資源簡介

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第四章 圖形的性質
第十九節 圖形變換
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 平移 ☆☆ 圖形變換主要包括平移、軸對稱、旋轉、中心對稱，其中包括點的坐標變化，在廣東中考中幾乎沒落下過，從往年考查來看，考查的頻率還是非常高的，一般考查較為簡單的選擇或者填空題，也可能會以幾何變換在綜合題中出現，雖然簡單，但也會有易錯的地方，比如區分點的平移規律和函數平移規律的不同，一輪復習多進行練習，盡量在一輪復習就達到迎接中考的水準，便可顯得輕松自如。
考點2 軸對稱 ☆☆
考點3 旋轉 ☆☆
考點4 中心對稱 ☆☆
考點5 坐標系中對稱點的特征 ☆☆
考點6 作圖-旋轉變換 ☆☆
考點1 平移
1.定義
把一個圖形整體沿某一方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的_____和_____完全相同，圖形的這種移動叫做平移變換，簡稱平移。
2.性質
（1）平移不改變圖形的大小和形狀，但圖形上的每個點都沿同一方向進行了移動
（2）連接各組對應點的線段平行（或在同一直線上）且相等。
考點2 軸對稱
1.定義
把一個圖形沿著某條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線成_____，該直線叫做對稱軸。
2.性質
（1）關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形。
（2）如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線。
（3）兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上。
3.判定
如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線_____，那么這兩個圖形關于這條直線對稱。
4.軸對稱圖形
把一個圖形沿著某條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸。
考點3旋轉
1.定義
把一個圖形繞某一點O轉動一個_____的圖形變換叫做旋轉，其中O叫做旋轉_____，轉動的角叫做_____。
2.性質
（1）對應點到旋轉中心的距離相等。
（2）對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角。
考點4 中心對稱
1.定義
把一個圖形繞著某一個點旋轉_____，如果旋轉后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心。
2.性質
（1）關于中心對稱的兩個圖形是全等形。
（2）關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分。
（3）關于中心對稱的兩個圖形，對應線段平行（或在同一直線上）且相等。
3.判定
如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關于這一點對稱。
4.中心對稱圖形
把一個圖形繞某一個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心。
考點5坐標系中對稱點的特征
1.關于原點對稱的點的特征
兩個點關于原點對稱時，它們的坐標的符號_____，即點P（x，y）關于原點的對稱點為P’（-x，-y）
2.關于x軸對稱的點的特征
兩個點關于x軸對稱時，它們的坐標中，x_____，y的符號_____，即點P（x，y）關于x軸的對稱點為P’（x，-y）
3.關于y軸對稱的點的特征
兩個點關于y軸對稱時，它們的坐標中，y_____，x的符號_____，即點P（x，y）關于y軸的對稱點為P’（-x，y）
考點6 作圖-旋轉變換
（1）旋轉圖形的作法：
根據旋轉的性質可知，對應角都相等都等于旋轉角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉后的圖形．
（2）旋轉作圖有自己獨特的特點，決定圖形位置的因素較多，旋轉角度、旋轉方向、旋轉中心，任意不同，位置就不同，但得到的圖形全等．
考點1平移
◇例題
1.（2023 遂溪縣一模）如圖，在△ABC中，BC＝13，將△ABC沿著射線BC平移m個單位長度，得到△DEF，若EC＝7，則m＝　 　．
◆變式訓練
1．（2023 潮州模擬）在平面直角坐標系中，線段AB平移得到線段CD，點A（﹣1，4）的對應點C（1，2），則點B（2，1）的對應點D的坐標為（　　）
A．（4，﹣1） B．（0，3） C．（4，1） D．（﹣4，1）
2．（2023 番禺區校級二模）如圖，將三角形ABC沿射線AB平移到三角形DEF的位置，則下列說法不正確的是（　　）
A．AC＝DB B．AD＝BE C．AC∥DF D．∠C＝∠F
3．（2023 蓬江區一模）在平面直角坐標系中，將點（1，1）向上平移3個單位后，得到的點的坐標是（　　）
A．（1，4） B．（4，1） C．（1，3） D．（1，﹣2）
考點2 軸對稱
◇例題
1.（2023 龍崗區校級一模）在一些美術字中，有的漢字是軸對稱圖形．下面4個漢字中，可以看作是軸對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
2.（2022 廣東一模）如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，點P是AB上的任意一點，作PD⊥AC于點D，PE⊥CB于點E，連接DE，則DE的最小值為 　 　．
◆變式訓練
1．（2023 惠城區校級一模）用數學的眼光觀察下面的網絡圖標，其中可以抽象成軸對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2022 東莞市校級一模）下列圖形中，屬于軸對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023 蕉嶺縣一模）在以下綠色食品、回收、節能、節水四個標志中，是軸對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023 龍崗區校級一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，△AB′C′與△ABC關于直線EF對稱，∠CAF＝10°，連接BB′，則∠ABB′的度數是（　　）
A．30° B．35° C．40° D．45°
5．（2023 江門三模）如圖，在等腰三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝2，點D為AC的中點，點E為邊AB上一個動點，連接DE，點A關于直線DE的對稱點為點F，分別連接DF，EF，當EF⊥AC時，AE的長為 　 　．
考點3 旋轉
◇例題
1.（2023 茂南區三模）如圖，在△OAB繞點O逆時針旋轉80°得到△OCD，若∠A＝100°，∠D＝50°，則∠AOD的度數是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
◆變式訓練
1．（2023 東莞市校級一模）如圖，將一個含30°角的直角三角板ABC繞點A逆時針旋轉，點C的對應點為點C′，若點C′落在BA延長線上，則三角板ABC旋轉的度數是（　　）
A．60° B．90° C．120° D．150°
2．（2023 越秀區模擬）如圖，在△ABC中，∠B＝40°，將△ABC繞點A逆時針旋轉，得到△ADE，點D恰好落在BC的延長線上，則旋轉角的度數（　　）
A．70° B．80° C．100° D．110°
3．（2023 懷集縣一模）如圖，在平面直角坐標系中，風車圖案的中心為正方形，四片葉片為全等的平行四邊形，其中一片葉片上的點A，C的坐標分別為（1，0），（0，4），將風車繞點O順時針旋轉，每次旋轉90°，則經過第2023次旋轉后，點D的坐標為（　　）
A．（﹣3，1） B．（﹣1，﹣3） C．（3，﹣1） D．（1，3）
考點4 中心對稱
◇例題
（2023 順德區校級一模）我國民間，流傳著許多含有吉祥意義的文字圖案，表示對幸福生活的向往，良辰佳節的祝賀．比如下列圖案分別表示“福”、“祿”、“壽”、“喜”，其中是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
◆變式訓練
1．（2023 蓬江區一模）下列新能源汽車標志圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2022 南山區一模）下列食品標識中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　　）
A．綠色飲品 B．綠色食品
C．有機食品 D．速凍食品
3．（2023 東莞市一模）2022年油價多次上漲，新能源車企迎來了更多的關注，如圖是四款新能源汽車的標志，其中是中心對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
考點5 坐標系中對稱點的特征
◇例題
1.（2023 香洲區校級一模）已知點P（x，﹣2）與點Q（4，y）關于原點對稱點，則x+y的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．4
◆變式訓練
1．（2023 深圳一模）已知點A（a，﹣1）與點B（﹣4，b）關于原點對稱，則a﹣b的值為（　　）
A．﹣5 B．5 C．3 D．﹣3
2．（2023 南沙區一模）在平面直角坐標系中，與點A（3，﹣4）關于原點對稱的點的坐標是（　　）
A．（﹣3，﹣4） B．（3，4） C．（﹣3，4） D．（4，﹣3）
3．（2023 黃埔區校級二模）如圖，△OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，點B的坐標為（6，0），將△OAB繞點A逆時針旋轉得到△CAD，當點O的對應點C落在OB上時，點D的坐標為（　　）
A．（7，3） B．（7，5） C．（5，5） D．（5，3）
4．（2022 河源模擬）如圖，已知△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，把△ACB繞著點B順時針旋轉90°得到△EDB，弧CD交AB于點F，弧AE交BD的延長線于點G．則圖中的陰影部分面積為 　 　．
考點6 作圖---旋轉變換
◇例題
1.（2023 香洲區校級一模）如圖，△OBC的頂點坐標分別為O（0，0），B（3，3），C（1，3）．將△OBC繞原點O逆時針旋轉90°的圖形得到△OB1C1．
（1）畫出△OB1C1的圖形．
（2）將點P（m，2）繞原點O逆時針旋轉90°，求點P旋轉后對應點P1的坐標．（用含m的式子表示）
◆變式訓練
1．（2023 寶安區校級三模）如圖，方格紙上每個小正方形的邊長均為1個單位長度，△ABC的頂點A、B、C都在格點上（兩條網格線的交點叫格點）．并保留畫圖痕跡（不要求寫畫法和理由）．
（1）將△ABC繞點A按順時針方向旋轉90°，點B的對應點為B1，點C的對應點為C1，畫出△AB1C1；（請用直尺畫圖）
（2）連接CC1，△ACC1的面積為 　　；
（3）在線段CC1上找一點D．連接AD，使得△ACD的面積是△ACC1面積的．（請用直尺和圓規畫圖）
2．（2023 南山區二模）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，給出了格點△ABC（頂點為網格線的交點）．
（1）將△ABC繞著點O逆時針方向旋轉90度，得到△A1B1C1，并畫出旋轉后的△A1B1C1：
（2）請在網格中，僅用無刻度的直尺畫出線段AC的垂直平分線PQ，交AB于點P，交AC于點Q（保留作圖痕跡，不要求寫作法）．
1．（2023 廣東）下列出版社的商標圖案中，是軸對稱圖形的為（　　）
A． B． C． D．
2．（2023 深圳）下列圖形中，為軸對稱的圖形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2022 廣州）下列圖形中，是中心對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2021 廣州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，將△ABC繞點A逆時針旋轉得到△AB′C′，使點C′落在AB邊上，連結BB′，則sin∠BB′C′的值為（　　）
A． B． C． D．
5．（2023 廣州）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E在邊BC上，且BE＝1，F為對角線BD上一動點，連接CF，EF，則CF+EF的最小值為 　 ．
6．（2023 深圳）如圖，在△ABC中，AB＝AC，tanB，點D為BC上一動點，連接AD，將△ABD沿AD翻折得到△ADE，DE交AC于點G，GE＜DG，且AG：CG＝3：1，則　　 ．
7．（2020 廣州）如圖，點A的坐標為（1，3），點B在x軸上，把△OAB沿x軸向右平移到△ECD，若四邊形ABDC的面積為9，則點C的坐標為 　 　．
8．（2022 廣州）如圖，在矩形ABCD中，BC＝2AB，點P為邊AD上的一個動點，線段BP繞點B順時針旋轉60°得到線段BP′，連接PP′，CP′．當點P′落在邊BC上時，∠PP′C的度數為 　 　；當線段CP′的長度最小時，∠PP′C的度數為 　 　．
9．（2021 廣州）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝38°，點D是邊AB上一點，點B關于直線CD的對稱點為B′，當B′D∥AC時，則∠BCD的度數為 　．
10．（2021 深圳）如圖，在△ABC中，D，E分別為BC，AC上的點，將△CDE沿DE折疊，得到△FDE，連接BF，CF，∠BFC＝90°，若EF∥AB，AB＝4，EF＝10，則AE的長為 ．
11．（2021 深圳）如圖所示，在正方形網格中，每個小正方形的邊長為1個單位．
（1）過直線m作四邊形ABCD的對稱圖形；
（2）求四邊形ABCD的面積．
12．（2021 廣東）如圖，邊長為1的正方形ABCD中，點E為AD的中點．連接BE，將△ABE沿BE折疊得到△FBE，BF交AC于點G，求CG的長．
1．在平面直角坐標系中，將點A（﹣3，1）先向右平移2個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到點A'，則點A'的坐標為（　　）
A．（0，5） B．（﹣5，3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣1）
2．下列圖形中，是軸對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
3．有以下說法：
①△ABC在平移的過程中，對應線段一定相等；
②△ABC在平移過程中，對應線段一定平行；
③△ABC在平移過程中，周長保持不變；
④△ABC在平移過程中，對應邊中點的連線的長度等于平移的距離．
正確的是（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
4．下列運動屬于平移的是（　　）
A．蕩秋千的小朋友 B．轉動的電風扇葉片
C．正在上升的電梯 D．行駛的自行車后輪
5．四幅作品分別代表“立春”、“立夏”、“芒種”、“大雪”，其中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
6．下列有關環保的四個圖形中，是中心對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如圖，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.8，∠B＝60°，將△ABC繞點A順時針旋轉得到△ADE，當點B的對應點D恰好落在BC邊上時，則CD的長為（　　）
A．1.8 B．1.6 C．2.6 D．2.8
8．點P是∠AOB外的一點，點M，N分別是∠AOB兩邊上的點，點P關于OA的對稱點Q恰好落在線段MN上，點P關于OB的對稱點R落在MN的延長線上．若PM＝3.5cm，PN＝4cm，MN＝5cm，則線段QR的長為（　　）
A．4.5cm B．5.5cm C．6.5cm D．7cm
9．數學課上，老師讓同學們以“矩形的折疊”為主題開展數學活動．如圖，小明把矩形ABCD沿DE折疊，使點C落在AB邊的點F處，其中，且，則矩形ABCD的面積為（　　）
A．80 B．64 C．36 D．18
10．如圖，將△ABC沿AC方向平移1cm得到△DEF，若DC＝3cm，則AF＝　 　．
11．點A（3，2）向右平移2個單位長度得到A'，則A'的坐標為 　 　．
12．已知點A（3，﹣2）與點A′關于原點對稱，則點A'的坐標為 　 　．
13．在平面直角坐標系中點P（﹣1，5）關于y軸對稱點的坐標為 　 　．
14．如圖，每個小正方形的邊長為1．
（1）畫出三角形ABC先向右平移4格，再向下平移1格后得到的三角形A'B'C'；
（2）求三角形ABC的面積．
15．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞點B按順時針方向旋轉得到A′BC′，旋轉角為α（0°＜α＜360°），過點A作AE∥C′A′交直線CC′于點E，交AA′于點D．
（1）求證：ED＝C′D；
（2）若∠ABC＝60°，在△ABC繞點B旋轉過程中是否存在某個時刻，使得EC′＝AA′，如果存在，請直接寫出此時α的度數；如果不存在，說明理由．
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第四章 圖形的性質
第十九節 圖形變換
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 平移 ☆☆ 圖形變換主要包括平移、軸對稱、旋轉、中心對稱，其中包括點的坐標變化，在廣東中考中幾乎沒落下過，從往年考查來看，考查的頻率還是非常高的，一般考查較為簡單的選擇或者填空題，也可能會以幾何變換在綜合題中出現，雖然簡單，但也會有易錯的地方，比如區分點的平移規律和函數平移規律的不同，一輪復習多進行練習，盡量在一輪復習就達到迎接中考的水準，便可顯得輕松自如。
考點2 軸對稱 ☆☆
考點3 旋轉 ☆☆
考點4 中心對稱 ☆☆
考點5 坐標系中對稱點的特征 ☆☆
考點6 作圖-旋轉變換 ☆☆
考點1 平移
1.定義
把一個圖形整體沿某一方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同，圖形的這種移動叫做平移變換，簡稱平移。
2.性質
（1）平移不改變圖形的大小和形狀，但圖形上的每個點都沿同一方向進行了移動
（2）連接各組對應點的線段平行（或在同一直線上）且相等。
考點2 軸對稱
1.定義
把一個圖形沿著某條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線成軸對稱，該直線叫做對稱軸。
2.性質
（1）關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形。
（2）如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線。
（3）兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上。
3.判定
如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱。
4.軸對稱圖形
把一個圖形沿著某條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸。
考點3旋轉
1.定義
把一個圖形繞某一點O轉動一個角度的圖形變換叫做旋轉，其中O叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角。
2.性質
（1）對應點到旋轉中心的距離相等。
（2）對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角。
考點4 中心對稱
1.定義
把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心。
2.性質
（1）關于中心對稱的兩個圖形是全等形。
（2）關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分。
（3）關于中心對稱的兩個圖形，對應線段平行（或在同一直線上）且相等。
3.判定
如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關于這一點對稱。
4.中心對稱圖形
把一個圖形繞某一個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心。
考點5坐標系中對稱點的特征
1.關于原點對稱的點的特征
兩個點關于原點對稱時，它們的坐標的符號相反，即點P（x，y）關于原點的對稱點為P’（-x，-y）
2.關于x軸對稱的點的特征
兩個點關于x軸對稱時，它們的坐標中，x相等，y的符號相反，即點P（x，y）關于x軸的對稱點為P’（x，-y）
3.關于y軸對稱的點的特征
兩個點關于y軸對稱時，它們的坐標中，y相等，x的符號相反，即點P（x，y）關于y軸的對稱點為P’（-x，y）
考點6 作圖-旋轉變換
（1）旋轉圖形的作法：
根據旋轉的性質可知，對應角都相等都等于旋轉角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉后的圖形．
（2）旋轉作圖有自己獨特的特點，決定圖形位置的因素較多，旋轉角度、旋轉方向、旋轉中心，任意不同，位置就不同，但得到的圖形全等．
考點1平移
◇例題
1.（2023 遂溪縣一模）如圖，在△ABC中，BC＝13，將△ABC沿著射線BC平移m個單位長度，得到△DEF，若EC＝7，則m＝　 　．
【答案】6．
【分析】根據平移的性質得到BE＝CF，再利用EF＝EC+CF＝13，然后求出CF的長，從而得到平移的距離．
【解答】解：∵△ABC沿著射線BC的方向平移，得到△DEF，
∴BE＝CF，
∵EF＝13，EC＝7，
∴CF＝EF﹣CE＝13﹣7＝6，
即平移的距離m為6．
故答案為：6．
◆變式訓練
1．（2023 潮州模擬）在平面直角坐標系中，線段AB平移得到線段CD，點A（﹣1，4）的對應點C（1，2），則點B（2，1）的對應點D的坐標為（　　）
A．（4，﹣1） B．（0，3） C．（4，1） D．（﹣4，1）
【答案】A
【分析】根據點A、C的坐標確定出平移規律，再根據平移規律解答即可．
【解答】解：∵點A（﹣1，4）的對應點C的坐標為（1，2），
∴平移規律為向右平移2個單位，向下平移2個單位，
∴B（2，1）的對應點D的坐標為（4，﹣1）．
故選：A．
2．（2023 番禺區校級二模）如圖，將三角形ABC沿射線AB平移到三角形DEF的位置，則下列說法不正確的是（　　）
A．AC＝DB B．AD＝BE C．AC∥DF D．∠C＝∠F
【答案】A
【分析】根據平移的性質判斷即可．
【解答】解：由平移的性質可知：AC＝DF，AD＝BE，AC∥DF，∠C＝∠F，
故選項A說法不正確，符合題意；
選項B、C、D說法正確，不符合題意；
故選：A．
3．（2023 蓬江區一模）在平面直角坐標系中，將點（1，1）向上平移3個單位后，得到的點的坐標是（　　）
A．（1，4） B．（4，1） C．（1，3） D．（1，﹣2）
【答案】A
【分析】把點（1，1）的橫坐標不變，縱坐標加3，即可得到平移后的對應點的坐標．
【解答】解：將點（1，1）向上平移3個單位后，得到的點的坐標是（1，4）．
故選：A．
考點2 軸對稱
◇例題
1.（2023 龍崗區校級一模）在一些美術字中，有的漢字是軸對稱圖形．下面4個漢字中，可以看作是軸對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用軸對稱圖形的定義進行解答即可．
【解答】解：A．不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
B．不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
C．是軸對稱圖形，故此選項符合題意；
D．不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
故選：C．
2.（2022 廣東一模）如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，點P是AB上的任意一點，作PD⊥AC于點D，PE⊥CB于點E，連接DE，則DE的最小值為 　 　．
【答案】2.4．
【分析】連接CP，根據矩形的性質可知：DE＝CP，當DE最小時，則CP最小，根據垂線段最短可知當CP⊥AB時，則CP最小，再根據三角形的面積為定值即可求出CP的長．
【解答】解：∵AB＝5，AC＝4，BC＝3，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
連接CP，如圖所示：
∵PD⊥AC于點D，PE⊥CB于點E，
∴四邊形DPEC是矩形，
∴DE＝CP，
當DE最小時，則CP最小，根據垂線段最短可知當CP⊥AB時，則CP最小，
∴DE＝CP2.4，
故答案為：2.4．
◆變式訓練
1．（2023 惠城區校級一模）用數學的眼光觀察下面的網絡圖標，其中可以抽象成軸對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．
【解答】解：B，C，D選項中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；
A選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；
故選：A．
2．（2022 東莞市校級一模）下列圖形中，屬于軸對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據軸對稱圖形的概念求解．如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．
【解答】解：選項B能找到這樣的一條直線，使這個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；
選項A、C、D不能找到這樣的一條直線，使這個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；
故選：B．
3．（2023 蕉嶺縣一模）在以下綠色食品、回收、節能、節水四個標志中，是軸對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷利用排除法求解．
【解答】解：A、是軸對稱圖形，故本選項正確；
B、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；
C、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；
D、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤．
故選：A．
4．（2023 龍崗區校級一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，△AB′C′與△ABC關于直線EF對稱，∠CAF＝10°，連接BB′，則∠ABB′的度數是（　　）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】C
【分析】利用軸對稱圖形的性質得出△BAC≌△B′AC′，進而結合三角形內角和定理得出答案．
【解答】解：連接BB′
∵△AB′C′與△ABC關于直線EF對稱，
∴△BAC≌△B′AC′，
∵AB＝AC，∠C＝70°，
∴∠ABC＝∠AC′B′＝∠AB′C′＝70°，
∴∠BAC＝∠B′AC′＝40°，
∵∠CAF＝10°，
∴∠C′AF＝10°，
∴∠BAB′＝40°+10°+10°+40°＝100°，
∴∠ABB′＝∠AB′B＝40°．
故選：C．
5．（2023 江門三模）如圖，在等腰三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝2，點D為AC的中點，點E為邊AB上一個動點，連接DE，點A關于直線DE的對稱點為點F，分別連接DF，EF，當EF⊥AC時，AE的長為 　 　．
【答案】或．
【分析】當直線EF與直線AC垂直時，如圖1，如圖2，根據對稱的性質得到和等腰三角形的判定和性質定理以及直角三角形的性質即可得到結論．
【解答】解：∵AC＝BC＝2，點D為AC的中點，
∴ADAC＝1，
①當直線EF與直線AC垂直時，如圖1，
∵點A關于直線DE的對稱點為點F，
∴∠F＝∠A＝30°，∠AED＝∠FED，
∵∠AGE＝90°，
∴∠AEG＝60°，
∴∠AED＝∠FED＝30°，
∴AD＝DE＝1，
過D作DM⊥AE與M
∴AE＝2AM＝21；
②當直線EF與直線AC垂直時，如圖2，
∵將△ADE沿直線DE折疊，點A落在點F處，
∴∠F＝∠A＝30°，∠ADE＝∠FDE，
∵∠AGE＝∠FGD＝90°，
∴∠FDG＝60°，
∴∠ADE＝∠FDE＝30°，
∴∠A＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴AGAD，
∴AE，
故答案為：或．
考點3 旋轉
◇例題
1.（2023 茂南區三模）如圖，在△OAB繞點O逆時針旋轉80°得到△OCD，若∠A＝100°，∠D＝50°，則∠AOD的度數是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【分析】根據旋轉的性質得∠BOD＝80°，∠B＝∠D＝50°，再根據三角形內角和定理計算出∠BOA＝30°，然后利用∠AOD＝∠BOD﹣∠BOA進行計算即可．
【解答】解：∵△OAB繞點O逆時針旋轉70°得到△OCD，
∴∠BOD＝80°，∠B＝∠D＝50°，
∴∠BOA＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣100°﹣50°＝30°，
∴∠AOD＝∠BOD﹣∠BOA＝80°﹣30°＝50°．
故選：C．
◆變式訓練
1．（2023 東莞市校級一模）如圖，將一個含30°角的直角三角板ABC繞點A逆時針旋轉，點C的對應點為點C′，若點C′落在BA延長線上，則三角板ABC旋轉的度數是（　　）
A．60° B．90° C．120° D．150°
【答案】D
【分析】根據旋轉角的定義，兩對應邊的夾角就是旋轉角，即可求解．
【解答】解：旋轉角是∠BAB′＝180°﹣30°＝150°．
故選：D．
2．（2023 越秀區模擬）如圖，在△ABC中，∠B＝40°，將△ABC繞點A逆時針旋轉，得到△ADE，點D恰好落在BC的延長線上，則旋轉角的度數（　　）
A．70° B．80° C．100° D．110°
【答案】C
【分析】由旋轉的性質可知，旋轉前后對應邊相等，對應角相等，得出等腰三角形，再根據等腰三角形的性質求解．
【解答】解：由旋轉的性質可知，∠BAD的度數為旋轉度數，AB＝AD，∠ADE＝∠B＝40°，
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B＝40°，
∴∠BAD＝100°，
故選：C．
3．（2023 懷集縣一模）如圖，在平面直角坐標系中，風車圖案的中心為正方形，四片葉片為全等的平行四邊形，其中一片葉片上的點A，C的坐標分別為（1，0），（0，4），將風車繞點O順時針旋轉，每次旋轉90°，則經過第2023次旋轉后，點D的坐標為（　　）
A．（﹣3，1） B．（﹣1，﹣3） C．（3，﹣1） D．（1，3）
【答案】A
【分析】根據風車繞點O順時針旋轉，每次旋轉90°，可知旋轉4次為一個循環，得到經過第2023次旋轉后，點D的坐標與第3次旋轉結束時點D的坐標相同，進行求解即可．
【解答】解：在正方形中，點A的坐標為（1，0），
∴點B（0，1）．
∵C（0，4），
∴OC＝4．
∴BC＝3．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC＝3．
∴D（1，3）．
由題意，可得風車第1次旋轉結束時，點D的坐標為（3，﹣1）；第2次旋轉結束時，點D的坐標為（﹣1，﹣3）；第3次旋轉結束時，點D的坐標為（﹣3，1）；第4次旋轉結束時，點D的坐標為（1，3）．
∵將風車繞點O順時針旋轉，每次旋轉90°，
∴旋轉4次為一個循環．
∵2023÷4＝505 3，
∴經過第2023次旋轉后，點D的坐標與第3次旋轉結束時點D的坐標相同，為（﹣3，1）；
故選：A．
考點4 中心對稱
◇例題
（2023 順德區校級一模）我國民間，流傳著許多含有吉祥意義的文字圖案，表示對幸福生活的向往，良辰佳節的祝賀．比如下列圖案分別表示“福”、“祿”、“壽”、“喜”，其中是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．
【解答】解：A、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；
B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項錯誤；
C、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故本選項正確；
D、軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項錯誤．
故選：C．
◆變式訓練
1．（2023 蓬江區一模）下列新能源汽車標志圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義進行逐一判斷即可：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉180度，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．
【解答】解：A選項中的圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；
B選項中的圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
C選項中的圖形不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
D選項中的圖形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意．
故選：A．
2．（2022 南山區一模）下列食品標識中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　　）
A．綠色飲品 B．綠色食品
C．有機食品 D．速凍食品
【答案】D
【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
【解答】解：A、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；
B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；
C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不合題意；
D、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；
故選：D．
3．（2023 東莞市一模）2022年油價多次上漲，新能源車企迎來了更多的關注，如圖是四款新能源汽車的標志，其中是中心對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據在平面內，把一個圖形繞著某個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形與原圖形重合，則這個圖形為中心對稱圖形判斷即可．
【解答】解：∵在平面內，把一個圖形繞著某個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形與原圖形重合，則這個圖形為中心對稱圖形，
∴C選項中的圖形為中心對稱圖形，
故選：C．
考點5 坐標系中對稱點的特征
◇例題
1.（2023 香洲區校級一模）已知點P（x，﹣2）與點Q（4，y）關于原點對稱點，則x+y的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．4
【答案】B
【分析】根據兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反可得x＝﹣4，y＝2，再計算x+y即可．
【解答】解：∵點P（x，﹣2）與點Q（4，y）關于原點對稱點，
∴x＝﹣4，y＝2，
∴x+y＝﹣4+2
◆變式訓練
1．（2023 深圳一模）已知點A（a，﹣1）與點B（﹣4，b）關于原點對稱，則a﹣b的值為（　　）
A．﹣5 B．5 C．3 D．﹣3
【答案】C
【分析】利用關于原點對稱點的坐標性質得出a的值即可．
【解答】解：∵點A（a，1）與點B（﹣4，b）關于原點對稱，
∴a＝4，b＝1．
∴a﹣b＝4﹣1＝3．
故選：C．
2．（2023 南沙區一模）在平面直角坐標系中，與點A（3，﹣4）關于原點對稱的點的坐標是（　　）
A．（﹣3，﹣4） B．（3，4） C．（﹣3，4） D．（4，﹣3）
【答案】C
【分析】根據兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反可得答案．
【解答】解：點A（3，﹣4）關于原點對稱的點的坐標是（﹣3，4），
故選：C．
3．（2023 黃埔區校級二模）如圖，△OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，點B的坐標為（6，0），將△OAB繞點A逆時針旋轉得到△CAD，當點O的對應點C落在OB上時，點D的坐標為（　　）
A．（7，3） B．（7，5） C．（5，5） D．（5，3）
【答案】A
【分析】如圖，過點D作DE⊥x軸于點E．證明△AOC是等邊三角形，解直角三角形求出DE，CE，可得結論．
【解答】解：如圖，過點D作DE⊥x軸于點E．
∵B（6，0），
∴OB＝6，
由旋轉的性質可知AO＝AC＝4，OB＝CD＝6，∠ACD＝∠AOB＝60°，
∵∠AOC＝60°，
∴△AOC是等邊三角形，
∴OC＝OA＝4，∠ACO＝60°，
∴∠DCE＝60°，
∴CECD＝3，DE＝3，
∴OE＝OC+CE＝4+3＝7，
∴D（7，3），
故選：A．
4．（2022 河源模擬）如圖，已知△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，把△ACB繞著點B順時針旋轉90°得到△EDB，弧CD交AB于點F，弧AE交BD的延長線于點G．則圖中的陰影部分面積為 　 　．
【答案】2．
【分析】根據S陰＝S△ABC+S扇形BAG﹣S扇形BCD，求解即可．
【解答】解：在Rt△ACB中，AC＝CB＝2，∠ACB＝90°，
∴AB2，
∴S陰＝S△ABC+S扇形BAG﹣S扇形BCD2×22，
故答案為：2．
考點6 作圖---旋轉變換
◇例題
1.（2023 香洲區校級一模）如圖，△OBC的頂點坐標分別為O（0，0），B（3，3），C（1，3）．將△OBC繞原點O逆時針旋轉90°的圖形得到△OB1C1．
（1）畫出△OB1C1的圖形．
（2）將點P（m，2）繞原點O逆時針旋轉90°，求點P旋轉后對應點P1的坐標．（用含m的式子表示）
【答案】（1）圖見解析；
（2）（﹣2，m）．
【分析】（1）分別作出點B（3，3），C（1，3）繞原點O逆時針旋轉90°的對應點B1（﹣3，3），C1（﹣3，1），順次連接O、B1、C1即可；
（2）按照（1）中點的旋轉規律，即可寫出點P旋轉后對應點P1的坐標．
【解答】解：（1）如圖所示，△OB1C1即為所求；
（2）由（1）可得點B（3，3）繞原點O逆時針旋轉90°得到點B1（﹣3，3），C（1，3）繞原點O逆時針旋轉90°得到點C1（﹣3，1），
∴將點P（m，2）繞原點O逆時針旋轉90°后對應點P1的坐標為（﹣2，m）．
◆變式訓練
1．（2023 寶安區校級三模）如圖，方格紙上每個小正方形的邊長均為1個單位長度，△ABC的頂點A、B、C都在格點上（兩條網格線的交點叫格點）．并保留畫圖痕跡（不要求寫畫法和理由）．
（1）將△ABC繞點A按順時針方向旋轉90°，點B的對應點為B1，點C的對應點為C1，畫出△AB1C1；（請用直尺畫圖）
（2）連接CC1，△ACC1的面積為 　　；
（3）在線段CC1上找一點D．連接AD，使得△ACD的面積是△ACC1面積的．（請用直尺和圓規畫圖）
【答案】（1）見解析；
（2）；
（3）見解析．
【分析】（1）根據旋轉的性質即可畫出圖形；
（2）利用△ACC1所求在矩形面積減去周圍三個三角形面積即可；
（3）確定CC1的中點即可．
【解答】解：（1）如圖，△AB1C1即為所求；
（2）△ACC1的面積為3，
故答案為：；
（3）如圖，點D即為所求．
2．（2023 南山區二模）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，給出了格點△ABC（頂點為網格線的交點）．
（1）將△ABC繞著點O逆時針方向旋轉90度，得到△A1B1C1，并畫出旋轉后的△A1B1C1：
（2）請在網格中，僅用無刻度的直尺畫出線段AC的垂直平分線PQ，交AB于點P，交AC于點Q（保留作圖痕跡，不要求寫作法）．
【答案】（1）（2）作圖見解析部分．
【分析】（1）利用旋轉變換的性質分別作出A，B，C的對應點A1，B1，C1即可；
（2）取AB的中點P，AC的中點Q，作直線PQ即可．
【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；
（2）如圖，直線PQ即為所求．
1．（2023 廣東）下列出版社的商標圖案中，是軸對稱圖形的為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用軸對稱圖形的定義進行分析即可．
【解答】解：選項B，C，D中的圖形都不能確定一條直線，使圖形沿這條直線對折，直線兩旁的部分能夠完全重合，不是軸對稱圖形，選項A中的圖形沿某條直線對折后兩部分能完全重合，是軸對稱圖形，
故選：A．
2．（2023 深圳）下列圖形中，為軸對稱的圖形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．
【解答】解：A、B、C選項中的圖形都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；
D選項中的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；
故選：D．
3．（2022 廣州）下列圖形中，是中心對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據中心對稱圖形的概念進行判斷即可．
【解答】解：A．不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
B．不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
C．是中心對稱圖形，故此選項符合題意；
D．不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
故選：C．
4．（2021 廣州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，將△ABC繞點A逆時針旋轉得到△AB′C′，使點C′落在AB邊上，連結BB′，則sin∠BB′C′的值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AB，由旋轉的性質可得AC＝AC'＝6，BC＝B'C'＝8，∠C＝∠AC'B'＝90°，在Rt△BB'C'中，由勾股定理可求BB'的長，即可求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB10，
∵將△ABC繞點A逆時針旋轉得到△AB′C′，
∴AC＝AC'＝6，BC＝B'C'＝8，∠C＝∠AC'B'＝90°，
∴BC'＝4，
∴B'B4，
∴sin∠BB′C′，
故選：C．
5．（2023 廣州）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E在邊BC上，且BE＝1，F為對角線BD上一動點，連接CF，EF，則CF+EF的最小值為 　 ．
【答案】．
【分析】如圖，連接AE交BD于一點F，根據正方形的性質得到點A與點C關于BD對稱，求得AF＝CF，推出AF+EF＝AE，此時CF+EF最小，根據勾股定理即可得到結論．
【解答】解：如圖，連接AE交BD于一點F，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴點A與點C關于BD對稱，
∴AF＝CF，
∴AF+EF＝AE，此時CF+EF最小，
∵正方形ABCD的邊長為4，
∴AD＝AB＝4，∠DAB＝90°，
∵點E在BC上且BE＝1，
∴AE，
故CF+EF的最小值為．
故答案為：
6．（2023 深圳）如圖，在△ABC中，AB＝AC，tanB，點D為BC上一動點，連接AD，將△ABD沿AD翻折得到△ADE，DE交AC于點G，GE＜DG，且AG：CG＝3：1，則　　 ．
【答案】．
【分析】過點A作AF⊥BC于點F，過點A作AH⊥DE于點H，由折疊易得AF＝AH，AB＝AE，BF＝EH，CG＝a，則AG＝3a，于是AB＝AC＝AE＝4a，在Rt△ABF中，利用tanB可求出AH＝AF，BF＝EH，在Rt△AGH中，利用勾股定理求出GH，以此求出EG，由△AEG∽△DCG得，求得，則．
【解答】解：如圖，過點A作AF⊥BC于點F，過點A作AH⊥DE于點H，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
根據折疊的性質可知，∠B＝∠E，AF＝AH，AB＝AE，BF＝EH，
∴∠E＝∠C，
設CG＝a，則AG＝3a，
∴AB＝AC＝AE＝4a，
在Rt△ABF中，tanB，
∴BFAF，
∴，
解得：或AF（舍去），
∴AH＝AF，BF＝EH，
在Rt△AGH中，GH，
∴EG＝EH﹣GH，
∵∠AGE＝∠DGC，∠E＝∠C，
∴△AEG∽△DCG，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
7．（2020 廣州）如圖，點A的坐標為（1，3），點B在x軸上，把△OAB沿x軸向右平移到△ECD，若四邊形ABDC的面積為9，則點C的坐標為 　 　．
【答案】見試題解答內容
【分析】根據平移的性質得出四邊形ABDC是平行四邊形，從而得A和C的縱坐標相同，根據四邊形ABDC的面積求得AC的長，即可求得C的坐標．
【解答】解：∵把△OAB沿x軸向右平移到△ECD，
∴四邊形ABDC是平行四邊形，
∴AC＝BD，A和C的縱坐標相同，
∵四邊形ABDC的面積為9，點A的坐標為（1，3），
∴3AC＝9，
∴AC＝3，
∴C（4，3），
故答案為（4，3）．
8．（2022 廣州）如圖，在矩形ABCD中，BC＝2AB，點P為邊AD上的一個動點，線段BP繞點B順時針旋轉60°得到線段BP′，連接PP′，CP′．當點P′落在邊BC上時，∠PP′C的度數為 　 　；當線段CP′的長度最小時，∠PP′C的度數為 　 　．
【答案】120°，75°．
【分析】如圖，以AB為邊向右作等邊△ABE，連接EP′．利用全等三角形的性質證明∠BEP′＝90°，推出點P′在射線EP′上運動，如圖1中，設EP′交BC于點O，再證明△BEO是等腰直角三角形，可得結論．
【解答】解：如圖，以AB為邊向右作等邊△ABE，連接EP′．
∵△BPP′是等邊三角形，
∴∠ABE＝∠PBP′＝60°，BP＝BP′，BA＝BE，
∴∠ABP＝∠EBP′，
在△ABP和△EBP′中，
，
∴△ABP≌△EBP′（SAS），
∴∠BAP＝∠BEP′＝90°，
∴點P′在射線EP′上運動，
如圖1中，設EP′交BC于點O，
當點P′落在BC上時，點P′與O重合，此時∠PP′C＝180°﹣60°＝120°，
當CP′⊥EP′時，CP′的長最小，此時∠EBO＝∠OCP′＝30°，
∴EOOB，OP′OC，
∴EP′＝EO+OP′OBOCBC，
∵BC＝2AB，
∴EP′＝AB＝EB，
∴∠EBP′＝∠EP′B＝45°，
∴∠BP′C＝45°+90°＝135°，
∴∠PP′C＝∠BP′C﹣∠BP′P＝135°﹣60°＝75°．
故答案為：120°，75°．
9．（2021 廣州）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝38°，點D是邊AB上一點，點B關于直線CD的對稱點為B′，當B′D∥AC時，則∠BCD的度數為 　．
【答案】33°．
【分析】先根據等腰三角形的性質得到∠A＝∠B＝38°，再利用平行線的性質得∠ADB′＝∠A＝38°，接著根據軸對稱的性質得到∠CDB′＝∠CDB，則可出∠CDB的度數，然后利用三角形內角和計算出∠BCD的度數．
【解答】解：∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝38°，
∵B′D∥AC，
∴∠ADB′＝∠A＝38°，
∵點B關于直線CD的對稱點為B′，
∴∠CDB′＝∠CDB（38°+180°）＝109°，
∴∠BCD＝180°﹣∠B﹣∠CDB＝180°﹣38°﹣109°＝33°．
故答案為33°．
10．（2021 深圳）如圖，在△ABC中，D，E分別為BC，AC上的點，將△CDE沿DE折疊，得到△FDE，連接BF，CF，∠BFC＝90°，若EF∥AB，AB＝4，EF＝10，則AE的長為 ．
【答案】10﹣4．
【分析】由折疊的性質可得EF＝EC，DF＝DC，∠FED＝∠CED，可證四邊形BFEM是平行四邊形，可得BM＝EF＝10，由平行線的性質可得∠M＝∠FED＝∠CED＝∠AEM，可求解．
【解答】解：方法一、如圖，延長ED交FC于G，延長BA，DE交于點M，
∵將△CDE沿DE折疊，得到△FDE，
∴EF＝EC，DF＝DC，∠FED＝∠CED，
∴EG⊥CF，
又∵∠BFC＝90°，
∴BF∥EG，
∵AB∥EF，
∴四邊形BFEM是平行四邊形，
∴BM＝EF＝10，
∴AM＝BM﹣AB＝10﹣4，
∵AB∥EF，
∴∠M＝∠FED，
∴∠M＝∠CED＝∠AEM，
∴AE＝AM＝10﹣4，
方法二、延長CA和FB相交于點H，
∵折疊，
∴EF＝EC，
∴∠EFC＝∠ECF，
又∵∠BFC＝90°，
∴∠H＝∠EFH，
∴EF＝EC＝HE＝10，
∵AB∥EF，
∴∠ABH＝∠EFH＝∠H，
∴AB＝AH＝4，
∴AE＝HE﹣AH＝10﹣4．
故答案為：10﹣4．
11．（2021 深圳）如圖所示，在正方形網格中，每個小正方形的邊長為1個單位．
（1）過直線m作四邊形ABCD的對稱圖形；
（2）求四邊形ABCD的面積．
【答案】（1）見解答過程；
（2）8．
【分析】（1）依據軸對稱的性質得出四邊形ABCD各頂點的對稱點，再順次連接各頂點即可；
（2）依據四邊形ABCD的面積＝S△ABD+S△BCD進行計算，即可得到四邊形ABCD的面積．
【解答】解：（1）如圖所示，四邊形A'B'C'D'即為所求；
（2）四邊形ABCD的面積＝S△ABD+S△BCD4×14×3＝8．
12．（2021 廣東）如圖，邊長為1的正方形ABCD中，點E為AD的中點．連接BE，將△ABE沿BE折疊得到△FBE，BF交AC于點G，求CG的長．
【答案】．
【分析】延長BF交CD于H，連接EH．證明△EDH∽△BAE，推出，推出DH，CH，由CH∥AB，推出，可得結論．
【解答】解：延長BF交CD于H，連接EH．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠D＝∠DAB＝90°，AD＝CD＝AB＝1，
∴AC，
由翻折的性質可知，AE＝EF，∠EAB＝∠EFB＝90°，∠AEB＝∠FEB，
∵點E是AD的中點，
∴AE＝DE＝EF，
∵∠D＝∠EFH＝90°，
在Rt△EHD和Rt△EHF中，
，
∴Rt△EHD≌Rt△EHF（HL），
∴∠DEH＝∠FEH，
∵∠DEF+∠AEF＝180°，
∴2∠DEH+2∠AEB＝180°，
∴∠DEH+∠AEB＝90°，
∵∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠DEH＝∠ABE，
∴△EDH∽△BAE，
∴，
∴DH，CH，
∵CH∥AB，
∴，
∴CGAC．
1．在平面直角坐標系中，將點A（﹣3，1）先向右平移2個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到點A'，則點A'的坐標為（　　）
A．（0，5） B．（﹣5，3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣1）
【答案】C
【分析】點向右移橫坐標加移動長度，向上移縱坐標加移動長度，根據平移方向及長度計算即可．
【解答】解：將點A（﹣3，1）先向右平移2個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到點A'，則橫坐標加2，縱坐標加2，點A'的坐標為（﹣1，3）．
故選：C．
2．下列圖形中，是軸對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．
【解答】解：A，B，C選項中的圖形都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；
D選項中的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；
故選：D．
3．有以下說法：
①△ABC在平移的過程中，對應線段一定相等；
②△ABC在平移過程中，對應線段一定平行；
③△ABC在平移過程中，周長保持不變；
④△ABC在平移過程中，對應邊中點的連線的長度等于平移的距離．
正確的是（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
【答案】B
【分析】根據平移的性質對各小題分析判斷即可得解．
【解答】解：①△ABC在平移的過程中，對應線段一定相等，正確；
②△ABC在平移過程中，對應線段一定平行或在同一直線上，故本小題錯誤；
③△ABC在平移過程中，周長保持不變，正確；
④△ABC在平移過程中，對應邊中點的連線的長度等于平移的距離，正確．
綜上所述，正確的有①③④．
故選：B．
4．下列運動屬于平移的是（　　）
A．蕩秋千的小朋友 B．轉動的電風扇葉片
C．正在上升的電梯 D．行駛的自行車后輪
【答案】C
【分析】利用平移的定義進行判斷即可．
【解答】解：A．蕩秋千的小朋友是旋轉，不符合題意；
B．轉動的電風扇葉片是旋轉，不符合題意；
C．正在上升的電梯是平移，符合題意；
D．行駛的自行車后輪是旋轉，不符合題意．
故選：C．
5．四幅作品分別代表“立春”、“立夏”、“芒種”、“大雪”，其中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義逐一判斷即可．
【解答】解：A．該圖是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
B．該圖是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
C．該圖不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
D．該圖既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項合題意；
故選：D．
6．下列有關環保的四個圖形中，是中心對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】把一個圖形繞某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，由此即可判斷．
【解答】解：選項A、B、C的圖形都不能找到一個點，使這些圖形繞某一點旋轉180°與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形；
選項D的圖形能找到一個點，使這個圖形繞某一點旋轉180°與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形；
故選：D．
7．如圖，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.8，∠B＝60°，將△ABC繞點A順時針旋轉得到△ADE，當點B的對應點D恰好落在BC邊上時，則CD的長為（　　）
A．1.8 B．1.6 C．2.6 D．2.8
【答案】A
【分析】根據旋轉的性質得到AD＝AB，進而證明△ADB為等邊三角形，得到BD＝AB＝2，則CD＝CB﹣BD＝1.8．
【解答】解；由旋轉的性質可知，AD＝AB，
∵∠B＝60°，AD＝AB，
∴△ADB為等邊三角形，
∴BD＝AB＝2，
∴CD＝CB﹣BD＝1.8，
故選：A．
8．點P是∠AOB外的一點，點M，N分別是∠AOB兩邊上的點，點P關于OA的對稱點Q恰好落在線段MN上，點P關于OB的對稱點R落在MN的延長線上．若PM＝3.5cm，PN＝4cm，MN＝5cm，則線段QR的長為（　　）
A．4.5cm B．5.5cm C．6.5cm D．7cm
【答案】B
【分析】根據軸對稱的性質得到OA垂直平分PQ，OB垂直平分PR，則利用線段垂直平分線的性質得QM＝PM＝3.5cm，RN＝PN＝4cm，然后計算QN，再計算QN+RN即可．
【解答】解：∵點P關于OA的對稱點Q恰好落在線段MN上，
∴OA垂直平分PQ，
∴QM＝PM＝3.5cm，
∵MN＝5cm，
∴QN＝MN﹣QM＝5﹣3.5＝1.5（cm），
∵點P關于OB的對稱點R落在MN的延長線上，
∴OB垂直平分PR，
∴RN＝PN＝4cm，
∴QR＝QN+RN＝1.5+4＝5.5（cm）．
故選：B．
9．數學課上，老師讓同學們以“矩形的折疊”為主題開展數學活動．如圖，小明把矩形ABCD沿DE折疊，使點C落在AB邊的點F處，其中，且，則矩形ABCD的面積為（　　）
A．80 B．64 C．36 D．18
【答案】A
【分析】首先根據折疊的性質得到∠DFC＝∠C＝90°，然后根據同角的余角相等得到∠DFA＝∠BEF，進而得到，設BF＝4x，EF＝5x，則BE＝3x，CE＝FE＝5x，根據定理求出AD＝8x＝8，DC＝DF＝10x＝10，最后利用矩形面積公式求解即可．
【解答】解：∵矩形ABCD沿DE折疊，使點C落在AB邊的點F處，
∴∠DFC＝∠C＝90°，
∴∠DFA+∠BFE＝90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴∠BEF+∠BFE＝90°，
∴∠DFA＝∠BEF，
∴，
∴設BF＝4x，EF＝5x，則BE＝3x，CE＝FE＝5x，
∴AD＝BC＝8x，
∵，
∴DF＝10x，
∵∠DFC＝∠C＝90°，，
∴DF2+EF2＝DE2，即，
∴解得：x＝1，負值舍去，
∴AD＝8x＝8，DC＝DF＝10x＝10，
∴矩形ABCD的面積＝AD CD＝8×10＝80．
故選：A．
10．如圖，將△ABC沿AC方向平移1cm得到△DEF，若DC＝3cm，則AF＝　 　．
【答案】5cm．
【分析】根據平移的性質得出AD＝CF＝1cm，再根據線段的和差關系進行計算即可．
【解答】解：由平移的性質可知，AD＝CF＝1cm，
所以AF＝AD+DC+CF＝1+3+1＝5（cm），
故答案為：5cm．
11．點A（3，2）向右平移2個單位長度得到A'，則A'的坐標為 　 　．
【答案】（5，2）．
【分析】根據點向右平移，橫坐標加上平移單位長度即可．
【解答】解：因為點A（3，2）向右平移2個單位長度3+2＝5，
所以點A'的坐標是（5，2）．
故答案為：（5，2）．
12．已知點A（3，﹣2）與點A′關于原點對稱，則點A'的坐標為 　 　．
【答案】（﹣3，2）．
【分析】根據兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點P（x，y）關于原點O的對稱點是P′（﹣x，﹣y），進而得出答案．
【解答】解：∵點A（3，﹣2）與點A′關于原點對稱，
∴點A′的坐標為（﹣3，2）．
故答案為：（﹣3，2）．
13．在平面直角坐標系中點P（﹣1，5）關于y軸對稱點的坐標為 　 　．
【答案】（1，5）．
【分析】根據關于y軸對稱點的坐標特點：橫坐標互為相反數，縱坐標不變，即點P（x，y）關于y軸的對稱點P′的坐標是（﹣x，y）．
【解答】解：在平面直角坐標系中點P（﹣1，5）關于y軸對稱點的坐標為（1，5）．
故答案為：（1，5）．
14．如圖，每個小正方形的邊長為1．
（1）畫出三角形ABC先向右平移4格，再向下平移1格后得到的三角形A'B'C'；
（2）求三角形ABC的面積．
【答案】（1）見解答；（2）8．
【分析】（1）將三個頂點分別向右平移4格，再向下平移1格得到其對應點，繼而首尾順次連接即可；
（2）用直角邊長為5和7的直角三角形的面積減去上底為1、下底為7、高為2和直角邊長為1和3的直角三角形的面積即可．
【解答】解：（1）如圖所示，△A′B′C′即為所求．
（2）三角形ABC的面積為5×7（1+7）×21×3＝8．
15．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞點B按順時針方向旋轉得到A′BC′，旋轉角為α（0°＜α＜360°），過點A作AE∥C′A′交直線CC′于點E，交AA′于點D．
（1）求證：ED＝C′D；
（2）若∠ABC＝60°，在△ABC繞點B旋轉過程中是否存在某個時刻，使得EC′＝AA′，如果存在，請直接寫出此時α的度數；如果不存在，說明理由．
【答案】（1）見解答；
（2）60°或240°．
【分析】（1）連接AE，AC'，根據旋轉的性質得出AE＝A′C′．證明四邊形AC′A′E是平行四邊形即可得證；
（2）由（1）問可知，四邊形AC′A′E為平行四邊形，當其為矩形時，可使對角線EC′＝AA′．在△ABC的旋轉過程中，當點C′在直線AB上時，可使∠AC'A'為直角，此時平行四邊形AC'A'E為矩形，求出此時對應的旋轉角α即可．
【解答】（1）證明：如圖，連接AE，AC'，
∵BC＝BC'，
∴∠C'CB＝∠CC'B，
∵∠ACB＝∠AC′B＝90°，∠EC′C＝180°，
∴∠ACC′＝∠ACB﹣∠C′CB＝90°﹣∠C′CB，
∠EC′A′＝∠EC′C﹣∠AC′B﹣∠CC′B＝180°﹣90°﹣∠CC′B＝90°﹣∠CC′B，
∴∠ACC′＝∠EC′A′，
∵AE∥C′A′，
∴∠EC′A′＝∠AED，
∴∠ACC′＝∠AED，
∴AC＝AE，
由旋轉的性質可得，AC＝A′C′，
∴AE＝A′C′．
∵AE∥C′A′，
∴四邊形AC′A′E是平行四邊形，
∴ED＝C′D．
（2）解：如圖，當點C′在線段AB上時，
∵∠AC′B＝90°，點C′在線段AB上，
∴∠AC′A′＝90°，
∵四邊形AC′A′E是平行四邊形，
∴四邊形AC′A′E是矩形，
∴EC′＝AA′，
∵∠ABC＝60°，
∴此時旋轉角α的度數為60°．
如圖，當點C′在線段AB的延長線上時，
∵∠AC′B＝90°，點C′在線段AB的延長線上，
∴∠AC′A′＝90°，
∵四邊形AC′A′E是平行四邊形，
∴ AC′A′E是矩形，
∴EC′＝AA′，
∵∠ABC＝60°，
∴∠CBC′＝120°，
：此時旋轉角α的度數為240°，
故存在，此時旋轉角α的度數為60°或240°．
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