資源簡介

第01講 復數的概念
考點1：復數的基本概念
1、虛數單位的性質
叫做虛數單位，并規定：①可與實數進行四則運算；②；這樣方程就有解了，解為或
2、復數的概念
（1）定義：形如(a，b∈R)的數叫做復數，其中叫做虛數單位，a叫做，b叫做。全體復數所成的集合叫做復數集。復數通常用字母表示，即(a，b∈R)
對于復數的定義要注意以下幾點：
①(a，b∈R)被稱為復數的代數形式，其中表示與虛數單位相乘
②復數的實部和虛部都是實數，否則不是代數形式
（2）分類：
滿足條件(a，b為實數)
復數的分類 a＋bi為實數 b＝0
a＋bi為虛數 b≠0
a＋bi為純虛數 a＝0且b≠0
考點2：復數相等
也就是說，兩個復數相等，充要條件是他們的實部和虛部分別相等
注意：只有兩個復數全是實數，才可以比較大小，否則無法比較大小
例題：已知求的值
考點3:共軛復數
與共軛
的共軛復數記作，且
考點4：復數的幾何意義
1.復平面的概念
建立直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面，軸叫做實軸，軸叫做虛軸。顯然，實軸上的點都表示實數；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數。
2.復數的幾何意義
復數與復平面內的點及平面向量是一一對應關系（復數的實質是有序實數對，有序實數對既可以表示一個點，也可以表示一個平面向量）
相等的向量表示同一個復數。
3.復數的模
向量的模叫做復數的模，記作或，表示點到原點的距離，即，
若，，則表示到的距離，即
【題型1 實部虛部的辨析】
【典例1】寫出復數4，，0，，，6i的實部與虛部，并指出哪些是實數，哪些是虛數，哪些是純虛數．
【答案】答案見解析
【分析】根據復數的概念，即可得出答案.
【詳解】4，，0，，，6i的實部分別是4，2，0，，5，0，虛部分別是0，，0，，，6．
4，0是實數；
，，，6i是虛數，其中6i是純虛數．
【變式1-1】若復數，則復數的虛部為（ ）
A．5 B．-5 C．5 D．-5
【答案】B
【分析】根據復數的概念求出答案.
【詳解】的虛部為-5.
故選：B
【變式1-2】若復數滿足，則的虛部是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】A
【分析】計算，求其虛部.
【詳解】因為，所以，所以的虛部是4.
故選：A
【變式1-3】求以下復數的實部和虛部：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)實部為，虛部為
(2)實部為，虛部為
(3)實部為，虛部
【分析】根據復數的實部和虛部的知識求得正確答案.
【詳解】（1）的實部為，虛部為.
（2）的實部為，虛部為.
（3）的實部為，虛部.
【題型2 復數的分類】
【典例2】實數m取什么值時，復數是：
(1)實數？
(2)虛數？
(3)純虛數？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據復數是實數，則求解；
（2）根據復數是虛數，則求解；
（3）根據復數是純虛數，則求解；
【詳解】（1）當，即時，復數z是實數．
（2）當，即時，復數z是虛數．
（3）當且，即時，復數z是純虛數．
【變式2-1】當實數取什么值時，復數是下列數？
(1)實數；
(2)虛數；
(3)純虛數.
【答案】(1)或
(2)且
(3)
【分析】（1）令復數虛部等于0，即可求得答案；
（2）令復數的虛部不等于0，即可求得答案；
（3）根據純虛數的概念，令實部等于0，虛部不為0，即可求得答案.
【詳解】（1）由題意復數，
當，即或時，所給復數是實數.
（2）當，即且時，所給復數是虛數.
（3）當，即時，所給復數是純虛數.
【變式2-2】求實數的值，使得復數分別是：
(1)實數；
(2)純虛數．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根據復數為實數時解決即可；（2）根據復數為純虛數時解決即可.
【詳解】（1）由題知，
復數為實數當且僅當，即或，
所以當或時，復數為實數.
（2）復數為純虛數當且僅當，即，
唯一滿足此條件的的值是，
所以當時，復數為純虛數.
【變式2-3】實數m取什么數值時，復數分別是：
(1)實數？
(2)虛數？
(3)純虛數？
【答案】(1)或
(2)且
(3)
【分析】（1）復數為實數，則虛部為零，即可得出答案.
（2）復數為虛數，則虛部為不為零，即可得出答案.
（3）復數為純虛數，則實部為零，虛部為不為零，即可得出答案.
【詳解】（1）當，即或時，復數z是實數；
（2）當，即且時，復數z是虛數；
（3）當，即時，復數z是純虛數．
【題型3 復數的幾何意義---復平面】
【典例3】在復平面內作出表示下列復數的點：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)5．
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
(3)答案見解析
(4)答案見解析
【分析】根據復數的幾何意義，可得復數在復平面對應的點的坐標，即可求解.
【詳解】（1）解：如圖所示，根據復數的幾何意義，可得復數在復平面對應的點為.
（2）解：如圖所示，根據復數的幾何意義，可得在復平面對應的點為.
（3）解：如圖所示，根據復數的幾何意義，可得復數 在復平面對應的點為
（4）解：如圖所示，根據復數的幾何意義，可得復數在復平面對應的點為
【變式3-1】復數在復平面上對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】得到對應的點坐標，得到所在象限.
【詳解】在復平面上對應的點為，位于第四象限.
故選：D
【變式3-2】分別寫出下列復數在復平面內對應的點的坐標.
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)3；
(6)；
(7)；
(8).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）根據復數的坐標表示的定義求解.
【詳解】（1）復數對應的點的坐標為.
（2）復數對應的點的坐標為.
（3）復數對應的點的坐標為.
（4）復數對應的點的坐標為.
（5）復數3對應的點的坐標為.
（6）復數對應的點的坐標為.
（7）復數對應的點的坐標為.
（8）復數對應的點的坐標為.
【變式3-3】在復平面內，作出表示下列各復數的點和所對應的向量：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5).
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
(3)答案見解析
(4)答案見解析
(5)答案見解析
【分析】根據復數的幾何意義以及實部、虛部的概念求解即可.
【詳解】（1）因為復數對應的點為，向量為，如圖：

（2）因為復數對應的點為，向量為，如圖：

（3）因為復數對應的點為，向量為，如圖：

（4）因為復數對應的點為，向量為，如圖：

（5）因為復數對應的點為，向量為，如圖：

【典例4】已知復數是虛數單位.
(1)若復數在復平面內對應的點在直線上，求的值；
(2)若復數在復平面內對應的點在第四象限，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據復數對應點所在直線，將對應點坐標代入直線求參數值即可；
（2）根據復數對應點所在象限的特征列不等式組求參數范圍.
【詳解】（1）由題設，復數的對應點為，
所以，整理得，解得.
（2）由題意，解得.
【變式4-1】】已知復數，根據以下條件分別求實數m的值或取值范圍．
(1)是純虛數；
(2)對應的點在復平面的第三象限．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據純虛數的定義進行求解即可；
（2）根據復數對應的點在復平面的特征進行求解即可.
【詳解】（1）因為是純虛數，
所以；
（2）因為對應的點在復平面的第三象限，
所以，
因此實數m的取值范圍為.
【變式4-2】已知復數，mR，其中i為虛數單位．
(1)若z是實數，求m的值；
(2)當復數z在復平面內對應的點位于第四象限時，求m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若是實數，則虛部為0；
（2）根據復數在復平面內對應的點位于第四象限，則實部大于零，虛部小于零.
【詳解】（1）若是實數，則，即
（2）當復數在復平面內對應的點位于第四象限時,
，解得.
【題型4 復數的幾何意義--模長】
【典例5】分別求出復數，，，，4i，的模．
【答案】5，，13，，4，6 .
【分析】根據復數的模長公式即可求解.
【詳解】解：，，，，，.
【變式5-1】求復數的模，并比較它們的模的大小．
【答案】， .
【分析】根據題意先求出的模，進而比較出大小即可.
【詳解】因為，所以.
【變式5-2】如圖所示，平行四邊形OABC的頂點O，A，C對應的復數分別為0，3＋2i，－2＋4i．求：
(1)對應的復數；
(2)對應的復數；
(3)對應的復數及的長度．
【答案】(1)－3－2i
(2)5－2i
(3)
【分析】（1）根據平面向量坐標表示公式，結合復數在復平面的特征進行求解即可；
（2）根據平面向量減法的運算性質，結合復數在復平面的特征進行求解即可；
（3）根據平面加法的運算性質，結合平行四邊形的性質、平面向量模的公式、復數在復平面的特征進行求解即可.
【詳解】（1）因為，
所以對應的復數為32i.
（2）因為，
所以對應的復數為(3＋2i) (2＋4i)＝52i.
（3）因為，
所以對應的復數為(3＋2i)＋(2＋4i)＝1＋6i.
所以
【變式5-3】復數，，試比較與的大小．
【答案】
【解析】先根據復數模的定義分別計算與，再比較大小.
【詳解】解：∵
，
，且，∴．
【點睛】本題考查復數模的定義，考查基本分析求解能力，屬基礎題.
一、單選題
1．已知復數，則的虛部為（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】由復數虛部的概念即可得解.
【詳解】由題意復數的虛部為.
故選：C.
2．如圖，復平面內點所表示的復數為（每個小方格的邊長為1）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據復數的坐標表示分析判斷.
【詳解】由題意可知：點的坐標為，
所以復平面內點所表示的復數為.
故選：D.
3．已知復數（是虛數單位），則為（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】根據復數模長公式求出答案.
【詳解】.
故選：A
4．設，則在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根據復數的幾何意義求出即可.
【詳解】因為，
所以對應復平面內點的坐標，
所以位于第二象限，
故選：B
5．已知，則（ ）
A．2 B．4 C． D．8
【答案】C
【分析】根據復數的模長計算公式，可得答案.
【詳解】因為，所以.
故選：C.
6．已知復數在復平面內對應的點在實軸上，則的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【答案】D
【分析】由題意可得，由解出a的值，結合復數的幾何意義即可求解.
【詳解】由題意知，
，
所以復數z在復平面內對應的點的坐標為，
又該點在實軸上，所以，解得，
所以，則.
故選：D.
7．設復數，則的共軛復數的模為（ ）
A．7 B．1 C．5 D．25
【答案】C
【分析】根據共軛復數的定義得出的共軛復數，即可根據復數的模的求法得出答案.
【詳解】復數的共軛復數為，
則其模，
故選：C.
8．已知為虛數單位，，集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據兩復數相等，實部、虛部分別相等列方程組，求解可得結果.
【詳解】由題得，
所以，解得，所以.
故選：C
9．已知，，若，則z的虛部是（ ）
A．-2 B．1 C．-2i D．2i
【答案】A
【分析】根據復數相等求得，然后利用共軛復數的概念求虛部，即可求解．
【詳解】由，可得，所以，所以的虛部是．
故選：A．
10．在復平面內，復數對應的點的坐標是，則的共軛復數（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據復數對應的點的坐標寫出復數的代數形式，結合共軛復數的定義進行求解即可.
【詳解】因為復數對應的點的坐標是，
所以，因此，
故選：B
11．設，則“”是“復數為純虛數”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據復數為純虛數得到或-1，然后判斷即可.
【詳解】若復數為純虛數，則，解得或-1，
所以“”是“復數為純虛數”的充分不必要條件.
故選：A.
二、解答題
12．已知復數．當實數取什么值時，復數是：
(1)虛數；
(2)純虛數；
【答案】(1)實數取任意值
(2)
【分析】（1）根據虛部不為零列式求解；
（2）根據實部為零，虛部不為零列式求解.
【詳解】（1）
整理得
當復數是虛數時，，此時，
即實數取任意值，復數都是虛數；
（2）當復數是純虛數時，，得，
即實數時，復數是純虛數.
13．求下列復數的模和共軛復數：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根據復數的模和共軛復數的定義對（1）（2）（3）（4）逐一求解即可.
【詳解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
14．已知復數在復平面內所對應的點為A.
(1)若復數為純虛數，求實數的值；
(2)若點A在第二象限，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據純虛數的概念列式求解；
（2）根據復數的幾何意義列式求解.
【詳解】（1）若復數為純虛數，則，解得，
所以實數的值為.
（2）若點A在第二象限，則，解得，
所以實數的取值范圍為.
15．已知復數滿足，其中為虛數單位.
(1)求；
(2)若復數，在復平面內對應的點分別為，若四邊形是復平面內的平行四邊形，求點對應的復數.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據共軛復數的定義，結合復數相等的定義進行求解即可；
（2）根據平行四邊形的性質，結合復數的幾何意義進行求解即可.
【詳解】（1）設，則，
故，
所以解得：，
∴；
（2）由（1）得：，
因為四邊形是復平面內的平行四邊形
所以
故點對應的復數為.
16．已知復數，其中為虛數單位.
(1)當實數取何值時，復數是純虛數；
(2)若復數在復平面上對應的點位于第二象限，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據復數的概念，結合題意列出方程組，即可求解；
（2）根據復數的幾何意義，列出不等式組，即可求解.
【詳解】（1）解：由復數
因為復數是純虛數，則滿足，解得，
故當實數時，復數是純虛數.
（2）解：因為復數在復平面上對應的點位于第二象限，
則滿足，解得，
故實數的取值范圍為.第01講 復數的概念
考點1：復數的基本概念
1、虛數單位的性質
叫做虛數單位，并規定：①可與實數進行四則運算；②；這樣方程就有解了，解為或
2、復數的概念
（1）定義：形如(a，b∈R)的數叫做復數，其中叫做虛數單位，a叫做，b叫做。全體復數所成的集合叫做復數集。復數通常用字母表示，即(a，b∈R)
對于復數的定義要注意以下幾點：
①(a，b∈R)被稱為復數的代數形式，其中表示與虛數單位相乘
②復數的實部和虛部都是實數，否則不是代數形式
（2）分類：
滿足條件(a，b為實數)
復數的分類 a＋bi為實數 b＝0
a＋bi為虛數 b≠0
a＋bi為純虛數 a＝0且b≠0
考點2：復數相等
也就是說，兩個復數相等，充要條件是他們的實部和虛部分別相等
注意：只有兩個復數全是實數，才可以比較大小，否則無法比較大小
例題：已知求的值
考點3:共軛復數
與共軛
的共軛復數記作，且
考點4：復數的幾何意義
1.復平面的概念
建立直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面，軸叫做實軸，軸叫做虛軸。顯然，實軸上的點都表示實數；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數。
2.復數的幾何意義
復數與復平面內的點及平面向量是一一對應關系（復數的實質是有序實數對，有序實數對既可以表示一個點，也可以表示一個平面向量）
相等的向量表示同一個復數。
3.復數的模
向量的模叫做復數的模，記作或，表示點到原點的距離，即，
若，，則表示到的距離，即
【題型1 實部虛部的辨析】
【典例1】寫出復數4，，0，，，6i的實部與虛部，并指出哪些是實數，哪些是虛數，哪些是純虛數．
【變式1-1】若復數，則復數的虛部為（ ）
A．5 B．-5 C．5 D．-5
【變式1-2】若復數滿足，則的虛部是（ ）
A．4 B． C． D．
【變式1-3】求以下復數的實部和虛部：
(1)；
(2)；
(3)．
【題型2 復數的分類】
【典例2】實數m取什么值時，復數是：
(1)實數？
(2)虛數？
(3)純虛數？
【變式2-1】當實數取什么值時，復數是下列數？
(1)實數；
(2)虛數；
(3)純虛數.
【變式2-2】求實數的值，使得復數分別是：
(1)實數；
(2)純虛數．
【變式2-3】實數m取什么數值時，復數分別是：
(1)實數？
(2)虛數？
(3)純虛數？
【題型3 復數的幾何意義---復平面】
【典例3】在復平面內作出表示下列復數的點：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)5．
【變式3-1】復數在復平面上對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【變式3-2】分別寫出下列復數在復平面內對應的點的坐標.
(1)； (2)； (3)； (4)；
(5)3； (6)； (7)； (8).
【變式3-3】在復平面內，作出表示下列各復數的點和所對應的向量：
； (2)； (3)；
； (5).
【典例4】已知復數是虛數單位.
(1)若復數在復平面內對應的點在直線上，求的值；
(2)若復數在復平面內對應的點在第四象限，求的取值范圍.
【變式4-1】】已知復數，根據以下條件分別求實數m的值或取值范圍．
(1)是純虛數；
(2)對應的點在復平面的第三象限．
【變式4-2】已知復數，mR，其中i為虛數單位．
(1)若z是實數，求m的值；
(2)當復數z在復平面內對應的點位于第四象限時，求m的取值范圍．
【題型4 復數的幾何意義--模長】
【典例5】分別求出復數，，，，4i，的模．
【變式5-1】求復數的模，并比較它們的模的大小．
【變式5-2】如圖所示，平行四邊形OABC的頂點O，A，C對應的復數分別為0，3＋2i，－2＋4i．求：
(1)對應的復數；
(2)對應的復數；
(3)對應的復數及的長度．
【變式5-3】復數，，試比較與的大小．
一、單選題
1．已知復數，則的虛部為（ ）
A．1 B． C． D．
2．如圖，復平面內點所表示的復數為（每個小方格的邊長為1）（ ）
A． B． C． D．
3．已知復數（是虛數單位），則為（ ）
A． B．1 C．2 D．3
4．設，則在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．已知，則（ ）
A．2 B．4 C． D．8
6．已知復數在復平面內對應的點在實軸上，則的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
7．設復數，則的共軛復數的模為（ ）
A．7 B．1 C．5 D．25
8．已知為虛數單位，，集合，則（ ）
A． B． C． D．
9．已知，，若，則z的虛部是（ ）
A．-2 B．1 C．-2i D．2i
10．在復平面內，復數對應的點的坐標是，則的共軛復數（　　）
A． B．
C． D．
11．設，則“”是“復數為純虛數”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
二、解答題
12．已知復數．當實數取什么值時，復數是：
(1)虛數；
(2)純虛數；
13．求下列復數的模和共軛復數：
(1)； (2)； (3)； (4)．
14．已知復數在復平面內所對應的點為A.
(1)若復數為純虛數，求實數的值；
(2)若點A在第二象限，求實數的取值范圍.
15．已知復數滿足，其中為虛數單位.
(1)求；
(2)若復數，在復平面內對應的點分別為，若四邊形是復平面內的平行四邊形，求點對應的復數.
16．已知復數，其中為虛數單位.
(1)當實數取何值時，復數是純虛數；
(2)若復數在復平面上對應的點位于第二象限，求實數的取值范圍.

展開更多......

收起↑