資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第七章 統計與概率
第三節 概率
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1事件的可能性 ☆☆ 概率問題在中考數學中的考察難度在中檔以下，年年都會考查，是廣大考生的得分點，分值為10分左右，預計2024年中考還將出現。該專題考題的類型也比較的固定，單獨考查時，通常作為選擇或者填空題，考概率的基本定義和簡單計算、頻率估計概率等。綜合考查時會和統計圖表類問題結合，作為最后一問，考查概率的樹狀圖或者列表分析。因為整體難度較小，屬于中考數學中必拿分點，審題時要多加注意即可，
考點2簡單事件的概率計算公式 ☆☆☆
考點3用頻率估計概率 ☆☆
考點4樹狀圖、列表法與概率計算 ☆☆☆
1．在一定條件下一定會發生的事件叫做必然事件；在一定條件下一定不會發生的事件叫做不可能事件；在一定條件下可能發生，也可能不發生的事件叫做不確定事件或隨機事件．
2．我們把事件發生的可能性的大小稱為事件發生的概率，一般用P表示．事件A發生的概率記為P(A)．簡單事件的概率可以通過統計事件發生的所有不同結果來計算，常用的方法有：枚舉法、列表法和畫樹狀圖等．
3．事件A發生的概率：
P(A)＝＝(m≤n)．
注意：事件發生的各種結果的可能性需相同且互相排斥．
4．必然事件發生的概率是 1 ，不可能事件發生的概率是 0 ，不確定事件(隨機事件)發生的概率介于0與1之間．
5.概率與頻率
（1）當重復試驗的次數大量增加時，事件發生的頻率就穩定在相應的概率附近，即事件發生可能性的大小可以用試驗的頻率來表示，然后用概率的知識來解決問題．
（2）頻率與概率二者并不完全相同，頻率是通過多次試驗得到的數據，而概率是理論上事件發生的可能性．
6.概率的應用
有關單轉盤、雙轉盤、拋硬幣、摸球游戲等概率模型，可以用枚舉法、畫樹狀圖或列表法求解．
注：（1）當事件中涉及兩個以上的因素時，用樹狀圖的形式不重不漏地列出所有可能的結果的方法叫畫樹狀圖法.畫樹狀圖法求概率的步驟：
1) 明確試驗由幾個步驟組成；
2) 畫樹狀圖分步列舉出試驗的所有等可能結果；
3) 根據樹狀圖求出所關注事件包含的結果數及所有等可能的結果數，再利用概率公式求解.
（2）當事件中涉及兩個因素，并且可能出現的結果數目較多時，用表格不重不漏地列出所有可能的結果，這種方法叫列表法.列表法求概率的步驟：
1）列表，并將所有可能結果有規律地填入表格；
2）通過表格計數，確定所有等可能的結果數n和符合條件的結果數m的值；
3）利用概率公式P(A)＝(m≤n)．，計算出事件的概率．
■考點一　事件的可能性
◇典例1：（2023 金華模擬）下列事件中，屬于必然事件的是（　　）
A．拋擲一枚均勻的硬幣，恰好正面朝上 B．打開數學書，恰好翻到第20頁
C．在1個標準大氣壓下，水加熱到100℃沸騰 D．打開電視機，它正在播新聞聯播
【考點】隨機事件．
【答案】C
【點撥】根據隨機事件，必然事件，不可能事件的特點，逐一判斷即可解答．
【解析】解：A、拋擲一枚均勻的硬幣，恰好正面朝上，是隨機事件，故A不符合題意；
B、打開數學書，恰好翻到第20頁，是隨機事件，故B不符合題意；
C、在1個標準大氣壓下，水加熱到100℃沸騰，是必然事件，故C符合題意；
D、打開電視機，它正在播新聞聯播，是隨機事件，故D不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查了隨機事件，熟練掌握隨機事件，必然事件，不可能事件的特點是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2021 麗水模擬）下列事件是隨機事件的是（　　）
A．拋一枚質地均勻的硬幣，正好正面朝上 B．擲一枚質地均勻的骰子，出現點數為7
C．從一副撲克牌中任抽2張都是紅心5 D．從裝滿紅球的口袋中隨意摸一個球是紅球
【考點】隨機事件．
【答案】A
【點撥】根據事件發生的可能性大小判斷即可．
【解析】解：A、拋一枚質地均勻的硬幣，正好正面朝上，是隨機事件；
B、擲一枚質地均勻的骰子，出現點數為7，是不可能事件；
C、從一副撲克牌中任抽2張都是紅心5，是不可能事件；
D、從裝滿紅球的口袋中隨意摸一個球是紅球，是必然事件；
故選：A．
【點睛】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念，必然事件指在一定條件下，一定發生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件．
2．（2022 金華模擬）下列說法屬于不可能事件的是（　　）
A．四邊形的內角和為360° B．分數大于1 C．守株待兔 D．存在實數x滿足x2+1＝0
【考點】隨機事件．
【答案】D
【點撥】根據必然事件、不可能事件、隨機事件的概念進行判斷即可．
【解析】解：四邊形的內角和為360°是必然事件，A錯誤；
分數也可能大于1，也可能小于1，是隨機事件，B錯誤；
守株待兔是隨機事件，C錯誤；
存在實數x滿足x2+1＝0是不可能事件，
故選：D．
【點睛】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下一定發生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件．不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件．
3．（2022 衢州一模）將分別標有數字2，3，x的三個球放入不透明的袋中，這些球除數字外都相同，攪勻后任意摸出一個球．若摸出球上的數字小于7是必然事件，則x的值可以是（　　）
A．11 B．9 C．7 D．5
【考點】隨機事件．
【答案】D
【點撥】根據必然事件的定義即可得出答案．
【解析】解：∵摸出球上的數字小于7是必然事件，
∴x的值可以是5．
故選：D．
【點睛】本題考查了隨機事件，掌握事先能肯定它一定會發生的事件稱為必然事件是解題的關鍵．
4．（2023 寧波模擬）袋子里有8個紅球，m個白球，3個黑球，每個球除顏色外都相同，從中任意摸出一個球，若摸到紅球的可能性最大，則m的值不可能是（　　）
A．1 B．3 C．5 D．10
【考點】可能性的大小．
【答案】D
【點撥】摸到紅球的可能性最大，即白球的個數比紅球的少．
【解析】解：袋子里有8個紅球，m個白球，3個黑球，若摸到紅球的可能性最大，則m的值不可能大于8．觀察選項，只有選項D符合題意．
故選：D．
【點睛】本題考查的是可能性大小的判斷，解決這類題目要注意具體情況具體對待．可能性大小的比較：只要總情況數目相同，誰包含的情況數目多，誰的可能性就大；反之也成立；若包含的情況相當，那么它們的可能性就相等．
■考點二　簡單事件的概率計算公式
◇典例2：（2022 溫州）9張背面相同的卡片，正面分別寫有不同的從1到9的一個自然數．現將卡片背面朝上，從中任意抽出一張，正面的數是偶數的概率為（　　）
A． B． C． D．
【考點】概率公式．
【答案】C
【點撥】讓正面的數字是偶數的情況數除以總情況數9即為所求的概率．
【解析】解：因為1到9共9個自然數．是偶數的有4個，
所以正面的數是偶數的概率為．
故選：C．
【點睛】此題主要考查了概率公式的應用，明確概率的意義是解答的關鍵，用到的知識點為：概率等于所求情況數與總情況數之比．
◆變式訓練
1．（2022 紹興）在一個不透明的袋子里，裝有3個紅球、1個白球，它們除顏色外都相同，從袋中任意摸出一個球為紅球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考點】概率公式．
【答案】A
【點撥】根據紅球可能出現的結果數÷所有可能出現的結果數即可得出答案．
【解析】解：∵總共有4個球，其中紅球有3個，摸到每個球的可能性都相等，
∴摸到紅球的概率P＝，
故選：A．
【點睛】本題考查了概率公式，掌握P（摸到紅球的概率）＝紅球可能出現的結果數÷所有可能出現的結果數是解題的關鍵．
2．（2021 金華）某單位組織抽獎活動，共準備了150張獎券，設一等獎5個，二等獎20個，三等獎80個．已知每張獎券獲獎的可能性相同，則1張獎券中一等獎的概率是 　　．
【考點】概率公式．
【答案】見試題解答內容
【點撥】直接根據概率公式即可得出結論．
【解析】解：∵共有150張獎券，一等獎5個，
∴1張獎券中一等獎的概率＝＝．
故答案為：．
【點睛】本題考查的是概率公式，熟知隨機事件A的概率P（A）＝事件A可能出現的結果數除以所有可能出現的結果數是解答此題的關鍵．
3．（2023 柯橋區一模）學校招募運動會廣播員，從三名男生和一名女生中隨機選取一人，則選中女生的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考點】概率公式．
【答案】C
【點撥】用女生人數除以學生總人數即可求得概率．
【解析】解：∵從三名男生和一名女生共四名候選人中隨機選取一人，
∴選中女生的概率為，
故選：C．
【點睛】本題考查概率的意義和計算方法，理解概率的意義，掌握概率的求法是解決問題的前提．
■考點三　用頻率估計概率
◇典例3：（2022 東陽市模擬）某班學生做“用頻率估計概率”的實驗時，得到的實驗結果成如圖所示的統計圖，則符合這一結果的實驗可能是（　　）
A．擲一個質地均勻的正六面體骰子，向上的面點數是4
B．扔一枚面額一元的硬幣，正面朝上
C．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，某人隨機出的是“剪刀”
D．從標有1，2，3，4，5，6的六張卡片中任抽一張，抽到的卡片上標有奇數
【考點】利用頻率估計概率．
【答案】C
【點撥】根據頻率估計概率分別對每一項進行分析，即可得出答案．
【解析】解：A、擲一個質地均勻的正六面體骰子，向上的面點數是4的概率是，不符合這一結果，故此選項不符合題意；
B、扔一枚面額一元的硬幣，正面朝上的概率是，不符合這一結果，故此選項不符合題意；
C、在“石頭、剪刀、布”的游戲中，某人隨機出的是“剪刀”的概率是，符合這一結果，故此選項符合題意；
D、從標有1，2，3，4，5，6的六張卡片中任抽一張，出現奇數的概率是＝，不符合這一結果，故此選項不符合題意；
故選：C．
【點睛】此題考查了利用頻率估計概率，大量反復試驗下頻率穩定值即概率．用到的知識點為：頻率＝所求情況數與總情況數之比．同時此題在解答中要用到概率公式．
◆變式訓練
1．（2021 麗水模擬）對一批口罩進行抽檢，統計合格口罩的只數，得到合格口罩的頻率如下：
抽取只數（只） 50 100 150 500 1000 2000 10000 50000
合格頻率 0.82 0.83 0.82 0.83 0.84 0.84 0.84 0.84
估計從該批次口罩中任抽一支口罩是合格品的概率為　0.84　．
【考點】利用頻率估計概率．
【答案】0.84．
【點撥】觀察表格合格的頻率趨近于0.84，從而由此得到口罩合格的概率即可．
【解析】解：∵隨著抽樣數量的增多，合格的頻率趨近于0.84，
∴估計從該批次口罩中任抽一支口罩是合格品的概率為0.84．
故答案為：0.84．
【點睛】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復實驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．
■考點四　樹狀圖、列表法與概率計算
◇典例4： 12．（2023 杭州一模）有4張正面分別寫有數字﹣2，2，4，6的不透明卡片，它們除數字外完全相同，將它們背面朝上洗勻．
（1）隨機抽取一張，記下數字且放回洗勻，再隨機抽取一張記下數字，前后兩次抽取的數字記下為m，n，用列表或畫樹狀圖求點P（m，n）在第一象限的概率．
（2）隨機抽取一張記下數字后（不放回），再從余下的3張中隨機抽取一張記下數字，前后兩次抽取的數字記為m，n，用列表或樹狀圖求點P（m，n）在第二象限的概率．
【考點】列表法與樹狀圖法；點的坐標．
【答案】（1）；
（2）．
【點撥】（1）首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有可能的結果與點P（m，n）在第一象限的所有情況，再利用概率公式即可求得答案；
（2）首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有可能的結果與點P（m，n）在第二象限的所有情況，再利用概率公式即可求得答案．
【解析】解：（1）畫樹狀圖如下：
由樹狀圖知，共有16種等可能結果，其中在第一象限的有（2，2），（2，4），（2，6），（4，2），（4，4），（4，6），（6，2），（6，4），（6，6）共9種，
∴點P（m，n）在第一象限的概率為P1＝；
（2）畫樹狀圖如下：
由樹狀圖知，共有12種等可能結果，其中在第二象限的有（﹣2，2），（﹣2，4），（﹣2，6）共3種，
∴點P（m，n）在第二象限的概率為P2＝＝．
【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率．
◆變式訓練
1．（2023 龍灣區模擬）拋擲兩枚質地均勻的硬幣，兩枚硬幣落地后，正面都朝上的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考點】列表法與樹狀圖法．
【答案】C
【點撥】首先利用列舉法可得所有等可能的結果有：正正，正反，反正，反反，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解析】解：∵拋擲兩枚質地均勻的硬幣，兩枚硬幣落地后的所有等可能的結果有：正正，正反，反正，反反，
∴正面都朝上的概率是：．
故選：C．
【點睛】此題考查了列舉法求概率的知識．此題比較簡單，注意在利用列舉法求解時，要做到不重不漏，注意概率＝所求情況數與總情況數之比．
2．（2023 余姚市二模）在一個不透明的口袋里裝有1個白球，2個黑球，它們除顏色外其余都相同，現隨機從袋里摸出2個球，則摸出的2個球都是黑球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考點】列表法與樹狀圖法．
【答案】B
【點撥】先根據題意畫出樹狀圖，確定所有可能結果數和符合題意結果數，然后運用概率公式計算即可．
【解析】解：列出樹狀圖如下：
摸出的2個球共有6種可能，其中2個球都是黑球的結果數為2，
所以摸出的2個球都是黑球的概率是．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了畫樹狀圖求概率，正確畫出樹狀圖是解答本題的關鍵．
3．（2023 甌海區二模）隨著春天氣溫變暖，某校組織同學們分別到A、B、C、D四個景點進行春游活動，學校把學生前往四個地方的人數做了統計，得到下列兩幅不完整的統計圖，如圖所示：
（1）本次參加春游活動學生總人數有　400　人，在扇形統計圖中，去D景點活動的人數對應扇形的圓心角的度數是　108　度；
（2）請你將條形統計圖補充完整；
（3）本次春游活動中，學校分配給九年級學生甲、乙、丙三輛車，小明與小華都可以從這三輛車中任選一輛搭乘，求小明與小華同車的概率（要求畫出樹狀圖或列表）．
【考點】列表法與樹狀圖法；扇形統計圖；條形統計圖．
【答案】見試題解答內容
【點撥】（1）由C景點的人數及其所占百分比可得總人數，由各景點的人數之和等于總人數求得D的人數，再用360°乘以對應的比例即可得；
（2）根據所求結果可補全圖形；
（3）用列表法展示所有9種等可能的結果數，找出小明與小華乘車相同的結果數，然后根據概率公式求解．
【解析】解：（1）本次參加春游活動學生總人數有80÷20%＝400（人），
∵去D景點的人數為400﹣（40+160+80）＝120（人），
∴去D景點活動的人數對應扇形的圓心角的度數是360°×＝108°，
故答案為：400，108；
（2）補全條形圖如下：
（3）小明與小華乘車的所有可能的結果可以列表如下：
甲 乙 丙
甲 甲，甲 甲，乙 甲，丙
乙 乙，甲 乙，乙 乙，丙
丙 丙，甲 丙，乙 丙，丙
共有9種等可能的結果數，其中小明與小華同車的有3種結果，
所以小明與小華同車的概率為＝．
【點睛】此題主要考查了扇形統計圖與條形統計圖的綜合應用以及利用列表法求概率等知識，利用條形統計圖與扇形統計圖得出正確信息是解題關鍵．
1．（2021 湖州）下列事件中，屬于不可能事件的是（　　）
A．經過紅綠燈路口，遇到綠燈 B．射擊運動員射擊一次，命中靶心
C．班里的兩名同學，他們的生日是同一天 D．從一個只裝有白球和紅球的袋中摸球，摸出黃球
【考點】隨機事件．
【答案】D
【點撥】根據不可能事件的意義，結合具體的問題情境進行判斷即可．
【解析】解：A、經過紅綠燈路口，遇到綠燈是隨機事件，故本選項不符合題意；
B、射擊運動員射擊一次，命中靶心是隨機事件，故本選項不符合題意；
C、班里的兩名同學，他們的生日是同一天是隨機事件，故本選項不符合題意；
D、從一個只裝有白球和紅球的袋中摸球，摸出黃球是不可能事件，故本選項符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查隨機事件，不可能事件，必然事件，理解隨機事件，不可能事件，必然事件的意義是正確判斷的前提．
2．（2021 上虞區模擬）浙教版九年級上冊課本第41頁中的一道題如圖所示，請你仔細閱讀后認真解答．你的答案是（　　）
籠子里關著一只小松鼠（如圖），籠子的主人決定把小松鼠放歸大自然，將籠子所有的門都打開．松鼠要先經過第一道門（A，B，或C），再經過第二道門（D或E）才能出去．問松鼠走出籠子的路線（經過的兩道門）有多少種不同的可能？
A．12 B．6 C．5 D．2
【考點】可能性的大小．
【答案】B
【點撥】分析兩道門各自的可能性情況，再進行組合即可求解．
【解析】解：∵第一道門有A，B，C三個出口，
∴出第一道門有三種選擇，
又∵第二道門有D、E兩個出口，
∴出第二道門有兩種選擇，
∴松鼠走出籠子的路線有6種選擇，分別為：AD、AE、BD、BE、CD、CE．
故選：B．
【點睛】本題考查了概率的知識，解題的關鍵是通過列舉法列出所有可能性的路徑．
3．（2023 舟山三模）如圖，某天氣預報軟件顯示“舟山市定海區明天的降水概率為85%”，對這條信息的下列說法中，正確的是（　　）
A．定海區明天下雨的可能性較大 B．定海區明天下雨的可能性較小
C．定海區明天將有85%的時間下雨 D．定海區明天將有85%的地區下雨
【考點】概率的意義．
【答案】A
【點撥】根據概率反映隨機事件出現的可能性大小，即可進行解答．
【解析】解：“舟山市定海區明天的降水概率為85%”表示“舟山市區明天下雨的可能性較大”．
故選：A．
【點睛】本題考查了概率的意義，熟練掌握概率的意義是解題的關鍵．
4．（2023 紹興）在一個不透明的袋子里裝有2個紅球和5個白球，它們除顏色外都相同，從中任意摸出1個球，則摸出的球為紅球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考點】概率公式．
【答案】C
【點撥】由一個不透明的布袋里裝有7個球，其中2個紅球，5個白球，它們除顏色外其余都相同，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解析】解：從中任意摸出1個球，則摸到紅球的概率是：＝，
故選：C．
【點睛】此題考查了概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種可能，那么事件A的概率P（A）＝．
5．（2023 麗水）某校準備組織紅色研學活動，需要從梅岐、王村口、住龍、小順四個紅色教育基地中任選一個前往研學，選中梅岐紅色教育基地的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考點】概率公式．
【答案】B
【點撥】根據概率公式直接計算即可．
【解析】解：∵紅色教育基地有4個，
∴選中梅岐紅色教育基地的概率是．
故選：B．
【點睛】本題考查了概率公式，隨機事件A的概率P（A）＝事件A可能出現的結果數除以所有可能出現的結果數．
6．（2022 麗水）老師從甲、乙、丙、丁四位同學中任選一人去學校勞動基地澆水，選中甲同學的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考點】概率公式．
【答案】B
【點撥】利用事件概率的意義解答即可．
【解析】解：∵老師從甲、乙、丙、丁四位同學中任選一人去學校勞動基地澆水，事件的等可能性有4種，選中甲同學的可能性有一種，
∴選中甲同學的概率是，
故選：B．
【點睛】本題主要考查了概率的公式，熟練應用概率的公式是解題的關鍵．
7．（2021 衢州）一個布袋里放有3個紅球和2個白球，它們除顏色外其余都相同．從布袋中任意摸出1個球，摸到白球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考點】概率公式．
【答案】D
【點撥】根據概率公式，用白球的個數除以球的總個數即可．
【解析】解：∵從放有3個紅球和2個白球布袋中摸出一個球，共有5種等可能結果，其中摸出的球是白球的有2種結果，
∴從布袋中任意摸出1個球，摸到白球的概率是，
故選：D．
【點睛】本題主要考查概率公式，隨機事件A的概率P（A）＝事件A可能出現的結果數÷所有可能出現的結果數．
8．（2021 杭州）某軌道列車共有3節車廂，設乘客從任意一節車廂上車的機會均等．某天甲、乙兩位乘客同時乘同一列軌道列車，則甲和乙從同一節車廂上車的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考點】列表法與樹狀圖法．
【答案】C
【點撥】畫樹狀圖，共有9種等可能的結果，甲和乙從同一節車廂上車的結果有3種，再由概率公式求解即可．
【解析】解：把3節車廂分別記為A、B、C，
畫樹狀圖如圖：
共有9種等可能的結果，甲和乙從同一節車廂上車的結果有3種，
∴甲和乙從同一節車廂上車的概率為＝，
故選：C．
【點睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．
9．（2023 甌海區模擬）從甲、乙、丙三名同學中隨機抽取兩名同學去參加義務勞動，則甲與乙恰好被選中的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考點】列表法與樹狀圖法．
【答案】C
【點撥】畫樹狀圖，共有6種等可能的結果，其中甲與乙恰好被選中的結果有2種，再由概率公式求解即可．
【解析】解：畫樹狀圖如下：
共有6種等可能的結果，其中甲與乙恰好被選中的結果有2種，
∴甲與乙恰好被選中的概率為＝，
故選：C．
【點睛】此題考查的是樹狀圖法以及概率公式．樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．
10．（2021 柯橋區模擬）已知不透明的袋中裝有紅色、黃色、藍色的乒乓球共120個，某學習小組做“用頻率估計概率”的摸球試驗（從中隨機摸出一個球，記下顏色后放回），統計了“摸出球為紅色”出現的頻率，繪制了如圖的折線統計圖，那么估計袋中紅色球的數目為（　　）
A．20 B．30 C．40 D．60
【考點】利用頻率估計概率；頻數（率）分布折線圖．
【答案】C
【點撥】由折線統計圖知，隨著試驗次數的增加，頻率逐漸穩定在0.33附近，據此可估計摸出球為紅色的概率為0.33，再乘以球的總個數即可．
【解析】解：由折線統計圖知，隨著試驗次數的增加，頻率逐漸穩定在0.33附近，
據此可估計摸出球為紅色的概率為0.33，
所以袋中紅色球的個數為120×0.33≈40（個），
故選：C．
【點睛】此題主要考查了利用頻率估計概率，大量反復試驗下頻率穩定值即概率．用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．
11．（2023 杭州）一個僅裝有球的不透明布袋里只有6個紅球和n個白球（僅有顏色不同）．若從中任意摸出一個球是紅球的概率為，則n＝　9　．
【考點】概率公式．
【答案】見試題解答內容
【點撥】根據紅球的概率公式，列出方程求解即可．
【解析】解：根據題意，＝，
解得n＝9，
經檢驗n＝9是方程的解．
∴n＝9．
故答案為：9．
【點睛】本題考查概率公式，根據公式列出方程求解則可．用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．
12．（2023 金華）如表為某中學統計的七年級500名學生體重達標情況（單位：人），在該年級隨機抽取一名學生，該生體重“標準”的概率是 　　．
“偏瘦” “標準” “超重” “肥胖”
80 350 46 24
【考點】概率公式．
【答案】．
【點撥】根據概率公式計算即可．
【解析】解：七年級共有500名學生，體重“標準”的學生有350名，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了概率的計算．某事件的概率＝這個事件發生的結果數除以總的結果數．
13．（2023 濱江區一模）如圖，轉盤被分成5個面積相等的扇形，任意轉動這個轉盤1次，當轉盤停止轉動時，指針落在陰影區域的概率為 　　．
【考點】幾何概率．
【答案】．
【點撥】首先確定在圖中陰影區域的面積在整個面積中占的比例，根據這個比例即可求出指針指向陰影區域的概率．
【解析】解：∵轉盤被分成5個面積相等的扇形，其中陰影部分占2份，
∴指針落在陰影區域的概率為，
故答案為：．
【點睛】本題考查幾何概率的求法：首先根據題意將代數關系用面積表示出來，一般用陰影區域表示所求事件（A），然后計算陰影區域的面積在總面積中占的比例，這個比例即事件（A）發生的概率．
14．（2021 舟山）看了《田忌賽馬》故事后，小楊用數學模型來分析：齊王與田忌的上中下三個等級的三匹馬記分如表，每匹馬只賽一場，兩數相比，大數為勝，三場兩勝則贏．已知齊王的三匹馬出場順序為10，8，6．若田忌的三匹馬隨機出場，則田忌能贏得比賽的概率為 　　．
馬匹 姓名 下等馬 中等馬 上等馬
齊王 6 8 10
田忌 5 7 9
【考點】列表法與樹狀圖法．
【答案】．
【點撥】列表得出所有等可能的情況，田忌能贏得比賽的情況有1種，再由概率公式求解即可．
【解析】解：由于田忌的上、中等馬分別比齊王的中、下等馬強，當齊王的三匹馬出場順序為10，8，6時，田忌的馬按5，9，7的順序出場，田忌才能贏得比賽，
當田忌的三匹馬隨機出場時，雙方馬的對陣情況如下：
雙方馬的對陣中，只有一種對陣情況田忌能贏，
∴田忌能贏得比賽的概率為．
故答案為：．
【點睛】本題考查了利用列表法或樹狀圖法求概率；用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．
15．（2023 越城區模擬）一個不透明的箱子里裝有m個球，其中紅球有3個，這些球除顏色外都相同，每次將箱子里的球攪拌均勻后，任意摸出一個球記下顏色后再放回，大量重復試驗后發現，摸到紅球的頻率穩定在0.25，那么可以估算出m的值為 　12　．
【考點】利用頻率估計概率．
【答案】12．
【點撥】在同樣條件下，大量反復試驗時，隨機事件發生的頻率逐漸穩定在概率附近，可以從比例關系入手，根據紅球的個數除以總數等于頻率，求解即可．
【解析】解：∵大量重復試驗后發現，摸到紅球的頻率在0.25，
∴任意摸出一個球，摸到紅球的概率為0.25，
∴＝0.25，
解得m＝12，
經檢驗：m＝12是原方程的解，
故答案為：12．
【點睛】此題主要考查了利用頻率估計概率，解答此題的關鍵是利用紅球的個數除以總數等于頻率．
16．（2023 杭州模擬）第19屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，杭州亞運會吉祥物是“宸宸”“琮琮”和“蓮蓮”．將三張正面分別印有以上3個吉祥物圖案的卡片（卡片的形狀、大小、質地都相同）背面朝上、洗勻．
（1）若從中任意抽取1張，抽得卡片上的圖案恰好為“蓮蓮”的概率是 　　；
（2）若先從中任意抽取1張，記錄后放回，洗勻，再從中任意抽取1張，求兩次抽取的卡片圖案不同的概率．（請用樹狀圖或列表的方法求解）
【考點】列表法與樹狀圖法；概率公式．
【答案】（1）；
（2）．
【點撥】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）畫樹狀圖，共有9種等可能的結果，兩次抽取的卡片圖案不相同的結果有6種，再由概率公式求解即可．
【解析】解：（1）從中任意抽取1張，抽得卡片上的圖案恰好為“蓮蓮”的概率是，
故答案為：；
（2）把吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“蓮蓮”三張卡片分別記為A、B、C，
畫樹狀圖如圖：
共有9種等可能的結果，兩次抽取的卡片圖案不相同的結果有6種，
∴兩次抽取的卡片圖案不相同的概率為＝．
【點睛】此題考查了列表法與樹狀圖法；正確畫出樹狀圖是解題的關鍵，用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．
17．（2023 紹興模擬）某中學的一個數學興趣小組在本校學生中開展了主題為“防詐、反詐”的專題調查活動，采取隨機抽樣的方式進行問卷調查，問卷調查的結果分為“A．非常了解”、“B．比較了解”、“C．基本了解”、“D．不太了解”四個等級，將所得數據進行整理后，繪制成如圖兩幅不完整的統計圖表，
請你結合圖表中的信息解答下列問題：
等級 A B C D
頻數 110 50 36 n
頻率 0.55 m 0.18 0.02
（1）表中m的值為 　0.25　，n的值為 　4　；
（2）扇形統計圖中，等級B所對應的扇形的圓心角是 　90　°；
（3）若該校從甲、乙、丙、丁四人中隨機選取兩人參加市里的比賽，求甲、乙兩人恰好同時選中的概率．
【考點】利用頻率估計概率；頻數（率）分布表；扇形統計圖；列表法與樹狀圖法．
【答案】（1）0.25、4；
（2）90；
（3）．
【點撥】（1）先根據“非常了解”的頻數及其頻率求得總人數，再由頻率＝頻數÷總數求解可得；
（2）用360°乘以“非常了解”的頻率可得；
（3）根據樹狀圖求概率．
【解析】解：（1）∵本次調查的總人數為110÷0.55＝200，
∴m＝50÷200＝0.25、n＝200×0.02＝4，
故答案為：0.25、4；
（2）等級為“非常了解”的學生在扇形統計圖中所對應的扇形的圓心角的度數360°×0.25＝90°；
故答案為：90；
（3）樹狀圖如下：
共有12種等可能的結果，其中符合條件的有2種，所以甲、乙兩人恰好同時選中的概率P＝＝．
【點睛】本題考查了頻率分布表及概率的求解方法等知識，統計圖表是中考的必考內容，熟知這些知識點是解題的關鍵．
18．（2023 新昌縣模擬）我市有A，B，C，D，E五個景區很受游客喜愛．一旅行社對某小區居民在暑假期間去以上五個景區旅游（只選一個景區）的意向做了一次隨機調查統計，并根據這個統計結果制作了如下兩幅不完整的統計圖：
（1）直接寫出本次隨機調查的總人數，并補全條形統計圖；
（2）若該小區有居民1200人，試估計去B地旅游的居民約有多少人？
（3）小軍同學已去過E地旅游，暑假期間計劃與父母從A，B，C，D四個景區中，任選兩個去旅游，求選到A，C兩個景區的概率．（要求畫樹狀圖或列表求概率）
【考點】列表法與樹狀圖法；用樣本估計總體；扇形統計圖；條形統計圖．
【答案】（1）200，圖見解答；
（2）420人；
（3）
【點撥】（1）用想去D景區的人數除以它所占的百分比得到調查的總人數，再計算想去B景區的百分比得到m的值；
（2）用1200乘以B區所占比值可估計該景區旅游的居民大約人數；
（3）畫樹狀圖展示所有12種等可能的結果數，找出選到A，C兩個景區的結果數，然后根據概率公式計算．
【解析】解：（1）該小區居民在這次隨機調查中被調查到的人數是20÷10%＝200（人），
C景區人數為200﹣（20+70+20+50）＝40（人），
補全條形圖如下：
（2）估計去B地旅游的居民約有1200×＝420（人）；
（3）畫樹狀圖如下：
由樹狀圖知，共有12種等可能結果，其中選到A，C兩個景區的有2種結果，
所以選到A，C兩個景區的概率為．
【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率是解題的關鍵．
1．（2022 富陽區二模）下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．擲一次骰子，向上的一面的點數是1
B．13位學生參加一個聚會，他們中至少有兩位學生的生日在同一個月
C．經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈
D．打開電視機，正在播放“神舟十三號”成功返回新聞
【考點】隨機事件．
【答案】B
【點撥】根據必然事件的定義進行判定即可得出答案．
【解析】解：A．擲一次骰子，向上的一面的點數是1是隨機事件，故A選項不符合題意；
B.13位學生參加一個聚會，他們中至少有兩位學生的生日在同一個月是必然事件，因為一年有12個月，所以13個人必然有兩個人的生日在同一個月．故B符合題意；
C．經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈是隨機事件，故C選項不符合題意；
D．打開電視機，正在播放“神舟十三號”成功返回新聞是隨機事件，故D選項不符合題意；
故選：B．
【點睛】本題主要考查了必然事件，熟練掌握必然事件的定義進行求解是解決本題的關鍵．
2．（2023 拱墅區二模）拋擲一枚質地均勻的骰子（六個面分別標有數字1﹣6）一次，則正面朝上的數字（　　）
A．一定是6 B．可能是6 C．一定大于6 D．一定小于6
【考點】隨機事件．
【答案】B
【點撥】根據事件發生的可能性大小判斷．
【解析】解：拋擲一枚質地均勻的骰子（六個面分別標有數字1﹣6）一次，則正面朝上的數字可能是6，
故選：B．
【點睛】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件．
3．（2022 金華模擬）下列說法正確的是（　　）
A．任意擲一枚質地均勻的骰子，擲出的點數一定是奇數
B．“從一副撲克牌中任意抽取一張，抽到大王”是必然事件
C．了解一批冰箱的使用壽命，采用抽樣調查的方式
D．若平均數相同的甲、乙兩組數據，S甲2＝3，S乙2＝0.02，則甲組數據更穩定
【考點】隨機事件；全面調查與抽樣調查；方差．
【答案】C
【點撥】依據隨機事件、抽樣調查以及方差的概念進行判斷，即可得出結論．
【解析】解：A．任意擲一枚質地均勻的骰子，擲出的點數不一定是奇數，故原說法錯誤，不合題意；
B．“從一副撲克牌中任意抽取一張，抽到大王”是隨機事件，故原說法錯誤，不合題意；
C．了解一批冰箱的使用壽命，適合采用抽樣調查的方式，說法正確，符合題意；
D．若平均數相同的甲、乙兩組數據，s甲2＝3，s乙2＝0.02，則乙組數據更穩定，故原說法錯誤，不合題意；
故選：C．
【點睛】本題主要考查了隨機事件、抽樣調查以及方差的概念，掌握方差是反映一組數據的波動大小的一個量是關鍵．
4．（2021 長興縣模擬）一個不透明的盒子中裝有2個紅球、3個白球和2個黃球，它們除顏色外都相同．若從中任意摸出一個球，摸到哪種顏色的球的可能性最大（　　）
A．紅色 B．黃色 C．白色 D．紅色和黃色
【考點】可能性的大小．
【答案】C
【點撥】由題意可得，共有7種等可能的結果，利用概率公式分別求得摸出紅球、白球和黃球的概率，據此即可求得答案．
【解析】解：∵從裝有2個紅球、3個白球和2個黃球的袋中任意摸出一個球有7種等可能結果，
其中摸出的球是紅球的有2種、白球的結果有3種、黃球的有2種，
∴從袋中任意摸出一個球，是紅球的概率為、白球的概率是、黃球的概率為，
∴摸到白球的可能性大，
故選：C．
【點睛】此題考查了概率公式，明確概率的意義是解答問題的關鍵，用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．
5．（2022 黃巖區一模）下列說法正確的是（　　）
A．為保證“神舟十三號”成功發射，對其零部件檢查采取抽樣調查方式
B．“守株待兔”是必然事件
C．有5個數都是6的整數倍，從中任選2個數都是偶數的概率是1
D．某彩票的中獎率是70%，小明買了10張彩票，一定有7張中獎
【考點】概率的意義；列表法與樹狀圖法；全面調查與抽樣調查；隨機事件．
【答案】C
【點撥】根據概率的意義，全面調查與抽樣調查，隨機事件，列表法與樹狀圖法，逐一判斷即可解答．
【解析】解：A、為保證“神舟十三號”成功發射，對其零部件檢查采取全面調查方式，故A不符合題意；
B、“守株待兔”是隨機事件，故B不符合題意；
C、有5個數都是6的整數倍，從中任選2個數都是偶數的概率是1，故C符合題意；
D、某彩票的中獎率是70%，小明買了10張彩票，不一定有7張中獎，故D不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查了概率的意義，全面調查與抽樣調查，隨機事件，列表法與樹狀圖法，熟練掌握這些數學概念是解題的關鍵．
6．（2021 麗水）一個布袋里裝有3個紅球和5個黃球，它們除顏色外其余都相同．從中任意摸出一個球是紅球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考點】概率公式．
【答案】C
【點撥】用紅球的個數除以球的總個數即可．
【解析】解：∵布袋里裝有3個紅球和5個黃球，共有8個球，
∴任意摸出一個球是紅球的概率是．
故選：C．
【點睛】本題主要考查概率公式，解題的關鍵是掌握隨機事件A的概率P（A）＝事件A可能出現的結果數÷所有可能出現的結果數．
7．（2023 金華模擬）經過某十字路口的汽車，它可能繼續直行，也可能向左或向右轉，若這三種可能性相同．則甲乙兩輛汽車經過該十字路口全部繼續直行的概率為（　　）
A． B． C． D．
【考點】列表法與樹狀圖法．
【答案】B
【點撥】列表得出所有等可能的情況數，找出兩輛汽車經過十字路口全部繼續直行的情況數，即可求出所求的概率．
【解析】解：列表如下：
直 左 右
直 （直，直） （左，直） （右，直）
左 （直，左） （左，左） （右，左）
右 （直，右） （左，右） （右，右）
所有等可能的情況有9種，其中兩輛汽車經過十字路口全部繼續直行的情況有1種，
則P（甲乙兩輛汽車經過該十字路口全部繼續直行）＝．
故選：B．
【點睛】此題考查了列表法與樹狀圖法，用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．
8．（2023 義烏市模擬）一只布袋里裝有4個只有顏色不同的小球，其中3個紅球，1個白球，小敏和小麗依次從中任意摸出1個小球，則兩人摸出的小球顏色相同的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考點】列表法與樹狀圖法．
【答案】B
【點撥】畫樹狀圖展示所有12種等可能的結果數，再兩人摸出的小球顏色相同的結果數然后根據概率公式求解．
【解析】解：畫樹狀圖如下：
，
一共12種可能，兩人摸出的小球顏色相同的有6種情況，
所以兩人摸出的小球顏色相同的概率是＝，
故選：B．
【點睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．解題的關鍵是要注意是放回實驗還是不放回實驗．用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．
9．（2021 溫州模擬）一個小球在如圖所示的地板上自由滾動，并隨機停在某塊方磚上．如果每一塊方磚除顏色外完全相同，那么小球最終停留在黑磚上的概率是（　　）
A． B． C． D．1
【考點】幾何概率．
【答案】B
【點撥】根據幾何概率的求法：最終停留在黑色的磚上的概率就是黑色區域的面積與總面積的比值．
【解析】解：觀察這個圖可知：黑磚（4塊）的面積占總面積（9塊）的．
故選：B．
【點睛】本題考查幾何概率的求法：首先根據題意將代數關系用面積表示出來，一般用陰影區域表示所求事件（A）；然后計算陰影區域的面積在總面積中占的比例，這個比例即事件（A）發生的概率
10．（2021 金華模擬）在一個不透明的紙箱中，共有15個藍色、紅色的玻璃球，它們除顏色外其他完全相同．小柯每次摸出一個球后放回，通過多次摸球試驗后發現摸到藍色球的頻率穩定在20%，則紙箱中紅色球很可能有（　　）
A．3個 B．6個 C．9個 D．12個
【考點】利用頻率估計概率．
【答案】D
【點撥】根據利用頻率估計概率得到摸到藍色球的概率為20%，由此得到摸到紅色球的概率＝1﹣20%＝80%，然后用80%乘以總球數即可得到紅色球的個數．
【解析】解：∵摸到藍色球的頻率穩定在20%，
∴摸到紅色球的概率＝1﹣20%＝80%，
∵不透明的布袋中，有黃色、白色的玻璃球共有15個，
∴紙箱中紅球的個數有15×80%＝12（個）．
故選：D．
【點睛】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復實驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．
11．（2023 湖州）在一個不透明的箱子里放有7個紅球和3個黑球，它們除顏色外其余都相同．從這個箱子里隨機摸出一個球，摸出的球是紅球的概率是 　　．
【考點】概率公式．
【答案】見試題解答內容
【點撥】直接由概率公式求解即可．
【解析】解：從這個箱子里隨機摸出一個球，摸出的球是紅球的概率是＝，
故答案為：．
【點睛】本題考查了概率公式：概率＝所求情況數與總情況數之比．熟記概率公式是解題的關鍵．
12．（2022 杭州）有5張僅有編號不同的卡片，編號分別是1，2，3，4，5．從中隨機抽取一張，編號是偶數的概率等于 　　．
【考點】概率公式．
【答案】
【點撥】根據題目中的數據，可以計算出從中隨機抽取一張，編號是偶數的概率．
【解析】解：從編號分別是1，2，3，4，5的卡片中，隨機抽取一張有5種可能性，其中編號是偶數的可能性有2種可能性，
∴從中隨機抽取一張，編號是偶數的概率等于，
故答案為：．
【點睛】本題考查概率公式，解答本題的關鍵是明確題意，求出相應的概率．
13．（2023 臺州）一個不透明的口袋中有5個除顏色外完全相同的小球，其中2個紅球，3個白球．隨機摸出一個小球，摸出紅球的概率是 　　．
【考點】概率公式．
【答案】．
【點撥】利用紅球的個數÷球的總個數可得紅球的概率．
【解析】解：∵一個口袋里有5個除顏色外完全相同的小球，其中2個紅球，3個白球，
∴摸到紅球的概率是．
故答案為：．
【點睛】此題主要考查了概率公式，關鍵是掌握概率＝所求情況數與總情況數之比．
14．（2023 衢州）衢州飛往成都每天有2趟航班．小趙和小黃同一天從衢州飛往成都，如果他們可以選擇其中任一航班，則他們選擇同一航班的概率等于 　　．
【考點】概率公式．
【答案】．
【點撥】根據概率公式即可得到結論．
【解析】解：如圖所示，
選擇航班從衢州飛往成都共有4種情況：（A，A）（A，B）（B，A）（B，B），其中選擇同一航班從衢州市飛往成都市的有兩種情況：
（A，A），（B，B）．
∴P（選擇同一航班從N市飛往S市）＝．
故答案為：．
【點睛】本題考查了概率公式，熟練掌握概率公式是解題的關鍵．
15．（2022 拱墅區一模）如圖是一個可以自由轉動的兩色轉盤，其中白色扇形和紅色扇形的圓心角分別為120°和240°．若讓轉盤自由轉動一次，則指針落在白色區域的概率是 　　．若讓轉盤自由轉動兩次，則指針一次落在白色區域，另一次落在紅色區域的概率是 　　．
【考點】幾何概率；列表法與樹狀圖法．
【答案】，．
【點撥】根據概率的求法，用白色區域的圓心角度數除以360即可解答．根據概率的求法，再求出指針指向紅色區域的概率，進而即可得出答案．
【解析】解：由圖得：白色扇形的圓心角為120°，
故若讓轉盤自由轉動一次，則指針落在白色區域的概率是：＝，
則轉動一次，指針落在紅色區域的概率是：1﹣＝，
故若讓轉盤自由轉動兩次，則指針一次落在白色區域，另一次落在紅色區域的概率是：2××＝．
故答案為：，．
【點睛】本題考查了幾何概率的求法，正確求出轉動一次指針指向某一區域的概率是解題關鍵．
16．（2022 西湖區一模）植樹節過后，歷下區園林綠化管理局為了考察樹苗的成活率，于是進行了現場統計，表中記錄了樹苗的成活情況，則由此估計這種樹苗成活的概率約為 　0.9　（結果精確到0.1）．
移植總數n 400 1500 3500 7000 9000 14000
成活數m 369 1335 3203 6335 8073 12628
成活的頻率 0.923 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902
【考點】利用頻率估計概率．
【答案】0.9
【點撥】用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．
【解析】解：根據表格數據可知：樹苗移植成活的頻率近似值為0.9，
所以估計這種樹苗移植成活的概率約為0.9．
故答案為：0.9．
【點睛】本題考查了利用頻率估計概率，大量重復試驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．
17．（2023 龍游縣一模）在一個不透明的箱子里，裝有黃、白、黑各一個球，它們除了顏色之外沒有其他區別．
（1）隨機從箱子里取出1個球，則取出黃球的概率是多少？
（2）隨機從箱子里取出1個球，放回攪勻再取第二個球，請你用畫樹狀圖或列表的方法表示出所有可能出現的結果，并求兩次取出的都是白色球的概率．
【考點】列表法與樹狀圖法；概率公式．
【答案】見解析
【點撥】（1）由在一個不透明的箱子里，裝有黃、白、黑各一個球，它們除了顏色之外沒有其他區別，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與兩次取出白顏色球的情況，再利用概率公式即可求得答案．
【解析】解：（1）∵在一個不透明的箱子里，裝有黃、白、黑各一個球，它們除了顏色之外沒有其他區別，
∴隨機地從箱子里取出1個球，則取出黃球的概率是：；
（2）畫樹狀圖得：
由樹形圖可知所有可能的情況有9種，其中兩次取出的都是白色球有1種，所以兩次取出的都是白色球的概率＝．
【點睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．注意畫樹狀圖法與列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；注意此題屬于放回實驗．
18．（2023 婺城區模擬）如圖，地面上有一個不規則的封閉圖形ABCD，為求得它的面積，小明在此封閉圖形內畫出一個半徑為2米的圓后，在附近閉上眼睛向封閉圖形內擲小石子（可把小石子近似地看成點），記錄如下：
擲小石子落在不規則圖形內的總次數 50 150 300 …
小石子落在圓內（含圓上）的次數m 20 59 123 …
小石子落在圓外的陰影部分（含外緣）的次數n 29 91 176 …
（1）當投擲的次數很大時，則m：n的值越來越接近　0.7　（結果精確到0.1）
（2）若以小石子所落的有效區域為總數（即m+n），則隨著投擲次數的增大，小石子落在圓內（含圓上）的頻率值穩定在　0.4　附近（結果精確到0.1）；
（3）請你利用（2）中所得頻率的值，估計整個封閉圖形ABCD的面積是多少平方米？（結果保留π）
【考點】利用頻率估計概率；用樣本估計總體．
【答案】見試題解答內容
【點撥】（1）根據提供的m和n的值，計算m：n后即可確定二者的比值逐漸接近的值；
（2）大量試驗時，頻率可估計概率；
（3）利用概率，求出圓的面積比上總面積的值，計算出陰影部分面積．
【解析】解：（1）20÷29≈0.69；
59÷91≈0.65；
123÷176≈0.70，
…
當投擲的次數很大時，則m：n的值越來越接近0.7；
（2）觀察表格得：隨著投擲次數的增大，小石子落在圓內（含圓上）的頻率值穩定在0.4，
（3）設封閉圖形的面積為a，根據題意得：＝0.4，
解得：a＝10π，
故答案為：0.7，0.4，10π．
【點睛】本題考查了利用頻率估計概率，大量反復試驗下頻率穩定值即概率．用到的知識點為：頻率＝所求情況數與總情況數之比．
19．（2021 麗水模擬）小剛所在的社區為了做好應對新冠疫情的防控工作，特招募社區抗疫志愿工作者．小剛的爸爸決定報名參加，根據規定，志愿者會被隨機分到A（體溫檢測），B（便民代購），C（環境消殺）其中一組．
（1）求小剛的爸爸被分到C組的概率；
（2）小明的爸爸也加入了該社區的志愿者隊伍，請利用畫樹狀圖或列表的方法求小明的爸爸和小剛的爸爸被分到同一組的概率．
【考點】列表法與樹狀圖法；概率公式．
【答案】（1）；
（2）．
【點撥】（1）根據概率公式直接得出答案；
（2）根據題意先畫樹狀圖列出所有等可能的結果數，小明的爸爸和小剛的爸爸被分到同一組的結果數為3，再根據概率公式求解可得．
【解析】解：（1）P（小剛的爸爸被分到C組）＝；
（2）根據題意，畫樹狀圖如下：
由樹狀圖可知，共有9種等可能的結果，其中小明的爸爸和小剛的爸爸被分到同一組的結果有3種，
∴P（小明的爸爸和小剛的爸爸被分到同一組）＝．
【點睛】此題考查了用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．
20.（2021 拱墅區二模）隨著通訊技術迅猛發展，人與人之間的溝通方式更多樣、便捷．為此，老師設計了“你最喜歡的溝通方式”調查問卷（每人必選且只選一種）進行調查．將統計結果繪制了如圖所示的兩幅不完整的統計圖，請結合圖中所給的信息解答下列問題：
（1）這次參與調查的共有　　人；在扇形統計圖中，表示“微信”的扇形圓心角的度數為　　°；
（2）將條形統計圖補充完整；
（3）如果我國有13億人在使用手機；
①請估計最喜歡用“微信”進行溝通的人數；
②在全國使用手機的人中隨機抽取一人，用頻率估計概率，求抽取的恰好使用“QQ”的概率是多少？
【考點】利用頻率估計概率；扇形統計圖；條形統計圖．
【答案】（1）2000,144；
（2）見解答；
（3）①5.2億人；②22%．
【點撥】（1）由用電話溝通的人數及其所占百分比可求出總人數，用360°乘以利用溝通人數占被調查人數的比例即可；
（2）先求出短信溝通的人數，再根據5種方式的人數之和等于總人數求出使用微信的人數，從而補全圖形；
（3）①用總人數乘以樣本中用微信人數所占比例；
②先求出抽取的恰好使用“QQ”的頻率，再用頻率估計概率即可得出答案．
【解析】解：（1）∵喜歡用電話溝通的人數為400，所占百分比為20%，
∴此次共抽查了400÷20%＝2000（人），
表示“微信”的扇形圓心角的度數為：360°×＝144°，
故答案為：2000；144．
（2）短信人數為2000×5%＝100（人），微信人數為2000﹣（400+440+260+100）＝800（人），
如圖：
（3）①由（2）知：參與調查的人中喜歡用“微信”進行溝通的人數有800人，
所以在全國使用手機的13億人中，估計最喜歡用“微信”進行溝通的人數有13×＝5.2（億人）．
②由（1）可知：參與這次調查的共有2000人，其中喜歡用“QQ”進行溝通的人數為440人，
所以，在參與這次調查的人中隨機抽取一人，抽取的恰好使用“QQ”的頻率是×100%＝22%．
所以，用頻率估計概率，在全國使用手機的人中隨機抽取一人，抽取的恰好使用“QQ”的概率是22%．
【點睛】本題考查的是利用頻率估計概率、條形統計圖和扇形統計圖的綜合運用．讀懂統計圖，從統計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．條形統計圖能清楚地表示出每個項目的數據．
21．（2023 金華模擬）自我省深化課程改革以來，鐵嶺市某校開設了：A．利用影長求物體高度，B．制作視力表，C．設計遮陽棚，D．制作中心對稱圖形，四類數學實踐活動課．規定每名學生必選且只能選修一類實踐活動課，學校對學生選修實踐活動課的情況進行抽樣調查，將調查結果繪制成如下兩幅不完整的統計圖．
根據圖中信息解決下列問題：
（1）本次共調查 　60　名學生，扇形統計圖中B所對應的扇形的圓心角為 　144　度；
（2）補全條形統計圖；
（3）選修D類數學實踐活動的學生中有2名女生和2名男生表現出色，現從4人中隨機抽取2人做校報設計，請用列表或畫樹狀圖法求所抽取的兩人恰好是1名女生和1名男生的概率．
【考點】列表法與樹狀圖法；中心對稱圖形；扇形統計圖；條形統計圖．
【答案】（1）60，144°；（2）見解析；（3）．
【點撥】（1）用C類別人數除以其所占百分比可得總人數，用360°乘以B類別人數占總人數的比例即可得；
（2）總人數乘以A類別的百分比求得其人數，用總人數減去A，B，C的人數求得D類別的人數，據此補全圖形即可；
（3）畫樹狀圖展示12種等可能的結果數，再找出所抽取的兩人恰好是1名女生和1名男生的結果數，然后根據概率公式求解．
【解析】解：（1）本次調查的學生人數為12÷20%＝60（名），
則扇形統計圖中B所對應的扇形的圓心角為360°×＝144°．
故答案為：60，144°．
（2）A類別人數為60×15%＝9（人），則D類別人數為60﹣（9+24+12）＝15（人），
補全條形圖如下：
（3）畫樹狀圖為：
共有12種等可能的結果數，其中所抽取的兩人恰好是1名女生和1名男生的結果數為8，
所以所抽取的兩人恰好是1名女生和1名男生的概率為．
【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率．也考查了統計圖．
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第七章 統計與概率
第三節 概率
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1事件的可能性 ☆☆ 概率問題在中考數學中的考察難度在中檔以下，年年都會考查，是廣大考生的得分點，分值為10分左右，預計2024年中考還將出現。該專題考題的類型也比較的固定，單獨考查時，通常作為選擇或者填空題，考概率的基本定義和簡單計算、頻率估計概率等。綜合考查時會和統計圖表類問題結合，作為最后一問，考查概率的樹狀圖或者列表分析。因為整體難度較小，屬于中考數學中必拿分點，審題時要多加注意即可，
考點2簡單事件的概率計算公式 ☆☆☆
考點3用頻率估計概率 ☆☆
考點4樹狀圖、列表法與概率計算 ☆☆☆
1．在一定條件下一定會發生的事件叫做 ；在一定條件下一定不會發生的事件叫做 ；在一定條件下可能發生，也可能不發生的事件叫做不確定事件或 ．
2．我們把事件發生的可能性的大小稱為事件發生的概率，一般用P表示．事件A發生的概率記為P(A)．簡單事件的概率可以通過統計事件發生的所有不同結果來計算，常用的方法有：枚舉法、 和 等．
3．事件A發生的概率：
P(A)＝ .
注意：事件發生的各種結果的可能性需相同且互相排斥．
4．必然事件發生的概率是 ，不可能事件發生的概率是 ，不確定事件(隨機事件)發生的概率 ．
5.概率與頻率
（1）當重復試驗的次數大量增加時，事件發生的頻率就穩定在相應的 附近，即事件發生可能性的大小可以用試驗的頻率來表示，然后用概率的知識來解決問題．
（2）頻率與概率二者并不完全相同， 是通過多次試驗得到的數據，而 是理論上事件發生的可能性．
6.概率的應用
有關單轉盤、雙轉盤、拋硬幣、摸球游戲等概率模型，可以用枚舉法、畫樹狀圖或列表法求解．
注：（1）當事件中涉及兩個以上的因素時，用樹狀圖的形式不重不漏地列出所有可能的結果的方法叫畫樹狀圖法.畫樹狀圖法求概率的步驟：
1) 明確試驗由幾個步驟組成；
2) 畫樹狀圖分步列舉出試驗的所有等可能結果；
3) 根據樹狀圖求出所關注事件包含的結果數及所有等可能的結果數，再利用概率公式求解.
（2）當事件中涉及兩個因素，并且可能出現的結果數目較多時，用表格不重不漏地列出所有可能的結果，這種方法叫列表法.列表法求概率的步驟：
1）列表，并將所有可能結果有規律地填入表格；
2）通過表格計數，確定所有等可能的結果數n和符合條件的結果數m的值；
3）利用概率公式P(A)＝(m≤n)．，計算出事件的概率．
■考點一　事件的可能性
◇典例1：（2023 金華模擬）下列事件中，屬于必然事件的是（　　）
A．拋擲一枚均勻的硬幣，恰好正面朝上 B．打開數學書，恰好翻到第20頁
C．在1個標準大氣壓下，水加熱到100℃沸騰 D．打開電視機，它正在播新聞聯播
◆變式訓練
1．（2021 麗水模擬）下列事件是隨機事件的是（　　）
A．拋一枚質地均勻的硬幣，正好正面朝上 B．擲一枚質地均勻的骰子，出現點數為7
C．從一副撲克牌中任抽2張都是紅心5 D．從裝滿紅球的口袋中隨意摸一個球是紅球
2．（2022 金華模擬）下列說法屬于不可能事件的是（　　）
A．四邊形的內角和為360° B．分數大于1 C．守株待兔 D．存在實數x滿足x2+1＝0
3．（2022 衢州一模）將分別標有數字2，3，x的三個球放入不透明的袋中，這些球除數字外都相同，攪勻后任意摸出一個球．若摸出球上的數字小于7是必然事件，則x的值可以是（　　）
A．11 B．9 C．7 D．5
4．（2023 寧波模擬）袋子里有8個紅球，m個白球，3個黑球，每個球除顏色外都相同，從中任意摸出一個球，若摸到紅球的可能性最大，則m的值不可能是（　　）
A．1 B．3 C．5 D．10
■考點二　簡單事件的概率計算公式
◇典例2：（2022 溫州）9張背面相同的卡片，正面分別寫有不同的從1到9的一個自然數．現將卡片背面朝上，從中任意抽出一張，正面的數是偶數的概率為（　　）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2022 紹興）在一個不透明的袋子里，裝有3個紅球、1個白球，它們除顏色外都相同，從袋中任意摸出一個球為紅球的概率是（　　）
A． B． C． D．
2．（2021 金華）某單位組織抽獎活動，共準備了150張獎券，設一等獎5個，二等獎20個，三等獎80個．已知每張獎券獲獎的可能性相同，則1張獎券中一等獎的概率是 　　．
3．（2023 柯橋區一模）學校招募運動會廣播員，從三名男生和一名女生中隨機選取一人，則選中女生的概率是（　　）
A． B． C． D．
■考點三　用頻率估計概率
◇典例3：（2022 東陽市模擬）某班學生做“用頻率估計概率”的實驗時，得到的實驗結果成如圖所示的統計圖，則符合這一結果的實驗可能是（　　）
A．擲一個質地均勻的正六面體骰子，向上的面點數是4
B．扔一枚面額一元的硬幣，正面朝上
C．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，某人隨機出的是“剪刀”
D．從標有1，2，3，4，5，6的六張卡片中任抽一張，抽到的卡片上標有奇數
◆變式訓練
1．（2021 麗水模擬）對一批口罩進行抽檢，統計合格口罩的只數，得到合格口罩的頻率如下：
抽取只數（只） 50 100 150 500 1000 2000 10000 50000
合格頻率 0.82 0.83 0.82 0.83 0.84 0.84 0.84 0.84
估計從該批次口罩中任抽一支口罩是合格品的概率為　　．
■考點四　樹狀圖、列表法與概率計算
◇典例4：（2023 杭州一模）有4張正面分別寫有數字﹣2，2，4，6的不透明卡片，它們除數字外完全相同，將它們背面朝上洗勻．
（1）隨機抽取一張，記下數字且放回洗勻，再隨機抽取一張記下數字，前后兩次抽取的數字記下為m，n，用列表或畫樹狀圖求點P（m，n）在第一象限的概率．
（2）隨機抽取一張記下數字后（不放回），再從余下的3張中隨機抽取一張記下數字，前后兩次抽取的數字記為m，n，用列表或樹狀圖求點P（m，n）在第二象限的概率．
◆變式訓練
1．（2023 龍灣區模擬）拋擲兩枚質地均勻的硬幣，兩枚硬幣落地后，正面都朝上的概率是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023 余姚市二模）在一個不透明的口袋里裝有1個白球，2個黑球，它們除顏色外其余都相同，現隨機從袋里摸出2個球，則摸出的2個球都是黑球的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023 甌海區二模）隨著春天氣溫變暖，某校組織同學們分別到A、B、C、D四個景點進行春游活動，學校把學生前往四個地方的人數做了統計，得到下列兩幅不完整的統計圖，如圖所示：
（1）本次參加春游活動學生總人數有　 　人，在扇形統計圖中，去D景點活動的人數對應扇形的圓心角的度數是　 　度；
（2）請你將條形統計圖補充完整；
（3）本次春游活動中，學校分配給九年級學生甲、乙、丙三輛車，小明與小華都可以從這三輛車中任選一輛搭乘，求小明與小華同車的概率（要求畫出樹狀圖或列表）．
1．（2021 湖州）下列事件中，屬于不可能事件的是（　　）
A．經過紅綠燈路口，遇到綠燈 B．射擊運動員射擊一次，命中靶心
C．班里的兩名同學，他們的生日是同一天 D．從一個只裝有白球和紅球的袋中摸球，摸出黃球
2．（2021 上虞區模擬）浙教版九年級上冊課本第41頁中的一道題如圖所示，請你仔細閱讀后認真解答．你的答案是（　　）
籠子里關著一只小松鼠（如圖），籠子的主人決定把小松鼠放歸大自然，將籠子所有的門都打開．松鼠要先經過第一道門（A，B，或C），再經過第二道門（D或E）才能出去．問松鼠走出籠子的路線（經過的兩道門）有多少種不同的可能？
A．12 B．6 C．5 D．2
3．（2023 舟山三模）如圖，某天氣預報軟件顯示“舟山市定海區明天的降水概率為85%”，對這條信息的下列說法中，正確的是（　　）
A．定海區明天下雨的可能性較大 B．定海區明天下雨的可能性較小
C．定海區明天將有85%的時間下雨 D．定海區明天將有85%的地區下雨
4．（2023 紹興）在一個不透明的袋子里裝有2個紅球和5個白球，它們除顏色外都相同，從中任意摸出1個球，則摸出的球為紅球的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（2023 麗水）某校準備組織紅色研學活動，需要從梅岐、王村口、住龍、小順四個紅色教育基地中任選一個前往研學，選中梅岐紅色教育基地的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．（2022 麗水）老師從甲、乙、丙、丁四位同學中任選一人去學校勞動基地澆水，選中甲同學的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（2021 衢州）一個布袋里放有3個紅球和2個白球，它們除顏色外其余都相同．從布袋中任意摸出1個球，摸到白球的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．（2021 杭州）某軌道列車共有3節車廂，設乘客從任意一節車廂上車的機會均等．某天甲、乙兩位乘客同時乘同一列軌道列車，則甲和乙從同一節車廂上車的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．（2023 甌海區模擬）從甲、乙、丙三名同學中隨機抽取兩名同學去參加義務勞動，則甲與乙恰好被選中的概率是（　　）
A． B． C． D．
10．（2021 柯橋區模擬）已知不透明的袋中裝有紅色、黃色、藍色的乒乓球共120個，某學習小組做“用頻率估計概率”的摸球試驗（從中隨機摸出一個球，記下顏色后放回），統計了“摸出球為紅色”出現的頻率，繪制了如圖的折線統計圖，那么估計袋中紅色球的數目為（　　）
A．20 B．30 C．40 D．60
11．（2023 杭州）一個僅裝有球的不透明布袋里只有6個紅球和n個白球（僅有顏色不同）．若從中任意摸出一個球是紅球的概率為，則n＝　　．
12．（2023 金華）如表為某中學統計的七年級500名學生體重達標情況（單位：人），在該年級隨機抽取一名學生，該生體重“標準”的概率是 　　．
“偏瘦” “標準” “超重” “肥胖”
80 350 46 24
13．（2023 濱江區一模）如圖，轉盤被分成5個面積相等的扇形，任意轉動這個轉盤1次，當轉盤停止轉動時，指針落在陰影區域的概率為 　　．
14．（2021 舟山）看了《田忌賽馬》故事后，小楊用數學模型來分析：齊王與田忌的上中下三個等級的三匹馬記分如表，每匹馬只賽一場，兩數相比，大數為勝，三場兩勝則贏．已知齊王的三匹馬出場順序為10，8，6．若田忌的三匹馬隨機出場，則田忌能贏得比賽的概率為 　　．
馬匹 姓名 下等馬 中等馬 上等馬
齊王 6 8 10
田忌 5 7 9
15．（2023 越城區模擬）一個不透明的箱子里裝有m個球，其中紅球有3個，這些球除顏色外都相同，每次將箱子里的球攪拌均勻后，任意摸出一個球記下顏色后再放回，大量重復試驗后發現，摸到紅球的頻率穩定在0.25，那么可以估算出m的值為 　　．
16．（2023 杭州模擬）第19屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，杭州亞運會吉祥物是“宸宸”“琮琮”和“蓮蓮”．將三張正面分別印有以上3個吉祥物圖案的卡片（卡片的形狀、大小、質地都相同）背面朝上、洗勻．
（1）若從中任意抽取1張，抽得卡片上的圖案恰好為“蓮蓮”的概率是 　　；
（2）若先從中任意抽取1張，記錄后放回，洗勻，再從中任意抽取1張，求兩次抽取的卡片圖案不同的概率．（請用樹狀圖或列表的方法求解）
17．（2023 紹興模擬）某中學的一個數學興趣小組在本校學生中開展了主題為“防詐、反詐”的專題調查活動，采取隨機抽樣的方式進行問卷調查，問卷調查的結果分為“A．非常了解”、“B．比較了解”、“C．基本了解”、“D．不太了解”四個等級，將所得數據進行整理后，繪制成如圖兩幅不完整的統計圖表，
請你結合圖表中的信息解答下列問題：
等級 A B C D
頻數 110 50 36 n
頻率 0.55 m 0.18 0.02
（1）表中m的值為 　　，n的值為 　　；
（2）扇形統計圖中，等級B所對應的扇形的圓心角是 　　°；
（3）若該校從甲、乙、丙、丁四人中隨機選取兩人參加市里的比賽，求甲、乙兩人恰好同時選中的概率．
18．（2023 新昌縣模擬）我市有A，B，C，D，E五個景區很受游客喜愛．一旅行社對某小區居民在暑假期間去以上五個景區旅游（只選一個景區）的意向做了一次隨機調查統計，并根據這個統計結果制作了如下兩幅不完整的統計圖：
（1）直接寫出本次隨機調查的總人數，并補全條形統計圖；
（2）若該小區有居民1200人，試估計去B地旅游的居民約有多少人？
（3）小軍同學已去過E地旅游，暑假期間計劃與父母從A，B，C，D四個景區中，任選兩個去旅游，求選到A，C兩個景區的概率．（要求畫樹狀圖或列表求概率）
1．（2022 富陽區二模）下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．擲一次骰子，向上的一面的點數是1
B．13位學生參加一個聚會，他們中至少有兩位學生的生日在同一個月
C．經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈
D．打開電視機，正在播放“神舟十三號”成功返回新聞
2．（2023 拱墅區二模）拋擲一枚質地均勻的骰子（六個面分別標有數字1﹣6）一次，則正面朝上的數字（　　）
A．一定是6 B．可能是6 C．一定大于6 D．一定小于6
3．（2022 金華模擬）下列說法正確的是（　　）
A．任意擲一枚質地均勻的骰子，擲出的點數一定是奇數
B．“從一副撲克牌中任意抽取一張，抽到大王”是必然事件
C．了解一批冰箱的使用壽命，采用抽樣調查的方式
D．若平均數相同的甲、乙兩組數據，S甲2＝3，S乙2＝0.02，則甲組數據更穩定
4．（2021 長興縣模擬）一個不透明的盒子中裝有2個紅球、3個白球和2個黃球，它們除顏色外都相同．若從中任意摸出一個球，摸到哪種顏色的球的可能性最大（　　）
A．紅色 B．黃色 C．白色 D．紅色和黃色
5．（2022 黃巖區一模）下列說法正確的是（　　）
A．為保證“神舟十三號”成功發射，對其零部件檢查采取抽樣調查方式
B．“守株待兔”是必然事件
C．有5個數都是6的整數倍，從中任選2個數都是偶數的概率是1
D．某彩票的中獎率是70%，小明買了10張彩票，一定有7張中獎
6．（2021 麗水）一個布袋里裝有3個紅球和5個黃球，它們除顏色外其余都相同．從中任意摸出一個球是紅球的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（2023 金華模擬）經過某十字路口的汽車，它可能繼續直行，也可能向左或向右轉，若這三種可能性相同．則甲乙兩輛汽車經過該十字路口全部繼續直行的概率為（　　）
A． B． C． D．
8．（2023 義烏市模擬）一只布袋里裝有4個只有顏色不同的小球，其中3個紅球，1個白球，小敏和小麗依次從中任意摸出1個小球，則兩人摸出的小球顏色相同的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．（2021 溫州模擬）一個小球在如圖所示的地板上自由滾動，并隨機停在某塊方磚上．如果每一塊方磚除顏色外完全相同，那么小球最終停留在黑磚上的概率是（　　）
A． B． C． D．1
10．（2021 金華模擬）在一個不透明的紙箱中，共有15個藍色、紅色的玻璃球，它們除顏色外其他完全相同．小柯每次摸出一個球后放回，通過多次摸球試驗后發現摸到藍色球的頻率穩定在20%，則紙箱中紅色球很可能有（　　）
A．3個 B．6個 C．9個 D．12個
11．（2023 湖州）在一個不透明的箱子里放有7個紅球和3個黑球，它們除顏色外其余都相同．從這個箱子里隨機摸出一個球，摸出的球是紅球的概率是 　　．
12．（2022 杭州）有5張僅有編號不同的卡片，編號分別是1，2，3，4，5．從中隨機抽取一張，編號是偶數的概率等于 　　．
13．（2023 臺州）一個不透明的口袋中有5個除顏色外完全相同的小球，其中2個紅球，3個白球．隨機摸出一個小球，摸出紅球的概率是 　　．
14．（2023 衢州）衢州飛往成都每天有2趟航班．小趙和小黃同一天從衢州飛往成都，如果他們可以選擇其中任一航班，則他們選擇同一航班的概率等于 　　．
15．（2022 拱墅區一模）如圖是一個可以自由轉動的兩色轉盤，其中白色扇形和紅色扇形的圓心角分別為120°和240°．若讓轉盤自由轉動一次，則指針落在白色區域的概率是 　　．若讓轉盤自由轉動兩次，則指針一次落在白色區域，另一次落在紅色區域的概率是 　　．
16．（2022 西湖區一模）植樹節過后，歷下區園林綠化管理局為了考察樹苗的成活率，于是進行了現場統計，表中記錄了樹苗的成活情況，則由此估計這種樹苗成活的概率約為 　　（結果精確到0.1）．
移植總數n 400 1500 3500 7000 9000 14000
成活數m 369 1335 3203 6335 8073 12628
成活的頻率 0.923 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902
17．（2023 龍游縣一模）在一個不透明的箱子里，裝有黃、白、黑各一個球，它們除了顏色之外沒有其他區別．
（1）隨機從箱子里取出1個球，則取出黃球的概率是多少？
（2）隨機從箱子里取出1個球，放回攪勻再取第二個球，請你用畫樹狀圖或列表的方法表示出所有可能出現的結果，并求兩次取出的都是白色球的概率．
18．（2023 婺城區模擬）如圖，地面上有一個不規則的封閉圖形ABCD，為求得它的面積，小明在此封閉圖形內畫出一個半徑為2米的圓后，在附近閉上眼睛向封閉圖形內擲小石子（可把小石子近似地看成點），記錄如下：
擲小石子落在不規則圖形內的總次數 50 150 300 …
小石子落在圓內（含圓上）的次數m 20 59 123 …
小石子落在圓外的陰影部分（含外緣）的次數n 29 91 176 …
（1）當投擲的次數很大時，則m：n的值越來越接近　　（結果精確到0.1）
（2）若以小石子所落的有效區域為總數（即m+n），則隨著投擲次數的增大，小石子落在圓內（含圓上）的頻率值穩定在　　附近（結果精確到0.1）；
（3）請你利用（2）中所得頻率的值，估計整個封閉圖形ABCD的面積是多少平方米？（結果保留π）
19．（2021 麗水模擬）小剛所在的社區為了做好應對新冠疫情的防控工作，特招募社區抗疫志愿工作者．小剛的爸爸決定報名參加，根據規定，志愿者會被隨機分到A（體溫檢測），B（便民代購），C（環境消殺）其中一組．
（1）求小剛的爸爸被分到C組的概率；
（2）小明的爸爸也加入了該社區的志愿者隊伍，請利用畫樹狀圖或列表的方法求小明的爸爸和小剛的爸爸被分到同一組的概率．
20.（2021 拱墅區二模）隨著通訊技術迅猛發展，人與人之間的溝通方式更多樣、便捷．為此，老師設計了“你最喜歡的溝通方式”調查問卷（每人必選且只選一種）進行調查．將統計結果繪制了如圖所示的兩幅不完整的統計圖，請結合圖中所給的信息解答下列問題：
（1）這次參與調查的共有　　人；在扇形統計圖中，表示“微信”的扇形圓心角的度數為　　°；
（2）將條形統計圖補充完整；
（3）如果我國有13億人在使用手機；
①請估計最喜歡用“微信”進行溝通的人數；
②在全國使用手機的人中隨機抽取一人，用頻率估計概率，求抽取的恰好使用“QQ”的概率是多少？
21．（2023 金華模擬）自我省深化課程改革以來，鐵嶺市某校開設了：A．利用影長求物體高度，B．制作視力表，C．設計遮陽棚，D．制作中心對稱圖形，四類數學實踐活動課．規定每名學生必選且只能選修一類實踐活動課，學校對學生選修實踐活動課的情況進行抽樣調查，將調查結果繪制成如下兩幅不完整的統計圖．
根據圖中信息解決下列問題：
（1）本次共調查 　 　名學生，扇形統計圖中B所對應的扇形的圓心角為 　 　度；
（2）補全條形統計圖；
（3）選修D類數學實踐活動的學生中有2名女生和2名男生表現出色，現從4人中隨機抽取2人做校報設計，請用列表或畫樹狀圖法求所抽取的兩人恰好是1名女生和1名男生的概率．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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