資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第四章 圖形的性質
第二十一節 銳角三角函數
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 銳角三角函數的概念 ☆ 銳角三角函數主要包括：正切、正弦、余弦，特殊角的三角函數及解直角三角形，此部分知識內容在廣東中考較少進行單獨知識的考查，其中銳角三角函數的應用與解直角三角形的綜合考查常有試題的設置，本節內容以知識運用為主，需熟練掌握基本的定義，在一些較為綜合的試題中銳角三角函數是否運用到位很大程度上決定著能否繼續往下解題。在我們的一輪復習中，遇到相應可使用銳角三角函數的地方要多進行對應練習，及時找對解題方法是快速得分的關鍵。
考點2 特殊角的三角函數值 ☆☆
考點3 解直角三角形 ☆☆
考點4 銳角三角函數的應用 ☆☆☆
考點1 銳角三角函數的概念
銳角A的_____、_____、_____都叫做∠A的銳角三角函數。
如圖，在△ABC中，∠C=90°
①銳角A的_____與斜邊的比叫做∠A的正弦，記為sinA，即
②銳角A的_____與斜邊的比叫做∠A的余弦，記為cosA，即
③銳角A的_____與_____的比叫做∠A的正切，記為tanA，即
考點2 特殊角的三角函數值
三角函數 0° 30° 45° 60° 90°
sinα 0 1
cosα 1 0
tanα 0 1 不存在
cotα 不存在 1 0
考點3 解直角三角形
1.解直角三角形的概念：在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即_____條邊和_____個銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形。
2.解直角三角形的理論依據：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c
（1）三邊之間的關系：（勾股定理）
（2）銳角之間的關系：∠A+∠B=90°
（3）邊角之間的關系：
考點4 銳角三角函數的應用
（1）仰角和俯角：在視線與_____所成的銳角中，視線在_____上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角；
（2）坡度、坡角：坡度等于坡角的_____值；
（3）方向角：正北或正南方向線與目標線所成的小于_____的角，叫做方向角。
考點1 銳角三角函數的概念
◇例題
1.（2023 黃埔區一模）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠A≠45°，則下列比值中不等于sinA的是（　　）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2023 越秀區校級二模）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，，則BC等于（　　）
A．25 B．12 C．9 D．16
2．（2023 荔灣區一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，則cosA的值是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023 惠東縣二模）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，那么tanB的值為（　　）
A． B． C． D．
考點2 特殊角的三角函數
◇例題
1.（2023 佛山一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA，則∠A的大小是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2.（2022 河源模擬）Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，則tanA的值是 　　 ．
◆變式訓練
1．（2023 黃埔區校級二模）在△ABC中，若|sinA|+（cosB）2＝0，則∠C的度數是（　　）
A．45° B．75° C．105° D．120°
2．（2023 寶安區校級三模）cos60°的值等于（　　）
A． B． C． D．1
3．（2023 興寧市二模）已知實數a＝tan30°，b＝sin45°，c＝cos60°，則下列說法正確的是（　　）
A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b
考點3 解直角三角形
◇例題
1.（2023 惠城區校級一模）在邊長相等的小正方形組成的網格中，點A，B，C都在格點上，那么cos∠BAC的值為（　　）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2023 南海區模擬）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B分別在x軸負半軸和y軸正半軸上，點C在OB上，OC：OB＝1：3，連接AC，過點O作OP∥AB交AC的延長線于點P．若P（1，1），則tan∠ACO的值是（　　）
A． B．3 C． D．2
2．（2023 臺山市校級一模）如圖，點A、B、C在正方形網格的格點上，sin∠BAC＝（　　）
A． B． C． D．
3．（2023 中山市模擬）如圖，△ABC的頂點是正方形網格的格點，則tanA的值是（　　）
A． B．1 C． D．
考點4 銳角三角函數的應用
◇例題
1.（2023 深圳模擬）圖1是一地鐵站入口的雙翼閘機，雙翼展開時示意圖如圖2所示，它是一個軸對稱圖形，AC＝40cm，則雙翼邊緣端點C與D之間的距離為（　　）
A．（60﹣40cosα）cm B．（60﹣40sinα）cm
C．（60﹣80cosα）cm D．（60﹣80sinα）cm
2.（2023 越秀區校級二模）如圖是一個山坡的縱向剖面圖，坡面DE的延長線交地面AC于點B，點E恰好在BD的中點處，∠CBD＝60°，坡面AE的坡角為45°，山坡頂點D與水平線AC的距離，即CD的長為1000m．
（1）求BE的長度；
（2）求AB的長度．（結果保留根號）
3.（2023 三水區模擬）如圖，西安某中學依山而建，校門A處有一坡度i＝5：12的斜坡AB，長度為13米，在坡頂B處看教學樓CF的樓頂C的仰角∠CBF＝45°，離B點4米遠的E處有一個花臺，在E處仰望C的仰角是∠CEF＝60°，CF的延長線交校門處的水平面于點D．求樓頂C的高度CD．（結果保留根號）
4.（2023 順德區校級三模）如圖，為了測量河對岸A，B兩點間的距離，數學興趣小組在河岸南側選定觀測點C，測得A，B均在C的北偏東37°方向上，沿正東方向行走90米至觀測點D，測得A在D的正北方向上，B在D的北偏西53°方向上．
參考數據：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．
（1）求證：BD⊥AB；
（2）求A，B兩點間的距離．
◆變式訓練
1．（2023 佛山模擬）如圖，一輛自行車豎直擺放在水平地面上，右邊是它的部分示意圖，現測得∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，則點A到BC的距離為（　　）
A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50°
2．（2023 陸河縣校級模擬）如圖，已知傳送帶與水平面所成斜坡的坡度i＝1：2，如果它把物體送到離地面10米高的地方，那么物體所經過的路程為 　 米．
3．（2023 潮陽區二模）科技改變生活，科技服務生活．如圖為一新型可調節洗手裝置側面示意圖，可滿足不同人的洗手習慣，AM為豎直的連接水管，當出水裝置在A處且水流AC與水平面夾角為63°時，水流落點正好為水盆的邊緣C處；將出水裝置水平移動10cm至B處且水流與水平面夾角為30°時，水流落點正好為水盆的邊緣D處，MC＝AB．
（1）求連接水管AM的長．（結果保留整數）
（2）求水盆兩邊緣C，D之間的距離．（結果保留一位小數）
（參考數據：sin63°≈0.9，cos63°≈0.5，tan63°≈2.0，1.73）
4．（2023 開平市二模）如圖所示，建筑物MN一側有一斜坡AC，在斜坡坡腳A處測得建筑物頂部N的仰角為60°，當太陽光線與水平線夾角成45°時，建筑物MN的影子的一部分在水平地面上MA處，另一部分影子落在斜坡上AP處，已知點P的距水平地面AB的高度PD＝5米，斜坡AC的坡度為（即tan∠PAD），且M，A，D，B在同一條直線上．（測傾器的高度忽略不計，結果保留根號）
（1）求此時建筑物MN落在斜坡上的影子AP的長；
（2）求建筑物MN的高度．
5．（2023 佛山一模）如圖，海中小島A周圍15n mile內有暗礁．漁船跟蹤魚群由西向東航行，在B點處測得小島A在北偏東63.4°方向上；航行26n mile到達C點，這時測得小島A在北偏東33.7°方向上．如果漁船不改變航線繼續向東航行，有沒有觸礁的危險？（參考數據：tan63.4°≈2，tan33.7°≈0.7）
1．（2021 廣東）如圖，AB是⊙O的直徑，點C為圓上一點，AC＝3，∠ABC的平分線交AC于點D，CD＝1，則⊙O的直徑為（　　）
A． B．2 C．1 D．2
2．（2023 深圳）爬坡時坡面與水平面夾角為α，則每爬1m耗能（1.025﹣cosα）J，若某人爬了1000m，該坡角為30°，則他耗能（　　）（參考數據：1.732，1.414）
A．58J B．159J C．1025J D．1732J
3．（2021 深圳）如圖，在點F處，看建筑物頂端D的仰角為32°，向前走了15米到達點E即EF＝15米，在點E處看點D的仰角為64°，則CD的長用三角函數表示為（　　）
A．15sin32° B．15tan64° C．15sin64° D．15tan32°
4．（2023 廣州）如圖，海中有一小島A，在B點測得小島A在北偏東30°方向上，漁船從B點出發由西向東航行10nmile到達C點，在C點測得小島A恰好在正北方向上，此時漁船與小島A的距離為（　　）n mile．
A． B． C．20 D．
5．（2020 深圳）如圖，為了測量一條河流的寬度，一測量員在河岸邊相距200米的P、Q兩點分別測定對岸一棵樹T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，則河寬（PT的長）可以表示為（　　）
A．200tan70°米 B．米
C．200sin 70°米 D．米
6．（2022 廣東）sin30°＝ 　．
7．（2022 廣州）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6．
（1）尺規作圖：過點O作AC的垂線，交劣弧于點D，連接CD（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在（1）所作的圖形中，求點O到AC的距離及sin∠ACD的值．
8．（2021 廣東）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分線交AC于點D，延長AC至點E，使CE＝AB．
（1）若AE＝1，求△ABD的周長；
（2）若ADBD，求tan∠ABC的值．
9．（2023 廣東）2023年5月30日，神舟十六號載人飛船發射取得圓滿成功，3名航天員順利進駐中國空間站．如圖中的照片展示了中國空間站上機械臂的一種工作狀態．當兩臂AC＝BC＝10m，兩臂夾角∠ACB＝100°時，求A，B兩點間的距離．（結果精確到0.1m，參考數據：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）
10．（2022 廣州）某數學活動小組利用太陽光線下物體的影子和標桿測量旗桿的高度．如圖，在某一時刻，旗桿AB的影子為BC，與此同時在C處立一根標桿CD，標桿CD的影子為CE，CD＝1.6m，BC＝5CD．
（1）求BC的長；
（2）從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求旗桿AB的高度．
條件①：CE＝1.0m；條件②：從D處看旗桿頂部A的仰角α為54.46°．
注：如果選擇條件①和條件②分別作答，按第一個解答計分．
參考數據：sin54.46°≈0.81，cos54.46°≈0.58，tan54.46°≈1.40．
1．如圖，已知△ABC的三個頂點均在正方形格點上，則下列結論錯誤的為（　　）
A． B．tanB tanC＝1
C． D．
2．在Rt△ABC中，∠B＝90°．已知AB＝6，AC＝10，則sinA的值為（　　）
A． B． C． D．
3．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，則cosA的值是（　　）
A． B． C． D．
4．tan45°的值是（　　）
A． B． C．1 D．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA，那么cosA的值是（　　）
A． B． C． D．
6．為測樓房BC的高，在距樓房30米的A處，測得樓頂B的仰角為α，則樓房BC的高為（　　）
A．30tanα米 B．米 C．30sinα米 D．米
7．已知，則∠A＝（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
8．若在平面直角坐標系xOy中，已知點A（2，1）和點B（4，0），則sin∠ABO的值為 　 ．
9．△ABC中，∠A、∠B都是銳角，cosA，sinB，AB＝8，則BC長為 　 　．
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，則tanA＝　 ．
11．若0°＜α＜45°，且，則α＝　 　度．
12．若cosA，則銳角∠A＝　 ．
13．計算：
（1）sin45°cos45°+3tan30°sin60°；
（2）cos60°﹣2sin245°+tan260°．
14．如圖，小明利用課余時間測量教學樓的高度．他在C點測得A點的仰角為37°，他又向前走了4m，測得A點關于E點的仰角為45°．已知小胖身高為1.6m，求教學樓AB的高度．（結果保留整數，參考數據：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.41）
15．如圖，某漁船沿正東方向以30海里/小時的速度航行，在A處測得島C在東北方向，20分鐘后漁船航行到B處，測得島C在北偏東30°方向，已知該島C周圍25海里內有暗礁．（參考數據：1.732，1.414，sin75°≈0.966，cos75°≈0.259．）
（1）如果漁船繼續向東航行，有無觸礁危險？請說明理由．
（2）如果漁船在B處改為向東偏南15°方向航行，有無觸礁危險？說明理由．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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第四章 圖形的性質
第二十一節 銳角三角函數
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 銳角三角函數的概念 ☆ 銳角三角函數主要包括：正切、正弦、余弦，特殊角的三角函數及解直角三角形，此部分知識內容在廣東中考較少進行單獨知識的考查，其中銳角三角函數的應用與解直角三角形的綜合考查常有試題的設置，本節內容以知識運用為主，需熟練掌握基本的定義，在一些較為綜合的試題中銳角三角函數是否運用到位很大程度上決定著能否繼續往下解題。在我們的一輪復習中，遇到相應可使用銳角三角函數的地方要多進行對應練習，及時找對解題方法是快速得分的關鍵。
考點2 特殊角的三角函數值 ☆☆
考點3 解直角三角形 ☆☆
考點4 銳角三角函數的應用 ☆☆☆
考點1 銳角三角函數的概念
銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數。
如圖，在△ABC中，∠C=90°
①銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記為sinA，即
②銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記為cosA，即
③銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記為tanA，即
考點2 特殊角的三角函數值
三角函數 0° 30° 45° 60° 90°
sinα 0 1
cosα 1 0
tanα 0 1 不存在
cotα 不存在 1 0
考點3 解直角三角形
1.解直角三角形的概念：在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和兩個銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形。
2.解直角三角形的理論依據：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c
（1）三邊之間的關系：（勾股定理）
（2）銳角之間的關系：∠A+∠B=90°
（3）邊角之間的關系：
考點4 銳角三角函數的應用
（1）仰角和俯角：在視線與水平線所成的銳角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角；
（2）坡度、坡角：坡度等于坡角的正切值；
（3）方向角：正北或正南方向線與目標線所成的小于90度的角，叫做方向角。
考點1 銳角三角函數的概念
◇例題
1.（2023 黃埔區一模）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠A≠45°，則下列比值中不等于sinA的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據銳角三角函數的定義解答即可．
【解答】解：∵CD是斜邊AB上的高，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠A+ACD＝90°，
∵∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠BCD＝∠A，
在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，
∴sinA，
同時有，sinA＝sin∠DCB．
故選：D．
◆變式訓練
1．（2023 越秀區校級二模）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，，則BC等于（　　）
A．25 B．12 C．9 D．16
【答案】B
【分析】先利用直角三角形的邊角間關系求出AC，再利用勾股定理得結論．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵sinB
∴AC＝sinB AB15＝9
∴BC
＝12
故選：B．
2．（2023 荔灣區一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，則cosA的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用勾股定理得到ACBC，然后根據余弦的定義求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，AB＝2BC，
∴ACBC，
∴cosA．
故選：A．
3．（2023 惠東縣二模）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，那么tanB的值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據勾股定理求出AC，根據正弦的定義計算即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴AC3，
∴tanB．
故選：B．
考點2 特殊角的三角函數
◇例題
1.（2023 佛山一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA，則∠A的大小是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】C
【分析】根據60°的余弦值是解答．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A為銳角，
∵cosA，
∴∠A＝60°，
故選：C．
2.（2022 河源模擬）Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，則tanA的值是 　　 ．
【答案】．
【分析】根據特殊角的三角函數值，進行計算即可解答．
【解答】解：∵∠C＝90°，sinA，
∴∠A＝30°，
∴tanA＝tan30°，
故答案為：．
◆變式訓練
1．（2023 黃埔區校級二模）在△ABC中，若|sinA|+（cosB）2＝0，則∠C的度數是（　　）
A．45° B．75° C．105° D．120°
【答案】C
【分析】根據非負數的性質列出關系式，根據特殊角的三角函數值求出∠A、∠B的度數，根據三角形內角和定理計算即可．
【解答】解：由題意得，sinA0，cosB＝0，
即sinA，cosB，
解得，∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°，
故選：C．
2．（2023 寶安區校級三模）cos60°的值等于（　　）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根據特殊角的三角函數值解題即可．
【解答】解：cos60°．
故選：A．
3．（2023 興寧市二模）已知實數a＝tan30°，b＝sin45°，c＝cos60°，則下列說法正確的是（　　）
A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b
【答案】A
【分析】分別求出各三角函數的值，然后比較他們的大小即可．
【解答】解：，
∵，
∴b＞a＞c．
故選：A．
考點3 解直角三角形
◇例題
1.（2023 惠城區校級一模）在邊長相等的小正方形組成的網格中，點A，B，C都在格點上，那么cos∠BAC的值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出三角形ABC的三邊長，發現三角形是等腰三角形，再根據等腰三角形的性質求出角的余弦值．
【解答】解：∵AB，AC2，BC，
∴△ABC為等腰三角，
如圖所示，過點B作BD⊥AC，垂足為D，
∴ADAC2，
∴cos∠BAC．
故選：A．
◆變式訓練
1．（2023 南海區模擬）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B分別在x軸負半軸和y軸正半軸上，點C在OB上，OC：OB＝1：3，連接AC，過點O作OP∥AB交AC的延長線于點P．若P（1，1），則tan∠ACO的值是（　　）
A． B．3 C． D．2
【答案】B
【分析】根據OP∥AB，證明出△OCP∽△BCA，結合OC：OB＝1：3得到CP：AC＝OC：BC＝1：2，過點P作PQ⊥x軸于點Q，根據∠AOC＝∠AQP＝90°，得到CO∥PQ，根據平行線分線段成比例定理得到OQ：AO＝CP：AC＝1：2，根據P（1，1），得到PQ＝OQ＝1，得到AO＝2，則可求得AQ＝3，根據正切的定義即可得到tan∠APQ的值，從而可求tan∠ACO的值．
【解答】解：∵OP∥AB，
∴△OCP∽△BCA，
∴，
∵OC：OB＝1：3，
∴，
∴，
過點P作PQ⊥x軸于點Q，如圖，
∴∠AOC＝∠AQP＝90°，
∴CO∥PQ，
∴OQ：AO＝CP：AC＝1：2，∠ACO＝∠APQ，
∵P（1，1），
∴PQ＝OQ＝1，
∴AO＝2OQ＝2，
∴AQ＝3，
∴tan∠APQ3，
∴tan∠ACO＝tan∠APQ＝3．
故選：B．
2．（2023 臺山市校級一模）如圖，點A、B、C在正方形網格的格點上，sin∠BAC＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如圖，取格點T，連接BT交AC于H，則BH⊥AC，設BH＝a，則AH＝5a，利用勾股定理求出AB，可得結論．
【解答】解：如圖，取格點T，連接BT交AC于H，則BH⊥AC，設BH＝a，則BH＝TH＝GH＝CG＝a，CG＝2a，AG＝4a，可得AH＝5a，
在Rt△AHB中，ABa，
∴sin∠BAC，
故選：C．
3．（2023 中山市模擬）如圖，△ABC的頂點是正方形網格的格點，則tanA的值是（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】首先構造以A為銳角的直角三角形，然后利用正切函數的定義即可求解．
【解答】解：如圖，連接CD．
∵AC，CD，AD2，
∴AC2＝CD2+AD2，
∴∠ADC＝90°，
∴tanA．
故選：A．
考點4 銳角三角函數的應用
◇例題
1.（2023 深圳模擬）圖1是一地鐵站入口的雙翼閘機，雙翼展開時示意圖如圖2所示，它是一個軸對稱圖形，AC＝40cm，則雙翼邊緣端點C與D之間的距離為（　　）
A．（60﹣40cosα）cm B．（60﹣40sinα）cm
C．（60﹣80cosα）cm D．（60﹣80sinα）cm
【答案】D
【分析】作輔助線如圖，由題意可得CE＝DF，EF＝60cm，解直角三角形ACE求出CE＝40sinα cm，然后根據CD＝EF﹣2CE即可得出答案．
【解答】解：如圖，作直線CD，交雙翼閘機于點E、F，則CE⊥AE，DF⊥BF，
由題意可得CE＝DF，EF＝60cm，
在直角三角形ACE中，
CE＝AC sinα＝40sinα，
∴CD＝EF﹣2CE＝（60﹣80sinα）cm．
故選：D．
2.（2023 越秀區校級二模）如圖是一個山坡的縱向剖面圖，坡面DE的延長線交地面AC于點B，點E恰好在BD的中點處，∠CBD＝60°，坡面AE的坡角為45°，山坡頂點D與水平線AC的距離，即CD的長為1000m．
（1）求BE的長度；
（2）求AB的長度．（結果保留根號）
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）過點E作EF⊥AC于點F．由題意可得EFm，在Rt△BEF中，sin∠EBF＝sin60°，解方程求出BE即可．
（2）在Rt△AEF中，可得AF＝EF＝500m，在Rt△BEF中，tan∠EBF＝tan60°，求出BF的長，根據AB＝AF﹣BF可得答案．
【解答】解：（1）過點E作EF⊥AC于點F.
∵點E為BD的中點，
∴EFm，
在Rt△BEF中，sin∠EBF＝sin60°，
解得BE＝1000，
經檢驗，BE＝1000是原方程的解且符合題意，
∴BE的長度為1000m．
（2）在Rt△AEF中，∠EAF＝45°，
∴AF＝EF＝500m，
在Rt△BEF中，tan∠EBF＝tan60°，
解得BF＝500，
經檢驗，BF＝500是原方程的解且符合題意，
∴AB＝AF﹣BF＝（500）m．
∴AB的長度為（500）m．
3.（2023 三水區模擬）如圖，西安某中學依山而建，校門A處有一坡度i＝5：12的斜坡AB，長度為13米，在坡頂B處看教學樓CF的樓頂C的仰角∠CBF＝45°，離B點4米遠的E處有一個花臺，在E處仰望C的仰角是∠CEF＝60°，CF的延長線交校門處的水平面于點D．求樓頂C的高度CD．（結果保留根號）
【答案】米．
【分析】過點B作BM⊥AD，過點E作EN⊥AD，由AB的坡度和長即可求BM，再由BF＝EF+BE，根據∠CBF＝45°、∠CEF＝60°、BE＝4米解三角形求出CF，即可解答．
【解答】解：過點B作BM⊥AD，過點E作EN⊥AD，
∵i＝5：12，
∴，
∵AB＝13米，∴BM＝5米，AM＝12米，
∴BM＝DF＝5米，
設EF為x米，則BF＝（4+x）米，
∵∠CBF＝45°，
∴BF＝CF＝（4+x）米，
∵∠CEF＝60°，
∴，
解得x＝22，
∴米，
∴米，
答：DC的長度為米．
4.（2023 順德區校級三模）如圖，為了測量河對岸A，B兩點間的距離，數學興趣小組在河岸南側選定觀測點C，測得A，B均在C的北偏東37°方向上，沿正東方向行走90米至觀測點D，測得A在D的正北方向上，B在D的北偏西53°方向上．
參考數據：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．
（1）求證：BD⊥AB；
（2）求A，B兩點間的距離．
【答案】（1）見解析；
（2）A，B兩點間的距離約96米．
【分析】（1）根據平行線的性質得到∠A＝∠ECA＝37°，求得∠CBD＝∠A+∠ADB＝37°+53°＝90°，根據垂直的定義即可得到結論；
（2）在Rt△BCD中，解直角三角形求得BD＝72（米），在Rt△ABD中，解直角三角形得到AB＝96（米）．于是得到結論．
【解答】（1）證明：∵CE∥AD，
∴∠A＝∠ECA＝37°，
∴∠CBD＝∠A+∠ADB＝37°+53°＝90°，
∴∠ABD＝90°，
∴BD⊥AB；
（2）解：在Rt△BCD中，∠BDC＝90°﹣53°＝37°，CD＝90米，cos∠BDC，
∴BD＝CD cos37°≈90×0.80＝72（米），
在Rt△ABD中，∠A＝37°，BD＝72米，tanA，
∴AB96（米）．
答：A，B兩點間的距離約96米．
◆變式訓練
1．（2023 佛山模擬）如圖，一輛自行車豎直擺放在水平地面上，右邊是它的部分示意圖，現測得∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，則點A到BC的距離為（　　）
A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50°
【答案】A
【分析】先求出∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，再用三角函數定義，求出AD＝AB×sinB＝60×sin50°，即可得出答案．
【解答】解：過點A作AD⊥BC于點D，如圖所示：
∵∠BAC＝88°，∠C＝42°，
∴∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，
在Rt△ABD中，AD＝AB×sinB＝60×sin50°，
∴點A到BC的距離為60sin50°，故A正確．
故選：A．
2．（2023 陸河縣校級模擬）如圖，已知傳送帶與水平面所成斜坡的坡度i＝1：2，如果它把物體送到離地面10米高的地方，那么物體所經過的路程為 　 米．
【答案】．
【分析】首先根據題意畫出圖形，根據坡度的定義，由勾股定理即可求得答案．
【解答】解：如圖，
由題意得：斜坡AB的坡度：i＝1：2，AE＝10米，AE⊥BD，
∵，
∴BE＝20米，
∴在Rt△ABE中，（米），
故答案為：．
3．（2023 潮陽區二模）科技改變生活，科技服務生活．如圖為一新型可調節洗手裝置側面示意圖，可滿足不同人的洗手習慣，AM為豎直的連接水管，當出水裝置在A處且水流AC與水平面夾角為63°時，水流落點正好為水盆的邊緣C處；將出水裝置水平移動10cm至B處且水流與水平面夾角為30°時，水流落點正好為水盆的邊緣D處，MC＝AB．
（1）求連接水管AM的長．（結果保留整數）
（2）求水盆兩邊緣C，D之間的距離．（結果保留一位小數）
（參考數據：sin63°≈0.9，cos63°≈0.5，tan63°≈2.0，1.73）
【答案】（1）20cm；
（2）34.6cm．
【分析】（1）根據∠ACM的正切值求解即可；
（2）連接BC．首先證明出四邊形ABCM為矩形，進而得到BD＝2BC＝40cm，然后利用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）∵MC＝AB＝10cm，∠ACM＝63°，
∴AM＝MC tan∠ACM＝MC tan63°≈10×2.0＝20cm．
答：連接水管AM的長為20cm．
（2）如圖，連接BC．
∵AB∥MC，AB＝MC，
∴四邊形ABCM為平行四邊形．
∵∠AMC＝90°，
∴四邊形ABCM為矩形，
∴BC＝AM＝20cm，∠BCD＝90°．
∵∠BDC＝30°，
∴BD＝2BC＝40cm，
∴．
答：水盆兩邊緣C，D之間的距離為34.6cm．
4．（2023 開平市二模）如圖所示，建筑物MN一側有一斜坡AC，在斜坡坡腳A處測得建筑物頂部N的仰角為60°，當太陽光線與水平線夾角成45°時，建筑物MN的影子的一部分在水平地面上MA處，另一部分影子落在斜坡上AP處，已知點P的距水平地面AB的高度PD＝5米，斜坡AC的坡度為（即tan∠PAD），且M，A，D，B在同一條直線上．（測傾器的高度忽略不計，結果保留根號）
（1）求此時建筑物MN落在斜坡上的影子AP的長；
（2）求建筑物MN的高度．
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）如圖，作PH⊥MN于H．則四邊形PDMH是矩形．解直角三角形求出PA即可．
（2）設NH＝PH＝x米，在Rt△AMN中，根據tan60°，可得MNAM，由此構建方程即可解決問題．
【解答】解：（1）如圖，作PH⊥MN于H．則四邊形PDMH是矩形．
∵tan∠PAD，PD＝5，
∴AD＝15，PA5（米），
∴此時建筑物MN落在斜坡上的影子AP的長為5米．
（2）∵∠NPH＝45°，∠PHN＝90°，
∴∠PNH＝∠NPH＝45°，
∴NH＝PH，設NH＝PH＝x米，則MN＝（x+5）米，AM＝（x﹣15）米，
在Rt△AMN中，∵tan60°，
∴MNAM，
∴x+5（x﹣15）
解得x＝（1025）（米），
∴MN＝x+5＝（1030）米．
5．（2023 佛山一模）如圖，海中小島A周圍15n mile內有暗礁．漁船跟蹤魚群由西向東航行，在B點處測得小島A在北偏東63.4°方向上；航行26n mile到達C點，這時測得小島A在北偏東33.7°方向上．如果漁船不改變航線繼續向東航行，有沒有觸礁的危險？（參考數據：tan63.4°≈2，tan33.7°≈0.7）
【答案】漁船不改變航線繼續向東航行，沒有觸礁的危險．
【分析】過點A作AE⊥BC交BC的延長線于點E，設AE＝x n mile，根據BE﹣CE＝BC列方程求解即可．
【解答】解：過點A作AE⊥BC交BC的延長線于點E，
由題意得，∠ABD＝∠BAE＝63.4°，∠CAE＝33.7°，
設AE＝x n mile，
在Rt△ACE中，tan∠CAE，
∴DE＝AE tan∠CAE＝0.7x（nmile），
Rt△ABE中，tan∠BAE，
∴BE＝2x（nmile），
∵BE﹣CE＝BC，
∴2x﹣0.7x＝26，
解得x＝20，
∵20＞15，
∴漁船不改變航線繼續向東航行，沒有觸礁的危險．
1．（2021 廣東）如圖，AB是⊙O的直徑，點C為圓上一點，AC＝3，∠ABC的平分線交AC于點D，CD＝1，則⊙O的直徑為（　　）
A． B．2 C．1 D．2
【答案】B
【分析】如圖，過點D作DT⊥AB于T．證明DT＝DC＝1，推出AD＝2DT，推出∠A＝30°，可得結論．
【解答】解：如圖，過點D作DT⊥AB于T．
∵AB是直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴DC⊥BC，
∵DB平分∠CBA，DC⊥BC，DT⊥BA，
∴DC＝DT＝1，
∵AC＝3，
∴AD＝AC﹣CD＝2，
∴AD＝2DT，
∴∠A＝30°，
∴AB2，
解法二：AD＝2DT 由此處開始，可以證明∠DAB＝∠DBA＝30°，
∴DA＝DB．
∵DT⊥AB，
∴AT＝TB，
∴點O與點T重合，
在Rt△ADT中用勾股定理得AT，再由垂徑定理可得AB＝2AT得解．
故選：B．
2．（2023 深圳）爬坡時坡面與水平面夾角為α，則每爬1m耗能（1.025﹣cosα）J，若某人爬了1000m，該坡角為30°，則他耗能（　　）（參考數據：1.732，1.414）
A．58J B．159J C．1025J D．1732J
【答案】B
【分析】根據題意可得：他耗能＝1000×（1.025﹣cos30°），進行計算即可解答．
【解答】解：由題意得：
某人爬了1000m，該坡角為30°，則他耗能＝1000×（1.025﹣cos30°）＝1000×（1.025）≈159（J），
故選：B．
3．（2021 深圳）如圖，在點F處，看建筑物頂端D的仰角為32°，向前走了15米到達點E即EF＝15米，在點E處看點D的仰角為64°，則CD的長用三角函數表示為（　　）
A．15sin32° B．15tan64° C．15sin64° D．15tan32°
【答案】C
【分析】先結合三角形外角的性質與∠F的度數判定等腰三角形，再利用等腰三角形的性質證得DE＝EF，根據三角函數的定義即可得到結論．
【解答】解：∵∠CED＝64°，∠F＝32°，∠CED＝∠F+∠EDF，
∴∠EDF＝∠CED﹣∠F＝64°﹣32°＝32°，
∴∠EDF＝∠F，
∴DE＝EF，
∵EF＝15米，
∴DE＝15米，
在Rt△CDE中，
∵sin∠CED，
∴CD＝DEsin∠CED＝15sin64°，
故選：C．
4．（2023 廣州）如圖，海中有一小島A，在B點測得小島A在北偏東30°方向上，漁船從B點出發由西向東航行10nmile到達C點，在C點測得小島A恰好在正北方向上，此時漁船與小島A的距離為（　　）n mile．
A． B． C．20 D．
【答案】D
【分析】連接AC，根據題意可得：AC⊥CB，然后在Rt△ACB中，利用銳角三角函數的定義求出AC的長，即可解答．
【解答】解：連接AC，
由題意得：AC⊥CB，
在Rt△ACB中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝10海里，
∴AC＝BC tan60°＝10（海里），
∴此時漁船與小島A的距離為10海里，
故選：D．
5．（2020 深圳）如圖，為了測量一條河流的寬度，一測量員在河岸邊相距200米的P、Q兩點分別測定對岸一棵樹T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，則河寬（PT的長）可以表示為（　　）
A．200tan70°米 B．米
C．200sin 70°米 D．米
【答案】B
【分析】在直角三角形PQT中，利用PQ的長，以及∠PQT的度數，進而得到∠PTQ的度數，根據三角函數即可求得PT的長．
【解答】解：在Rt△PQT中，
∵∠QPT＝90°，∠PQT＝90°﹣70°＝20°，
∴∠PTQ＝70°，
∴tan70°，
∴PT，
即河寬米，
故選：B．
6．（2022 廣東）sin30°＝ 　．
【答案】．
【分析】熟記特殊角的三角函數值進行求解即可得出答案．
【解答】解：sin30°．
故答案為：．
7．（2022 廣州）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6．
（1）尺規作圖：過點O作AC的垂線，交劣弧于點D，連接CD（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在（1）所作的圖形中，求點O到AC的距離及sin∠ACD的值．
【答案】（1）詳見解答；
（2）點O到AC的距離為4，sin∠ACD．
【分析】（1）利用尺規作圖，作線段AC的垂直平分線即可；
（2）根據垂徑定理、勾股定理可求出直徑AB＝10，AE＝EC＝3，由三角形中位線定理可求出OE，即點O到AC的距離，在直角三角形CDE中，求出DE，由勾股定理求出CD，再根據銳角三角函數的定義可求出答案．
【解答】解：（1）分別以A、C為圓心，大于AC為半徑畫弧，在AC的兩側分別相交于P、Q兩點，畫直線PQ交劣弧于點D，交AC于點E，即作線段AC的垂直平分線，由垂徑定理可知，直線PQ一定過點O；
（2）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，且AC＝8，BC＝6．
∴AB10，
∵OD⊥AC，
∴AE＝CEAC＝4，
又∵OA＝OB，
∴OE是△ABC的中位線，
∴OEBC＝3，
由于PQ過圓心O，且PQ⊥AC，
即點O到AC的距離為3，
連接OC，在Rt△CDE中，
∵DE＝OD﹣CE＝5﹣3＝2，CE＝4，
∴CD2
∴sin∠ACD．
8．（2021 廣東）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分線交AC于點D，延長AC至點E，使CE＝AB．
（1）若AE＝1，求△ABD的周長；
（2）若ADBD，求tan∠ABC的值．
【答案】（1）1；
（2）．
【分析】（1）連接BD，設BC垂直平分線交BC于點F，再根據線段垂直平分線的性質求解即可；
（2）設AD＝x，則BD＝CD＝3x，AC＝4x，由勾股定理可表示出AB＝2，從而可計算出tan∠ABC．
【解答】解：（1）如圖，連接BD，設BC垂直平分線交BC于點F，
∴BD＝CD，
C△ABD＝AB+AD+BD
＝AB+AD+DC
＝AB+AC，
∵AB＝CE，
∴C△ABD＝AC+CE＝AE＝1，
故△ABD的周長為1．
（2）設AD＝x，
∴BD＝3x，
又∵BD＝CD，
∴AC＝AD+CD＝4x，
在Rt△ABD中，AB2．
∴tan∠ABC．
9．（2023 廣東）2023年5月30日，神舟十六號載人飛船發射取得圓滿成功，3名航天員順利進駐中國空間站．如圖中的照片展示了中國空間站上機械臂的一種工作狀態．當兩臂AC＝BC＝10m，兩臂夾角∠ACB＝100°時，求A，B兩點間的距離．（結果精確到0.1m，參考數據：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）
【答案】A、B的距離大約是15.3m．
【分析】連接AB，取AB中點D，連接CD，根據AC＝BC，點D為AB中點，可得∠ACD＝∠BCD∠ACB＝50°，在Rt△ACD中，sin50°，解得AD＝10×sin50°≈7.66（m），故AB＝2AD≈15.3（m）．
【解答】解：連接AB，取AB中點D，連接CD，如圖，
∵AC＝BC，點D為AB中點，
∴中線CD為等腰三角形的角平分線（三線合一），AD＝BDAB，
∴∠ACD＝∠BCD∠ACB＝50°，
在Rt△ACD中，
sin∠ACD，
∴sin50°，
∴AD＝10×sin50°≈7.66（m），
∴AB＝2AD＝2×7.66＝15.32≈15.3（m），
答：A、B的距離大約是15.3m．
10．（2022 廣州）某數學活動小組利用太陽光線下物體的影子和標桿測量旗桿的高度．如圖，在某一時刻，旗桿AB的影子為BC，與此同時在C處立一根標桿CD，標桿CD的影子為CE，CD＝1.6m，BC＝5CD．
（1）求BC的長；
（2）從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求旗桿AB的高度．
條件①：CE＝1.0m；條件②：從D處看旗桿頂部A的仰角α為54.46°．
注：如果選擇條件①和條件②分別作答，按第一個解答計分．
參考數據：sin54.46°≈0.81，cos54.46°≈0.58，tan54.46°≈1.40．
【答案】（1）BC的長為8m；
（2）旗桿AB的高度約為12.8m．
【分析】（1）根據已知BC＝5CD，進行計算即可解答；
（2）若選擇條件①，根據同一時刻的物高與影長是成比例的，進行計算即可解答；
若選擇條件②，過點D作DF⊥AB，垂足為F，根據題意可得DC＝BF＝1.6m，DF＝BC＝8m，然后在Rt△ADF中，利用銳角三角函數的定義求出AF的長，進行計算即可解答．
【解答】解：（1）∵BC＝5CD，CD＝1.6m，
∴BC＝5×1.6＝8（m），
∴BC的長為8m；
（2）若選擇條件①：
由題意得：
，
∴，
∴AB＝12.8，
∴旗桿AB的高度為12.8m；
若選擇條件②：
過點D作DF⊥AB，垂足為F，
則DC＝BF＝1.6m，DF＝BC＝8m，
在Rt△ADF中，∠ADF＝54.46°，
∴AF＝DF tan54.46°≈8×1.4＝11.2（m），
∴AB＝AF+BF＝11.2+1.6＝12.8（m），
∴旗桿AB的高度約為12.8m．
1．如圖，已知△ABC的三個頂點均在正方形格點上，則下列結論錯誤的為（　　）
A． B．tanB tanC＝1
C． D．
【答案】D
【分析】先設小正方形的邊長為1，利用勾股定理分別求出AC，AB＝2，BC，進而可得△ABC為直角三角形，然后根據三角函數的定義分別求出cosC，tanB，tanC，sinB，sinC，進而可對題目中的四個選項進行判斷，從而可得出答案．
【解答】解：設小正方形的邊長為1，
由勾股定理得：AC，AB2，BC，
∵AC2＝2，AB2＝8，BC2＝10，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC為直角三角形，即∠A＝90°，
∴cosC，
故選項A正確，不符合題意；
∵tanB，tanC2，
∴tanB tanC2＝1，
故選項B、C正確，不符合題意；
∵sinB，
故選項D錯誤，不符合題意．
故選：D．
2．在Rt△ABC中，∠B＝90°．已知AB＝6，AC＝10，則sinA的值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題意畫出圖形，進而利用銳角三角函數定義求解即可．
【解答】解：如圖所示：
∵AB＝6，AC＝10，
∴，
∴，
故選：A．
3．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，則cosA的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據銳角的余弦等于鄰邊比斜邊求解即可．
【解答】解：∵AB＝5，AC＝4，
∴cosA．
故選：D．
4．tan45°的值是（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】直角利用特殊角的三角函數值求解．
【解答】解：tan45°＝1．
故選：C．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA，那么cosA的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由銳角的正弦定義得到sinA，令BC＝3x，AB＝5x，由勾股定理求出AC4x，即可得到cosA．
【解答】解：如圖，
∵∠C＝90°，
∵sinA，
∴令BC＝3x，AB＝5x，
∴AC4x，
∴cosA．
故選：C．
6．為測樓房BC的高，在距樓房30米的A處，測得樓頂B的仰角為α，則樓房BC的高為（　　）
A．30tanα米 B．米 C．30sinα米 D．米
【答案】A
【分析】利用所給角的正切函數即可求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，有∠BAC＝α，AC＝30．
∴BC＝30tanα．
故選：A．
7．已知，則∠A＝（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【分析】根據特殊角三角函數值，可得答案．
【解答】解：由題意，得∠A＝60°，
故選：C．
8．若在平面直角坐標系xOy中，已知點A（2，1）和點B（4，0），則sin∠ABO的值為 　 ．
【答案】．
【分析】根據題意畫出直角坐標系，標出點A和點B坐標，作AD⊥x軸于D，再根據三角函數解直角三角形即可求出．
【解答】解：根據題意可畫出直角坐標系，作AD⊥x軸于D，如圖所示：
∵點A（2，1）和點B（4，0），
∴OD＝2，AD＝1，OB＝4，
∴BD＝2，
在Rt△ADB中，由勾股定理可得：
∴，
∴，
故答案為：．
9．△ABC中，∠A、∠B都是銳角，cosA，sinB，AB＝8，則BC長為 　 　．
【答案】6.5．
【分析】首先根據題意畫出示意圖，作CD⊥AB于D，先在Rt△BCD中由，在Rt△CDA中，cosA，
設AD＝4x，AC＝41x，進而得BD＝12x，BC＝13x，求出x的值即可得出BC的長．
【解答】解：過點C作CD⊥AB于點D，如圖：
在Rt△BCD中，，
在Rt△CDA中，cosA，
設AD＝4x，AC＝41x，
由勾股定理得：CD5x，
∴BD＝12x，BC＝13x，
∵AB＝8，
∴4x+12x＝8，
∴x，
∴BC＝13x＝6.5．
故答案為：6.5．
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，則tanA＝　 ．
【答案】見試題解答內容
【分析】根據已知條件設出直角三角形一直角邊與斜邊的長，再根據勾股定理求出另一直角邊的長，運用三角函數的定義解答．
【解答】解：由sinA知，可設a＝4x，則c＝5x，b＝3x．
∴tanA．
故答案為：．
11．若0°＜α＜45°，且，則α＝　 　度．
【答案】30
【分析】先根據60°的正弦值得到2α＝60°，則α＝30°，然后利用30度的正切值求解．
【解答】解：∵sin2α，0°＜α＜45°，
∴2α＝60°，
∴α＝30°．
故答案為：30．
12．若cosA，則銳角∠A＝　 ．
【答案】60°．
【分析】直接利用特殊角的三角函數值得出答案．
【解答】解：∵cosA，
∴銳角∠A＝60°．
故答案為：60°．
13．計算：
（1）sin45°cos45°+3tan30°sin60°；
（2）cos60°﹣2sin245°+tan260°．
【答案】（1）2；
（2）2．
【分析】利用特殊銳角的三角函數值計算即可．
【解答】解：（1）原式3
＝2；
（2）原式2×（）2+（）2
23
1+3
＝2．
14．如圖，小明利用課余時間測量教學樓的高度．他在C點測得A點的仰角為37°，他又向前走了4m，測得A點關于E點的仰角為45°．已知小胖身高為1.6m，求教學樓AB的高度．（結果保留整數，參考數據：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.41）
【答案】教學樓AB的高度約為14m．
【分析】如圖，延長CE交AB于G，根據題意得，CD⊥BD，AB⊥BD，CE∥BD，∠AEG＝45°，∠ACG＝37°，CE＝4m，CD＝1.6m，根據矩形的性質得到CD＝BG，設AG＝3x m，解直角三角形即可得到結論．
【解答】解：如圖，延長CE交AB于G，
根據題意得，CD⊥BD，AB⊥BD，CE∥BD，∠AEG＝45°，∠ACG＝37°，CE＝4m，CD＝1.6m，
∴∠CDB＝∠B＝∠CGB＝90°，
∴四邊形CDBG為矩形，
∴CD＝BG，
設AG＝3x m，
∴CG4x m，
∵∠AEG＝45°，∠CGA＝90°，
∴△AGE為等腰直角三角形，
∴GE＝AG＝3xm，
∴x＝4m，3x＝12m，
∴AB≈14m，
答：教學樓AB的高度約為14m．
15．如圖，某漁船沿正東方向以30海里/小時的速度航行，在A處測得島C在東北方向，20分鐘后漁船航行到B處，測得島C在北偏東30°方向，已知該島C周圍25海里內有暗礁．（參考數據：1.732，1.414，sin75°≈0.966，cos75°≈0.259．）
（1）如果漁船繼續向東航行，有無觸礁危險？請說明理由．
（2）如果漁船在B處改為向東偏南15°方向航行，有無觸礁危險？說明理由．
【答案】（1）如果漁船繼續向東航行，有觸礁危險，理由見解答；
（2）如果漁船在B處改為向東偏南15°方向航行，無觸礁危險，理由見解答．
【分析】（1）過點C作CD⊥AB，垂足為D，根據題意可得：∠CAD＝45°，∠CBD＝60°，AB＝10海里，然后設BD＝x海里，則AD＝（10+x）海里，從而分別在Rt△BDC和Rt△ACD中，利用銳角三角函數的定義求出CD的長，最后列出關于x的方程，進行計算即可解答；
（2）過點C作CE⊥BF，垂足為F，根據題意可得：∠ABE＝75°，然后在Rt△BCD中，利用銳角三角函數的定義求出BC的長，從而在Rt△CBE中，利用銳角三角函數的定義求出CE的長，比較即可解答．
【解答】解：（1）如果漁船繼續向東航行，有觸礁危險，
理由：過點C作CD⊥AB，垂足為D，
由題意得：∠CAD＝45°，∠CBD＝90°﹣30°＝60°，AB＝3010（海里），
設BD＝x海里，
∴AD＝AB+BD＝（10+x）海里，
在Rt△BDC中，CD＝BD tan60°x（海里），
在Rt△ACD中，CD＝AD tan45°＝（10+x）海里，
∴x＝10+x，
解得：x＝55，
∴CDx＝15+523.66（海里），
∵23.66海里＜25海里，
∴如果漁船繼續向東航行，有觸礁危險；
（2）如果漁船在B處改為向東偏南15°方向航行，無觸礁危險，
理由：過點C作CE⊥BF，垂足為F，
由題意得：∠ABE＝∠CBD+15°＝75°，
在Rt△BCD中，∠CBD＝60°，BD＝（55）海里，
∴BC（1010）海里，
在Rt△CBE中，CE＝BC sin75°≈（1010）×0.966＝26.39112（海里），
∵26.39112海里＞25海里，
∴如果漁船在B處改為向東偏南15°方向航行，無觸礁危險．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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