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第五單元 數學廣角—鴿巢問題
易錯點一：區分不清“鴿巢問題"中的限制條件,導致判斷錯誤。
判斷:把3個蘋果放在2個盒子里,盒子里至少放了2個蘋果。( )
【錯誤答案】正確
【錯解分析】本題錯沒有分清限制條件。把3個蘋果放在2個盒子里，共有兩種不同的放法，無論哪一種放法,都可以說“必有一個盒子里至少放了2個蘋果”。而不是所有盒子里至少放了2個蘋果。
【正確答案】錯誤
【易錯例題一】盒子里有5個紅球，6個黃球，每次摸一個，至少摸（ ）次一定會摸到紅球。
A．7 B．6 C．5
【分析】考慮最不利情況：假設先拿出來的都是黃球，拿出6個黃球后，盒子里只剩下5個紅球，此時隨意摸一個球一定是紅球，至少摸球的次數＝黃球的個數＋1，據此解答。
【詳解】6＋1＝7（次）
所以，至少摸7次一定會摸到紅球。
故答案為：A
【分析】本題主要考查抽屜原理的簡單應用，從最不利情況考慮是解答題目的關鍵。
【易錯例題二】一個不透明的袋子里裝有6顆白珠子，3顆紅珠子，2顆藍珠子，1顆黑珠子，珠子顏色不同、形狀大小相同，一次摸出( )顆珠子才能保證至少有兩顆白珠子。
【分析】考慮最差情況，把紅珠子、藍珠子和黑珠子都摸完，再加上兩個白珠子，那么就可以保證至少有兩顆白珠子。
【詳解】3＋2＋1＋2
＝5＋1＋2
＝8（顆）
在把所有不符合情況全部摸出，再加上需要達到目標的數量，所以一次摸出8顆珠子才能保證至少有兩顆白珠子。
【分析】此題考查了抽屜原理，能熟練考慮最不利情況是解答的關鍵。
易錯點二：對“鴿巢原理(二)”理解錯誤。【如果把多余kn個的物體任意放進n個鴿巢里（k和n時非零自然數），那么一定有一個鴿巢里至少放進了（k+1）個物體。】
判斷:因為21÷3=6.....3,所以21個梨放進6個盤子里，總有1個盤子至少放進6個。( )
【錯誤答案】正確
【錯解分析】此題錯在把這個盤子至少放的梨的個數用“3(商)+3(余數)”計算得出,應該是“3(商)+1"
【正確答案】錯誤
【易錯例題一】六年級甲班59名同學中至少有（ ）名同學是同一個月份出生的。
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】把59名同學看作被分放物體，一年中的12個月份看作抽屜數，被分放物體的數量÷抽屜的數量＝平均每個抽屜分放物體的數量……剩下物體的數量，一個抽屜里至少分放物體的數量＝平均每個抽屜分放物體的數量＋1，據此解答。
【詳解】一年一共有12個月。
59÷12＝4……11
4＋1＝5（名）
所以，至少有5名同學是同一個月份出生的。
故答案為：B
【分析】本題主要考查利用抽屜原理解決實際問題，找出被分放物體數和抽屜數是解答題目的關鍵。
【易錯例題二】六（1）班有6名同學參加知識競賽，滿分100分。如果他們的成績中最低分為96分，那么參賽的同學中至少有2人成績相同。這種說法對嗎？六（2）班有7名同學參加知識競賽，他們的成績中最低分也是96分，六（2）班參賽的學生中至少有幾人成績相同？（競賽成績的分數均為整數）
【分析】得分為整數，最低分是96分，那么得分的可能是96、97、98、99、100分，共5種分數。從最不利的情況考慮，如果前5名同學得分都不相同，那么第6名或第7名無論得分是多少，都至少有2人成績相同。
【詳解】如果5名同學的成績分別是96、97、98、99、100分，共5種分數；
6÷5＝1（名）……1（名）
1＋1＝2（名）
六（1）班參賽的同學中至少有2人成績相同，這種說法是對的。
7÷5＝1（名）……2（名）
1＋1＝2（名）
答：六（1）班有6名同學參加，參賽的學生中至少有2人成績相同，這種說法是對的。
六（2）班有7名同學參加，參賽的學生中至少有2人成績相同。
【分析】本題考查鴿巣問題，采用最不利原則解答。
一、選擇題
1．一個袋中裝有紅、黃、藍三種不同顏色的小球各10個，至少要摸出（ ）個小球，肯定有10個顏色相同的。
A．10 B．11 C．21 D．28
2．密封的紙盒里有60粒大小相同的珠子，每15粒是同一種顏色，為保證一次取出3粒顏色相同的珠子，至少要取出（ ）粒。
A．6 B．9 C．12 D．18
3．六（一）班有50人，在一次數學測試中，全班同學都及格了（60分及格，100分滿分，都是整數分），至少一定有（ ）個人的分數是相同的。
A．9 B．10 C．2
4．六年級有學生367人，他們同一天過生日的人數至少有（ ）。
A．2人 B．5人 C．30人
5．一次航模大賽，甲、乙、丙、丁四人中有一人獲金獎，老師問他們誰獲得金獎時，甲說：我不是金獎；乙說：丁獲得了金獎；丙說：獲金獎的不是我：丁說：獲金獎的是甲。他們四人只有一人說了真話。獲金獎的是（ ）。
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．箱子中有質地、型號完全相同的紅、黃、白三種顏色的襪子各8只。至少拿出（ ）只，可以保證湊成兩雙顏色不相同的襪子。
A．5 B．8 C．11
二、填空題
7．有黑、白、黃色襪子各10只，不用眼睛看，任意取出襪子來，使得至少有兩雙襪子不同色，那么至少要取出( )只襪子。
8．一副撲克牌包括大、小王共有54張，為了保證抽出的牌有兩張同花色，至少要抽取( )張牌。
9．魚缸中有很多小魚，共5個品種，至少要撈出( )條小魚才能保證有3條魚的品種相同。
10．東風小學有367位同學出生于2012年，至少有( )人在同一天過生日。
11．13個蘋果放入4個盤子，總有一個盤子里至少放( )個蘋果。
12．從52張撲克牌（沒有王牌）中任意抽出10張，至少有( )張是同花色的。
三、判斷題
13．盒子里有紅、藍、黃色小球各2個，一次至少要摸出4個球才能保證有兩種顏色個數相同的球。( )
14．某地一年有新生嬰兒368人，總有一天他們中至少有2個人出生。( )
15．把20個蘋果放進3個果籃，總有一個果籃中至少要放進8個蘋果。( )
16．某次智力競賽有8個學生參加，總分是737分，則至少有一個學生的得分不低于95分。( )
四、作圖題
17．在圓圈中畫●，把這個●放在兩個信封里，不管怎么放，總有一個信封里至少有4個●。
五、解答題
18．一個盒子里裝有黑、白兩種顏色的跳棋各10枚。
①從中最少摸出幾枚才能保證有2枚顏色相同？
②從中至少摸出幾枚，才能保證有3枚顏色相同？
③從中至少摸出幾枚，才能保證有7枚顏色相同？
19．五年級有47名學生參加一次數學競賽，成績都是整數，滿分是100分，已知3名學生的成績在60分以下，其余學生的成績均在75～95分之間，問：至少有幾名學生的成績相同？
20．10個小朋友相約去游樂場，共有碰碰車、摩天輪、旋轉木馬三種游樂設施可選擇，每個小朋友可選一個游樂設施組合（不重復的兩種游樂設施）游玩，至少有幾個小朋友選的游樂設施組合相同？
21．箱子里有大小形狀一樣的卡片，其中紅卡30張，白卡20張，黃卡15張，藍卡25張，那么最少要從箱子里摸出多少張卡，才能保證摸出的卡有紅卡、白卡、黃卡和藍卡。
22．元旦時老師給表現最好的12個小朋友送賀卡，其中收到賀卡最多的小朋友至少收到5張賀卡，那么老師至少要準備多少張賀卡？
23．從如圖8張卡片中，任意抽出幾張。要使抽出的卡片中一定有2張圖案相同的，至少要抽出幾張？
24．小悅，冬冬和阿奇到費叔叔家玩，費叔叔拿出許多巧克力來招待他們，他們一數，共有19塊巧克力，如果把這些巧克力分給他們三人，試說明：一定有人至少拿到7塊巧克力，但不一定有人拿到8塊。
25．從撲克牌中取出兩張王牌，在剩下的52張中任意取牌。
（1）至少取多少張牌，保證有2張牌的點數相同？
（2）至少取多少張牌，保證有2張牌的點數不同？
（3）至少取多少張牌，保證有2張花色相同？
（4）至少取多少張牌，保證有2張紅桃？
參考答案
1．D
【分析】典型的抽屜原理中最不利原則，需要顏色相同，則拿出的球都是不同的顏色，紅色拿出9個，藍色的拿出9個，黃色的也拿出9個，就摸出了27個，那么取出28個球，無論取的球是什么顏色取出的球都有10個顏色相同。
【詳解】9×3＋1
＝27＋1
＝28（個）
則至少要摸出28個小球，肯定有10個顏色相同的。
故答案為：D
2．B
【分析】先用60除以15求出一共有4種顏色的珠子；把“摸珠子問題”與“鴿巢問題”聯系起來，即把4種顏色看成4個鴿巢（同種顏色就是同一個鴿巢），把要摸出的珠子看成分放的物體。由“鴿巢原理”可推導出，（至少數－1）×鴿巢數＋1＝物體數，此題中至少數是3粒，鴿巢數是4個，據此可求出要摸出的珠子的粒數。
【詳解】顏色數（鴿巢數）：60÷15＝4（種）
珠子的最少粒數：（3－1）×4＋1
＝2×4＋1
＝8＋1
＝9（粒）
所以至少要取出9粒。
故答案為：B
【分析】此題考查了應用“鴿巢原理”解決實際問題。把實際問題轉化成“鴿巢問題”關鍵要弄清“鴿巢”（“鴿巢是什么，有幾個鴿巢）和分放的物體。
3．C
【分析】抽屜原理（鴿巢原理）：把m個物體放進n個抽屜里（m＞n＞1），m÷n＝a……b，不管怎么放總有一個抽屜至少放進（a＋1）個物體。由題意可知，一共有100－60＋1＝41（個）分數，即抽屜數是41個；六（一）班有50人，即物體數是50人；用50÷41求出商幾余幾，再用商數＋1求出至少數。
【詳解】100－60＋1
＝40＋1
＝41（個）
50÷41＝1（人）……9（人）
1＋1＝2（人）
所以至少一定有2個人的分數是相同的。
故答案為：C
【分析】解決抽屜原理問題，要分清“要放的物體數和抽屜數”。
4．A
【分析】假設這一年是閏年，全年有366天；考慮最不利原則，把367人平均分給366天，即平均每天有1人過生日，還余1人，無論把這1人放進哪一天，這一天都有2人過生日，據此解答。
【詳解】367÷366＝1（人）……1（人）
1＋1＝2（人）
他們同一天過生日的人數至少有2人。
故答案為：A
【分析】本題考查鴿巢問題（抽屜問題），根據“至少數＝物體數÷抽屜的個數＋1（有余數的情況下）”解答。
5．C
【分析】由題意可知，甲說：我不是金獎；丁說：獲金獎的是甲，則甲和丁之間必然一真一假，又因為他們四人只有一人說了真話，則乙和丙說的是假話。據此選擇即可。
【詳解】由分析可知：
因為乙和丙說的是假話，所以獲金獎的是丙。
故答案為：C
【分析】根據題意分析甲、丁兩人有一個是真話，從而得出乙和丙說的是假話是解答題目的關鍵。
6．C
【分析】從最不利的情況考慮，如果取出的頭8只襪子是同一種顏色，再取2只是剩下的兩種顏色的各一只，然后再取1只，可以保證湊成兩雙顏色不相同的襪子，據此解答即可。
【詳解】8＋2＋1＝11（只）
至少拿出11只，可以保證湊成兩雙顏色不相同的襪子。
故答案為：C
【分析】此題考查了利用抽屜原理解決實際問題的靈活應用，關鍵是從最差情況考慮。
7．13
【分析】因為襪子的顏色有3種，最壞的取法是先取的10只都是同一種顏色的，又取了2只顏色還是不同的，所以只要再取1只，就能跟第二次取的配成一雙襪子了；所以至少要取10＋2＋1＝13只，據此解答。
【詳解】10＋2＋1＝13（只）
故至少要取13只。
【分析】本題考查的是處理抽屜原理問題最基本和常用的方法，運用“最不利原則”,構造“最不利”“點最背”的情形。
8．7
【分析】一副撲克牌包括大、小王共有54張，有四種花色，每種花色有13張，運氣最差的情況為前4次抽取的是四種不同花色的牌各一張，再抽2張大、小王，這時再從剩下的牌中任意抽取一張，一定有2張花色相同的牌，據此解答。
【詳解】4＋2＋1＝7（張）
至少要抽取7張牌。
9．11
【分析】考慮最倒霉的情況，撈出5種魚，每種魚都是2條，再撈一條，無論什么品種，都可保證有3條魚的品種相同，據此分析。
【詳解】5×2＋1
＝10＋1
＝11（條）
魚缸中有很多小魚，共5個品種，至少要撈出11條小魚才能保證有3條魚的品種相同。
【分析】因為要保證有3條魚的品種相同，此題應從最極端的情況進行分析。
10．2
【分析】先根據平年和閏年的判斷方法，用2012年除以4，能整除，說明2012年是閏年，一年有366天。
把367位同學平均分給366天，每天有1位同學，還余1位，這1位無論放在哪一天，總有一天至少有2名同學過生日。
【詳解】2012÷4＝503
2012年是閏年，有366天。
367÷366＝1（人）……1（人）
1＋1＝2（人）
至少有2人在同一天過生日。
【分析】本題考查鴿巢問題（抽屜問題），根據“至少數＝物體數÷抽屜的個數＋1（有余數的情況下）”解答。
11．4
【分析】根據題意，先將13個蘋果平均放到4個盤子里，每個盤子里放3個，還剩下1個，這1個蘋果，無論放在哪個盤子里，總有一個盤子里至少有4個蘋果。
【詳解】13÷4＝3（個）……1（個）
3＋1＝4（個）
總有一個盤子里至少放4個蘋果。
【分析】本題考查鴿巢問題（抽屜問題），根據“至少數＝物體數÷抽屜的個數＋1（有余數的情況下）”解答。
12．3
【分析】抽屜原理（鴿巢原理）：m÷n＝a……b（m＞n＞1），把m個物體放進n個抽屜里，不管怎么放總有一個抽屜至少放進（a＋1）個物體。52張撲克牌（沒有王牌）中有4種花色，相當于4個抽屜。任意抽出10張，即物體數為10張。根據抽屜原理解答即可。
【詳解】10÷4＝2（張）……2（張）
2＋1＝3（張）
所以至少有3張是同花色的。
【分析】解決抽屜原理問題，要分清“要放的物體數和抽屜數”。
13．×
【分析】由于盒子里共有紅、藍、黃色小球各2個，如果一次取4個，最差情況為把其中1種顏色的球取完，又取了另外兩種顏色的球各一個，此時沒有兩種顏色個數相同的球，所以應再取1個就能保證有兩種顏色個數相同的球。據此解答。
【詳解】4＋1＝5
則盒子里有紅、藍、黃色小球各2個，一次至少要摸出5個球才能保證有兩種顏色個數相同的球。原題干說法錯誤。
故答案為：×
14．√
【分析】在此類抽屜問題中，至少數等于被分配的物體數除以抽屜數的商加1（有余的情況下）。在本題中，被分配的物體數是嬰兒數368人，抽屜數是一年的天數，是365或366，據此計算即可。
【詳解】368÷365＝1（人）……3（人）
1＋1＝2（人）
368÷366＝1（人）……2（人）
1＋1＝2（人）
所以，某地一年有新生嬰兒368人，總有一天他們中至少有2個人出生。
故答案為：√
【分析】先建立抽屜和確定元素的總個數，然后根據“至少數＝元素的總個數÷抽屜的個數＋1（有余數的情況下）”解答。
15．×
【分析】從最壞的情況分析，3個果籃目前盡可能的平均放，即20÷3＝6（個）……2（個），即每個果籃放6個蘋果，還剩下2個蘋果，這兩個蘋果任意放2個果盤里，即總有一個果盤至少放6＋1＝7（個），據此判斷。
【詳解】由分析可知：
20÷3＝6（個）……2（個）
6＋1＝7（個）
總有一個果籃中至少要放進7個蘋果。
故答案為：×
【分析】此題考查的是抽屜原理，一定要從從最不利情況考慮。
16．×
【分析】用總分除以人數，求出商，再用商加1就是所求的至少數。
【詳解】（分）……1（分）
（分）
則至少有一個學生的得分不低于93分，所以原題說法錯誤。
故答案為：×
【分析】本題考查鴿巢問題，解答本題的關鍵是掌握鴿巢問題的計算方法。
17．見詳解
【分析】至少數＝被分配的物體數除以抽屜數的商＋1（有余數的情況下）；本題中，抽屜數是2，不管怎么放，總有一個信封至少有4個●，則被分配的物體數是2×（4－1）＋1，據此求出●的數量，畫圖即可。
【詳解】2×（4－1）＋1
＝2×3＋1
＝6＋1
＝7（個）
【分析】本題考查抽屜原理的應用，要從最不利情況考慮，準確地建立抽屜和確定元素的總個數。
18．①3枚；②5枚；③13枚
【分析】①把2種不同顏色看作2個抽屜，把2種不同顏色的跳棋看作元素，從最不利情況考慮，每個抽屜先放1個，共需要2個，再取出1個不論是什么顏色，總有一個抽屜里的和它同色。
②把2種不同顏色看作2個抽屜，把2種不同顏色的跳棋看作元素，從最不利情況考慮，每個抽屜先放2個，共需要4個，再取出1個不論是什么顏色，總有一個抽屜里的和它同色。
③把2種不同顏色看作2個抽屜，把2種不同顏色的跳棋看作元素，從最不利情況考慮，每個抽屜先放6個，共需要12個，再取出1個不論是什么顏色，總有一個抽屜里的和它同色。
【詳解】①2＋1＝3（枚）
答：從中最少摸出3枚才能保證有2枚顏色相同。
②2×2＋1
＝4＋1
＝5（枚）
答：從中至少摸出5枚，才能保證有3枚顏色相同。
③6×2＋1
＝12＋1
＝13（枚）
答：從中至少摸出13枚，才能保證有7枚顏色相同。
【分析】抽屜原理問題的解答思路是：要從最不利情況考慮，準確地建立抽屜和確定元素的總個數，然后根據“抽屜原理1：把多于n＋1個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里的東西不少于兩件。”
19．3名
【分析】此題主要考查了抽屜原理的應用，解題的關鍵是弄清抽屜數量，根據條件“ 成績都是整數，已知3名學生的成績在60分以下，其余學生的成績均在75～95分之間”，可以計算出75～95之間的整數有幾個，也就是有幾個抽屜，然后用總人數－3＝剩下的學生總數，將剩下的學生總數放入抽屜中，根據抽屜原理的解題方法：a個物體放入n個抽屜，如果a÷n＝b……c，那么有一個抽屜至少放（b＋1）個物體，據此解答。
【詳解】75～95之間的整數有95－75＋1＝21（個）
47－3＝44（名）
44÷21＝2……2
2＋1＝3（名）
答：至少有3名學生的成績相同。
【分析】關鍵是構造物體和抽屜，也就是找到代表物體和抽屜的量，然后依據抽屜原則進行計算。
20．4個
【分析】根據題意，三種游樂設施可組合成：碰碰車和摩天輪、碰碰車和旋轉木馬、摩天輪和旋轉木馬，共有3種組合；把10個小朋友平均分配給3種游樂設施組合，那么每種組合有3個小朋友，還剩下1個小朋友，無論把他放在哪個組合，總有一個組合至少有4個小朋友。
【詳解】10÷3＝3（個）……1（個）
3＋1＝4（個）
答：至少有4個小朋友選的游樂設施組合相同。
【分析】本題考查鴿巣問題，采用最不利原則解題。
21．76張
【分析】根據題意，要保證摸出的卡有紅卡、白卡、黃卡和藍卡，按數量從多到小依次是紅卡30張、藍卡25張、白卡20張、黃卡15張；根據最不利原則即運氣最差，把數量多的卡依次摸出來，即摸出了30張紅卡、25張藍卡、20張白卡，此時再任意摸一張，一定是黃卡，這時滿足摸出的卡有紅卡、白卡、黃卡和藍卡；據此解答。
【詳解】30＋25＋20＋1
＝55＋20＋1
＝75＋1
＝76（張）
答：最少要從箱子里摸出76張卡，才能保證摸出的卡有紅卡、白卡、黃卡和藍卡。
【分析】本題考查鴿巣問題，采取最不利原則解題。
22．49張
【分析】此題中求至少要準備多少件禮物，即為“最不利原則”問題。收到最多賀卡的小朋友即“抽屜王”收到5張賀卡，則其他小朋友應收到：5－1＝4（張），根據抽屜原理：4×12＝48（張），再加上“抽屜王”多出的1張賀卡，則至少準備：48＋1＝49（張），所以老師至少準備49張賀卡。
【詳解】5－1＝4（張）
4×12＝48（張）
48＋1＝49（張）
答：老師至少要準備49張賀卡。
【分析】根據抽屜原理中的“最不利原則”進行分析是完成本題的關鍵。
23．5張
【分析】考慮最差情況，抽出的前4張卡片是相同的，那么第5張卡片一定是不同的。據此解題。
【詳解】1×4＋1
＝4＋1
＝5（張）
答：至少要抽出5張，才能保證抽出的卡片中一定有2張圖案相同的。
【分析】本題考查了抽屜原理，解題關鍵在于要有一定邏輯推理能力，同時要掌握最差原則的解題方法。
24．見詳解
【分析】把3人看作是3個抽屜，19塊巧克力看做19個元素，考慮最差情況：把19塊巧克力平均分配在3個抽屜中：19÷3＝6（塊） 1（塊），那么每個抽屜都有6塊，那么剩下的1塊，無論放到哪個抽屜都會出現7塊在同一個抽屜里。
【詳解】19÷3＝6（塊） 1（塊）
6＋1＝7（塊）
答：所以一定有人至少拿到7塊巧克力，那么此時其他兩個人分得6塊，所以不能保證一定有人拿到8塊。
【分析】此題屬于典型的抽屜原理習題，解答此類題的關鍵是找出把誰看作“抽屜個數”，把誰看作“物體個數”，然后根據抽屜原理解答即可。
25．（1）14張
（2）5張
（3）5張
（4）41張
【分析】（1）因為共有13種點數，要想保證有2張牌的點數相同，考慮最不利原則，先取的13張牌的點數都不相同，再任意取一張就有2張牌的點數相同。
（2）因為有4張相同的點數，要想保證有2張牌的點數不同，考慮最不利原則，先取的4張牌的點數都相同，再任意取一張就有2張牌的點數不同。
（3）因為有4種花色，要想保證有2張花色相同，考慮最不利原則，先取的4張牌都是不同花色的，再任意取一張就有2張牌的花色相同。
（4）因為有4種花色，每種花色都是13張，要想保證有2張紅桃，考慮最不利原則，先把其它三種花色取完，再取2張就有2張牌是紅桃。
【詳解】（1）13＋1＝14（張）
答：至少取14張牌，保證有2張牌的點數相同。
（2）4＋1＝5（張）
答：至少取5張牌，保證有2張牌的點數不同。
（3）4＋1＝5（張）
答：至少取5張牌，保證有2張花色相同。
（4）13×3＋2
＝39＋2
＝41（張）
答：至少取41張牌，保證有2張紅桃。
【分析】本題考查鴿巣問題（抽屜問題），采用最不利原則進行分析是解題的關鍵。

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