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第01講 基本立體圖形
考點1：空間幾何體
（1）空間中的物體都占據著空間的一部分，若只考慮物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體．
（2）多面體
由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體．圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面；相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點叫做多面體的頂點．
考點2：棱柱、棱錐、棱臺的概念
多面體 定義 圖形及表示 相關概念
棱柱 有兩個互相平行，其余各面都是平行四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都相互平行，由這些邊所圍成的多面體叫做棱柱 如圖可記作：棱柱AC′或 ABCD A′B′C′D′ 底面(底)：兩個相互平行的面 側面：其余各面 側棱：相鄰側面的公共邊 頂點：側面與底面的公共頂點
棱錐 有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫棱錐 如圖可記作：棱錐SABCD 底面(底)：多邊形面． 側面：有公共頂點的各個三角形 側棱：相鄰側面的公共邊 頂點：各側面的公共頂點.
棱臺 用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫做棱臺 如圖可記作：棱臺ABCDA′B′C′D′ 上底面：原棱錐的截面 下底面：原棱錐的底面 側面：其余各面．側棱：相鄰側面的公共邊．頂點：側面與上(下)底面的公共頂點
考點3：棱柱、棱錐、棱臺的分類
（1）棱柱的分類
①按底面多邊形的邊數分類．
②按側棱與底面是否垂直分類．
（2）棱錐的分類(棱臺分類)
①按底面多邊形的邊數分類：三棱錐、四棱錐、五棱錐等．
②按底面多邊形是否為正多邊形分類：正棱錐和一般棱錐．
考點4：旋轉體
由一個平面圖形繞它所在平面內的一條定直線旋轉所形成的封閉幾何體叫做旋轉體，這條定直線叫做旋轉體的軸．
考點5：圓柱、圓錐、圓臺的概念
旋轉體 結構特征 圖示 表示法
圓柱 以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉形成的面所圍成的旋轉體叫做圓柱．旋轉軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉而成的圓面叫做圓柱的底面；無論旋轉到什么位置，不垂直于軸邊都叫做圓柱側面的母線。圓柱和棱柱統稱為柱體 圓柱用表示它的軸的字母表示，左圖中圓柱表示為圓柱O′O
圓錐 以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉形成的面所圍成的旋轉體叫做圓錐．棱錐與圓錐統稱為椎體 圓錐用表示它的軸的字母表示，左圖中圓錐表示為 圓 錐SO
圓臺 用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺．與圓柱和圓錐一樣，圓臺也有軸、底面、側面、母線．棱臺與圓臺統稱為臺體 圓臺用表示它的軸的字母表示，左圖中圓臺表示為圓臺O′O
考點6：球的概念
旋轉體 結構特征 圖示 表示法
球 以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的旋轉體叫做球體，簡稱球；半圓的圓心叫做球的球心；半圓的半徑叫做球的半徑；半圓的直徑叫做球的直徑 球常用表示球心的字母O表示，左圖中的球表示為球O
考點7：簡單組合體的結構特征．
（1）由簡單幾何體組合而成的幾何體叫做簡單組合體．
（2）簡單組合體的兩種基本形式：
簡單組合體
【題型 1簡單幾何體的識別】
【典例1】下列圖形中，不是棱柱的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據棱柱的定義判斷即可.
【詳解】一般地，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，
并且相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.
故A為四棱柱，B為三棱柱，C為四棱柱，
D中有兩個面為梯形，兩個面為三角形且三角形面不平行，故D不是棱柱.
故選：D
【變式1-1】以下各幾何體中， 是棱柱的是 （ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】根據給定的條件，利用棱柱的定義直接判斷作答.
【詳解】對于A，幾何體是三棱錐，不是棱柱，A不是；
對于B，幾何體有兩個平面平行，其余各面都是梯形，不是棱柱，B不是；
對于C，幾何體有兩個平面平行，其余各面都是梯形，不是棱柱，C不是；
對于D，幾何體有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，是棱柱，D是.
故選：D
【變式1-2】下面圖形中，為棱錐的是（ ）
A．①③ B．③④ C．①②④ D．①②
【答案】C
【分析】根據棱錐的定義和結構特征進行判斷可得答案.
【詳解】根據棱錐的定義和結構特征可以判斷，①②是棱錐，③不是棱錐，④是棱錐.
故選：C
【變式1-3】下列幾何體中是棱錐的有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【答案】C
【解析】由棱錐的定義逐個判斷即可得解.
【詳解】由棱錐的定義可得，只有幾何體⑤、⑥為棱錐.
故選：C.
【題型 2棱柱、棱錐、棱臺的結構特征】
【典例2】一個幾何體由六個面組成，其中兩個面是互相平行且相似的四邊形，其余各面都是全等的等腰梯形，則這個幾何體是（ ）
A．三棱柱 B．三棱臺 C．四棱柱 D．四棱臺
【答案】D
【分析】根據條件，分別對題目中四個選項分析推理.
【詳解】不妨假定兩個平行的面是上下底面，并且必須是6個面，顯然三棱柱和三棱臺不滿足要求，
四棱柱要求各側面均為平行四邊形，上下兩個平面為全等的四邊形，不滿足要求，
四棱臺上下兩個底面相互平行，其余各面都是梯形，故滿足條件的幾何體是四棱臺.
故選：D.
【變式2-1】下列描述中，不是棱錐幾何結構特征的是（ ）
A．三棱錐有4個面是三角形 B．棱錐的側面都是三角形
C．棱錐都有兩個互相平行的多邊形面 D．棱錐的側棱交于一點.
【答案】C
【分析】根據棱錐的定義和幾何結構，逐項判定，即可求解.
【詳解】A中，根據棱錐的幾何結構，可得三棱錐有4個面是三角形 ，所以A正確；
B中，根據棱錐的定義，可得棱錐的側面都是三角形，所以B正確；
C中，根據棱錐的定義，可得棱錐都沒有兩個互相平行的多邊形面，所以C錯誤；
D中，根據棱錐的定義，可得棱錐的側棱交于一點，所以D正確.
故選：C.
【變式2-2】一個幾何體由6個面圍成，則這個幾何體不可能是（ ）
A．四棱臺 B．四棱柱 C．四棱錐 D．五棱錐
【答案】C
【分析】根據棱柱，棱臺和棱錐的面的個數，結合選項得出答案即可．
【詳解】對于A，四棱臺是上下兩個四邊形，四個側面有6個面，滿足題意；
對于B，四棱柱是上下兩個四邊形，四個側面有6個面，滿足題意；
對于C，四棱錐有一個底面，四個側面有5個面，不滿足題意；
對于D，五棱錐有一個底面，五個側面有6個面，滿足題意.
故選：C
【變式2-3】棱臺具備的特點有（ ）
A．兩底面相似 B．側面都是梯形
C．側棱都相等 D．側棱延長后都交于一點
【答案】ABD
【分析】根據棱臺是由平行棱錐底面的平面截得的判斷.
【詳解】解：因為棱臺是由平行棱錐底面的平面截得的，
所以棱臺的兩底面相似，側面都是梯形，側棱延長后都交于一點，
故選：ABD
【變式2-4】下列立體圖形是六面體的有（ ）
A．四棱柱 B．四棱臺
C．五棱錐 D．六棱錐
【答案】ABC
【分析】根據各選項中的幾何體的結構特征，直接判斷作答
【詳解】對于A，B，四棱柱、四棱臺都有兩個底面，4個側面，共6個面，它們都是六面體，AB是；
對于C，五棱錐有一個底面，5個側面，共6個面，是六面體，C是；
對于D，六棱錐有一個底面，6個側面，共7個面，不是六面體，D不是.
故選：ABC
【題型 3旋轉體的結構特征】
【典例3】下列幾何體是旋轉體的是（ ）
①圓柱；②六棱錐；③正方體；④球體；⑤四面體．
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
【答案】A
【分析】根據旋轉體的定義判斷即可.
【詳解】圓柱是以長方形一邊為軸旋轉一周得到，球體以半圓直徑為軸旋轉一周得到，而六棱錐、正方體、四面體都為多面體，不是旋轉體.
故選：A
【變式3-1】如圖，直角三角形繞直角邊旋轉，所得的旋轉體為（ ）
A．圓錐 B．圓柱 C．圓臺 D．球
【答案】A
【分析】由圓錐的定義即可求解
【詳解】由圓錐的定義可得直角三角形繞直角邊旋轉，所得的旋轉體為圓錐
故選：A
【變式3-2】下列幾何體是旋轉體的是（ ）
A．五棱柱 B．六棱錐 C．八棱臺 D．球
【答案】D
【分析】根據旋轉體、多面體的定義，判斷即可．
【詳解】根據一個平面圖形繞著它的一條邊所在的直線旋轉一周形成的幾何體叫做旋轉體，判斷球是旋轉體；
一個幾何體圍成它的各個面都是多邊形，這個幾何體是多面體，由此判斷五棱柱、六棱柱、八棱臺都是多面體．
故選：D
【題型 4組合體的結構特征】
【典例4】如圖所示的幾何體是數學奧林匹克能賽的獎杯，該幾何體由（ ）
A．一個球、一個四棱柱、一個圓臺構成
B．一個球、一個長方體、一個棱臺構成
C．一個球、一個四棱臺、一個圓臺構成
D．一個球、一個五棱柱、一個校臺構成
【答案】B
【分析】根據組合體基本構成即可得答案.
【詳解】由圖可知，該幾何體是由一個球、一個長方體、一個棱臺構成.
故選：B.
【變式4-1】如圖所示的簡單組合體的組成是（ ）
A．棱柱、棱臺 B．棱柱、棱錐
C．棱錐、棱臺 D．棱柱、棱柱
【答案】B
【分析】直接觀察,即可出答案.
【詳解】由圖知，簡單組合體是由棱錐、棱柱組合而成.
故選：B.
【變式4-2】如圖的組合體是由（ ）組合而成.
A．兩個棱柱 B．棱柱和圓柱
C．圓柱和棱臺 D．圓錐和棱柱
【答案】B
【解析】根據組合體的結構特征即可求解.
【詳解】由圖可知該組合體由圓柱和六棱柱組合而成，
故選：B
【點睛】本題考查了組合體的結構特征，考查了基本知識的掌握情況，屬于基礎題.
【變式4-3】如圖所示的幾何體是長征五號運載火箭的頂端部分，則該幾何體的構成是（ ）
A．一個棱錐，一個圓柱 B．一個圓錐，一個圓柱
C．一個圓錐，一個圓臺 D．兩個圓臺
【答案】B
【分析】由柱體、錐體的知識可得答案.
【詳解】由題圖可知，該幾何體上面是一個圓錐，下面是一個圓柱，
故選：B
【題型 5平面圖形旋轉形成的幾何體】
【典例5】正方形繞對角線所在直線旋轉一周所得到的幾何體為 （ ）
A．由兩個圓臺組成 B．由一個圓錐和一個圓臺組成
C．由兩個圓錐組成 D．由兩個棱臺組成
【答案】C
【分析】將正方形繞對角線所在的直線旋轉一周，根據旋轉體的定義，即可求解，得到答案.
【詳解】由題意，將正方形繞對角線所在的直線旋轉一周，根據旋轉體的定義，可知得到的組合體是兩個同底的圓錐.
故選:C.
【變式5-1】下列給出的圖形中，繞給出的軸旋轉一周，能形成圓臺的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由旋轉體的結構特征逐一分析四個選項得答案．
【詳解】由圖可知，A選項中的直角梯形繞給出的軸旋轉一周，能形成圓臺，
B選項中的半圓繞給出的軸旋轉一周，能形成球體，
C選項中的矩形繞給出的軸旋轉一周，能形成圓柱，
D選項中的直角三角形繞給出的軸旋轉一周，能形成圓錐．
故選：A
【變式5-2】能旋轉形成如圖所示的幾何體的平面圖形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】將A、B、C、D選項圖形繞對稱軸旋轉可知A選項符合題意.
【詳解】此幾何體自上向下是由一個圓錐和一個圓臺構成，是由A中的平面圖形旋轉形成的.
故選：A.
【變式5-3】銅錢又稱方孔錢，是古代錢幣最常見的一種．如圖所示為清朝時的一枚“嘉慶通寶”，由一個圓和一個正方形組成，若繞旋轉軸（虛線）旋轉一周，形成的幾何體是（ ）
　　
A．一個球 B．一個球挖去一個圓柱
C．一個圓柱 D．一個球挖去一個正方體
【答案】B
【分析】根據旋轉體的定義可得正確的選項.
【詳解】圓及其內部旋轉一周后所得幾何體為球，
而矩形及其內部繞一邊旋轉后所得幾何體為圓柱，
故題設中的平面圖形繞旋轉軸（虛線）旋轉一周，形成的幾何體為一個球挖去一個圓柱，
故選：B.
【題型 6空間幾何體的截面問題】
【典例6】用一個平面截一個幾何體，得到的截面是三角形，這個幾何體不可能是（ ）
A．長方體 B．圓錐 C．棱錐 D．圓臺
【答案】D
【分析】作圖，結合空間想象，即可得出答案.
【詳解】
對于A項，如圖1，用平面截長方體，得到的截面是三角形，故A項正確；
對于B項，如圖2，用平面截圓錐，得到的截面是三角形，故B項正確；
對于C項，三棱錐各個面即為三角形；除三棱錐外，過棱錐底面不相鄰兩頂點和棱錐頂點的截面為三角形，故C項正確；
對于D項，圓臺的截面不可能為三角形，故D項錯誤.
故選：D.
【變式6-1】用一個平面去截一個三棱錐，截面形狀可能是 ．（填序號）
①三角形；②四邊形；③五邊形．
【答案】①②
【分析】用平面截一個三棱錐，找到所有截面的種類即可求解.
【詳解】如圖：按圖所示用一個平面去截三棱錐，截面形狀為三角形；
按圖所示用一個平面去截三棱錐，截面形狀為四邊形；
截面形狀不可能為五邊形，
所以①②正確，
故答案為：①②
【變式6-2】圓柱的母線長為5，底面半徑為2，稱過圓柱的軸的任意平面與圓柱形成的平面為軸截面，則該圓柱軸截面面積為 .
【答案】20
【分析】軸截面為矩形，根據矩形的長和寬求出面積.
【詳解】軸截面為矩形，兩邊長分別為5和4，故軸截面的面積為.
故答案為：20
【變式6-3】從一個底面半徑和高均為R的圓柱中，挖去一個以圓柱上底面為底，下底面中心為頂點的棱錐，得到一個如圖幾何體.如果用一個與圓柱下底面距離為d的平行平面去截這個幾何體，截面面積為 .
【答案】
【分析】作出如圖所示的軸截面，根據平面幾何關系即可得解.
【詳解】解：如圖所示作出軸截面，
圓柱被平行于下底面的平面所截得的截面圓的半徑，
設圓錐的截面圓的半徑為，
因為，所以是等腰直角三角形.
又，所以，故，
所以截面積.
故答案為：.
【題型 7多面體與球體內切外接問題】
【典例7】已知球O是正三棱錐（底面是正三角形，頂點在底面的射影為底面中心）的外接球，，，點E為線段的中點.過點E作球O的截面，則所得截面面積的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據正弦定理求出外接圓的半徑，然后根據勾股定理推得三棱錐的高，進而得出的長.當截面垂直于時，截面面積最小，求出此時半徑，即可得出答案.
【詳解】
如圖，是A在底面的射影，則點在線段上.
由正弦定理得，的外接圓半徑，所以.
在中，
由勾股定理得棱錐的高.
設球O的半徑為R，
在中，由勾股定理得，
即，解得，所以.
在中，，.
所以在中，有.
又因為當截面垂直于時，截面面積最小，
此時截面半徑為，截面面積為.
故選：A.
【變式7-1】已知三棱柱的6個頂點都在球的球面上，且，，則球的半徑為 （ ）
A．5.5 B．6 C．6.5 D．7
【答案】C
【分析】由題意可得三棱柱為直三棱柱，將直三棱柱補成長方體，則長方體的體對角線即可為外接球的直徑，即可得解.
【詳解】∵三棱柱的6個頂點都在球O的球面上，
則三棱柱為直三棱柱，
又∵，則可將直三棱柱補成長方體，
∴直三棱柱的外接球即為長方體的外接球，
故球O的直徑為
∴球O的半徑為.
故選：C.

【變式7-2】正四面體ABCD的外接球的半徑為2，過棱AB作該球的截面，則截面面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】將四面體放置于正方體中，則正方體的外接球就是四面體的外接球．因此利用題中數據算出，即可算出截面面積的最小值．
【詳解】由題意，面積最小的截面是以為直徑的截面，
將四面體放置于正方體中，可得正方體的外接球就是四面體的外接球，
設，則正方體棱長為，故，可求得，
進而截面面積的最小值為．
故選：C

【變式7-3】在一個倒置的正三棱錐容器內，放入一個鋼球，鋼球恰好與棱錐的四個面都接觸上，經過棱錐的一條側棱和高作截面，正確的截面圖形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】設正三棱錐，由確定的平面得到截面，再由正四面體的性質和圖象的對稱性加以分析，同時對照選項，即可求解.
【詳解】如圖所示，正三棱錐，球是它的內切球，
設為底面的中心，根據對稱性可得內切球的球心在三棱錐的高上，
由確定的平面交于，連接、，得到截面，
截面就是經過側棱與中點的截面，
平面與內切球相交，截得的球大圓如圖所示，

因為中，圓分別與、相切于點、，且，
圓與相離，
所對照各個選項，可得只有B項的截面符合題意；
故選：B.
一、單選題
1．一個幾何體，它的軸截面一定是圓面，則這個幾何體是（ ）
A．圓柱 B．圓錐 C．圓臺 D．球
【答案】D
【分析】根據各選項中旋轉體的定義與性質逐項判斷.
【詳解】對于A：圓柱的軸截面是矩形，故A不符合題意；
對于B：由于圓錐的軸截面是一個等腰三角形，故B不符合題意；
對于C，圓臺軸截面是等腰梯形，故C不符合題意；
對于D：用任意的平面去截球，得到的截面均為圓，故D符合題意．
故選：D．
2．下列棱錐有6個面的是（　　）
A．三棱錐 B．四棱錐 C．五棱錐 D．六棱錐
【答案】C
【分析】根據棱錐的定義，即可得出選項.
【詳解】由棱錐的結構特征可知，三棱錐有4個面，四棱錐有5個面，五棱錐有6個面，六棱錐有7個面；
故選：C
3．如圖，在長方體中，，，則（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根據長方體的性質求解.
【詳解】在長方體中，，
故選：B
4．若一個圓錐的母線長為，且底面面積為，則此圓錐的高為（ ）
A．6 B．3 C． D．
【答案】B
【分析】利用圓錐的特征及面積公式計算即可.
【詳解】由底面面積為可得底面圓半徑為，所以圓錐的高為.
故選：B
5．用一個平面去截一個圓臺，得到的圖形不可能是（ ）
A．矩形 B．圓形 C．梯形 D．橢圓
【答案】A
【分析】根據截面與幾何體相交時的形狀，即可判定選項.
【詳解】用一個平面去截一個圓臺，截面平行于底面，截面為圓形，B錯誤；
截面與圓臺的軸平行時，得到梯形，C錯誤；
截面與底面不平行也不相交時，得到橢圓，D錯誤；
圖形不可能是矩形，則A正確，
故選:A.
6．下列幾何體中為圓柱的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】結合幾何體的特征逐個判斷即可.
【詳解】易得A為圓錐，B為圓柱，C為棱臺，D為球．
故選：B．
7．下列說法不正確的是（ ）
A．直四棱柱是長方體 B．正方體是平行六面體
C．長方體是平行六面體 D．平行六面體是四棱柱
【答案】A
【分析】根據長方體、直四棱柱、平行六面體的定義、性質和關系判斷即可得解.
【詳解】解：對于選項A，直四棱柱的側棱垂直底面，當底面不是矩形時直四棱柱不是長方體，
故A錯誤；
對于選項B，正方體的對面平行，是平行六面體，故B正確；
對于選項C，長方體的對面平行，是平行六面體，故C正確；
對于選項D，平行六面體是底面為平行四邊形的四棱柱，故D正確；
故選：A.
8．下列命題正確的是（　　）
A．用一個平面去截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺
B．棱柱的側棱都相等，側面都是全等的平行四邊形
C．圓錐的頂點、底面圓的圓心與圓錐底面圓周上任意一點這三點的連線都可以構成直角三角形
D．一直角梯形繞下底所在直線旋轉一周，所形成的曲面圍成的幾何體是圓臺
【答案】C
【分析】選項A，平面不一定平行于圓錐底面；選項B，棱柱底面多邊形各邊不一定相等，則側面不一定全等；選項D，空間直觀想象由直角梯形繞下底所在直線旋轉一周可得組合體.
【詳解】只有在平面平行于圓錐底面時，才能將圓錐截為一個圓錐和一個圓臺，
當平面不平行于圓錐底面時，得到的幾何體并非圓錐和圓臺，所以A錯；
棱柱的側棱都相等且平行，且側面是平行四邊形，
但其底面多邊形各邊不一定相等，則側面并不一定全等，所以B錯；
圓錐的頂點、底面圓的圓心與圓錐底面圓周上任意一點這三點的連線都可以構成直角三角形，所以C對；
直角梯形繞下底所在直線旋轉一周，所形成的幾何體是由一個圓柱與一個圓錐組成的簡單組合體，
如圖所示，所以D錯.
故選：C.

9．在四面體中，已知底面為正三角形，則“三棱錐為正三棱錐”是“與均為等腰三角形”的（ ）
A．充要條件 B．必要不充分條件
C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】根據正三棱錐性質可知充分性成立；通過反例可說明必要性不成立，由此可得結論.
【詳解】若三棱錐為正三棱錐，則，
與均為等腰三角形，充分性成立；
若與均為等腰三角形，滿足，，
此時三棱錐不是正三棱錐，必要性不成立；
“三棱錐為正三棱錐”是“與均為等腰三角形”的充分不必要條件.
故選：C.
10．設p：四棱柱是正方體，q：四棱柱是長方體，則p是q的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】結合正方體和長方體的定義，根據充分條件和必要條件的定義判斷即可.
【詳解】正方體是特殊的長方體，而長方體不一定是正方體，
所以p是q的充分不必要條件.
故選：A.
二、多選題
11．下列命題錯誤的是（ ）
A．棱柱的側棱都相等，側面都是全等的平行四邊形
B．用一個平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺
C．所有幾何體的表面都能展開成平面圖形
D．棱臺的側棱延長后交于一點，側面是等腰梯形
【答案】ABCD
【分析】根據棱柱、棱錐、棱臺的定義判斷ABD；舉反例判斷C.
【詳解】棱柱的側棱都相等，側面都是平行四邊形但不一定全等，故A錯；
用一個平行棱錐底面的平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺，故B錯；
球體展開后就是一個曲面，而不是平面圖形，故C錯；
棱臺的側棱延長后交于一點，側面都是梯形，不一定是等腰梯形，故D錯.
故選：ABCD.
三、填空題
12．已知一個球的半徑為2，若用一個與球心距離為1的平面截球體，則所得的截面面積為 ．
【答案】
【分析】球的截面的性質由勾股定理求解截面圓半徑即可.
【詳解】由球的性質可得截面為圓面，則截面圓的半徑為，
故面積為，
故答案為：
13．已知圓臺的上、下底面半徑分別為5和12，高為24，則圓臺的母線長為 ．
【答案】
【分析】作出圓臺的軸截面，再利用勾股定理計算可得.
【詳解】如圖作出圓臺的軸截面，設上底面圓心為，下底面圓心為，過點作交于點，
依題意，，，所以，
則，所以圓臺的母線長為.
故答案為：
14．下面兩圖是正四面體與它的外接球被過球心的平面所被形成的截面圖，圖①中的三角形為正三角形，其面積為，圖②中三角形的面積為，則 .

【答案】
【分析】根據正四面體的幾何性質，求得外接球的球心以及半徑，由題意，作圖，求得對應三角形的面積，可得答案.
【詳解】由題意，可作圖如下：

設為正四面體的外接球球心，為底面正三角形的外接圓的圓心，
平面，平面平面，，，
在正四面體中，由為外接圓的圓心，則平面，
由題意，設圖①中的三角形為，圖②中的三角形為，
設正四面體的棱長為，在正中，由為外接圓的圓心，則，
且，易知，同理可得，
因為平面，且平面，所以，
在中，，
設正四面體的外接球的半徑為，
在中，，則，解得，
則，因為平面平面，所以，則，
易知，且其相似比為，則，則，
故，，
.
故答案為：.
四、解答題
15．如圖，已知四棱錐的底面是面積為的正方形，側面是全等的等腰三角形，一條側棱長為.

(1)計算四棱錐的高；
(2)計算四棱錐側面三角形底邊上的高.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據正四棱錐的知識求得幾何體的高.
（2）根據等腰三角形的知識求得側面三角形底邊上的高.
【詳解】（1）正方形的邊長為，
由于四棱錐的側面是全等的等腰三角形，
所以四棱錐是正四棱錐，設，連接，
則平面，由于平面，
所以，由于，
所以,
即四棱錐的高為.
（2）由于正四棱錐的側面是全等的等腰三角形，
側面三角形底邊上的高為.
第01講 基本立體圖形
考點1：空間幾何體
（1）空間中的物體都占據著空間的一部分，若只考慮物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體．
（2）多面體
由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體．圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面；相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點叫做多面體的頂點．
考點2：棱柱、棱錐、棱臺的概念
多面體 定義 圖形及表示 相關概念
棱柱 有兩個互相平行，其余各面都是平行四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都相互平行，由這些邊所圍成的多面體叫做棱柱 如圖可記作：棱柱AC′或 ABCD A′B′C′D′ 底面(底)：兩個相互平行的面 側面：其余各面 側棱：相鄰側面的公共邊 頂點：側面與底面的公共頂點
棱錐 有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫棱錐 如圖可記作：棱錐SABCD 底面(底)：多邊形面． 側面：有公共頂點的各個三角形 側棱：相鄰側面的公共邊 頂點：各側面的公共頂點.
棱臺 用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫做棱臺 如圖可記作：棱臺ABCDA′B′C′D′ 上底面：原棱錐的截面 下底面：原棱錐的底面 側面：其余各面．側棱：相鄰側面的公共邊．頂點：側面與上(下)底面的公共頂點
考點3：棱柱、棱錐、棱臺的分類
（1）棱柱的分類
①按底面多邊形的邊數分類．
②按側棱與底面是否垂直分類．
（2）棱錐的分類(棱臺分類)
①按底面多邊形的邊數分類：三棱錐、四棱錐、五棱錐等．
②按底面多邊形是否為正多邊形分類：正棱錐和一般棱錐．
考點4：旋轉體
由一個平面圖形繞它所在平面內的一條定直線旋轉所形成的封閉幾何體叫做旋轉體，這條定直線叫做旋轉體的軸．
考點5：圓柱、圓錐、圓臺的概念
旋轉體 結構特征 圖示 表示法
圓柱 以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉形成的面所圍成的旋轉體叫做圓柱．旋轉軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉而成的圓面叫做圓柱的底面；無論旋轉到什么位置，不垂直于軸邊都叫做圓柱側面的母線。圓柱和棱柱統稱為柱體 圓柱用表示它的軸的字母表示，左圖中圓柱表示為圓柱O′O
圓錐 以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉形成的面所圍成的旋轉體叫做圓錐．棱錐與圓錐統稱為椎體 圓錐用表示它的軸的字母表示，左圖中圓錐表示為 圓 錐SO
圓臺 用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺．與圓柱和圓錐一樣，圓臺也有軸、底面、側面、母線．棱臺與圓臺統稱為臺體 圓臺用表示它的軸的字母表示，左圖中圓臺表示為圓臺O′O
考點6：球的概念
旋轉體 結構特征 圖示 表示法
球 以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的旋轉體叫做球體，簡稱球；半圓的圓心叫做球的球心；半圓的半徑叫做球的半徑；半圓的直徑叫做球的直徑 球常用表示球心的字母O表示，左圖中的球表示為球O
考點7：簡單組合體的結構特征．
（1）由簡單幾何體組合而成的幾何體叫做簡單組合體．
（2）簡單組合體的兩種基本形式：
簡單組合體
【題型 1簡單幾何體的識別】
【典例1】下列圖形中，不是棱柱的是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】以下各幾何體中， 是棱柱的是 （ ）
A．B． C． D．
【變式1-2】下面圖形中，為棱錐的是（ ）
A．①③ B．③④ C．①②④ D．①②
【變式1-3】下列幾何體中是棱錐的有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【題型 2棱柱、棱錐、棱臺的結構特征】
【典例2】一個幾何體由六個面組成，其中兩個面是互相平行且相似的四邊形，其余各面都是全等的等腰梯形，則這個幾何體是（ ）
A．三棱柱 B．三棱臺 C．四棱柱 D．四棱臺
【變式2-1】下列描述中，不是棱錐幾何結構特征的是（ ）
A．三棱錐有4個面是三角形 B．棱錐的側面都是三角形
C．棱錐都有兩個互相平行的多邊形面 D．棱錐的側棱交于一點.
【變式2-2】一個幾何體由6個面圍成，則這個幾何體不可能是（ ）
A．四棱臺 B．四棱柱 C．四棱錐 D．五棱錐
【變式2-3】（多選題）棱臺具備的特點有（ ）
A．兩底面相似 B．側面都是梯形
C．側棱都相等 D．側棱延長后都交于一點
【變式2-4】（多選題）下列立體圖形是六面體的有（ ）
A．四棱柱 B．四棱臺
C．五棱錐 D．六棱錐
【題型 3旋轉體的結構特征】
【典例3】下列幾何體是旋轉體的是（ ）
①圓柱；②六棱錐；③正方體；④球體；⑤四面體．
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
【變式3-1】如圖，直角三角形繞直角邊旋轉，所得的旋轉體為（ ）
A．圓錐 B．圓柱 C．圓臺 D．球
【變式3-2】下列幾何體是旋轉體的是（ ）
A．五棱柱 B．六棱錐 C．八棱臺 D．球
【題型 4組合體的結構特征】
【典例4】如圖所示的幾何體是數學奧林匹克能賽的獎杯，該幾何體由（ ）
A．一個球、一個四棱柱、一個圓臺構成
B．一個球、一個長方體、一個棱臺構成
C．一個球、一個四棱臺、一個圓臺構成
D．一個球、一個五棱柱、一個校臺構成
【變式4-1】如圖所示的簡單組合體的組成是（ ）
A．棱柱、棱臺 B．棱柱、棱錐
C．棱錐、棱臺 D．棱柱、棱柱
【變式4-2】如圖的組合體是由（ ）組合而成.
A．兩個棱柱 B．棱柱和圓柱
C．圓柱和棱臺 D．圓錐和棱柱
【變式4-3】如圖所示的幾何體是長征五號運載火箭的頂端部分，則該幾何體的構成是（ ）
A．一個棱錐，一個圓柱 B．一個圓錐，一個圓柱
C．一個圓錐，一個圓臺 D．兩個圓臺
【題型 5平面圖形旋轉形成的幾何體】
【典例5】正方形繞對角線所在直線旋轉一周所得到的幾何體為 （ ）
A．由兩個圓臺組成 B．由一個圓錐和一個圓臺組成
C．由兩個圓錐組成 D．由兩個棱臺組成
【變式5-1】下列給出的圖形中，繞給出的軸旋轉一周，能形成圓臺的是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】能旋轉形成如圖所示的幾何體的平面圖形是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】銅錢又稱方孔錢，是古代錢幣最常見的一種．如圖所示為清朝時的一枚“嘉慶通寶”，由一個圓和一個正方形組成，若繞旋轉軸（虛線）旋轉一周，形成的幾何體是（ ）
　　
A．一個球 B．一個球挖去一個圓柱
C．一個圓柱 D．一個球挖去一個正方體
【題型 6空間幾何體的截面問題】
【典例6】用一個平面截一個幾何體，得到的截面是三角形，這個幾何體不可能是（ ）
A．長方體 B．圓錐 C．棱錐 D．圓臺
【變式6-1】用一個平面去截一個三棱錐，截面形狀可能是 ．（填序號）
①三角形；②四邊形；③五邊形．
【變式6-2】圓柱的母線長為5，底面半徑為2，稱過圓柱的軸的任意平面與圓柱形成的平面為軸截面，則該圓柱軸截面面積為 .
【變式6-3】從一個底面半徑和高均為R的圓柱中，挖去一個以圓柱上底面為底，下底面中心為頂點的棱錐，得到一個如圖幾何體.如果用一個與圓柱下底面距離為d的平行平面去截這個幾何體，截面面積為 .
【題型 7多面體與球體內切外接問題】
【典例7】已知球O是正三棱錐（底面是正三角形，頂點在底面的射影為底面中心）的外接球，，，點E為線段的中點.過點E作球O的截面，則所得截面面積的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【變式7-1】已知三棱柱的6個頂點都在球的球面上，且，，則球的半徑為 （ ）
A．5.5 B．6 C．6.5 D．7
【變式7-2】正四面體ABCD的外接球的半徑為2，過棱AB作該球的截面，則截面面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-3】在一個倒置的正三棱錐容器內，放入一個鋼球，鋼球恰好與棱錐的四個面都接觸上，經過棱錐的一條側棱和高作截面，正確的截面圖形是（ ）
A． B． C． D．
一、單選題
1．一個幾何體，它的軸截面一定是圓面，則這個幾何體是（ ）
A．圓柱 B．圓錐 C．圓臺 D．球
2．下列棱錐有6個面的是（　　）
A．三棱錐 B．四棱錐 C．五棱錐 D．六棱錐
3．如圖，在長方體中，，，則（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
4．若一個圓錐的母線長為，且底面面積為，則此圓錐的高為（ ）
A．6 B．3 C． D．
5．用一個平面去截一個圓臺，得到的圖形不可能是（ ）
A．矩形 B．圓形 C．梯形 D．橢圓
6．下列幾何體中為圓柱的是（　　）
A． B． C． D．
7．下列說法不正確的是（ ）
A．直四棱柱是長方體 B．正方體是平行六面體
C．長方體是平行六面體 D．平行六面體是四棱柱
8．下列命題正確的是（　　）
A．用一個平面去截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺
B．棱柱的側棱都相等，側面都是全等的平行四邊形
C．圓錐的頂點、底面圓的圓心與圓錐底面圓周上任意一點這三點的連線都可以構成直角三角形
D．一直角梯形繞下底所在直線旋轉一周，所形成的曲面圍成的幾何體是圓臺
9．在四面體中，已知底面為正三角形，則“三棱錐為正三棱錐”是“與均為等腰三角形”的（ ）
A．充要條件 B．必要不充分條件
C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件
10．設p：四棱柱是正方體，q：四棱柱是長方體，則p是q的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
二、多選題
11．下列命題錯誤的是（ ）
A．棱柱的側棱都相等，側面都是全等的平行四邊形
B．用一個平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺
C．所有幾何體的表面都能展開成平面圖形
D．棱臺的側棱延長后交于一點，側面是等腰梯形
三、填空題
12．已知一個球的半徑為2，若用一個與球心距離為1的平面截球體，則所得的截面面積為 ．
13．已知圓臺的上、下底面半徑分別為5和12，高為24，則圓臺的母線長為 ．
14．下面兩圖是正四面體與它的外接球被過球心的平面所被形成的截面圖，圖①中的三角形為正三角形，其面積為，圖②中三角形的面積為，則 .

四、解答題
15．如圖，已知四棱錐的底面是面積為的正方形，側面是全等的等腰三角形，一條側棱長為.

(1)計算四棱錐的高；
(2)計算四棱錐側面三角形底邊上的高.

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