資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第四章 圖形的性質
第二十節 圖形的相似
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1：比例線段與相似圖形 ☆ 此部分內容在廣東中考常以綜合題形式來體現知識，作為初中幾何部分的一個重要內容，很多涉及幾何的試題都需要借助相似的性質解決，其知識內容主要包括：平行線分線段分成比例，相似圖形，相似三角形的性質和判定，圖形的位似以及相似三角形的實際應用。在廣東中考中，像平行線分線段分成比例、圖形的位似和相似三角形的性質等一些基礎知識都可能會以選擇題和填空題的形式進行單獨考查，內容形式單一簡單，縱觀廣東中考還是多與其他幾何知識相結合進行運用考查，在綜合題中一般難度較大，需要多掌握解答技巧和解題模型。
考點2：相似三角形 ☆☆☆
考點3：圖形的位似 ☆☆
考點1：比例線段與相似圖形
1. 比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比______，如a:b=c:d，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．
（1）若a:b=c:d ，則ad=bc；（d也叫第四比例項）
（2）若a:b=b:c ，則b2=ac（b稱為a、c的比例中項）．
2．相似圖形：在數學上，我們把形狀______的圖形稱為相似圖形(similar figures).
(1) 相似圖形就是指形狀相同，但______不一定相同的圖形；
(2) “全等”是“相似”的一種特殊情況，即當“形狀相同”且“大小相同”時，兩個圖形全等.
3.相似多邊形
各角分別______，各邊成______的兩個多邊形，它們的形狀相同，稱為相似多邊形．
（1）相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質．
（2）相似多邊形對應邊的比稱為相似比.
考點2：相似三角形
1.相似三角形的判定:
（1）平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似.
（2）兩角分別______的兩個三角形相似.
要判定兩個三角形是否相似，只需找到這兩個三角形的兩個對應角相等即可，對于直角三角形而言，若有一個銳角對應相等，那么這兩個三角形相似.
（3）兩邊______夾角______的兩個三角形相似.
此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個三角形相似，應用時必須注意這個角必須是兩邊的夾角，否則，判斷的結果可能是錯誤的.
（4）三邊成______的兩個三角形相似.
2.相似三角形的性質：
（1）相似三角形的對應角______，對應邊的比______；
（2）相似三角形對應高，對應中線，對應角平分線的比都等于______；
（3）相似三角形周長的比等于______；
（4）相似三角形面積的比等于相似比的______.
3.相似多邊形的性質：
（1）相似多邊形的對應角______，對應邊的比______．
（2）相似多邊形的周長比等于______．
（3）相似多邊形的面積比等于相似比的______．
考點3：圖形的位似
1．定義：如果兩個圖形不僅是相似圖形而且每組對應點的連線交于一點，對應邊互相平行（或在同一條直線上），那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似______，相似比叫做______．
2．性質：
（1）在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或–k；
（2）位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比或相似比．
3．找位似中心的方法：將兩個圖形的各組對應點連接起來，若它們的直線或延長線相交于一點，則該點即是位似中心．
4．畫位似圖形的步驟：
（1）確定位似中心；
（2）確定原圖形的關鍵點；
（3）確定位似比，即要將圖形放大或縮小的倍數；
（4）作出原圖形中各關鍵點的對應點；
考點1 比例線段與相似圖形
◇例題
1.（2023 茂南區二模）任意下列兩個圖形不一定相似的是（　　）
A．正方形 B．等腰直角三角形
C．矩形 D．等邊三角形
2.（2023 禪城區校級三模）如圖，AD∥BE∥CF，點B，E分別在AC，DF上，AB＝2，DE＝BC＝3，則EF長為（　　）
A．4 B．2 C． D．
3.（2023 霞山區校級一模）已知，則　 　．
4.（2023 福田區校級二模）黃金分割廣泛存在于藝術、自然、建筑等領域，例如，楓葉的葉脈蘊含著黃金分割．如圖，B為AC的黃金分割點（AB＞BC），如圖AC長度為15cm，則AB的長度約有________cm．（黃金分割率為0.618）
◆變式訓練
1．（2023 南海區校級模擬）已知2a＝3b（ab≠0），則下列各式正確的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023 深圳模擬）某品牌20寸的行李箱拉桿拉開后放置如圖所示，經測量該行李箱從輪子底部到箱子上沿的高度AB與從輪子底部到拉桿頂部的高度CD之比是黃金比（約等于0.618）．已知CD＝80cm，則AB約是（　　）
A．30cm B．49cm C．55cm D．129cm
3．（2023 東莞市校級一模）如圖，直線l1∥l2∥l3，分別交直線m、n于點A、B、C、D、E、F．若AB：BC＝5：3，DE＝15，則EF的長為（　　）
A．6 B．9 C．10 D．25
4．（2022 中山市三模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，連接AC，以對角線AC為邊，按逆時針方向作矩形ACC1B1，使矩形ACC1B1∽矩形ADCB；再連接AC1，以對角線AC1為邊，按逆時針方向作矩形AC1C2B2，使矩形AC1C2B2∽矩形ACC1B1，…，按照此規律作下去，則邊AC2022的長為（　　）
A． B．
C． D．
5．（2022 南海區一模）四條線段a，b，c，d成比例，其中b＝3cm，c＝2cm，d＝8cm，則a的長為 　　．
6．（2022 龍崗區一模）四條線段a、b、c、d成比例，其中a＝1cm、b＝3cm、c＝3cm，則線段d=___cm．
7．（2024 深圳模擬）已知5a＝2b，則a：b＝　 　．
考點2 相似三角形
◇例題
1.（2023 汕頭二模）若兩個相似三角形的周長之比是1：2，則它們的面積之比是（　　）
A．1：2 B．1： C．2：1 D．1：4
2.（2023 南海區校級模擬）已知BD是平行四邊形ABCD的對角線，E是AB上一點，連接EC，交BD于點F，若△BEF與△DCF的面積比是1：9，則的值為（　　）
A． B． C． D．
3.（2023 高州市校級二模）如圖，有一塊直角邊AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的鐵片，現要把它加工成一個正方形（加工中的損耗忽略不計），則正方形的邊長為（　　）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2023 蓬江區一模）如圖，在△ABC中，D是AB邊上的點，∠B＝∠ACD，AC：AB＝1：2，則△ADC與△ABC的面積比是（　　）
A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4
2．（2023 東莞市校級二模）如圖，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四邊形BDEC＝1：3，BC，則DE的長為（　　）
A． B． C． D．
3．（2023 天河區校級三模）如圖，正方形MNPQ內接于△ABC，點M、N在BC上點P、Q分別在AC和AB邊上，且BC邊上的高AD＝6，BC＝12，則正方形MNPQ的邊長為（　　）
A．6 B．5 C．3 D．4
4．（2023 南海區校級模擬）如圖，身高1.6米的小慧同學從一盞路燈下的B處向前走了8米到達點C處時，發現自己在地面上的影子CE的長是2米，則路燈AB的高為（　　）
A．5米 B．6.4米 C．8米 D．10米
考點3 圖形的位似
◇例題
1.（2023 仁化縣二模）如圖，以點O為位似中心，作四邊形ABCD的位似圖形A'B'C'D'，已知 ，若四邊形ABCD的面積是2，則四邊形A'B'C'D'的面積是（　　）
A．4 B．6 C．16 D．18
◆變式訓練
1．（2023 南海區校級一模）如圖，△ABC和△DEF是以點O為位似中心的位似圖形，OA：AD＝2：3，△ABC的周長為8，則△DEF的周長為（　　）
A．12 B．18 C．20 D．50
2．（2023 茂南區校級模擬）如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，點O是位似中心，若OA：OD＝1：3，△ABC的面積為3，則△DEF的面積為（　　）
A．6 B．9 C．12 D．27
3．（2023 順德區校級三模）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC與△A'B'C'位似，且原點O為位似中心，其位似比為1：2，若點B（﹣4，﹣2），則其對應點B'的坐標為（　　）
A．（2，8） B．（8，2） C．（4，8） D．（8，4）
1．（2023 廣東）我國著名數學家華羅庚曾為普及優選法作出重要貢獻．優選法中有一種0.618法應用了（　　）
A．黃金分割數 B．平均數
C．眾數 D．中位數
2．（2023 廣東）邊長分別為10，6，4的三個正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如圖），則圖中陰影部分的面積為 　　．
3．（2020 深圳）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，∠ABC＝∠DAC＝90°，tan∠ACB，，則　 　．
4．（2023 廣州）如圖，AC是菱形ABCD的對角線．
（1）尺規作圖：將△ABC繞點A逆時針旋轉得到△ADE，點B旋轉后的對應點為D（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在（1）所作的圖中，連接BD，CE．
①求證：△ABD～△ACE；
②若tan∠BAC，求cos∠DCE的值．
5．（2021 深圳）在正方形ABCD中，等腰直角△AEF，∠AFE＝90°，連接CE，H為CE中點，連接BH、BF、HF，發現和∠HBF為定值．
（1）①　 ；
②∠HBF＝　 　；
③小明為了證明①②，連接AC交BD于O，連接OH，證明了和的關系，請你按他的思路證明①②．
（2）小明又用三個相似三角形（兩個大三角形全等）擺出如圖2，k，∠BDA＝∠EAF＝θ（0°＜θ＜90°）．
求①　 ；（用k的代數式表示）
②　 　．（用k、θ的代數式表示）
6．（2020 深圳）背景：一次小組合作探究課上，小明將兩個正方形按如圖所示的位置擺放（點E、A、D在同一條直線上），發現BE＝DG且BE⊥DG．
小組討論后，提出了下列三個問題，請你幫助解答：
（1）將正方形AEFG繞點A按逆時針方向旋轉（如圖1），還能得到BE＝DG嗎？若能，請給出證明；若不能，請說明理由；
（2）把背景中的正方形分別改成菱形AEFG和菱形ABCD，將菱形AEFG繞點A按順時針方向旋轉（如圖2），試問當∠EAG與∠BAD的大小滿足怎樣的關系時，背景中的結論BE＝DG仍成立？請說明理由；
（3）把背景中的正方形分別改寫成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE＝4，AB＝8，將矩形AEFG繞點A按順時針方向旋轉（如圖3），連接DE，BG．小組發現：在旋轉過程中，DE2+BG2的值是定值，請求出這個定值．
1．如圖，AD∥BE∥CF，直線l1，l2與這三條平行線分別交于點A，B，C和點D，E，F．已知AB＝DE，BC＝4，則EF的長為（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
2．下列各組的四條線段成比例的是（　　）
A．1cm、2cm、3cm、4cm B．2cm、4cm、6cm、8cm
C．5cm、30cm、10cm、15cm D．5cm、20cm、10cm、15cm
3．若，則（　　）
A． B． C．7 D．﹣7
4．如圖所示，王華晚上在路燈下散步，已知王華的身高AB＝1.6米，燈柱的高OP＝O'P'＝4.8米，兩燈柱之間的距離OO'＝10米，王華在兩路燈之間行走時（O、A、O'三點在一條直線上），則他身子前后的兩個影子之和DC的長為（　　）米．
A．6 B．5 C．4 D．3
5．如圖，四邊形ABCD和四邊形A′B′C′D′是以點O為位似中心的位似圖形，若OA：OA′＝2：3，四邊形ABCD的面積等于4，則四邊形A′B′C′D′的面積為（　　）
A．3 B．4 C．6 D．9
6．若點C是線段AB的黃金分割點，且AB＝2（AC＞BC），則AC＝　 ．（保留根號）
7．△ABC與△DEF是以原點O為位似中心的位似圖形，且△ABC與△DEF的相似比是2：1，則點C（6，8）的對應點F的坐標為 　 　．
8．如圖①是用杠桿撬石頭的示意圖，當用力壓杠桿時，杠桿繞著支點轉動，另一端會向上撬起，石頭就被撬動了．在圖②中，杠桿的D端被向上撬起的距離BD＝9cm，動力臂OA與阻力臂OB滿足OA＝3OB（AB與CD相交于點O），要把這塊石頭撬起，至少要將杠桿的C點向下壓 　cm．
9．如圖，N是線段AB上一點，AC⊥AB，BD⊥AB，NM⊥AB，聯結CM并延長交AB于點P，聯結DM并延長交AB于點Q．已知AB＝4，AC＝3，BD＝2，MN＝1，PN＝1.2，那么QN＝　 　．
10．如圖，已知AB∥CD∥EF，它們依次交直線l1，l2，l3于點A、C、E和點B、D、F，若AC：CE＝2：3，BF＝9，求DF的長．
11．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為A（﹣1，2），B（﹣4，3），C（﹣3，1）．
（1）以點B為位似中心，在點B的下方畫出△A1BC1，使△A1BC1與△ABC位似，且相似比為2：1；
（2）畫出△A2B1C2，使得它與△ABC關于點O中心對稱，并寫出C2的坐標．
12．如圖，在梯形ABCD中AD∥BC，點F，E分別在線段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD．
（1）求證：DE＝AF；
（2）若∠ABC＝∠CDE，求證：AF2＝BF CE．
13．如圖，在菱形ABCD中，∠B＝120°，E為BC邊上一動點（點E不與B，C重合），連接AE，將線段AE繞點E順時針旋轉120°得到線段FE，連接AC，AF，AF交CD邊于點H，設，．
【嘗試初探】
（1）如圖1，求證：△ABC∽△AEF；
【深入探究】
（2）如圖2，連接CF，當x＝1時，探究得出y的值為1，請寫出證明過程；
【聯系拓展】
（3）結合（2）的探究經驗，從特殊到一般，最后得出y與x之間滿足的關系式為．請根據該關系式，解決下列問題：連接EH，若AB＝12，當△EHF為等腰三角形時，求BE的長．
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第四章 圖形的性質
第二十節 圖形的相似
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1：比例線段與相似圖形 ☆ 此部分內容在廣東中考常以綜合題形式來體現知識，作為初中幾何部分的一個重要內容，很多涉及幾何的試題都需要借助相似的性質解決，其知識內容主要包括：平行線分線段分成比例，相似圖形，相似三角形的性質和判定，圖形的位似以及相似三角形的實際應用。在廣東中考中，像平行線分線段分成比例、圖形的位似和相似三角形的性質等一些基礎知識都可能會以選擇題和填空題的形式進行單獨考查，內容形式單一簡單，縱觀廣東中考還是多與其他幾何知識相結合進行運用考查，在綜合題中一般難度較大，需要多掌握解答技巧和解題模型。
考點2：相似三角形 ☆☆☆
考點3：圖形的位似 ☆☆
考點1：比例線段與相似圖形
1. 比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．
（1）若a:b=c:d ，則ad=bc；（d也叫第四比例項）
（2）若a:b=b:c ，則b2=ac（b稱為a、c的比例中項）．
2．相似圖形：在數學上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形(similar figures).
(1) 相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；
(2) “全等”是“相似”的一種特殊情況，即當“形狀相同”且“大小相同”時，兩個圖形全等.
3.相似多邊形
各角分別相等，各邊成比例的兩個多邊形，它們的形狀相同，稱為相似多邊形．
（1）相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質．
（2）相似多邊形對應邊的比稱為相似比.
考點2：相似三角形
1.相似三角形的判定:
（1）平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似.
（2）兩角分別相等的兩個三角形相似.
要判定兩個三角形是否相似，只需找到這兩個三角形的兩個對應角相等即可，對于直角三角形而言，若有一個銳角對應相等，那么這兩個三角形相似.
（3）兩邊成比例夾角相等的兩個三角形相似.
此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個三角形相似，應用時必須注意這個角必須是兩邊的夾角，否則，判斷的結果可能是錯誤的.
（4）三邊成比例的兩個三角形相似.
2.相似三角形的性質：
（1）相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等；
（2）相似三角形對應高，對應中線，對應角平分線的比都等于相似比；
（3）相似三角形周長的比等于相似比；
（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方.
3.相似多邊形的性質：
（1）相似多邊形的對應角相等，對應邊的比相等．
（2）相似多邊形的周長比等于相似比．
（3）相似多邊形的面積比等于相似比的平方．
考點3：圖形的位似
1．定義：如果兩個圖形不僅是相似圖形而且每組對應點的連線交于一點，對應邊互相平行（或在同一條直線上），那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，相似比叫做位似比．
2．性質：
（1）在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或–k；
（2）位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比或相似比．
3．找位似中心的方法：將兩個圖形的各組對應點連接起來，若它們的直線或延長線相交于一點，則該點即是位似中心．
4．畫位似圖形的步驟：
（1）確定位似中心；
（2）確定原圖形的關鍵點；
（3）確定位似比，即要將圖形放大或縮小的倍數；
（4）作出原圖形中各關鍵點的對應點；
考點1 比例線段與相似圖形
◇例題
1.（2023 茂南區二模）任意下列兩個圖形不一定相似的是（　　）
A．正方形 B．等腰直角三角形
C．矩形 D．等邊三角形
【答案】C
【分析】相似圖形的定義：形狀相同的兩個圖形是相似形；如果各角分別相等、各邊對應成比例的兩個多邊形是相似多邊形；根據這兩個定義即可判斷得解．
【解答】解：A、因為任意兩個正方形的對應邊成比例，對應角相等，是相似圖形，所以A不符合題意
B、因為任意兩個等腰直角三角形的對應邊成比例，對應角相等，是相似圖形，所以B不符合題意；
C、因為任意兩個矩形的對應邊不一定成比例，對應角相等，不是相似圖形，所以C符合題意；
D、因為任意兩個等邊三角形的對應邊成比例，對應角相等，是相似圖形，所以D不符合題意；
故選：C．
2.（2023 禪城區校級三模）如圖，AD∥BE∥CF，點B，E分別在AC，DF上，AB＝2，DE＝BC＝3，則EF長為（　　）
A．4 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根據平行線分線段成比例列出比例式，代入計算即可．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴，
∵AB＝2，DE＝BC＝3，
∴，
解得：EF，
故選：D．
3.（2023 霞山區校級一模）已知，則　 　．
【答案】見試題解答內容
【分析】利用設k法，進行計算即可解答．
【解答】解：∵，
∴設a＝3k，b＝5k，
∴4，
故答案為：4．
4.（2023 福田區校級二模）黃金分割廣泛存在于藝術、自然、建筑等領域，例如，楓葉的葉脈蘊含著黃金分割．如圖，B為AC的黃金分割點（AB＞BC），如圖AC長度為15cm，則AB的長度約有________cm．（黃金分割率為0.618）
【答案】9.27．
【分析】根據黃金分割的定義可知：，由此求解即可．
【解答】解：∵B為AC的黃金分割點，AB＞BC，AC＝15cm，
∴，
∴AB＝0.618 AC＝9.27（cm）．
故答案為：9.27．
◆變式訓練
1．（2023 南海區校級模擬）已知2a＝3b（ab≠0），則下列各式正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據比例的性質，即可求解．
【解答】解：∵2a＝3b（ab≠0），
∴，故A選項錯誤，不符合題意；
C選項正確，符合題意；
，故B、D選項錯誤，不符合題意．
故選：C．
2．（2023 深圳模擬）某品牌20寸的行李箱拉桿拉開后放置如圖所示，經測量該行李箱從輪子底部到箱子上沿的高度AB與從輪子底部到拉桿頂部的高度CD之比是黃金比（約等于0.618）．已知CD＝80cm，則AB約是（　　）
A．30cm B．49cm C．55cm D．129cm
【答案】B
【分析】根據圖形和題目中的數據，可以得到0.618，然后計算即可．
【解答】解：由題意可得，
0.618，
解得AB≈49，
故選：B．
3．（2023 東莞市校級一模）如圖，直線l1∥l2∥l3，分別交直線m、n于點A、B、C、D、E、F．若AB：BC＝5：3，DE＝15，則EF的長為（　　）
A．6 B．9 C．10 D．25
【答案】B
【分析】根據平行線分線段成比例定理列出比例式，代入計算得到答案．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，DE＝15，
∴，即，
解得，EF＝9，
故選：B．
4．（2022 中山市三模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，連接AC，以對角線AC為邊，按逆時針方向作矩形ACC1B1，使矩形ACC1B1∽矩形ADCB；再連接AC1，以對角線AC1為邊，按逆時針方向作矩形AC1C2B2，使矩形AC1C2B2∽矩形ACC1B1，…，按照此規律作下去，則邊AC2022的長為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據已知和矩形的性質可分別求得AC，利用相似多邊形的性質可發現規律，根據規律即可解決問題．
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD⊥DC，
∴AC，
∵按逆時針方向作矩形ABCD的相似矩形ACC1B1，
∴矩形ACC1B1的邊長和矩形ABCD的相似比為：2，
∴矩形ACC1B1的對角線和矩形ABCD的對角線的比：2，
∵矩形ABCD的對角線為，
∴矩形AB1C1C的對角線AC1，
依此類推，矩形AB2C2C1的對角線和矩形AB1C1C的對角線的比為：2，
∴矩形AB2C2C1的對角線AC2，
∴矩形AB3C3C2的對角線AC3（）3
按此規律第n個矩形的對角線A n（）n，
∴AC2022的長為（）2022，
故選：A．
5．（2022 南海區一模）四條線段a，b，c，d成比例，其中b＝3cm，c＝2cm，d＝8cm，則a的長為 　　．
【答案】cm．
【分析】由四條線段a、b、c、d成比例，根據比例線段的定義，即可得，又由b＝3cm，c＝2cm，d＝8cm，即可求得a的值．
【解答】解：∵四條線段a、b、c、d成比例，
∴，
∵b＝3cm，c＝2cm，d＝8cm，
∴，
解得：a．
故答案為：cm．
6．（2022 龍崗區一模）四條線段a、b、c、d成比例，其中a＝1cm、b＝3cm、c＝3cm，則線段d=___cm．
【答案】9．
【分析】如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．根據定義ad＝cb，將a，b及c的值代入即可求得d．
【解答】解：∵a，b，c，d是成比例線段，
∴ad＝cb，
∵a＝1cm，b＝3cm、c＝3cm，
∴d＝9，
則d＝9cm．
故答案為：9．
7．（2024 深圳模擬）已知5a＝2b，則a：b＝　 　．
【答案】見試題解答內容
【分析】依據比例的性質進行變形即可．
【解答】解：∵5a＝2b，
∴a：b＝2：5．
故答案為：2：5．
考點2 相似三角形
◇例題
1.（2023 汕頭二模）若兩個相似三角形的周長之比是1：2，則它們的面積之比是（　　）
A．1：2 B．1： C．2：1 D．1：4
【答案】D
【分析】根據相似三角形周長的比等于相似比、相似三角形面積的比等于相似比的平方解答即可．
【解答】解：∵兩個相似三角形的周長之比是1：2，
∴兩個相似三角形的相似比是1：2，
∴它們的面積之比是：1：4，
故選：D．
2.（2023 南海區校級模擬）已知BD是平行四邊形ABCD的對角線，E是AB上一點，連接EC，交BD于點F，若△BEF與△DCF的面積比是1：9，則的值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先畫出幾何圖形，再根據平行四邊形的性質得到AB∥CD，AB＝DC，接著證明△BEF∽△DCF，則根據相似三角形的性質得（）2，然后計算出的值，從而得到的值．
【解答】解：如圖，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB∥CD，AB＝DC，
∴△BEF∽△DCF，
∴（）2，
∴，
∴．
故選：A．
3.（2023 高州市校級二模）如圖，有一塊直角邊AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的鐵片，現要把它加工成一個正方形（加工中的損耗忽略不計），則正方形的邊長為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】過點B作BP⊥AC，垂足為P，BP交DE于Q，三角形的面積公式求出BP的長度，由相似三角形的判定定理得出△BDE∽△BAC，設邊長DE＝x，根據相似三角形的對應邊成比例求出x的長度可得．
【解答】解：如圖，過點B作BP⊥AC，垂足為P，BP交DE于Q．
∵S△ABC AB BC AC BP，
∴BP．
∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴．
設DE＝x，則有：，
解得x，
故選：D．
◆變式訓練
1．（2023 蓬江區一模）如圖，在△ABC中，D是AB邊上的點，∠B＝∠ACD，AC：AB＝1：2，則△ADC與△ABC的面積比是（　　）
A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4
【答案】D
【分析】根據相似三角形的周長之比等于相似比可以解答本題．
【解答】解：∵∠B＝∠ACD，∠CAD＝∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
故選：D．
2．（2023 東莞市校級二模）如圖，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四邊形BDEC＝1：3，BC，則DE的長為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用相似三角形的性質求解即可．
【解答】解：∵S△ABC：S四邊形BDEC＝1：3，
∴S△ABC：S△ADE＝1：4，
∵△ABC∽△ADE，
∴，
∴或（不符合題意，舍去）
∵，
∴．
故選：B．
3．（2023 天河區校級三模）如圖，正方形MNPQ內接于△ABC，點M、N在BC上點P、Q分別在AC和AB邊上，且BC邊上的高AD＝6，BC＝12，則正方形MNPQ的邊長為（　　）
A．6 B．5 C．3 D．4
【答案】D
【分析】通過證明△AQP∽△ABC，可得，即可求解．
【解答】解：設正方形MNPQ的邊長為x，
∵QP∥MN，
∴△AQP∽△ABC，
∴，
∴，
∴x＝4，
∴正方形MNPQ的邊長為4，
故選：D．
4．（2023 南海區校級模擬）如圖，身高1.6米的小慧同學從一盞路燈下的B處向前走了8米到達點C處時，發現自己在地面上的影子CE的長是2米，則路燈AB的高為（　　）
A．5米 B．6.4米 C．8米 D．10米
【答案】C
【分析】根據CD∥AB，得出△ECD∽△EBA，進而得出比例式求出即可．
【解答】解：由題意知，CE＝2米，CD＝1.6米，BC＝8米，CD∥AB，
則BE＝BC+CE＝10米，
∵CD∥AB，
∴△ECD∽△EBA
∴，即，
解得AB＝8，
即路燈的高AB為8米；
故選：C．
考點3 圖形的位似
◇例題
1.（2023 仁化縣二模）如圖，以點O為位似中心，作四邊形ABCD的位似圖形A'B'C'D'，已知 ，若四邊形ABCD的面積是2，則四邊形A'B'C'D'的面積是（　　）
A．4 B．6 C．16 D．18
【答案】D
【分析】先利用位似的性質得到，則四邊形A'B'C'D'與四邊形ABCD相似比為3，然后根據相似多邊形面積的比等于相似比的平方求解．
【解答】解：∵四邊形A'B'C'D'是四邊形ABCD關于O點為位似中心的位似圖形，
∴，
∴四邊形A'B'C'D'與四邊形ABCD相似比為3，
∴四邊形A'B'C'D'的面積＝9四邊形ABCD的面積＝9×2＝18．
故選：D．
◆變式訓練
1．（2023 南海區校級一模）如圖，△ABC和△DEF是以點O為位似中心的位似圖形，OA：AD＝2：3，△ABC的周長為8，則△DEF的周長為（　　）
A．12 B．18 C．20 D．50
【答案】C
【分析】先根據位似的性質得到△ABC與△DEF的位似比為OA：AD，再利用比例性質得到OA：OD＝2：5，然后利用相似三角形的性質即可求出答案．
【解答】解：∵△ABC與△DEF是位似圖形，點O為位似中心，
∴，
且△ABC∽△DEF，
∵OA：AD＝2：3，
∴，
又△ABC∽△DEF，
∴C△ABC：C△DEF＝AC：DF＝2：5，
∵△ABC的周長為8，
∴△DEF的周長為20．
故選：C．
2．（2023 茂南區校級模擬）如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，點O是位似中心，若OA：OD＝1：3，△ABC的面積為3，則△DEF的面積為（　　）
A．6 B．9 C．12 D．27
【答案】D
【分析】根據位似圖形的概念得到AB∥DE，證明△OAB∽△ODE，根據相似三角形的性質得到，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方計算即可．
【解答】解：∵△ABC與△DEF是位似圖形，
∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，
∴△OAB∽△ODE，
∴，
∴（）2，
∵△ABC的面積為3，
∴△DEF的面積為27，
故選：D．
3．（2023 順德區校級三模）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC與△A'B'C'位似，且原點O為位似中心，其位似比為1：2，若點B（﹣4，﹣2），則其對應點B'的坐標為（　　）
A．（2，8） B．（8，2） C．（4，8） D．（8，4）
【答案】D
【分析】根據位似變換的性質計算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC與△A'B'C'位似，且原點O為位似中心，其位似比為1：2，點B（﹣4，﹣2），
∴點B的對應點B'的坐標為[﹣4×（﹣2），﹣2×（﹣2）]，即（8，4），
故選：D．
4．（2023 禪城區三模）如圖，以點O為位似中心，作四邊形ABCD的位似圖形A′B′C′D′，已知，若四邊形ABCD的面積是2，則四邊形A′B′C′D′的面積是（　　）
A．3 B．6 C．9 D．18
【答案】D
【分析】根據位似圖形的概念得到四邊形ABCD∽四邊形A′B′C′D′，AB∥A′B′，證明△OAB∽△OA′B′，求出，根據相似多邊形的性質計算即可．
【解答】解：∵四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′是位似圖形，
∴四邊形ABCD∽四邊形A′B′C′D′，AB∥A′B′，
∴△OAB∽△OA′B′，
∴，
∴四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′的面積比為1：9，
∵四邊形ABCD的面積是2，
∴四邊形A′B′C′D′的面積是18，
故選：D．
1．（2023 廣東）我國著名數學家華羅庚曾為普及優選法作出重要貢獻．優選法中有一種0.618法應用了（　　）
A．黃金分割數 B．平均數
C．眾數 D．中位數
【答案】A
【分析】根據黃金分割的定義，即可解答．
【解答】解：我國著名數學家華羅庚曾為普及優選法作出重要貢獻．優選法中有一種0.618法應用了黃金分割數，
故選：A．
2．（2023 廣東）邊長分別為10，6，4的三個正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如圖），則圖中陰影部分的面積為 　　．
【答案】15．
【分析】根據相似三角形的性質，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面積公式計算即可．
【解答】解：如圖，
∵BF∥DE，
∴△ABF∽△ADE，
∴，
∵AB＝4，AD＝4+6+10＝20，DE＝10，
∴，
∴BF＝2，
∴GF＝6﹣2＝4，
∵CK∥DE，
∴△ACK∽△ADE，
∴，
∵AC＝4+6＝10，AD＝20，DE＝10，
∴，
∴CK＝5，
∴HK＝6﹣5＝1，
∴陰影梯形的面積（HK+GF） GH
（1+4）×6
＝15．
故答案為：15．
3．（2020 深圳）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，∠ABC＝∠DAC＝90°，tan∠ACB，，則　 　．
【答案】．
【分析】通過作輔助線，得到△ABC∽△ANM，△OBC∽△ODM，△ABC∽△DAN，進而得出對應邊成比例，再根據tan∠ACB，，得出對應邊之間關系，設BC＝4a，表示AB、DN、NA，BN，進而表示三角形的面積，求出三角形的面積比即可．
【解答】解：如圖，過點D作DM∥BC，交CA的延長線于點M，延長BA交DM于點N，
∵DM∥BC，
∴△ABC∽△ANM，△OBC∽△ODM，
∴tan∠ACB，，
又∵∠ABC＝∠DAC＝90°，
∴∠BAC+∠NAD＝90°，
∵∠BAC+∠BCA＝90°，
∴∠NAD＝∠BCA，
∴△ABC∽△DAN，
∴，
設BC＝4a，
由得，DM＝3a，
∴AB＝2a，DNa，ANa，
∴NB＝AB+AN＝2aaa，
∴．
故答案為：．
4．（2023 廣州）如圖，AC是菱形ABCD的對角線．
（1）尺規作圖：將△ABC繞點A逆時針旋轉得到△ADE，點B旋轉后的對應點為D（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在（1）所作的圖中，連接BD，CE．
①求證：△ABD～△ACE；
②若tan∠BAC，求cos∠DCE的值．
【答案】（1）作法、證明見解答；
（2）①證明見解答；
②cos∠DCE的值是．
【分析】（1）由菱形的性質可知AD＝AB，將△ABC繞點A逆時針旋轉得到△ADE，也就是以AD為一邊在菱形ABCD外作一個三角形與△ABC全等，第三個頂點E的作法是：以點D為圓心，BC長為半徑作弧，再以點A為圓心，AC長為半徑作弧，交前弧于點E；
（2）①由旋轉得AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，則，∠BAD＝∠CAE，即可根據“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”證明△ABD∽△ACE；
②延長AD交CE于點F，可證明△ABC≌△ADC，得∠BAC＝∠DAC，而∠BAC＝∠DAE，所以∠DAE＝∠DAC，由等腰三角形的“三線合一”得AD⊥CE，則∠CFD＝90°，設CF＝m，CD＝AD＝x，則tan∠DAC＝tan∠BAC，所以AF＝3m，DF＝3m﹣x，由勾股定理得m2+（3m﹣x）2＝x2，求得CD＝xm，則cos∠DCE．
【解答】解：（1）如圖1，作法：1．以點D為圓心，BC長為半徑作弧，
2．以點A為圓心，AC長為半徑作弧，交前弧于點E，
3．連接DE、AE，
△ADE就是所求的圖形．
證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，
∵DE＝BC，AE＝AC，
∴△ADE≌△ABC（SSS），
∴△ADE就是△ABC繞點A逆時針旋轉得到圖形．
（2）①如圖2，由旋轉得AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴，∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE．
②如圖2，延長AD交CE于點F，
∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC＝∠DAC，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠DAC，
∵AE＝AC，
∴AD⊥CE，
∴∠CFD＝90°，
設CF＝m，CD＝AD＝x，
∵tan∠DAC＝tan∠BAC，
∴AF＝3CF＝3m，
∴DF＝3m﹣x，
∵CF2+DF2＝CD2，
∴m2+（3m﹣x）2＝x2，
∴解關于x的方程得xm，
∴CDm，
∴cos∠DCE，
∴cos∠DCE的值是．
5．（2021 深圳）在正方形ABCD中，等腰直角△AEF，∠AFE＝90°，連接CE，H為CE中點，連接BH、BF、HF，發現和∠HBF為定值．
（1）①　 ；
②∠HBF＝　 　；
③小明為了證明①②，連接AC交BD于O，連接OH，證明了和的關系，請你按他的思路證明①②．
（2）小明又用三個相似三角形（兩個大三角形全等）擺出如圖2，k，∠BDA＝∠EAF＝θ（0°＜θ＜90°）．
求①　 ；（用k的代數式表示）
②　 　．（用k、θ的代數式表示）
【答案】（1）①；②45°；③見解答過程；（2）①；②．
【分析】（1）由△AEF和△ABO都是等腰直角三角形可證△BOH∽△BAF，從而得到對應邊成比例，對應角相等，進行轉化即可；
（2）將等腰直角三角形換成兩個相似三角形，仍然有△DOH∽△DAF，從而得出①，作HM⊥DF于M，由①得，設FD＝2t，HD＝kt，通過勾股定理表示出HM、MF、HF的長即可得出②．
【解答】解：①；②45°；
③由正方形的性質得：，O為AC的中點，
又∵H為CE的中點，
∴OH∥AE，OH，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AE，
∴，
∵OH∥AE，
∴∠COH＝∠CAE，
∴∠BOH＝∠BAF，
∴△BOH∽△BAF，
∴，
∴∠HBF＝∠HBO+∠DBF＝∠DBA＝45°；
（2）①如圖2，連接AC交BD于點O，連接OH，
由（1）中③問同理可證：△DOH∽△DAF，
∴，
②由①知：△DOH∽△DAF，
∴∠HDO＝∠FDA，
∴∠HDF＝∠BDA＝θ，
在△HDF中，，
設DF＝2t，HD＝kt，
作HM⊥DF于M，
∴HM＝DH×sinθ＝ktsinθ，DM＝ktcosθ，
∴MF＝DF﹣DM＝（2﹣kcosθ）t，
在Rt△HMF中，由勾股定理得：
HF，
∴．
6．（2020 深圳）背景：一次小組合作探究課上，小明將兩個正方形按如圖所示的位置擺放（點E、A、D在同一條直線上），發現BE＝DG且BE⊥DG．
小組討論后，提出了下列三個問題，請你幫助解答：
（1）將正方形AEFG繞點A按逆時針方向旋轉（如圖1），還能得到BE＝DG嗎？若能，請給出證明；若不能，請說明理由；
（2）把背景中的正方形分別改成菱形AEFG和菱形ABCD，將菱形AEFG繞點A按順時針方向旋轉（如圖2），試問當∠EAG與∠BAD的大小滿足怎樣的關系時，背景中的結論BE＝DG仍成立？請說明理由；
（3）把背景中的正方形分別改寫成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE＝4，AB＝8，將矩形AEFG繞點A按順時針方向旋轉（如圖3），連接DE，BG．小組發現：在旋轉過程中，DE2+BG2的值是定值，請求出這個定值．
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）由正方形的性質得出AE＝AF，∠EAG＝90°，AB＝AD，∠BAD＝90°，得出∠EAB＝∠GAD，證明△AEB≌△AGD（SAS），則可得出結論；
（2）由菱形的性質得出AE＝AG，AB＝AD，證明△AEB≌△AGD（SAS），由全等三角形的性質可得出結論；
（3）方法一：過點E作EM⊥DA，交DA的延長線于點M，過點G作GN⊥AB交AB于點N，求出AG＝6，AD＝12，證明△AME∽△ANG，設EM＝2a，AM＝2b，則GN＝3a，AN＝3b，則BN＝8﹣3b，可得出答案；
方法二：證明△EAB∽△GAD，得出∠BEA＝∠AGD，則A，E，G，Q四點共圓，得出∠GQP＝∠PAE＝90°，連接EG，BD，由勾股定理可求出答案．
【解答】（1）證明：∵四邊形AEFG為正方形，
∴AE＝AG，∠EAG＝90°，
又∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠EAB＝∠GAD，
∴△AEB≌△AGD（SAS），
∴BE＝DG；
（2）當∠EAG＝∠BAD時，BE＝DG，
理由如下：
∵∠EAG＝∠BAD，
∴∠EAB＝∠GAD，
又∵四邊形AEFG和四邊形ABCD為菱形，
∴AE＝AG，AB＝AD，
∴△AEB≌△AGD（SAS），
∴BE＝DG；
（3）解：方法一：過點E作EM⊥DA，交DA的延長線于點M，
過點G作GN⊥AB交AB于點N，
由題意知，AE＝4，AB＝8，
∵，
∴AG＝6，AD＝12，
∵∠EMA＝∠ANG，∠MAE＝∠GAN，
∴△AME∽△ANG，
設EM＝2a，AM＝2b，則GN＝3a，AN＝3b，則BN＝8﹣3b，
∴ED2＝（2a）2+（12+2b）2＝4a2+144+48b+4b2，
GB2＝（3a）2+（8﹣3b）2＝9a2+64﹣48b+9b2，
∴ED2+GB2＝13（a2+b2）+208＝13×4+208＝260．
方法二：如圖2，設BE與DG交于Q，BE與AG交于點P，
∵，AE＝4，AB＝8
∴AG＝6，AD＝12．
∵四邊形AEFG和四邊形ABCD為矩形，
∴∠EAG＝∠BAD，
∴∠EAB＝∠GAD，
∵，
∴△EAB∽△GAD，
∴∠BEA＝∠AGD，
∴A，E，G，Q四點共圓，
∴∠GQP＝∠PAE＝90°，
∴GD⊥EB，
連接EG，BD，
∴ED2+GB2＝EQ2+QD2+GQ2+QB2＝EG2+BD2，
∴EG2+BD2＝42+62+82+122＝260．
1．如圖，AD∥BE∥CF，直線l1，l2與這三條平行線分別交于點A，B，C和點D，E，F．已知AB＝DE，BC＝4，則EF的長為（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】A
【分析】由AD∥BE∥CF，利用平行線分線段成比例，可得出，再結合AB＝DE，BC＝4，即可求出EF的長．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴，
又∵AB＝DE，BC＝4，
∴EF＝BC＝4．
故選：A．
2．下列各組的四條線段成比例的是（　　）
A．1cm、2cm、3cm、4cm B．2cm、4cm、6cm、8cm
C．5cm、30cm、10cm、15cm D．5cm、20cm、10cm、15cm
【答案】C
【分析】根據比例線段的概念，讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等即可得出答案．
【解答】解：A.2×3≠1×4，故本選項錯誤；
B.2×8≠4×6，故本選項錯誤；
C.5×30＝10×15，故本選項正確；
D.20×5≠10×15，故本選項錯誤；
故選：C．
3．若，則（　　）
A． B． C．7 D．﹣7
【答案】B
【分析】根據已知條件得出ab，再代入要求的式子進行計算，即可得出答案．
【解答】解：∵，
∴ab，
∴．
故選：B．
4．如圖所示，王華晚上在路燈下散步，已知王華的身高AB＝1.6米，燈柱的高OP＝O'P'＝4.8米，兩燈柱之間的距離OO'＝10米，王華在兩路燈之間行走時（O、A、O'三點在一條直線上），則他身子前后的兩個影子之和DC的長為（　　）米．
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【分析】利用AB∥OP可判斷△CAB∽△COP，則，所以CACO，同理方法得到DADO′，所以CD＝CA+DA（CO+DO′），即3CD＝CO+DO′，然后把DO′用CD+CO′代換，從而可求出CD的長．
【解答】解：∵AB∥OP，
∴△CAB∽△COP，
∴，
∴CACO，
同理可得DADO′，
∴CD＝CA+DA（CO+DO′），
∴3CD＝CO+DO′，
即3CD＝OC+CD+CO′＝CD+OO′，
∵OO′＝10米，
∴3CD＝CD+10，
解得CD＝5（米）．
故選：B．
5．如圖，四邊形ABCD和四邊形A′B′C′D′是以點O為位似中心的位似圖形，若OA：OA′＝2：3，四邊形ABCD的面積等于4，則四邊形A′B′C′D′的面積為（　　）
A．3 B．4 C．6 D．9
【答案】D
【分析】利用位似的性質得到AD：A′D′＝OA：OA′＝2：3，再利用相似多邊形的性質得到四邊形A′B′C′D′的面積．
【解答】解：∵四邊形ABCD和四邊形A′B′C′D′是以點O為位似中心的位似圖形，
∴AD：A′D′＝OA：OA′＝2：3，
∴四邊形ABCD的面積：四邊形A′B′C′D′的面積＝4：9，
而四邊形ABCD的面積等于4，
∴四邊形A′B′C′D′的面積為9．
故選：D．
6．若點C是線段AB的黃金分割點，且AB＝2（AC＞BC），則AC＝　 ．（保留根號）
【答案】1．
【分析】把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項，叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．根據黃金分割的定義得到ACAB，然后把AB的長代入計算即可．
【解答】解：∵點C是線段AB的黃金分割點，且AB＝2（AC＞BC），
∴ACAB21，
故答案為：1．
7．△ABC與△DEF是以原點O為位似中心的位似圖形，且△ABC與△DEF的相似比是2：1，則點C（6，8）的對應點F的坐標為 　 　．
【答案】見試題解答內容
【分析】根據位似變換的性質解答即可．
【解答】解：∵△ABC與△DEF是以原點O為位似中心的位似圖形，相似比是2：1，點C（6，8），
∴點C的對應點F的坐標為（6，8）或（6×（），8×（）），即（3，4）或（﹣3，﹣4），
故答案為：（3，4）或（﹣3，﹣4）．
8．如圖①是用杠桿撬石頭的示意圖，當用力壓杠桿時，杠桿繞著支點轉動，另一端會向上撬起，石頭就被撬動了．在圖②中，杠桿的D端被向上撬起的距離BD＝9cm，動力臂OA與阻力臂OB滿足OA＝3OB（AB與CD相交于點O），要把這塊石頭撬起，至少要將杠桿的C點向下壓 　cm．
【答案】27．
【分析】首先根據題意構造出相似三角形，然后根據相似三角形的對應邊成比例求得端點C向下壓的長度．
【解答】解：由題意得，AC∥BD，
∴△AOC∽△BOD，
∴，
∵AO＝3OB，
∴3，
∴AC＝3BD＝27cm，
∴至少要將杠桿的C點向下壓27cm，
故答案為：27．
9．如圖，N是線段AB上一點，AC⊥AB，BD⊥AB，NM⊥AB，聯結CM并延長交AB于點P，聯結DM并延長交AB于點Q．已知AB＝4，AC＝3，BD＝2，MN＝1，PN＝1.2，那么QN＝　 　．
【答案】1.6．
【分析】先證△MNP∽△CAP，求得PN、NB，再證△MNQ∽△DBQ，可得QN．
【解答】解：∵AC⊥AB，NM⊥AB，
∴∠CAP＝∠MNP＝90°，
∵∠MPN＝∠CPA，
∴△MNP∽△CAP，
∴，
∵AC＝3，MN＝1，PN＝1.2，
∴PA＝3.6，PB＝AB﹣PA＝0.4，NB＝NP+PB＝1.6，
設QN＝x，則QB＝x+1.6，
∵BD⊥AB，NM⊥AB，
∴∠MNQ＝∠DBQ＝90°，
∵∠DQB＝∠MQN，
∴△MNQ∽△DBQ，
∴，
∵BD＝2，MN＝1，
∴，
解得：x＝1.6，
即QN＝1.6，
故答案為：1.6．
10．如圖，已知AB∥CD∥EF，它們依次交直線l1，l2，l3于點A、C、E和點B、D、F，若AC：CE＝2：3，BF＝9，求DF的長．
【答案】．
【分析】根據平行線分線段成比例定理求解即可．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
∵AC：CE＝2：3，
∴，
即，
∴，
∴．
11．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為A（﹣1，2），B（﹣4，3），C（﹣3，1）．
（1）以點B為位似中心，在點B的下方畫出△A1BC1，使△A1BC1與△ABC位似，且相似比為2：1；
（2）畫出△A2B1C2，使得它與△ABC關于點O中心對稱，并寫出C2的坐標．
【答案】（1）畫圖見解析過程；
（2）畫圖見解析過程，C2（3，﹣1）．
【分析】（1）根據位似的性質，找到點A，C，使得BC1＝2BC，BA1＝2BA，連接A1，C1即可求解；
（2）根據中心對稱的性質畫出△A2B1C2，使得它與△ABC關于點O中心對稱，并根據坐標系寫出C2的坐標．
【解答】解：（1）如圖所示，△A1BC1即為所求，
（2）如圖所示，△A2B1C2即為所求，C2（3，﹣1）．
12．如圖，在梯形ABCD中AD∥BC，點F，E分別在線段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD．
（1）求證：DE＝AF；
（2）若∠ABC＝∠CDE，求證：AF2＝BF CE．
【答案】證明過程見解答．
【分析】（1）證明△ACF≌△DAE（ASA），即可解決問題；
（2）證明△ABF∽△CDE，得AF DE＝BF CE，結合（1）AF＝DE，即可解決問題．
【解答】證明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ACF＝∠DAC
∵∠FAC＝∠ADE，AC＝AD，
∴△ACF≌△DAE（ASA），
∴AF＝DE；
（2）∵△ACF≌△DAE，
∴∠AFC＝∠DEA，
∴∠AFB＝∠DEC，
∵∠ABC＝∠CDE，
∴△ABF∽△CDE，
∴，
∴AF DE＝BF CE，
∵AF＝DE，
∴AF2＝BF CE．
13．如圖，在菱形ABCD中，∠B＝120°，E為BC邊上一動點（點E不與B，C重合），連接AE，將線段AE繞點E順時針旋轉120°得到線段FE，連接AC，AF，AF交CD邊于點H，設，．
【嘗試初探】
（1）如圖1，求證：△ABC∽△AEF；
【深入探究】
（2）如圖2，連接CF，當x＝1時，探究得出y的值為1，請寫出證明過程；
【聯系拓展】
（3）結合（2）的探究經驗，從特殊到一般，最后得出y與x之間滿足的關系式為．請根據該關系式，解決下列問題：連接EH，若AB＝12，當△EHF為等腰三角形時，求BE的長．
【答案】（1）（2）見解析，（3）BE＝3或．
【分析】（1）根據兩邊對應成比例，且夾角相等兩三角形相似證明△ABC∽△AEF．
（2）連結BD交AC于O，過F作BC的平行線交CD于M．等腰三角形ABC中，頂角120°，底角30°，得到AC，證明△ABE∽△ACF，得到CFBE，再證△CFM中∠FCM＝90°，∠CFM＝30°，CFCM，得到CM＝BE，DM＝CE，x＝1，BE＝CE，可得MF＝DA，證明△ADH≌△FMH，可得AH＝FH，y＝1．
（3）①當△EHF為等腰三角形時有兩種可能，①HE＝HF，②FF＝FH，可求x的兩個值．
【解答】證明：（1）∵AB＝BC，AE＝EF，
∴，
∵∠ABC＝∠AEF，
∴△ABC∽△AEF．
（2）連結BD交AC于O，過F作BC的平行線交CD于M．
菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝120°，
∠BAC＝∠BCA＝30°，
AC，BD互相垂直平分，
∴AB＝2OB，
OA，
∴ACAB．
∵△ABC∽△AEF，
∴．
∵∠BAC＝∠EAF，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△ABE∽△ACF，
∴，
CFBE，
∠ABE＝∠ACF＝120°，
∠MCF＝∠ACF﹣∠ACD＝120°﹣30°＝90°，
∵MF∥BC，
∴∠FMC＝∠BCD＝60°，
∴∠MCF＝30°，
∴MF＝2CM，CFCM，
∵CFBE，
∴BE＝CM，
∵BC＝CD，
∴CE＝MD．
∵x＝1，BE＝CE，
∴CM＝DM．
∵MF∥AD，
∴∠D＝∠HMF，∠DAH＝∠MFH，
∴△ADH≌△FMH（AAS）．
∴AH＝FH，
∴y1．
解：（3）當△EHF為等腰三角形時有兩種可能，
①△EFH中，HE＝HF，
∵△AEF∽△ABC，
∵AC，
∴AFEF．
△EFH中，HE＝HF，
∴∠HEF＝∠F＝30°，
∴△AEF∽△EHF，
∴EFFH，
∴AF＝3HF，
∴AH＝2FH，
∴y，
∵y，
∴x．
∴，
∵AB＝BC＝12，
∴BE＝3．
②FH＝FE，AFFE，
∴AH＝AF﹣FH＝（1）EF，
∴y．
y，
，
x，
x，AB＝BC＝12，
BE＝33．
所以BE＝3或33．
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