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第02講 復數的四則運算
考點1：復數的加減運算
1.復數的加法、減法運算法則：
設，（），我們規定：
2.復數的加法運算律:
交換律：z1+z2=z2+z1 結合律:：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
考點2：復數的加減運算的幾何意義
復數的表示形式：
代數形式：（）
幾何表示：
①坐標表示：在復平面內以點表示復數（）；
②向量表示：以原點為起點，點為終點的向量表示復數.
要點詮釋：
復數復平面內的點平面向量
2．復數加、減法的幾何意義：
如果復數、分別對應于向量、，那么以、為兩邊作平行四邊形，對角線表示的向量就是的和所對應的向量.對角線表示的向量就是兩個復數的差所對應的向量.
設復數z1=a+bi，z2=c+di，在復平面上所對應的向量為、，即、的坐標形式為=(a，b)，=(c，d)以、為鄰邊作平行四邊形OZ1ZZ2，則對角線OZ對應的向量是，
由于= +=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)，所以和 的和就是與復數(a+c)+(b+d)i對應的向量
類似復數加法的幾何意義，由于z1－z2=(a－c)+(b－d)i，而向量= =(a，b)-(c，d)=(a-c，b-d)，所以和 的差就是與復數(a－c)+(b－d)i對應的向量
考點3：復數的乘除運算
1．共軛復數：
當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數。虛部不等于0的兩個共軛復數也叫做共軛虛數。
通常記復數的共軛復數為。
2．乘法運算法則：
設，（），我們規定：
注意：
1. 兩個復數相乘，類似兩個多項式相乘，在所得的結果中把i2換成－1，并且把實部與虛部分別合并.兩個復數的積仍然是一個復數.
2. 在進行復數除法運算時，通常先把除式寫成分式的形式，再把分子與分母都乘以分母的共軛復數(分母實數化)，化簡后寫成代數形式。
3．乘法運算律：
(1)交換律：z1(z2z3)=(z1z2)z3
(2)結合律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
(3)分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
考點4：復數運算的一些技巧
1. 的周期性：如果n∈N，則有：
，，，（）
2.
3. 共軛復數的性質：兩個共軛復數z、的積是一個實數，這個實數等于每一個復數的模的平方，
即，其中z=x+yi（x，y∈R）．
【題型1 復數的加減法運算及幾何意義】
【典例1】計算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根據復數加減運算即可.
【詳解】（1）
（2）
（3）
（4）
【變式1-1】計算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根據復數的加減運算逐一計算即可得出（1）~（4）的答案；
【詳解】（1）
（2）
（3）
（4）
【變式1-2】計算：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)2
(3)0
(4)
(5)
(6)
【分析】根據復數的加減運算求解.
【詳解】（1）由題意可得：.
（2）由題意可得：.
（3）由題意可得：.
（4）由題意可得：.
（5）由題意可得：.
（6）由題意可得：.
【變式1-3】計算：
(1)； (2)；
(3).
【答案】(1)；
(2)-7
(3).
【分析】根據復數的加減運算法則即可求解
【詳解】（1）；
（2）；
（3）.
【題型2復數的乘、除運算】
【典例2】計算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根據復數代數形式的乘法運算法則計算可得.
【詳解】（1）
.
（2）.
（3）
.
（4）
.
【變式2-1】計算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根據復數的運算法則，即可化簡求值.
【詳解】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式.
【變式2-2】計算
【答案】
【分析】直接根據復數的代數乘法運算即可.
【詳解】
．
【典例3】計算：
(1)； (2)； (3)； (4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根據復數除法的運算法則運算求解即可.
【詳解】（1）原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
【變式3-1】計算：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】利用復數除法計算公式，即可求解.
【詳解】（1）
（2），
，
【變式3-2】計算：
(1)(1+2i)+（7-11i）-（5+6i）；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據復數加減法運算公式，即可化簡求值；（2）根據復數乘法運算公式，
化簡求值；（3）根據復數乘法和除法運算公式，化簡求值.
【詳解】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式
.
【變式3-2】計算：
(1)； (2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用復數乘法與加減法運算即可；
（2）利用復數乘方、除法加減運算即可
【詳解】（1）
.
（2）
.
【變式3-4】計算：
(1)； (2)； (3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】復數除法一般先寫成分式形式，再把分母實數化，即分子、分母同乘分母的共軛復數，若分母為純虛數，則只需同乘．
【詳解】（1）
（2）
（3）
【題型3復數范圍內解方程】
【典例4】在復數范圍內分解因式：
(1)； (2)； (3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】利用完全平方公式平方差公式將所給的表達式分解因式.
【詳解】（1）
（2）
（3）∵
∴
∴
【變式4-1】將在復數范圍內因式分解為 .
【答案】
【分析】先求解判別式，再利用求根公式得出兩個根，寫出因式分解式即可.
【詳解】令，
，所以，
即.
故答案為: .
【變式4-2】在復數范圍內分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）結合復數運算求得正確答案.
【詳解】（1）由于，
所以.
（2）由于，
所以.
【變式4-3】在復數范圍內分解因式：
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】注意,利用配方法和十字叉乘法，結合共軛復數的運算即可在復數范圍內分解因式.
【詳解】（1）;
（2）;
（3）;
（4）
一、單選題
1．已知為虛數單位，則復數的虛部為（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【分析】利用復數的除法運算，得到復數的代數形式，由此求得復數的虛部.
【詳解】因為，所以虛部為1.
故選：D．
2．，則的共軛復數等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據復數的乘法運算，然后根據共軛復數的概念求解即可；
【詳解】，
故選：D.
3．已知，其中為虛數單位，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用復數的除法運算求出復數，再利用復數相等得，則可求出
【詳解】由題意得，，
則，所以.
故選：D．
4．在復平面內，對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】應用復數除法運算及復數的幾何意義即可.
【詳解】.
故選：D．
5．（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接由復數的除法運算即可得解.
【詳解】由題意有.
故選：B．
6．設復數滿足，則（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】利用復數的除法解出，由模長公式計算.
【詳解】由解得，所以.
故選：C.
7．已知復數z滿足，則（ ）
A．i B． C． D．1
【答案】A
【分析】先求，再求.
【詳解】由已知，
所以.
故選：A.
8．若復數，則（ ）
A．10 B．9 C． D．
【答案】A
【分析】根據復數的乘法運算律即得.
【詳解】，
所以，
故選：A
9．若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據復數的運算求出，進而得到.
【詳解】，
，
故選：C.
10．已知為虛數單位，則（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】利用復數的乘法法則計算即得.
【詳解】.
故選：B
11．若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】借助復數的四則運算計算即可得.
【詳解】.
故選：C.
二、填空題
12．已知是虛數單位，復數 ．
【答案】
【分析】根據復數的除法運算法則化簡求解即可.
【詳解】.
故答案為：.
13．設復數滿足，則 .
【答案】5
【分析】設，根據復數的共軛復數、復數相等列方程組解得，再根據模長公式求解即可得答案.
【詳解】設，則，于是，
解得，則.
故答案為：.
14．已知復數z滿足（為虛數單位），則 .
【答案】/
【分析】根據給定條件，利用復數的除法運算計算即得.
【詳解】依題意，.
故答案為：
三、解答題
15．計算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根據復數的乘法運算法則逐個計算即可得出（1）~（4）的結果.
【詳解】（1）；
（2）
（3）
（4）
16．在復數范圍內解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)1，，．
【分析】（1）（2）利用復數范圍內根的求法，結合因式分解及一元二次方程的解法求解即可.
【詳解】（1）因為，
所以是方程的兩個根，即．
（2）原方程可化為，即或．
若，則；若，則；
于是方程在復數范圍內有三個根，分別為1，，．
17．計算下列各式的值．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根據復數的運算法則，準確計算，即可求解.
【詳解】（1）解：根據復數的運算法則，可得.
（2）解：根據復數的運算法則，可得.
（3）解：根據復數的運算法則，可得.
18．已知為虛數單位，計算下列各式．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）（2）（3）（4）根據復數的四則運算法則和乘方運算即得.
【詳解】（1）；
（2）；
（3）
（4）
19．已知復數，.
(1)求；
(2)求；
(3)求.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據復數加法的知識求得正確答案.
（2）根據復數乘法的知識求得正確答案.
（3）根據共軛復數、除法的知識求得正確答案.
【詳解】（1）.
（2）.
（3），
.
20．（1）化簡 ；
（2）已知復數的，求 .
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）應用復數的乘法計算即可；
（2）先化簡得，再應用復數的除法運算可得結果.
【詳解】（1）;
（2）由已知得，
∴ .第02講 復數的四則運算
考點1：復數的加減運算
1.復數的加法、減法運算法則：
設，（），我們規定：
2.復數的加法運算律:
交換律：z1+z2=z2+z1 結合律:：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
考點2：復數的加減運算的幾何意義
復數的表示形式：
代數形式：（）
幾何表示：
①坐標表示：在復平面內以點表示復數（）；
②向量表示：以原點為起點，點為終點的向量表示復數.
要點詮釋：
復數復平面內的點平面向量
2．復數加、減法的幾何意義：
如果復數、分別對應于向量、，那么以、為兩邊作平行四邊形，對角線表示的向量就是的和所對應的向量.對角線表示的向量就是兩個復數的差所對應的向量.
設復數z1=a+bi，z2=c+di，在復平面上所對應的向量為、，即、的坐標形式為=(a，b)，=(c，d)以、為鄰邊作平行四邊形OZ1ZZ2，則對角線OZ對應的向量是，
由于= +=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)，所以和 的和就是與復數(a+c)+(b+d)i對應的向量
類似復數加法的幾何意義，由于z1－z2=(a－c)+(b－d)i，而向量= =(a，b)-(c，d)=(a-c，b-d)，所以和 的差就是與復數(a－c)+(b－d)i對應的向量
考點3：復數的乘除運算
1．共軛復數：
當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數。虛部不等于0的兩個共軛復數也叫做共軛虛數。
通常記復數的共軛復數為。
2．乘法運算法則：
設，（），我們規定：
注意：
1. 兩個復數相乘，類似兩個多項式相乘，在所得的結果中把i2換成－1，并且把實部與虛部分別合并.兩個復數的積仍然是一個復數.
2. 在進行復數除法運算時，通常先把除式寫成分式的形式，再把分子與分母都乘以分母的共軛復數(分母實數化)，化簡后寫成代數形式。
3．乘法運算律：
(1)交換律：z1(z2z3)=(z1z2)z3
(2)結合律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
(3)分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
考點4：復數運算的一些技巧
1. 的周期性：如果n∈N，則有：
，，，（）
2.
3. 共軛復數的性質：兩個共軛復數z、的積是一個實數，這個實數等于每一個復數的模的平方，
即，其中z=x+yi（x，y∈R）．
【題型1 復數的加減法運算及幾何意義】
【典例1】計算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【變式1-1】計算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【變式1-2】計算：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)；
(6)．
【變式1-3】計算：
(1)； (2)；
(3).
【題型2復數的乘、除運算】
【典例2】計算：
； (2)；
(3)； (4)．
【變式2-1】計算：
； (2)；
(3)； (4)．
【典例3】計算：
(1)； (2)； (3)； (4)．
【變式3-1】計算：
(1)； (2)．
【變式3-2】計算：
(1+2i)+（7-11i）-（5+6i）； (2)；
(3).
【變式3-2】計算：
(1)； (2).
【變式3-4】計算：
(1)； (2)； (3)．
【題型3復數范圍內解方程】
【典例4】在復數范圍內分解因式：
(1)； (2)； (3).
【變式4-1】將在復數范圍內因式分解為 .
【變式4-2】在復數范圍內分解因式：
(1)；
(2)．
【變式4-3】在復數范圍內分解因式：
(2)
(3) (4)
一、單選題
1．已知為虛數單位，則復數的虛部為（ ）
A． B． C．0 D．1
2．，則的共軛復數等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知，其中為虛數單位，（ ）
A． B． C． D．
4．在復平面內，對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（ ）
A． B． C． D．
6．設復數滿足，則（ ）
A． B． C．1 D．
7．已知復數z滿足，則（ ）
A．i B． C． D．1
8．若復數，則（ ）
A．10 B．9 C． D．
9．若，則（ ）
A． B． C． D．
10．已知為虛數單位，則（ ）
A． B． C． D．1
11．若，則（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
12．已知是虛數單位，復數 ．
13．設復數滿足，則 .
14．已知復數z滿足（為虛數單位），則 .
三、解答題
15．計算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
16．在復數范圍內解下列方程：
(1)； (2)．
17．計算下列各式的值．
(1)； (2)； (3)．
18．已知為虛數單位，計算下列各式．
(1)； (2)；
(3)； (4)．
19．已知復數，.
(1)求； (2)求； (3)求.
20．（1）化簡 ；
（2）已知復數的，求 .

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