∴S△BED=S△ABC=×60=15;
∵BD=5,∴EF=2S△BED÷BD=2×15÷5=6,
即點E到BC邊的距離為6.
專題三 等腰三角形
4.如圖,在△ABC中,AD平分∠BAC,BD⊥AD,垂足為D,過D作DE∥AC,交AB于E.
求證:△BDE是等腰三角形.
【答案】4.證明:∵AD平分∠BAC,DE∥AC,
∴∠EAD=∠CAD,∠EDA=∠CAD,
∴∠EAD=∠EDA,
∵BD⊥AD,
∴∠EBD+∠EAD=∠BDE+∠EDA,
∴∠EBD=∠BDE,
∴DE=BE,
∴△BDE是等腰三角形.
專題四 線段的垂直平分線
5.如圖,在△ABC中,AB的垂直平分線MN交AB于點D,交AC于點E,且AC=15 cm,△BCE的周長等于25 cm.
(1)求BC的長;
(2)若∠A=36°,并且AB=AC.求證:BC=BE.
【答案】5.(1)解:∵AB的垂直平分線MN交AB于點D,
∴AE=BE,
∴△BCE的周長=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC,
∵AC=15 cm,
∴BC=25-15=10 cm.
(2)證明:∵∠A=36°,AB=AC,
∴∠C=(180°-∠A)=(180°-36°)=72°,
∵AB的垂直平分線MN交AB于點D,
∴AE=BE,
∴∠ABE=∠A,
由三角形的外角性質得,∠BEC=∠A+∠ABE=36°+36°=72°,
∴∠BEC=∠C,
∴BC=BE.
專題五 全等三角形的判定
6.如圖,△ABC、△A1B1C1均為銳角三角形,AB=A1B1 ,BC=B1C1,∠C=∠C1.求證:△ABC≌△A1B1C1.
方法歸納交流　在證明過程中,有些全等條件需要　 　得到,三角形全等是證明　 　、　 　、直線平行和垂直的常用方法.
7.如圖,△ABC與△BDE都是等腰三角形,AB=BC,BD=BE,∠BAC=∠BDE,連接AD,CE.求證:∠BAD=∠BCE.
【答案】6.證明:本題解法不唯一.
分別過點B、B1作BD⊥CA于D,B1D1⊥C1A1于點D1, 則∠BDC=∠B1D1C1=90°.
∵BC=B1C1,∠C=∠C1,∴△BCD≌△B1C1D1,
∴CD=C1D1,BD=B1D1.
又∵AB=A1B1 ,∠ADB=∠A1D1B1=90°,∴△ADB≌△A1D1B1,∴AD=A1D1,
∴CA=C1A1,又∵ AB=A1B1 ,BC=B1C1,∴△ABC≌△A1B1C1(SSS).
方法歸納交流　證明　線段相等　角相等
7.證明:∵AB=BC,BD=BE,
∴∠BAC=∠BCA,∠BDE=∠BED.
由三角形內角和定理可知:∠ABC=180°-∠BAC-∠BCA=180°-2∠BAC,
∠DBE=180°-∠BDE-∠BED=180°-2∠BDE.
∵∠BAC=∠BDE,∴∠ABC=∠DBE.
∵∠ABD=∠ABC+∠CBD,∠CBE=∠DBE+∠CBD,
∴∠ABD=∠CBE.
在△ABD和△CBE中,
,
∴△ABD≌△CBE(SAS),
∴∠BAD=∠BCE.
專題六 全等三角形的應用
8.如圖,O為碼頭,A,B兩個燈塔與碼頭的距離相等,OP,OQ為海岸線,一輪船從碼頭開出,計劃沿∠POQ的平分線航行,航行途中,某時測得船所在的位置C與燈塔A,B的距離相等,此時輪船有沒有偏離航線 請判斷并說明你的理由.
9.如圖,公園有一條“Z”字形道路AB-BC-CD.其中AB∥CD,在E,M,F處各有一個小石凳,且BE=CF,M為BC的中點,連接EM,MF.
(1)請問石凳M到石凳E,F的距離ME,MF是否相等 判斷并說明理由.
(2)E,F,M三點是否共線 請判斷并證明.
【答案】8.解:此時輪船沒有偏離航線.
理由:如圖,連接OC.
在△AOC與△BOC中,
∴△AOC≌△BOC(SSS),
∴∠AOC=∠BOC,
故此時輪船沒有偏離航線.
9.解:(1)石凳M到石凳E、F的距離ME、MF相等.理由:∵AB∥CD,∴∠B=∠C.
又∵M為BC中點,∴BM=MC.
在△BEM和△CFM中,
,
∴△BEM≌△CFM(SAS),
∴ME=MF.
即石凳M到石凳E、F的距離ME、MF相等.
(2)E,F,M三點共線.
證明:∵△BEM≌△CFM,
∴∠BME=∠CMF.
又∠BMF+∠CMF=180°,
∴∠BMF+∠BME=180°,
∴E,M,F在一條直線上.
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