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幾何探究題
（1）如圖1，圖2，圖3，在中，分別以為邊，向外作正三角形，正四邊形，正五邊形，相交于點．
①如圖1，求證：；
②探究：如圖1， ；
如圖2， ；
如圖3， ．
（2）如圖4，已知：是以為邊向外所作正邊形的一組鄰邊；是以為邊向外所作正邊形的一組鄰邊．的延長相交于點．
①猜想：如圖4， （用含的式子表示）；
②根據(jù)圖4證明你的猜想．
（1）①證法一：與均為等邊三角形，
， 2分
且 3分
，
即 4分
． 5分
證法二：與均為等邊三角形，
， 2分
且 3分
可由繞著點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到 4分
． 5分
②，，． 8分（每空1分）
（2）① 10分
②證法一：依題意，知和都是正邊形的內(nèi)角，，，
，即． 11分
． 12分
，， 13分
，
14分
證法二：同上可證 ． 12分
，如圖，延長交于，
，
13分
14分
證法三：同上可證 ． 12分
．
，
13分
即 14分
證法四：同上可證 ． 12分
．如圖，連接，
． 13分
即 14分
注意：此題還有其它證法，可相應(yīng)評分
請閱讀下列材料：
問題：如圖1，在菱形和菱形中，點在同一條直線上，是線段的中點，連結(jié)．若，探究與的位置關(guān)系及的值．
小聰同學(xué)的思路是：延長交于點，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題得到解決．
請你參考小聰同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：
（1）寫出上面問題中線段與的位置關(guān)系及的值；
（2）將圖1中的菱形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使菱形的對角線恰好與菱形的邊在同一條直線上，原問題中的其他條件不變（如圖2）．你在（1）中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明．
（3）若圖1中，將菱形繞點順時針旋轉(zhuǎn)任意角度，原問題中的其他條件不變，請你直接寫出的值（用含的式子表示）．
⑴ 線段與的位置關(guān)系是；
． 2分
⑵ 猜想：（1）中的結(jié)論沒有發(fā)生變化．
證明：如圖，延長交于點，連結(jié)．
是線段的中點，
．
由題意可知．
．
，
．
，．
四邊形是菱形，
，．
由，且菱形的對角線恰好與菱形的邊在同一條直線上，
可得．
．
四邊形是菱形，
．
．
．
，．
．
即．
，，
，．
． 6分
⑶ ． 8分
如圖，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，動點P從點C出發(fā)沿CD方向向點D運動，動點Q同時以相同速度從點D出發(fā)沿DA方向向終點A運動，其中一個動點到達(dá)端點時，另一個動點也隨之停止運動.
（1）求AD的長；
（2）設(shè)CP=x，問當(dāng)x為何值時△PDQ的面積達(dá)到最大，并求出最大值；
（3）探究：在BC邊上是否存在點M使得四邊形PDQM是菱形？若存在，請找出點M，并求出BM的長；不存在，請說明理由.
（1）解法一：如圖25-1
過A作AE⊥CD，垂足為E .
依題意，DE=. …………………………2分
在Rt△ADE中，AD=. ………5分
解法二：如圖25-2
過點A作AE∥BC交CD于點E，則CE=AB=4 . …2分
∠AED=∠C=60°.
又∵∠D=∠C=60°，
∴△AED是等邊三角形 .
∴AD=DE=9－4=5 . …………………………………5分
（2）解：如圖25-1
∵CP=x，h為PD邊上的高,依題意，△PDQ的面積S可表示為：
S=PD·h ………………………………………6分
=(9－x)·x·sin60°
=(9x－x2)
=－(x－)2＋. ………………………………………………… 8分
由題意，知0≤x≤5 . ……………………………………………………… 9分
當(dāng)x=時（滿足0≤x≤5），S最大值=. …………………………… 10分
（3）證法一：如圖25-3
假設(shè)存在滿足條件的點M，則PD必須等于DQ . ………………………… 11分
于是9－x=x，x=.
此時，點P、Q的位置如圖25-3所示，連QP .
△PDQ恰為等邊三角形 .
過點Q作QM∥DC，交BC于M，點M即為所求.
連結(jié)MP，以下證明四邊形PDQM是菱形 .
易證△MCP≌△QDP，∴∠D=∠3 . MP=PD
∴MP∥QD , ∴四邊形PDQM是平行四邊形 .
又MP=PD , ∴四邊形PDQM是菱形 . ………………………………… 13分
所以存在滿足條件的點M，且BM=BC－MC=5－=. ………………… 14分
[注] 本題僅回答存在，給1分.
證法二：如圖25-4
假設(shè)存在滿足條件的點M，則PD必須等于DQ . ………………………… 11分
于是9－x=x，x=.
此時，點P、Q的位置如圖25-4所示，△PDQ恰為等邊三角形 .
過點D作DO⊥PQ于點O，延長DO交BC于點M，連結(jié)PM、QM，則DM垂直平分PQ，∴ MP=MQ .
易知∠1=∠C .
∴PQ∥BC .
又∵DO⊥PQ， ∴MC⊥MD
∴MP= CD=PD
即MP=PD=DQ=QM
∴四邊形PDQM是菱形 ……………………………………………………… 13分
所以存在滿足條件的點M，且BM=BC－MC=5－= ……………… 14分
已知矩形ABCD和點P，當(dāng)點P在BC上任一位置（如圖（1）所示）時，易證得結(jié)論：，請你探究：當(dāng)點P分別在圖（2）、圖（3）中的位置時，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請你寫出對上述兩種情況的探究結(jié)論，并利用圖（2）證明你的結(jié)論．
答：對圖（2）的探究結(jié)論為____________________________________．
對圖（3）的探究結(jié)論為_____________________________________．
證明：如圖（2）
結(jié)論均是PA2＋PC2＝PB2＋PD2（圖2 2分，圖3 1分）
證明：如圖2過點P作MN⊥AD于點M，交BC于點N，
因為AD∥BC，MN⊥AD，所以MN⊥BC
在Rt△AMP中，PA2＝PM2＋MA2
在Rt△BNP中，PB2＝PN2＋BN2
在Rt△DMP中，PD2＝DM2＋PM2
在Rt△CNP中，PC2＝PN2＋NC2
所以PA2＋PC2＝PM2＋MA2＋PN2＋NC2
PB2＋PD2＝PM2＋DM2＋BN2＋PN2
因為MN⊥AD，MN⊥NC，DC⊥BC，所以四邊形MNCD是矩形
所以MD＝NC，同理AM ＝ BN，
所以PM2＋MA2＋PN2＋NC2＝PM2＋DM2＋BN2＋PN2
即PA2＋PC2＝PB2＋PD2
如圖，以矩形OABC的頂點O為原點，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．已知OA＝3，OC＝2，點E是AB的中點，在OA上取一點D，將△BDA沿BD翻折，使點A落在BC邊上的點F處．
（1）直接寫出點E、F的坐標(biāo)；
（2）設(shè)頂點為F的拋物線交y軸正半軸于點P，且以點E、F、P為頂點的三角形是等腰三角形，求該拋物線的解析式；
（3）在x軸、y軸上是否分別存在點M、N，使得四邊形MNFE的周長最小？如果存在，求出周長的最小值；如果不存在，請說明理由．
解：（1）；．
（2）在中，，
．
設(shè)點的坐標(biāo)為，其中，
頂點，
設(shè)拋物線解析式為．
①如圖①，當(dāng)時，，
．
解得（舍去）；．
．
．
解得．
拋物線的解析式為
②如圖②，當(dāng)時，，
．
解得（舍去）．
③當(dāng)時，，這種情況不存在．
綜上所述，符合條件的拋物線解析式是．
（3）存在點，使得四邊形的周長最小．
如圖③，作點關(guān)于軸的對稱點，作點關(guān)于軸的對稱點，連接，分別與軸、軸交于點，則點就是所求點．
，．
．
．
又，
，此時四邊形的周長最小值是．
如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個動點(點G與C、D不重合)，以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連結(jié)BG，DE．我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系：
（1）①猜想如圖1中線段BG、線段DE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系；
②將圖1中的正方形CEFG繞著點C按順時針(或逆時針)方向旋轉(zhuǎn)任意角度，得到如圖2、如圖3情形．請你通過觀察、測量等方法判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立,并選取圖2證明你的判斷．
（2）將原題中正方形改為矩形（如圖4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (ab，k0)，第(1)題①中得到的結(jié)論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖5為例簡要說明理由．
（3）在第(2)題圖5中，連結(jié)、，且a=3，b=2，k=，求的值．
(1)① ………………………………………………………………2分
②仍然成立 ……………………………………………………1分
在圖（2）中證明如下
∵四邊形、四邊形都是正方形
∴ ，，
∴…………………………………………………………………1分
∴ （SAS）………………………………………………………1分
∴
又∵
∴ ∴
∴ …………………………………………………………………………1分
（2）成立，不成立 …………………………………………………2分
簡要說明如下
∵四邊形、四邊形都是矩形，
且，，，(，)
∴ ，
∴
∴………………………………………………………………………1分
∴
又∵
∴ ∴
∴ ……………………………………………………………………………1分
（3）∵ ∴
又∵，，
∴ ………………………………………………1分
∴ ………………………………………………………………………1分
正方形ABCD中，點O是對角線AC的中點，P是對角線AC上一動點，過點P作PF⊥CD于點F。如圖1，當(dāng)點P與點O重合時，顯然有DF＝CF．
⑴如圖2，若點P在線段AO上（不與點A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于點E。
①求證：DF＝EF；
②寫出線段PC、PA、CE之間的一個等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
⑵若點P在線段OC上（不與點O、C重合），PE⊥PB且PE交直線CD于點E。請完成圖3并判斷⑴中的結(jié)論①、②是否分別成立？若不成立，寫出相應(yīng)的結(jié)論（所寫結(jié)論均不必證明）
⑴ ①略；②PC－PA＝CE；⑵結(jié)論①仍成立；結(jié)論②不成立，此時②中三條線段的數(shù)量關(guān)系是PA－PC＝CE；
將一矩形紙片放在平面直角坐標(biāo)系中，，，．動點從點出發(fā)以每秒1個單位長的速度沿向終點運動，運動秒時，動點從點出發(fā)以相等的速度沿向終點運動．當(dāng)其中一點到達(dá)終點時，另一點也停止運動．設(shè)點的運動時間為（秒）．
（1）用含的代數(shù)式表示；
（2）當(dāng)時，如圖1，將沿翻折，點恰好落在邊上的點處，求點的坐標(biāo)；
（3）連結(jié)，將沿翻折，得到，如圖2．問：與能否平行？與能否垂直？若能，求出相應(yīng)的值；若不能，說明理由．
解：（1），．

（2）當(dāng)時，過點作，交于，如圖1，
則，，
，．
（3）①能與平行．
若，如圖2，則，
即，，而，
．
②不能與垂直．
若，延長交于，如圖3，
則．
．
．
又，，
，
，而，
不存在．
（1）探究新知：
如圖1，已知△ABC與△ABD的面積相等，
試判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說明理由．
（2）結(jié)論應(yīng)用：
① 如圖2，點M，N在反比例函數(shù)（k＞0）的圖象上，過點M作ME⊥y軸，過點N作NF⊥x軸，垂足分別為E，F(xiàn)．
試證明：MN∥EF．

② 若①中的其他條件不變，只改變點M，N
的位置如圖3所示，請判斷 MN與EF是否平行．
（1）證明：分別過點C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，
垂足為G，H，則∠CGA＝∠DHB＝90°．……1分
∴ CG∥DH．
∵ △ABC與△ABD的面積相等，
∴ CG＝DH． …………………………2分
∴ 四邊形CGHD為平行四邊形．
∴ AB∥CD． ……………………………3分
（2）①證明：連結(jié)MF，NE． …………………4分
設(shè)點M的坐標(biāo)為（x1，y1），點N的坐標(biāo)為（x2，y2）．
∵ 點M，N在反比例函數(shù)（k＞0）的圖象上，
∴ ，．
∵ ME⊥y軸，NF⊥x軸，
∴ OE＝y(tǒng)1，OF＝x2．
∴ S△EFM＝， ………………5分
S△EFN＝． ………………6分
∴S△EFM ＝S△EFN． ……………… 7分
由（1）中的結(jié)論可知：MN∥EF． ………8分
② MN∥EF． …………………10分
（若學(xué)生使用其他方法，只要解法正確，皆給分．）

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