資源簡介

第04講 空間點﹑直線﹑平面之間的位置關系
考點1：平面的概念
（1）平面的定義
幾何里所說的“平面”是從課桌面、黑板面、海洋這樣一些物體中抽象出來的．但是，幾何里的平面是無限延展的．
平面的兩個特點：①平；②無限延展性．
（2）平面的畫法．
①水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形；
②它的銳角通常畫成45°；
③橫邊長等于其鄰邊長的2倍．
如果一個平面被另一個平面遮住，為增強立體感，把擋住的部分用虛線畫出來(如圖所示)．
（3）平面的表示．
下圖所示的平面可表示為：
①平面ABCD；②平面AC；③平面α.
（4）直線在平面內的概念
如果直線l上的所有點都在平面α內，就說直線l在平面α內，或者說平面α經過直線l.2.一些文字語言、數(shù)學符號與圖形的對應關系
數(shù)學符號表示 文字語言表達 圖形語言表達
A∈l 點A在直線l上
A l 點A在直線l外
A∈α 點A在平面α內
A α 點A在平面α外
l α 直線l在平面α內
l α 直線l在平面α外
l∩m＝A 直線l，m相交于點A
α∩β＝l 平面α，β相交于直線l
考點2：平面的基本性質
公理 內容 圖形 符號
公理1 如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內 A∈l，B∈l且A∈α，B∈α l α
公理2 過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面 A，B，C三點不共線 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
公理3 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線 P∈α且P∈β α∩β＝l且P∈l
1.公理1的作用：①用直線檢驗平面(常被應用于實踐，如泥瓦工用直的木條刮平地面上的水泥漿)；②判斷直線是否在平面內(經常被用于立體幾何的說理中)．
2．公理2的作用：①確定平面；②證明點、線共面．公理2中要注意條件“不在同一條直線上的三點”，事實上，共線的三點是不能確定一個平面的．同時要注意經過一點、兩點或在同一條直線上的三點可能有無數(shù)個平面；過不在同一條直線上的四點，不一定有平面．因此，要充分重視“不在同一條直線上的三點”這一條件的重要性．
3．公理3的主要作用：①判定兩個平面是否相交；②證明共線問題；③證明線共點問題.
公理3強調的是兩個不重合的平面，只要它們有公共點，其交集就是一條直線．以后若無特別說明，“兩個平面”是指不重合的兩個平面．
考點3：空間兩條直線的位置關系
①從是否有公共點的角度來分：
②從是否共面的角度來分：
1.異面直線
（1）定義：不同在任何一個平面內的兩條直線叫做異面直線．
（2）畫法：圖形表示為如圖所示(通常用一個或兩個平面襯托)．
2.平行公理(公理4)
文字表述：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．這一性質叫做空間平行的傳遞性．
符號表述： a∥c.
3.等角定理
空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．
如圖，AB∥A1B1，BC∥B1C1，對于∠ABC與∠A1B1C1兩個角的方向相同，這兩個角相等；對于∠ABC與∠E1B1C1兩個角的方向不同，這兩個角互補，即∠ABC＋∠E1B1C1＝180°.
4.直線和平面的位置關系
位置 關系 直線a在平面α內 直線a在平面α外
直線a與平面α相交 直線a與平面α平行
公共點 有無數(shù)個公共點 有且只有一個公共點 無公共點
符號 表示 a α a∩α a∥α
圖形 表示
考點4：兩個平面的位置關系
位置關系 圖示 表示法 公共點個數(shù)
兩平面平行 α∥β 0個
兩平面相交 α∩β 有無數(shù)個 (在一條直線上)
【題型 1平面的基本性質及推論】
【典例1】（多選題）下列命題正確的是（ ）
A．三點確定一個平面
B．一條直線和直線外一點確定一個平面
C．圓心和圓上兩點可確定一個平面
D．梯形可確定一個平面
【答案】BD
【分析】根據(jù)已知條件，利用平面的基本性質，以及推論，逐一判斷即可：
【詳解】平面上不共線的三點確定一個平面，故A錯誤；
一條直線和直線外一點確定一個平面，故B正確；
如果圓上兩點和圓心共線，不能確定一個平面，故C錯誤；
梯形上下底是兩平行直線，可以確定一個平面，故D正確；
故選：BD.
【變式1-1】用集合符號表述語句“平面經過直線”： .
【答案】
【分析】根據(jù)線面關系可得結果.
【詳解】因為平面經過直線AC，則.
故答案為：.
【變式1-2】如果兩條直線a與b有公共點，那么a與b（ ）
A．平行 B．是異面直線 C．共面 D．垂直
【答案】C
【分析】根據(jù)平面的基本性質，即可求解.
【詳解】由兩條直線a與b有公共點，可得兩直線為相交直線，
根據(jù)平面的性質，可得兩直線在同一個平面內.
故選：C.
【變式1-3】（多選題）下列命題正確的是（ ）
A．不共線的三點確定一個平面
B．平行于同一條直線的兩條直線平行
C．經過兩條平行直線，有且只有一個平面
D．如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角一定相等
【答案】ABC
【分析】根據(jù)平面的確定情況及點線面的位置關系直接判斷即可得到答案.
【詳解】由空間中不共線的三點可以確定唯一一個平面，可知A正確；
由平行公理可得平行于同一條直線的兩條直線平行，可知B正確；
由兩條相互平行的直線能確定一個平面，可知C選項正確;
如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補，可知D錯誤；
故選:ABC．
【題型 2空間中的點共線、點(線) 共面問題】
【典例2】分別是空間四邊形的邊的中點，則的位置關系是（ ）
A．異面 B．平行
C．相交 D．重合
【答案】C
【分析】根據(jù)中位線定理，結合平面的確定方法，可得答案.
【詳解】由題意可作圖如下：
因為分別為的中點，所以同理可得，則，
所以四點共面，則與相交.
故選：C.
【變式2-1】如圖，，，，且，直線，過三點的平面記作，則與的交線必通過（　　）

A．點A B．點B
C．點C但不過點M D．點C和點M
【答案】D
【分析】根據(jù)平面的基本事實，結合圖形，即可判斷選項.
【詳解】∵直線，過三點的平面記作，
∴與的交線必通過點和點，
故選：D．
【變式2-2】點分別在空間四邊形的邊上，若，則下列說法中正確的是（ ）
A．直線與一定平行 B．直線與一定相交
C．直線與可能異面 D．直線與一定共面
【答案】D
【分析】根據(jù)兩條平行線確定一個平面，即可求解.
【詳解】由于，所以四點確定一個平面，
因此直線與一定共面，故D正確，C錯誤，

只有當且時，此時四邊形為平行四邊形，此時，故A不正確，

只有當?shù)珪r，此時四邊形為梯形，此時相交于點，故B不正確，

故選：D
【變式2-3】在空間四邊形中，若，分別為，的中點，，，且，，則（ ）
A．直線與平行 B．直線，，相交于一點
C．直線與異面 D．直線，，相交于一點
【答案】B
【分析】首先利用相似三角形證明且，再利用中位線定理證明且，從而得到四邊形為梯形，且，是梯形的兩腰，設，交于一點，利用平面的性質證明是直線，，的公共點即可．
【詳解】因為，，且，
所以，所以且，
因為，分別為，的中點，所以且，
所以且，故四邊形為梯形，且，是梯形的兩腰，
所以，交于一點，設交點為，則，，
又因為平面，且平面，
所以平面，且平面，
又平面平面，
所以，
所以點是直線，，的公共點，
故直線、、相交于一點．

故選：B
【題型 3空間中的線共點問題】
【典例3】如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別是上的點，且.

(1)證明：四點共面；
(2)設，證明：A，O，D三點共線.
【答案】(1)證明見祥解
(2)證明見祥解
【分析】（1）連接，利用中位線定理得到，再根據(jù)正方體的性質得到，進而證明四邊形是平行四邊形，從而得到，由此可證四點共面；
（2）先證平面，且平面ABCD，又平面平面，
所以，進而得到A，O，D三點共線.
【詳解】（1）證明：如圖，連接.

在正方體中，，所以，
又，且，
所以四邊形是平行四邊形，所以，
，所以四點共面；
（2）證明：由，，又平面，平面，
同理平面ABCD，又平面平面，
，即A，O，D三點共線.
【變式3-1】如圖所示，在空間四邊形中，，分別為，的中點，，分別在，上，且，求證：

(1)，，，四點共面；
(2)與的交點在直線上．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）推導出，，從而，由此能證明，，，四點共面．
（2）推導出，且，從而與必相交，設交點為，由此能證明與的交點在直線上．
【詳解】（1）：：：，，
，分別為，的中點，，，
，，，四點共面．
（2）、不是、的中點，
，且，
與必相交，設交點為，
平面，平面，
平面，且平面，
平面平面，，
與的交點在直線上．
【變式3-2】在四面體中，，分別是，的中點，，分別是邊，上的點，且．求證：

(1)，，，四點共面；
(2)直線，，相交于一點．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)基本事實的推論證明即可；
（2）根據(jù)基本事實3證明即可.
【詳解】（1）
連接，，
在三角形中，，所以，
∵，分別是邊，的中點，
∴，
∴，，，，四點共面.
（2）∵，為中點，
∴與不平行，
∵平面，
∴與相交，
設，
∵，平面，
∴平面，同理平面，
∵平面平面，
∴，
∴直線，，相交于一點.
【變式3-3】空間四邊形中，分別在上，且滿足，．

求證：三線共點．
【答案】證明見解析
【分析】由題意可證且，則四邊形為梯形，設，可證，得證三線共點．
【詳解】，，
，，
，又，，，
四邊形為梯形，
設，則，而平面ABD，所以平面ABD ，
又，平面BCD，所以平面BCD，
而平面平面，，
三線共點．
【變式3-4】已知分別是正方體中和的中點.
(1)證明：四點共面.
(2)證明：三條直線交于一點.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）通過證明，得到四點共面.
（2）設和交于點P，證明點P在平面與平面的交線上.
【詳解】（1）連接，因為是正方體，
分別是和的中點，所以.
又，所以四邊形為平行四邊形，
所以，所以，
所以四點共面.
（2）由（1）知，且，
所以和必交于一點.
設，
因為平面，所以平面.
因為平面，所以平面.
又平面平面，所以，
所以交于一點.
【題型 4平面分空間的區(qū)域數(shù)量】
【典例4】三個平面將空間分成7個部分的示意圖是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)空間中平面位置關系逐項判斷即可.
【詳解】對于A，三個平面將空間分成4個部分，不合題意；
對于B，三個平面將空間分成6個部分，不合題意；
對于C，三個平面將空間分成7個部分，符合題意；
對于D，三個平面將空間分成8個部分，不合題意.
故選：C
【變式4-1】平面α，β，γ不能將空間分成（　　）
A．5部分 B．6部分
C．7部分 D．8部分
【答案】A
【分析】根據(jù)三個平面的不同位置關系得出三個平面把空間分成4,6,7,8部分，判斷選項得出結果.
【詳解】三個平面平行時，將空間分成4個部分；
三個平面相交于同一條直線時，將空間分成6個部分；
當兩個平面平行，第三個平面與它們相交時，將空間分成6個部分；
當三個平面兩兩相交且有三條交線時，將空間分成7個部分；
當有兩個平面相交，第三個平面截兩個相交平面時，可將空間分成8個部分．
所以平面α，β，γ不能將空間分成5部分．
故選：A．
【變式4-2】一個西瓜切3刀，最多能切出 塊．
【答案】8
【分析】利用平面的基本性質和位置關系可知，按照豎著切兩刀，橫著切一刀的方式得到的塊數(shù)最多.
【詳解】根據(jù)題意可知，把切的每一刀看成一個平面，
利用平面的基本性質和位置關系可知，先豎著沿兩個不重合的平面切兩刀到底，再橫著沿平面切一刀貫通，如下圖所示：

這樣可實現(xiàn)塊數(shù)的倍增，此時得到的塊數(shù)最多，為8塊.
故答案為：8
【變式4-3】一個正三棱柱各面所在的平面將空間分成 部分．
【答案】21
【分析】三棱柱三個側面將空間分成7部分，三棱柱兩個平行的底面又在這個基礎上分成3大部分，由此可得解.
【詳解】三棱柱三個側面將空間分成7部分，三棱柱兩個平行的底面又在這個基礎上分成3大部分，
故三棱柱各面所在的平面將空間分成部分
故答案為：21
【點睛】思路點睛：本題考查將空間分成幾部分的判斷，解題時要認真審題，注意三棱柱的結構特征及平面的基本性質及推論的合理運用，屬于基礎題.
【變式4-4】三棱柱的五個面所在的平面將空間平分成 個部分
【答案】
【分析】3個側面將空間分成了7個部分,上下底面又將空間分成了上中下三個部分,即可求得分得的所有部分數(shù).
【詳解】三棱柱有3個側面,3個側面將空間分成了7個部分
上下底面又將空間分成了上中下三個部分,每個部分都有7個小部分
所以三棱柱的五個側面將空間分成了個部分
故答案為:
【點睛】本題考查了空間結構體的特征,需要空間想象能力,屬于基礎題.
【題型 5直線與直線的位置關系】
【典例5】如圖，在正方體中，、、、、、分別是棱、、、、、的中點，則下列結論錯誤的是（ ）

A．直線和平行，和相交
B．直線和平行，和相交
C．直線和相交，和異面
D．直線和異面，和異面
【答案】ACD
【分析】利用平行線的傳遞性可判斷出直線和平行，利用三角形全等可證得和相交，由異面直線的定義可判斷出和異面，即可得出合適的選項.
【詳解】如下圖所示：

因為、分別為、的中點，則，同理可證，
在正方體中，且，
所以，四邊形為平行四邊形，則，所以，，
延長交直線于點，
因為，則，
又因為，，所以，，所以，，
延長交的延長線于點，同理可證，
因為，所以，，即點、重合，
所以，、相交，
由異面直線的定義結合圖形可知，、異面，故B對，ACD均錯.
故選：ACD.
【變式5-1】在空間中，若兩條直線與沒有公共點，則a與b（ ）
A．相交 B．平行 C．是異面直線 D．可能平行，也可能是異面直線
【答案】D
【分析】根據(jù)空間直線的位置關系判斷，即可得答案.
【詳解】由題意知在空間中，兩條直線與沒有公共點，即與不相交，
則a與b可能平行，也可能是異面直線，
故選：D
【變式5-2】正方體中，點分別是的中點，則與所成角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】連接，利用幾何法求出異面直線夾角即得.
【詳解】正方體中，連接，
由分別是的中點，得，四邊形是正方體的對角面，
則四邊形是矩形，于是，即有，
因此是異面直線與所成角或其補角，
在中，，則，
所以與所成角為.
故選：C
【變式5-3】如圖，已知E，F(xiàn)分別為三棱錐的棱的中點，則直線與的位置關系是 （填“平行”，“異面”，“相交”）．
【答案】異面
【分析】假設共面推出矛盾.
【詳解】假設直線共面，平面，
由，則平面，
同理，平面，故共面，
這與是三棱錐矛盾，故假設錯誤，故直線異面.
故答案為：異面.
【題型 6直線與平面的位置關系】
【典例6】已知是兩個不同的平面，是兩條不同的直線，下列選項中能推出的是（ ）
A．， B．，
C．，， D．，
【答案】D
【分析】根據(jù)直線和平面的相關知識直接判斷即可.
【詳解】對于A，由，，顯然不能得到，故A錯誤；
對于B，由，，可以得到或異面或相交，故B錯誤；
對于C，由，，，得或異面，故C錯誤；
對于D，由，，可以推出，故D正確.
故選：D
【變式6-1】若一直線上有兩點到一個平面的距離都等于1，則該直線與這個平面的位置關系是（ ）．
A．直線在平面內 B．直線與平面相交或平行
C．直線與平面相交 D．直線平行平面
【答案】B
【分析】根據(jù)直線與平面的位置關系，結合題意，進行判斷.
【詳解】結合題意：要使一條直線的兩點到一個平面的距離為1，則由線面位置關系可得：
當時，可滿足題意；
當與相交時，在面的異側各有一個點可滿足題意；
當時，無法滿足題意.
故直線與平面相交或平行.
故選：B.
【變式6-2】設，是兩條不同的直線，是一個平面，則下列說法正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
【答案】C
【分析】在A中，與相交、平行或異面；在B中，與相交、平行或異面；在C中，由線面垂直的判定定理得；在D中，.
【詳解】解：由，是兩條不同的直線，α時一個平面，知：
在A中，若，，則與相交、平行或異面，故A錯誤；
在B中，若，，則與相交、平行或異面，故B錯誤；
在C中，若，，則由線面垂直的判定定理得，故C正確；
在D中，若，，則由線面垂直的判定定理得，故D錯誤.
故選：C.
【變式6-3】已知直線m,n和平面,，，則“”是“”的（ ）條件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】根據(jù)線面平行的判定定理與性質定理判斷即可.
【詳解】根據(jù)線面平行的判定定理知,若,則,故充分性成立；
若,則直線m,n有可能平行或者異面,故必要性不成立.
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
【題型 7平面與平面的位置關系】
【典例7】已知平面平面，直線，直線，則與的位置關系是（ ）
A．平行 B．平行或異面 C．異面 D．異面或相交
【答案】B
【分析】利用直線與平面的位置關系判斷即可.
【詳解】因為平面平面，直線，直線，
所以與沒有交點，即與可能平行，也可能異面．
故選：B.
【變式7-1】如圖所示，用符號語言可表達為（ ）
A．，， B．，，
C．，，， D．，，，
【答案】A
【分析】結合圖形及點、線、面關系的表示方法判斷即可．
【詳解】如圖所示，兩個平面與相交于直線，直線在平面內，直線和直線相交于點，
故用符號語言可表達為，，，
故選：A
【變式7-2】若三個不同的平面滿足則之間的位置關系是（ ）
A． B．
C．或 D．或與相交
【答案】D
【分析】利用正方體中的面面關系即可求解.
【詳解】由可得或與相交，
比如在正方體中，
平面平面，平面平面，則平面平面，
又平面平面，平面平面，但是平面與平面相交，
故選：D
【變式7-3】已知平面，和直線a，b，且，，，則與的位置關系是 ；
【答案】或與相交
【分析】直接由題意畫出圖形得結論.
【詳解】由，，，得或與相交，如圖所示:

故答案為: 或與相交.
一、單選題
1．如圖所示的點，線，面的位置關系，用符號語言表示正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用符號語言表示點線面的位置關系即可得解.
【詳解】對于A，由圖知與交于在內，與交于點，
所以，故A正確；
對于BD，這一表示方法錯誤，故BD錯誤；
對于C，這一表示方法錯誤，故C錯誤.
故選：A.
2．設a，b是空間兩條不同直線，則“a與b無公共點”是“a與b是異面直線”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)異面直線的定義判斷即可.
【詳解】當a與b無公共點時，a與b可能平行或異面，反之，當a與b是異面直線時，a與b無公共點.
故選：B.
3．在棱長為1的正四面體中，直線與是（ ）．
A．平行直線 B．相交直線 C．異面直線 D．無法判斷位置關系
【答案】C
【分析】利用異面直線的判斷方法判斷即可.
【詳解】作出正四面體，如圖，

因為平面，平面，，平面，
所以與是異面直線.
故選：C.
4．已知直線a，b異面，下列判斷正確的是（ ）
A．過b的平面不可能與a平行 B．過b的平面不可能與a垂直
C．過b的平面有且僅有一個與a平行 D．過b的平面有且僅有一個與a垂直
【答案】C
【分析】可采用借助于正方體中的與是異面直線，利用觀察正方體中的線面關系舉一些 反例進行說明即可.
【詳解】
如圖，與是異面直線，看作直線看作直線，
對于A，過的平面，故A錯；
對于B，過的平面，故B錯；
對于C，在上任取一點，過點作交于點，
因為，所以，又平面，平面，
所以平面，又，所以確定的平面只有一個，
所以過的平面有且僅有一個即平面與平行，故C正確；
對于D，若與不垂直，則必不存在過的平面中，有一個垂直于，故D錯.
故選：C.
5．若直線a不平行于平面，則下列結論成立的是（ ）
A．平面內的所有直線都與直線a異面 B．平面內不存在與直線a平行的直線
C．平面內的直線都與直線a相交 D．直線a與平面一定有公共點
【答案】D
【分析】直線不平行于平面，可得，或與相交，據(jù)此可判斷出結論.
【詳解】直線不平行于平面，可得，或與相交.
對于A，如下圖，當時，，但，故A不正確；

對于B，如下圖，當時，平面內存在直線與直線平行，故B不正確；

對于C，由B分析可知，的直線可能與平行，故C不正確；
對于D，不管，還是與相交，直線與平面有公共點，D正確.
故選：D.
6．下列命題中，錯誤的是（ ）
A．平行于同一條直線的兩個平面平行
B．平行于同一個平面的兩個平面平行
C．一條直線與兩個平行平面中的一個相交，則必與另一個相交
D．一個平面與兩個平行平面中的一個相交，則必與另一個相交
【答案】A
【分析】在A中，平行于同一條直線的兩個平面相交或平行；在B中，由平面平行的定義得平行于同一個平面的兩個平面平行；在C中，由平面平行的性質得必與另一個相交；在中，由平面平行的性質得必與另一個相交.
【詳解】對于A，平行于同一條直線的兩個平面相交或平行，故A錯誤；
對于B，若平面滿足，
根據(jù)面面平行的定義可得與沒交點，與沒交點，
則與沒交點，即，所以平行于同一個平面的兩個平面平行，故B正確；
對于C，由平面平行的性質得一條直線與兩個平行平面中的一個相交，則必與另一個相交，故C正確；
對于D，由平面平行的性質得一個平面與兩個平行平面中的一個相交，則必與另一個相交，故D正確.
故選：A.
7．在正方體中，為的中點，則直線與所成的角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)正方體性質，將直線平移到，再利用即可求得角的大小.
【詳解】連接，如下圖所示：

根據(jù)正方體性質可知，所以直線與所成的角即為直線與所成的角；
設正方體棱長為2，易知，，，
在中，滿足，即，
因此，所以.
故選：B
二、多選題
8．直線上兩點到平面的距離相等且均為5，直線與平面的關系可能為（ ）
A．平行 B．直線在平面內 C．相交 D．以上三種情況都可能
【答案】AC
【分析】根據(jù)給定條件，按點在平面的同側、異側判斷作答.
【詳解】直線上兩點到平面的距離相等且均為5，顯然，BD錯誤；
當點在平面的同側時，，A正確；
當點在平面的異側時，直線與平面相交，C正確.
故選：AC
9．設P表示一個點，a、b表示兩條直線，、表示兩個平面，下列說法正確的是（　　）
A．若，，則
B．若，，則
C．若，，，，則
D．若，，，則
【答案】CD
【分析】根據(jù)公理1以及直線在平面內的定義，逐一對四個結論進行分析，即可求解．
【詳解】當時，，，但，故A錯；
當時，B錯；
如圖，∵，，∴，
∴由直線和點確定唯一平面，
又，由與確定唯一平面，但經過直線和點，
∴與重合，∴，故C正確；

兩個平面的公共點必在其交線上，故D正確．
故選：CD
三、填空題
10．已知、是異面直線，直線直線，則直線與直線b的位置關系是 .
【答案】相交或異面
【分析】根據(jù)空間中直線與直線的位置關系即可得出結論.
【詳解】若，因為，則，與已知、是異面直線矛盾，
所以直線與直線b不平行，
則當直線與直線b在同一平面則相交，當直線與直線b不在同一平面則異面，
故答案為：相交或異面.
11．如圖為正六棱柱，與直線異面的側棱共有 條．

【答案】4
【分析】分別寫出與平行的側棱，以及相交的側棱，即可得出答案.
【詳解】根據(jù)正六棱柱的性質結合圖象可得，
側棱中，沒有與平行的直線；
與相交的有，共2條.
又正六棱柱的側棱，共有6條，
所以，與直線異面的側棱共有條.
故答案為：4.
12．如圖是正方體的平面展開圖，在原來的正方體中
（1）與平行；
（2）與是異面直線；
（3）與垂直；
（4）與成．
其中正確的序號是 ．
【答案】（4）
【分析】將正方體的直觀圖畫出，判斷出與為異面直線，（1）錯誤；證明出四邊形為平行四邊形，得到（2）錯誤；根據(jù)面面平行推導出與不垂直，（3）錯誤；作出輔助線，得到或其補角即為與所成角，結合是等邊三角形得到答案.
【詳解】畫出正方體的直觀圖如下：

對于（1），與為異面直線，不平行，錯誤；
對于（2），連接，因為，且，故四邊形為平行四邊形，
故與平行，（2）錯誤；
對于（3），在平面上，⊥，
由于平面與平面平行，要想與垂直，
只需與平行，顯然兩者不平行，故與不垂直，（3）錯誤；
對于（4），連接，因為與平行，
所以或其補角即為與所成角，
設正方體的邊長為1，由勾股定理得到，
故是等邊三角形，故，故與成，（4）正確.
故答案為：（4）
13．兩個平面可以將空間分成 個部分．
【答案】3或4/4或3
【分析】兩個平面分平行、相交兩種情況討論，從而可得結果.
【詳解】空間中兩個平面的位置關系是平行或相交，
若兩個平面平行，則可將空間分成3部分，
若兩個平面相交，可將空間分成4部分，
所以兩個平面可以將空間分成 3或4個部分.
故答案為：3或4．
四、解答題
14．如圖，在正方體中，求異面直線與所成的角的大小；
【答案】
【分析】證明，由異面直線夾角的定義可知是異面直線與所成角的平面角，又為正三角形，所以可得結果為.
【詳解】連接， ，如下圖所示：
因為，
所以四邊形是平行四邊形，則，
所以異面直線與所成的角即為直線與所成的角，
即是異面直線與所成角的平面角，
設正方體的棱長為，則，
所以為正三角形，因此.
即異面直線與所成的角的大小為.
15．如圖，AB是的直徑，點C為該圓上異于A，B的點，所在的平面．求證：平面平面PBC．

【答案】見解析
【分析】由線面垂直和面面垂直的判定定理即可證明.
【詳解】∵是圓的直徑，∴，
又∵平面，平面，∴.
∵，平面，
∴平面，
又因為平面，所以平面平面PBC．
16．如圖，在正方體中，至少找出三條與成異面直線的棱或對角線，并指出它們所成角的大小．

【答案】見解析
【分析】根據(jù)圖形即可看出，與成異面直線的直線分別為，，，然后求出夾角即可．
【詳解】與成異面直線的直線分別為，，，
由于,且為等邊三角形，所以即為 與所成的角，故為，
由于,且為等邊三角形，所以即為 與所成的角，故為，
由于,,故 ，故夾角為．

17．如圖，已知長方體中，，，．

(1)BC和所成的角是多少度？
(2)和BC所成的角是多少度？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）確定是異面直線與所成的角，在中根據(jù)長度關系得到答案；
（2）確定是異面直線和BC所成的角，則得到答案.
【詳解】（1）因為，所以是異面直線與所成的角，
在中，，，所以.
故異面直線和所成的角是.
（2）因為，則和BC所成的角即為，顯然，
則和BC所成的角是.
18．已知是棱長為a的正方體（如圖）．

(1)正方體的哪些棱所在的直線與直線是異面直線？
(2)求證直線與BC垂直．
(3)求直線與AC的夾角．
【答案】(1)，，，DA，DC，；
(2)證明見解析；
(3).
【分析】（1）利用異面直線的定義判斷作答.
（2）（3）利用異面直線的定義，求出異面直線的夾角即可作答.
【詳解】（1）正方體共有12條棱，與相交的棱有6條，與平行的棱不存在，
因此余下的6條棱所在直線分別與直線是異面直線，它們是，，，DA，DC，．
（2）在正方體中，由，得與AD的夾角就是與BC的夾角，
因為，則與BC的夾角為，
所以．
（3）連接，因為，
于是四邊形是平行四邊形，即，
從而與AC的夾角就是與的夾角，連接，
而，與都是正方體的面對角線，則有，即是正三角形，
所以與的夾角為，即與AC的夾角為．
19．如圖，已知E，F(xiàn)，G，H分別為四面體ABCD的棱長AB，BC，CD，AD的中點，求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面．

【答案】答案見詳解
【分析】通過中位線定理證明，且，同理可證，且，從而可證為平行四邊形，即E，F(xiàn)，G，H四點共面．
【詳解】∵E，F(xiàn)，分別為AB，BC的中點，
∴，且，
∵G，H分別為CD，AD的中點，
∴，且，
∴，且，
∴四邊形為平行四邊形
∴E，F(xiàn)，G，H四點共面．第04講 空間點﹑直線﹑平面之間的位置關系
考點1：平面的概念
（1）平面的定義
幾何里所說的“平面”是從課桌面、黑板面、海洋這樣一些物體中抽象出來的．但是，幾何里的平面是無限延展的．
平面的兩個特點：①平；②無限延展性．
（2）平面的畫法．
①水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形；
②它的銳角通常畫成45°；
③橫邊長等于其鄰邊長的2倍．
如果一個平面被另一個平面遮住，為增強立體感，把擋住的部分用虛線畫出來(如圖所示)．
（3）平面的表示．
下圖所示的平面可表示為：
①平面ABCD；②平面AC；③平面α.
（4）直線在平面內的概念
如果直線l上的所有點都在平面α內，就說直線l在平面α內，或者說平面α經過直線l.2.一些文字語言、數(shù)學符號與圖形的對應關系
數(shù)學符號表示 文字語言表達 圖形語言表達
A∈l 點A在直線l上
A l 點A在直線l外
A∈α 點A在平面α內
A α 點A在平面α外
l α 直線l在平面α內
l α 直線l在平面α外
l∩m＝A 直線l，m相交于點A
α∩β＝l 平面α，β相交于直線l
考點2：平面的基本性質
公理 內容 圖形 符號
公理1 如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內 A∈l，B∈l且A∈α，B∈α l α
公理2 過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面 A，B，C三點不共線 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
公理3 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線 P∈α且P∈β α∩β＝l且P∈l
1.公理1的作用：①用直線檢驗平面(常被應用于實踐，如泥瓦工用直的木條刮平地面上的水泥漿)；②判斷直線是否在平面內(經常被用于立體幾何的說理中)．
2．公理2的作用：①確定平面；②證明點、線共面．公理2中要注意條件“不在同一條直線上的三點”，事實上，共線的三點是不能確定一個平面的．同時要注意經過一點、兩點或在同一條直線上的三點可能有無數(shù)個平面；過不在同一條直線上的四點，不一定有平面．因此，要充分重視“不在同一條直線上的三點”這一條件的重要性．
3．公理3的主要作用：①判定兩個平面是否相交；②證明共線問題；③證明線共點問題.
公理3強調的是兩個不重合的平面，只要它們有公共點，其交集就是一條直線．以后若無特別說明，“兩個平面”是指不重合的兩個平面．
考點3：空間兩條直線的位置關系
①從是否有公共點的角度來分：
②從是否共面的角度來分：
1.異面直線
（1）定義：不同在任何一個平面內的兩條直線叫做異面直線．
（2）畫法：圖形表示為如圖所示(通常用一個或兩個平面襯托)．
2.平行公理(公理4)
文字表述：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．這一性質叫做空間平行的傳遞性．
符號表述： a∥c.
3.等角定理
空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．
如圖，AB∥A1B1，BC∥B1C1，對于∠ABC與∠A1B1C1兩個角的方向相同，這兩個角相等；對于∠ABC與∠E1B1C1兩個角的方向不同，這兩個角互補，即∠ABC＋∠E1B1C1＝180°.
4.直線和平面的位置關系
位置 關系 直線a在平面α內 直線a在平面α外
直線a與平面α相交 直線a與平面α平行
公共點 有無數(shù)個公共點 有且只有一個公共點 無公共點
符號 表示 a α a∩α a∥α
圖形 表示
考點4：兩個平面的位置關系
位置關系 圖示 表示法 公共點個數(shù)
兩平面平行 α∥β 0個
兩平面相交 α∩β 有無數(shù)個 (在一條直線上)
【題型 1平面的基本性質及推論】
【典例1】（多選題）下列命題正確的是（ ）
A．三點確定一個平面
B．一條直線和直線外一點確定一個平面
C．圓心和圓上兩點可確定一個平面
D．梯形可確定一個平面
【變式1-1】用集合符號表述語句“平面經過直線”： .
【變式1-2】如果兩條直線a與b有公共點，那么a與b（ ）
A．平行 B．是異面直線 C．共面 D．垂直
【變式1-3】（多選題）下列命題正確的是（ ）
A．不共線的三點確定一個平面
B．平行于同一條直線的兩條直線平行
C．經過兩條平行直線，有且只有一個平面
D．如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角一定相等
【題型 2空間中的點共線、點(線) 共面問題】
【典例2】分別是空間四邊形的邊的中點，則的位置關系是（ ）
A．異面 B．平行
C．相交 D．重合
【變式2-1】如圖，，，，且，直線，過三點的平面記作，則與的交線必通過（　　）

A．點A B．點B
C．點C但不過點M D．點C和點M
【變式2-2】點分別在空間四邊形的邊上，若，則下列說法中正確的是（ ）
A．直線與一定平行 B．直線與一定相交
C．直線與可能異面 D．直線與一定共面
【變式2-3】在空間四邊形中，若，分別為，的中點，，，且，，則（ ）
A．直線與平行 B．直線，，相交于一點
C．直線與異面 D．直線，，相交于一點
【題型 3空間中的線共點問題】
【典例3】如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別是上的點，且.

(1)證明：四點共面；
(2)設，證明：A，O，D三點共線.
【變式3-1】如圖所示，在空間四邊形中，，分別為，的中點，，分別在，上，且，求證：

(1)，，，四點共面；
(2)與的交點在直線上．
【變式3-2】在四面體中，，分別是，的中點，，分別是邊，上的點，且．求證：

(1)，，，四點共面；
(2)直線，，相交于一點．
【變式3-3】空間四邊形中，分別在上，且滿足，．

求證：三線共點．
【變式3-4】已知分別是正方體中和的中點.
(1)證明：四點共面.
(2)證明：三條直線交于一點.
【題型 4平面分空間的區(qū)域數(shù)量】
【典例4】三個平面將空間分成7個部分的示意圖是（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-1】平面α，β，γ不能將空間分成（　　）
A．5部分 B．6部分
C．7部分 D．8部分
【變式4-2】一個西瓜切3刀，最多能切出 塊．
【變式4-3】一個正三棱柱各面所在的平面將空間分成 部分．
【變式4-4】三棱柱的五個面所在的平面將空間平分成 個部分
【題型 5直線與直線的位置關系】
【典例5】如圖，在正方體中，、、、、、分別是棱、、、、、的中點，則下列結論錯誤的是（ ）

A．直線和平行，和相交
B．直線和平行，和相交
C．直線和相交，和異面
D．直線和異面，和異面
【變式5-1】在空間中，若兩條直線與沒有公共點，則a與b（ ）
A．相交 B．平行 C．是異面直線 D．可能平行，也可能是異面直線
【變式5-2】正方體中，點分別是的中點，則與所成角為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】如圖，已知E，F(xiàn)分別為三棱錐的棱的中點，則直線與的位置關系是 （填“平行”，“異面”，“相交”）．
【題型 6直線與平面的位置關系】
【典例6】已知是兩個不同的平面，是兩條不同的直線，下列選項中能推出的是（ ）
A．， B．，
C．，， D．，
【變式6-1】若一直線上有兩點到一個平面的距離都等于1，則該直線與這個平面的位置關系是（ ）．
A．直線在平面內 B．直線與平面相交或平行
C．直線與平面相交 D．直線平行平面
【變式6-2】設，是兩條不同的直線，是一個平面，則下列說法正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
【變式6-3】已知直線m,n和平面,，，則“”是“”的（ ）條件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
【題型 7平面與平面的位置關系】
【典例7】已知平面平面，直線，直線，則與的位置關系是（ ）
A．平行 B．平行或異面 C．異面 D．異面或相交
【變式7-1】如圖所示，用符號語言可表達為（ ）
A．，， B．，，
C．，，， D．，，，
【變式7-2】若三個不同的平面滿足則之間的位置關系是（ ）
A． B．
C．或 D．或與相交
【變式7-3】已知平面，和直線a，b，且，，，則與的位置關系是 ；
一、單選題
1．如圖所示的點，線，面的位置關系，用符號語言表示正確的是（ ）
A． B．
C． D．
2．設a，b是空間兩條不同直線，則“a與b無公共點”是“a與b是異面直線”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
3．在棱長為1的正四面體中，直線與是（ ）．
A．平行直線 B．相交直線 C．異面直線 D．無法判斷位置關系
4．已知直線a，b異面，下列判斷正確的是（ ）
A．過b的平面不可能與a平行 B．過b的平面不可能與a垂直
C．過b的平面有且僅有一個與a平行 D．過b的平面有且僅有一個與a垂直
5．若直線a不平行于平面，則下列結論成立的是（ ）
A．平面內的所有直線都與直線a異面 B．平面內不存在與直線a平行的直線
C．平面內的直線都與直線a相交 D．直線a與平面一定有公共點
6．下列命題中，錯誤的是（ ）
A．平行于同一條直線的兩個平面平行
B．平行于同一個平面的兩個平面平行
C．一條直線與兩個平行平面中的一個相交，則必與另一個相交
D．一個平面與兩個平行平面中的一個相交，則必與另一個相交
7．在正方體中，為的中點，則直線與所成的角為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
8．直線上兩點到平面的距離相等且均為5，直線與平面的關系可能為（ ）
A．平行 B．直線在平面內 C．相交 D．以上三種情況都可能
9．設P表示一個點，a、b表示兩條直線，、表示兩個平面，下列說法正確的是（　　）
A．若，，則
B．若，，則
C．若，，，，則
D．若，，，則
三、填空題
10．已知、是異面直線，直線直線，則直線與直線b的位置關系是 .
11．如圖為正六棱柱，與直線異面的側棱共有 條．

12．如圖是正方體的平面展開圖，在原來的正方體中
（1）與平行；
（2）與是異面直線；
（3）與垂直；
（4）與成．
其中正確的序號是 ．
13．兩個平面可以將空間分成 個部分．
四、解答題
14．如圖，在正方體中，求異面直線與所成的角的大小；
15．如圖，AB是的直徑，點C為該圓上異于A，B的點，所在的平面．求證：平面平面PBC．

16．如圖，在正方體中，至少找出三條與成異面直線的棱或對角線，并指出它們所成角的大小．

17．如圖，已知長方體中，，，．

(1)BC和所成的角是多少度？
(2)和BC所成的角是多少度？
18．已知是棱長為a的正方體（如圖）．

(1)正方體的哪些棱所在的直線與直線是異面直線？
(2)求證直線與BC垂直．
(3)求直線與AC的夾角．
19．如圖，已知E，F(xiàn)，G，H分別為四面體ABCD的棱長AB，BC，CD，AD的中點，求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面．

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