資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
第五章 統(tǒng)計與概率
第二十二節(jié) 概率
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢
考點(diǎn)1 隨機(jī)事件的概率 ☆☆ 概率知識板塊應(yīng)扎實(shí)掌握概率與幾何、頻率估計概率、用樹狀圖或列表法求概率、游戲的公平性問題等內(nèi)容。在廣東省的中考中甚至是全國的中考里面，概率基本都是必考點(diǎn)，一般會有一道選擇題或者填空題，考查比較簡單的概率知識。同時會有一道解答題考查列表法或者使用列樹狀圖法來求概率，總體難度均不大，屬于考生易得分題，一輪復(fù)習(xí)注意加強(qiáng)圖文解讀，便可輕松獲得此部分的分值。
考點(diǎn)2 利用頻率估計概率 ☆☆
考點(diǎn)3 列表法或樹狀圖法求概率 ☆☆☆
考點(diǎn)1 隨機(jī)事件的概率
相關(guān)概念的定義與意義
確定事件 一定發(fā)生的事件是必然事件,概率為1.一定不會發(fā)生的事件是不可能事件,概率為0.
隨機(jī)事件 在一定條件下,可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件是隨機(jī)事件,它發(fā)生的概率介于0與1之間.
概率的定義 一個事件發(fā)生的可能性叫做該事件發(fā)生的概率,事件A發(fā)生的概率一般記為P(A).
概率的意義 一個事件發(fā)生的概率是一個確定的數(shù),它從數(shù)值上刻畫了一個隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小
概率的 計算公式 如果事件發(fā)生的各種結(jié)果的可能性相等且互相排斥,結(jié)果總數(shù)為n,事件A包含其中的結(jié)果數(shù)為m(m≤n),那么事件A發(fā)生的概率P(A)=m÷n
考點(diǎn)2 利用頻率估計概率
1.利用頻率估計概率
在同樣條件下，做大量的重復(fù)試驗(yàn)，利用一個隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到某個常數(shù)，可以估計這個事件發(fā)生的概率。
2.在統(tǒng)計學(xué)中，常用較為簡單的試驗(yàn)方法代替實(shí)際操作中復(fù)雜的試驗(yàn)來完成概率估計，這樣的試驗(yàn)稱為模擬實(shí)驗(yàn)。
3.隨機(jī)數(shù)
在隨機(jī)事件中，需要用大量重復(fù)試驗(yàn)產(chǎn)生一串隨機(jī)的數(shù)據(jù)來開展統(tǒng)計工作。把這些隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)稱為隨機(jī)數(shù)。
考點(diǎn)3 列表法或樹狀圖法求概率
1.列表法
用列出表格的方法來分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。
2.列表法的應(yīng)用
當(dāng)一次試驗(yàn)要設(shè)計兩個因素， 并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法。
3.樹狀圖法
就是通過列樹狀圖列出某事件的所有可能的結(jié)果，求出其概率的方法叫做樹狀圖法。
4.運(yùn)用樹狀圖法求概率的條件
當(dāng)一次試驗(yàn)要設(shè)計三個或更多的因素時，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹狀圖法求概率。
考點(diǎn)1 隨機(jī)事件的概率
◇例題
1．（2023 龍湖區(qū)校級三模）從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看，對以下成語及詩句中的事件判斷正確的是（　　）
A．成語“守株待兔”是隨機(jī)事件
B．成語“水中撈月”是隨機(jī)事件
C．詩句“清明時節(jié)雨紛紛”是必然事件
D．詩句“離離原上草，一歲一枯榮”是不可能事件
【分析】根據(jù)隨機(jī)事件，不可能事件，必然事件的特點(diǎn)，逐一判斷即可解答．
【解答】解：A、成語“守株待兔”是隨機(jī)事件，故A符合題意；
B、成語“水中撈月”是不可能事件，故B不符合題意；
C、詩句“清明時節(jié)雨紛紛”是隨機(jī)事件，故C不符合題意；
D、詩句“離離原上草，一歲一枯榮”是必然事件，故D不符合題意；
故選：A．
2．（2023 順德區(qū)三模）如圖是由6個全等的小正方形組成的圖案，假設(shè)可以隨意在圖中取一點(diǎn)，那么這個點(diǎn)取在陰影部分的概率是（　　）
A． B． C． D．1
【分析】根據(jù)陰影部分的面積所占比例得出概率即可．
【解答】解：由圖知，陰影部分的面積占圖案面積的＝，
即這個點(diǎn)取在陰影部分的概率是，
故選：B．
3．（2021 廣東模擬）擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，前9次都是反面朝上，則擲第10次時反面朝上的概率是　　．
【分析】投擲一枚硬幣，是一個隨機(jī)事件，可能出現(xiàn)的情況有兩種：反面朝上或者反面朝下，而且機(jī)會相同．
【解答】解：第10次擲硬幣，出現(xiàn)反面朝上的機(jī)會和朝下的機(jī)會相同，都為；
故答案為：．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 陽春市二模）下列事件中，屬于必然事件的是（　　）
A．拋擲硬幣時，正面朝上
B．經(jīng)過紅綠燈路口，遇到紅燈
C．明天太陽從東方升起
D．玩“石頭、剪刀、布”游戲時，對方出“剪刀”
【分析】根據(jù)隨機(jī)事件，必然事件，不可能事件的特點(diǎn)，逐一判斷即可解答．
【解答】解：A、拋擲硬幣時，正面朝上，是隨機(jī)事件，故A不符合題意；
B、經(jīng)過紅綠燈路口，遇到紅燈，是隨機(jī)事件，故B不符合題意；
C、明天太陽從東方升起，是必然事件，故C符合題意；
D、玩“石頭、剪刀、布”游戲時，對方出“剪刀”，是隨機(jī)事件，故D不符合題意；
故選：C．
2．（2023 東莞市一模）某校舉行演講比賽，計劃在九年級選取1名主持人，報名情況為：九（1）班有2人報名，九（2）班有4人報名，九（3）班有6人報名．若從這12名同學(xué)中隨機(jī)選取1名主持人，則九（1）班同學(xué)當(dāng)選的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】用一班的學(xué)生數(shù)除以所有報名學(xué)生數(shù)的和即可求得答案．
【解答】解：∵九（1）班有2人報名，九（2）班有4人報名，九（3）班有6人報名，
∴共有12名同學(xué)，
∵九（1）班有2名，
∴P＝＝；
故選：D．
3．（2023 南海區(qū)校級三模）一個小球在如圖所示的地板上自由滾動，并隨機(jī)停在某塊方磚上．如果每一塊方磚除顏色外完全相同，那么小球最終停留在黑磚上的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)幾何概率的求法：最終停留在黑色的方磚上的概率就是黑色區(qū)域的面積與總面積的比值．
【解答】解：觀察這個圖可知：黑色區(qū)域（5塊）的面積占總面積（9塊）的，
則它最終停留在黑磚上的概率是．
故選：C．
考點(diǎn)2 利用頻率估計概率
◇例題
（2023 東莞市校級二模）下表是某種幼苗在一定條件下移植后成活率的試驗(yàn)結(jié)果．
移植總數(shù)n 5 50 200 500 1000 3000
成活數(shù)m 4 45 188 476 951 2850
成活的頻率 0.8 0.9 0.94 0.952 0.951 0.95
則在相同條件下這種幼苗可成活的概率可估計為 　 ．
【答案】0.95．
【分析】概率是大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)的情況下，頻率的穩(wěn)定值可以作為概率的估計值，即次數(shù)越多的頻率越接近于概率．
【解答】解：概率是大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)的情況下，頻率的穩(wěn)定值可以作為概率的估計值，即次數(shù)越多的頻率越接近于概率，
∴這種幼苗可成活的概率可估計為0.95，
故答案為：0.95．
◆變式訓(xùn)練
1．（2024 深圳模擬）如圖，在由大小相同的小正方形組成的網(wǎng)格中有一條“心形線”．?dāng)?shù)學(xué)小組為了探究隨機(jī)投放一個點(diǎn)恰好落在“心形線”內(nèi)部的概率，進(jìn)行了計算機(jī)模擬試驗(yàn)，得到如下數(shù)據(jù)：
試驗(yàn)總次數(shù) 100 200 300 500 1500 2000 3000
落在“心形線”內(nèi)部的次數(shù) 61 93 165 246 759 996 1503
落在“心形線”內(nèi)部的頻率 0.610 0.465 0.550 0.492 0.506 0.498 0.501
根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，估計隨機(jī)投放一點(diǎn)落在“心形線”內(nèi)部的概率為（　　）
A．0.46 B．0.50 C．0.55 D．0.61
【答案】B
【分析】利用大量重復(fù)試驗(yàn)下事件發(fā)生的頻率可以估計該事件發(fā)生的概率直接回答即可．
【解答】解：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)逐漸增大時，落在“心形線”內(nèi)部的頻率穩(wěn)定在0.50附近，
則估計隨機(jī)投放一點(diǎn)落在“心形線”內(nèi)部的概率為0.50．
故選：B．
2．（2023 高州市校級二模）一個暗箱中放有a個除顏色外其他完全相同的球，這a個球中只有2個紅球，每次將球攪拌均勻后，任意摸出1個球記下顏色，再放回暗箱，通過大量重復(fù)試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在20%，那么可以估算a的值是（　　）
A．15 B．10 C．4 D．3
【答案】B
【分析】因?yàn)槌祟伾渌耆嗤那颍诿臅r候出現(xiàn)的機(jī)會是均等的，通過大量重復(fù)摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的可能性穩(wěn)定在20%，可知紅球占總球數(shù)大約就是20%，問題就轉(zhuǎn)化成了一個數(shù)的20%是2，求這個數(shù)，用除法計算即可．
【解答】解：根據(jù)題意得：
2÷20%＝10（個），
答：可以估算a的值是10；
故選：B．
3．（2023 南海區(qū)模擬）木箱里裝有僅顏色不同的8張紅色和若干張藍(lán)色卡片，隨機(jī)從木箱里摸出1張卡片記下顏色后再放回，經(jīng)過多次的重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸到藍(lán)色卡片的頻率穩(wěn)定在0.6附近，則估計木箱中藍(lán)色卡片有（　　）
A．18張 B．12張 C．6張 D．10張
【答案】B
【分析】根據(jù)藍(lán)色卡片的頻率可得摸到藍(lán)色卡片的概率，根據(jù)概率公式即可求出藍(lán)色卡片的數(shù)量．
【解答】解：設(shè)木箱中藍(lán)色卡片有x張，根據(jù)題意得：
0.6，
解得：x＝12，
經(jīng)檢驗(yàn)x＝12是原方程的解，
則估計木箱中藍(lán)色卡片有12張．
故選：B．
考點(diǎn)3 列表法或樹狀圖法求概率
◇例題
（2023 從化區(qū)一模）如圖所示，電路連接完好，且各元件工作正常．隨機(jī)閉合開關(guān)S1、S2、S3中的兩個，能讓兩個小燈泡同時發(fā)光的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與能讓兩個小燈泡同時發(fā)光的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：畫樹狀圖得：
∵共有6種等可能的結(jié)果，能讓兩個小燈泡同時發(fā)光的有2種情況，
∴能讓兩個小燈泡同時發(fā)光的概率為；
故選：C．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 禪城區(qū)校級一模）隨著信息化的發(fā)展，二維碼已經(jīng)走進(jìn)我們的日常生活，其圖案主要由黑、白兩種小正方形組成．現(xiàn)對由兩個小正方形組成的“”進(jìn)行涂色，每個小正方形隨機(jī)涂成黑色或白色，恰好是一個黑色小正方形和一個白色小正方形的概率為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】畫樹狀圖得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．
【解答】解：畫樹狀圖如下：
由樹狀圖知，共有4種等可能結(jié)果，其中恰好是一個黑色小正方形和一個白色小正方形的有2種結(jié)果，
所以恰好是一個黑色小正方形和一個白色小正方形的概率為，
故選：A．
2．（2023 深圳模擬）人類的性別是由一對性染色體（X，Y）決定，當(dāng)染色體為XX時，是女性；當(dāng)染色體為XY時，是男性．如圖為一對夫妻的性染色體遺傳圖譜，如果這位女士懷上了一個小孩，該小孩為女孩的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】畫樹狀圖，共有4種等可能的結(jié)果，其中該小孩為女孩的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：畫樹狀圖如下：
共有4種等可能的結(jié)果，其中該小孩為女孩的結(jié)果有2種，
∴該小孩為女孩的概率為，
故選：C．
3.．（2024 深圳模擬）深圳蘊(yùn)藏豐富的旅游文化資源．為促進(jìn)深港兩地學(xué)生交流，某校開展“美麗深圳，深港同行”主題活動，景點(diǎn)有三個：A．梧桐煙云，B．蓮花春早，C．梅沙踏浪．每位參加交流的學(xué)生都可以從中隨機(jī)選擇一個景點(diǎn)．
（1）參加此次交流活動的小軍選擇的景點(diǎn)為“梧桐煙云”的概率是 　；
（2）請用列表或畫樹狀圖的方法，求小明和小穎選擇的景點(diǎn)都是“蓮花春早”的概率．
【答案】（1）；
（2）小明和小穎選擇的景點(diǎn)都是“蓮花春早”的概率為．
【分析】（1）在A．梧桐煙云，B．蓮花春早，C．梅沙踏浪三個選項(xiàng)中，小軍選擇的景點(diǎn)為“梧桐煙云”的概率為，于是得到問題的答案；
（2）根據(jù)題意畫出樹狀圖，可知共有9種等可能的結(jié)果，而小明和小穎選擇的景點(diǎn)都是“蓮花春早”的結(jié)果有1種，則小明和小穎選擇的景點(diǎn)都是“蓮花春早”的概率為．
【解答】解：（1）∵有A．梧桐煙云，B．蓮花春早，C．梅沙踏浪三個選項(xiàng)，
∴小軍選擇的景點(diǎn)為“梧桐煙云”的概率為，
故答案為：．
（2）根據(jù)題意畫樹狀圖如圖所示，
共有9種等可能的結(jié)果，其中小明和小穎選擇的景點(diǎn)都是“蓮花春早”的結(jié)果有1種，
∴P（小明和小穎選擇的景點(diǎn)都是“蓮花春早”），
∴小明和小穎選擇的景點(diǎn)都是“蓮花春早”的概率為．
1．（2023 廣東）某學(xué)校開設(shè)了勞動教育課程．小明從感興趣的“種植”“烹飪”“陶藝”“木工”4門課程中隨機(jī)選擇一門學(xué)習(xí)，每門課程被選中的可能性相等．小明恰好選中“烹飪”的概率為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用概率公式可得答案．
【解答】解：∵共有“種植”“烹飪”“陶藝”“木工”4門興趣課程，
∴小明恰好選中“烹飪”的概率為．
故選：C．
2.（2021 廣東）同時擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)之和為7的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】畫樹狀圖，共有36種等可能的結(jié)果，其中兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)之和為7的結(jié)果有6種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：畫樹狀圖為：
共有36種等可能的結(jié)果，其中兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)之和為7的結(jié)果有6種，
∴兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)之和為7的概率為＝，
故選：B．
3．（2022 廣州）為了疫情防控，某小區(qū)需要從甲、乙、丙、丁4名志愿者中隨機(jī)抽取2名負(fù)責(zé)該小區(qū)入口處的測溫工作，則甲被抽中的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中甲被抽中的結(jié)果有6種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的結(jié)果，其中甲被抽中的結(jié)果有6種，
∴甲被抽中的概率為，
故選：A．
4．（2023 深圳）小明從《紅星照耀中國》，《紅巖》，《長征》，《鋼鐵是怎樣煉成的》四本書中隨機(jī)挑選一本，其中拿到《紅星照耀中國》這本書的概率為 　 ．
【答案】．
【分析】直接由概率公式求解即可．
【解答】解：小明從《紅星照耀中國》，《紅巖》，《長征》，《鋼鐵是怎樣煉成的》四本書中隨機(jī)挑選一本，拿到《紅星照耀中國》這本書的概率為，
故答案為：．
5．（2023 廣州）甲、乙兩位同學(xué)相約打乒乓球．
（1）有款式完全相同的4個乒乓球拍（分別記為A，B，C，D），若甲先從中隨機(jī)選取1個，乙再從余下的球拍中隨機(jī)選取1個，求乙選中球拍C的概率；
（2）雙方約定：兩人各投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，如果兩枚硬幣全部正面向上或全部反面向上，那么甲先發(fā)球，否則乙先發(fā)球．這個約定是否公平？為什么？
【答案】（1）；
（2）公平，理由見解答．
【分析】（1）用列表法或畫樹狀圖法列舉出所有等可能的結(jié)果，再用乙選中球拍C的結(jié)果數(shù)除以總的結(jié)果數(shù)即可；
（2）分別求出甲先發(fā)球和乙先發(fā)球的概率，再比較大小，如果概率相同則公平，否則不公平．
【解答】解：（1）畫樹狀圖如下：
一共有12種等可能的結(jié)果，其中乙選中球拍C有3種可能的結(jié)果，
∴P（乙選中球拍C）；
（2）公平．理由如下：
畫樹狀圖如下：
一共有4種等可能的結(jié)果，其中兩枚硬幣全部正面向上或全部反面向上有2種可能的結(jié)果，
∴P（甲先發(fā)球），
P（乙先發(fā)球），
∵P（甲先發(fā)球）＝P（乙先發(fā)球），
∴這個約定公平．
6.（2019 廣東）為了解某校九年級全體男生1000米跑步的成績，隨機(jī)抽取了部分男生進(jìn)行測試，并將測試成績分為A、B、C、D四個等級，繪制如下不完整的統(tǒng)計圖表，如圖表所示，根據(jù)圖表信息解答下列問題：
成績等級頻數(shù)分布表
成績等級 頻數(shù)
A 24
B 10
C x
D 2
合計 y
（1）x＝　 　，y＝　 　，扇形圖中表示C的圓心角的度數(shù)為　 度；
（2）甲、乙、丙是A等級中的三名學(xué)生，學(xué)校決定從這三名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名介紹體育鍛煉經(jīng)驗(yàn)，用列表法或畫樹狀圖法，求同時抽到甲，乙兩名學(xué)生的概率．
【分析】（1）隨機(jī)抽取男生人數(shù)：10÷25%＝40（名），即y＝40；C等級人數(shù)：40﹣24﹣10﹣2＝4（名），即x＝4；扇形圖中表示C的圓心角的度數(shù)360°×＝36°；
（2）先畫樹狀圖，然后求得P（同時抽到甲，乙兩名學(xué)生）＝＝．
【解答】（1）隨機(jī)抽取男生人數(shù)：10÷25%＝40（名），即y＝40；
C等級人數(shù)：40﹣24﹣10﹣2＝4（名），即x＝4；
扇形圖中表示C的圓心角的度數(shù)360°×＝36°．
故答案為4，40，36；
（2）畫樹狀圖如下：
P（同時抽到甲，乙兩名學(xué)生）＝＝．
1．下列事件中，屬于隨機(jī)事件的是（　　）
A．零下15℃的天氣，狂風(fēng)暴雨
B．直角三角形的兩銳角互余
C．射擊運(yùn)動員射擊一次，命中9環(huán)
D．實(shí)心鐵球漂浮在水面上
【答案】C
【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可．
【解答】解：A、“零下15℃的天氣，狂風(fēng)暴雨”是不可能事件，不符合題意；
B、“直角三角形的兩銳角互余”是必然事件，不符合題意；
C、“射擊運(yùn)動員射擊一次，命中9環(huán)”是隨機(jī)事件，符合題意；
D、“實(shí)心鐵球漂浮在水面上”是不可能事件，不符合題意；
故選：C．
2．“明天是晴天”這個事件是（　　）
A．確定事件 B．不可能事件
C．必然事件 D．隨機(jī)事件
【答案】D
【分析】在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機(jī)事件．
【解答】解：“明天是晴天”這個事件是隨機(jī)事件，屬于不確定事件，
故選：D．
3．袋子里有4個球，標(biāo)有2，3，4，5，先抽取一個并記住，放回，然后再抽取一個，所抽取的兩個球數(shù)字之和大于6的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與抽取的兩個球數(shù)字之和大于6的情況，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：畫樹狀圖得：
∵共有16種等可能的結(jié)果，抽取的兩個球數(shù)字之和大于6的有10種情況，
∴抽取的兩個球數(shù)字之和大于6的概率是：，
故選：B．
4．下列事件中屬于不可能事件的是（　　）
A．投擲一枚骰子，朝上的點(diǎn)數(shù)為3
B．13個人中有兩個人生日在同一個月份
C．從只裝有紅球和白球的袋子中摸出黑球
D．兩點(diǎn)之間，線段最短
【答案】C
【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可．
【解答】解：A、投擲一枚骰子，朝上的點(diǎn)數(shù)為3是隨機(jī)事件，不符合題意；
B、13個人中有兩個人生日在同一個月份是必然事件，不符合題意；
C、從只裝有紅球和白球的袋子中摸出黑球是不可能事件，符合題意；
D、兩點(diǎn)之間，線段最短是必然事件，不符合題意；
故選：C．
5．某大型生鮮超市購進(jìn)一批草莓，在運(yùn)輸、儲存過程中部分草莓損壞（不能出售），超市工作人員從所有草莓中隨機(jī)抽取了若干進(jìn)行“草莓損壞率”統(tǒng)計，并把獲得的數(shù)據(jù)記錄如下表：
草莓總質(zhì)量n/斤 20 50 100 200 500
損壞草莓質(zhì)量m/斤 3.12 7.7 15.2 29.8 74.5
草莓損壞的頻率 0.156 0.154 0.152 0.149 0.149
根據(jù)表中數(shù)據(jù)可以估計，這批草莓的損壞率為 　 　．（結(jié)果保留兩位小數(shù)）
【答案】0.15．
【分析】根據(jù)利用頻率估計概率得到隨抽取次數(shù)的增多，草莓損壞率越來越穩(wěn)定在0.15左右，由此可估計草莓的損壞率大約是0.15．
【解答】解：根據(jù)表中的損壞的頻率，當(dāng)抽取次數(shù)的增多時，草莓損壞的頻率越來越穩(wěn)定在0.15左右，所以可估計草莓損壞率大約是0.15．
故答案為：0.15．
6．剪紙，又叫刻紙，是一種鏤空藝術(shù)，是中國漢民族最古老的民間藝術(shù)之一，其在視覺上給人以鏤空的感覺和藝術(shù)享受．小芳從下面4幅剪紙中任取出一幅，選到的剪紙恰好是軸對稱圖形的概率是 　．
【答案】．
【分析】先判斷軸對稱圖形的數(shù)量，再利用概率公式計算即可．
【解答】解：四個圖形中第2個，第3個，第4個圖形是軸對稱圖形，
∴選到的剪紙恰好是軸對稱圖形的概率是，
故答案為：．
13．為了落實(shí)“雙減”精神，弘揚(yáng)非遺（非物質(zhì)文化遺產(chǎn)）傳統(tǒng)文化，某校在課外興趣班中擬開展如下活動：A（瑞昌剪紙）、B（瑞昌竹編）、C（九江山歌）、D（德安潘公戲）．小明和小涵隨機(jī)報名參加其中的一項(xiàng)興趣活動．
（1）“小明參加九江山歌興趣活動”這一事件是 　 　；（請將正確答案的序號填寫在橫線上）
①必然事件；②不可能事件；③隨機(jī)事件；
（2）請用列表或畫樹狀圖的方法，求小明和小涵參加的興趣活動都是瑞昌的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的概率．
【答案】（1）③；
（2）．
【分析】（1）根據(jù)必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的定義判斷填空即可；
（2）用列表法或樹狀圖法列舉出所有等可能的結(jié)果，從中找出小明和小涵參加的興趣活動都是瑞昌的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的可能結(jié)果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
【解答】解：（1）∵小明參加四項(xiàng)活動時隨機(jī)的，
∴“小明參加九江山歌興趣活動”這一事件是隨機(jī)事件，
故答案為：③；
（2）根據(jù)題意，列表如下：
小涵 小明 A B C D
A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D）
B （B．A） （B，B） （B，C） （B，D）
c （C．A） （C．B） （C．C） （C．D）
D （D，A） （D．B） （D．C） （D．D）
由表可知，共16種等可能的情況，其中小明和小涵參加的興趣活動都是瑞昌的非物
質(zhì)文化遺產(chǎn)的有4種．
∴P（小明和小涵參加的興趣活動都是瑞昌的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)）．
13．某校服生產(chǎn)廠對一批冬裝校服的質(zhì)量進(jìn)行檢測，隨機(jī)抽取了500套校服，其中合格的有475套．
（1）從這批校服中任意抽取一套是合格品的概率的估計值是 　 　．（結(jié)果精確到0.01）
（2）若這批冬裝校服有8000套，請估計其中合格的有多少套？
【答案】（1）0.95；
（2）該廠估計其中合格的有7600套．
【分析】（1）用抽查中合格的套數(shù)除以隨機(jī)抽取的總套數(shù)即可得出從這批校服中隨機(jī)抽取一套的合格概率；
（2）利用樣本合格率估計總體即可．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得0.95，
答：從這批校服中任意抽取一套是合格品的概率的估計值是0.95；
故答案為：0.95；
（2）根據(jù)題意得：
8000×0.95＝7600（套），
答：該廠估計其中合格的有7600套．
14．在春節(jié)來臨之際，某商場開展“慶新年”有獎酬賓活動：一次性購物滿198元，均可得到一次在不透明的紙盒里抽獎的機(jī)會，抽獎規(guī)則如下：抽獎?wù)邚脑摷埡兄幸来蚊鰞蓚€球（不放回）．已知該紙盒里裝有3個紅球和2個白球，它們除顏色外其它都相同．
（1）當(dāng)抽獎?wù)邚脑摷埡兄忻龅谝粋€球時，抽到紅球的概率是多少？
（2）該商場支持“在線支付”和“現(xiàn)金支付”兩種付款方式，根據(jù)抽獎?wù)叩母犊罘绞胶颓虻念伾珱Q定贈送相應(yīng)券值的禮金券．（如表）
在線支付：
球 兩紅 一紅一白 兩白
禮金券/元 5 10 5
現(xiàn)金支付：
球 兩紅 一紅一白 兩白
禮金券/元 10 5 10
如果一個顧客當(dāng)天在該商場一次性購物200元，他很想獲得10元的禮金券，你推薦他采用哪種支付方式？并說明理由．
【答案】（1）．
（2）選擇在線支付．
【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及抽到兩個紅球的結(jié)果數(shù)、抽到一個紅球一個白球的結(jié)果數(shù)、抽到兩個白球的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可求出采用在線支付獲得10元的禮金券的概率和采用現(xiàn)金支付獲得10元的禮金券的概率，進(jìn)而可得結(jié)論．
【解答】解：（1）由題意得，當(dāng)抽獎?wù)邚脑摷埡兄忻龅谝粋€球時，抽到紅球的概率是．
（2）列表如下：
紅 紅 紅 白 白
紅 （紅，紅） （紅，紅） （紅，白） （紅，白）
紅 （紅，紅） （紅，紅） （紅，白） （紅，白）
紅 （紅，紅） （紅，紅） （紅，白） （紅，白）
白 （白，紅） （白，紅） （白，紅） （白，白）
白 （白，紅） （白，紅） （白，紅） （白，白）
共有20種等可能的結(jié)果，其中抽到兩個紅球的結(jié)果有6種，抽到一個紅球一個白球的結(jié)果有12種，抽到兩個白球的結(jié)果有2種，
∴采用在線支付獲得10元的禮金券的概率為，采用現(xiàn)金支付獲得10元的禮金券的概率為．
∵，
∴選擇在線支付．
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第五章 統(tǒng)計與概率
第二十二節(jié) 概率
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢
考點(diǎn)1 隨機(jī)事件的概率 ☆☆ 概率知識板塊應(yīng)扎實(shí)掌握概率與幾何、頻率估計概率、用樹狀圖或列表法求概率、游戲的公平性問題等內(nèi)容。在廣東省的中考中甚至是全國的中考里面，概率基本都是必考點(diǎn)，一般會有一道選擇題或者填空題，考查比較簡單的概率知識。同時會有一道解答題考查列表法或者使用列樹狀圖法來求概率，總體難度均不大，屬于考生易得分題，一輪復(fù)習(xí)注意加強(qiáng)圖文解讀，便可輕松獲得此部分的分值。
考點(diǎn)2 利用頻率估計概率 ☆☆
考點(diǎn)3 列表法或樹狀圖法求概率 ☆☆☆
考點(diǎn)1 隨機(jī)事件的概率相關(guān)概念的定義與意義
確定事件 一定發(fā)生的事件是_____事件,概率為1.一定不會發(fā)生的事件是_____事件,概率為0.
隨機(jī)事件 在一定條件下,可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件是_____事件,它發(fā)生的概率介于0與1之間.
概率的定義 一個事件發(fā)生的可能性叫做該事件發(fā)生的概率,事件A發(fā)生的概率一般記為P(A).
概率的意義 一個事件發(fā)生的概率是一個確定的數(shù),它從數(shù)值上刻畫了一個隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小
概率的 計算公式 如果事件發(fā)生的各種結(jié)果的可能性相等且互相排斥,結(jié)果總數(shù)為n,事件A包含其中的結(jié)果數(shù)為m(m≤n),那么事件A發(fā)生的概率P(A)=m÷n
考點(diǎn)2 利用頻率估計概率
1.利用頻率估計概率
在同樣條件下，做大量的重復(fù)試驗(yàn)，利用一個隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到某個常數(shù)，可以估計這個事件發(fā)生的概率。
2.在統(tǒng)計學(xué)中，常用較為簡單的試驗(yàn)方法代替實(shí)際操作中復(fù)雜的試驗(yàn)來完成概率估計，這樣的試驗(yàn)稱為模擬實(shí)驗(yàn)。
3.隨機(jī)數(shù)
在隨機(jī)事件中，需要用大量重復(fù)試驗(yàn)產(chǎn)生一串隨機(jī)的數(shù)據(jù)來開展統(tǒng)計工作。把這些隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)稱為隨機(jī)數(shù)。
考點(diǎn)3 列表法或樹狀圖法求概率
1.列表法
用列出表格的方法來分析和求解某些事件的概率的方法叫做_____法。
2.列表法的應(yīng)用
當(dāng)一次試驗(yàn)要設(shè)計兩個因素， 并且可能出現(xiàn)的結(jié)果_____時，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法。
3.樹狀圖法
就是通過列樹狀圖列出某事件的所有_____的結(jié)果，求出其概率的方法叫做樹狀圖法。
4.運(yùn)用樹狀圖法求概率的條件
當(dāng)一次試驗(yàn)要設(shè)計三個或更多的因素時，用列表法就不方便了，為了_____地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹狀圖法求概率。
考點(diǎn)1 隨機(jī)事件的概率
◇例題
1．（2023 龍湖區(qū)校級三模）從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看，對以下成語及詩句中的事件判斷正確的是（　　）
A．成語“守株待兔”是隨機(jī)事件
B．成語“水中撈月”是隨機(jī)事件
C．詩句“清明時節(jié)雨紛紛”是必然事件
D．詩句“離離原上草，一歲一枯榮”是不可能事件
2．（2023 順德區(qū)三模）如圖是由6個全等的小正方形組成的圖案，假設(shè)可以隨意在圖中取一點(diǎn)，那么這個點(diǎn)取在陰影部分的概率是（　　）
A． B． C． D．1
3．（2021 廣東模擬）擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，前9次都是反面朝上，則擲第10次時反面朝上的概率是　　．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 陽春市二模）下列事件中，屬于必然事件的是（　　）
A．拋擲硬幣時，正面朝上 B．經(jīng)過紅綠燈路口，遇到紅燈
C．明天太陽從東方升起 D．玩“石頭、剪刀、布”游戲時，對方出“剪刀”
2．（2023 東莞市一模）某校舉行演講比賽，計劃在九年級選取1名主持人，報名情況為：九（1）班有2人報名，九（2）班有4人報名，九（3）班有6人報名．若從這12名同學(xué)中隨機(jī)選取1名主持人，則九（1）班同學(xué)當(dāng)選的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023 南海區(qū)校級三模）一個小球在如圖所示的地板上自由滾動，并隨機(jī)停在某塊方磚上．如果每一塊方磚除顏色外完全相同，那么小球最終停留在黑磚上的概率是（　　）
A． B． C． D．
考點(diǎn)2 利用頻率估計概率
◇例題
（2023 東莞市校級二模）下表是某種幼苗在一定條件下移植后成活率的試驗(yàn)結(jié)果．
移植總數(shù)n 5 50 200 500 1000 3000
成活數(shù)m 4 45 188 476 951 2850
成活的頻率 0.8 0.9 0.94 0.952 0.951 0.95
則在相同條件下這種幼苗可成活的概率可估計為 　 ．
◆變式訓(xùn)練
1．（2024 深圳模擬）如圖，在由大小相同的小正方形組成的網(wǎng)格中有一條“心形線”．?dāng)?shù)學(xué)小組為了探究隨機(jī)投放一個點(diǎn)恰好落在“心形線”內(nèi)部的概率，進(jìn)行了計算機(jī)模擬試驗(yàn)，得到如下數(shù)據(jù)：
試驗(yàn)總次數(shù) 100 200 300 500 1500 2000 3000
落在“心形線”內(nèi)部的次數(shù) 61 93 165 246 759 996 1503
落在“心形線”內(nèi)部的頻率 0.610 0.465 0.550 0.492 0.506 0.498 0.501
根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，估計隨機(jī)投放一點(diǎn)落在“心形線”內(nèi)部的概率為（　　）
A．0.46 B．0.50 C．0.55 D．0.61
2．（2023 高州市校級二模）一個暗箱中放有a個除顏色外其他完全相同的球，這a個球中只有2個紅球，每次將球攪拌均勻后，任意摸出1個球記下顏色，再放回暗箱，通過大量重復(fù)試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在20%，那么可以估算a的值是（　　）
A．15 B．10 C．4 D．3
3．（2023 南海區(qū)模擬）木箱里裝有僅顏色不同的8張紅色和若干張藍(lán)色卡片，隨機(jī)從木箱里摸出1張卡片記下顏色后再放回，經(jīng)過多次的重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸到藍(lán)色卡片的頻率穩(wěn)定在0.6附近，則估計木箱中藍(lán)色卡片有（　　）
A．18張 B．12張 C．6張 D．10張
考點(diǎn)3 列表法或樹狀圖法求概率
◇例題
（2023 從化區(qū)一模）如圖所示，電路連接完好，且各元件工作正常．隨機(jī)閉合開關(guān)S1、S2、S3中的兩個，能讓兩個小燈泡同時發(fā)光的概率是（　　）
A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 禪城區(qū)校級一模）隨著信息化的發(fā)展，二維碼已經(jīng)走進(jìn)我們的日常生活，其圖案主要由黑、白兩種小正方形組成．現(xiàn)對由兩個小正方形組成的“”進(jìn)行涂色，每個小正方形隨機(jī)涂成黑色或白色，恰好是一個黑色小正方形和一個白色小正方形的概率為（　　）
A． B． C． D．
2．（2023 深圳模擬）人類的性別是由一對性染色體（X，Y）決定，當(dāng)染色體為XX時，是女性；當(dāng)染色體為XY時，是男性．如圖為一對夫妻的性染色體遺傳圖譜，如果這位女士懷上了一個小孩，該小孩為女孩的概率是（　　）
A． B． C． D．
3.．（2024 深圳模擬）深圳蘊(yùn)藏豐富的旅游文化資源．為促進(jìn)深港兩地學(xué)生交流，某校開展“美麗深圳，深港同行”主題活動，景點(diǎn)有三個：A．梧桐煙云，B．蓮花春早，C．梅沙踏浪．每位參加交流的學(xué)生都可以從中隨機(jī)選擇一個景點(diǎn)．
（1）參加此次交流活動的小軍選擇的景點(diǎn)為“梧桐煙云”的概率是 　；
（2）請用列表或畫樹狀圖的方法，求小明和小穎選擇的景點(diǎn)都是“蓮花春早”的概率．
1．（2023 廣東）某學(xué)校開設(shè)了勞動教育課程．小明從感興趣的“種植”“烹飪”“陶藝”“木工”4門課程中隨機(jī)選擇一門學(xué)習(xí)，每門課程被選中的可能性相等．小明恰好選中“烹飪”的概率為（　　）
A． B． C． D．
2.（2021 廣東）同時擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)之和為7的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．（2022 廣州）為了疫情防控，某小區(qū)需要從甲、乙、丙、丁4名志愿者中隨機(jī)抽取2名負(fù)責(zé)該小區(qū)入口處的測溫工作，則甲被抽中的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023 深圳）小明從《紅星照耀中國》，《紅巖》，《長征》，《鋼鐵是怎樣煉成的》四本書中隨機(jī)挑選一本，其中拿到《紅星照耀中國》這本書的概率為 　 ．
5．（2023 廣州）甲、乙兩位同學(xué)相約打乒乓球．
（1）有款式完全相同的4個乒乓球拍（分別記為A，B，C，D），若甲先從中隨機(jī)選取1個，乙再從余下的球拍中隨機(jī)選取1個，求乙選中球拍C的概率；
（2）雙方約定：兩人各投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，如果兩枚硬幣全部正面向上或全部反面向上，那么甲先發(fā)球，否則乙先發(fā)球．這個約定是否公平？為什么？
6.（2019 廣東）為了解某校九年級全體男生1000米跑步的成績，隨機(jī)抽取了部分男生進(jìn)行測試，并將測試成績分為A、B、C、D四個等級，繪制如下不完整的統(tǒng)計圖表，如圖表所示，根據(jù)圖表信息解答下列問題：
成績等級頻數(shù)分布表
成績等級 頻數(shù)
A 24
B 10
C x
D 2
合計 y
（1）x＝　 　，y＝　 　，扇形圖中表示C的圓心角的度數(shù)為　 度；
（2）甲、乙、丙是A等級中的三名學(xué)生，學(xué)校決定從這三名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名介紹體育鍛煉經(jīng)驗(yàn)，用列表法或畫樹狀圖法，求同時抽到甲，乙兩名學(xué)生的概率．
1．下列事件中，屬于隨機(jī)事件的是（　　）
A．零下15℃的天氣，狂風(fēng)暴雨
B．直角三角形的兩銳角互余
C．射擊運(yùn)動員射擊一次，命中9環(huán)
D．實(shí)心鐵球漂浮在水面上
2．“明天是晴天”這個事件是（　　）
A．確定事件 B．不可能事件
C．必然事件 D．隨機(jī)事件
3．袋子里有4個球，標(biāo)有2，3，4，5，先抽取一個并記住，放回，然后再抽取一個，所抽取的兩個球數(shù)字之和大于6的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．下列事件中屬于不可能事件的是（　　）
A．投擲一枚骰子，朝上的點(diǎn)數(shù)為3 B．13個人中有兩個人生日在同一個月份
C．從只裝有紅球和白球的袋子中摸出黑球 D．兩點(diǎn)之間，線段最短
5．某大型生鮮超市購進(jìn)一批草莓，在運(yùn)輸、儲存過程中部分草莓損壞（不能出售），超市工作人員從所有草莓中隨機(jī)抽取了若干進(jìn)行“草莓損壞率”統(tǒng)計，并把獲得的數(shù)據(jù)記錄如下表：
草莓總質(zhì)量n/斤 20 50 100 200 500
損壞草莓質(zhì)量m/斤 3.12 7.7 15.2 29.8 74.5
草莓損壞的頻率 0.156 0.154 0.152 0.149 0.149
根據(jù)表中數(shù)據(jù)可以估計，這批草莓的損壞率為 　 　．（結(jié)果保留兩位小數(shù)）
6．剪紙，又叫刻紙，是一種鏤空藝術(shù)，是中國漢民族最古老的民間藝術(shù)之一，其在視覺上給人以鏤空的感覺和藝術(shù)享受．小芳從下面4幅剪紙中任取出一幅，選到的剪紙恰好是軸對稱圖形的概率是 　．
13．為了落實(shí)“雙減”精神，弘揚(yáng)非遺（非物質(zhì)文化遺產(chǎn)）傳統(tǒng)文化，某校在課外興趣班中擬開展如下活動：A（瑞昌剪紙）、B（瑞昌竹編）、C（九江山歌）、D（德安潘公戲）．小明和小涵隨機(jī)報名參加其中的一項(xiàng)興趣活動．
（1）“小明參加九江山歌興趣活動”這一事件是 　 　；（請將正確答案的序號填寫在橫線上）
①必然事件；②不可能事件；③隨機(jī)事件；
（2）請用列表或畫樹狀圖的方法，求小明和小涵參加的興趣活動都是瑞昌的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的概率．
13．某校服生產(chǎn)廠對一批冬裝校服的質(zhì)量進(jìn)行檢測，隨機(jī)抽取了500套校服，其中合格的有475套．
（1）從這批校服中任意抽取一套是合格品的概率的估計值是 　 　．（結(jié)果精確到0.01）
（2）若這批冬裝校服有8000套，請估計其中合格的有多少套？
14．在春節(jié)來臨之際，某商場開展“慶新年”有獎酬賓活動：一次性購物滿198元，均可得到一次在不透明的紙盒里抽獎的機(jī)會，抽獎規(guī)則如下：抽獎?wù)邚脑摷埡兄幸来蚊鰞蓚€球（不放回）．已知該紙盒里裝有3個紅球和2個白球，它們除顏色外其它都相同．
（1）當(dāng)抽獎?wù)邚脑摷埡兄忻龅谝粋€球時，抽到紅球的概率是多少？
（2）該商場支持“在線支付”和“現(xiàn)金支付”兩種付款方式，根據(jù)抽獎?wù)叩母犊罘绞胶颓虻念伾珱Q定贈送相應(yīng)券值的禮金券．（如表）
在線支付：
球 兩紅 一紅一白 兩白
禮金券/元 5 10 5
現(xiàn)金支付：
球 兩紅 一紅一白 兩白
禮金券/元 10 5 10
如果一個顧客當(dāng)天在該商場一次性購物200元，他很想獲得10元的禮金券，你推薦他采用哪種支付方式？并說明理由．
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