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第03講 復數的三角表示
考點1：復數的三角形式
復數三角式的特征
(1)r≥0；(2)相同角θ，θ為輻角但不一定是輻角主值；(3)cos θ與isin θ之間用“＋”號連接．
復數代數形式表示成三角形式的方法
先由復數確定點(a，b)所在的象限，而a，b的符號決定角θ的終邊所在的象限，然后由tan θ＝確定θ角的大?。畬τ趯嵅亢吞摬慷际侨呛瘮档膹蛿登筝椊?，可靈活運用三角公式化為復數的三角形式，若復數為零，則輻角任意．　　　　
考點2:復數三角形式的相關概念
輻角和輻角主值
輻角θ是指以x軸的非負半軸為始邊，以復數z所對應的向量所在射線(射線OZ)為終邊的角，顯然輻角有無數個．而輻角主值是指在0≤θ<2π范圍內的輻角，因而一個復數的輻角主值只有一個．
聯系：θ＝2kπ＋arg z，k∈Z.
考點3 復數的三角形式乘除法運算及幾何意義
（1）乘法運算及幾何意義
復數z1，z2對應的向量為，把向量繞點O按逆時針方向旋轉θ2(如果θ2<0，就要把繞點O按順時針方向旋轉角|θ2|)，再把它的模變為原來的r2倍，得到向量，表示的復數就是積z1z2
注意：涉及兩個復數積的運算，應先將復數化為三角形式，再按復數三角形式的乘法運算法則進行，要注意輻角主值的范圍．　
（2）復數的三角形式除法運算及幾何意義
復數z1，z2對應的向量為，把向量繞點O按順時針方向旋轉θ2，再把它的模變為原來的，得到向量，表示的復數就是商.
【題型1 復數的三角表示】
【典例1】復數的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用復數的三角形式即可得解.
【詳解】依題意，令，
則，所以，
因為，所以，
所以的三角形式是.
故選：D.
【變式1-1】把復數化三角形式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據復數的三角形公式求解求解即可.
【詳解】設復數的三角形式為,則,,可取,
從而復數的三角形式為.
故選:C.
【變式1-2】以下不滿足復數的三角形式的是（ ）．
A．； B．；
C．； D．．
【答案】C
【分析】逐一計算每個選項即可得答案.
【詳解】對于A：，符合；
對于B：，符合；
對于C：，不符合；
對于D：，符合
故選：C.
【變式1-3】復數的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據對應象限角的三角函數值及誘導公式，寫出復數的三角形式.
【詳解】由，則.
故選：A
【變式1-4】將復數化為三角形式： ．
【答案】
【分析】根據復數的三角表示的定義計算即可.
【詳解】解：復數中，，設為復數的輻角主值，
又
所以.
故答案為：.
【變式1-5】把下列復數化為三角形式．
(1)5 (2)； (3)； (4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根據復數的三角形式的定義進行求解即可.
【詳解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【題型2 復數的輔角】
【典例2】寫出下列復數的輻角的主值
(1)-4 (2) (3) (4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】利用復數的輻角求主值的方法求解即可.
【詳解】（1），所以；
（2），所以；
（3），所以；
（4），所以.
【變式2-1】復數的輻角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】化簡成復數的三角形式即可，注意復數的三角形式為．
【詳解】因為=，故輔角為.
故選：D
【變式2-2】的輻角主值為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據復數的三角形式，對選項逐一分析判斷即可.
【詳解】對于A，若輻角主值為，則，不可能為，故A錯誤；
對于B，若輻角主值為，則，不可能為，故B錯誤；
對于C，若輻角主值為，則，當時，，故C正確；
對于D，由于輻角主值的范圍為，不可能為，故D錯誤.
故選：C.
【變式2-3】求復數的輻角的主值為 .
【答案】
【分析】將復數寫成三角形式，再根據輻角的定義即可得解.
【詳解】，
所以復數的輻角的主值.
故答案為：.
【變式2-4】復數的輻角主值是 ．
【答案】
【分析】根據題意，結合復數的三角形式即可求解.
【詳解】由，，
得，
因此復數的輻角主值為.
故答案為：.
【變式2-5】（i是虛數單位），則z的輻角主值（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】復數可以寫成的形式，即可求得復數的輻角主值.
【詳解】，所以復數的輻角主值.
故選：A
【題型3 復數的乘、除運算的三角表示及及其幾何意義】
【典例3】計算：
(1)； (2)；
(3)； (4)；
(5)；
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)
(5)；
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）利用三角形式的復數乘法、除法、乘方運算法則求解即得.
【詳解】（1）.
（2）.
（3）
.
（4）.
（5）.
【變式3-1】（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根據復數三角形式的除法法則，進行計算即可.
【詳解】
故選：C.
【點睛】本題考查三角形式的除法法則，屬基礎題.
【變式3-2】把下列復數表示成代數形式：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】由誘導公式及特殊角的三角函數化簡即可.
【詳解】（1）；
（2）.
【變化3-3】計算：
(1)；
(2).
【答案】(1)6；
(2).
【分析】（1）（2）根據復數三角形式的乘法運算結合條件即得.
【詳解】（1）
；
（2）
.
一、單選題
1．若復數，則（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】由復數除法幾何意義求復數的模.
【詳解】由.
故選：B
2．若復數z滿足（為虛數單位），則復數z在復平面內所對應的點在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】先將復數z化簡為復數的標準形式，然后判斷其在復平面內的所在象限即可.
【詳解】已知，得，所以，所以其在復平面內對應的點為，在第四象限；
故選:D
3．復數化成三角形式，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出復數的模與輻角主值，從而即可求解.
【詳解】解：設復數的模為，則，，
所以復數的三角形式為．
故選：A.
4．復數的輻角主值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】將復數的代數形式為三角形式，即可求出輻角的主值．
【詳解】復數
，
所以復數的輻角主值是．
故選：D
5．若，則（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】B
【分析】根據復數乘方的三角運算得到的三角形式，即可確定輻角.
【詳解】由，
所以60°.
故選：B
二、多選題
6．下列復數的三角形式正確的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根據復數三角形式直接得到答案.
【詳解】復數的三角形式為，
所以只有B、C正確，
故選：BC.
7．（多選題）下列復數的三角形式正確的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根據復數的三角形式分別判斷各個選項即可.
【詳解】復數的三角形式為，所以只有B、C正確，A、D選項錯誤.
故選:BC.
8．以下不是復數的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】提取復數的模，結合三角函數的值即可化代數形式為三角形式．
【詳解】解：，所以B正確，而，故C正確.
故選：AD
9．如果非零復數z有一個輻角為，那么下列對z判斷錯誤的是（ ）
A．輻角唯一 B．輻角主值唯一
C．輻角主值為 D．輻角主值為
【答案】ACD
【分析】由給出的非0復數有一個輻角為，結合輻角主值的概念得答案．
【詳解】輻角主值的范圍是，，任何一個復數都有唯一的輻角主值，
非0復數有一個輻角為，則該復數有唯一的一個輻角主值．
故選：ACD．
三、填空題
10．已知為虛數單位，，則的輻角主值為 .
【答案】
【分析】根據復數的三角表示分析求解.
【詳解】因為，
所以的輻角主值為.
故答案為：.
11．已知復數的模為2，輻角為，則 ．
【答案】
【分析】根據復數的模為2，輻角為，得到z，進而得到的三角形式求解.
【詳解】解：因為復數的模為2，輻角為，
所以，
所以，
所以，
故答案為：
12．復數的三角形式為 ．
【答案】
【分析】根據復數對應的模長與輻角，寫出三角形式.
【詳解】為復數的三角形式，其中為模長，為輻角，
-3對應，故，
故答案為：
四、解答題
13．計算：
(1)；
(2)；
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）（2）（3（4）利用復數三角形式的乘法與除法運算法則求解即可，注意計算的準確性.
【詳解】（1）
.
（2）
.
（3）
.
（4）
.
14．求復數的輻角主值．
【答案】
【分析】根據三角很恒等變換換成中角為主輻角.
【詳解】
故復數的輻角主值是.
故答案為：
15．把下列復數表示成三角形式，并畫出與之對應的向量．
(1)6；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)，圖見詳解
(2)，圖見詳解
(3)，圖見詳解
(4)，圖見詳解
【分析】對（1）（2）（3）（4）中的復數，先畫出圖像，結合圖像求得輻角主值和模，從而求得其三角形式.
【詳解】（1）設復數的模為，輻角主值為．
6對應的向量如下圖中，
∵，，，又，
∴，∴．
（2）設復數的模為，輻角主值為．
對應的向量如下圖中，
∵，，，
又，∴，
∴．
（3）設復數的模為，輻角主值為．
對應的向量如下圖中，
∵，，，
又，∴，
∴．
（4）設復數的模為，輻角主值為．
對應的向量如下圖中，
∵，，，
又，
∴，
∴．
16．求下列復數的模和輻角主值.
(1)；
(2).
【答案】(1)復數z的模為32，輻角主值為
(2)復數的模是，輻角主值為
【分析】直接求出復數的模，然后根據其對應的點可得輻角主值.
【詳解】（1）（1）
，
∴復數z的模為32，輻角主值為.
（2），
則復數的模.
設輻角為，則，
∵點在第四象限，
∴，，
∴.
17．計算下列各式：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根據復數三角形式的乘法運算直接求解即可.
【詳解】（1）.
（2）.
（3）方法一：.
方法二：.第03講 復數的三角表示
考點1：復數的三角形式
復數三角式的特征
(1)r≥0；(2)相同角θ，θ為輻角但不一定是輻角主值；(3)cos θ與isin θ之間用“＋”號連接．
復數代數形式表示成三角形式的方法
先由復數確定點(a，b)所在的象限，而a，b的符號決定角θ的終邊所在的象限，然后由tan θ＝確定θ角的大小．對于實部和虛部都是三角函數的復數求輻角，可靈活運用三角公式化為復數的三角形式，若復數為零，則輻角任意．　　　　
考點2:復數三角形式的相關概念
輻角和輻角主值
輻角θ是指以x軸的非負半軸為始邊，以復數z所對應的向量所在射線(射線OZ)為終邊的角，顯然輻角有無數個．而輻角主值是指在0≤θ<2π范圍內的輻角，因而一個復數的輻角主值只有一個．
聯系：θ＝2kπ＋arg z，k∈Z.
考點3 復數的三角形式乘除法運算及幾何意義
（1）乘法運算及幾何意義
復數z1，z2對應的向量為，把向量繞點O按逆時針方向旋轉θ2(如果θ2<0，就要把繞點O按順時針方向旋轉角|θ2|)，再把它的模變為原來的r2倍，得到向量，表示的復數就是積z1z2
注意：涉及兩個復數積的運算，應先將復數化為三角形式，再按復數三角形式的乘法運算法則進行，要注意輻角主值的范圍．　
（2）復數的三角形式除法運算及幾何意義
復數z1，z2對應的向量為，把向量繞點O按順時針方向旋轉θ2，再把它的模變為原來的，得到向量，表示的復數就是商.
【題型1 復數的三角表示】
【典例1】復數的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-1】把復數化三角形式為（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-2】以下不滿足復數的三角形式的是（ ）．
A．； B．；
C．； D．．
【變式1-3】復數的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-4】將復數化為三角形式： ．
【變式1-5】把下列復數化為三角形式．
(1)5 (2)； (3)； (4)．
【題型2 復數的輔角】
【典例2】寫出下列復數的輻角的主值
(1)-4 (2) (3) (4)
【變式2-1】復數的輻角為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】的輻角主值為（ ）．
A． B． C． D．
【變式2-3】求復數的輻角的主值為 .
【變式2-4】復數的輻角主值是 ．
【變式2-5】（i是虛數單位），則z的輻角主值（ ）
A． B． C． D．
【題型3 復數的乘、除運算的三角表示及及其幾何意義】
【典例3】計算：
(1)； (2)；
(3)； (4)；
(5)；
【變式3-1】（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】把下列復數表示成代數形式：
(1)； (2)．
【變化3-3】計算：
(1)；
(2).
一、單選題
1．若復數，則（ ）
A．1 B． C． D．
2．若復數z滿足（為虛數單位），則復數z在復平面內所對應的點在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．復數化成三角形式，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
4．復數的輻角主值是（ ）
A． B． C． D．
5．若，則（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
二、多選題
6．下列復數的三角形式正確的有（ ）
A． B．
C． D．
7．（多選題）下列復數的三角形式正確的有（ ）
A． B．
C． D．
8．以下不是復數的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
9．如果非零復數z有一個輻角為，那么下列對z判斷錯誤的是（ ）
A．輻角唯一 B．輻角主值唯一
C．輻角主值為 D．輻角主值為
三、填空題
10．已知為虛數單位，，則的輻角主值為 .
11．已知復數的模為2，輻角為，則 ．
12．復數的三角形式為 ．
四、解答題
13．計算：
(1)； (2)；
(3) (4)
14．求復數的輻角主值．
15．把下列復數表示成三角形式，并畫出與之對應的向量．
(1)6； (2)； (3)； (4)．
16．求下列復數的模和輻角主值.
(1)； (2).
17．計算下列各式：
(1)；
；
(3)．

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